Chú ý, trong hàng cuối cùng dùng dấu để chỉ các nghiệm của mẫu thức Q(x) = 0 làm bất phương trình không xác định. - Giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : [r]
(1)Dạng 1: Giải bất phương trình
- Điều kiện xác định bất phương trình f(x) > g(x) giao hai điều kiện xác định hai hàm số f(x), g(x): D = Df Dg
- Hai bất phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm
Nếu x0 nghiệm bất phương trình khồng nghiệm bất phương trình hai bất phương trình khơng tương đương
Chú ý:
- Sử dụng định nghĩa định lý biến đổi tương đương cộng thêm vào, nhân chia hai vế
- Khi biểu thức hai vế bất phương trình, điều kiện bất phương trình thường bị thay đổi vậy, để tìm nghiệm bất phương trình cho ta phải tìm giá trị ẩn đồng thời thoã mãn bất phương trình điều kiện bất phương trình cho
VÍ dụ 1: Tìm tập xác định bất phương trình sau:
2
1 ( 3)( 2)
) 2; )
1 ( 3) ( 4)
x x
a b x
x x x x
Giải
a) điều kiện xác định:
1
2
x x
x x
vậy D = R \ {-2 ; -1}
b) Điều kiện xác định :
3
1
4
3
1
x x
x
x x
x
x x
Vậy D = [-1 ;) \
Ví dụ 2: Tìm tập xác định bất phương trình :
3
2
2
2
1 1
) ) 1
1
1
) 2 ) 4
3
a b x x
x x x x
c x x x d x x x
x x
Giải
a) ĐK:
2
1
2,
5
x x
x x
x x
D = R\{-1; 1; 2; 3}
b) ĐK: x 0 D = R\{3}
c) ĐK:
3
3
x
x x
D = [3; )
d) Vì x2 + 4x + = (x + 2)2 0, x Rvà x2 + > 0 x Rnên D = R.
(2)) ) 3
1
) )
3 2
a x x b x x
x
c x d
x x x x
Giải a) ĐK: x0vàx 0 x0
Thế x = vào BPT: > (sai) Vậy S =
b) ĐK: x 0 x3
Trong điều kiện 1 x 3 x 3 (đúng)
Vậy SD[3; )
c) ĐKx3 Trong điều kiện : BPT x2 Vậy D = [2; ) \ 3
d) ĐK: x – > x2, trường hợp :BPT x2(loại) S Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau:
2
( 4)
) ) (2 3)( 1)
3
) ( 2) ( 3) ) ( 4) ( 1)
x x
a b x x x x
x
c x x d x x
Giải
a)
( 4)
2
x x
x
3
3
4
x
x x
vậy S = (3; 6)
b) x x (2 x3)( x1) x x 2x 3 x
0
0
2
x
x
x x
Vậy S = [0; 3)
c)
2 2
2 ( 3) ( 3)
3
x x
x x x x x
x x
d)
2
4 ( 1) ( 1)
x x x x
4
1
1
x x
x
x x
ví dụ 5: Chứng minh bất phương trình:
a) ( 1 x3)(2 1 x 5) 1 x 3 có nghiệm
b)
2
2
1
1
1
x x
x x
vô nghiệm
GIẢI
a) Xét x = -8 BPT trở thành: ( 3)(2 5) 3 6.1 : đúng Vậy BPT có
nghiệm
b) Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có:
2
2
1
1 2,
1
x x x
x x
.Vậy bất phương trình vơ
nghiệm
ví dụ :6 Bất phương trình 2x – tương đương với BPT nào?
(1):
1
2
3
x
x x
(2):
1
2
3
x
x x
GIẢI
Ta có
1
2
2
(3)BPT (1) có điều kiện x3 nên không tương đương
BPT (2) có điều kiện x3(thoả mãn) nên tương đương.
Bài tập :
1 Tìm tập xác định bất phương trình :
2) 2 )
2
) )
3
1
a x x b x x
x
c d x x
x x
x
2 Giải bất phương trình :
2
2
) )
3
) (1 2) 2 ) ( 3) ( 3)
x x x
a x x b x
c x d x x
3 Giải bất phương trình sau :
2
) ) ) )
1
) ) ) ( 2) )
2
a x x b x c x d x
x
e f g x x x h x x
x x
4 Giải bất phương trình sau :
2 2 2
1
) ) 2( 1) 3( 1)
2
)5( 1) (7 ) ) ( 1) ( 3) 15 ( 4)
x x x x
a b x x x x
c x x x x d x x x x
Dạng 2:
Bất phương trình bậc nhất
* Giải biện luận BPT dạng: Dạng
ĐK a ax b 0 :ax b 0 ax b(1) ax b 0 :ax b 0 ax b (2)
a >
thì (1)
b x
a
tập nghiệm ( ; )
b S
a
thì(2)
b x
a
.Tập nghiệm S = [ ; )
b a
a <
thì (1)
b x
a
tập nghiệm ( ; )
b S
a
thì (2) x b a
.Tập nghiệm S = ( ; ]
b a
a = thì(1) 0.x b, đó:
* Khi b0thì BPT(1) vơ nghiệm:
S
* Khi b0thì nghiệm BPT(1)
là x: S R
thì (2) 0.xb, đó:
* Khi b < BPT(2) vơ nghiệm : S =
* Khi b0thì nghiệm BPT(2) x : S = R
Chú ý :
- Chuyển x bên, số bên - Có lấy dấu hay khơng
- Điều kiện cần để ax + b < vô nghiệm có nghiệm với x a = - Điều kiện để ax + b < có nghiệm a0, a = 0, b > 0.
- Dùng đồ thị, đường thẳng, tia, đoạn thẳng để giải toán
- Các trường hợp ax + b > 0, ax b 0 củng giải biện luận tương tự Ví dụ : Giải biện luận phương trình :
) ( ) )
) ( 1) ) ( 1)
a m x m x b mx x m
c x k x x d a x a x
GIẢI :
(4)Nếu m > (1) x m + S =
;m1
Nếu m < (1) x m + S =
m 1;
Nếu m = (1) 0.x (đúng) S = R.
b) mx 6 2x3m (m 2)x3(m 2) (2)
Nếu m > (2) x > 3 S =
3;
Nếu m < (2) x < 3 S =
; 3
Nếu m = (2) 0.x > (sai) S = c) c x) ( 1)k x 3x 4 (k 2)x 4 k (3)
Nếu k > (3) x <
4
k k
S =
4 ;
2
k k
Nếu k < (3) x >
4
k k
S =
4 ;
k k
Nếu k = (3) 0.x < (đúng) S = R
d) d a) ( 1)x a 3 4x 1 (a 3)xa 2 (4)
Nếu a > (4) x
2
a a
S =
2 ;
a a
Nếu a < (4) x
2
a a
S =
2 ;
3
a a
Nếu a = (4) 0.x -5 (đúng) S = R. Bài tập :
1 Giải biện luận phương trình :
a)m x m( ) 2(4 x) b)3x m m x( 3)
c) k x( 1) 4 x5 d) b x( 1) 2 x
2 Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm
a)m x2 4x 3 x m2 b) m x2 1 m (3m 2)x
3 Định m để bất phương trình
a) m x mx2 1 có tập nghiệp R; b) m mx2( 1)m(1 m x) có nghiệm c) (m1)x m 2m12 0 có tập nghiệm R
4 Tim a cho hai bất phương trình sau tương đương : (a1)x a 3 0 (1) (a1)x a 2 0(2)
5 Tìm m trường hợp
a) (m2)x 5 2m0, x
1;3
; b) mx 3 x4m 0, x Dạng 3: Hệ bất phương trình bậc nhất Phương pháp giải hệ bất phương trình bậc :
- Giải riêng phương trình hệ - Tìm giao tập nghiệm
Chú ý: Có thể kết hợp giải - Minh hoạ trục số
- Bài tốn điều kiện có nghiệm, vơ nghiệm xem xet đủ trường hợp xảy
,
; min
,
x A x A
x max A B x A B
x B x B
(5)
,
A B A B
max A B
; min
,
A B A B
A B
Ví dụ 1: Giải hệ bất phường trình
a)
7
5
5
2
x
x x
S
x x x
b)
2
3 ;
5
x x x
x S
x x x
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình:
a) 26 26 28 28
3
2 5 x x x x x x x
S =
26 28 ; b) 2
2
4
(1 ) 5
13
( 2)
19
x
x x x
x
x x x x x
S =
4 ;
Bài tập 1: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
a)
3
3
x x x m
b)
2 x m x
Đáp số: a) m < -5; b) m > -1
Bài tập 2: Tìm m đễ hệ vơ nghiệm:
a)
2
2
x x x m
b)
2
( 3)
2
x x x
m x
Đáp số: a) m
7
; b) m > 72 13 Bài tập 3: Tìm m để hệ:
a)
7 13
6 2
1
x x
m x m x
có nghiệm
b) x mx
có nghiệm đoạn có độ dài
GIẢI : (Hướng dẫn )
a)
23
7 13
2
6 2
1
x x
x
m x m x x m
Hệ cho có nghiệm khi:
2 1 23 25
2 2
m m m
b)
2
(*)
4
x x mx mx
Xét m = (*)
2 x x
Hệ có vơ số nghiệm (loại)
Xét m < (*)
2 x x m
(6)Xét m > (*)
2
4
4
x
x m x
m
Điều kiện để hệ có nghiệm đoạn có
độ dài
4 4
2
7
m
m m (chọn)
Vậy m =
7 thoả mãn yêu cầu toán đề ra.
Bài tập : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
2
8
x m
nx m
Đáp số: m = Bài tập 5: Tìm nghiệm nguyên hệ :
a)
5
6
7
8
2 25
x x
x
x
b)
1
15 2
3 14 2( 4)
2
x x
x x
Đáp số: a) x = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} b) x =
Dạng 4: Dấu nhị thức bậc
- Xét dấu nhị thức bậc f x( )b a, 0 :
Cho ( )
b
f x b x
a
Bảng xét dấu:
x b a/ f x( ) trái dấu a dấu a
- Đồ thị hàm số bậc y = ax + b ,a0 :
y y
x x
a > a < * Ứng dụng:
- Giải bất phương trình tích:
Đưa bất phương trình dạng A(x).B(x) > 0; A(x).B(x) 0,A(x).B(x).C(x) < 0,….
Sắp xếp cắc nghiệm nhị thức A(x), B(x), C(x),…theo thứ tự tăng dần Lập xét dấu để chọn miền nghiệm thích hợp
- Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu:
Đưa bất phương trình dạng
( ) ( ) ( ) ( )
0, 0, 0,
( ) ( ) ( ) ( )
P x P x P x P x
Q x Q x Q x Q x P(x),
Q(x) tích nhị thức bậc Sắp xếp nghiệm nhị thức theo thứ tự tăng dần, lập bảng xét dấu để chọn miền nghiệm thích hợp Chú ý, hàng cuối dùng dấu để nghiệm mẫu thức Q(x) = làm bất phương trình không xác định
(7)2
,
* ; 0;
,
0
*
0 *
*
*
A A
A A A A A A A
A A
B B
A B
B A B
A B
B B
A B
A B
A B
A B A B A B
A B A B A B
Ví dụ1 : Lập bảng xét dấu biểu thức:
a ) f(x) = ( -2x + )( x – )( x + ) b) f(x) = x( x - )2 ( - x ) GIẢI :
a) Các nhị thức bậc -2x + 3; x – 2; x + có nghiệm là:
2; 2; -4 Bảng xét dấu:
x
-4
3 2
-2x + + + -
-x – - - - +
x + - + + +
f(x) + +
-Tự rút kết luận b) Các nhị thức bậc x; ( x - )2;( - x ) có nghiệm là: 0; 2; 3 Bảng xét dấu: x
x - + + +
(x – 2)2 + + + +
3 – x + + +
-f(x) + + -Tự rút kết luận
Lưu ý: Ta vẽ lược đồ xét dấu (Phương pháp khoảng)
- Các nhị thức bậc khơng có nghiệm bội, mà có nghiệm đơi phân biệt
- Sắp xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần trục số
- Chọn khoảng xác định dấu f(x) khoảng
- Suy dấu f(x) khoảng cịn lại cho hai khoảng kề f(x) có dấu khác
Ví dụ : Lập bảng xét dấu:
2
4 ( 3)
) ( ) ) ( )
2 ( 5)(1 )
x x x
a f x b f x
x x x
(8)a) Điều kiện: x
, nhị thức bậc – 3x; 2x + 1; có nghiệm là:
4
;
Biểu diễn nghiệm trục số
+
-
3
-Ta có f(0) =
4 3.0
4 2.0
, f(x) >
1 ;
x
Từ ta xác định dấu
f(x) khoảng lại Vậy f(x) >
1 ;
x
f(x) <
1
; ;
2
x
f(x) = x =
f(x) không xác định x =
Nhận xét : Câu b) có nghiệm bội nên khơng dùng phương pháp 1 Phân tích xét dấu:
2
) ( ) ) ( ) (2 3)
a f x x x b g x x x
2 Giải bất phương trình:
(3 )( 2)
) )
1
x x
a b
x x x
3 Giải bất phương trình :
2
) ( 2)( 1)(4 5) )
3
x x
a x x x b
x x
4 Giải hệ bất phương trình :
2
( 3)( 2)
2
) 4 3 )
3 1
2
x
x x
a x b
x x
5 Giải bất phương trình :
2 1
) ) 2
( 1)( 2)
x
a b x x x
x x
6 Giải biện luận phương trình :
3
) (2 2)( ) )
2
x
a x x m b
x m
7 Giải biện luận tuỳ theo m hệ bất phương trình :
2
1 (1)
) )
(3 2) (2)
0
mx
a b x x
m x m
x m
8 Tìm m để hệ phương trình :
0
3
x x
x m