Bài 1: Cho đường tròn (O;R). S là một điểm nằm ngoài đường tròn sao cho OS = 2R. Vẽ các tiếp
tuyến SA, SB với (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ cat tuyến SDE (D nằm giữa S và E). Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt AB tại H, BE tại K. Chứng minh: HK = HD.
Hướng dẫn:
Vẽ OI vuông góc DE, suy ra I là trung điểm DE.
Ta chứng minh dc A, I, B cùng thuộc đường tròn dk OS, suy ra S,A,I,O,B cùng thuộc 1đường tròn. Suy ra SAIB nt, suy ra <ISB=<IAH.
<IDH=<ISB ( DK // BS do cùng vuông góc OB) nên IADH là tgnt, suy ra <DAH=DIH
<DAH=<DEB ( cùng chắn cung BD) nên <DIH=<DEK, suy ra IH // KE
mà I trung điểm DE (cmt) nên H t/đ DK, suy ra đpcm
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. M la trung điểm AB , O là giao điểm 2 đường chéo. lấy H,K lần lượt
trên cạnh BC, CD sao cho góc HOK = 45 độ. CMR: MH // AK ( giả sử H hay K không trùng C)
Đáp: Bài này khá khó. Ta thử chứng minh các điều sau:
Chứng minh HO là phân giác góc KHB, KO là phân giác góc DKH bằng cách lấy E trên BC sao cho BE = CK.
Chứng minh tam giác DOK và BHO đồng dạng, suy ra DK.BH = DO.BO = BM. AD. suy ra tam giác BMH và DKA đồng dạng, suy ra điều cần chứng minh.
Bài 3: Cho 2 đường tròn ( O ) và ( O’ ) cắt nhau tại 2 điểm fân biệt . Đường thẳng OA cắt ( O ) và
( O’ ) lần lượt tại điểm thứ 2 C , D . Đường thẳng O’A cắt ( O ) và ( O’ ) lần lượt tại điểm thứ 2 E , F .
a) C/m : 3 đường thẳng AB , CE và DF đồng quy tại điểm I . b) C/m : tứ giác BEIF nội tiếp được trong 1 đường tròn .
c) Cho PQ là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( O’ ) ( P thuộc ( O ) , Q thuộc ( O’ ) . C/m : AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ
Đáp:
a) AB, CE, DF là 3 đường cao nên đồng qui tại I.
b) (góc nội tiếp cùng chắn cung AE của (O) Mà (cùng phụ với hai góc đối đỉnh)
hay
Vậy, tứ giác BEIF nội tiếp.
c) Đây là dạng bài toán KINH ĐIỂN ! Gọi H là giao điểm của AB và PQ
Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng. suy ra
Tương tự ta cũng có
Do đó, HP = HQ hay H là trung điểm PQ.
Bài 4: Cho (O;R) và dây cung BC cố định. Hai tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại E. M là trung
điểm BC. Một điểm A di động trên cung lớn BC, AE cắt (O) tại D. CMR: a) AM.MD ko đổi khi A di động trên cung lớn BC
b)
Đáp: Ta xem lại câu b) vì vế trái là bậc 1, vế phải là bậc 2 nên có thề đề sai. Ví dụ cho . A là trung điểm cung lớn BC. Khi đó M, D, A thẳng hàng.
Chỉ cần cho R = 3 là thấy sai ngay. Câu b đúng là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh
Bài 5: Cho tứ giac ABCD nội tiếp với đường tròn tâm (O)
CMR: AB.CD + AD.BC = AC.DB
Gợi ý : 1. Tam giác này vuông tại B thì 3 điểm đó cũng thẳng hàng mà?
Ta thấy là tam giác ABC vuông khi và chỉ khi M, N, K thẳng hàng thì đúng hơn.