Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R). Chứng minh AA’ vuông góc với EF c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, I, A’ thẳng hàng d) Gọi G là trọng tâ[r]
(1)Chuyên đề Hình học : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG,
BỐN ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
I.Phương pháp giải.
1, Chứng minh ba diểm thẳng hàng - Vận dụng tính chất hai tia đối
- Vận dụng hai đường thẳng qua điểm song song vng góc với đường thẳng trùng
- Vận dụng tính chất đường đặc biệt tam giác - Vận dụng thêm điểm phụ thứ tư
- Vận dụng tính chất đường chéo tứ giác đạc biệt
- Vận dụng hai mút đường kính tâm đường tròn ba điểm thẳng hàng - Vận dụng hai tâm đường tròn tiếp xúc tiếp điểm ba điểm thẳng hàng 2/ Chứng minh bốn điểm thuộc đường tròn
Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp *Tứ giác có tổng hai góc đối 180o
* Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
* Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm ( mà ta xác định ) Đieenmr tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác
* Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α 3/ Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
- Giao điểm hai đường thẳng nằm đường thẳng lại - Chỉ điểm thuộc ba đường thẳng
- Vận dụng tính chất đồng quy ba đường cung tên tam giác - Vận dụng tính chất đường chéo
II / Ví dụ ( có gợi ý )
1 / Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R) Gọi H trực tâm và G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm H,G ,O thẳng hàng
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
Vẽ đường kính AD đường trịn (0) Gọi M giao điểm BC HD Ta có : ACD = 90 o ( góc nội tiếp chắn đường tròn )
Mà BH AC ( Hlà trực tâm tam giác ABC ) DC AC ⇒ BH // DC
Chứng minh tương tự có: BD//HC.Tứ giác BHCD có BH // DC,BD // HC nên hình bình hành
⇒ M trung điểm BC HD
ΔABC có AM đường trung tuyến,G trọng tâm ΔABC
⇒ G thuộc đoạn thẳng AM AG = 32 AM
ΔAHD có AM đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM AG= AM ⇒ G trọng tâm tam giác AHD.Mà HO đường trung tuyến tam giác AHD
Do : HO qua G Vậy H,G,O thẳng hàng
2/Gọi M điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Các điểm P,Q,R hình chiếu củ M đường thẳng BC,CA AB
Chứng minh rằng:
(2)b) Các điểm R,P,Q thẳng hàng Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
a) Tự chứng minh
b)Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp ⇒ M ^P Q+M C^ Q= 180°
Xét đường trịn (RBPM) có RB M^ =R^P M Xét đường trịn (O)có RB M^ = MC Q^ Do đó: RP M=^ MC Q^ ¿❑
Ta có: RP M^ +MP Q=^ MC Q+^ MP Q^ =180° Vậy R,P,Q thẳng hàng
3/Cho đường tròn (O)nội tiếp tam giác ABC Các điểm D,E,F tiếp điểm (O)với BC,CA,AB.Vẽ BB1 OA B1 , AA1 OB A1
Chứng minh D, B1, A1, E thẳng hàng Gợi ý: (Hs tự vẽ hình)
Tứ giác AEA1O nội tiếp đường tròn => OAE
❑
+OA1E ❑
=90° Tứ giác AA1B1B nội tiếp đường tròn => BAB
❑
1=BA1B
❑
1
Mà *BAB1 = *OAE => *BA1B1=*OAE
Ta có : *BA1B1 + *OA1E = 180o => E,A1,B1 thẳng hàng
- Cứng minh tương tự có D,A1,B1 thẳng hàng
Do D,B1,A1,E thẳng hàng
4/ Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD (AB<CD) nội tiếp đường tròn tâm O Gọi PQ dây cung vng góc với AB CD P thuộc cung AB, Q thuộc cung CD ( P không trùng với A B, Q không trùng với C D)_ Gọi I K giao điểm PQ với AB CD Gọi P1 chân đường vng góc hạ từ P xuống đường thẳng AD, P2 chân đường
vng góc hạ từ P xuống AC, Q1 chân đường vng góc hạ từ Q xuống AD, Q2 chân đường
vng góc hạ từ Q xuống AC
a) Chứng minh QKQ2C, QKDQ1 ,PP2KC,AIQ2Q tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh Q1, K, Q2 thẳng hàng P1 K, P2 thẳng hàng
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) a) Hs tự làm
b) => *Q1KQ = *Q1DQ
=> *QKQ2 + *QKQ1 = 180o
=> Q1 , K, Q2 thẳng hàng
- Tứ giác AP1PP2 nội tiếp => *PP2P1 = *P1AP
*PCK = *P1AP
=> *P1P2P = *PCK
=> *P1P2P + *PP2K = 180o
=> P1 , K, P2 thẳng hàng
5/ Cho đường tròn tâm O hai điểm B,C thuộc đường tròn ( B,C,O không thẳng hàng), tiếp tuyến với đường tròn B C cắt A Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến với đường tròn M cắt AB ,AC theo thứ tự D,E Gọi giao điểm OD, OE với BC theo thứ tự I,K Chứng minh : a) OBDK , DIKE tứ giác nội tiếp
b) Các đường thẳng OM, DK, EI đồng quy Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
a) Hs tự làm
b) OBDK tứ giác nội tiếp => *OBD = *OKD = 90o => DK OE
Tương tự : EI OD Mà OM DE
(3)6/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tòn (O) Gọi D, E, F trung điểm BC, AC, AB Vẽ đường thẳng Dx, Ey, Fz cho Dx // OA, Ey // OB, Fz // OC Cứng minh đường Dx, Ey, Fz đồng quy
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) Chứng minh CH // BM BH // MC => BHCM hình bình hành
Mà D trung điểm BC, D trung điểm HM Gọi N trung điểm OH
Xét tam giác HMO Dx // OM, D trung điểm HM => Dx qua N Tương tự : Ey qua N, Fz qua N
=> Các đường thẳng Dx, Ey, Fz đồng quy III Bài tập tham khảo
1 Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB,AC theo thứ tự E,D
a) CMR AD.AC=AE.AB
b) Gọi H giao điểm BD CE, K giao điểm AH BC CMR AH vng góc với BC
c) Từ A kẻ tiếp tuyến Am,AN đến đường tròn (O) với M,N tiếp điểm CMR góc ANM góc AKN
Gợi ý :
a) Chứng minh tam giác ABD ACE đồng dạng => tỉ lệ tương ứng => đpcm b) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC => AH BC
c) - Chứng minh điểm A,M,K,O,N thuộc đường trịn
2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H v àcắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P
Chøng minh r»ng:
a) Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp
b) Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
Gợi ý :
a) XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
CEH = 900 ( Vì BE đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) => CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp b) BE đờng cao => BE AC => BEC = 900.
CF đờng cao => CF AB => BFC = 900 => E F nằm đờng trịn đờng kính BC
Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn
c)Xét hai tam giác AEH ADC ta cã: AEH = ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung => AEH ADC => AE
AD= AH
AC => AE.AC = AH.AD
* Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung => BEC ADC => BE
AD= BC
AC => AD.BC = BE.AC
3 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N
a) Chøng minh AC + BD = CD b) Chøng minh COD = 900
(4)a) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900 c) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO bán kính
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đờng trung bình hình thang ACDB
IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đờng trịn đờng kính CD d) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB
Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm A bán kính AH Gọi HD đ-ờng kính đđ-ờng trịn (A; AH) Tiếp tuyến đđ-ờng tròn D cắt CA E
a) Chứng minh tam giác BEC cân
b) Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH c)Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH)
d)Chøng minh BE = BH + DE Gợi ý :
a) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2)
Vì AB CE (gt), AB vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến BEC => BEC tam giác cân => B1 = B2
b) Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH
c) AI = AH vµ BE AI I => BE tiếp tuyến cđa (A; AH) t¹i I d) DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
5 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng trịn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a)) Chøng minh r»ng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
c) Chøng minh BAF tam giác cân
d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi Gi ý :
a) Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (vì hai góc kề bù).
AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (vì hai góc kề bù).
=> KMF + KEF = 1800 Mà KMF KEF hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp
b)Ta có IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vng A có AM IB ( theo trên) áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => AI2 = IM . IB.
c)Theo giả thiết AE tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do )
……
=> ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1)
Theo trờn ta có AEB = 900 => BE AF hay BE đờng cao tam giác ABF (2). Từ (1) (2) => BAF tam giác cân B
d)BAF tam giác cân B có BE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm AF (3)
Tõ BE AF => AF HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác HAK (5)
T (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm HK (6)
(5)6 Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khơng trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC
a)Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đờng trịn ngoại tiếp tứ giác b)Chứng minh MP + MQ = AH
c)Chøng minh OH PQ Gợi ý :
a) Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt)
=> AQM = 900 nh P Q nhìn BC dới góc 900 nên P Q nằm đờng tròn đờng kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp
* Vì AM đờng kính đờng trịn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM
b) Ta cã SABM + SACM = SABC =>
2AB.MP +
2AC.MQ =
2BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH
c) Tam giác ABC có AH đờng cao nên đờng phân giác => HAP = HAQ => HP HQ ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đờng cao => OH PQ
7 Cho ABC tam giác cạnh 1.Trên AC lấy điểm D, E cho góc ABD góc CBE 20o Gọi M trung điểm BE N điểm nằm cạnh BC cho BN = BM.
Tính tổng diện tích hai tam giác BCE BEN Gọi ý :
* Vẽ BH vng góc với AC H => HA = HC * Ta có góc DBE = 20o
* chứng minh tam giác BAD BCE => BD = BE => tam giác BDE cân B * Chứng minh tam giác BMN DBE đồng dạng
=> SBMN =
4 SBDE
* Ta có : SBEN = SBMN = ½ SBDE = SBEH
=> SBCE + SBEN = SBCE + SBEH = ½ SABC = ………
IV Bài tập tự luyện
1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), xy tiếp tuyến A đường tròn Một đường thẳng song song với xy cắt Â, AC D, E Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp
2 Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Đường trịn đường kính BC cawtsw AB, AC E F BF CE cắt H
a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC
b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp
3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròng (O) Từ điểm đường trịn hạ đường vng góc xuống cạnh Chứng minh chân ba đường vng góc thẳng hàng Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC Tia phân giác góc BAC cắt đường trịn D
a) Chứng tỏ OD vng góc với BC
(6)5 Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O,R) Kẻ đường cao BD, CE tam giác, hai đường cắt H Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) M, N cắt BC K
a) Chứng minh góc AED ACB b) Chứng minh AM = AN
c) Chứng minh KE.KD = KB.KC
d) Cho góc A 60o Tính diện tích tứ giác ADOE theo R
6 Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O,R) Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi K điểm đối xứng với H qua BC
a) Chứng minh tứ giác ACKB nội tiếp
b) Kẻ đường kính AA’ (O) Chứng minh AA’ vng góc với EF c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, I, A’ thẳng hàng d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh S AHG = 2S AOG
(7)