Tài liệu chuyên đề ôn toán luyện thi vào 10 (2)

Sáng kiến kinh nghiệm A Đặt vấn đề I Lí chọn đề tài : Bất đẳng thức đại số chuyên đề tơng đối khó chơng trình đại số phổ thông Các toán bất đẳng thức đại số phong phú , đa dạng Đòi hỏi cần vận dụng phơng pháp giải vào cách hợp lí , để đem lại kết toán cách nhanh gọn , dễ hiểu hay nhiều độc đáo bất ngờ Việc giải toán giúp tiếp cận làm quen dần với toán thực tế nh :So sánh biểu thức ,tìm giá trị lớn , tìm giá trị nhỏ biểu thức Đối với - giáo viên THCS , việc tập dợt nghiên cứu khoa học cần thiết để củng cố đào sâu kiến thức Từ truyền đạt cho học sinh cách linh hoạt có hệ thống Đặc biệt qua thực tế giảng dạy môn toán nhận thấy giải toán bất đẳng thức tơng đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phơng trình lạ ,là khó thực tế cho thấy : - Học sinh lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh mà không theo hớng -Học sinh có suy luận , dùng lập luận thiếu , không xác , lập luận dài dòng , chí có mâu thuẫn , t suy luận cha cao -Học sinh mắc lỗi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế bất đẳng thức, bất phơng trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phơng trình -Với sử dụng giả thiết không tìm lời giải học sinh thờng bế tắc , sáng tạo dẫn đến em ngại khó bỏ qua Hơn , chơng trình đại số THCS cha sâu vào phần Vì , chọn chuyên đề " Một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức trờng thcs " làm đề tài nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm Nội dung đề tài tìm tòi , hệ thống toán hay ; phân loại tìm phơng pháp giải toán Do tính đa dạng phong phú tập bất đẳng thức nên trình bày số dạng thông qua phơng pháp giải phơng pháp giải số tập tiêu biểu kèm theo lời giải chi tiết II Mục đích nghiên cứu : Đối với giáo viên : - Nâng cao trình độ chuyên môn , phục vụ cho trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học , nâng cao kiến thức Đối với học sinh : Giúp học sinh học tập môn toán nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực môn toán giúp em tiếp thu cách chủ động , sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến bất đẳng thức Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phơng pháp vận dụng thành thạo phơng pháp để giải tập Gây đợc hứng thú cho học sinh làm tập sách giáo khoa , sách tham khảo , giúp học sinh tự giải đợc số tập Thông qua việc giải toán bất đẳng thức, giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt tập bất đẳng thức III Nhiệm vụ nghiên cứu : - Tìm hiểu thực tiễn trờng THCS - Đa số giải pháp - Đa số kiến thức bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức học sinh THCS - Trang bị cho học sinh số phơng pháp giải toán bất đẳng thức áp dụng để giải tập - Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải số bất phơng trình dạng đặc biệt Sáng kiến kinh nghiệm Phạm vi đề tài : Phát triển lực t học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức học sinh Lớp , lớp Đối tợng nghiên cứu : - Học sinh lứa tuổi 14 -15 trờng THCS đa số em thích học toán bớc đầu thể lực tiếp thu cách ổn định - Đối tợng khảo sát : học sinh lớp ,9 luyện tập, ôn tập Luyện thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS Phơng pháp tiến hành : - Học sinh có kiến thức , đa phơng pháp giải, vận dụng tập áp dụng , đợc sai lầm hay gặp - Học sinh nhà làm tập Dự kiến kết đề tài : - Khi cha thực đề tài : Học sinh giải số tập bất đẳng thức đơn giản , hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm tập bất đẳng thức - Nếu thực đề tài học sinh có hứng thú giải toán bất đẳng thức , làm tập tốt , tự giải đợc tập bất đẳng thức có dạng tơng tự , hạn chế đợc nhiều sai lầm giải toán bất đẳng thức IV Phơng pháp nghiên cứu : - Nghiên cứu tài liệu lí luận - Tham khảo , thu thập tài liệu, phân tích, tổng hợp - Thử ngiệm s phạm - Kiểm tra , khảo sát chất lợng học sinh , nghiên cứu hồ sơ giảng dạy ,điều tra trực tiếp thông qua học - Tổng kết , rút kinh nghiệm ,tự đánh giá chất lợng giảng dạy thân từ nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ Sáng kiến kinh nghiệm B Giải vấn đề Chơng i : Cơ sở lí luận sở thực tiễn I Cơ sở lí luận Trong điều kiện , với phát triển chung đất n- ớc,ngành giáo dục bớc thay đổi chơng trình , sách giáo khoa , phơng pháp giảng dạy để phù hợp với thực tế Việc đổi phơng pháp dạy học vấn đề cần thiết giáo viên Ngời thầy đóng vai trò chủ đạo , hớng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , t lô gic học sinh học tập sống điều cần thiết , điều mà dạy học Toán dễ dàng thực đợc Việc trang bị cho học sinh kiến thức Toán không gồm khái niệm, tính chất, định lí , qui tắc mà kĩ , phơng pháp giải tập vận dụng vào thực tế sống Vì trình giảng dạy việc hớng dẫn học sinh tìm tòi tri thức phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm Khi giải toán không đòi hỏi học sinh linh hoạt việc áp dụng lí thuyết mà khai thác , phát triển toán theo chiều hớng thuận lợi cho việc giải Mỗi giáo viên trình giảng dạy muốn đem tâm huyết vốn kiến thức truyền thụ cho học sinh mong em hiểu yêu thích môn Toán Việc giảng tìm phơng pháp giải cho phù hợp với đối tợng học sinh kích thích lòng ham mê em, từ tìm học sinh có khiếu bồi dỡng trở thành học sinh giỏi Giải toán bất đẳng thức, bất phơng trình rèn cho học sinh t phân tích, tổng hợp, phát huy đợc tính tích cực chủ động t II Cơ sở thực tiễn Bài toán bất đẳng thức có mặt hầu hết đề thi học sinh giỏi cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn THCS, THPT Sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy môn toán nhận thấy giải toán bất đẳng thức tơng đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phơng trình lạ khó thực tế cho thấy : - Học sinh lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh mà không theo hớng -Học sinh có suy luận , dùng lập luận thiếu , không xác , lập luận dài dòng , chí có mâu thuẫn , t suy luận cha cao -Học sinh mắc lỗi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế bất đẳng thức, bất phơng trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phơng trình -Với sử dụng giả thiết không tìm lời giải học sinh thờng bế tắc , sáng tạo dẫn đến em ngại khó bỏ qua - Tài liệu dùng cho học sinh dẫn đến việclựa chọn giải tập nhiều hạn chế CHƯƠNG II : GIảI QUYếT VấN Đề I Một số kiến thức bất đẳng thức Hai biểu thức A B số chữ thay số , liên hệ với quan hệ lớn ( > ) ; bé ( < ) ; lớn ( ) ; bé ( ) ; khác ( ) gọi bất đẳng thức Viết : A>B; A b b < a Tính chất : Nếu a > b b > c a > c Tính chất : Nếu a > b c a + c > b + c Tính chất : Nếu a > b + c a - b > c Tính chất : Nếu a > b c > d a + c > b + d Nếu a > b c < d a - c > b - d Tính chất : Nếu a > b c > ac > bc Sáng kiến kinh nghiệm Nếu a > b c < ac < bc Tính chất : Nếu a > b c > d ac > bd Tính chất : Nếu a > b , ab > 1 < a b Tính chất : a > b > an > bn ( n > 0) a > b an > bn ( n lẻ ) a > b an > bn ( n chẵn ) 10.Tính chất 10: Nếu a > b > n số nguyên dơng n a > n b II.Những toán bất đẳng thức phơng pháp giải Phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng * Phơng pháp : A B A-B Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng minh * Ví dụ : Bài : Cho số dơng a b thoả mãn điều kiện a + b = Chứng minh : ( + 1 )( + ) a b Giải : Ta có : (1+ 1 )(1+ ) a b (1) a +1 b +1 a b ab + a + b + 9ab ( ab > ) a + b + 8ab 8ab ( a + b = ) 4ab ( a + b )2 4ab ( a + b = ) ( a + b )2 (2) Bất đẳng thức ( ) ,mà phép biến đổi tơng đơng , bất đẳng thức ( ) ( đpcm) Dấu " = " xảy a = b Bài : Cho a , b , c , d , e số thực Chứng minh : a , a2 + b2 + ab + a + b Sáng kiến kinh nghiệm b , a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) Giải : a , Ta có : a2 + b2 + ab + a + b, ( a2 + b2 + ) - ( ab + a + b ) ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + ) + ( b2 - 2b + ) ( a - b )2 + ( a - )2 + ( b - )2 Bất đẳng thức cuối với a , b Nên ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy a = b = b , Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae (a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 Bất đẳng thức cuối với a , b , c , d , e Nên ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e Bài : Cho ab Chứng minh : 1 + + ab 1+ a 1+ b Giải : Ta có : ( 1 + + ab 1+ a 1+ b 1 1 )+( )0 2 + ab + ab 1+ a 1+ b ab a ab b + (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab) a (b a) b( a b ) + (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab) (b a ) + b a - (1 + a )b (1 + a ) (1 +b ) (1 +ab) (b a )(a + ab b a b) (1 + a )(1 + b )(1 + ab) (b a )(b a )(ab 1) (1 + a )(1 + b )(1 + ab) [( ) ] (1) Sáng kiến kinh nghiệm (b a ) (ab 1) (1 + a )(1 + b )(1 + ab) (2) Bất đẳng thức ( ) với ab Do bất đẳng thức ( ) đợc chứng minh * Bài tập vận dụng : Bài : Cho ba số a , b , c Chứng minh : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Bài : Cho hai số a, b Chứng minh : a , ( a2 + b2 )( a4 + b4 ) ( a3 + b3 )2 b , ( a + b )( a3 + b3 ) ( a4 + b4 ) Bài : Cho hai số a, b > Chứng minh : a , 2( a3 + b3 ) ( a + b )( a2 + b2 ) b , 4( a3 + b3 ) ( a + b )3 Phơng pháp : Dùng phơng pháp phản chứng * Phơng pháp : Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức Ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lí Điều vô lí điều trái với giả thiết , điều trái với điều ,cũng sai hay vô lí hai điều trái ngợc Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh * Ví dụ : Bài : Cho a2 + b2 Chứng minh : a + b Giải : Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế (hai vế dơng ) ta đợc : a2 + 2ab + b2 > (1) Mặt khác ta có : 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2( a2 + b2 ) Mà 2( a2 + b2) ( giả thiết) , a2 + 2ab + b2 mâu thuẫn với (1) Vậy điều giả sử sai Vậy a + b Bài 2: Chứng minh a1a2 2( b1 + b2 ) hai phơng trình x2 + a1x + b1 = x2 + a2x + b2 = có nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm Giải : Giả sử hai phơng trình cho vô nghiệm Khi : = a12 - 4b1 < = a22 - 4b2 < => a12 + a22 - 4b1 - 4b2 < a12 + a22 < 4( b1 - b2 ) Theo giả thiết ta có 2( b1 - b2 ) a1a2 => 4( b1 - b2 ) 2a1a2 a12 + a22 2a1a2 Do : => a12 + a22 - 2a1a2 => ( a1 - a2)2 ( vô lí ) Vậy hai phơng trình cho có nghiệm Bài : Chứng minh ba bất đẳng thức sau có bất đẳng thức : a +b 2 (b + c ) 2 b2 + c2 (c + a ) 2 c2 + a2 ( a + b) 2 Giải : Giả sử ba bất đẳng thức sai Ta có : a2 + b2 < (b + c) 2 (1) b2 + c2 < (c + a ) 2 (2) c2 + a2 < ( a + b) 2 (3) Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta đợc : a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 < (b + c ) + ( c + a ) + ( a + b ) 2 4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < ( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) < ( vô lí ) Sáng kiến kinh nghiệm Vậy ba bất đẳng thức có bất đẳng thức * Bài tập vận dụng : Bài : Cho a3 + b3 = chứng minh a + b Bài : Cho ba số a , b ,c khác đôi Chứng minh tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ ( a + b + c )2 Bài : Chứng minh a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > a > 0, b > , c > Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức tam giác * Phơng pháp : Nếu a , b , c số đo ba cạnh tam giác a , b , c > |b - c| < a < b + c |a - c| < b < a + c | a - b| < c < a + b Trong số toán mà đại lợng biểu thức vế bất đẳng thức không âm , tồn tam giác mà cạnh giá trị đại lợng ta vận dụng bất đẳng thức để chứng minh * Ví dụ : Bài : Chứng minh a , b , c độ dài cạnh tam giác ta có : a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) Giải : Vì a , b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : < a < b + c => a2 < a( b + c ) < b < a + c => b2 < b( a + c ) < c < a + b => c2 < c( a + b ) Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta đợc : a2 + b2 + c2 < a( b + c ) + b( a + c ) + c( a + b ) a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) (đpcm) Bài : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + a + b a + c b + c Ta có a = b+c a b+c b b c+a b+c c c a+b b+c Cộng vế theo vế ta đợc : a b c a+b+c + + b+c c+a c+b b+c Hay a b c a + + + < 1+ = b+c c+a c+b b+c Vậy a b c + + ab( a + b ) + bc( b + c ) + ac( a+ c ) Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức Cauchy * Bất đẳng thức Cauchy : Cho n số không âm a1 , a2 , a3 , ,an Ta có bất đẳng thức : a1 + a + + a n n n a1 a a n Dấu " =" xảy a1 = a2 = = an Trong trờng hợp ta thờng đề cập đến số toán mà sử dụng trờng hợp đặc biệt bất đẳng thức Cauchy : Cho hai ba số không âm ta có : a1 + a a1 a a1 + a + a3 ; a1 a a3 * Ví dụ : Bài : Chứng minh a , b hai số dơng ta có : 3a3 + 7b3 > 9ab2 Giải : Ta có : 3a3 + 7b3 = 3a3 + 3b3 + 4b3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm 3a3 , 3b3 , 4b3 ta có : 3a3 + 3b3 + 4b3 3 3a 3b 4b => 3a3 + 7b3 3ab2 3 2.4 > 9ab2 Vậy 3a3 + 7b3 > 9ab2 (đpcm) Bài : Cho a, b, c số dơng Chứng minh bất đẳng thức : a+b+c a2 b2 c2 + + b+c c+a a+b b+c a2 Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm b+c ta có : b+c a a2 a2 b + c + =2 =a b+c b+c 12 Sáng kiến kinh nghiệm b+c a2 a4 b+c Suy Tơng tự a+c b2 b4 c+a a+b c2 c4 a+b Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta đợc : a+b+c a+b+c a2 b2 c2 (a+b+c)+ + = 2 b+c c+a a+b Vậy a+b+c a2 b2 c2 + + (đpcm) b+c c+a a+b Bài : Cho a, b, c > với Chứng minh : Giải : Ta có 1 + = a c b a+b c+b + 2a b 2c b 1 2ac + = => b = a c b a+c 2ac c + 3a a+c = 2ac 2c 2a a+c a+ Khi : a+b = 2a b Và 2ac c+b c + 3a a+c = = 2ac 2c b 2c 2c a+c c+ Do : a+b c+b a + 3c c + 3a c a c a + = + = + + + =1+ ( + ) 2a b 2c b 2a 2c 2 a 2 c a c c a áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a c ta có: c a ca + =2 a c ac Nên + Vậy : c a ( + ) + 2 a c a+b c+b + 2a b 2c b ca = ac (đpcm) 13 Sáng kiến kinh nghiệm Bài : Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh : (1+ 1 )( + )( + ) 64 a b c Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 1+ a +1 2a + b + c 2(a + bc ) 2a + bc a bc = = a a a a a a 1+ Chứng minh tơng tự : + bc 44 a a b 1+ ca b2 ab 44 c c Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức ta đợc : (abc) 1 2 ( + a )( + b )( + c ) 43 a b c (1+ 1 )( + )( + ) 64 a b c Dấu " = " xảy a = b = c = ( đpcm) * Bài tập vận dụng : Bài 1: Cho a, b, c số không âm a + b + c = Chứng minh: a +1 + b +1 + c + < 3,5 Bài : Cho số dơng a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : a + b+c b + a+c c >2 a+b Bài : Chứng minh bất đẳng thức với a b không âm a+b ( a + b) a b +b a + Bài : Cho a, b Chứng minh a b + b a ab Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki * Bất đẳng thức Bunhiacopxki : Cho n cặp số a1 , a2 , ,an , b1 , b , ,bn ta có bất đẳng thức 14 Sáng kiến kinh nghiệm ( a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a12 + a22+ + an2)( b12 + b22+ + bn2) Dấu " = " xảy k : = kbi ( * ) a1 a2 an = = = ) b1 b2 bn (Nếu bi ( * ) đợc viết Ta đề cập đến trờng hợp : Cho hai ba số : a1 , a2 ; b1 , b2 a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta có : ( a1b1 + a2b2 )2 ( a12 + a22)( b12 + b22) ( a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ( a12 + a22+ a32)( b12 + b22+ b32) Dấu " = " xảy chi : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 ( k R ) * Ví dụ : Bài : Cho x2 + y2 = Chứng minh : |2x + 3y| 13 Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số ,3 ; x , y ta có : |2x + 3y| = 13 x2 + y2 2 + 32 Vậy |2x + 3y| 13 x y x2 y2 x2 + y2 = => = = = 13 13 Dấu " = " xảy : Hoặc x = 13 ;y= 13 x = 13 ;y= 13 Bài 2: Cho a b, c ba số không âm a + b +c = Chứng minh : a+b + b+c + c+a Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacỗp xki cho ba số : ;1 ;1 a+b , b+c , c+a Ta có : (1 a + b +1 b + c +1 c + a ) (1+1+1) ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ( a + b + b + c + c + a ) 3( a + b + b + c + c + a) = a+b + b+c + c+a (đpcm) Bài : Cho a2 + b2 + c2 + d2 = Chứng minh : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + )2 15 (x R) Sáng kiến kinh nghiệm Giải : x a b x c d áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba số x x Ta có (x2 + ax + b)2 ( x2 + a2 + b2) ( x2 + x2 + 1) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba số x x Ta có (x2 + cx + d)2 ( x2 + c2 + d2) ( x2 + x2 + 1) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ta đợc : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( x2 + x2 + 1)( x2 + a2 + b2 + x2 + c2 + d2) ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + )( 2x2 + ) = ( 2x2 + )2 ( a2 + b2 + c2 + d2 = ) (đpcm) Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Giải : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : ab + bc + ca a2 + b2 + c2 b2 + c2 + a2 ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (đpcm) * Bài tập vận dụng : Bài : Cho x y + y x = Chứng minh : x2 + y2 = Bài : Chứng minh số nguyên dơng n : + + ++ n n n +1 Bài : Chứng minh : a + b = a2 + b2 Bài : Cho a, b, c > abc = Chứng minh : 1 + + a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b) Phơng pháp : Dùng tính chất tỉ số giá trị tuyệt đối * Tính chất : - Tính chất tỉ số : Cho a , b ,c > : Nếu a a a+c < < b b b+c 16 Sáng kiến kinh nghiệm Nếu a a a+c > > b b b+c - Giá trị tuyệt đối : | x | < -1 < x < Nếu | x | x2 | x| * Ví dụ : Bài 1: Cho a+ b > Chứng minh a4 + b4 > Giải: Ta có : a + b > > (1) Bình phơng hai vế : ( a + b)2 > a2 + 2ab + b2 > Mặt khác : ( a - b)2 a2 + 2ab + b2 (2) (3) Cộng vế (2) (3) : 2( a2 + b2 ) > a2 + b2 > Bình phơng hai vế (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > (4) Mặt khác : ( a2 - b2)2 a4 - 2a2b2 + b4 (5) (6) Cộng vế (5) (6) ta có : 2( a4 + b4) > a4 + b4 > (đpcm) Bài : Cho a , b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh : | ab bc ca + + | (a + c )(b + c ) + ( a + d )(b + d ) ( a + b)( c + d ) a, b, c, d số thực dơng CHƯƠNG III : THựC NGHIệM SƯ PHạM Mục đích thử nghiệm Tôi muốn thử nghiệm đề tài để kiểm tra tính khả thi , kiểm tra xem khả giải bất phơng trình , bất đẳng thức học sinh có tiến không.Từ cần điều chỉnh để đề tài đợc hoàn thiện Nếu có hiệu tốt nhân rộng cho giáo viên khác Nội dung thử nghiệm Trong trình giảng dạy , bồi dỡng học sinh giỏi đa toán đề tài , hớng dẫn học sinh giải sau cho học sinh áp dụng giải dựa vào phơng pháp cụ thể Phơng pháp thử nghiệm - Hớng dẫn học sinh cách áp dụng trờng hợp - Cho học sinh áp dụng làm cụ thể trờng hợp - Ra tập nhà yêu cầu học sinh tìm tòi thêm tập tơng tự - Kiểm tra mức độ tiếp thu , vận dụng học sinh Kết thử nghiệm Trớc áp dụng đề tài : 15% HS tiếp cận giải khoa học 22 Sáng kiến kinh nghiệm 30% HS hiểu Sau áp dụng đề tài : 50% HS tích cực phát giải khoa học 35% HS hiểu C KếT LUận kiến nghị Có thể nói chuyên đề bất đẳng thức phần khó đóng vai trò quan trọng chơng trình đại số THCS Tuy nhiên , tính đa dạng toán nên nghiên cú số phơng pháp , hy vọng góp phần việc bồi dỡng học sinh giỏi Trong thực tế dạy cho học sinh đại trà nh trình bồi dỡng học sinh giỏi thu đợc kết bớc đầu: Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu , em tránh đợc sai sót , có kĩ vận dụng tốt , chất lợng làm nâng lên Tất nhiên trình làm không tránh khỏi sai sót Vì , mong đóng góp ý kiến thầy , cô để đề tài đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! 23 Sáng kiến kinh nghiệm Mục lục : Phần Trang A Đặt vấn đề 1-3 B Giải vấn đề Chơng I : Cơ sở lí luận sở thực tiễn 4-5 Chơng II : Giải vấn đề - 21 Chơng III : Thực nghiệm s phạm 22 C Kết luận kiến nghị 23 Tài liệu tham khảo : Phơng pháp dạy học Toán ( Nguyễn Bá Kim ) Một số vấn đề phát triển Toán - Nâng cao phát triển Toán - ( Vũ Hữu Bình ) Một số đề thi HSG năm cấp THCS Tuyển tập toán thi vào trờng chuyên (Võ Giang Giai) 24 [...]... nghiệm Tôi muốn thử nghiệm đề tài của mình để kiểm tra tính khả thi của nó , kiểm tra xem khả năng giải bất phơng trình , bất đẳng thức của học sinh có tiến bộ không.Từ đó cần điều chỉnh để đề tài đợc hoàn thi n hơn Nếu có hiệu quả tốt tôi sẽ nhân rộng cho các giáo viên khác 2 Nội dung thử nghiệm Trong quá trình giảng dạy , bồi dỡng học sinh giỏi tôi đã đa ra các bài toán trong đề tài , hớng dẫn học sinh... Chơng III : Thực nghiệm s phạm 22 C Kết luận và kiến nghị 23 Tài liệu tham khảo : 1 Phơng pháp dạy học Toán ( Nguyễn Bá Kim ) 2 Một số vấn đề phát triển Toán 8 - 9 3 Nâng cao và phát triển Toán 8 - 9 ( Vũ Hữu Bình ) 4 Một số đề thi HSG các năm cấp THCS 5 Tuyển tập các bài toán thi vào các trờng chuyên (Võ Giang Giai) 24 ... làm chắc không tránh khỏi sai sót Vì vậy , tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy , các cô để đề tài đợc hoàn thi n hơn Tôi xin chân thành cảm ơn ! 23 Sáng kiến kinh nghiệm Mục lục : Phần Trang A Đặt vấn đề 1-3 B Giải quyết vấn đề Chơng I : Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn 4-5 Chơng II : Giải quyết vấn đề 5 - 21 Chơng III : Thực nghiệm s phạm 22 C Kết luận và kiến nghị 23 Tài liệu tham khảo... số không âm a1 , a2 , a3 , ,an Ta có bất đẳng thức : a1 + a 2 + + a n n n a1 a 2 a n Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an Trong trờng hợp này ta thờng đề cập đến một số bài toán mà chỉ sử dụng trờng hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy : Cho hai hoặc ba số không âm ta có : a1 + a 2 2 a1 a 2 a1 + a 2 + a3 3 ; 3 a1 a 2 a3 * Ví dụ : Bài 1 : Chứng minh rằng a , b là hai số dơng ta luôn có... giải khá khoa học 22 Sáng kiến kinh nghiệm 30% HS hiểu bài Sau khi áp dụng đề tài : 50% HS tích cực phát hiện và giải khoa học 35% HS hiểu bài C KếT LUận và kiến nghị Có thể nói rằng chuyên đề bất đẳng thức là một phần khó và đóng một vai trò quan trọng trong chơng trình đại số THCS Tuy nhiên , do tính đa dạng của các bài toán nên tôi chỉ nghiên cú một số phơng pháp cơ bản , hy vọng sẽ góp phần trong... áp dụng giải các bài tiếp theo dựa vào từng phơng pháp cụ thể 3 Phơng pháp thử nghiệm - Hớng dẫn học sinh cách áp dụng đối với từng trờng hợp - Cho học sinh áp dụng làm bài cụ thể đối với từng trờng hợp - Ra bài tập về nhà và yêu cầu học sinh tìm tòi thêm các bài tập tơng tự - Kiểm tra mức độ tiếp thu , vận dụng của học sinh 4 Kết quả thử nghiệm Trớc khi áp dụng đề tài : 15% HS tiếp cận và giải khá... : | ab bc ca + + | < 1 (đpcm) a+b b+c c+a Bài 3 : Cho a , b, c, d > 0 Chứng minh rằng : 1< a b c d + + + 1 Chứng minh rằng a4 + b4 > 1 8 Giải: Ta có : a + b > 1 > 0 (1) Bình phơng hai vế : ( a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1 Mặt khác : ( a - b)2 0 a2 + 2ab + b2 0 (2) (3) Cộng từng vế của (2) và (3) : 2( a2 + b2 ) > 1 a2 + b2 > 1 2 Bình phơng hai vế của (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > (4) 1 4 Mặt khác : ( a2 - b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0 (5) (6) Cộng từng vế của (5) và (6) ta có :... = 3a3 + 3b3 + 4b3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm 3a3 , 3b3 , 4b3 ta có : 3a3 + 3b3 + 4b3 3 3 3a 3 3b 3 4b 3 => 3a3 + 7b3 3ab2 3 3 2.4 > 9ab2 Vậy 3a3 + 7b3 > 9ab2 (đpcm) Bài 2 : Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh bất đẳng thức : a+b+c a2 b2 c2 + + 2 b+c c+a a+b b+c a2 Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm 4 b+c ta có : b+c a a2 a2 b + c 2 + =2 =a 4 2 b+c