Đang tải... (xem toàn văn)
Moät boä 2 ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, Y ñöôïc xeùt ñoàng thôøi goïi laø ÑLNN 2 chieàu, kyù hieäu V= (X,Y).. Thöôøng ta quan taâm X vaø Y coù aûnh höôûng laãn nhau hay khoâng..[r]
(1)1
CHƯƠNG IV:
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CHIỀU
Một đại lượng ngẫu nhiên X, Y xét đồng thời gọi ĐLNN chiều, ký hiệu V= (X,Y) Thường ta quan tâm X Y có ảnh hưởng lẫn hay khơng Nếu X, Y rời rạc V ĐLNN chiều rời rạc Nếu X, Y liên tục V ĐLNN chiều liên tục VD:
Xét đồng thời chiều cao (X) trọng lượng (Y) người
Xét đồng thời số buổi học môn XSTK (X) điểm thi môn XSTK (Y)
Xét đồng thời độ tuổi (X) nhan sắc (Y) người phụ nữ (X,Y) khơng ĐLNN chiều.
2
3
I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CHIỀU (rời rạc)
Bảng phân phối xác suất đồng thời (X,Y) có dạng: Y
X
y1 yj yn
x1 p11 p1j p1n
xi pi1 pij pin
xm pm1 pmj pmn
Trong đó: X nhận giá trị x1, x2 ,…, xm
Y nhận giá trị y1, y2 ,…, yn
Xác suất X nhận giá trị xi Y nhận giá trị yj lúc là:
pij = P(X=xi ,Y = yj ) 4
Lưu ý:
Ta không xét ĐLNN chiều liên tục.
Tính chất: 0≤ pij ≤1 , i,j
1 pij
(2)55
Ví dụ 1: Cho ĐLNN chiều V=(X,Y) có bảng phân phối xác
suất đồng thời
Y X
1 2 1/8 2/8 0 4 1/8 1/8 2/8 6 0 1/8
66
II PHAÂN PHỐI LỀ (PHÂN PHỐI BIÊN DUYÊN)
1) Phân phối lề X Ví dụ 1:
X P 3/8 4/8 1/8
P (X =2) = P[(X=2).(Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)]
= P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4)
8 0 8
1
P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4) =
84 82 8
1 Tương tự cho P(X=6)
77
Nhận xét: Để xác định bảng phân phối lề
đơn giản, ta lập bảng sau: Y
X
1
2 1/8 2/8 0 3/8 4 1/8 1/8 2/8 4/8 6 0 1/8 1/8
2/8 2/8 2/8 2/8
88
X P 3/8 4/8 1/8 Kỳ vọng: E(X) =
i xiP(X xi) = 2
7 8 1 6 8 4 4 83
2 Phương sai: var(X) = ( EX)2
i ix
.P(X=xi)
=
4 7 8 1 . 2 ) 2 7 6 ( 84 . 2 ) 2 7 4 ( 8 3 . 2 ) 2 7 2
(
(3)99
2) Phaân phối lề Y:
Ví dụ 1:
Y P 2/8 2/8 2/8 2/8
P(Y=1) = P(X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)] = P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)=
82 8
1
Tương tự cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6) Kỳ vọng: E(Y) =
jyjP(Y yj)= 82 2
1
Phương sai: var(Y) =
j
(yj -EY)2 P(Y=yj)
= )2.82 54
5 ( ) ( ) ( )
( 1010
III ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X,Y
X,Y độc lập P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j
Ví dụ 1:
P(X=2,Y=1) = .82 83 8
1 = P(X = 2).P(Y = 1) Vậy X,Y không độc lập
11
ĐỘC LẬP VỀ XÁC SUẤT CỦA X VAØ Y VD2: Bảng phân phối xác suất đồng thời
X Y
0 1/18 3/18 2/18 6/18
1 2/18 6/18 4/18 12/18 3/18 9/18 6/18
Bảng phân phối lề
X Y
P 1/3 2/3 P 1/6 3/6 2/6
Ta có: P(X=0,Y=1) = 3/18 = (1/3).(3/6) = P(X=0).P(Y=1) Tương tự: P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j
Vậy X Y độc lập xác suất 12
Bài toán ngược:
Biết bảng pp xs X Y, lập bảng pp xs đồng thời (X,Y) VD3:
X Y độc lập, có bảng pp xs:
(4)13 Giaûi:
X, Y độc lập P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j P(X=-1,Y=0) = P(X=-1).P(Y=0) = (1/3)(1/5) = 1/15 P(X=2,Y=1) = P(X=2).P(Y=1) = (2/3)(2/5) = 4/15 Tương tự cho xác suất lại
X Y -1 1/15 2/15 2/15
2 2/15 4/15 4/15
14 14
IV LẬP BẢNG PP XS CHO X.Y, TÍNH E(X.Y)
Ví dụ 1:
XY 12 16 18 24 P 1/8 3/8 0 1/8 2/8 1/8 P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8
P(XY=4) = P(X=2,Y=2) + P(X=4,Y=1) = 2/8+1/8 = 3/8 P(XY=6) = P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3) = 0+0 =
E(XY) = 2.(1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8) = 19/2
15
Lưu ý:
Để xác định giá trị X.Y tính xác
suất cho dễ, ta lập bảng phụ: Y
X
1
2 2
4 4 12 16 6 6 12 18 24
16
Bài tập:
1) Lập bảng ppxs cho X+Y? 2) Tính E(X+Y), var(X+Y)? 3) Có sử dụng công thức sau:
E(X+Y) = E(X)+E(Y) ? Var(X+Y) = var(X)+var(Y) ? Tính trực tiếp E(XY):
E(XY) = 2(11 22 3 0) 8 8
x y pi j ij
i j
(5)17 17
V PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN Giả sử biến cố F xảy P(F) > Phân phối X theo điều kiện F là: P(X=xi /F) =
) ( ) , ( F P F i x X P
=PiF Ví dụ 1:
Xét F = (Y=1)
Phân phối có điều kiện X theo F là: XF 2
PiF ½ 1/2
18 18 P(X=2/Y=1) = 2 1 8 28 1 ) 1 ( 2, 1)
( Y P Y X
P = P
1F P(X=4/Y=1) = 2 1 8 28 1 ) 1 ( 4, 1)
( Y P Y X
P = P
2F
P(X=6/Y=1) = 0
8 20 )
1 ( 6, 1)
( Y P Y X
P = P
3F
Tính chất:
0<= piF <=1 , i ; piF 1
i
19 19
Phân phối Y theo điều kiện F là: P(Y=yj /F) =
( , )
( ) P Y y j F
P F
= PFj
Ví dụ 1:
Xét F = (X=4)
P(Y=1/X=4) = ( , ) 18
4
( ) 8
P X Y
P X
Tính chất:
0<= pFj <=1 , j ; p F j
j
YF
PFj 1/4 ¼ 2/4
20 20
VI KỲ VỌNG TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN, PHƯƠNG SAI CĨ ĐIỀU KIỆN
1 Xét cho X:
E(XF) = E(X/F) =
i xipiF neáu biết bảng phân phối XF
Nếu chưa biết bảng XF thì:
E(XF) =
i i P F
F i x X P i x F i x X P i x ) ( ) , ( ) / (
var(XF) = var(X/F) =
(6)21 21
Ví dụ 1: F = (Y=1)
E(X/F) = 2.p1F +4.p2F +6.p3F =212421603
Neáu ta chưa có bảng pp XF tính sau:
E(XF) =
) 1
( 6, 1)
( 6 ) 1
( 4, 1)
( 4 ) 1
( 2, 1)
( 2 Y P Y X P Y P Y X P Y P Y X P
= 3
8 20 6 8 28 1 4 8 28 1
2
Tương tự : E(X/Y=2)= , E(X/Y=3)=
var(XF) = (2–3)2 p1F +(4–3)2 p2F +(6–3)2 p3F
= 1.(1/2)+1.(1/2)+9.(0) = 2222
YÙ nghóa E(X/F): trung bình có điều kiện của X, điều kiện F
2 Xét cho Y: E(YF) = E(Y/F) =
jyjpFj biết bảng pp YF Nếu chưa biết bảng YF thì:
E(YF) =
j j P F
F j y Y P j y F j y Y P j y ) ( ) , ( ) / (
var(YF) = var(Y/F) =
j yj EYF pFj 2 )) ( ( 23 23
Ví dụ 1: F = (X=4)
E(Y/F) = 1.pF1 +2.PF2 +3.pF3+4.pF4 =1(1/4)+2(0)+3(1/4)+4(2/4) =
Neáu ta chưa có bảng phân phối YF tính
sau: E(YF) =
) 4 ( 4, 3) (
3 ) 4 ( 4, 2) (
2 ) 4 ( 4, 1) ( 1 X P Y X P X P Y X P X
PX Y
P
3
8 4/8 2 4 8 / 418 3 8 / 40 . 2 8 48 1 1 ) 4 ( 4, 4) (
4
X P Y X P
Tương tự : E(Y/X=2)= 5/3 , E(Y/X=6)= var(YF) = (1–3)2(1/4)+(2–3)2.(0)+(3–3)2(1/4)
+(4–3)2(2/4) = 3/2
24
Ý nghóa kỳ vọng có điều kiện:
Khảo sát chi tiêu (Y) theo thu nhập (X) người ta có bảng số liệu sau:
X 4 6 9 Y
Chi tiêu trung bình người là: (2+3+2+4+5+6) / = 3,6667 = E(Y)
Chi tiêu trung bình người thu nhập 4: (2+3) / = 2,5 = E(Y/X=4)
(7)Đồ thị minh họa x1< x2y1 <= y2: hàm tăng
25
Kết quả:
1) Người ta chứng minh được: E(Y/X) hàm theo X E(X/Y) hàm theo Y 2) E(aX+bY/g) = aE(X/g)+bE(Y/g) 3) g1 g2
E[E(X/g2)/g1] = E(X/g1)
ĐB:
E[E(X/g)] = E(X) (luật kỳ vọng lặp) 4) X, Y độc lập: E(Y/X) = E(Y) 5) var(X/g) = E[(X-E(X/g))2/g]
var(X) = E[var(X/g)] +var[E(X/g)]
26
27 27
VII HIỆP PHƯƠNG SAI, HỆ SỐ TƯƠNG QUAN, MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI , MA TRẬN TƯƠNG QUAN
Nếu E(Y/X=xi) = E(Y/xi) = a+bxi
hoặc E(X/Y=yj) = E(X/yj) = c+dyj
thì ta nói X,Y có tương quan tuyến tính 1) Hiệp phương sai
cov( , ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( )
X Y E X E X Y E Y
E XY E X E Y
Với E(XY) =
i jxiyjpij 2828
Cov(X,Y) cho bieát X Y có phụ thuộc tương quan tuyến tính hay không
Cov(X,Y) phụ thuộc đơn vị đo cuûa X,Y
VD1:
Cov(X,Y) = E(XY)–E(X).E(Y) =
4 3 2 5 2 7 2
19