Chương 1. Hàm véc tơ

Trong phần này, chúng ta trình bày ý nghĩa của véc tơ tiếp tuyến, véc tơ pháp tuyến và độ cong được sử dụng trong vật lý để nghiên cứu chuyển động của các đối tượng, bao gồm cả vận tốc[r]

1.0 Nhắc lại số kiến thức liên quan 1

1.0.1 Hệ trục tọa độ vng góc khơng gian 1

1.0.2 Véc tơ 1

1.0.3 Tích vơ hướng 2

1.0.4 Tích hữu hướng 2

1.0.5 Đường thẳng mặt phẳng 3

CHƯƠNG HÀM VÉC TƠ

1.1 Hàm véc tơ đường cong không gian 5

1.2 Đạo hàm tích phân hàm véc tơ 10

1.2.1 Đạo hàm 10

1.2.2 Quy tắc tính đạo hàm 12

1.2.3 Tích phân 13

1.3 Độ dài cung độ cong 13

1.3.1 Độ dài cung 13

1.3.2 Độ cong 15

1.3.3 Véc tơ pháp tuyến phó pháp tuyến 17

1.4 Chuyển động không gian: Vận tốc gia tốc 19

1.4.1 Vận tốc gia tốc 19

1.4.2 Các thành phần tiếp tuyến pháp tuyến gia tốc 22

Trang 1.0 Nhắc lại số kiến thức liên quan

1.0.1 Hệ trục tọa độ vng góc khơng gian

Trong khơng gian, hệ trục tọa độ vng góc xyz bao gồm ba đường thẳng định hướng, gọi trục, có tính chất: (a) Từng đơi vng góc với

(b) Cùng giao điểm, gọi gốc tọa độ

(c) Nếu người đứng dọc theo trục z cho hướng dương từ chân lên đến đầu thấy hướng quay trục x quanh gốc tọa độ góc nhỏ để trùng với vị trí trục y ngược chiều kim đồng hồ

(d) Trên trục có quy ước đơn vị độ dài (thường ba trục nhau) Xét điểm P cố định Từ P ta hạ đường vng góc xuống mặt phẳng xy, giao điểm Q đường với mặt phẳng xy gọi hình chiếu vng góc P lên mặt phẳng xy

Từ P ta hạ đường vng góc cắt trục x điểm ta gọi điểm chiếu vng góc P lên trục x Tương tự ta có hình chiếu lên mặt phẳng trục lại

Khi đó, điểm P khơng gian hoàn toàn xác định có thứ tự giá trị a, b c Các giá trị a, b c nhận cách kẻ đường vng góc từ P tới trục tọa độ x, y z

Cũng nhờ có hệ trục tọa độ mà đường cong hay mặt cong xác định phương trình Với đối tượng, xét hệ trục tọa độ khác phương trình tương ứng khác

1.0.2 Véc tơ

Khái niệm véc tơ dùng để đối tượng có độ lớn lẫn hướng (ví dụ lực, vận tốc, gia tốc, …) Chúng ta thường biểu thị véc tơ mũi tên đoạn thẳng định hướng

Trong khuôn khổ tài liệu này, sử dụng chữ đậm để biểu thị véc tơ, ví dụ véc tơ a, r, T, N, … Nhưng để nhấn mạnh điểm đầu A, điểm cuối B véc tơ, sử dụng ký hiệu mũi tên, ví dụ a = ⃗

Khi biểu thị tọa độ véc tơ, sử dụng cặp ⟨⟩, ví dụ u = ⟨1, 2, –2⟩ Nếu u = ⟨u1, u2, u3⟩ độ lớn u, ký hiệu |u|, tính theo công thức

| | = + +

Véc tơ có độ lớn gọi véc tơ đơn vị Dễ thấy |u| ≠ u/|u| véc tơ đơn vị có phương chiều trùng với u

Người ta quy ước ba véc tơ đơn vị ba trục x, y z tương ứng

i = ⟨1, 0, 0⟩ j = ⟨0, 1, 0⟩ k = ⟨0, 0, 1⟩

Nếu biết tọa độ (các thành phần) hai điểm mút véc tơ, ta xác định tọa độ véc tơ Ví dụ, với A(xA, yA, zA) B(xB, yB, zB) ⃗ = (xB – xA, yB – yA, zB – zA)

Từ ta có cơng thức để tính khoảng cách hai điêm A B:

= ( − ) + ( − ) + ( − )

Trang Quy tắc hình bình hành:

Phép nhân vô hướng: λu ⟨λu1, λu2, λu3⟩, véc tơ có độ lớn |λ| lần độ lớn véc

tơ u, có phương trùng với phương u, chiều với u λ > 0, ngược chiều λ <

Véc tơ có độ lớn 0, xem hướng với véc tơ, xem vng góc với véc tơ khác

Các tính chất bản:

1 a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c a + = a a + (-a) =

5 c(a + b) = ca + cb (c + d)a = ca + da (cd)a = c(da) 1a = a

1.0.3 Tích vơ hướng

Giả sử u = ⟨u1, u2, u3⟩, v = ⟨v1, v2, v3⟩ Khi tích vơ hướng

u ∙ v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Gọi θ góc hai véc tơ u v u ∙ v = |u||v|cos θ Vì hai véc tơ vng góc với tích vơ hướng chúng

Một số tính chất:

1 a ∙ a = |a|2 2 a ∙ b = b ∙ a 3 0∙ a = 0

4 a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c (ca) ∙ b = c(a ∙ b) = a ∙ (cb) Các cosine phương:

Gọi α, β γ tương ứng góc tạo véc tơ a = ⟨a1, a2, a3⟩ với ba trục tọ độ x, y z

cos =

| | cos =| | cos =| |

cos + cos + cos = + +

| | =

Ví dụ Một toa xe kéo khoảng cách D = 100 m dọc theo đường ngang lực không đổi F = 70 N Tay đẩy toa xe nghiêng góc 35o so với phương nằm ngang Tính cơng sinh lực trên.

Giải Công sinh tính theo cơng thức

W = F ∙ D = |F||D|cos35o = (70 N)(100 m)cos35o

≈ 5734 N.m = 5734 J 1.0.4 Tích hữu hướng

Trang

× = = 〈 − , − , − 〉

Véc tơ u × v thỏa tính chất

(a) Vng góc với hai véc tơ u v

(b) Độ lớn: |u × v| = |u||v|sinθ (Nếu u // v tích 0)

(c)Tam diện tạo véc tơ theo trình tự u, v u × v tam diện thuận

(ví dụ, u v tương ứng đồng phương chiều với trục x y u × v đồng phuong chiều với trục z.)

Ứng dụng: Diện tích hình bình hành |u × v| = |u||v|sinθ = A

Một số tính chất:

1 a × b = -b × a (ca) × b = c(a × b) = a × (cb)

3 a × (b + c) = a × b + a × c (a + b) × c = a × c + b × c

5 a ∙ (b × c) = (a × b) ∙ c a × (b × c) = (a ∙ c)b – (a ∙ b)c

Tích hỗn hợp:

( × ) ∙ =

Ứng dụng: Thể tích V = Ah, A – diện tích đáy, h chiều cao Ta thấy A = |b × c|, h = |a|cosθ, ta có

V = |b × c||a|cosθ = |(b × c) ∙ a| = |a ∙ (b × c)|

Mô men xoắn τ gốc tọa độ định nghĩa tích hữu hướng véc tơ vị trí véc tơ lực: τ = r × F

|τ| = |r||F|sinθ Ví dụ, bu lông xiết chặt lực 40 N với cờ lê dài 0.25 m hình bên phải Khi độ lớn mơ men xoắn tâm bu lơng

|τ| = |r × F| = |r||F|sin75o = (0.25 m)(40 N) sin75o = 10sin75o N.m ≈ 9.66 N.m Véc tơ mô men xoắn τ = |τ|n ≈ 9.66n (N.m), n véc tơ đơn vị hướng vào phía 1.0.5 Đường thẳng mặt phẳng

Đường thẳng

Trang

Giả sử P(x, y, z) điểm thuộc L Ký hiệu r0 véc tơ vị trí điểm P0, r véc

tơ vị trí điểm P a véc tơ ⃗ Khi r = r0 + a Nhưng a // v nên a = tv,

phương trình L r = r0 +tv = ⟨x0 + mt, y0 + nt, z0 + pt⟩ Phương trình tham số

= + = + t = = + = +

Hay viết dạng phương trình tắc (đối xứng): −

= − = −

Xét hai véc tơ vị trí r0 r1 đường thẳng Thay v = r1 – r0 vào ta r = r0 +tv = r0 + t(r1 – r0) = (1 – t)r0 + tr1

Khi t biến thiên từ đến véc tơ r di chuyển từ r0 đến r1 Vì phương trình đoạn thẳng đường thẳng có hai đầu mút r0 r1 là:

r = (1 – t)r0 + tr1 ≤ t ≤

Mặt phẳng

Mặt phẳng xác định điểm P0(x0, y0, z0) thuộc véc tơ n vng góc với nó, gọi véc tơ pháp tuyến Giả sử P(x, y, z) điểm thuộc mặt phẳng, giả sử r0 r tương ứng véc tơ vị trí ứng với P0 P Khi véc tơ r – r0 vng góc với n nên n ∙ (r - r0) = Đây gọi phương trình véc tơ mặt phẳng

Nếu n = ⟨A, B, C⟩

n ∙ (r - r0) = ⇔⟨A, B, C⟩ ∙ ⟨x – x0, y – y0, z – z0⟩ = 0, hay

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =

Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm (1, 2, -3) vng góc với véc tơ

⟨-3, 2, 1⟩

Giải Phương trình mặt phẳng cần xác định -3(x – 1) + 2(y – 2) + (z + 3) =

hay 3x – 2y – z – =

Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P0(x0, y0, z0) song song với hai véc tơ không đồng phương a = ⟨a1, a2, a3⟩ b = ⟨b1, b2, b3⟩

Giải Đặt n = a × b n vng góc với mặt phẳng cần xác định Giả sử P(x, y, z) điểm

bất kỳ thuộc mặt phẳng, ( × ) ∙ ⃗ = Nhưng biểu thức tích hỗn hợp

được xác định định thức sau, ta có

− − −

=

Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) C(xC, yC, zC)

Giải Giả sử P(x, y, z) điểm thuộc mặt phẳng Đặt a = ⃗ b = ⃗, ta xem mặt phẳng cần tìm song song với a b, qua điểm C Vậy phương trình mặt phẳng

− − −

− − −

Trang CHƯƠNG HÀM VÉC TƠ

Các hàm mà sử dụng hàm có giá trị số thực Bây nghiên cứu hàm có giá trị vectơ hàm cần thiết để mô tả đường cong mặt cong không gian Chúng ta sử dụng hàm có giá trị véc tơ để mô tả chuyển động đối tượng không gian Đặc biệt, sử dụng chúng để nhận lại định luật Kepler chuyển động hành tinh

1.1 Hàm véc tơ đường cong không gian

Tổng quát, hàm véc tơ hàm xác định tập trục thực giá trị hàm véc tơ Chúng ta thường hay quan tâm đến hàm r, mà ứng với giá trị thực t, giá trị hàm véc tơ không gian ba chiều:

r(t) = x(t), y(t), z(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

trong hàm thành phần x(t), y(t) z(t) hàm số biến số thực, i, j k véc tơ đơn vị tương ứng với trục x, y z

Miền xác định r(t) miền mà hàm thành phần đồng thời xác định (giao miền xác định hàm thành phần)

Chúng ta sử dụng chữ t (time) cho biến độc lập biểu thị thời gian hầu hết ứng dụng hàm véc tơ

Ví dụ Nếu r(t) = 〈 , (3 − ), √ 〉 hàm thành phần tương ứng x(t) = t3, y(t) = ln(3 – t), z(t) = √

Miền xác định r(t) – t > t  0, tức nửa đoạn [0, 3) [1] Định nghĩa lim

→ ( ) = 〈lim→ ( ), lim→ ( ) , lim→ ( )〉

với giả thiết giới hạn hàm thành phần tồn Nếu lim

→ ( ) = L ta nói độ lớn hướng véc tơ r(t) dần tới độ lớn hướng véc tơ L

Ví dụ Tìm lim

→ ( ), với ( ) = (1 + ) + + Lời giải Theo Định nghĩa 1,

lim

→ ( ) = lim→ (1 + ) + lim→ + lim→ = i + k ∎

Hàm véc tơ r(t) gọi liên tục  lim

→ ( ) = r() Điều tương đương với tất hàm thành phần liên tục 

Có liên hệ hàm véc tơ liên tục với đường cong không gian

Giả sử f, g h hàm số biến số thực liên tục miền I Khi tập C gồm tất điểm (x, y, z) không gian với

[2] x = f(t), y = g(t), z = h(t)

khi t biến thiên miền I gọi đường cong không gian (space curve) Phương trình [2] gọi phương trình tham số (parametric equations) C t gọi tham số

Trang

Chúng ta xem đường cong C vẽ điểm (f(t), g(t), h(t)) t biến thiên miền I Nếu ta coi r(t) = f(t), g(t), h(t) r(t) véc tơ ứng với điểm P(f(t), g(t), h(t)) đường cong C Do hàm véc tơ liên tục xác định đường cong khơng gian, Hình

Ví dụ Mơ tả đường cong xác định hàm véc tơ r(t) = 1 + t, + 5t, –1 + 6t

Lời giải Phương trình tham số tương ứng

x = + t y = + 5t z = –1 + 6t

Đây phương trình đường thẳng qua điểm (1, 2, –1) song song với véc tơ v = 1, 5, 6 Nếu ký hiệu véc tơ r0 = 1, 2, –1 r(t) = r0 + vt gọi phương trình

véc tơ đường thẳng ∎

Đường cong phẳng mơ tả dạng phương trình véc tơ Ví dụ, đường thẳng mơ tả phương trình tham số x = t2 – 2t y = t + mơ tả

r(t) = t2 – 2t, t + 1 = (t2 – 2t) i + (t + 1) j i = 1, 0 j = 0, 1

Ví dụ Phác họa đường cong có phương trình véc tơ r(t) = cost i + sint j + t k

Lời giải Phương trình tham số đường cong là:

x = cost y = sint z = t

Vì x2 + y2 = cos2t + sin2t = nên đường cong nằm mặt

trụ tròn x2 + y2 =

Điểm (x, y, z) nằm điểm (x, y, 0) di chuyển ngược chiều kim đồng hồ vòng tròn x2 + y2 = thuộc mặt phẳng xy (Hình chiếu đường cong lên mặt phẳng xy có phương trình véc tơ r(t) = cost, sint, t Đường cong xoắn theo hướng lên quanh hình trụ t tăng Đường cong mơ tả Hình 2, cịn gọi đường xoắn ốc (helix) ∎ Hình dạng xoắn ốc đường cong Ví dụ quen thuộc ta liên tưởng đến lị xo Nó xuất mơ hình DNA (deoxyribonucleic acid, vật liệu di truyền tế bào sống) Năm 1953 James Watson Francis Crick cho thấy cấu trúc phân tử DNA hai liên kết, đường xoắn ốc song song đan quyện vào Hình

Trong Ví dụ Ví dụ 4, đưa phương trình véc tơ đường cong u cầu mơ tả hình học phác thảo Trong hai ví dụ sau, đưa mơ tả hình học đường cong yêu cầu tìm phương trình tham số đường cong

Ví dụ Tìm phương trình véc tơ phương trình tham số đoạn thẳng nối hai điểm P(1, 3, –2) Q(2, –1, 3)

Lời giải Phương trình véc tơ đoạn thẳng nối hai mút véc tơ r0 r1 Hình

Trang

r(t) = (1 – t)r0 + tr1  t  Ở lấy

r0 = 1, 3, –2 r1 = 2, –1, 3

ta nhận phương trình véc tơ đoạn thẳng PQ: r(t) = (1 – t) 1, 3, –2 + t2, –1, 3  t  r(t) = 1 + t, – 4t, –2 + 5t  t 

Phương trình tham số tương ứng

x = + t y = – 4t z = –2 + 5t  t  ∎ Ví dụ Tìm phương trình véc tơ biểu thị giao tuyến mặt trụ x2 + y2 = mặt phẳng

y + z =

Lời giải Hình mơ tả giao mặt phẳng với mặt trụ, Hình mô tả giao tuyến C, đường ellipse

Hình chiếu C lên mặt phẳng xy đường trịn có phương trình x2 + y2 = 1, z = Phương trình tham số x = cost y = sint  t  2

Từ phương trình mặt phẳng ta có z = – y = – sint Vậy phương trình tham số C

x = cost y = sint z = – sint  t  2

Tương ứng, phương trình véc tơ

r(t) = cost i + sint j + (2 – sint) k  t  2

 Sử dụng máy tính để vẽ đường cong

Đường cong khơng gian vốn khó vẽ tay đường cong phẳng Để đảm bảo độ xác cần phải sử dụng cơng nghệ Ví dụ, Hình vẽ máy tính mơ tả đường cong với phương trình tham số

x = (4 + sin20t)cost y = (4 + sin20t)sint z = cos20t

Nó gọi xoắn ốc hình xuyến (toroidal spiral) nằm hình xuyến Một đường cong thú vị nữa, gọi chia ba thắt nút (trefoil knot), có phương trình

Trang

Ngay đường cong không gian vẽ máy tính, ảo giác quang học gây khó khăn để nhận đường cong thực Điều đặc biệt Hình Ví dụ cho thấy làm để khắc phục vấn đề

Ví dụ Sử dụng máy tính để vẽ đường cong với phương trình véc tơ r(t) = t, t2, t3 Đường cong gọi xoắn bậc (twisted cubic)

Lời giải Chúng ta sử dụng máy tính để vẽ đường cong cho phương trình tham số x = t y = t2 z = t3 –2  t 

Trong MATLAB, dùng hàm plot3(): >> x = -2:.01:2; y = x.^2; z = x.^3;

>> plot3(x,y,z)

>> grid on; axis square dùng hàm ezplot3():

≫ ezplot3('t', 't^2', 't^3', [-2, 2])

Kết thể Hình 9(a), thật khó để nhìn thấy chất thật đường cong từ hình vẽ Hầu hết chương trình đồ họa ba chiều máy tính cho phép người dùng đặt đường cong mặt cong hộp thay hiển thị trục tọa độ Khi nhìn vào đường cong đặt hộp Hình 9(b), có hình ảnh rõ ràng đường cong Chúng ta thấy leo lên từ góc hộp tới góc gần nhất, vừa xoắn vừa leo

Trang

Chúng ta nhận nhiều đặc tính đường cong quan sát từ nhiều điểm khác Phần (c) cho thấy kết quay hộp để nhận điểm nhìn khác Phần (d), (e) (f) nhận nhìn thẳng vào mặt hộp Đặc biệt, phần (d) cho thấy nhìn trực tiếp từ hộp Nó hình chiếu đường cong mặt phẳng xy, parabol có phương trình y = x2 Phần (e) cho thấy chiếu mặt phẳng xz Đấy lý đường cong gọi xoắn bậc

Một phương pháp khác vẽ đường cong khơng gian mặt cong Ví dụ, xoắn bậc Ví dụ nằm mặt trụ parabol y = x2 (Loại bỏ tham số t từ hai phương trình tham số đầu tiên, x = t y = t2.) Hình 10 mơ tả mặt trụ đường xoắn bậc 3, thấy đường cong di chuyển lên dọc theo bề mặt hình trụ Chúng ta sử dụng phương pháp Ví dụ để quan sát đường xoắn nằm hình trụ trịn (xem Hình 2)

Phương pháp thứ ba để mơ tả xoắn bậc nhận nằm mặt trụ z = x3 Vì vậy, xem giao tuyến mặt trụ y = x2 z = x3 (xem Hình 11)

Một ví dụ điển hình đường cong khơng gian quỹ đạo hạt tích điện dương điện trường từ trường trực giao E and B Tùy thuộc vào vận tốc ban đầu, đường hạt đường cong khơng gian có hình chiếu mặt phẳng nằm ngang cycloid, Hình 12(a), đường cong có hình chiếu trochoid, Hình 12(b) Hình 13 cho thấy đường cong Hình 12(b) đưa lệnh tubeplot Maple

Trong MATLAB, để vẽ Hình 12(a), dùng hàm plot3: ≫ x = 0:.1:6*pi;

≫ plot3(x-sin(x), - cos(x), x) ≫ hold on; grid on

≫ plot3(x-sin(x), - cos(x), x.^0) Hoặc dùng hàm ezplot3:

≫ ezplot3('t-sin(t)','1-cos(t)','t',[0,6*pi]) ≫ hold on

Trang 10 Để vẽ Hình 13, dùng hàm tubeplot3:

≫ x = 0:.1:6*pi;

≫ tubeplot3(x-sin(x), - cos(x), x,.5) >> nice3d

1.2 Đạo hàm tích phân hàm véc tơ

Trong phần sử dụng hàm véc tơ để mô tả chuyển động hành tinh vật thể khác không gian Trước hết cần mở rộng phép toán vi phân tích phân cho hàm véc tơ

1.2.1 Đạo hàm

Đạo hàm hàm véc tơ định nghĩa giống hàm biến số thực [1] Định nghĩa

= ( ) = lim

→

( + ℎ) − ( ) ℎ

giới hạn tồn

Ý nghĩa hình học định nghĩa thể Hình Nếu điểm P Q tương ứng mút véc tơ r(t) r(t + h) PQ biểu thị véc tơ r(t + h) – r(t), xem véc tơ cát tuyến Nếu h > ( ) ( ) hướng với r(t + h) – r(t)

Khi h  0, véc tơ dần đến véc tơ nằm đường tiếp tuyến Vì vậy, véc tơ r'(t) gọi véc tơ tiếp tuyến đường cong điểm P Tiếp tuyến C P đường thẳng đi qua điểm P song song với véc tơ r'(t)

Nếu r'(t)  0, véc tơ tiếp tuyến đơn vị xác định

( ) = ( )

| ( )|

[2] Định lý Nếu r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k, f(t), g(t) h(t) hàm khả vi r'(t) = f '(t), g'(t), h'(t) = f '(t) i + g'(t) j + h'(t) k

Chứng minh ( ) = lim

∆ →

∆ [ ( + ∆ ) − ( )]

= lim ∆ →

1

∆ [〈 ( + ∆ ), ( + ∆ ), ℎ( + ∆ )〉 − 〈 ( ), ( ), ℎ( )〉]

= lim ∆ →

( + ∆ ) − ( )

∆ ,

( + ∆ ) − ( )

∆ ,

Trang 11 = lim

∆ →

( + ∆ ) − ( )

∆ , lim∆ →

( + ∆ ) − ( )

∆ , lim∆ →

ℎ( + ∆ ) − ℎ( ) ∆

= 〈 ( ), ( ), ℎ′( )〉 ∎

Ví dụ

a) Tìm đạo hàm r(t) = (1 + t3) i + te–t j + sin2t k b) Tìm véc tơ tiếp tuyến đơn vị điểm t = Lời giải

a) Theo Định lý 2, r'(t) = 3t2 i + (1 – t)e–t j + 2cos2t k

b) Vì r(0) = i ≠ r'(0) = j + 2k nên véc tơ tiếp tuyến đơn vị điểm (1, 0, 0)

(0) = ′(0)

| ′(0)|=

+

√5 =

1

√5 +

2 √5 Ví dụ Cho đường cong ( ) = √ + (2 − )

Tìm r'(t) phác họa r(1) véc tơ tiếp tuyến r'(1) Lời giải Ta có ( ) =

√ − (1) = − Đây đường cong phẳng

Khử t từ hai phương trình = √ , y = – t ta nhận

y = – x2, x  Trên Hình ta vẽ véc tơ vị trí r(1) xuất phát gốc tọa độ véc tơ tiếp tuyến

r'(1) xuất phát điểm tương ứng (1, 1) ∎

Chúng ta sử dụng MATLAB để vẽ Hình sau:

≫ x = 0:.1:2; y = 2-x.^2; % Chuẩn bị liệu với x miền [0, 2] ≫ plot(x, y, 'm'); % Vẽ với màu magenta

≫ axis([-.5 -.5 2.5]) % Đặt độ rộng cho trục tọa độ ≫ hold on % Chuyển chế độ hình cũ ≫ arrow([0,-.5],[0,3]) % Vẽ trục tung

≫ text(.1,2.4,'y') % Gắn nhãn 'y' lên đầu trục tung ≫ arrow([-.5,0],[2.5,0]) % Vẽ trục hoành

≫ text(1.9,0.1,'x') % Gắn nhãn 'x' vào cuối trục hoành ≫ text(-.1,-.1,'0') % Gắn nhãn '0' cạnh gốc tọa độ ≫ arrow([1,1],[1/2,-1],'r') % Vẽ véc tơ tiếp tuyến với màu red ≫ arrow([0,0],[1,1],'g') % Vẽ véc tơ vị trí với màu green ≫ text(1.1,1,'(1,1)') % Gắn nhãn '(1, 1)' cạnh điểm (1, 1)

≫ text(1.5,.2,'r''(1)') % Gắn nhãn r'(1) vào cạnh véc tơ tiếp tuyến ≫ text(.6,0.8,'r(1)') % Gắn nhãn r(1) vào cạnh véc tơ vị trí

Ví dụ Tìm phương trình tham số tiếp tuyến đường xoắn ốc cho phương trình tham số: x = 2cost y = sint z = t điểm (0, 1, /2)

Lời giải Phương trình véc tơ đường xoắn ốc r(t) = 2cost, sint, t, r'(t) = –2sint, cost, 1

Giá trị tham số ứng với điểm (0, 1, /2) t = /2, véc tơ tiếp tuyến r'(t) = –2, 0, 1

Tiếp tuyến đường qua điểm (0, 1, /2) song song với véc tơ –2, 0, 1, phương trình tham số

Trang 12 Đường cong tiếp tuyến mơ tả Hình

Để vẽ đường cong Hình 3, dùng hàm ezplot3: >> ezplot3('2*cos(t)', 'sin(t)', 't', [0,4*pi])

Cũng hàm biến số thực, đạo hàm cấp hàm véc tơ r(t) đạo hàm véc tơ r'(t), tức r" = (r')' Cụ thể, đạo hàm cấp hàm véc tơ Ví dụ

r"(t) = –2cost, –sint, 0

1.2.2 Quy tắc tính đạo hàm

Định lý sau cho thấy cơng thức tính đạo hàm hàm biến số cho hàm véc tơ

[3] Định lý Giả sử u v hàm véc tơ khả vi, c đại lượng vô hướng f hàm biến số khả vi Khi

1 [ + ] = + ′

2 [ ] = ′

3 [f(t)u]' = f '(t)u + f(t)u' [u  v]' = u'  v + u  v' [u × v]' = u' × v + u × v'

6 ( ) = ( ) ′( ( )) (Quy tắc dây chuyền – Chain Rule)

Chúng ta chứng minh công thức 4, việc chứng minh cơng thức cịn lại coi tập Chứng minh công thức

Giả sử ( ) = 〈 ( ), ( ), ( )〉, ( ) = 〈 ( ), ( ), ( )〉

( ) ∙ ( ) = ( ) ( )

Khi

[ ( ) ∙ ( )] = ( ) ( ) = [ ( ) ( )]

= [ ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )] = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )

= ( )∙ ( ) + ( ) ∙ ′( ) ∎

Ví dụ Chỉ | ( )| = - số r'(t) trực giao với r(t) với t Lời giải Theo cơng thức Định lý 3, ( ) ∙ ( ) = | ( )| = (hằng số) nên

0 = [ ( ) ∙ ( )] = ( )∙ ( ) + ( ) ∙ ( )= ( ) ∙ ′( )

Trang 13 1.2.3 Tích phân

Tích phân xác định hàm véc tơ liên tục định nghĩa giống hàm biến số thực, ngoại trừ giá trị tích phân véc tơ Chúng ta biểu diễn tích phân r theo tích phân hàm thành phần f, g h sau

( ) = lim

→ (

∗)∆

= lim

→ (

∗)∆ + ( ∗)∆ + ℎ( ∗)∆

= lim

→ (

∗)∆ + lim

→ (

∗)∆ + lim

→ ℎ(

∗)∆

Vì

( ) = ( ) + ( ) + ℎ( )

Điều có nghĩa tính riêng tích phân hàm thành phần Chúng ta mở rộng Định lý giải tích cho hàm véc tơ liên tục sau

( ) = ( )| = (b) − (a)

Trong R(t) nguyên hàm (antiderivative) r(t), tức R'(t) = r(t)

Chúng ta sử dụng ký hiệu ∫ ( ) để biểu thị tích phân bất định (indefinite integrals) Ví dụ Nếu r(t) = 2cost i + sint j + 2t k,

( ) = + +

= − + +

Trong C véc tơ tích phân ( )

/

= + +

4 ∎ 1.3 Độ dài cung độ cong

1.3.1 Độ dài cung

Với đường cong phẳng cho phương trình tham số x = f(t), y = g(t), a  t  b, độ dài định nghĩa giới hạn độ dài đa giác nội tiếp, với ràng buộc f '(t) g'(t) hàm liên tục, có cơng thức tính sau

Trang 14

Độ dài đường cong không gian định nghĩa giống (Hình 1) Giả sử đường cong có phương trình véc tơ r(t) = f(t), g(t), h(t), a  t  b, tương đương phương trình tham số x = f(t), y = g(t), z = h(t), a  t  b,

ở f, g, h hàm khả vi liên tục Khi t tăng từ a đến b mà đường cong khơng có đoạn bị lặp lại độ dài tính theo cơng thức

[2] = [ ′( )] + [ ′( )] + [ℎ′( )] = + +

Chú ý cơng thức [1] [2] gộp lại thành công thức [3] = | ′( )|

với đường cong phẳng, r(t) = f(t) i + g(t) j,

| ′( )| = | ′( ) + ′( ) | = [ ′( )] + [ ′( )] với đường cong không gian, r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k

| ′( )| = | ′( ) + ′( ) + h (t) | = [ ′( )] + [ ′( )] + [ℎ′( )] Ví dụ Tính độ dài cung xoắn trịn có phương trình véc tơ r(t) = cost i + sint j + t k từ điểm (1, 0, 0) đến điểm (1, 0, 2)

Lời giải Vì r'(t) = – sint i + cost j + k ta có| ( )| = (− ) + + = √2 Theo công thức 3, ta có

= | ′( )| = √2 = 2√2 ∎

Mỗi đường cong đơn mơ tả nhiều phương trình véc tơ Ví dụ, với đường cong xoắn bậc

[4] r(t) = t, t2, t3,  t  mơ tả phương trình véc tơ

[5] r(u) = eu, e2u, e3u,  u  ln2

Trong đó, mối liên hệ t u t = eu Chúng ta sử dụng cơng thức [3] để tính độ dài đường cong C cho phương trình [4] hay [5] nhận kết

Bây xét đường cong C cho phương trình véc tơ r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k a  t  b

trong r'(t) hàm véc tơ liên tục đường cong C không lặp lại t biến thiên từ a đến b Chúng ta định nghĩa hàm độ dài cung sau:

[6] ( ) = | ′( )| = + +

Như s(t) độ dài phần thuộc đường cong C nằm r(a) r(t) Đạo hàm hai vế phương trình [6] ta

Trang 15

Công thức hiệu việc tham số hóa đường cong dựa vào độ dài cung Thực tế độ dài đường cong phụ thuộc vào hình dáng tự nhiên nó, khơng phụ thuộc vào hệ trục tọa độ Nếu đường cong r(t) phụ thuộc tham số t s(t) hàm độ dài cho cơng thức [6], giải t theo s, tức t = t(s) Như đường cong tham số hóa theo s, r = r(t(s)) Như vậy, ví dụ với s = r(t(3)) véc tơ vị trí điểm ứng với đơn vị độ dài tính từ điểm xuất phát

Ví dụ Tham số hóa lại đường xoắn ốc r(t) = cost i + sint j + t k ý tới độ dài cung từ điểm (1, 0, 0) theo chiều tăng t

Lời giải Điểm (1, 0, 0) ứng với t = Từ Ví dụ ta có

= | ′( )| = √2 s = s(t) = √ = √2

Do = /√2 tham số hóa lại ( ) =

√2 + √2 + √2 ∎ 1.3.2 Độ cong

Tham số hóa r(t) gọi trơn (smooth) miền I r'(t) liên tục khác I Một đường cong gọi trơn có tham số hóa trơn

Nếu C đường cong trơn xác định phương trình véc tơ r, véc tơ tiếp tuyến đơn vị tính theo cơng thức

( ) = ( )

| ( )|

và biểu thị hướng đường cong Từ Hình ta thấy T(t) thay đổi hướng chậm C thẳng, thay đổi nhanh C uốn cong xoắn mạnh Độ cong C điểm phản ánh mức độ thay đổi hướng véc tơ tiếp tuyến điểm Cụ thể, định nghĩa độ lớn tỷ số độ thay đổi véc tơ tiếp tuyến đơn vị với độ dài cung (Chúng ta sử dụng độ dài cung để độ cong độc lập với tham số hóa)

[8] Định nghĩa Độ cong đường cong = , với T véc tơ tiếp tuyến đơn vị Việc tính độ cong dễ dàng sử dụng tham số t thay cho s:

[9] ( ) = = /dt

/ =

| ′(t)| | ′( )|

Ví dụ Chứng tỏ độ cong đường trịn bán kính a 1/a

Lời giải Chúng ta xem đường trịn có tâm gốc tọa độ, có phương trình tham số r(t) = acost i + asint j

Trang 16

Kết Ví dụ chứng tỏ rằng, đường trịn nhỏ có độ cong lớn đường trịn lớn có độ cong nhỏ, phù hợp với trực giác Từ định nghĩa độ cong suy đường thẳng có độ cong 0, véc tơ tiếp tuyến khơng đổi

Mặc dù cơng thức [9] sử dụng cho trường hợp để tính độ cong, công thức đưa định lý sau thường sử dụng thuận tiện

[10] Định lý Độ cong đường cong cho hàm véc tơ r ( ) =| ′( ) × "( )|

| ′( )|

Chứng minh Từ T = r'/|r'| |r'| = ds/dt nên r' = |r'|T = T Từ công thức Định lý 1.2.3 nhận

" = + ′

Chú ý T × T = nên

′ × " = ( × ′) = | ′| ( × ′)

Vì |T(t)| = với t nên T T' trực giao (theo Ví dụ phần 1.2) | ′ × "| = | ′| | || ′| = | ′| | ′|

Do

| ′| =| ′ × "|

| ′| ∎ Ví dụ Tìm độ cong đường xoắn ốc bậc r(t) = t, t2, t3 điểm (0, 0, 0) Lời giải Trước tiên tính toán thành phần cần thiết:

r'(t) = 1, 2t, 3t2 | ′( )| = √1 + 4 + +9 r"(t) = 0, 2, 6t

′(t) × "( ) =

0

= − +

| ′(t) × "( )| = 36 + 36 + = + +

Từ Định lý 10 ta có

( ) = | ′( ) × "( )|

| ′( )| =

2√9 + +

√1 + + +9 /

Tại gốc tọa độ t = 0, độ cong k(0) = ∎

Trong trường hợp đặc biệt đường cong phẳng có phương trình y = f(x), coi x tham số viết r(x) = x i + f(x) j Khi r'(x) = i + f '(x) j r"(x) = f "(x) j

Vì i  j = k j  j = nên r'  r" = f "(x) k, |r'  r"| = |f "(x)| Ta có | ′| = + ′ nên theo Định lý 10

[11] ( ) = | "( )|

[1 + ′ ] /

Trang 17

( ) =[ ] /

Độ cong (0, 0) k(0) = 2, (1, 1) k(1) = 2/53/2, (2, 4)

là k(2) = 2/173/2 ∎

Nhìn vào biểu thức κ(x) đồ thị κ(x) Hình 5, ta thấy κ(x)  x  Điều tương ứng với kiện parabol trở thành thẳng x 

1.3.3 Véc tơ pháp tuyến phó pháp tuyến

Tại điểm đường cong trơn r(t) khơng gian, có nhiều véc tơ trực giao với véc tơ tiếp tuyến đơn vị T(t) Bởi |T(t)| = nên T(t)T'(t) = 0, tức T'(t) trực giao với T(t)

Chú ý T'(t) véc tơ đơn vị, chúng ta ln xác định véc tơ pháp tuyến đơn vị (principal unit normal vector), hay gọi véc tơ pháp tuyến đơn vị (unit normal vector) sau

( ) = ′( )

| ′( )|

Véc tơ B(t) = T(t)  N(t) gọi véc tơ phó pháp tuyến (binormal vector) Nó vng góc với T N véc tơ đơn vị (Hình 6)

Ví dụ Tìm véc tơ pháp tuyến phó pháp tuyến đường xoắn ốc tròn r(t) = cost i + sint j + t k

Lời giải Trước tiên tính tốn thành phần cho véc tơ pháp tuyến đơn vị: r' = -sint i + cost j + k |r'| = √2

( ) = ′( )

| ′( )|=

1

√2(− + + )

( ) =

√2(− − ) | ( )| =

1 √2

( ) = ′( )

| ′( )|= (− − ) = 〈− , − , 0〉

Điều chứng tỏ véc tơ pháp tuyến nằm ngang hướng phía trục z Véc tơ phó pháp tuyến

(t) = (t) × (t) =

√ −

− −

=

√ 〈 , − , 1〉 ∎

Trang 18

Mặt phẳng xác định véc tơ T N gọi mặt phẳng mật tiếp (osculating plane) Nó mặt phẳng chứa phần đường cong C lân cận P Với đường cong phẳng, mặt phẳng mật tiếp mặt phẳng chứa đường cong

Đường trịn nằm mặt phẳng mật tiếp C P, có chung véc tơ tiếp tuyến với C P, nằm phía lõm C, có bán kính  = 1/κ (nghịch đảo độ cong), gọi đường tròn mật tiếp C P Đó đường trịn mô tả tốt cho C lân cận P, có véc tơ tiếp tuyến, véc tơ pháp tuyến độ cong

Ví dụ Tìm phương trình mặt phẳng pháp diện mặt phẳng mật tiếp đường xoắn ốc cho Ví dụ điểm (0, 1, /2)

Lời giải Mặt phẳng pháp diện P có véc tơ pháp tuyến r'(/2) = –1, 0, 1, phương trình pháp diện −1( − 0) + 0( − 1) + − = = +

Mặt phẳng mật tiếp P chứa véc tơ T B, véc tơ pháp tuyến T  N = B

Từ Ví dụ ta có ( ) =

√ 〈 , − , 1〉 nên =√ 〈1,0,1〉

Véc tơ pháp tuyến đơn giản 1, 0, 1, phương trình mặt phẳng mật tiếp

1( − 0) + 0( − 1) + − =

hay = − + ∎

Hình mơ tả đường xoắn ốc mặt phẳng mật tiếp Ví dụ Ví dụ Tìm vẽ đường tròn mật tiếp parabol y = x2 gốc tọa độ

Lời giải Theo Ví dụ 5, độ cong parabol gốc tọa độ κ(0) = 2, bán kính đường trịn mật tiếp 1/2 tâm (0, 1/2) Vậy phương trình

+ − =

Để vẽ đồ thị ta sử dụng phương trình tham số = , = +

Sau bảng tóm tắt cơng thức véc tơ tiếp tuyến, véc tơ pháp tuyến đơn vị, véc tơ phó pháp tuyến độ cong:

= ′

| ′| = ′

| ′| = × = =

′ | ′|=

Trang 19

1.4 Chuyển động không gian: Vận tốc gia tốc 1.4.1 Vận tốc gia tốc

Trong phần này, trình bày ý nghĩa véc tơ tiếp tuyến, véc tơ pháp tuyến độ cong sử dụng vật lý để nghiên cứu chuyển động đối tượng, bao gồm vận tốc gia tốc, dọc theo đường cong không gian

Đặc biệt, theo bước chân Newton cách sử dụng phương pháp để nhận định luật Kepler thứ chuyển động hành tinh

Giả sử chất điểm chuyển động khơng gian có véc tơ vị trí thời điểm t r(t) Từ Hình ta thấy với h nhỏ, véc tơ

[1] ( + ℎ) − ( ) ℎ

xấp xỉ với hướng chất điểm di chuyển dọc theo đường cong r(t) Độ lớn kích thước véc tơ dịch chuyển đơn vị thời gian Véc tơ [1] cho ta vận tốc trung bình trong khoảng thời gian h giới hạn véc tơ vận tốc (velocity) v(t) thời điểm t: [2] lim

→

( + ℎ) − ( )

ℎ = ′( )

Vì vậy, véc tơ vận tốc véc tơ tiếp tuyến trỏ theo hướng đường tiếp tuyến Tốc độ (speed) chất điểm thời điểm t độ lớn véc tơ vận tốc, |v(t)|, Điều phù hợp, từ cơng thức [2] phương trình 1.3.7 ta có

| ( )| = | ′( )| =ds

dt

(Bằng tỷ số độ lệch khoảng cách thời gian) Cũng chuyển động không gian chiều, gia tốc (acceleration) chất điểm định nghĩa đạo hàm vận tốc

a(t) = v'(t) = r"(t)

Ví dụ Véc tơ vị trí đối tượng chuyển động mặt phẳng cho r(t) = t3 i + t2 j Tìm mơ hình học véc tơ vận tốc, vận tốc, véc tơ gia tốc

t =

Lời giải Véc tơ vận tốc gia tốc thời điểm t v(t) = r'(t) = 3t2 i + 2t j a(t) = r"(t) = 6ti + j vận tốc

| ( )| = (3 ) + (2 ) = √9 +

Khi t = ta có

v(1) = 3i + j a(1) = 6i + j | ( )| = √13 Các véc tơ vận tốc véc tơ gia tốc minh họa Hình ∎ Ví dụ Tìm véc tơ vận tốc, véc tơ gia tốc vận tốc chất điểm với véc tơ vị trí

Trang 20 Lời giải

( ) = ′( ) = 〈2 , , ( + 1) 〉

( ) = "( ) = 〈2, , ( + 2) 〉

| ( )| = + + ( + 1)

Hình mơ tả đường chất điểm Ví dụ với véc tơ vận tốc véc tơ gia tốc t = ∎

Các tích phân véc tơ giới thiệu mục 1.2 sử dụng để tìm véc tơ vị trí biết véc tơ vận tốc véc tơ gia tốc, ví dụ

Ví dụ Một chất điểm chuyển động với vị trí ban đầu (0) = 〈1,0,0〉 véc tơ vận tốc ban đầu (0) = − + Gia tốc ( ) = + + Xác định véc tơ vận tốc véc tơ vị trí thời điểm t

Lời giải Vì a(t) = v'(t) nên ( ) = ∫ ( ) = ∫(4 + + ) =

= + + +

Để xác định số C, sử dụng điều kiện (0) = − +

Vì (0) = nên = − + , ( ) = (2 + 1) + (3 − 1) + ( + 1)

Vì ( ) = ′( ) nên ( ) = ∫ ( ) = ∫[(2 + 1) + (3 − 1) + ( + 1) ]

= + + ( − ) + + +

Đặt t = ta D = r(0) = i, véc tơ vị trí thời điểm t

r(t) = + + + ( − ) + +

Hình mơ tả đường chất điểm có véc tơ vị trí r(t) nhận

được Ví dụ ∎

Tổng quát, tích phân véc tơ cho phép ta nhận véc tơ vận tốc biết véc tơ gia tốc véc tơ vị trí biết véc tơ vận tốc

( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( )

Nếu biết lực tác động lên chất điểm ta tìm gia tốc theo định luật thứ hai Newton chuyển động Dạng véc tơ định luật nói thời điểm t, lực F(t) tác động lên đối tượng có khối lượng m gia tốc a(t),

( ) = ( )

Ví dụ Một đối tượng có khối lượng m di chuyển đường tròn với vận tốc góc khơng đổi , có véc tơ vị trí ( ) = acos + asin

Tìm lực tác động lên đối tượng hướng gốc tọa độ Lời giải Để tìm lực, trước hết phải tìm gia tốc

( ) = ( ) = − +

( ) = ( ) = − −

Từ định luật Newton, ta có lực tác dụng

Trang 21

Vì ( ) = − ( ) nên lực tác động ngược hướng với véc tơ bán kính r(t),

hướng tới gốc tọa độ (Hình 5) ∎

Lực gọi lực hướng tâm (centripetal force)

Ví dụ Một viên đạn bắn với góc nghiêng  vận tốc ban đầu v0 (Hình 6) Giả định sức cản khơng khí khơng đáng kể lực lượng bên ngồi có trọng lực, tìm véc tơ vị trí r(t) viên đạn Tìm giá trị  để viên đạn xa

Lời giải Chúng ta xây dựng hệ trục tọa độ cho ban đầu viên đạn nằm gốc tọa độ Vì lực trọng trường hướng xuống nên ta có

= = − g

trong g = |a|  9.8m/s2, = −g Bởi ′( ) = nên ( ) = −g +

ở C = v(0) = v0 Vì ( ) = ( ) = −g + Lấy tích phân ta nhận ( ) = − g + + Nhưng D = r(0) = nên

[3] ( ) = −1

2g +

Nếu viết |v0| = v0 (Tốc độ ban đầu viên đạn) v0 = v0cos i + v0sin j

và phương trình [3] trở thành

( ) = ( ) + ( ) − g

Vì phương trình tham số quỹ đạo

[4] = ( ) = ( ) −1

2g

Khi viên đạn chạm đất y = Cho y = ta nhận t = t = (2 )/g Thay giá trị t thứ hai vào x ta

= =( )(2 )

g =

2 g

Rõ ràng, d đạt giá trị lớn sin2 = 1, tức = ∎ Ta thấy để viên đạn đạt độ cao y(t) phải lớn

Ta có ( ) = sin − = với = ( sin )/ ,

= ( sin )( sin )/ − ( sin ) /(2 ) = ( sin ) /(2 )

Để y lớn sinα = hay α = π/2, tức bắn theo phương thẳng đứng

Ví dụ Một viên đạn bắn với tốc độ đầu nòng 150m/s góc nghiêng 45o từ độ cao 10m so với mặt đất Xác định điểm rơi viên đạn tốc độ

Lời giải Nếu ta đặt gốc tọa độ mặt đất, vị trí ban đầu viên đạn (0, 10) cần phải điều chỉnh phương trình cách thêm 10 vào biểu thức y

Với v0 = 150m/s,  = 45o g = 9.8m/s2 ta có

= 150

Trang 22 = 10 + 150

4 −

1

2(9.8) = 10 + 75√2 − 4.9

Sự kiện xảy y = 0, tức 4.9 − 75√2 − 10 = Giải phương trình bậc hai này, ý đến t dương, ta nhận

=75√2 + √11.250 + 196

9.8 ≈ 21.74

Vì ≈ 75√2(21.74) ≈ 2306, tức viên đạn rơi cách xa 2306 m Véc tơ vận tốc viên đạn

( ) = ( ) = 75√2 + 75√2 − 9.8

Vì tốc độ thời điểm rơi

| (21.74)| = 75√2 + 75√2 − 9.8(21.74) ≈ 151 / ∎

1.4.2 Các thành phần tiếp tuyến pháp tuyến gia tốc

Khi nghiên cứu chuyển động chất điểm, thường phân tích véc tơ gia tốc thành hai thành phần, theo hướng véc tơ tiếp tuyến theo hướng pháp tuyến

Nếu ta ký hiệu v = |v| vận tốc chất điểm

( ) = ′( )

| ′( )|=

( )

| ( )|=

vì v = vT

Nếu lấy đạo hàm hai vế ta nhận [5] a = v' = v'T + vT'

Theo công thức tính độ cong 1.3.9 ta có [6] =| ′|

| ′| =

| ′|

nên | ′| =

Véc tơ pháp tuyến đơn vị = /| ′| nên từ [6] ta có = | ′| = phương trình [5] trở thành

[7] = ′ +

Ký hiệu aT aN thành phần tiếp tuyến pháp tuyến véc tơ gia tốc, ta có

= a + a

trong

[8] a = a =

Phân tích minh họa Hình

Chúng ta nhìn vào có mặt cơng thức Điều cần ý véc tơ phó pháp tuyến B vắng mặt

Trang 23

biến thiên vận tốc, thành phần pháp tuyến gia tốc kv2, độ cong nhân với bình phương vận tốc Điều có ý nghĩa nghĩ hành khách xe hơi, đột ngột rẽ đường có độ cong κ lớn Thành phần gia tốc pháp thay đổi lớn hành khách bị dồn vào cửa xe Tốc độ cao thời điểm rẽ có hiệu ứng tương tự, thực tế, tốc độ tăng gấp đơi aN tăng gấp bốn

Mặc dù có biểu thức cho thành phần tiếp tuyến pháp tuyến véc tơ gia tốc, mong muốn có biểu thức phụ thuộc vào r, r' r" Để có điều đó, ta nhân vơ hướng hai vế phương trình v = vT với véc tơ a phương trình [7]:

∙ = ∙ ( + ) = ∙ + ∙ = ′

(Vì T ∙ T = T ∙ N = 0) Do

[9] a = = ∙ = ′ ∙ " | ′|

Sử dụng cơng thức tính độ cong theo Định lý 1.3.10, ta có [10] a = =| ′ × "|

| ′| | ′| =

| ′ × "| | ′|

Ví dụ Một chất điểm chuyển động với véc tơ vị trí ( ) = 〈 , , 〉 Tìm thành phần tiếp tuyến pháp tuyến véc tơ gia tốc

′( ) = 〈2 , , 〉 "( ) = 〈2, 2, 〉 | ′( )| = √8 +

Vậy thành phần gia tốc tiếp a =

√ =

√ Vì ′ × " = 2

2

= 〈1, −1〉 nên = √

√ =

√

√ ∎

1.4.3 Các định luật Kepler chuyển động hành tinh

Bây mô tả thành tựu vĩ đại giải tích cách nội dung chương sử dụng để chứng minh định luật Kepler chuyển động hành tinh Sau 20 năm nghiên cứu quan sát thiên văn nhà thiên văn học người Đan Mạch Tycho Brahe, nhà toán học thiên văn học người Đức Johannes Kepler (1571– 1630) xây dựng ba luật sau

 Các định luật Kepler

1 Các hành tinh xoay quanh Mặt trời theo quỹ đạo hình elip mà mặt trời tiêu điểm Đường nối Mặt trời tới hành tinh quét qua diện tích khoảng thời

gian

3 Bình phương chu kỳ quỹ đạo hành tinh tỷ lệ với lập phương bán trục lớn quỹ đạo elip hành tinh

Trang 24

Vì lực hấp dẫn mặt trời lên hành tinh lớn nhiều so với lực tác dụng thiên thể khác, nên bỏ qua tất thiên thể khác vũ trụ ngoại trừ mặt trời hành tinh xoay quanh Chúng ta sử dụng hệ trục tọa độ với Mặt trời gốc giả sử r = r(t) véc tơ vị trí hành tinh (Giả dụ, r véc tơ vị trí Mặt trăng vệ tinh di chuyển quanh trái đất chổi di chuyển xung quanh sao.) Véc tơ vận tốc v = r' véc tơ gia tốc a = r" Chúng ta sử dụng định luật sau Newton:

Định luật thứ hai chuyển động F = ma

Định luật vạn vật hấp dẫn = − = −

ở F lực hấp dẫn lên hành tinh, m M tương ứng khối lượng hành tinh Mặt trời, G số hấp dẫn, r = |r|, u = r /r véc tơ đơn vị r

Trước hết hành tinh di chuyển mặt phẳng Bằng cách đồng biểu thức F hai định luật Newton, ta nhận

= −

vì a song song với r Điều dẫn tới × = Chúng ta sử dụng công thức Định lý 1.2.3 để viết

( × ) = × + × = × + × = + =

Vì × = , h véc tơ (Chúng ta giả thiết h  0, tức r v khơng song song.) Điều có nghĩa véc tơ r = r(t) vng góc với h t, hành tinh luôn nằm mặt phẳng qua gốc tọa độ vng góc với h Vì quỹ đạo hành tinh đường cong phẳng

Để chứng minh định luật thứ Kepler, viết lại véc tơ h sau:

= × = × = × ( ) = × ( + )

= ( × ) + ( × ) = ( × )

Vì × = × ( × ) = − × ( × ) = − [( ∙ ) − ( ∙ ) ′]

Nhưng ∙ = | | = | ( )| = 1, nên theo Ví dụ phần 1.2, ∙ =

Vì × = ′ ( × ) = × = × = ′

Tích phân hai vế ta nhận

[11] × = + , c véc tơ

Chúng ta chọn hệ trục tọa độ cho véc tơ sở k trỏ theo hướng véc tơ h Vì hành tinh di chuyển mặt phẳng xy Vì × u vng góc với h, phương trình [11] c thuộc mặt phẳng xy Điều có nghĩa chọn trục x y cho véc tơ i dọc theo hướng c, Hình Nếu  góc c r (r, ) tọa độ cực hành tinh Từ phương trình [11] ta có

∙ ( × ) = ∙ ( + ) = ∙ + ∙

Trang 25 Vì vậy,

= ∙ ( × )

+ =

1 ∙ ( × )

1 + với e = c/GM

Nhưng

∙ ( × ) = ( × ) ∙ = ∙ = | | = ℎ , với ℎ = | |

Vì

= ℎ /( )

1 + =

ℎ / + Ký hiệu d = h2/c, ta nhận

[12] = +

Phương trình [12] phương trình tọa độ cực đường conic với tiêu điểm gốc tọa độ tâm sai e Chúng ta biết quỹ đạo hành tinh đường cong khép kín đó, đường conic phải hình elip

Điều hồn thành việc chứng minh định luật thứ Kepler Chúng hướng dẫn bạn chứng minh hai định luật lại phần "Đề án ứng dụng" Việc chứng minh ba định luật chứng tỏ phương pháp chương cung cấp công cụ hiệu giải thích số quy luật tự nhiên

 Đề án ứng dụng

Johannes Kepler công bố ba luật sau chuyển động thiên thể sở số lượng lớn liệu vị trí hành tinh vào thời điểm khác

Các định luật Kepler

1 Các hành tinh xoay quanh Mặt trời theo quỹ đạo hình elip mà mặt trời tiêu điểm Đường nối Mặt trời tới hành tinh quét qua diện tích khoảng thời

gian

3 Bình phương chu kỳ quỹ đạo hành tinh tỷ lệ với lập phương bán trục lớn quỹ đạo ellipse hành tinh

Tại mục 1.4, chứng minh định luật Kepler cách sử dụng phép tính hàm véc tơ Trong phần này, đưa hướng dẫn nhằm chứng minh định luật thứ hai thứ ba khám phá số hệ chúng

1 Sử dụng bước sau để chứng minh định luật thứ Kepler Các ký hiệu giống chứng minh định luật thứ phần 1.4 Đặc biệt, sử dụng tọa độ cực

r = rcos i + rsin j (a) Chứng minh = Theo trên, = ( × )

Vì r = rcosθ, rsinθ, 0 u = r/r nên u = cosθ, sinθ, 0

= = = 〈−sinθ, cosθ, 0〉

× =

−

Trang 26 (b) Vì = nên h = |h| = Nhưng θ tăng t tăng nên >0, dó h =

(c) Gọi A = A(t) diện tích quét véc tơ bán kính r = r(t) khảng thời gian [t0, t] hình vẽ Trong học phần Giải tích ta có = ,

=1

2

(d) Thao phần (b) = ℎ = | | số, nên = ℎ = ℎằ ố

Điều nói lên tốc độ quét không đổi định luật thứ hai Kepler chứng minh Giả sử T chu kỳ hành tinh quay quanh Mặt trời, tức T khoảng thời gian cần thiết để di chuyển vịng theo quỹ đạo Giả sử độ dài trục lớn trục nhỏ ellipse 2a 2b

(a) Khi hành tinh quay chu kỳ T thời gian qt lần diện tích hình ellipse tức dA = πab dt = T

Theo phần (d) ta có = ℎ hay T =

(b) Ta biết rằng, với hệ tọa độ cực mà gốc cực trùng với tiêu điểm phương trình ellipse có bán trục a b

= (1 − )

1 +

trong tâm sai = − Vì − = , ta viết lại phương trình sau

= (1 − )

1 + =

/ +

So sánh với phương trình [12] ta suy = = , = (c) Theo phần (a) (b), T = = =

Định luật thứ ba Kepler chứng minh Chú ý số tỷ lệ phụ thuộc vào hành tinh

3 Chu kỳ Trái đất xấp xỉ 365.25 ngày Sử dụng yếu tố định luật Kepler thứ ba để tìm độ dài trục lớn quỹ đạo Trái đất Khối lượng Mặt trời M = 1.99×1030 kg, số hấp dẫn G = 6.67×10–11 Nm2/kg2

T = 365.25 (ngày) = 365.25 × 24×3600 (s)= 31557600 (s),

GM = 6.67×10–11(Nm2/kg2)× 1.99×1030 (kg) = 6.67×1.99×1019(Nm2/kg) = = 667×199×1015(kg×m/s2×m2/kg) = 132733×1015(m3/s2)

Thay vào ta có = =( ) ( )× (m3)

Trang 27

4 Có thể đặt vệ tinh vào quỹ đạo trái đất để cố định vị trí định đường xích đạo Tính tốn độ cao cần thiết cho vệ tinh Khối lượng Trái đất 5.98×1024 kg, bán kính 6.37×106 m (Quỹ đạo gọi quỹ đạo địa tĩnh Clarke (Clarke Geosynchronous Orbit) sau Arthur C Clarke, người đề xuất ý tưởng vào năm 1945 Vệ tinh vậy, Syncom II, đưa tháng năm 1963.)

Lời giải

Trên quỹ đạo địa tĩnh, vệ tinh khơng bị đẩy phía Trái Đất mà không bay xa Giả sử khối lượng vệ tinh m, lực tác động lên vệ tinh phải triệt tiêu lẫn theo Định luật Newton chuyển động: F = ma =

Lực F chủ yếu lực ly tâm Flt lực hướng tâm Fht (ở coi lực khác không đáng kể) Để tính tốn độ cao quỹ đạo địa tĩnh, người ta cần phải cân hai lực này:

Fht = Flt

Theo Định luật Newton chuyển động, ta thay lực khối lượng vật thể nhân với gia tốc mà vật thể có lực này:

Fht = mag Flt = mac

trong ag gia tốc hướng tâm sinh lực hấp dẫn, |ag| = , với M khối lượng Trái đất tính theo kg số hấp dẫn G = 6.67×10–11 Nm2/kg2 = 6.67×10–11 m3/(s2.kg), r khoảng

cách từ tâm trái đất đến vệ tinh tính theo m (mét) Gia tốc ly tâm, ac, có vệ tinh chuyển động quỹ đạo, |ac| = ω2r, ω vận tốc góc tính rad/s (radian/giây) Nó

tính theo cơng thức ω = 2π/86164 ≈ 7.29×10–5 (rad/s), 86164 số giây để thực chu kỳ (một góc 2π)

Cân hai gia tốc ta thu = , hay = r = ( ) ( )

[( ) ] ( ) =

( )( )