Đang tải... (xem toàn văn)
HỆ số bất định phân tích hẳng đẳng thức hệ số biến thiên hằng số biến thiên Bài toán hồi quy, hệ đối xứng Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Bài toán có nhiều cách giải 1. Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức. 2. Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 3. Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai. 4. Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương). 5. Kỹ năng giải hệ phương trình cơ bản – hệ đối xứng các loại.
TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG x CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: DẠNG TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ HỆ SỐ BẤT ĐỊNH PHÂN TÍCH HẰNG ĐẲNG THỨC THAM SỐ BIẾN THIÊN – HẰNG SỐ BIẾN THIÊN BÀI TOÁN HỒI QUY – HỆ SỐ ĐỐI XỨNG ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2013 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng, nhờ phần lớn cơng học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Khi bạn tức giận run trước bất cơng, bạn người đồng chí tơi” (Trích lời Che Guevara) CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO – PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Chương trình Đại số lớp THCS giới thiệu, sâu khai thác toán phương trình bậc hai, chương trình Đại số 10 THPT đưa tiếp cận tam thức bậc hai với định lý dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai ứng dụng Trong phương trình bất phương trình đại số nói chung, bắt gặp nhiều toán cps dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, tốn có mức độ khó dễ khác nhau, địi hỏi tư linh hoạt vẻ đẹp riêng ! Từ lâu rồi, vấn đề quan trọng, xuất hầu khắp công đoạn cuối định nhiều tốn phương trình, hệ phương trình chứa căn, phương trình vi phân, dãy số, Vì tinh thần, đơng đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chuyên gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Sự đa dạng hình thức lớp tốn đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình ưu tiên hạ giảm bậc toán gốc, cố gắng đưa dạng bậc hai, bậc dạng đặc thù (đã khái quát trước đó) Trong chuyên đề này, Tiếp theo lý thuyết phương trình – bất phương trình bậc cao, phân thức hữu tỷ phần 1, tác giả xin trân trọng tới quý độc giả lý thuyết phương trình – bất phương trình bậc cao, phân tích hữu tỷ phần 2, trình bày thêm số kỹ thuật – phương pháp giải như: Hệ số bất định – phân tích đẳng thức; Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn – tham số biến thiên – số biến thiên; Lớp toán hồi quy hệ số đối xứng, phản đối xứng; Phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình, phạm vi kiến thức phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 8, lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy giáo bạn u Tốn khác I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, đẳng thức Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai Sử dụng thành thạo ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) Kỹ giải hệ phương trình – hệ đối xứng loại CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài tốn Giải phương trình x x3 x x x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 3 x 1 x3 x x x x 3 x 1 x x 3 x x 3 x 3 x 1; x 3 x 1 x 3 x x 1 x x Phương trình (*) vơ nghiệm 3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 3;1 Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x3 x x x x x x x 3 x x x 3 x x x 1; x 3 x x 1 x x 3 x x x 1 x 3 x 3;1 x x 1 1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x x x x x x 20 x 12 x x x x x x 24 x 16 x x 3x 2 x x x x x 1 x 1 x 1 x 3 x 3;1 Kết luận phương trình cho có hai nghiệm x 3; x Nhận xét Ngồi lời giải phía trên, tốn cịn lời giải sử dụng ẩn phụ khơng hồn tồn – tham số biến thiên, xin khơng trình bày Lời giải dựa thao tác nhẩm nghiệm đặc biệt phương trình (tổng hệ số đa thức nên tất yếu có nghiệm 1, sử dụng phép nhóm nhân tử đưa phương trình tích bản) Lời giải sử dụng hệ số bất định phân tích trực tiếp đa thức bậc bốn thành hai tam thức bậc hai, phép nhân trả lại mang tính hình thức đảm bảo tính tự nhiên cho toán Lời giải khéo léo bất ngờ, sử dụng phân tích hiệu bình phương sau nhân thêm số Bài toán Giải phương trình x x3 x x x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x x x x x x x x 3 x x x 3 x x 3 x 3 x x 3 x x 1 x 2; x x 2; x x 2;3 2x 2x x x 1 1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x 5x3 x x3 x2 x x2 5x x2 x 5x 6 x x x x2 5x x 2; x x x 1 x x x x 1 x x 3 x x 1 Phương trình [*] vơ nghiệm Kết luận nghiệm S 2;3 Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x x x x x 20 x x 24 2 x x x x 36 x 60 x 25 x x x x 10 x 12 x x x x 3 x x x 2; x x 2; x x 2;3 x x 1 1 2x 2x Vậy phương trình cho có hai nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x x Đặt x t thu t x t x x t xt t x xt x x 6t t t x 1 x x t 1 x t 1 t x t x 1 x 2; x x x 1 x x x x 1 x x 3 x x 1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm Nhận xét Bài tốn có lời giải tương tự toán 1, lời giải sử dụng phương pháp ẩn phụ khơng hồn tồn – tham số biến thiên, vấn đề kỹ xin trình bày sau Phương trình đề có nghiệm nguyên đặc biệt nên sử dụng nhóm nhân tử (hoặc lược đồ Horne, chia đa thức ) đưa phương trình tích bình thường, nội dung lời giải Lời giải sử dụng phân tích hiệu bình phương sau nhân thêm số vào hai vế tương ứng (lưu ý nhân thêm tăng tính thẩm mỹ) Lời giải sử dụng hệ số bất định, phương pháp mạnh phân tích đa thức hệ số nguyên khả quy thành nhân tử, cịn nhiều khó khăn hệ số ngày lớn Cụ thể hóa toán với phương pháp hệ số bất định Giả sử có phân tích x x x x ax bx c mx nx p amx an bm x3 ap bn mc x bp cn x cp an bm 4 n b 4 ap bn mc p bn c Dễ thấy a m Sử dụng đồng thức ta có bp cn bp cn cp cp Giải hệ phương trình phức tạp, để đơn giản hóa thử chọn CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ n b 4 n 13 c 2; p 3b 2n b (Loại) bn 3 bn 3 n b 4 n c 3; p 2b 3n b 13 (Loại) bn 3 bn 3 n b 4 n 5 c 1; p 6b n b (Nhận) bn 5 bn 5 Chú ý nhiều trường hợp khác, nhiên cần dùng kết tốn coi kết thúc, nghiệm hốn vị cho trường hợp Kết thu x x 1 x x , từ nhân trả lại thu lời giải tự nhiên Bài tốn Giải phương trình x 10 x 35 x 50 x 24 x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x 3x x x 21x 24 x 12 x 36 x 24 x x 3x x x x 12 x x x x 12 x x x 3 x x 1 x x 1; 2;3; 4 Kết luận phương trình cho có bốn nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x 10 x 25 x 10 x 50 x 24 x x 10 x x 24 Đặt x x t thu t 10t 24 t t x x x x x x 3 x 1 x x 1; x 2; x 3; x Vậy phương trình cho có S 1; 2;3; 4 Bài tốn Giải phương trình x 3x x x x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x x x x x x x x x 1 x 1 x 2 1 x 12 1 x x x x x 1 1 Hai phương trình hệ vơ nghiệm, kết luận phương trình ban đầu vơ nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 2 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ x 3x 3 x x x x x 1 x x 1 x x 0; Đặt x u; x v thu u 3uv 2v u v u 2v x x 0; Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x 3x 3 x x x x x 3 x 4 x x x 4.3 x 1 x x 1 8 x x x 1 x 12 1 x x 3 x 1 x x x x 2 x 1 x 1 Kết luận phương trình cho vơ nghiệm 2 2 Nhận xét Bài toán lúc trở nên vơ nghiệm nên thao tác thử nghiệm dùng nhóm nhân tử theo nghiệm bất khả thi Trong trường hợp bạn sử dụng hệ số bất định quy dạng đồng bậc lời giải Lời giải sử dụng phân tích đẳng thức ấn tượng Trong phần đầu tài liệu tác giả trọng trình bày lời giải theo hướng hệ số bất định phân tích đẳng thức, bạn ý Bài toán Giải phương trình x 10 x x 24 x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x 10 x 25 x 16 x 24 x x x x 3 1 13 13 69 69 x x 3 x x 3 x ; ; ; 2 Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x 3 x x x 3 x x 3 1 13 13 69 69 x x 3 x x 3 x ; ; ; 2 1 13 13 69 69 ; ; ; Kết luận tập hợp nghiệm S 2 Nhận xét Dễ thấy nghiệm vơ tỷ nên thấy phương pháp nhẩm nghiệm nguyên nói chung bất khả thi, (mặc dù sử dụng định lý Viete để suy nhân tử thành cơng), tốn khơng nằm dạng đặc biệt mà ta biết Trong trường hợp bạn nghĩ tới kỹ thuật phân tích đẳng thức, đưa tốn nhân tử cách tự nhiên lời giải Vì lại có x 10 x x 24 x x x 3 x x 3 ? CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ Sử dụng phương pháp hệ số bất định Cụ thể hệ số hạng tử chứa x nên giả định x 10 x x 24 x x ax b x cx d x a c x b d ac x ad bc x bd Trong dễ thấy b; d 9; 1 , 9;1 , 3; 3 Hốn vị khơng thay đổi kết toán a c 10 b d ac Sử dụng đồng hệ số b; d 9; 1 , 9;1 , 3; 3 suy hệ số a, b, c, d ad bc 24 bd 9 Nếu tích hệ số bd q lớn, bạn sử dụng phép gán giá trị thử chọn Bài tốn Giải phương trình 21x x 10 x x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x 3 x x x 3 x x 3 5 21 5 21 13 13 x x 1 x x 3 x ; ; ; 2 2 Kết luận phương trình ban đầu có ba nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 25 x 10 x x x x 1 x 5 21 5 21 13 13 x x 1 x x 3 x ; ; ; 2 2 Kết luận phương trình cho có bốn nghiệm Bài tốn Giải phương trình x x x x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x x 1 x x 1 x 3x 1 13 13 3 3 ;x ;x ;x 2 2 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x 3x 1 x x 3x 1 x x 1 x 13 13 3 3 x 3x 1 x x 1 x ; ; ; 2 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm Bài tốn Giải phương trình x x x 28 x 24 Lời giải Điều kiện x x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ Phương trình cho tương đương với x x x 28 x 24 x x 1 x x 1 x x 1 24 x 1 x x x 24 x 1 x 1 x x x x 12 x x 1 x x x 12 x 1 x x x x 2;1; 2; 6 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x x x x x x 1 x x x x 2;1; 2; 6 Kết luận tập nghiệm S 2;1; 2; 6 Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x x x x 16 x 2 x x x x x 16 x 2 x x x 10 x x 14 x 12 x x x x 1 x x x x 2;1; 2; 6 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm Bài tốn Giải phương trình x x x x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x 8x x2 x x2 x 2 x 2x 2 x x 2 0, , phương trình vô nghiệm 22 2 ;x 2 Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x2 2x 2 x x Bài tốn 10 Giải phương trình x x x 14 x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x x 14 x x x x 1 x2 x x o x2 2x x x x 2 2x x 11 11 ;x 2 11 11 o x2 2x 7x x ;x 2 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 10 Nhận xét Đối với phương trình – bất phương trình bậc bốn khuyết hạng tử chứa x x quy 2 phân tích đẳng thức dạng m ax b n cx d Cụ thể hóa phân tích số tốn Bài tốn Giải phương trình 21x x 10 x 2 Biến đổi x 21x 10 x x b 21x 10 x 2bx b x b 21 2b x 10 x b Chú ý mục tiêu 21 2b x 10 x b n cx d [*] Giả định [*] hai phương trình ẩn x tương đương 21 2b x 10 x b n cx d Mặt khác phương trình n cx d ln có nghiệm x nhất, mục tiêu [*] tồn phương trình 21 2b x 10 x b có nghiệm kép (mặc định bỏ trường hợp hệ số 0) Nghĩa x 25 21 2b b 3 2b3 21b 6b 88 b 2b2 25b 44 2 Chọn nghiệm hữu tỷ b ta thu kết x x 1 Bài tốn Giải phương trình x x x Biến đổi x 2 x x x a 2 x x 2ax a 2a x x a Chú ý mục tiêu 2a x x a n cx d Phương trình 2a x x a có nghiệm kép x 16 2a a a a 4a 12 a a a 2 Chọn nghiệm hữu tỷ a ta thu kết x x Bài toán 11 Giải phương trình x x x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 2 x x x 24 x 36 x x x x x x 2 x 1 x 1 5 x x 1; x Vậy phương trình cho có hai nghiệm Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x 4 x x2 x x x 4 x2 x x x 8 x x x x 2x Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm 2 Bài tốn 12 Giải phương trình x x Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 1;1 x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 94 x y x y 2 2 2 xy x y xy x y xy x y xy 1 Đặt xy t [1] trở thành t t t t 4t t t t 9t t 1; t x y t 1 x2 x x xy x y o t 8 x x x x (Vô nghiệm) xy Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x o Bài toán 183 Giải phương trình x x x x x Lời giải Điều kiện x Đặt x y phương trình ban đầu trở thành x y xy Ta có hệ phương trình x y x y x y 3 x y xy x y xy x y xy 8 xy xy y 2 x x y x xy y 1 x 2x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x Bài tốn 184 Giải phương trình x x x Lời giải Điều kiện x Đặt 3x y phương trình cho trở thành x y Ta thu hệ phương trình 3x y x y x y x y 1 3x y 2 y x 2 Với x y x x x 1; 3 3x 1 21 21 x 3x x ; Với x y y 21 21 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm x 1; x ; x ;x 6 Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 27 x 36 x x 10 x 1 27 x 27 x x 10 x 1 21 21 x 1 3x x x 3 x x 1; ; ; 6 9 x x Kết luận phương trình ban đầu có bốn nghiệm kể CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 95 3 Bài toán 185 Giải phương trình x x Lời giải Điều kiện x Đặt x z phương trình cho trở thành x x 3 z x 3 z x 3 z 1 x z3 , Đặt z y 1 x3 y y x3 Ta thu hệ phương trình z y , y x Khơng giảm tính tổng qt, giả sử x max x; y; z x y; x z z x y x z x z x Khi z x x z z y z y x y z x Thu x x x x x 3 x 2 x 1 2 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x x 3 Bài tốn 186 Giải phương trình x 1 x 1 Lời giải Điều kiện x Đặt x z phương trình ban đầu trở thành 3 x 3 x3 x3 1 z 1 2z 2z 1 x3 3 Đặt z y y y 1 x x y 1, Ta thu hệ phương trình y z 1, z x Khơng giảm tính tổng qt, giả sử x max x; y; z x y; x z Dễ thấy x y x y z x z x z x ; z x z x y z y z 1 1 Vậy x y z x x x 1 x x 1 x 1; ; 2 Kết luận phương trình cho có ba nghiệm x3 3 Bài toán 187 Giải phương trình 3 125 x 3 Lời giải Điều kiện x Đặt x z , phương trình ban đầu trở thành x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 96 3 x3 3 x3 x3 2 3 125.2 z 5z 5z x3 x3 Đặt z y thu y3 y y x3 2 x y 3, Như ta có hệ phương trình 2 y z 3, 2 z x Khơng giảm tính tổng qt, giả sử x max x; y; z x y; x z Khi x y x y z x3 z x z x z x z 5x y3 z y z x y z 1 1 Suy x3 x x 1 x x 3 x 1; ; 2 Kết luận phương trình cho có ba nghiệm 3 Bài toán 188 Giải phương trình 3 x x Lời giải Điều kiện x Đặt x z phương trình ban đầu trở thành x 3 3 3 x 3z 3x z 3x z Đặt z y thu x3 x 3z , y 3x y Kết hợp lại ta có hệ phương trình z y , y 3x Khơng giảm tính tổng qt, giả sử x max x; y; z x y; x z Khi x y x y z 3x z x x z Suy x z 3z y z y x y z 3 33 3 33 ;x 6 3 33 3 33 Vậy phương trình cho có ba nghiệm x 1; x ;x 6 Cho nên x3 x x 1 3x x x 1; x x 3 Bài toán 189 Giải phương trình 125 x Lời giải Điều kiện x Đặt x z , phương trình cho trở thành x 3 x 3 x3 x3 125 z 5z 5z CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 97 5 x z , x 4 3 Đặt z y ta có y x y Kết thu hệ phương trình 5 y x , 5 z y 3 Không giảm tính tổng quát, giả sử x max x; y; z x y; x z Xét hai trường hợp xảy x y z 5x y z z x3 y3 z x y x y z x z y x z y z y x3 z y x x y z 1 17 1 17 ; Như x y z x x x 1 x x x 1; 2 Kết luận phương trình cho có ba nghiệm x 3 Bài tốn 190 Giải phương trình 27 x 27 Lời giải Điều kiện x Đặt x y phương trình cho trở thành x 3 x 3 x3 2 y x3 y 27 y 27 27 27 3 x y , 3 x z x3 3z Ta thu hệ phương trình 3 y z , Đặt y z thu 27 3 z x Khơng giảm tính tổng qt, giả sử x max x; y; z x y; x z Xét hai trường hợp xảy x y z 3x y 3z y z x y z x x y z x z y 3x z y y x z y x z x y z Như x y z x x x 1 x x 2;1 Kết luận tập nghiệm S 2;1 Bài toán 191 Giải phương trình x3 x x x3 x x x3 x x 7 1 8x 8 x Lời giải Điều kiện x x3 x2 x y x3 x2 x y Đặt Phương trình cho trở thành y y y x Suy ta có hệ phương trình x3 x2 x y x3 y3 x y x y y x y y y 8x x y x xy y x y 15 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 98 o x y x x x x 1 x 1 x 1;1 o x xy y x y 15 3 2 44 2 (Vô nghiệm) x y x y x y 15 x y x y 4 4 3 Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x 1; x Bài tốn 192 Giải phương trình x 3 x x 3 x x x 3 x x x 3 x x Lời giải Điều kiện x Đặt x x x y phương trình cho trở thành y y y x Kết quy hệ x3 x2 x y x3 y x2 y x y y x y y 2y 3 x x y x y x xy y x y 3 2 x xy y x y x y x x x x 1 x x 3 x 1 x 1 2 x 2 x xy y x y 3 2 x y x y x y x y x y (Vô nghiệm) 4 4 3 Kết luận phương trình cho có nghiệm Bài tốn 193 Giải phương trình x x x x3 x x x x x x x Lời giải Điều kiện x Đặt x x x y phương trình ban đầu trở thành y y y x Thu hệ phương trình x3 x2 x y x3 y3 x y x y y x y y y x x y x xy y x y x xy y x y 3 2 2 x y x y x y x y x y (Vô nghiệm) 4 4 3 x x y x x x 1 x x x x 1 1 Kết luận phương trình cho có nghiệm CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 99 Nhận xét Không xét cách giải tổng qt kinh điển, phương trình bậc cao nói chung đa dạng, phong phú, cách tiếp cận phương pháp giải kéo theo ngày phổ biến, mở rộng Kỹ thuật sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình phương án khả thi lớp phương trình bậc cao có cấu trúc đặt biệt, xây dựng từ phép rút hệ phương trình, đa số hệ phương trình đối xứng hệ lặp ba ẩn, bốn ẩn, hệ hốn vị vịng quanh, Bằng cách thay ẩn biểu thức hỗn hợp, phức tạp người ta tạp hàng trăm ngàn toán, lớp tốn khác với mức độ khó, chí khó, địi hỏi nắm vững kiến thức tảng, tư logic sáng tạo không ngừng người làm, khơng liên tục cập nhật xuất tình trạng "ếch ngồi đáy giếng", lạc hậu, tự mãn Hệ phương trình đối xứng loại I hệ phương trình đối xứng loại II đề cập nhiều tài liệu, đề tài bản, thực tế nhiều bạn học sinh trở nên thục, đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng kỳ thi Tốn cấp, việc thay đổi hình thức tốn theo cách nhìn khác làm cho nhiều bạn lúng túng cục ! Toàn kiến thức kỹ cần thiết hệ phương trình tác giả xin trình bày tiêu mục hệ phương trình – Quân đoàn Tăng thiết giáp Sau tác giả xin giới thiệu đơi nét hệ phương trình hốn vị vịng quanh, nhằm mục đích để bạn làm quen có cách nhìn "nhẹ nhàng" tốn phương trình bậc cao phía (từ 185 đến 190) f x g y , Hệ hốn vị vịng quanh ba ẩn, gọi hệ lặp ba ẩn (tùy theo số ẩn) có dạng f y g z , f z g x Trong f t , g t hàm số thực biến x, y, z Thông thường hàm số f t , g t đơn điệu (đồng biến nghịch biến) Để giải hệ phương trình thường giả sử x max x; y; z x y; x z (tương tự giả sử y z số lớn nhất) Sử dụng kiến thức bất đẳng thức tập trung chứng minh ba biến x, y, z Có nhiều cách trình bày, suy hai ba biến nhau, từ có ba biến Ngồi bạn chia hai trường hợp lời giải toán 189, 190 Sau phép lập luận thao tác giải phương trình 3 x3 y 2, ẩn không phức tạp Lấy ví dụ điển hình giải hệ phương trình hốn vị 3 y z 2, 3 z x Không giảm tính tổng quát, giả sử x max x; y; z x y; x z Chúng ta có hai phương án sử dụng giả thiết z x 1 5 x y 3z x x y 3 2 y z 3 x y 5 y z z x Trong phương án (1), rõ ràng x z x z 3z y z y x y z x z Trong phương án (2), theo điều giả sử x max x; y; z x y; x z khơng có z y ! Do khơng thể lập luận tiến thêm được, thất bại Mong bạn ý điều này, tránh ngộ nhận đáng tiếc Ngồi xét hai trường hợp x y z; x z y , thao tác xử lý x y làm trên, chất trên, chặt chẽ hơn, khẳng định "đinh đóng cột" trường hợp có x y z Những toán đơn giản xây dựng từ hàm đơn điệu f x , g x , trường hợp phức tạp khơng đơn điệu thao tác khó khăn chuyển theo hướng khác ! CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 100 Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1 17 2 x x 3 16 x 1 x 2 3 x x x 2 3 12 x x2 3x x 1 3x 1 x 1 x 1 x x 1 3x x x x 1 15 x x 10 x x 11 x x 12 x 3 x 13 x 1 x 14 x x 15 x x 16 x x 17 x x 18 x 1 x 19 x x 1 x 20 x 3x 3 x 3x 3 x 21 x x 1 x x 1 x 22 x 3x x x x 23 x x x x x 24 x 3x 3 x x 3 x 25 x x x x x 26 x3 1 x 1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 101 y2 3 27 x3 28 x x 18 x 45 x x3 29 3x x3 30 5y x3 31 9x 3x3 x 32 3x x x 33 x3 x 1 27 x 36 1 x x x x 3x 6x 34 3x 35 10 x 10 x x x3 x 36 2x x3 x x3 x 2x 1 37 2 38 x 3x x x 1 x x x3 x 5x 39 3x x 3x x 40 4x 4 x3 3x 41 2x 9x x3 5x 42 x x 1 x 8 x3 x x3 x 7x 43 7 15 x x 44 x x 1 8 x 45 x 4 x3 x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 102 46 x3 x x3 x 32 x 47 72 x x 1 x3 x 48 243 x3 3x 1 x x 49 x3 x x3 x 50 x x x3 x 51 128 x3 x 1 x x 14 x3 3x x3 x 52 5 53 x x x x 54 45 x 14 x 63 32 x3 x 55 x x 12 x x 30 x x x x x x x x x x3 x x 56 1 4x 4 4 x x 10 x x3 x 10 x x x 10 x 57 10 13x 13 13 13 x x 19 x x x 19 x x3 x 19 x 2 19 22 x 58 22 22 22 3 x3 x x x3 x2 x x3 x x 59 11x 11 11 11 x x x x3 x x x3 x2 x 60 14 x 14 14 14 3x x x x x x 3x x x 5x 61 5 3x x x 3x x x 3x x x 62 8x 8 x3 x2 x x3 x x x3 x x 9x 63 9 11x3 x x 11x3 x x 11x x x 10 x 64 11 10 10 10 3 x x x x3 x x x3 x x 65 5 1 8x 8 x3 x x x3 x x x3 x2 x 4 66 1 7x 7 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 103 x x x 19 67 x 19 x x 19 x x x 21 68 x 22 x x 21 x x 3x 17 69 x 15 x x 17 x3 x 70 x 2x x5 x x 10 71 x x 10 2x x3 3x 72 3x x 3x 3 73 x x 3 x x 3 x x3 x 74 3x x 3x x3 x x 75 5x x6 x x x 10 76 x x 10 2x x3 3x 8x 77 x x 17 13 x x 11x 12 x 78 x 17 x 21 x 13 x x 13x 14 79 x 3x x x 13x 12 80 27 x x x x x 20 x 21 81 x 24 x 21 x 22 x x x 31 82 18 x 10 x 20 x3 x 83 x x 5x x2 84 x x 1 x3 x2 x x 1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 104 3 85 x 3 x x 3 x 11 3 86 x 1 x x 1 x 4 87 x 1 x x x 17 x3 3 88 5 2 27 3x x3 3 89 5 216 x x 3 90 343 x x 18 3 91 18 27 3x 18 x 3 92 2 27 x x 10 3 27 93 10 x 10 94 2 x x 1 x8 x 1 95 x3 x 1 x8 x 96 x3 3x 1 x8 x 97 x 3x x 1 27 x8 x 98 10 x x 27 x8 x 99 x 11x x x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QN ĐỒN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 105 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển tốn 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Tốn nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đồn Quỳnh – Dỗn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập toán hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng tốn điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ơn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 106 22 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 23 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 24 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn khối đến khối 12 cấp 25 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 26 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 27 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 28 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 29 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 107 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ 108 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM E2 F5 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... thuyết phương trình – bất phương trình bậc cao, phân thức hữu tỷ phần 1, tác giả xin trân trọng tới quý độc giả lý thuyết phương trình – bất phương trình bậc cao, phân tích hữu tỷ phần 2, trình. .. THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG... THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO, PHÂN THỨC HỮU TỶ (PHẦN 2) _ Sử dụng phương pháp hệ số bất định