Các chuyên đề cơ bản luyện thi vào 10

Cùng lúc đó một chiếc thuyền khởi hành từ B đến A và sau 5 giờ thì gặp chiếc bè.. Tính khoảng cách từ C đến A và tỷ số vận tốc của 2 người biết rằng đoạn AB dài 2 km.. Hỏi đoạn đường dài

Chuyên đề 1: CĂN THỨC

1 Cho 2   3  3

2

2 1

P

x



 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi 1

2

x  Từ đó tính  sao cho sin P

2 Cho A x 1 : 2 1





a) Rút gọn A và nêu điều kiện của x để A có nghĩa.

b) Coi A là một hàm số với biến x Vẽ đồ thị hàm số A

A

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa

b) Tính x nếu 6 6

5

c) Chứng minh rằng : 2

3

A  là bất đẳng thức sai.

9

A

x



a) Rút gọn A

b) Tìm điều kiện của x để A   A

c) Tìm x để A2 40A

2 2

         

a) Rút gọn B

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B khi a thay đổi

6 Cho

3

2 4

1 1

A

m



Rút gọn A rồi tính giá trị của A khi m 2 23

7 Cho A x   2x 2 2x 1 2x 8 6 2x 1

a) Tìm đoạn a b sao cho ;  A x có giá trị không đổi trên đoạn đó. 

b) Tìm x sao cho A x    4

8 Cho 16 2 x x 2  9 2 x x 2  Tính : 7 A 16 2 x x 2  9 2 x x 2

9 Cho A x4 x 4  x 4 x 4.

a) Tìm x để A 4

b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất

10.Cho 3 2 3 , 3 6 3

2 2 2 4 2 2 2 4

    Tính M xy x 2  y2 11.Rút gọn các biểu thức sau :

8 41 , 2 3 5 13 48

6 2

45 4 41 45 4 41



3

8 3 5 64 12 20 8 3 5

57

A

9 2 2 9 9

Chứng minh : A B  12

13.Chứng minh các biểu thức sau là một số vô tỷ :

2 3 6 8 4

  2 3 : 2 1

6 3 2 1

  

1 7 24 7 24 1

Chứng minh : A là một số nguyên

15.Rút gọn biểu thức : 1 1 1

1 Giải các phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn số phụ thích hợp :



2

      

      ; x2  4x3  x2  6x8 15



90

     

; 3 x 3 2x 3312x 1



2

2 2

x

x  x  x    x  1   4 3 4  1 18 0

4

x

x



 2x2  3x1 2  x2 3x1 9x2 x2  16x64 2 x2  8x16 x2  0

 1 x x22 5 1 x2x4 6 x4 8 x4 16

 x3 2 23 x 1 1 0  5  5  3  3

2



 3 x 18 x7 5

 418 x 4 x 1 3 2 2

x  x  x  x 

   

   

2 Tìm các nghiệm nguyên x y hoặc ,  x y z của các phương trình và hệ phương trình dưới , , 

đây:

 x2 y y 1  y2  y3 2 2

x y z

  





   



 2 2 2 3

1

x y z

  





  



2xy x y  83

 xy zx yz 3

z  y  x 

2

2x  2xy 5x y  19

3 Giải các phương trình, hệ phương trình khác dưới đây:

 1 1 2

2 2

x   x  4 x2  1 4 x  x2 y2  2y 3  x4  16 y5.

 2x4  21x374x2  105x50 0

    







    





  



2 15 4 12 45 24 0







 x33 m x 2 m 9x m 2  6m 5 0 x y z4 4 41

  





  





0 3 2

x y z

xy yz zx

xyz

  





  



 



3 2

x xy y

x y xy

  







2

2

3 10

y xy





 



16 15 7

xt yt

xy yt

xy xt

 





 



  





1

xy yz zt tx

    



   









 3x 3  x3  5x 2 x4 54 5  x 12

 x 1  x2  x 6  x 3 34



  







 x 2x 5 2  x 3 2x 5 2 2 2  4x5  x6  x10  x12 3x2

 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2x6  2x y y3  2 64

 Phân tích biểu thức x2  x xy 2y2 2y thành nhân tử Từ đó giải hệ :

1





 



 Tìm các số nguyên a b c, , thỏa mãn điều kiện :

3

1

a b

 



  



   



 Tìm các số nguyên a b, để x  1 3 là nghiệm của phương trình sau :

3x3ax2 bx12 0

 Giải phương trình : x4  4x2 8x  3 0

 Cho phương trình : x1  x2  x3  x4 m

Biết rằng phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x x x x Chứng minh :1, , ,2 3 4

x x x x1 .2 3 4 24 m

Chuyên đề 3: BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ MIN, MAX

1 Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh :

ab bc ca a   2b2 c2 2ab bc ca  

Khi nào có đẳng thức xảy ra ?

2 Giả sử x z y z z ;  ; 0 Chứng minh : z x z    z y z    xy

3 Cho xy 0 và x y 1 Chứng minh :  4 4 1

xy

  

4 Cho 3 số phân biệt a b c, , Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số sau đây là số dương :

xa b c  2  9 , ab ya b c  2  9 , bc ya b c  2  9ca

5 Chứng minh rằng : nếu a b, thỏa mãn : a b 1; ,a b0 thì 4 4 1

8

a b 

6 Chứng minh : x10 y10  x2  y2  x8  y8  x4  y4

7 Chứng minh rằng : nếu a b c, , là các số đôi một khác nhau và a b c  0 thì

P a 3b3 c3  3abc0

8 Chứng min rằng :

9 25   2n1  4 nếu n là số tự nhiên.

9 Chứng minh rằng nếu p q , 0 thì :

2 2

pq

p q





10.Chứng minh rằng : 12 1 1

1

k  k   k với k, k 2 Từ đó suy ra :

1 12 12 12 2 1

      (2 n  ) 11.Cho hai số x y, thỏa mãn : x y và xy 1 Chứng minh :

2 2

2 2 0

x y



 12.Cho ABC có các cạnh thỏa mãn : a b c  Chứng minh : a b c  2 9bc

13.Ba số dương a b c , , 2 Chứng minh rằng 3 số a2 b b , 2 c c , 2 a không đồng thời lớn hơn 1

14.Ba số dương a b c, , thỏa mãn a b c  Chứng minh :

b c

a b  a b  a c  a c 15.Cho x y , 0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P 1 12 1 12

     

16.Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số : y  x 2002  2003 x

17.Cho

2

2

2 2000

M

a

 

 (a 0) Tìm a để M đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó 18.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của :

2

2

8 7 1

M

x

 



 19.Các số a b c, , thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 72

13

x a b c

   





   

 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x

20.Tìm cặp số a b thỏa mãn đẳng thức : ,  a 1.b2  b a 1 sao cho a đạt giá trị lớn nhất 21.Cho P x 6 27, Q x 4  3x36x2  9x9

a) Rút gọn biểu thức y P

Q

 b) Tìm x để y có giá trị nhỏ nhất

22.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

2

2

18 48 52

9 24 21

y



23.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

 22 1

2

x y

x





3

y

x x



   24.Với giá trị nào của a b, thì : M a2 ab b 2  3a 3b2003 đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

25.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất A x 6  y6 biết x2  y2 1

26.Cho các số dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x2  y2 z2 1 Chứng minh :

1

y  z  x  .

27.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức :

 

4

2 2

1 1

x A x





 28.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :  

2

2 2 2002

x

f x



29.Chứng minh rằng : a2 b2 c2 ab bc ca  a b c, ,

30.Chứng minh rằng : x4 y4 z4 xyz x y z   

1 Cho

2

5 ,



     Với giá trị nào của a b, thì P Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng

2 Cho

2 2 13

1

2 1

x



Tìm A B C D E, , , , để đẳng thức trên đúng với mọi 0x4.

3 Cho A n 5  n; với n 

a) Phân tích A thành nhân tử

b) Tìm n để A 0

c) Chứng minh rằng : A chia hết cho 30

4 Chứng minh rằng : nếu x y, là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2  y2 chia hết cho 3 thì cả x y, đều chia hết cho 3

5 Tìm giá trị của p q, để đa thức x 4 1 chia hết cho đa thức x2  px q

6 Cho đa thức A x  x4  14x371x2  154x120 với x 

a) Phân tích A x thành nhân tử. 

b) Chứng minh rằng đa thức A x chia hết cho 24 

7 Cho P x  x1970 x1930 x1890, Q x  x20 x10 1 Chứng minh rằng khi x nguyên thì

 

P x chia hết cho Q x  

8 Tìm tất cả các số nguyên x để x 2 7 chia hết cho x  2

9 Một đa thức chia cho x  2 thì dư 5, chia cho x  3 dư 7 Tính phần dư của phép chia đa thức đó cho x 2 x 3

10.Cho P x  x4  3x2 ax b và Q x  x2  3x4 Với giá trị nào của a b, thì P x chia  

hết cho Q x  

11.Cho biết tổng các số nguyên a a1, , ,2 a chia hết cho 3 Chứng minh rằng : n

A a 13a32  a n3 cũng chia hết cho 3

12.Chứng minh rằng : 7.52n 12.6n

 luôn chia hết cho 19, với mọi số tự nhiên n 13.Tìm các số nguyên a để biểu thức x a x    19933 phân tích được thành 2 đa thức bậc nhất với hệ số nguyên

14.Tìm a b, để phương trình sau có nghiệm là mọi số thực x x, 1,x2

24 7



15.Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x10 x5 1

16.Cho đa thức P x  x5  5 ; x3 x 

a) Phân thức đa thức P x thành nhân tử. 

b) Tìm x để P x triệt tiêu. 

c) Chứng minh rằng P x chia hết cho 120. 

17.Tìm đa thức P x biết rằng khi chia   P x cho   x  1 dư 3; khi chia P x cho   x 1 dư 3, khi chia P x cho   x 2 1 được thương là 2x và còn dư

18.Cho  

1993 1991

A x    Chứng minh rằng : khi x là số nguyên thì A x cũng  

nhận giá trị là số nguyên

Chuyên đề 5: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

1 Cho hai hàm số yf x  x26x5, y g x   2x m Vẽ đồ thị y f x  rồi tìm giá trị của mđể đồ thị hàm số y g x   chỉ có một điểm chung với đồ thị y f x  Trong trường hợp hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm M N Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng

MN

2 Cho hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là nghiệm của phương trình :

x2  2m1x3m 1 0

a) Tìm m để hình chữ nhật trên tồn tại

b) Gọi C S, theo thứ tự là chu vi và diện tích của hình chữ nhật đó Vẽ đồ thị biểu diễn sự

biến thiên của C S, theo m trên cùng một$hệ tọa độ Hai đồ thị của C S, có cắt nhau

không ?

3 Cho hệ tọa độ Oxy và 2 điểm M2; 2 ,   N4; 8 

a) Viết phương trình ba đường thẳng chứa 3 cạnh OMN Chỉ rõ giới hạn của x để trên đường thẳng đó ta được 3 đoạn thẳng là 3 cạnh của OMN

b) Viết phương trình đường Parabol có đỉnh ở O và đi qua M Chứng minh Parabol đó đi qua N

c) Vẽ các đoạn thẳng và Parabol trên cùng một hệ trục tọa độ

4 Cho hệ tọa độ Oxy và 3 điểm A2;5 , B1; 1 ,  C4;9

a) Lập phương trình đường thẳng BC

b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng x2y 7 0; y3 và BC là những đường thẳng đồng quy

c) Chứng minh rằng : A B C, , là 3 điểm thẳng hàng.

5 Vẽ đồ thị hàm số y2x 1 3

6 Cho hàm số  

2

2

1 3;0 2

0;2

y



  





  

 a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A2; 4  tiếp xúc với phần đường Parabol

2 1 2

y x đã vẽ ở trên

7 Cho hàm số y x 2  2k 1x k 2  1

a) Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm x x thỏa mãn : 1, 2 x1 0 x2 và x2  x1 b) Tìm kđể đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm đối nhau qua gốc tọa độ Tìm 2 điểm đó

8 Vẽ đồ thị hàm số 2 3

4

yx 

9 Vẽ đồ thị hàm số y 4 x2 Từ đó hãy suy ra đồ thị hàm số y  4 x2

10.Cho hàm số : y mx 2 nx p

a) Tìm m n p, , biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, và đi qua điểm 2;3 

b) Tìm giao điểm còn lại của đồ thị hàm số với trục hoành

c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x  1 0

11.Cho hàm số : y2m 3x 1

a) Tìm mđể đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 5x3

b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A  1;0.

c) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho và các đường thẳng y1;y2x 5 đồng qui tại một điểm

12.Cho hàm số

2

1

y

x

  



 Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng 1945;1993 

13.Lập phương trình đường thẳng  d đi qua 2 điểm A 1; 1 và B5;7 Tìm m để đường

thẳng y3x2m 9 cắt đường thẳng  d tại một điểm trên trục tung.

14.Vẽ đồ thị hàm số : yx  x 2 Từ đó giải phương trình x  2 x 2

15.Chứng minh các đường thẳng có phương trình : y2m 1x 4m2003 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

16.Cho parabol  : 1 2

4

P y  x và đường thẳng  d :y mx  2m 1 a) Vẽ parabol  P Tìm m để  d tiếp xúc với  P

b) Chứng minh rằng  d luôn đi qua một điểm cố định.

17.Cho hàm số y mx 2 2m 2x  3m1 Chứng minh đồ thị hàm số trên luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Tìm m để đồ thị trên là một parabol Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà không có Parabol nào nói trên đi qua

18.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC Biết phương trình đường thẳng AB là 1 1

2 2

y x ; Phương trình đường thẳng AC: 3x 4y 1 0 và trung điểm cạnh BC là M4;3 Lập

phương trình đường thẳng BC

19.Cho parabol  P y: 3x2 trong hệ tọa độ Oxy Tìm mđể đường thẳng y x m  cắt  P tại

2 điểm phân biệt A B, sao cho OA OB

20.Tìm miền xác định của hàm số : y  x2 5x6 x4  x2

21.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol 1 2

2

y x và điểm I0; 2  và điểm M m ;0 với 0

m  là tham số

a) Vẽ parabol đã cho

b) Viết phương trình đường thẳng  d đi qua 2 điểm M I, Chứng minh rằng  d luôn cắt

parabol đã cho tại 2 điểm phân biệt A B, với độ dài AB 4.

Chuyên đề 6: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán chuyển động

1 Hai bến sông A B, cách nhau 126 km Một tàu thủy khởi hành từ A xuôi dòng về B Cùng

lúc đó có một đám bèo trôi tự do cùng chiều với tàu Khi tàu về đến B liền quay trở lại ngay

và khi tàu về đến A tính ra hết 16 giờ Trên đường trở về A, khi còn cách A 28 km thì gặp lại đám bèo nói trên Tính vận tốc riêng của tàu thuỷ và vận tốc của dòng nước chảy

2 Lúc 9 giờ sáng một chiếc bè trôi tự do từ A đến B dọc theo bờ sông Cùng lúc đó một chiếc thuyền khởi hành từ B đến A và sau 5 giờ thì gặp chiếc bè Khi về đến A, thuyền quay lại

B ngay và về tới B cùng một lúc với chiếc bè Hỏi thuyền và bè có kịp đến B vào lúc 21 giờ ngày hôm đó hay không ?

3 Hai người đi bộ cùng khởi hành từ C để đi đến A và B (C nằm giữa A B, ) Người thứ nhất

đi đến A, người thứ 2 đi đến B Sau khi đến nơi cả hai quay lại ngay và họ gặp nhau ở trung điểm đoạn AB Nếu ngược lại, người thứ nhất đến B và người thứ 2 đến A thì người thứ nhất sau khi đến B quay lại ngay và đuổi kịp người thứ 2 tại A Tính khoảng cách từ C đến

A và tỷ số vận tốc của 2 người biết rằng đoạn AB dài 2 km

4 Một người đi từ A đến B rồi quay lại A ngay mất tất cả 3 giờ 41 phút Đoạn đường AB dài

9 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đường bằng, cuối cùng là một đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đường dài bằng bao nhiêu km, nếu biết vận tốc của người xuống dốc là 4 km/ giờ, lúc đi đoạn đường bằng là 5 km/giờ và xuống dốc là 6 km/giờ

5 Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ A đến B Xe thứ nhất trong số thời gian cần thiết để

đi hết đoạn đường AB thì nửa thời gian đầu nó đi với vận tốc 50 km/h; nửa thời gian còn lại

đi với vận tốc 40 km/h Xe thứ 2 trong nửa đoạn đường đầu nó đi với vận tốc vận tốc 40 km/

h; nửa đoạn đường sau nó đi với vận tốc 50 km/h Hỏi 2 xe đó có đi cùng về đến B một lúc không ?

6 Trên tuyến đường ABCx có 2 người cùng khởi hành từ 2 địa điểm B và D Người ở B đi với vận tốc 20 km/h Người ở C đi với vận tốc 40 km/h Người ở địa điểm A khởi hành sau một giờ và đi với vận tốc 48 km/h Biết AB dài 22 km còn BC dài 42 km Hỏi sau bao lâu người đi từ vị trí A sẽ cách đều người đi từ vị trí B C,

Bài toán công việc

7 Một bể đựng nước có 2 vòi : vòi A đưa nước vào và vòi B tháo nước ra Vòi A từ khi nước cạn tới khi nước đầy (có đóng vòi B) lâu hơn 2 giờ so với vòi B tháo nước tù khi bể đầy tới khi bể cạn (có đóng vòi A) Khi bể nước chứa 1/3 thể tích của nó nếu người ta mở cả 2 vòi thì sau 8 giờ bể cạn nước Hỏi sau bao nhiêu giờ riêng vòi A có thể chảy đầy bể ? Sau bao nhiêu giờ riêng vòi B có thể tháo hết nước trong bể ?

8 Hai vòi nước cùng chảy thì sau 5 giờ 50 phút sẽ đầy bể Nếu để hai vòi cùng chảy trong 5 giờ rồi khóa vòi thứ 2 thì phải trong 2 giờ nữa mới đầy bể Tính xem nếu để mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể ?

Các bài toán khác

9 Để chở một số bao hàng bằng ôtô, người ta nhận thấy nếu mỗi xe chở 22 bao thì còn thừa một bao Nếu bớt đi một ôtô thì có thể phân phối đều các bao hàng cho các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô và tất cả có bao nhiêu bao hàng Biết rằng mỗi ôtô chỉ chở được không quá 32 bao hàng (giả thiết mỗi bao hàng có khối lượng như nhau)

10.Mỗi người dán tất cả tem của mình vào một quyển vở Nếu dán 20 tem trên một tờ thì quyển

vở không đủ để dán hết số tem Còn nếu mỗi tờ dán 23 tem thì ít nhất một tờ trong quyển vở còn bị bỏ trống Nếu giả sử cũng trên quyển vở đó mà trên một tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên quyển vở đó với số tem thực có của người đó là 500 tem Hỏi quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số tem người đó có ?

11.Tìm một số gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của một số gồm hai chữ số còn lại, ta được một có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 765 đơn vị

12.Một trăm con trâu ăn một trăm bó cỏ Trâu đứng mỗi con ăn năm bó, trâu nằm mỗi con ăn ba

bó, trâu già 3 con ăn một bó Tìm số trâu mỗi loại ?

13.Tìm một số có 2 chữ số biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3 Còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được thương

là 3 và dư là 5

14.Hai đội cờ thi đấu với nhau Mỗi đấu thủ của đội này phải đấu một ván với mỗi đấu thủ của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương số đấu thủ của đội thứ nhất cộng với số đấu thủ của đội thứ hai Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ ?

15.Hai đội bóng bàn của hai trường A B, thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh Biết

rằng mỗi đấu thủ của đội trường A phải lần lượt gặp các đối thủ của trường B một lần và số trận đấu gấp 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội Tìm số đấu thủ của mỗi trường

16.Trong một cuộc gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn và toán tham dự Các học sinh giỏi văn tính số người quen của mình là các bạn học sinh giỏi toán và nhận thấy rằng : bạn thứ nhất quen 6 bạn ; Bạn thứ 2 quen 7 bạn ; Bạn thứ 3 quen 8 bạn ; và cứ thế bạn