PT Đại số bậc cao một ẩn

S lc Phng trỡnh bc cao mt n - Lờ Xuõn Tip - THPT C Kim Bng - H Nam PHầN Mở ĐầU 1- Lý do chọn đề tài : Phơng trình là một mảng hết sức phong phú và đa dạng với rất nhiều phơng pháp," thủ thuật" giải khác nhau. Từ xa xa con ngời đã bắt tay vào nghiên cứu và giải các phơng trình nhng với tính phong phú và đa dạng nên phơng trình cũng là một mảng rất khó, nó đã tiêu tốn biết bao công sức của các nhà khoa học trên thế giới nh phơng trình Fermat cũng cần đến thời gian dài hằng thế kỷ con ngi mới giải đợc. Do tính đặc trng, sự nhất quán của từng dạng phơng trình và yêu cầu t ra đảm bảo cho học sinh có thể nắm bắt đợc kiến thức về một số phơng trình đại số một ẩn bậc cao một cách có hệ thống, từ đó tìm ra phơng pháp gii ngắn gọn, thích hợp nhất khi giải một phơng trình. Trớc yêu cầu đó tôi mạnh dạn tìm hiểu chuyên đề Sơ lợc về phơng pháp giải một số phơng trình đại số một ẩn bậc cao trong nhà trờng phổ thông. Nhằm giúp đỡ các em học sinh có thêm sự hiểu biết sâu về bản chất của từng phơng trình, và các phơng pháp tốt nhất để giải phơng trình đó. Chuyên đề về Sơ lợc về phơng pháp giải một số phơng trình đại số một ẩn bậc cao trong nhà trờng phổ thông, đợc thực hiện trong nội dung chơng trình phổ thông. Trong đó kiến thức cơ bản chủ yếu nằm trong chơng trình đại số lớp 10, ngoài ra là một số kiến thức cơ bản khác có liên quan. Một trong những điểm mới của SGK Giải tích 12 là chúng ta đã đa chơng số Phức vào để giảng dạy cho học sinh, vì thế tôi cũng đã mạnh dạn xét một số phơng trình (PT) trên cả trờng số phức Ê . Chuyên đề này tôi hệ thống lý thuyết của một số phơng trình đại số một ẩn số bậc cao, rồi từ đó xây dựng lên phơng pháp dùng để giải một số phơng trình đại số một ẩn số trong nhà trờng phổ thông. Dựa vào sự nghiên cứu sâu về nguồn gốc, bản chất, cách giải một số phơng trình đại số một ẩn số, từ đó: i. Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải phơng trình có tính chất đúng đắn chặt chẽ. Từ đó hình thành và định hớng cách giải phơng trình phù hợp với trình độ và nhận thức của từng học sinh. ii. Giúp học sinh dễ ràng phân loại các phơng trình để tìm ra cách giải hay nhất, hợp lí nhất . iii. Tôi đa ra một số nhận xét, chú ý của mình trong khi giải một phơng trình, nhằm hạn chế cho học sinh những lỗi thờng vấp phải khi giải phơng trình. Với những nghiên cứu về: Lý thuyết phơng trình và phơng pháp giải một số phơng trình đại số một ẩn số trong nhà trờng phổ thông, tôi hy vọng rằng chuyên đề này sẽ giúp đỡ phần nào quá trình học tập, nghiên cứu của các em học sinh ở phổ thông. Các em sẽ có những hiểu biết sâu sắc hơn, linh hoạt và sáng tạo trong việc giải 1 S lc Phng trỡnh bc cao mt n - Lờ Xuõn Tip - THPT C Kim Bng - H Nam phơng trình đại số một ẩn số ở phổ thông. Để từ đó các bạn tạo dựng cho mình những kĩ năng, kĩ xảo linh hoạt giữa việc nghiên cứu lí thuyết và thực hành giải toán. Nghiên cứu cách giải các phơng trình đại số là một mảng rất lớn, đòi hỏi phải có nhiều thời gian và công sức. Trong điều kiện có hạn, tôi chỉ dám tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến cách giải một số phơng trình đại số một ẩn. Tôi hy vọng chuyên đề của tôi sẽ là hớng mở để các thầy cô giáo nghiên cứu mở rộng sang các phơng trình đại số nhiều hơn một ẩn. 2 - Nhiệm vụ nghiên cứu : - Kỹ năng giải phơng trình các dạng : phơng trình bậc ba, phơng trình tích, ph- ơng trình trùng phơng, phơng trình đối xứng - Kỹ năng giải phơng trình bậc cao quy về bậc nhất, bậc hai ở các dạng cơ bản mà học sinh đã học. 3- Đối tợng nghiên cứu : - Học sinh các lớp 10A4, 10A5, 10A6 trờng THPT C Kim Bảng - Các phơng pháp giải phơng trình bậc cao đa về bậc nhất, bậc hai trong chơng trình toán lớp 10 4- Phơng pháp nghiên cứu : - Phơng pháp nghiên cứu lý luận. - Phơng pháp điều tra. - Phơng pháp thực nghiệm s phạm. 5- Phạm vi nghiên cứu : Giới hạn ở vấn đề giảng dạy phần phơng trình bậc cao trong chơng trình toán THPT ( cụ thể ở các lớp 10 A4, 10A5, 10A6 trờng THPT C Kim Bảng ). Nội dung đề tài nghiên cứu I - Cơ sở lý luận và thực tiễn : Để giải một bài toán đòi hỏi ngời giải phải biết phân tích để khai thác hết giả thiết, các điều kiện yêu cầu của đề bài, thể loại bài toán để từ đó định hớng cách giải. Đại bộ phận học sinh chúng ta không hiểu rõ sự quan trọng cần thiết của việc phân tích và nhận định hớng giải, nhiều em không học lý thuyết đã vận dụng ngay, không giải đợc thì chán nản, bỏ không giải hoặc giở sách giải ra chép v.v Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt khi dạy chơng phơng trình ta thấy các dạng phơng trình đa dạng và phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ năng biến đổi đại số nh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng, dùng các phép biến đổi tơng đơng và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử 2 S lc Phng trỡnh bc cao mt n - Lờ Xuõn Tip - THPT C Kim Bng - H Nam Công cụ giải phơng trình đòi hỏi không cao xa, chỉ với kiến thức toán THPT là đủ. Cái quan trọng là yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có sự lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trờng hợp cụ thể của từng vấn đề. Đặc biệt là yêu cầu đối với những học sinh khá, giỏi phải hết sức sáng tạo, linh hoạt trong khi giải phơng trình, biết đặc biệt hoá và tổng quát hoá những vấn đề cần thiết. Là giáo viên trong quá trình giảng dạy việc cung cấp kiến thức cho học sinh phải thực sự đúng quy trình các bớc biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống, không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho các em học sinh thói quen cẩn thận, kỹ năng giải bài tập hợp lôgíc toán học. Việc giải phơng trình bậc cao quy về bậc một nằm trong chơng trình bậc nhất một ẩn phần cuối chơng, đây là một vấn đề khó với các em học sinh trung bình và học sinh đại trà, số tiết dạy cho phần này lại ít. * Đối với giáo viên : Phải hệ thống đợc các khái niệm và các định nghĩa cơ bản của các dạng phơng trình, các tính chất và các cách giải phơng trình từ đơn giản đến phức tạp. Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm đợc những ứng dụng đa dạng, phong phú của phơng trình. Mặt khác phải lựa chọn các phơng pháp thích hợp đối với từng đối tợng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ của giáo viên. * Đối với học sinh : Nắm chắc một cách có hệ thống các khái niệm, định nghĩa, các phép biến đổi tơng đơng, các tính chất và các hệ quả. Từ đó phát triển khả năng t duy, lôgíc cho ngời học. Giúp cho học sinh có một khả năng độc lập, suy diễn và vận dụng, rèn trí thông minh cho học sinh. Đồng thời cho học sinh thấy đợc sự thuận tiện hơn rất nhiều trong giải phơng trình. Ch ơng I : MT S C S Lí THUYT V PHNG TRèNH MT N S Đ1. CC KHI NIM C BN CA PHNG TRèNH MT N S 1. Cỏc nh ngha: 1.1. Định nghĩa ph ơng trình một ẩn số. Phơng trình với một ẩn số: =( ) ( )f x g x (1) 3 S lc Phng trỡnh bc cao mt n - Lờ Xuõn Tip - THPT C Kim Bng - H Nam là một đẳng thức giữa hai hàm số = ( )y f x và = ( )y g x của cùng một biến số x (đại lợng biến đổi), đẳng thức này chỉ đúng với một số giá trị xác định của biến số ấy. Biến số đ- a vào trong phơng trình đợc gọi là ẩn số. Ví dụ: Cho + = +3 2 5x x là phơng trình một ẩn số. Trong đó: = +( ) 3f x x ; = +( ) 2 5g x x . 1.2. Tập xác định. Giả sử = ( )y f x có tập xác định D 1 và = ( )y g x có tập xác định D 2 thì tập xác định của phơng trình (1) là tập hợp các giá trị thừa nhận đợc của đối số (tập hợp các giá trị của đối số làm cho hằng thức trong phơng trình có nghĩa) đó là tập D = D 1 D 2 1.3. Nghiệm của ph ơng trình. Nếu x lấy giá trị 0 x D mà 0 0 ( ) ( )=f x g x là một đẳng thức đúng thì 0 x đợc gọi là nghiệm của phơng trình (1), hoặc thỏa mãn phơng trình (1) hoặc phơng trình (1) đợc thỏa mãn với 0 =x x Tập hợp tất cả các nghiệm của phơng trình đợc gọi là tập nghiệm của phơng trình. Kí hiệu là: S Vậy: ( ) ( ) { } 0 0 0 S x D f x g x= = 1.4. Giải ph ơng trình. Giải phơng trình là tìm tập nghiệm S của nó. Nếu S đợc biểu thị bởi một hay nhiều công thức thì đợc gọi là nghiệm tổng quát của phơng trình. S có thể là tập hữu hạn hay vô hạn. Ta nói phơng trình vô nghiệm nếu tập nghiêm S của phơng trình (1) là rỗng S = , tức là không có giá trị nào của D sao cho ( )f x và ( )g x bằng nhau. Phơng trình đợc gọi là có nghiệm nếu tập nghiệm S của phơng trình khác rỗng ( S D ), tức là có ít nhất một giá trị 0 x D thỏa mãn phơng trình (1), hoặc tập nghiệm S D= tức là bất kì giá trị 0 x nào của 0 (x x D) cũng thỏa mãn phơng trình (1). 2. Các ví dụ. 2.1. Ví dụ 1. + = 2 2 ( 3)( 4) 0x x là phơng trình một ẩn số. 4 S lc Phng trỡnh bc cao mt n - Lờ Xuõn Tip - THPT C Kim Bng - H Nam +) Trên Ơ : PT có tập xác định là D = Ơ nên PT vô nghiệm ( = S ) +) Trên Ô : Phơng trình có tập xác định (TXĐ): D = Ô Phơng trình vô nghiệm: S = +) Trên Ă : Phơng trình có TXĐ: D = Ă Phơng trình có nghiệm là: { } = 3, 3S +) Trên Ê : PT có tập xác định: D = Ê PT có tập nghiệm { } ; ; ;= S 3 3 2i 2i 2.2. Ví dụ 2. Cho phơng trình trên Ă : =x x + TXĐ : D = Ă + Tập nghiệm : M = { } Ă 0x x là tập các số thực không âm. Đ2. CC TNH CHT CA PHNG TRèNH MT N S 1. S tng ng gia cỏc phng trỡnh: Để cho gọn ta viết 1 2 ( ), ( )p x p x để chỉ hai phơng trình hay hệ tuyển phơng trình một ẩn hay hai ẩn. 1.1. Định nghĩa. Gọi 1 2 ,S S lần lợt là tập nghiệm của 1 ( )p x và 2 ( )p x khi đó: +) 2 ( )p x đợc gọi là hệ quả của 1 ( )p x nếu 1 2 S S Kí hiệu: 1 2 ( ) ( )p x p x +) 1 ( )p x và 2 ( )p x gọi là tơng đơng nếu S 1 = S 2 . Kí hiệu: 1 2 ( ) ( )p x p x hoặc : 1 2 ( ) ( )p x p x . 1.2. Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hai phơng trình trên Ă : 1 ( )p x : = 3 1x x = 2 2 ( ) : 2 0p x x x Ta có { } = 1 2S , { } = 2 1;2S do đó 1 2 S S 5 S lc Phng trỡnh bc cao mt n - Lờ Xuõn Tip - THPT C Kim Bng - H Nam Vậy 1 2 ( ) ( )p x p x . Ví dụ 2: Cho hai PT: ( ): ( ) : 2 1 4 2 p x x 2 0 p x x 1 0 = + = Ta thấy: Trên ,Ơ Ô là tơng đơng vì : = = 1 2 S S Trên R là không tơng đơng vì: { } ; ;= = 1 2 S 2 2 S 2. Các tính chất. 2.1. Tính chất 1. Cho phơng trình =( ) ( )f x g x , nếu ( )h x có nghĩa trong tập xác định của phơng trình đã cho thì : = + = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x 2.1.1. Hệ quả 1. Có thể chuyển các hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình và đổi dấu của hạng tử đó ta đợc phơng trình tơng đơng : + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x f x g x h x 2.1.2. Hệ quả 2. Mọi phơng trình đều có thể đa về dạng phơng trình mà vế phải bằng không : = =( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x Do đó ta luôn có thể kí hiệu phơng trình là: =( ) 0F x (*) Chú ý: Điều kiện h(x) có nghĩa trong tập xác định của phơng trình là điều kiện đủ nhng không cần, tức là nếu có điều kiện ấy thì hai phơng trình là tơng đơng, nếu không có điều kiện ấy thì phơng trình trên có thể là tơng đơng mà cũng có thể là không tơng đơng . 2.1.3. Ví dụ. Cho các ph ơng trình : = 2 1x (1) + 2 1 2 x x = + 1 1 2x (2) Ta thấy (1) và (2) là tơng đơng vì tập nghiệm S 1 = S 2 = { } 1;1 , dù = 1 ( ) 2 h x x không có nghĩa tại = 2x thuộc tập xác định của phơng trình đã cho. Nhng ta xét phơng trình: = 2 1x (1) + = + 2 1 1 1 1 1 x x x (2) 6 S lc Phng trỡnh bc cao mt n - Lờ Xuõn Tip - THPT C Kim Bng - H Nam (1) và (2) là không tơng đơng vì = 1 ( ) 1 h x x không có nghĩa tại = 1x là nghiệm của (1). Vậy điều kiện của định lý có thể phát biểu là: ( )h x có nghĩa tại tất cả các nghiệm của phơng trình =( ) ( )f x g x . Nhng điều kiện yếu hơn này lại có tác dụng trong việc giải phơng trình vì nếu đã biết trớc các nghiệm rồi thì chẳng cần phải biến đổi nữa. 2.2. Tính chất 2. Cho phơng trình =( ) ( )f x g x , nếu biểu thức ( )h x có nghĩa và khác đa thức không trong miền xác định của phơng trình đã cho thì : = =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x 2.2.1. Hệ quả 1. Có thể nhân hai vế của một phơng trình với một số khác không tùy ý : ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ); 0f x g x kf x kg x k 2.2.2. Hệ quả 2. Đối với mọi hàm số ( ), ( )f x g x và ( ) 0h x thì : = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x h x g x h x và ( ) 0h x (*) Chú ý: Ta có thể nhận xét về ( )h x tơng tự nh tính chất 1. 2.2.3. Hệ quả 3. Đối với mọi hàm số ( ), ( )f x g x và ( )h x thì : = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x h x g x h x 2.3. Tính chất 3. Nếu nâng hai vế của một phơng trình lên một lũy thừa bậc lẻ thì ta đợc một ph- ơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho: [ ] [ ] + + = = 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x với Ơ * k (*) Chú ý: Nếu ta nâng hai vế của phơng trình lên một lũy thừa bậc chẵn thì nói chung ta đợc một phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho mà không thu đợc phơng trình tơng đơng: [ ] [ ] = = 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x với Ơ * k Ví dụ. Phơng trình: =3 2x có tập nghiệm S 1 = { } 5 . 7 S lc Phng trỡnh bc cao mt n - Lờ Xuõn Tip - THPT C Kim Bng - H Nam Phơng trình: ( ) = 2 2 3 2x có tập nghiệm S 2 = { } 1;5 Do đó: ( ) = = 2 2 3 2 3 2x x 3. Nghiệm ngoại lai, mất nghiệm. 3.1. Nghiệm ngoại lai. Nếu sau một phép biến đổi nào đó tập xác định của phơng trình đã cho mở rộng ra thì tập nghiệm của nó cũng có thể mở rộng ra, có thể xuất hiện những nghiệm ngoại lai (nghiệm thừa) đối với phơng trình đã cho. Những nghiệm ngoại lai đó (nếu có) là những nghiệm của phơng trình biến đổi thuộc vào phần mở rộng của tập xác định. Nếu tập xác định mở rộng ra nhng không có nghiệm ngoại lai thì phơng trình đã cho và phơng trình biến đổi vẫn tơng đơng. 3.2. Mất nghiệm. Nếu sau một phép biến đổi nào đó tập xác định của phơng trình đã cho thu hẹp lại thì tập hợp nghiệm của nó cũng có thể thu hẹp lại, một số nghiệm nào đó có thể bị mất đi. Nhng nghiệm mất đi đó (nếu có) là những nghiệm của phơng trình đã cho thuộc vào phần bị thu hẹp của tập xác định. Nếu tất cả các giá trị của ẩn số trong miền bị thu hẹp không thỏa mãn phơng trình đã cho và phơng trình biến đổi vẫn tơng đơng. Ví dụ: Cho hai phơng trình trên Ă : + = 1. 1 2 2x x (1) = 2 1 2 2x (2) Ta có: TXĐ: D 1 = [ ) +1; D 2 = ( ] [ ) + ; 1 1; Tập nghiệm: S 1 = { } 3 ; S 2 = { } 3;3 Khi biến đổi phơng trình từ (1) sang (2) đã mở rộng tập xác định D 1 D 2 (S 1 S 2 ), nên đã xuất hiện nghiệm ngoại lai là: 3x = ,và phép biến đổi từ (1) sang (2) không phải là phép biến đổi tơng đơng . (*) Chú ý: Trờng hợp xuất hiện nghiệm ngoại lai hoặc mất nghiệm thờng gặp ở trờng hợp chúng ta biến đổi về dạng chính tắc. Khi biến đổi chúng ta cần đặc biệt lu ý tới phơng trình dạng phân thức đại số và dạng vô tỉ . 8 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xuân Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam §3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 MỘT ẨN SỐ 1. Phương trình bậc ba một ẩn số 1.1 Định nghĩa Phương trình bậc ba một ẩn số là phương trình có dạng: 3 2 ax +bx +cx+d=0 trong đó x là ẩn số, a, b, c, và d là các hằng số đã biết hoặc là các tham số ( a ≠ 0 ) 1.2 Phép giải tổng quát một phương trình bậc ba đầy đủ: 1.2.1 Xét phương trình bậc ba với hệ số phức: 3 2 ax +bx +cx+d=0 ( 1 ) với a ≠ 0 Đặt 3 b y x a = + hay 3 b x y a = − thay vào ( 1 ) ta được: 3 2 (1) 0 3 3 3 b b b a y b y c y d a a a       ⇔ − + − + − + =  ÷  ÷  ÷       2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 0 3 27 3 2 0 (2) 3 27 3   ⇔ + − + − + =  ÷     ⇔ + − + − + =  ÷   b b cb ay c y d a a a c b b cb d y y a a a a a Đặt: 2 2 3 3 2 3 2 27 3 c b p a a b cb d q a a a  = −     = − +   Thay vào (2) ta có: 3 (2) 0y py q⇔ + + = (3) PT (3) được gọi là phương trình bậc ba thu gọn. Để giải phương trình này ta đặt: y u v= + (*), thay vào (3) ta có: ( ) 3 (3) ( ) 0u v p u v q⇔ + + + + = ( ) ( ) 3 3 3 0u v u v uv p q⇔ + + + + + = (4) 9 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xuân Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam Ta có (*): ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 3 0(5) y u v y u v y u v uv u v y uv u v u v y uvy u v = + ⇔ = + ⇔ = + + + ⇔ − + − − = ⇔ − − − = Trong PT (5) ta coi y là ẩn, u, v là các tham số. Đồng nhất (5) với (3) ta được: ( ) 3 3 3p uv q u v = −    = − +   (6) hay 3 3 3 3 3 27 p u v u v q  = −    + = −  Vậy luôn có những số phức u 3 , v 3 thỏa mãn là nghiệm của PT bậc hai: 3 2 0 27 p t qt+ − = (7) PT (7) có 2 3 ' 4 27 q p ∆ = + Suy ra: 2 3 3 2 3 3 2 4 27 2 4 27 q q p u q q p v  = − + +     = − − +   (**) ( Do ' ∆ là số phức nên ' ∆ là luôn tồn tại ) Đặt: 2 3 3 1 2 3 3 1 2 4 27 2 4 27 q q p u q q p v   = − + +    = − − +   Khi đó u 1 , v 1 thỏa mãn (6) Mặt khác xét căn bậc n của đơn vị , ta có: 10 [...]... Hà Nam § 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN MỘT ẨN SỐ 1 Phương trình bậc bốn một ẩn số 1.1 Đònh nghóa: Phương trình bậc bốn một ẩn số là phương trình có dạng: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + k = 0 (1) trong đó x là ẩn số, a, b, c, d, k là các hằng số đã biết hoặc các tham số với a ≠ 0 1.2 Phép giải tổng quát một phương trình bậc bốn đầy đủ ( phương pháp Ferrari) Xét phương trình bậc bốn với hệ số phức: ax 4 + bx 3 +... Các số y1 , y2 , y3 là các số thực Nhưng muốn tính chúng theo cơng thức Cardano thì lại phải lấy căn bậc ba của những số phức Người ta đã chứng minh được rằng : " 13 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xn Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam Trong trường hợp ∆ < 0, khơng thể biểu thị các nghiệm của (3) bằng các căn thức với lượng thực dưới căn" 1.2.3 Ví dụ: Giải phương trình bậc ba sau trên trường số. .. p3 = 0 (6) 4 Ta coi (6) là một phương trình bậc ba với ẩn ϕ ( phương trình này ta đã biết cách 3 2 ( 2 ) giải ) Ta gọi phương trình (6) là phương trình giải của phương trình đã cho Giả sử 21 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xn Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam tìm được ϕ 0 là một nghiệm của phương trình (6), tức là vế phải của phương trình (5) phân tích được dưới dạng một chính phương: ( p + 2ϕ0... của phương trình bậc bốn Vậy phép giải một phương trình bậc bốn đã được đưa về phép giải một phương trình bậc ba và hai phương trình bậc hai Ta suy ra rằng: " phương trình bậc bốn tổng quát giải được bằng căn thức" Abel và Galois đã chứng minh được rằng: " không thể giải được bằng căn thức các phương trình tổng quát có bậc lớn hơn bốn" Hơn thế nữa Galois đã tìm ra tiêu chuẩn để biết một phương trình... phương trình đã cho có bốn nghiệm : x = 1, x = 2, x = i, x = −i 1.4 Đònh lý Viete đối với phương trình bậc bốn một ẩn số trên R Giả sử x1 , x2 , x3 , x4 là bốn nghiệm của phương trình bậc bốn : ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + k = 0 Khi đó ta có hệ thức sau: 23 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xn Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam  b x1 + x2 + x3 + x4 = −  a   x x +x x +x x +x x = c 2 3 3 4 4 1  1 2... nếu λ > 0 2 Ta có : x + λ2 x2 2 3 = y − 2λ , x + λ3 x3 = y 3 − 3λ y, 31 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xn Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam Cuối cùng ta được một phương trình theo y, giải phương trình ẩn y và chọn y thỏa mãn điều kiện trên 2 Một số phương trình đối xứng đặc biệt 2.1 Phương trình đối xứng bậc 5: a0 x 5 + a1 x 4 + a2 x 3 + λ a2 x 2 + λ 3 a1 x + λ 5a0 = 0 ( ) ( (4) ) Ta có : (4)... Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xn Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam λ2 y0 = x + ⇔ x 2 − y0 x + λ 2 = 0 x (20) Giải phương trình 20 ta tìm được nghiệm của phương trình đã cho Như vậy ta thấy các phương trình đối xứng tổng qt có bậc khơng lớn hơn chín đều có thể giải được bằng căn thức  - §6 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 1 Ph¬ng ph¸p t×m... (**) ta có u3 = v3 và là số thực Gọi u1 là căn bậc ba thực của u3 Theo (6) thì v1 cũng là căn bậc ba thực của v3 và ta có u1 = v1 Vậy theo (9) ta có 3 nghiệm thực y1, y2, y3 với y2 = y3 +) Nếu ∆ < 0: Ta chú ý bổ đề: " Mọi đa thức với hệ số thực có bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực " ( Việc chứng minh bổ đề này các thầy cơ giáo và các em học sinh có thể xem trong cuốn: Đại Số Đại Cương của tác giả Hồng... trình phản thương tương tự như cách giải phương trình phản thương 3.4 Một số bài tốn 3.4.1 Bài tốn 1: Điều kiện để phương trình: ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = 0 (3.4) +) Có bốn nghiệm phân biệt 27 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xn Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam +) Có ba nghiệm phân biệt +) Có hai nghiệm phân biệt +) Có một nghiệm Lời giải +) Phương trình (3.4) đã cho có bốn nghiệm phân biệt... trình: ay2 + by + c + 2at = 0 (3.4") có hai nghiệm phân biệt y1 và y2 • Có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (3.4") có nghiệm kép y1 = y2 4 Một số phương trình bậc bốn đặc biệt khác 4.1 Phương trình: 28 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xn Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam ( x + a) + ( x + b) 4 4 = c (4.1) Lời giải : Đặt y = x a+b a+b ⇔ x =y− 2 2  a−b x+a= y+   2 Do đó :  x + b = y − a . (PT) trên cả trờng số phức Ê . Chuyên đề này tôi hệ thống lý thuyết của một số phơng trình đại số một ẩn số bậc cao, rồi từ đó xây dựng lên phơng pháp dùng để giải một số phơng trình đại số một. phân thức đại số và dạng vô tỉ . 8 Sơ lược Phương trình bậc cao một ẩn - Lê Xuân Tiếp - THPT C Kim Bảng - Hà Nam §3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 MỘT ẨN SỐ 1. Phương trình bậc ba một ẩn số 1.1 Định. trình đại số một ẩn số trong nhà trờng phổ thông. Dựa vào sự nghiên cứu sâu về nguồn gốc, bản chất, cách giải một số phơng trình đại số một ẩn số, từ đó: i. Trang bị cho học sinh một số phơng pháp