traû lôøi, trong ñoù chæ coù moät ñaùp aùn ñuùng. Caùc caâu hoûi ñoäc laäp vôùi nhau. Moãi caâu traû lôøi ñuùng ñöôïc 0,2 ñieåm. Moät ngöôøi traû lôøi “chaéc cuù” 10 caâu hoûi, caùc caâu[r]
(1)1
CHƯƠNG 3:
CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
Dùng Kinh tế
2 Trong sống có “điều/ cái” tuân theo
quy luật đó, khơng có quy luật Có quy luật biết, có quy luật mà chưa biết Những mà ta biết quy luật chiếm số lượng nhỏ nhoi so với vô số mà chưa biết
Vậy tình yêu có quy luật khơng? Người nói có (cho quy luật mn đời tình u giận hờn, đau khổ, bị ngăn cấm, hạnh phúc Y phim!), người nói khơng (cho hể thấy thích nhau, hợp nhãn , cịn điều ctmb, u Khơng cần biết “sẽ ngày sau” Thí dụ gái 20 lấy ông già 60, hay chàng trai 26 lấy bà già 62, hay “chát chít” gặp mạng, Y kịch!)
3 Ở ta nghiên cứu số quy luật phân phối xác suất thông dụng (được ứng dụng nhiều Kinh tế), ta định lượng nó Khơng nghiên cứu “tình u”, và càng khơng lý thuyết sng.
4 Các quy luật thông dụng học:
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Quy luật pp siêu bội Quy luật pp nhị thức Quy luật pp Poisson
Đại lượng ngẫu nhiên liên tục Quy luật pp chuẩn (chuẩn tắc) Quy luật pp mũ
(2)5
I) QUY LUẬT PHÂN PHỐI SIÊU BỘI VD:
Hộp có 10 bi, có bi T Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp
Tính xác suất lấy bi T? Giải:
Gọi X = số bi T lấy (trong bi lấy ra) P(X=2) = C(2,4)*C(1,6) / C(3,10)
Nhận xét từ thí dụ này?
6
Tổng quát:
Ta có tập hợp có N phần tử, có K phần tử có tính chất A quan tâm Lấy ngẫu nhiên n phần tử từ tập
Tính xác suất có k phần tử có tính chất A n phần tử lấy ra?
Giaûi:
Gọi X= số phần tử có tính chất A n phần tử lấy
P(X=k) = C(k,K)*C(n-k,N-K) / C(n,N) Lúc X gọi có quy luật pp siêu bội Ký hiệu XH(N,K,n)
7 Sơ đồ
n k
N-K
A*
K
A
N
8 Tính chaát: XH(N,K,n)
E(X)= np , với p= K/N Var(X)= npq (N-n)/(N-1)
(không cần biết bảng ppxs X) (N-n)/(N-1) gọi hệ số hiệu chỉnh
VD: Ở VD N= 10, K= 4, tính chất A quan tâm là
lấy bi T Với n= 3, k= XH(10,4,3)
Câu hỏi:
1) Tính số bi T lấy trung bình? 2) Tính phương sai số bi T lấy được?
Giaûi:
1) p= K/N= 4/10
E(X)= np = 3(4/10) = 12/10 2) q= 1-p = 6/10
(3)VD: Hộp có bi Trắng, bi Vàng, bi Đỏ, 2
bi Cam Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất lấy bi T?
HD:
X= số bi T lấy bi lấy ra. X~H(14,5,6)
P(X=4)= C(4,5).C(2,9) / C(6,14)
9
PHÂN PHỐI SIÊU BỘI VỚI EXCEL
10
CHUYỂN KẾT QUẢ VỀ DẠNG PHÂN SỐ
Chọn ô cần chuyển Chuột phải Chọn Format Cells
11
KẾT QUẢ DẠNG PHÂN SỐ
(4)13
Vậy quy luật phân phối siêu bội rất gần gũi, thân thương với Đó bài tốn “bốc bi từ hộp” Ở chương 2, ta chưa biết quy luật pp siêu bội ta làm “đàng hồng” đấy thơi Tuy nhiên ta thấy tn theo quy luật ppxs đó, ta cụ thể thành quy luật siêu bội.
Đó “Hãy đặt tên cho em, cho em một danh phận” (Thuyết “Chính Danh” của Khổng Tử).
14 II) QUY LUẬT PP NHỊ THỨC
VD1:
Tung xúc xắc lần
Gọi X= số lần xuất mặt lần tung Lập bảng ppxs cho X?
15
Giaûi VD1:
Gọi Ai = bc lần tung thứ i mặt 1, i= 1,3 p= P(Ai) = 1/6 , q = 1-p = P(Ai*) = 5/6
P(X=0) = P(A1*A2*A3*) = P(A1*)P(A2*)P(A3*) = (5/6)(5/6)(5/6) = C(0,3) p0q3-0
P(X=1) = P(A1)P(A2*)P(A3*)+ P(A1*)P(A2)P(A3*) +P(A1*)P(A2*)P(A3)
= (1/6)(5/6)(5/6) + (5/6)(1/6)(5/6) + (5/6)(5/6)(1/6) = 3(1/6)(5/6)(5/6) = C(1,3)p1q3-1
P(X=2) = P(A1)P(A2)P(A3*)+ P(A1)P(A2*)P(A3) + P(A1*)P(A2)P(A3)
= (1/6)(1/6)(5/6)+ (1/6)(5/6)(1/6)+ (5/6)(1/6)(1/6) = 3(1/6)(1/6)(5/6) = C(2,3)p2q3-2
P(X=3) = P(A1)P(A2)P(A3)
= (1/6)(1/6)(1/6) = C(3,3) p3q3-3
Nhận xét gì?
16
Nhận xeùt:
Ta thấy lần tung xúc xắc khả mặt p= 1/6, khả mặt lại q= 5/6
Ta tung lần xúc xắc
* Muốn cho (X=0) lần tung ta chọn lần mặt 1, tức chọn C(0,3) lần mặt lần tung Xác suất mặt lần tung p Vậy xs không mặt lần tung P(X=0) = C(0,3) p0q3-0
* Muốn cho (X=1) lần tung ta chọn lần mặt 1, có C(1,3) cách chọn Mỗi cách chọn xs lần mặt lần tung p1q3-1 Vậy P(X=1) = C(1,3) p1q3-1
* Tương tự cho (X=2) , (X=3)
(5)17 Nhận xét:
Phép thử ta tung xúc xắc
Ta thấy lần tung độc lập nhau, có nghĩa kết lần tung không ảnh hưởng lẫn Ở lần tung ta quan tâm đến việc có mặt
1 hay không - biến cố A quan tâm, xác suất A là không đổi qua lần tung p.
18 Tổng quát:
* Ta thực phép thử T n lần, ký hiệu T1, T2, Tn Mỗi lần thực T ta quan tâm bc A có xảy hay không * Các T1, T2, Tn gọi dãy phép thử độc lập kết xảy lần thử không ảnh hưởng lẫn
* Xác suất p = P(A) cố định qua lần thử Gọi: X= số lần biến cố A xảy n lần thử
Thì X có quy luật phân phối nhị thức, ký hiệu XB(n,p) Xác suất X nhận giá trị k (có k lần biến cố A xảy n lần thử) là:
P(X= k) = C(k,n) pk qn-k , với q = 1-p
19 VD1: Với VD XB(3, 1/6)
Tính chất: XB(n,p) E(X)= np Var(X)= npq
np-q mod(X) np+p
(khoâng cần biết bảng pp X) VD1:
Xác định E(X), var(X), mod(X)? Giải VD1:
XB(3, 1/6)
E(X)= 3(1/6) = 3/6 , var(X) = 3(1/6)(5/6)
(3/6)-(5/6) mod(X) (3/6)+(1/6) -2/6 mod(X) 4/6
mod(X)= (Lưu ý X có giá trị 0, 1, 2, 3) 20
Lưu ý quan troïng:
Quy luật phân phối nhị thức dễ áp dụng! điều khiến cho sinh viên thường làm sai là:
- Không phân biệt phép thử có độc lập khơng - Khơng biết P(A) có cố định khơng
VD2:
Có máy thuộc đời (version) khác Cho máy sản xuất sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm tốt máy sản xuất 0,7 ; 0,8 ; 0,9
(6)21
Giải VD2:
Ta khơng thể áp dụng quy luật pp nhị thức cho toán này, sao? Cmkb!
Nếu ta quy luật ppxs sao, khơng lẻ botay.com à!? Ta trở cách làm gần gũi là: đặt biến cố, xác định giá trị X thơng qua biến cố
Gọi X= số sản phẩm tốt sản phẩm Đặt Ai= bc máy i sản xuất sản phẩm tốt
P(X=2) = P(A1A2A3*)+P(A1A2*A3)+ P(A1*A2A3)
= P(A1)P(A2)P(A3*)+ P(A1)P(A2*)P(A3)+P(A1*)P(A2)P(A3) = (0,7)(0,8)(0,1) + (0,7)(0,2)(0,9) + (0,3)(0,8)(0,9)
VD3:
Máy tự động sản xuất sản phẩm, 10 sản phẩm đóng thành hộp Giả sử hộp có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 10 hộp, kiểm tra hộp sau: lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp, sản phẩm tốt hết mua hộp
1) Tính xác suất có hộp mua? 2) Tính xác suất có hộp mua? 3) Tính xác suất có nhiều hộp mua?
22
Giaûi:
Xác suất để hộp mua p = C(3,9) / C(3,10) = 84/120 = 0,7 Gọi X = số hộp mua 10 hộp X~B(10 ; 0,7)
1) P(X=2) = C(2,10)(0,7)2(0,3)8= 0,0014
2) P(X>=3) = 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] = 0,9984 3) P(X<=3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
= 0,0106
23 24
Bài tập: Trong ĐLNN sau, ĐL có quy luật pp nhị thức (xác định n, p), ĐL khơng có? Tại sao?
Tung đồng xu sấp ngữa lần Gọi X= số lần mặt ngữa
Hộp có bi T, bi X Lấy từ hộp bi Gọi X= số bi X lấy Xét cho cách lấy:
C1: Lấy ngẫu nhiên bi C2: Lấy bi C3: Lấy có hồn lại bi
(7)25
Bài tập (tt): Trong ĐLNN sau, ĐL có quy luật pp nhị thức (xác định n, p), ĐL khơng có? Tại sao?
Một xạ thủ bắn phát đạn vào bia Ở lần bắn sau rút kinh nghiệmcác lần bắn trước nên xác suất trúng phát là: 0,7 ; 0,8 ; 0,9
Gọi X= số phát bắn trúng
Một người lấy vợ Do rút kinh nghiệm các lần lấy trước nên khả ly dị vợ lần lấy là: 0,9 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,5
Gọi X= số lần ly dị vợ
Xác suất để dù không bung nhảy dù là 0,001 Chiếc dù dùng lần (có thể với người khác nhau! Hic hic)
Goïi X= số lần dù không bung
VD4: Đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi Mỗi câu có cách trả lời, có đáp án Các câu hỏi độc lập với Mỗi câu trả lời 0,2 điểm Một người thi
không học bàinên trả lời câu hỏi cách “đánh đại” câu trả lời
1) Tính xác suất để người điểm? 2) Tính xác suất để người đạt điểm? Giải:
Gọi X= số câu trả lời 50 câu X~B(50, ¼)
1) P(X=25) = C(25,50)(1/4)25(3/4)50-25 = 0,00008 2) P(X>=25) = P(25<=X<=50) = P(X=25)+ … +P(X=50) = 1-P(0<=X<=24) = 1- 0,99988 = 0,00012 Dùng EXCEL để tính kết quả, tính tay “chua”!
26
VD5: Đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi Mỗi câu có cách
trả lời, có đáp án Các câu hỏi độc lập với Mỗi câu trả lời 0,2 điểm Một người trả lời “chắc cú” 10 câu hỏi, câu hỏi lại trả lời cách “đánh đại” câu trả lời.
1) Tính xác suất để người điểm? 2) Tính xác suất để người đạt điểm? Giải:
Gọi X= số câu trả lời 40 câu lại X~B(40, ¼)
1) P(X=15) = C(15,40)(1/4)15(3/4)25= 0,02819
2) P(X>=15) = 1-P(0<=X<=14) = 1- 0,94556 = 0,05444
27
VD6: Đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi Mỗi câu có cách
trả lời, có đáp án Các câu hỏi độc lập với Mỗi câu trả lời 0,2 điểm Một người trả lời “chắc cú” k câu hỏi (k<25), câu hỏi còn lại trả lời cách “đánh đại” câu trả lời.
1) Tính xác suất để người điểm? 2) Tính xác suất để người đạt điểm? Giải:
Gọi X số câu trả lời 50-k câu cịn lại X~B(50-k, ¼)
1) P(X= 25-k)
2) P(X>= 25-k) = 1- P(0 <=X<= 25-k-1)
(8)BẢNG KẾT QUẢ VỚI CÁC GIÁ TRỊ CỦA K
29
BẢNG KẾT QUẢ VỚI CÁC GIÁ TRỊ CỦA K
30
BT1: Hàng kho có 10% phế phẩm Lấy ngẫu nhiên có hồn lại sản phẩm Tính xác suất 5 sản phẩm có phế phẩm
BT2: Tỷ lệ loại bệnh bẩm sinh dân số 0,01 Bệnh cần chăm sóc đặc biệt lúc sinh Một bệnh viện phụ sản lớn có 200 ca sinh tháng cuối năm Tính xác suất để có nhiều trường hợp cần chăm sóc đặc biệt BT3: Một quận có tỷ lệ nữ 40% Chọn ngẫu nhiên có hồn
lạin người Tìm n để xác suất chọn 1người nam 95%?
31 32
III) QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON VD1:
Khảo sát số người đến siêu thị tháng Một tháng có 30 ngày
Gọi X= số người đến siêu thị ngày
Ta thấy: ngày có 0, 1, 2, đến siêu thị nên X có giá trị 0, 1, 2,
Ta khơng đốn biết xác ngày có người đến Nhưng ta biết số người trung bình đến siêu thị ngày = 600 người (theo thống keâ)
(9)33 VD2:
Có miền A, miền A có nhiều vùng A1, A2, Bắn phát đạn đại bác vào miền A ta xét khả có k mảnh đạn rơi vào vào vùng A1
Gọi X= số mảnh đạn rơi vào vùng A1
Ta thấy số mảnh đạn rơi vào vùng A1 0, 1, 2,
Ta biết số mảnh đạn trung bình rơi vào vùng A1 = 2,5 (theo thống kê)
Lúc ta nói X ĐLNN có quy luật phân phối
Poisson 34
VD3:
Xét quảng đường A dài km
Gọi X= số ổ voi quảng đường
Ta thấy số ổ voi 0, 1, 2,
Ta biết số ổ voi trung bình quảng đường = 2,7 (theo thống kê).
Lúc ta nói X ĐLNN có quy luật phân phối Poisson
35 Trong thực tế có nhiều ĐLNN có phân phối Poisson: Số gọi đến tổng đài ngày, Số người chết năm, Số khách du lịch Nhật đến VN tháng,… Số lần chụt chụt trước cưới đôi uyên ương
Lưu ý: Trong thực tế, chặn X khơng biết
khơng phải vơ hạn Thí dụ người ta chụt tỷ
lũy thừa 1 tyû lần đời mà thơi!!! Tổng qt:
X ĐLNN rời rạc có giá trị k= 0, 1, 2, với giá trị trung bình , xác suất tương ứng là:
P(X=k) = exp(-) k/ k!
Ta nói X có quy luật pp Poisson Ký hiệu XP() Tính chất: XP()
E(X) = var(X) = -1 mod(X)
36 Định lý:
X~B(n,p)
Nếu n đủ lớn (n+) p đủ nhỏ (p0) cho np (hằng số) thì:
, .
(X k)
!
n p
np
k e k k n k
P C p qn
k
(10)37
Trong máy tính Casio fx-570VN Plus có chức tính hàm exp(x) = ex
VD1:
Biết trung bình ngày có 600 người đến siêu thị 1) Tính xác suất ngày 1/1/2012 có 700 người đến
siêu thị?
2) Xác định số người tin đến siêu thị ngày 1/1/2012?
Giaûi:
Gọi X = số người đến siêu thị ngày 1/1/2012 Ta có XP(600)
1) P(X=700) = exp(-600) 600700/700! = 0,0000056
2) 600-1 mod(X) 600 mod(X) = 599 600 38
VD2:
Ta biết trung bình có 2,5 mảnh đạn rơi vào vùng A1 Gọi X= số mảnh đạn rơi vào vùng A1
XP(2,5)
1) Tính xác suất có mảnh đạn rơi vào vùng A1? 2) Xác định số mảnh đạn tin rơi vào
vùng A1?
3) Tính xác suất có mảnh đạn rơi vào vùng A1?
39
Giaûi VD2:
1) P(X=3) = exp(-2,5) 2,53/3! = 0,2138
2) 2,5-1 mod(X) 2,5 mod(X) = 3) P(X5) = 1-P(0X4)
= 1-
4
0 ( )
k
k X
P = 1-
4
0exp( 2,5)(2,5) / !
k
k k = 1-0,8912 = 0,1088
Câu hỏi:
Gợi ý tốn để áp dụng quy luật pp Poisson gì?
PHÂN PHỐI POISSON VỚI EXCEL