Ñaïi löôïng ngaãu nhieân (bieán ngaãu nhieân), vieát taét laø ÑLNN , coù theå ñöôïc xem nhö laø moät ñaïi löôïng maø caùc giaù trò soá cuûa noù laø keát quaû cuûa caùc thí nghieäm/ thöïc[r]
(1)1
CHƯƠNG 2:
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
I) ĐỊNH NGHĨA:
Đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên), viết tắt ĐLNN, xem đại lượng mà giá trị số của nó kết thí nghiệm/ thực nghiệm ngẫu nhiên quan sát tượng tự nhiên; giá trị ngẫu nhiên,khơng dự đoán trước được Đại lượng NN chia thành hai loại: đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đại lượng ngẫu nhiên liên lục
ĐLNN rời rạclấy giá trị hữu hạn vô hạn đếm
ĐLNN liên tục lấy giá trị (số) khoảng trục số thực
ĐLNN thường ký hiệu X, Y, Z, …
3
I) ĐỊNH NGHĨA:
Định nghĩa tương đối chặt chẽ, ĐLNN X ánh xạ thỏa:
X: R , với không gian mẫu biến cố sơ cấp
( ) X
֏
Taäp ( ) { ( ):X X } tập giá trị có X
Định nghĩa chặt chẽ định nghĩa dựa khái niệm: -đại số biến cố, tập Borel,
hàm đo
VD1: Tung đồng xu sấp ngữa lần
Gọi X= số lần mặt sấp X ĐLNN? Phân loại?
VD2: Tung xúc xắc
Gọi X= số nút xuất xúc xắc X ĐLNN? Phân loại?
VD3: Khảo sát số người đến siêu thị ngày
Gọi X= số người đến siêu thị ngày X ĐLNN? Phân loại?
VD4: Đo chiều cao người
(2)VD5: Nghiên cứu bão Việt Nam năm
Gọi X= số bão đổ vào VN năm X ĐLNN? Phân loại?
VD6: Khảo sát tiền lương nhân viên nhà nước
trong năm (biếthệ số lương số năm công tác) Gọi X= tiền lương người tháng X ĐLNN?
VD6bis: Khảo sát tiền lương nhân viên nhà nước
trong năm (chưabiết hệ số lương số năm công tác) Gọi X= tiền lương người tháng
X ĐLNN?
5
VD7: Một người lấy vợ Xét xem người lấy phải
người vợ có tính tình giống Tấm hay Cám (Tấm mặc áo tứ thân Tấm mặc áo dây!)
Gọi X= tính tình người vợ X ĐLNN?
VD8: Hộp có 10 bi, có bi T
Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Gọi X= số bi Trắng lấy X ĐLNN? Phân loại?
VD9: Gioáng VD
Nhưng hộp có tất bi T
Nhận xét:
ĐLNN rời rạc: ta liệt kê giá trị được.
ĐLNN liên tục: ta liệt kê giá trị được.
7
II) BIỂU DIỄN ĐLNN
ĐLNN rời rạc: dùng bảng phân phối xác suất ĐLNN liên tục: dùng hàm mật độ xác suất (một số sách dùng hàm phân phối xác suất)
Phần quan trọng chương lập được bảng ppxs (luật ppxs) ĐLNN rời rạc.
8
II) BIỂU DIỄN ĐLNN
1) ĐLNN rời rạc:
Dùng bảng phân phối xác suất: X x1 … xi … xn
P p1 … pi … pn
xi (i= n) giá trị khác có cuûa X
pi = P(X = xi) : xác suất X nhận giá trị xi
Tính chất: 0 pi ,
n i i
(3)9
Caâu hoûi:
Để lập bảng ppxs X ta cần làm gì? Trả lời:
* Xác định giá trị có xicủa X
* Tính xác suất pitương ứng với giá trị xi
10
II) Biểu diễn ĐLNN (rời rạc)
VD1: Tung đồng xu sấp ngữa lần
Gọi X= số lần mặt sấp Lập bảng ppxs cho X? Giải:
* X có giá trị: 0, 1,
* Ta có trường hợp xảy tung đồng xu SN lần: SS, SN, NS, NN
P(X=0)= P(NN) = ¼ , P(X=1)= P(SN+NS)= 2/4 , P(X=2)= P(SS)= ¼
X P ¼ 2/4 ¼
11
VD2: Hộp có bi, có bi T, bi Đ Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp
Gọi X= số bi T lấy Lập bảng ppxs cho X? Giải:
* X có giá trị 0,1,2 *Ta tính xác suất sau:
Đặt A= bc lấy bi T (2 bi Đ)
B= bc lấy bi T ; C= bc lấy bi T P(X=0)= P(A)= C(2,2) / C(2,6) = 1/15
P(X=1)= P(B)= C(1,4).C(1,2) / C(2,6) = 8/15 P(X=2)= P(C)= C(2,4) / C(2,6) = 6/15
X P 1/15 8/15 6/15
12
Nhận xét: Khi học ta đặt bc A rùi tính xác suất P(X=0) = P(A) để gợi nhớ chương đầy kỷ niệm Sau đẳng cấp PRO ta tính thẳng P(X=0), khơng thơng qua P(A)
Có muốn PRO hay không tùy bạn!!!
Lưu ý:
* Ta phải kiểm tra lại xem tổng xác suất có không
* Khơng làm:
P(X=2)= 1-P(X=0)-P(X=1) để tính P(X=2)
(4)13
VD3:
Hộp có bi T bi Đ Lấy ngẫu nhiên bi Gọi X= số bi T lấy (trong bi lấy ra) Lập luật ppxs (bảng ppxs) cho X?
Giaûi:
X 1 2 3
P C(1,4).C(2,2) /C(3,6) C(2,4).C(1,2) /C(3,6) C(3,4) /C(3,6)
14
VD 3bis:
Hộp có bi T, bi V, bi Đ Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp X= số bi T lấy
Bảng ppxs cho X là:
X 0 1 2
P C(3,7)/C(3,9) C(1,2).C(2,7)/C(3,9) C(2,2).C(1,7)/C(3,9)
15
Haõy nghỉ tập chương 1!!!
VD4:
Có hộp, có hộp loại hộp loại Hộp loại có: bi T, bi V
Hộp loại có: bi T, bi V
Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy NN bi Gọi X= số bi T lấy
Laäp baûng ppxs cho X?
16
Giaûi VD4:
Đặt Hi= bc lấy hộp loại i, i= 1,2 X 1 2 P 2/15 9/15 4/15 P(X=0)= P(X=0/H1)P(H1)+P(X=0/H2)P(H2)
= [C(2,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3)= 2/15 P(X=1)= P(X=1/H1)P(H1)+P(X=1/H2)P(H2)
=[C(1,3).C(1,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(1,3).C(1,3)/C(2,6)].(1/3) = 9/15
P(X=2)= P(X=2/H1)P(H1)+P(X=2/H2)P(H2)
(5)17
VD5:
Hoäp có: bi T, bi V Hộp coù: bi T, bi V
Lấy NN bi từ hộp bỏ sang hộp 2, lấy NN bi từ hộp xem màu
Gọi X= số bi T lấy (trong bi lấy từ hộp 2) Lập bảng ppxs cho X?
18
Giaûi VD5:
Đặt Ai= bc lấy i bi T từ hộp 1, i= 0,1,2
P(A0)= C(2,3)/C(2,5)= 3/10 , P(A2)= C(2,2)/C(2,5)= 1/10 P(A1)= C(1,2).C(1,3)/C(2,5)= 6/10
X P
P(X=0)= P(X=0/A0)P(A0)+P(X=0/A1)P(A1)+P(X=0/A2)P(A2) = [C(2,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,3)/C(2,7)].(6/10)
+[C(2,2)/C(2,7)].(1/10)
P(X=1)= P(X=1/A0)P(A0)+P(X=1/A1)P(A1)+P(X=1/A2)P(A2) = [C(1,3).C(1,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(1,4).C(1,3)/C(2,7)].(6/10) +[C(1,5).C(1,2)/C(2,7)].(1/10)
P(X=2)= P(X=2/A0)P(A0)+P(X=2/A1)P(A1)+P(X=2/A2)P(A2) = [C(2,3)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,4)/C(2,7)].(6/10)
+[C(2,5)/C(2,7)].(1/10)
19 VD6:
Có kiện hàng Kiện có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Kiện có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm từ kiện sản phẩm
Lập luật ppxs số sp tốt sp lấy ra?
20
Giaûi VD6:
Ai= bc lấy i sp tốt từ kiện 1, i= 0, 1, Bi= bc lấy i sp tốt từ kiện 2, i= 0, X= số sp tốt sp lấy
P(X=0)= P(A0B0)= P(A0).P(B0)= C(2,2)/C(2,5) (3/5)= 0,06 P(X=1)= P(A1B0+A0B1)= P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)
= C(1,3)C(1,2)/C(2,5) (3/5) + C(2,2)/C(2,5) (2/5)= 0,4 P(X=2)= P(A1B1+A2B0)= 0,42 ; P(X=3)= P(A2B1)= 0,12
(6)21
Bình loạn:Đa số sinh viên “ái ngại” gặp dạng tốn lập bảng ppxs! Họ khơng biết dạng toán rất quen thuộc mà họ xem “chuyện thường ngày ở huyện”, dạng tốn tính xác suất biến cố.
Bạn tưởng tượng Chương WinXP (tính P(A)), cịn
Chương WinXP ngồi “hào nhống, hồng gia” Win7 (tính P(X=k)), có cài thêm Seven
Transformation Pack “Bộ cánh” hoàng gia không che dấu chất quê mùa, lam lũ, chịu thương chịu khó … WinXP (thực chất tốn lập bảng ppxs tốn tính xs biến cố, nhưngxét cho tất trường hợp có
thể xảy ra) Phàm người ta dễ bị vẻ hào nhống
bên ngồi làm cho “khiếp sợ, kiêng dè”!
Bạn nhìn chất chơn chất, thật thà, xù xì, thô
kệch,… C1 mà từ suy cách làm cho C2 22
Hàm phân phối xác suất ĐLNN rời rạc Bảng ppxs X:
X x1 xi xn
P p1 pi pn
Hàm phân phối F(x) định nghóa: F: |R |R
F(x) = P(X<x)
X laø ĐLNN nhận giá trị x1, x2, , xn
x số thực (X<x) biến cố
23
VD: Baûng ppxs
X -1 P 0,1 0,3 0,4 0,2 x≤-1 : F(x) = P(X<x) = P() = -1<x≤0 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1) = 0,1 0<x≤1 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1)+P(X=0) = 0,1+0,3 = 0,4
1<x≤3 : F(x) = P(X<x) = P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) = 0,1+0,3+0,4 = 0,8
3<x : F(x) = P(X<x)
= P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=3)
= 0,1+0,3+0,4+0,2 = 24
Hàm phân phối trình bày: x (-∞,-1] (-1,0] (0,1] (1,3] (3,+∞)
F(x) 0,1 0,4 0,8
Lưu ý: Có sách trình bày:
x -1
F(x) 0,1 0,4 0,8 Bài tập:
Tìm bảng (luật) ppxs kỳ vọng ĐLNN X có hàm phân phối:
x -2
(7)25
Quy ước:lấy giá trị bên phải, không lấy giá trị bên trái
26
II) Biểu diễn ĐLNN (liên tục)
2)ĐLNN liên tục:
Ta dùng hàm mật độ để biểu diễn
Hàm mật độ xác suất f(x) hàm thỏa điều kiện sau: 1 f:IRIR
2 f(x) 0, x
3 IR dx x f dx x
f( ) ( ) (tích phân suy rộng)
Tính chất:
2 x
x f xdx x
X x P
27
Thí dụ: Hàm mật độ Gauss 2 exp ) ( )
(x x x
f
là hàm mật độ phân phối chuẩn tắc N(0,1)
x=– x=+
Ý nghĩa hình học điều kiện 3: Diện tích hình (giới hạn đường: đường cong hàm mật độ f(x) trục hoành, đường thẳng x=–, x=+)
x 1 28
Ý nghĩa hình học tính chất hàm mật độ xác suất:
Xác suất để ĐLNN X có giá trị nằm khoảng (x1, x2)
là diện tích vùng tơ màu hình
x2 x1 x f(x) 2 1 2 1 x
xf xdx