Đang tải... (xem toàn văn)
Khaûo saùt ñieåm thi moân Toaùn cuûa 100 thí sinh döï thi vaøo ÑHKT, ta coù ñieåm trung bình laø 5 ñieåm. Bieát raèng ñoä leäch chuaån toång theå laø 2,5 ñieåm. 1) Öôùc löôïng ñieåm tru[r]
(1)1
CHƯƠNG 6: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ
2
Tổng thể đặc trưng dấu hiệu nghiên cứu X, đại lượng ngẫu nhiên Tổng thể có ba đặc trưng số quan trọng là:
E(X)= : trung bình tổng thể (định lượng) var(X)= 2: phương sai tổng thể (định lượng)
p: tỷ lệ tổng thể (định tính)
Ta gọi chung đặc trưng số tổng thể
Đặc trưng số tổng thể giá trị số cố định nhưng
chưa biết, đặc trưng số mẫu giá trị số biết nhưng khơng cố định Ta phải dự đốn (ước lượng)
Có hai dạng ước lượng ước lượng điểm ước
lượng khoảng
1) Ước lượng điểm
Từ kết khảo sát mẫu, ta đưa một con sốˆ để ước lượng (dự đoán) cho
Khi ˆ gọi ước lượng điểm Thí dụ: người ta hay dùng:
trung bình mẫu x để ước lượng trung bình tổng thể
phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh) s2 để ước lượng phương sai đám đông 2
tỷ lệ mẫu f để ước lượng tỷ lệ đám đông p
2) Ước lượng khoảng
Từ kết khảo sát mẫu, ta đưa khoảng ( 1 ˆ
, 2 ˆ
), với mong muốn tham số tổng thể thuộc vào khoảng với xác suất định = 1, nghĩa là:
P( 1 ˆ
<< 2 ˆ
)= P[(
1 ˆ
, 2 ˆ
)]= 1 thì (
1 ˆ
, 2 ˆ
(2)5
Khi đưa ước lượng khoảng (
1 ˆ
,
2 ˆ
) từ mẫu có hai trường hợp xảy ra:
Khoảng ước lượng thực chứa , tức ta ước lượng
Khoảng ước lượng không chứa , tức ta ước lượng sai
Xác suất ước lượng sai = P[(
1 ˆ
,
2 ˆ
)], gọi xác suất mắc sai lầm ước lượng
Bình loạn:
Ai lấy vợ mong ước / ao ước / kỳ vọng vợ đẹp, hiền, nết na, thùy mị, đoan trang, giỏi giang, cẩn thận,… nói chung hết ý!!!
Ta “ước lượng” người “ấy” đạt điều ao ước ta rước nàng “dinh”
Sau cưới xong, có trường hợp xảy ra:
Thực tế người “ấy” có đức tính trên: Ta ước lượng Hoan hơ, đời đẹp sao… !!! Thức tế người “ấy” khơng có đức tính trên, nhưng giả có, làm ta phương hướng: Ta ước lượng sai Thành thật chia bùn !!!
6
7
Ta có dạng ước lượng sau:
-Ước lượng giá trị trung bình - Ước lượng tỷ lệ
- Ước lượng phương sai (tự xem)
Trong thực hành, để ước lượng giá trị trung bình người ta vào: biết phương
sai var(X)=2 để đưa phương pháp ước lượng
tương ứng
Còn ước lượng tỷ lệ đòi hỏi mẫu lớn (n>=30).
8
A ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 1) biết (Nếu mẫu nhỏ (n<30) cần giả định
tổng thể X có phân phối chuẩn)
x
hay x x
với /2
z n
tra bảng F, với = 1- = 2.(z/2)
2) (X có phân phối chuẩn) x hay x x
với ( 1)
/2 s
t n n
(3)Ưu điểm UL Khoảng so với UL Điểm? Độ xác (sai số) ước lượng:
/2
z
n
( 1)
/2n s
t
n
Ta coù:
( ) 1
P X X
P(| X | ) 1
tính tốn thực tế sai số
10
Baûng F
Biết độ tin cậy = 1-, tìm z/2 =?
Với độ tin cậy = 0,95 /2= 0,475 Số 0,475 dòng 1.9 cột Vậy z/2= 1,96
Với độ tin cậy = 0,94 /2= 0,47 Không thấy số 0,47 bảng F
Số 0,4699 sai lệch so với 0,47 nhỏ Vậy z/2= 1,88
Với độ tin cậy = 0,90 /2= 0,45 Ta thấy có số 0,4495 z/2= 1,64 Ta thấy có số 0,4505 z/2= 1,65
Vậy z/2= 1,645, z/2= 1,65 z/2= 1,64
Baûng H
1) Biết độ tin cậy = 1-, tìm t/2(n-1)=? = 0,95 = 0,05 /2= 0,025, n= 20
t/2(n–1) = t0,025(19) = 2,093
Doøng k= 19 cột = 0,025 ta có giá trị 2.093
2) Biết t/2(n-1) , tìm độ tin cậy = 1- =?
Với n= 20 t/2(n1)= 2,3457 2,346 Dòng k= 19, số 2.346 cột = 0.015
neân /2= 0,015 = 0,03 = 0,97
Với n= 19 t/2(n1)= 2,0
Dòng k= 18, số 2.0 2.007 cột = 0.03
VD: Giả sử ta có n= 64, x= 28, =
Aùp dụng công thức / /2
z n
và khoảng tin cậy x,x ta có bảng sau:
Độ tin cậy zα/2 Độ xác (sai số) Khoảng tin cậy
99% 2,575 1.9350 26.0688 29.9313
95% 1,96 1.4700 26.5300 29.4700
90% 1,645 1.2375 26.7663 29.2338
26,0688 26,53 26,7663 28 29,2338 29,47 29,9313
(4)13
Phân biệt ước lượng điểm UL khoảng?
VD1:
Khảo sát điểm thi môn Tốn 100 thí sinh dự thi vào ĐHKT, ta có điểm trung bình điểm. Biết độ lệch chuẩn tổng thể 2,5 điểm 1) Ước lượng điểm trung bình mơn tốn tồn thể thí sinh trường
2) Ước lượng điểm trung bình mơn tốn tồn thể thí sinh với độ tin cậy 95%
3) Với sai số 0,25 điểm Hãy xác định độ tin cậy
14
Giaûi
1) Do x= nên đtb mơn tốn tồn thể thí sinh
2) Áp dụng trường hợp biết :
= 95% z/2 = 1,96
1,96*2,5 0,49
100
= x = 0,49
Vậy với độ tin cậy 95% KUL điểm trung bình mơn tốn tồn thể thí sinh dự thi (4,51 ; 5,49) điểm
3) = 0,25 z/2 = n
= 0,25*10/2,5 =
(z/2) = (1,00) = 0,3413 (tra baûng F)
= 2(z/2) = 0,6826 = 68,26%
15
VD2:
Tuổi thọ loại bóng đèn biết theo quy luật chuẩn, với độ lệch chuẩn 100
1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy bóng tuổi thọ trung bình 1000 Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95%
2) Với độ xác 15 Hãy xác định độ tin cậy
3) Với độ xác 25 độ tin cậy 95% cần thử nghiệm bóng
16
Giải: Áp dụng trường hợp biết
1) n = 100 ; x1000 ; = 95% ; = 100
= 95% z/2 = 1,96
1,96*100 19, 100
= x 1000 19,6
Vậy với độ tin cậy 95% tuổi thọ trung bình bóng đèn thuộc xí nghiệp A vào khoảng (980,4 ; 1019,6)
2) 15* 100
100 1,5
/2
n
z (1,50)= 0,4332 (baûng F)
= 2(z/2) = 0,8662 = 86,62%
3) = 95% z/2 = 1,96
2 2 1,96 1002
/2 61,466 62
2 252
z
n
(5)17
Làm tròn lên của số thập phân lấy phần nguyên của số cộng thêm 1.
Nhận xét: Các dạng toán UL bản Dạng toán:
Có tham số : n, , =1– (biết biết z/2 )
Các tham số: x ,
1) Biết n, = ?
2) Bieát n, = ? 3) Bieát , n = ?
Dùng công thức
/2
z n
VD2bis:
Để khảo sát hàm lượng chất đạm X (%) loại sữa hộp, người ta kiểm tra 26 hộp thấy hàm lượng đạm trung bình 18 (%) Biết hàm lượng chất
đạm X có quy luật phân phối chuẩnvới độ lệch chuẩn
laø (%)
Nếu muốn ước lượng trung bình hàm lượng đạm hộp sữa đạt độ tin cậy 95% độ xác 0,5 (%) cần phải khảo sát thêm hộp sữa nữa?
Giaûi:
n= (z/2. /)2= (1,96*4 /0,5)2= 245,86 246
Vậy cần phải khảo sát thêm 246-26 = 220 hộp
18
Tra bảng H, sao?
VD3 :
Trọng lượng bao bột mì cửa hàng lương thực có quy luật chuẩn Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình bao bột mì 48kg,
phương sai mẫu hiệu chỉnh s2 = (0,5kg)2
1) Với độ tin cậy 95% ước lượng trọng lượng trung bình bao bột mì thuộc cửa hàng 2) Với độ xác 260 g, xác định độ tin cậy 3) Nếu muốn ước lượng trọng lượng trung bình
một bao bột mì có độ tin cậy 99% độ xác
Giaûi:
1) Áp dụng trường hợp chưa biết
= 95% t/2(n–1) = t0,025(19) = 2,093 (tra baûng H) (19) 2,093*0,5
0,025 0,234
20
t s
n
48 0,234 x
Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình bao bột mì thuộc cửa hàng thuộc vào khoảng (47,766 ; 48,234) kg
2) = 260 g = 0,26 kg
t/2(n–1) = t/2(19) = 2,325
,
20 ) 26 ,
( 2,346
(6)21
Giaûi:
3) Bài tốn tìm cỡ mẫu n với = 100 g = 0,1 kg
2
/2( 1) /2
t n s z s
n
= 99% z/2 = 2,575 (tra baûng F)
Vaäy:
2
2,575* 0,5
165, 77 166 0,1
n
bao
22
B ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ p : với n 30
p f hay f p f
Với (1 )
/2
f f
z n
độ xác (sai số)
của UL
Điều kiện áp dụng :
10 ) 1 .(
10 .
f n
f n Dạng toán:
Có dạng tốn giống ước lượng trung bình Tham số mẫu: f
Dùng cơng thức (1 )
/2
f f
z n
23
Phân biệt ước lượng điểm UL khoảng?
VD4:
Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu
1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp 2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp với độ tin cậy 94%
3) Với sai số cho phép = 3%, xác định độ tin cậy
24 Giải
1) n = 100 , tỷ lệ mẫu 0,11 10011
f
Vậy tỷ lệ hộp xấu kho 11%
2) = 94% = 0,94 z/2 =1,88 (tra baûng F)
0,059
(1 ) 1,88 0,11(1 0,11) /2
100
z f f
n
p f = 0,11 0,059
Vậy với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp vào khoảng (0,051 ; 0,169) hay 5,1% < p < 16,9% 3) = 3% = 0,03
0,03 100
0,11(1 0,11) 0,96
/2 (1n )
z
f f
(7)25
VD5: Lơ trái chủ hàng đóng thành sọt,
mỗi sọt 100 trái Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái khơng đạt tiêu chuẩn
1) Ước lượng tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn lô hàng với độ tin cậy 95%?
2) Muốn ước lượng tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ xác 0,5% độ tin cậy đạt bao nhiêu? 3) Muốn ước lượng tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với
độ tin cậy 99% độ xác 1% cần kiểm tra sọt?
4) Muốn ước lượng tỷ lệ trái không đạt TC với độ tin cậy 99,70% độ xác đạt bao nhiêu?
26
Giaûi:
1) Gọi p tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn = 95% z/2 =1,96
Tỷ lệ mẫu 0,09 5000450
f
008 , 5000
) 09 , ( 09 , 96 ,
1
Khoảng ước lượng p là: 0,082 < p < 0,098
2) 0,005 5000 1,24
/2 (1n ) 0,09(1 0,09)
z
f f
= 2 (z/2) = 0,3925 = 0,785 (tra bảng F) Vậy độ tin cậy đạt 78,5%
3) Ta cần xác định kích thước mẫu n
= 99% z/2 = 2,575 (tra baûng F)
2 (1 )
/2
f f
n z
2,5 520,09 (1 0,0 9) 54 0, 48
(0,0 1)
(traùi)
Vì sọt có 100 trái nên ta cần kiểm tra 5430,48/100 = 54,3048 55 sọt
4) Ta cần xác định độ xác với độ tin cậy 99,70% (ứng z/2= 2,96) với kích thước mẫu n = 5000
(1 ) 2,96 0,09 (1 0,09) 0,012 5000
/2
f f
n
z
Vậy độ xác đạt 1,2%
Câu hỏi:
Qua thí dụ bạn rút các điều cần lưu ý chưa?