Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy Bài 1... 5 điểm Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ng
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Đề thi chính thức Khối 12 THPT - Năm học 2008-2009
Thời gian làm bài: 150 phỳt Ngày thi: 17/12/2008 - Đề thi gồm 5 trang
Điểm toàn bài thi (Họ, tên và chữ ký)Các giám khảo (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi)Số phách
Bằng số Bằng chữ
GK1 GK2
Qui định: Học sinh trỡnh bày vắn tắt cỏch giải, cụng thức ỏp dụng, kết quả tớnh toỏn vào ụ trống
liền kề bài toỏn Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy
Bài 1 (5 điểm) Cho hàm số
3
2 ( )
x
f x
x
Tớnh tổng S f 1 f 2 f 3 f 100
Bài 2 (5 điểm) Tớnh gần đỳng khoảng cỏch giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
2 2
( )
x
f x
Trang 2Bài 3 (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f x( ) 3(sin xcos ) 2 3 s 2x co 2 x3 3
Hướng dẫn: Đặt t sinx cosx
Bài 4 (5 điểm) Cho dãy hai số u n và v n có số hạng tổng quát là:
4 3
n
u và 7 2 5 7 2 5
4 5
n
v (n N và n 1) Xét dãy số z n 2u n3v n (n N và n 1)
a) Tính các giá trị chính xác của u u u u1, , , ;2 3 4 v v v v1, , ,2 3 4
b) Lập các công thức truy hồi tính u n2 theo u n1 và u n; tính v n2 theo v n1 và v n
c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính u n2,v n2 và z n2 theo
1, , 1,
u u v v (n 1, 2, 3, ) Ghi lại giá trị chính xác của: z z z z z3, , , ,5 8 9 10
Trang 3Bài 5 (5 điểm) Cho đa thức g x( ) 8 x318x2 x 6
a) Tìm các hệ số a b c, , của hàm số bậc ba yf x( )x3ax2bx c , biết rằng khi chia đa thức f x( ) cho đa thức g x( ) thì được đa thức dư là r x( ) 8 x24x5
b) Với các giá trị a b c, , vừa tìm được, tính giá trị gần đúng hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( ) đi qua điểm B(0; 3)
Bài 6 (5 điểm)
Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải
Trang 4Bài 7 (5 điểm)
C A P x x với P n là số hoán vị của n phần tử, k
n
A là
số chỉnh hợp chập k của n phần tử, k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x6, x17, x28 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
30
3 5 2
1
x x
Bài 8 (5 điểm)
a) Tìm các số aabb sao cho aabba1 a1 b1 b1 Nêu quy trình bấm phím để được kết quả
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 chữ số cuối đều là chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: 3
777 777
n Nêu sơ lược cách giải.
Trang 5Bài 9 (5 điểm)
Cho 3 đường thẳng d1: 3x y 5 0;d2: 2x 3y 6 0; d3: 2x y 3 0 Hai đường thẳng ( )d1 và ( )d2 cắt nhau tại A; hai đường thẳng ( )d2 và ( )d3 cắt nhau tại B; hai đường thẳng ( )d3 và ( )d1 cắt nhau tại C
a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số)
b) Tính gần đúng hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A của tam giác ABC và tọa độ giao điểm D của tia phân giác đó với cạnh BC
c) Tính gần đúng diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC Kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân
Bài 10 (5 điểm) Cho hình chóp ngũ giác đều có cạnh đáy a = 6,74 cm, cạnh bên b = 9,44 cm
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp
b) Tính gần đúng số đo (độ, phút, giây) của góc hợp bởi mỗi mặt bên và mặt đáy của hình chóp c) Tìm thể tích phần ở giữa hình cầu nội tiếp và hình cầu ngoại tiếp hình chóp đều đã cho
Trang 6
-HẾT -Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
§Ò thi chÝnh thøc Khèi 12 THPT - N¨m häc 2008-2009
Đáp án và biểu điểm Bài 1:
3
2 ( )
x
f x
x
0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( 2 ^ ( ( ALPHA A ) ) ( 3 ln ALPHA A ln 3 + 3 ) Bấm liên tiếp = = = cho đến khi A nhận giá trị 100 thì dừng, đọc kết quả ở biến B: S 52.3967
Sơ lược cách giải hoặc nêu quy trình ấm phím: 2,0 điểm
Bài 2: Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
2 2
( )
x
f x
+ Tính đạo hàm cấp để tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số: TXĐ: R
2
2 2
'( )
f x
f x x x : Hàm số có các điểm cực trị là x1 và x2
Dùng chức năng CALC để tính các giá trị cực trị:
( 2 ALPHA X x2 + 5 ) ( ALPHA X x2 + 3 ALPHA X + 4 ) CALC nhập giả trị
2
= SHIFT STO A cho y 1 6.557106963 , CALC nhập tiếp 1 11
2
= SHIFT STO B cho y 2 0.871464465
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 2 2
d x x y y Bấm máy:
( 11 + ( ALPHA B ALPHA A ) x2 ) = cho kết quả: d 6.5823
Bài 3: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f x( ) 3(sin xcos ) 2 3 s 2x co 2 x3 3
t x x x t
f x x x co x t t g t
g t t t t t
3
g t t t , g t'( ) 0 t1 1.09445053;t2 0.2284251259;t3 0.8660254038
Trang 71, ,2 3 2; 2
t t t
2 3 ALPHA X ^ 4 4 3 ALPHA X x2 + 3 ALPHA X + 3 + 3
CALC nhập vào (-) 2 = ta được g 20.4894101204
CALC nhập vào 2 = ta được g 2 8.974691495
Tương tự, ta có: g t( )1 1.879839877; ( ) 5.065257315; ( ) 4.082531755g t2 g t3
Vậy: Max f x( ) 8.9747; Min f x( )1.8798
Bài 4:
1 1, 2 10, 3 87; 4 740
u u u u
1 1, 2 14, 3 167, 4 1932
v v v v .
Công thức truy hồi của un+2 có dạng: u n2 au n1bu n2 Ta có hệ phương trình:
Do đó: u n2 10u n113u n
Tương tự: v n2 14v n1 29v n
Quy trình bấm phím:
1 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14 SHIFT STO D 2SHIFT STO X (Biến đếm)
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA E ALPHA = 10 ALPHA B
13 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F ALPHA = 14 ALPHA D 29 ALPHA C ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA F ALPHA : ALPHA Y ALPHA = 2 ALPHA E + 3 ALPHA F = = = (giá trị của E ứng với un+2, của F ứng với vn+2, của Y ứng với zn+2) Ghi lại các giá trị như sau:
Bài 5:
a) Các nghiệm của đa thức g(x) là: 1 2 3
x x x
Theo giả thiết ta có: f x( )q g x ( ) 8 x24x5, suy ra:
a b c
Giải hệ phương trình ta được: 23; 33; 23
a b c
( )
f x x x x
Trang 8b) Gọi đồ thị hàm số 3 23 2 33 23
( )
yf x x x x là (C)
Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B(0; 3) là đường thẳng d y kx: 3 có hệ số góc là k
Hệ phương trình cho hoành độ tiếp điểm và hệ số góc của tiếp tuyến của (C) đi qua B là:
2 2
'( ) 3
Giải phương trình (1) ta được 3 nghiệm là hoành độ của 3 tiếp điểm ứng với 3 tiếp tuyến của (C)
đi qua B(0; 3):
Dùng chức năng CALC để tính hệ số góc của 3 tiếp tuyến tương ứng của (C):
Bài 6:
Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng, thì số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là:
6
Quy trình bấm phím:
5000000 1.007 ^ ALPHA A 1.0115 ^ 6 1.009 ^ ALPHA X 5747478.359 ALPHA = 0
SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 = SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên
Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, đến khi nhận được giá trị nguyên của X = 4 khi A = 5
Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng
C A P x x
33479022340 SHIFT STO A 2 SHIFT STO X ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : 20 nCr ( 2 ALPHA X ) + ( 2 ALPHA X + 1 ) nPr ALPHA X ( ALPHA X
3 ) SHIFT x! ALPHA X ^ 8 ALPHA X ^ 5 ALPHA A = = = đến khi biểu thức bằng 0, ứng với X 9
b)
30
2
k
x
3
k
k
Suy ra hệ số của x28 là 6
3
k
k
Suy ra hệ số của x17 là 9
Trang 9Với 50 11 6 12
3
k
k
Suy ra hệ số của x6 là 12
Bài 8:
a) Số cần tìm là: 3388
Cách giải: aabb1000a100a10b b 1100a11b11 100 a b
a1 a1 b1 b1 112a1 b1
Do đó: aabba1 a1 b1 b1 100a b 11a1 b1
Nếu a 0 10b 11, điều này không xảy ra
Tương tự, nếu b 1 100a 1 0, điều này không xảy ra
Quy trình bấm máy:
100 ALPHA A + ALPHA X 11 ( ALPHA A + 1 ) ( ALPHA X 1 ) ALPHA
= 0
SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 1 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X là số
lẻ thập phân
SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 2 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X là số
lẻ thập phân
SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 3 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X = 8; tiếp tục quy trình cho đến khi A = 9
Ta chỉ tìm được số: 3388
b) Hàng đơn vị chỉ có 33 27 có chữ số cuối là 7 Với cac số 3
3 chỉ có 533 14877 có 2 chữ số cuối đều là 7
Với các chữ số a533 chỉ có 7533 có 3 chữ số cuối đều là 7
Ta có: 3 777000 91.xxxx ; 37770000 198. xxxx , 3777 10 5 426,xxx ;
3777 10 6 919,xxx ; 777 103 7 1980,xxx ; 3777 10 8 4267,xxx ;
Như vậy, để các số lập phương của nó có 3 số đuôi là chữ số 7 phải bắt đầu bởi các số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; (x = 0, 1, 2, , 9)
Thử các số:
Vậy số cần tìm là: n = 426753 và 4267533 77719455348459777
Bài 9: a)
tan 3 tan
3
Góc giữa tia phân giác At và Ox là:
A
Suy ra: Hệ số góc của At là:
Trang 101 1
a
Bấm máy:
tan ( 0.5 ( SHIFT tan-1 3 + SHIFT tan-1 ( 2 ab/c 3 ) ) ) SHIFT STO A cho kết quả:
1.3093
a
+ Đường thẳng chứa tia phân giác At là đồ thị của hàm số: y ax b , At đi qua điểm A ( 3; 4)
nên b 3a 4
+ Tọa độ giao điểm D của At và BC là nghiệm của hệ phương trình: ax y2x y 3a3 4
bằng cách bấm máy nhưng nhập hệ số a2 dùng ALPHA A và nhập hệ số c2 dùng () 3 ALPHA
A + 4, ta được kết quả:
D(0,9284; 1,1432)
c)
AB
Tính và gán cho biến A
BC
Tính và gán cho biến B
CA
Tính và gán cho biến C
( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) 2 SHIFT STO D (Nửa chu vi p)
Diện tích của tam giác ABC:
( ( ALPHA D ( ALPHA D ( ALPHA A ) ( ALPHA D ( ALPHA B ) ( ALPHA D ) ) SHIFT STO E
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
4
abc R S
ALPHA A ALPHA B ALPHA C 4 ALPHA E SHIFT STO F
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC: r S
p
Diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
S R r R r
SHIFT ( ALPHA E x2 ( ALPHA E ALPHA D ) x2 = Cho kết quả
2
Bài 10:
a) Tính bán kính đường trong ngoại tiếp đáy và trung đoạn
của hình chóp:
2sin 36
a
S
M J K
Trang 116.74 SHIFT STO A 2 sin 36 SHIFT STO B cho kết quả là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp: R 5.733386448
+ Chiều cao của hình chóp: h SO b2 R2
( 9.44 x2 ALPHA B x2 ) SHIFT STO C cho kết quả h 7.499458636
+ Trung đoạn của hình chóp:
- Tính OI:
2
OI dSI h OI h
( ALPHA C x2 + ( ALPHA A 2 tan 36 ) x2 ) SHIFT STO D cho kết quả trung đoạn hình chóp: d 8.817975958(cm)
+ Diện tích xung quanh của hình chóp: 5 1
2
xq
S ad
2.5 ALPHA A ALPHA D = cho kết quả là S xq 148.5829cm2
+ Thể tích hình chóp: 1 5 1
chop
2.5 ALPHA C ALPHA A x2 6 tan 36 = cho kết quả là: V chop 195.3788cm3
b) Góc tạo bởi mặt bên SAB với mặt đáy ABCDE là SIO Ta có: sin h
d
SHIFT sin-1 ( ALPHA C ALPHA D = cho kết quả 58 15'48"0
c) Phân giác góc SIO cắt SO tại K là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp đều có bán kính r1 = KO:
1 1
1
2
h
r KO OI
d
( ALPHA A 2 tan 36 ) tan ( 0.5 SHIFT sin-1 ( ALPHA C ALPHA D ) ) SHIFT STO E cho kết quả: r1KO2,5851(cm)
Trung trực đoạn SA trong mặt phẳng SAO cắt SO tại J Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có tâm J, bán kính SJ
r SJ
SJ SA SO h
9.44 x2 2 ALPHA C SHIFT STO F cho kết quả r SJ 5.941335523
4 3
V V V r r
( 4 ab/c 3 ) SHIFT ( ALPHA F x2 ALPHA E x2 ) = cho kết quả V 119.8704cm3
Lưu ý: gán các kết quả trung gian cho các biến để kết quả cuối cùng không có sai số lớn