-Số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng thời gian hay không gian nào đó không ảnh hưởng đến số lần xuất hiện biến cố A trong những khoảng thời gian hay không gian sau đó. Chú ý: Tr[r]
(1)10/29/2019
LOG O
Chương 3:
MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
2
-Thực phép thử n lầnđộc lập nhau -Trong lần thử, ta quan tâm đến biến cố A (xảy hay khơng xảy ra) với
ln hằng số không đổi, không phụ thuộc vào phép thử
I Phân phối nhị thức B(n,p):
( )
pP A
X {0,1, 2, , }. n
X có phân phối nhị thức, ký hiệu: X ~ B n p( , ) Gọi X: số lần biến cố A xảy Khi đó:
trong
3 P(X ) k k n k ,
n k C p q
2
E(X) Var(X)
Mod(X)
n p n p q
n p q n p p
1 q p
Nếu X ~ B(n, p) ta có:
0,1, 2, ,
k n
4
Ví dụ 1: Gieo 10 hạt đậu Xác suất nảy mầm của hạt 0,8.Tính xác suất để 10 hạt: a) có hạt nảy mầm
b) có từ đến 10 hạt nảy mầm c) có hạt nảy mầm d) có hạt nảy mầm e) có nhiều hạt nảy mầm f) có hạt khơng nảy mầm
5
Gọi X số hạt nảy mầm 10 hạt
X ~ B(10; 0,8)
Giải
Phép thử: Gieo hạt đậu
A: “Hạt nảy mầm” P( )A 0,8
Gieo 10 hạt đậu nghĩa thực phép thử 10 lần độc lập
a) Xác suất có hạt nảy mầm:
P(X8) 8 10 10.(0,8) (0, 2)
C
8
10.(0,8) (0, 2) 0,3019
C
với n=10; p=P(A)=0,8; q=0,2.
6
b) Xác suất có từ đến 10 hạt nảy mầm:
(8 10)
P X
0, 3019
C109.(0,8) (0, 2)9
P(X8)P(X9) P(X 10)
10 10
10.(0,8) (0, 2)
C
0, 3019
0, 26840,1074 0, 6777
c) Xác suất có hạt nảy mầm:
(2)10/29/2019
7
e) Xác suất có nhiều hạt nảy mầm:
f) Xác suất có hạt khơng nảy mầm
8
Ví dụ 2: Xác suất để máy sản xuất được sản phẩm loại tốt 0,8 Cho máy sản xuất sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại tốt có sản phẩm máy sản xuất
Chọn câu đúng:
a) X khơng có phân phối nhị thức
b) X ~ B(5; 0,8)
c) X ~ B(0,8; 5)
d) X ~ B(1; 5)
9
Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng mục tiêu lần bắn 0,5 Gọi X số đạn trúng mục tiêu xạ thủ
Chọn câu đúng:
a) X khơng có phân phối nhị thức
b) X ~ B(1; 0,5)
c) X ~ B(3; 0,5)
d) X ~ B(0,5; 3)
10
Ví dụ 4: Có cầu thủ ném bóng vào rổ (mỗi người ném quả) Xác suất ném trúng rổ cầu thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6 Gọi X số lần ném trúng rổ cầu thủ X có phân phối nhị thức hay khơng?
Ví dụ 5: Một người ngày bán hàng 5 chỗ khác Xác suất bán hàng chỗ 0,3
a) Tìm xác suất người bán hàng trong ngày
b) Mỗi năm người bán hàng 300 ngày, tìm số ngày bán hàng nhiều khả năm
Ví dụ 6: Một nhà máy có dây chuyền cùng sản xuất loại sản phẩm Xác suất để sản phẩm sản xuất từ dây chuyền phế phẩm tương ứng 0,04 0,03 Sản phẩm dây chuyền đóng hộp (mỗi hộp 10 sản phẩm) Biết suất dây chuyền thứ gấp đôi dây chuyền thứ hai
(3)10/29/2019
13
Ví dụ 7: Một hộp chứa 10 bi gồm bixanhvà biđỏ Chọn ngẫu nhiên liên tiếp (có hồn lại) bi Gọi X số bixanhnhận lần lấy
a) Tìm Mod(X)
b) Lập bảng phân phối xác suất cho X c) Tính kỳ vọng phương sai X
14
“ Nếu ví dụ trên, giả thiết lấy mẫu
khơng hồn lại sao? ”
Định lý tổng phân phối nhị thức độc lập: Xi~B(ni,p), i = 1,2,…,m
Xiđộc lập
1
~ ,
m m
i i
i i
X X B n n p
15
II Phân phối siêu bội H(N,M,n):
N: tổng thể MA Tính chất A
Lấy khơng hoàn lại (Lấy lúc)
n phần tử
Gọi X: số phần tử có tính chất Atrong n phần tử. X có phân phối siêu bội
X ~ H N M( , A, )n
X {0,1, 2, , }. n
16
.
P(X ) A A
k n k M N M
n N
C C
k
C
E(X) n p
vớip MA : tỉ lệ phần tử có tính chất A. N
2
Var(X)
N n
n p q N
q p
với : tỉ lệ phần tử khơng có tính chất A.
Nếu X ~ H(N,MA,n) ta có:
17
Ví dụ 8: Giải lại ví dụ trường hợp lấy mẫu khơng hồn lại
Giải a) X ~ H(10; 6; 3)
X{0,1, 2, 3}
P(X0) P(X1)
P(X2) P(X3)
3 10
3 10
P(X )
k k
C C k
C
với N=10; MA=6; n=3 Ta có:
18 b)
(4)10/29/2019
19 Nhận xét ví dụ ví dụ 8:
X
P
N=10, M=6,
có hồn lại, 0,064 0,288 0,432 0,216
P
N=10, M=6,
khơng hồn lại, 0,033 0,3 0,5 0,17
P
N=100, M=60,
khơng hồn lại, 0,061 0,289 0,438 0,211 X ~B(3; 0, 6)
X ~H 10( ; 6; )3
X ~H 100( ; 60; )3
20
III Liên hệ B(n,p) H(N,MA,n):
Khi tổng thểN lớn, cỡ mẫu n nhỏ
so với N phân phối nhị thức phân phối siêu bội cho kết gần Nói cách khác, ta có
X ~ H N M( , A, )n X ~ B n p( , )
nN
/ A pM N với
N lớn
KhiN lớn so với nthì việc lấy n phần tử từ tổng thể N phần tử theo phương thức có hồn lại hay khơng hoàn lại, coi nhau.
21
Ví dụ 9: Từ lơ thuốc lớn, có tỉ lệ thuốc hỏng 0,2 Lấy ngẫu nhiên lọ Gọi X số lọ hỏng lọ lấy Lập bảng phân phối xác suất cho X
22
IV Phân phối Poisson P( ):
Trong thực tế, có nhiều mơ hình thỏa phân phối Poisson, ví dụ:
-Số gọi đến tổng đài điện thoại phút -Số người truy cập vào trang web www.sgu.edu.vn
trong 30 phút
-Số lỗi in sai xuất trang sách Đặc điểm chung: đề cập đến “cường độ” xuất (số lần xuất hiện) biến cố đơn vị thời gian không gian
Nếu toán thỏa điều kiện:
-Số lần xuất biến cố A khoảng thời gian hay không gian khơng ảnh hưởng đến số lần xuất biến cố A trong khoảng thời gian hay khơng gian sau -Cường độ xuất biến cố A không đổi, luôn là số.
Gọi X: số lần xuất biến cố A khoảng thời gianthay khơng gianh.
X có phân phối Poisson, ký hiệu: X ~ P ( ) X {0,1, 2, , , }. n
:
Số lần biến cố A xuất trung bình trong khoảng thời gian t hay khơng gianh. Chú ý: Trong trường hợp chưa biết trước , ta dựa vào thông tin cường độ xuất (số lần xuất hiện) để xác định
Nếu X ~ P ( ) ta có:
P(X )
! k
e k
k
(5)10/29/2019
25
Ví dụ 10: Ở tổng đài Bưu điện, cú điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên, độc lập với tốc độ trung bình gọi phút Tìm xác suất để:
a) Có cú điện thoại phút. b) Khơng có cú điện thoại khoảng thời gian 30 giây
c) Có cú điện thoại khoảng thời gian 10 giây
26
Ví dụ 10: Một trạm bơm xăng trung bình mỗi có 12 xe máy đến tiếp xăng Tìm xác suất để có 15 xe đến tiếp
xăng Giải
Gọi X số xe máy đến tiếp xăng
~ ( )
X P
12
Xác suất để có 15 xe đến tiếp xăng:
P(X>15)
với
12 15
0 12
1 0,1556
!
k
k
e k
1-P(X 15) 15
0
=1- P(X= )
k
k
27 28
Định lý tổng phân phối Poisson độc lập: Xi~P( ), i = 1,2,…,m
Xiđộc lập
1
X X ~
m m
i i
i i
P
i
29
V Liên hệ B(n,p) P( ):
~ ( , )
X B n p
n p với 50 0,1
n p
~ ( )
X P
Ví dụ 12: Trong lô thuốc, tỉ lệ thuốc hỏng 0,003 Kiểm tra 1000 ống
a) Tính xác suất để gặp ống bị hỏng b) Tính xác suất để gặp 60 ống bị hỏng
n lớn p bé
và
30
Ví dụ 13: Mỗi chuyến xe chở 1000 chai bia Xác suất để môt chai bia bị vỡ vận chuyển 0,001
a) Tìm xác suất vận chuyển có chai vỡ. b) Tìm xác suất vận chuyển có số chai vỡ khơng
(6)10/29/2019
31
VI Phân phối chuẩn N( , ): 2
Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối chuẩnvới kỳ vọng phương sai , kí hiệu , hàm mật độ có dạng:
2
2 ( )
2
1
( ) , .
2 x
f x e x
2
X ~N ( , )
32
33 34
6.1 Hàm Gauss: Hàm Gauss f(x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc X ~ N(0,1).
2
2
1
( ) , (*)
2
x
f x e x
Đặc biệt, ta nói X cóphân phối chuẩn tắc (phân phối Gauss) Khi đó, ta có
X ~ N(0,1)
Tính chất: Hàm Gauss hàm chẵn
36 Ví dụ 14: Tìm
a) f (1,09) b) f (-2,8) c) f (6,12)
Cách tìm giá trị hàm Gauss điểm xo: -Cách 1: Tính trực tiếp cách thay x xo
trong công thức (*)
-Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Gauss.
Chú ý:Nếu x > 4,09 lấy f (x) 0,0001
(7)10/29/2019
37
6.2 Hàm Laplace: Hàm Laplace hàm số xác định
( )x
2
1
( ) , (**)
2 x t
x e dt x
38
Tính chất: Hàm Laplace hàm lẻ ( x) ( ).x
39 Ví dụ 15: Tìm
a) b) c) d) e)
Cách tìm giá trị hàm Laplace điểm xo: -Cách 1: Tính trực tiếp cách thay x xo công thức (**)
-Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace.
Chú ý:Nếu x > 4,09 lấy ( )x 0,5
(0,40)
( 2,58)
(6,12)
= 0,1554
= -0,4951 = 0,5
( )
( )
=0,5
=-0,5
(2,58)
( )
40
6.3 Các cơng thức tính xác suất phân phối chuẩn:
Nếu X ~N ( , 2)
P(aX b) b a
P(| X | ) 2 , 0
41 Quy tắc k – sigma:
P(| X | k ) 2 k
Nếu k = ta có quy tắc - sigma:
P(| X | ) 2 3 0,9974 nghĩa là: sai số X không gần chắn (xác suất gần 1)
3
42
Ví dụ 16: Khối lượng bò trưởng thành biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 300kg độ lệch chuẩn 50kg Tính tỉ lệ bị có khối lượng:
a) Nằm khoảng từ 275kg đến 425kg. b) Nhẹ 200kg.
c) Nặng 375kg. Giải
Gọi X(kg): khối lượng bò trưởng thành