Các chuyên đề hình học luyên thi vào PTTH

Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định.. Vậy tam giác DEF cân khi và chỉ khi P nằm trên các đường trung trực

VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB C là một điểm trên đường tròn Tiếp tuyến tại A và C

của (O) cắt nhau tại P CH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc AB), M là trung điểm của CH Chứng minh rằng B, M, P thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC lần

lượt tại D, E BO cắt DE tại F Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC Chứng minh rằng F, M,

N thẳng hàng

Bài 3:Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC lần

lượt tại D, E BO cắt DE tại F M, N là trung điểm của AC và BC MN cắt DE tại F Chứng min B,

O, F thẳng hàng

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, đường cao AH Đường tròn

(O) cắt đường tròn (A; AH) tại P và Q Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB, AC Chứng minh rằng

4 điểm P, Q, D, E thẳng hàng

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm trên cung BC không chứa A Gọi

D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB

a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng

b) Gọi I, J, K lần lượt là các điểm đối xứng của M qua D, E, F Chứng minh rằng I, J, K cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực tâm H của tam giác ABC

Bài 6: Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến SA, SB đến

đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm) D là một điểm trên đường tròn (O) ( D khác A và B) SD cắt (O) tại điểm thứ hai là E Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại D và E cắt nhau tại một điểm thuộcđường thẳng AB

Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC tại E và D Tiếp

tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại S Gọi H là giao điểm của BD và CE

a) Chứng minh A, S, H thẳng hàng

b) SB cắt (O) tại K Chứng minh 3 đường thẳng DE, AH và CK đồng qui tại một điểm

Bài 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB C là một điểm thuộc đường tròn Vẽ

Đường tròn đường kính CH cắt (O) tại F, cắt AB, AC lần lượt tại D và E Chứng minh 3 đường thẳng CF, AB và DE đồng qui

Bài 9: Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB của (O)

(A, B là hai tiếp điểm) M là một điểm trên cung nhỏ AB (MA < MB) Qua M vẽ tiếp tuyến với (O)cắt SA, SB tại P và Q Đường tròn (I) nội tiếp tam giác SPQ tiếp xúc với SP , PQ tại D và E Chứng minh rằng 3 đường thẳng DE, AM và SO đồng qui

Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần

lượt tại E và D

a) Chứng minh rằng AD AC = AE AB

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của AH và BC Chứng minh

c) Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là hai tiếp điểm Chứng minhd) Chứng minh M, H, N thẳng hàng

Gợi ý :

1 Có nhiều cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng tuy nhiên các bạn có thể dùng phương pháp

sau:

Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh trong đó B, C cùng phía đối với

AD Suy ra tia AB và AC trùng nhau hay A, B, C thẳng hàng

Hoặc có thể dùng phương pháp trùng khít: Dựng đường thẳng qua A và C, cắt đường chứa B tại B’ Sau đó chứng minh B và B’ trùng nhau…

Trên đây chỉ là một vài ý giúp bạn giải tốt dạng toán này

2 Bài 1: BC kéo dài cắt AP tại Q Chứng minh P là trung điểm AQ Gọi M’ là giao điểm của BP và

CH Chứng minh M’ là trung điểm của CH

Bài 2: Chứng minh tứ giác EFCO nội tiếp, suy ta Chứng minh FN

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

và MN song song với AB

Từ (1) và (2) suy ra P, A, B thẳng hàng

4 Bài 6: Gọi I là giao điểm của DE và AH Chứng minh K, I, C thẳng hàng.

Gọi F là giao điểm của AH và BC

Chứng minh

Suy ra tứ giác BKIF nội tiếp, suy ra

Mà

Suy ra điểu cần chứng minh

5 Bài 8: Gọi K là giao điểm của DE và SO Chứng minh K, M, A thẳng hàng.

Chứng minh IKEQ nội tiếp (giống bài 2)

Chứng minh IPOQ nội tiếp

Chứng minh KM// PI và MA // PI

Suy ra điều cần chứng minh

6 Bài 9 là bài khó nhất, khi chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng! Em đã tìm được PP chứng

minh, nhưng nó quá dài dòng, mong Thầy post lên pp ngắn gọn nhất em cảm ơn Thầy!

7 Chứng minh được là hay rồi, đôi khi cách dài dòng nhưng mình tốn thời gian ít, còn cách ngắn

gọn nhưng tốn thời gian nhiều và đôi khi không có lợi trong khi thi

Bài 9: d) Chứng minh

Suy ra

PS: Ý tưởng này thì thầy cũng nói ở đầu rồi, rất hay sử dụng

8 Bài 7: Gọi O là giao điềm của CF và AB và I là trung điểm của CH Chứng minh ( chứngminh I là trực tâm tam giác OCP)

Chứng minh

Suy ra P thuộc DE

CHUYÊN ĐỀ 2 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK ĐẾN CÁC BÀI TOÁN THI HSG

Trong SGK hình học lớp 9 có bài toán sau đây:

Bài toán 1:

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D Chứng minhMA.MB = MC.MD

Gợi ý: Chứng minh bài toán này không khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm ngoài và nằm

trong đường tròn (O) Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác MAC và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy ra kết quả cần chứng minh

Qua bài toán này ta có thể chứng minh bài toán sau:

Bài toán 2:

Nếu M không nằm trên đường tròn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại A và B Khi đó tích MA MB không đổi và bằng

Gợi ý: Chứng minh bài toán 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D Sau đó chứng

minh tương tự bài toán 1 ta được kết quả

cùng xét các bài toán sau:

Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 - 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm

trong đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N Chứngminh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O

Gợi ý:

Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO Ta có

không đổi vì A và (O) cố định Hơn nữa P thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định

Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung cố định và E là

trung điểm của AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OE tại P và Q Chứng minh rằng tích AP AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định

Gợi ý:

Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của (O; OE) Ta

Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB Khi đó ta có:

không đổi Suy ra I là điểm cố định

Bài toán 5: (HSG Q Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tuyến

ABC (B, C thuộc (O)) Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định

Gợi ý:

Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO Tương tự như hai bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE

Bài tập Bài 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O) M là một điểm thay đổi trên d, từ M vẽ

hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm) Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn AB là đường kính thay

đổi SA, SB cắt (O) tại C và D

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định

b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó Một đường tròn (O) thay đổi luôn

đi qua A và B CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm) Chứng minh rằng:

a) P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định

b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định

CHUYÊN ĐỀ 3 : BÀI TOÁN TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG Bài toán 1: Cho tam giác ABC, M là một điểm thuộc đường thẳng BC.

Hệ quả 2: Cho tam giác ABC, và một điểm M bất kì Khi đó nếu thì hoặc

AM đi qua trung điểm của BC

Hệ quả 3: Cho tam giác ABC, G là một điểm bất kì Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC khi và

Chú ý: Kết quả của bài toán vẫn còn đúng nếu D, E thuộc đường thẳng AB và AC.

Hệ quả 1: Nếu hai tam giác ABC và MNP có hoặc thì

ABC và tam giác MNP đồng dạng thì:

Trên đây là một vài kết quả về diện tích mà cách chứng minh đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng khá hay Sau đây là một vài ví dụ.

Bài 1: Cho tam giác ABC M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AC = AN

Gọi K là giao điểm của BN và CM Chứng minh KC = 4KM

Bài 3: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE và ACFG có diện

tích bằng nhau Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC Chứng minh OC đi qua trung điểm của DF

Hướng dẫn giải:

Ta cần chứng hai tam giác OCD và OCF có diện tích bằng nhau Vẽ Vẽ OH, OK lần lượt vuông góc với CD và CF(H thuộc CD, K thuộc CF) Ta chứng minh được Từ đó suy ra:

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

và

Mà nên ta có: Từ đó ta có: OC đi qua trung điểm của DF

Bài 4: Trên các cạnh AB, AB, AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy các điểm M, N, P

Dấu bằng xảy ra khi k = 1

Vậy diện tích tam giác MNP lớn nhất bằng diện tích tam giác ABC khi k = 1

Bài tập làm thêm Bài 1: Chứng minh lại các hệ quả đã nêu ở phần 1 Tìm các cách chứng minh khác.

Bài 2: Cho tam giác ABC có Đường cao BH và CK Chứng minh rằng

Bài 3: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho: AB = 3AM, AC =

3CN BN và CM cắt nhau tại O, AO cắt BC tại P.Tính

Bài 4: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB

tại M, N, P Chứng minh rằng: (Định lí Ceva)

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BC = a AD, BE và CF là các đường phân giác

trong

a) Tính BD, CD theo a, b, c

b) Tính diện tích tam giác DEF theo a, b, c và diện tích tam giác ABC

c) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC lớn hơn 4 lần diện tích tam giác DEF

d) Phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát

Bài 6: Cho tam giác ABC, G là một điểm nằm trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của

G trên BC, AC và AB Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm M, N, P sao cho Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác MNP

thẳng AB, AC và BC tại D, E, F Chứng minh rằng:

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có AB = 6cm Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 2CM Đường thẳng

qua B vuông góc với DM tại H cắt CD tại K Tính diện tích tam giác CKH

CHUYÊN ĐỀ 4 : BÀI TOÁN CỰC TRỊ CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định M là điểm di chuyển trên cung lớn AB, H là

hình chiếu của M trên AB Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất Giải bài toán trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB

Hướng dẫn giải:

Vẽ OI vuông góc với AB (I thuộc AB) Ta có Dấu ” =” xảy ra khi và chỉkhi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB

Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB

Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB

Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ AB Tìm

Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB

Trên đây là hai bài toán cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài toán trên ta có thể giải các bài toán sau:

Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định C là điểm thay đổi trên cung lớn AB Gọi H là

trực tâm của tam giác ABC Tìm vị trí của C để chu vi, diện tích tam giác HAB có giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho đường tròn (O) và AB là dây cố định Tìm điểm C thuộc cung lớn AB sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Chứng minh rằng trong các tứ giác nội tiếp đường tròn (O) thì hình vuông có chu vi lớn nhất Bài 4: ( CT NK 2007 - 200

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A Hạ

AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC

a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

b) Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy một điểm M.Đường tròn

tâm D qua M và tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm E qua M tiếp xúc AC tại C cắt nhau tại I.a) Tìm vị trí của M để DE có giá trị nhỏ nhất

b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn nhất

CHUYÊN ĐỀ 5 : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có các cách sau:

Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối bằng

Cách 2: Chứng minh góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối.

Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh hai góc bằng nhau.

Cách 4: Chứng minh 4 đỉnh cách đều một điểm.

Các cách trên chủ yếu là các cách chứng minh dựa vào các chứng minh về góc Ngoài các cách trên chúng ta có một vài điều kiện đủ khác để một tứ giác là tứ giác nội tiếp Chúng ta xét bài toán sau: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và

BC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD

b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA ID = IB IC

Gợi ý: Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội

tiếp : đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh.

Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:

Bài 2: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B

và C Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn

Từ đó ta có , theo bài 1 ta có điều cần chứng minh

Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với

AC tại C Gọi H là giao điểm của OA và BC Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H Chứng minh rằng tứgiác ADOE nội tiếp

Hướng dẫn giải

Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có:

Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có

Bài tập Bài 1: Cho đườn tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn Hai dây cung AB và CD cùng đi

qua I Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q Gọi M là giao điểm của OQ và CD, N là giao điểm của OQ và AB Chứng minh:

a) Tứ giác MNPQ nội tiếp

b) OI vuông góc với PQ

Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD ( AB//CD) Gọi O là trung điểm của AD Đường thẳng qua A

vuông góc với OB cắt đường thẳng qua D vuông góc với OC tại K Chứng minh OK vuông góc với BC

CHUYÊN ĐỀ 6 : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ta dùng các cách sau đây:

Cách 1 : Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R Hay nói cách khác ta vẽ , chứng minh

Cách 2: Nếu biết d và (O) có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh

Trên đây là hai cách chủ yếu, ngoài ra còn có các cách sau.

Cách 3: Cách này dựa trên bài toán phụ sau:

• Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia Ax thỏa (Ax cùng phía với tia

AC đối với đường thẳng AB) Khi đó Ax là tia tiếp tuyến của (O)

Cách này thường dùng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cách 3 trên là một ví dụ cho phương pháp chứng minh trùng khít - một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các bài toán đảo Và phương pháp này cũng được dùng nhiều trong các bài toán chứng minh tiếp tuyến.

Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O) đường kính AB C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc với (O) khi C thay đổi

Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F BF

và CE cắt nhau tại I Gọi M là trung điểm AI Chứng minh: MF là tiếp tuyến của (O)

Giải: Ta thấy F là giao điểm của MF và (O) Ta sẽ sử dụng cách 2 để chứng minh Tức là ta cần

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

Ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC

Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI, suy ra tam giác MFA cân tại M,

Ta cũng có:

(Tam giác OCF cân tại O)

MF là tiếp tuyến của (O)

CHUYÊN ĐỀ 7 : CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI 10 CHUYÊN TOÁN

Bài 1:

a) Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua

A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M, N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định

b) Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d không cắt đường tròn I là điểm di động trên d Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M và N Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P Ta dễ dàng chứng minh được

AO AP = AM AN

Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường tròn tại D và E Ta chứng minh được

Khi đó

AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định

Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định

b) Đường tròn đường kính OI cắt (d) tại H Khi đó ta có Suy ra H cố định

Ta có (O) và đường tròn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung trực của MN

Gọi K là giao điểm của MN và OI Khi đó tam giác IOM vuông tại M có MK là đường cao nên:

MN cắt OH tại Q Ta có

không đổi

Q thuộc tia OH và OQ không đổi nên Q là điểm cố định Vậy MN luôn qua điểm Q cố định

Bài 2: Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác Hạ BD, PE, PF lần lượt vuông

góc với AB, BC và AC Tìm tập hợp các điểm P sao cho DEF là tam giác cân

Hướng dẫn giải

Ta có tứ giác PEBD nội tiếp đường tròn đường kính BP Vẽ đường kính EI của (PEBD) Suy ra

.Tam giác EDI vuông tại D nên ta có

Chứng minh tương tự ta có

Tam giác DEF cân khi và chỉ khi DE = DF, ED = EF hoặc FD = FE PA = PB, PB = PC hoặc PC =

PA P thuộc các đường trung trực của AB, BC hoặc AC

Vậy tam giác DEF cân khi và chỉ khi P nằm trên các đường trung trực của AB, BC và AC của tam giác ABC (Phần nằm trong tam giác ABC)

Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O( AB < BC) Vẽ đường

tròn tâm I qua 2 điểm A và C cắt các đoạn AB, BC lần lượt tại M, N Vẽ đường tròn tâm J đi qua 3 điểm B, N, M cắt đường tròn (O) tại điểm H Chứng minh rằng

a) OB vuông góc với MN

b) IOBJ là hình bình hành

c) BH vuông góc với IH

Hướng dẫn giải

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

a) Vẽ tiếp tuyến Bx của (O) Chứng minh Bx // MN

b) Vẽ tiếp tuyến By của (J), chứng minh By // AC Suy ra

Ta có OI là đường trung trực của AC, suy ra

Và IJ là đường trung trực của MN, suy

Tứ đó ta có: BJ// IO (cùng vuông góc AC) và OB // IJ (cùng vuông góc MN)

Suy ra tứ giác BJIO là hình bình hành

c) Gọi G là giao điểm của BI và OJ, suy ra G là trung điểm của BI

Ta có OJ là đường trung trực của BH (B, H là giao điểm của (O) và (I)), mà G thuộc OJ nên GB =GH

Trong tam giác BHI có HG là trung tuyến và nên BHI vuông tại H

Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

thoả mãn hệ thức Hãy định dạng tam giác ABC

Từ đó ta có tam giác ABC là tam giác vuông cân

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM Vẽ đường

tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D khác E và khác điểm A)

a) Chứng minh D, E, H thẳng hàng

c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

(O) Tứ giá AMOH là hình gì?

d) Cho Tính diện tích tam giác HEC theo a

Hướng dẫn giài

a) Ta có nên DE là đường kính của đường tròn (H; HA) Suy ra D, H, E thẳng hàng.b) Tam giác HAD cân tại H nên

Trong tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến nên , suy ra tam giác MAC cân tại M, từ đó

Hơn nữa ( cùng phụ với góc ABC)

Từ đó ta có:

c) Theo câu b thì ta có

Suy ra tứ giác BECD nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông)

Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D

Vì M, H là lần lượt là trung điểm của DE và BC nên

Mà

Suy ra AM // OH và OM // AH, suy ra tứ giác OMAH là hình bình hành

d) Trong tam giác vuông AHC có:

Tam giác AHE cân tại H có nên là tam giác đều, suy ra AE = AH = a, suy ra EC = AC - AE = a

Vậy

Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng đáy lớn AB M là trung điểm

của CD Cho biết Tính các góc của hình thang

Hướng dẫn giải

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

Ta có AC = BD nên ABCD là hình thang cân, suy ra $latex \widehat{DAB} =\widehat{ABC}

Mà

Nên ta có:

Gọi N là trung điểm của AD, ta có MN là đường trung bình của tam giác DAC, suy ra

Từ đó ta có tứ giác NABM là tứ giác nội tiếp, suy ra

Mặt khác tam giác ADB cân tại B có BN là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, do đó:

Suy ra

Tam giác AMN vuông tại M có MA = MB (t/c đối xứng trục của hình thang) nên là tam giác vuông cân, suy ra

Tam giác ABC cân tại A, suy ra

$latex =\widehat{MBC} + 2 \widehat{MBC} + 2 \widehat{ABM}$

Suy ra

Từ đó ta có

Và

Bài 7: Cho đường tròn (O), bán kính bằng 1 Tam giác ABC thay đổi luôn ngoại tiếp (O) Một

đường thẳng qua O cắt các cạnh AB, AC tại M và N Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giácAMN

Hướng dẫn giải

Khi đó ta có

Và

Ta có

Suy ra

Dấu ” =” xảy ra ra tam giác ABC vuông tại A và MN vuông góc với AO

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN bằng hai

Bài 8: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có AB < AC Lấy điểm M

thuộc cung BC không chứa A Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của A trên BC, AB, AC

Suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất khi MH đạt giá trị lớn nhất, khi đó M là điểm chính giữa cung BC

Bài 9: Cho tam giác đều ABC có cạnh a Hai điểm M, N lưu động trên hai đoạn AB và AC sao cho

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

a) Trong hai góc có ít nhất một góc nhọn, do đó ta có thể giả sử nhọn Vẽ

, khi đó O nằm giữa AN

M trùng M’ và N trùng N’ Vậy MN là tiếp tuyến của (O)

Bài 10: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho

Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E Tính AE theo a, b

Hướng dẫn giải

Ta có suy ra C nằm giữa B và E.

Đặt

Ta có

Và (Góc ngoài bằng tồng hai góc trong không kề)

Mà + (AD là phân giác của góc A)

+ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó)

Từ (1) và (2) ta có phương trình :

Vậy

Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua O cắt đường tròn tại A và B Từ một

điểm M di động trên đường thằng (d) và nằm ngoài (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với (O) (N, P làhai tiếp điểm)

a) Chứng minh

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua một điểm cố định khi M lưu động trên đường thẳng (d)

c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông

d) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP luôn di động trên một đường cố định khi M lưu động trên (d)

Hướng dẫn giài

a) Ta có (MN là tiếp tuyến của (O))

Và (MP là tiếp tuyến của (O))

Suy ra tứ giác ONMP nội tiếp, khi đó ta có

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

b) Vì tứ giác ONMP nội tiếp nên O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Vậy khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua O cố định

c) Ta có MN = MP (t/ tiếp tuyến) và ON = OP (1) suy ra OM là đường trung trực của NP, do đó

Tứ giác ONMP có hai đường chéo vuông góc nhau nên để là hình vuông khi và chỉ khi

nó là hình thôi, do (1) nên điều này tương đương với MN = OM tam giác MON vuông cân tại N

d) Gọi I là giao điểm của OM và (O) Ta có MI là phân giác của (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì I thuộc OM đường trung trực của NP nên ta có IN = IP, suy ra tam giác INP cân tại I

Mặt khác (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó)

Do đó NI là phân giác góc MNP

Vậy I là giao điểm hai đường phân giác của tam giác NMP nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

và I thuộc (O) cố định

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O Trên cung AC không chứa B

lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E, các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D Chứng minh ED song song với AC

Hướng dẫn giải

Ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

và (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà (tam giác ABC cân tại B)

Do đó suy ra tứ giác DEMK nội tiếp

Mặt khác (góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

Nên ta có mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R) Về phía ngoài tam giác dựng tam

giác đều ACD BD cắt đường tròn tại E và cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M

a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp

b) Tính DE theo R

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB = AC, OB = OC nên AO là đường trung trực của BC nên cũng là đường cao và là đường phân giác góc A.

Xét tam giác AOC và tam giác DEC có:

+ (ADCM là tứ giác nội tiếp)

Suy ra

Bài 14: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có và AC cắt BD tại I Biết rằng

IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm

a) Chứng minh tam giác ABC cân

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính độ dài đoạn MN

c) Gọi P là giao điểm của IO và MN Tính độ dài đoạn PN

Hướng dẫn giải

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

Tam giác IAB vuông tại I, theo định lý Pytagore ta có:

Tam giác ABC có AB = AC (=10cm) nên là tam giác cân tại A

b) Gọi E là trung điểm của BC

Vì M, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên ME là đường trung bình của tam giác ABC

Vì N, E lần lượt là trung điểm của CD, BC nên NE là đường trung bình của tam giác BCD

Ta có:

Và

Tam giác MEN vuông tại E, theo định lý Pytagore ta có:

c) IN cắt AB tại S

Tam giác ICD vuông tại I, IN là đường trung tuyến nên IN = DN, cân tại N

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Chứng minh tương tự ta cũng có NO // IM

Tứ giác IMON có NO // IM, MO // IN nên là hình bình hành P là trung điểm của MN

Do đó

Bài 15: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi Vẽ tiếp tuyến

(d) của (O) tại B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD

c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP Chứng minh E luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định khi CD thay đổi

Hướng dẫn giải:

c) Vì CDQP là tứ giác nội tiếp nên tâm E của đường tròn ngoại tiếp cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDQP.

Ta có I là trung điểm PQ, suy ra

O là trung điểm của CD, suy ra

Mà ta có (PQ là tiếp tuyến của B tại B)

và (câu b)

Từ đó ta có: , suy ra tứ giác AOEI là hình bình hành Suy ra EI = AO = R

Ta có , suy ra E nằm trên đường thẳng song song với PQ và cách PQ một khoảng

R (đường thẳng này khác phía với A đối với đường thẳng PQ)

Bài 16: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi K là trung điểm cung AB M là điểm lưu động

trên cung nhỏ AK (M khác A và K) Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho: BN = AM

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh tam giác MNK vuông cân

c) Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại D Chứng minh MK là đường phân giác của góc d) Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn giải:

a)Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Và KA = KB (K là trung điểm cung AB)

CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

Suy ra tam giác KAB là vuông cân tại K

Suy ra tam giác KMN vuông cân tại K

c)Ta có $latex\ widehat{AMB} = 90^o$(góc nội tiếp chắn nửađường tròn), suy ra

Vì tam giác vuông cân tại K nên

Từ đó

Suy ra MK là phân giác của

d) Gọi I là giao điểm của AK và đường thẳng qua N vuông góc với MB

Tứ giác KIBN có , suy ra KIBN là tứ giác nội tiếp

Khi đó ta có:

Tam giác ABI có

và Vì A, B cố định, I cùng nửa mp bờ AB chứa K nên I cố định

Vậy đường thẳng qua N vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định I

Bài17: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi (CD không

trùng AB) Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) lần lượt tại

P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Vì PB là tiếp tuyến của (O) nên ta có

Suy ra: (cùng phụ với

Ta lại có: (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Từ đó suy ra: tứ giác PCDQ nội tiếp (Góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)b) Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Tam giác APQ vuông tại A có AI là trung tuyến nên ta có: , suy ra tam giác IAQ cân tại I

Hơn nữa ta có: (cmt)

Suy ra:

Suy ra:

Bài 18: Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O), hai điểm C, D lưu động trên

cung lớn AB sao cho AD//BC (AD > BC) Gọi M là giao điểm của DB và AC Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I

a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng

b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: IA = AD (1)(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

OA = OD (2)(A, D thuộc đường tròn (O))

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên :

Vì AD //BC nên

Suy ra:

Tứ giác ABCD có AD//BC và nên là hình thang cân, suy ra: AC = BD và DC =

, suy ra tam giác MAD cân tại M, suy ra MA = MD (3)

Từ (1), (2) và (3) Ta có 3 điểm I, O, M cùng nằm trên đường trung trực của AD nên thẳng hàng.b) Ta có (c.c.c) suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB

Ta có ( góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Tam giác MCD cân tại M nên ta có:

Từ (4) và (5) ta có: , suy ra tứ giác AOMB nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) Từ đó ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB cũng là bán kínhđường tròn ngoại tiếp tam giác AOB Vì A, O, B cố định nên bán kính đó không đổi

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB nên không đổ

Bài 19: Cho đường tròn tâm O Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MC, MD với

(O) (C, D là các tiếp điểm) Vẽ các tuyến MAB không đi qua O, A nằm giữa A và B Tia phân giáccắt AB tại E

a) Chứng minh MC = ME

b) Chứng minh DE là phân giác của

c) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh O, I, C, M, D cùng thuộc một đường tròn