MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CHỨNG MINH DỰA VÀO BẤT ĐẲNG THỨC (a n − b n )(a m − b m ) ≥ Bất đẳng thức toán gây nhiêu khó khăn học sinh Bất đẳng thức xuất nhiều dạng khác việc chứng minh bất đẳng thức phong phú Khi giải toán bất đẳng thức thông thường thường suy nghĩ hướng giải toán cách sử dụng bất đẳng thức cở như: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpski, sử dụng phép biến đổi sơ cấp bản…Trong trình đọc tài liệu bắt gặp số toán sử dụng đề thi toán quốc tê IMO, thi tuyển sinh đại học tạp chí báo toán học tuổi trẻ Thoạt nhìn toán bất đẳng thức mối liên hệ với Nhưng thực chất chúng có chung cách giải Trong khuôn khổ viết xin giới thiệu cách để giải toán bất đẳng thức nêu cách sử dụng bất đẳng thức sau: Nếu a, b > 0; m, n ∈ N * (a n − b n )(a m − b m ) ≥ Chứng minh: Ta có (a n − b n )(a m − b m ) = = (a − b) (a n −1 + a n −2b + + ab n −2 + b n −1 )(a m −1 + a m −2b + + ab m −2 + b m −1 ) ⇒ (a n − b n )(a m − b m ) ≥ Đẳng thức xảy ⇔ a = b Bài Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : A= 1 + + a3 + b3 + b3 + c3 + c3 + a3 + Chứng minh: Dựa vào tính chất (a − b )(a − b) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + ab = ab(a + b) Khi a + b + ≥ ab( a + b) + ⇒ a + b + ≥ ab(a + b) + abc = ab(a + b + c) ⇒ 1 ≤ Dấu xảy ⇔ a = b a + b + ab(a + b + c ) Tương tự ta có: 1 ≤ Dấu xảy ⇔ b = c b + c + bc(a + b + c ) 1 ≤ Dấu xảy ⇔ c = a c + a + ca(a + b + c) Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : A≤ 1 + + ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca(a + b + c) ⇒ A≤ 1 1 ( + + ) (a + b + c) ab bc ca ⇒ A≤ a+b+c = (a + b + c) abc Vậy Amax = ⇔ a = b = c Bài Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : A= ab bc ca + + 5 a + b + ab b + c + bc c + a + ca Chứng minh: Dựa vào tính chất (a − b )(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + a b = a b (a + b) Khi a + b + ab ≥ a b (a + b) + ab ⇒ a + b + ab ≥ ab(ab(a + b) + abc) = a b (a + b + c) ⇒ ab ab ≤ 2 Dấu xảy ⇔ a = b a + b + ab a b ( a + b + c) Tương tự ta có: bc bc ≤ 2 Dấu xảy ⇔ b = c b + c + bc b c ( a + b + c ) ca ca ≤ 2 Dấu xảy ⇔ c = a c + a + ca c a (a + b + c) Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : A≤ ⇒ A≤ ⇒ A≤ 1 + + ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca(a + b + c) abc abc abc ( + + ) (a + b + c) ab bc ca (a + b + c) =1 (a + b + c) abc Vậy Amax = ⇔ a = b = c Bài Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : a 2b b2c c2a2 A= + + a + b + a 2b b + c + b 2c c + a + c a Chứng minh: Dựa vào tính chất (a − b )(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + a b = a b (a + b) Khi a + b + a b ≥ a b ( a + b) + a b ⇒ a + b + a b ≥ a b (ab( a + b) + abc) = a b (a + b + c) a 2b a 2b ⇒ ≤ Dấu xảy ⇔ a = b a + b + a b a b (a + b + c) Tương tự ta có: b2c2 b 2c ≤ b + c + c b b c (a + b + c) c2a2 c2a2 ≤ c + a + c a c a (a + b + c) Dấu xảy ⇔ b = c Dấu xảy ⇔ c = a Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : A≤ 1 + + ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca (a + b + c) abc abc abc ( + + ) (a + b + c) ab bc ca ⇒ A≤ ⇒ A≤ (a + b + c) =1 (a + b + c) abc Vậy Amax = ⇔ a = b = c Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : Bài A= 1 + + (a + b) + (b + c) + (c + a) + Chứng minh: Dựa vào tính chất: ( a − b )(a − b) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + ab = ab( a + b) Khi ( a + b) + = a + b + 3ab( a + b) ≥ 4ab( a + b) + (a + b) + ≥ 4ab(a + b) + 4abc = 4ab(a + b + c) ⇒ 1 ≤ Dấu xảy ⇔ a = b ( a + b) + 4ab(a + b + c ) Tương tự ta có: 1 ≤ Dấu xảy ⇔ b = c (b + c) + 4bc( a + b + c ) 1 ≤ Dấu xảy ⇔ c = a (c + a ) + 4ca(a + b + c) Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : A≤ ⇒ A≤ 1 + + 4ab(a + b + c) 4bc(a + b + c) 4ca(a + b + c) 1 1 ( + + ) 4(a + b + c) ab bc ca ⇒ A≤ a+b+c = 4(a + b + c) abc Vậy Amax = Bài ⇔a =b=c Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : A= 1 + + a6 + b6 +1 b6 + c6 +1 c6 + a6 +1 Chứng minh: Dựa vào tính chất (a − b )(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + a b = a b (a + b ) Khi a + b + ≥ a b (a + b ) + ⇒ a + b + ≥ a b (a + b ) + a 2b c = a 2b (a + b + c ) ⇒ 1 ≤ 2 Dấu xảy ⇔ a = b a + b + a b (a + b + c ) Tương tự ta có: 1 ≤ 2 Dấu xảy ⇔ b = c b + c + b c (a + b + c ) 1 ≤ 2 Dấu xảy ⇔ c = a c + a + c a (a + b + c ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : A≤ 1 + 2 + 2 2 2 a b ( a + b + c ) b c ( a + b + c ) c a (a + b + c ) 2 a 2b c a 2b 2c a 2b 2c ⇒ A≤ ( + 2 + 2 ) (a + b + c ) a 2b bc c a (a + b + c ) ⇒ A≤ 2 = (a + b + c ) a 2b 2c Vậy Amax = ⇔ a = b = c Bài Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : A= c a b + + 4 a + b + c b + c + a c + a4 + b Chứng minh: Dựa vào tính chất (a − b)(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + ab = ab(a + b ) Khi a + b + c = a + b + abc ≥ ab( a + b ) + abc (do abc = ) ⇒ a + b + c ≥ ab(a + b + c ) ⇒ c abc ≤ (do abc = ) Dấu xảy ⇔ a = b a + b + c ab(a + b + c ) Tương tự ta có: a bca ≤ (do abc = ) Dấu xảy ⇔ b = c b + c + a bc( a + b + c ) b cab ≤ (do abc = ) Dấu xảy ⇔ c = a c + a + b ca( a + b + c ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : A≤ ⇒ A≤ abc bca cab + + ab(a + b + c ) bc (a + b + c ) ca(a + b + c ) (a + b + c ) = (a + b + c ) Vậy Amax = ⇔ a = b = c Hoàn toàn tương tự ta tạo hàng loạt bất đẳng thức có phương pháp chứng minh dựa vào tính chất : (a n − b n )(a m − b m ) ≥ ,( m, n ∈ N * ) Bài Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : A= 3 a b c3 + + a + b6 + c3 b6 + c + a c + a + b3 Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất: (a − b)(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + ab = ab(a + b ) Bài Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : 4 a b c A= + + a + b7 + c b7 + c7 + a c7 + a + b Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất: (a − b)(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + ab = ab(a + b ) Bài Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : A= a b c + + 7 a + b + c b + c + a c + a7 + b Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất: (a − b )(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + a b = a b (a + b ) Bài 10 Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : A= ab bc ca + + 8 a + b + ab b + c + bc c + a + ca Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất: (a − b )(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + a b = a b (a + b ) Bài 11 Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : A= 5 c5 a b + + 5 a8 + b8 + c b8 + c8 + a c8 + a8 + b Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất: (a − b)(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + ab = ab(a + b ) Bài 12 Giả sử a, b, c > , abc = Tìm giá trị max biểu thức sau : c2 a2 b2 A= + + 8 8 c a +b + b +c +a c +a +b Gợi ý chứng minh: Dựa vào tính chất: (a − b )(a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a b + a b = a b (a + b ) Tương tự biểu thức nêu với tính chất abc = ta tạo bất đẳng thức + (a − b)(a − b ) ≥ + (a − b )(a − b ) ≥ + (a − b )(a − b ) ≥ + (a − b )(a − b ) ≥ + (a − b)(a − b ) ≥ + (a − b )(a − b ) ≥ + (a − b )(a − b ) ≥ + (a − b )(a − b ) ≥ Cứ tiếp tục ta tạo hàng loạt bất đẳng thức dạng tương tự Trên số toán có chung cách chứng minh Do thời gian lực hạn chế, nên viết không tránh khỏi nhiều thiếu sót Mong nhận đóng góp, góp ý từ thầy cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn!