[r]
(1)Ví dụ: Cho tải A khối lượng m1, lăn khối lượng m2, bán kính R=3r bán kính quán tínhđối với trục qua tâm là Biết lăn lăn không trượt, bỏqua khối lượng dây ma sát lăn, giả sử hệban đầu
đứng yên Xácđịnh vận tốc, gia tốc tải A
A B
I
H
M
2 Phương trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
Cơhệ bậc tựdo nên ta chọn hệtọa độsuy rộng q1=h
*Tính lực suy rộng Q1
Cho hệmột DCKD từvịtrí banđầu: tải Ađi lên
2
h r
Công di khảdĩ
(
)
(
)
(
)
k A B
A
A P
A P
A M
AB I
H
M
h
A P B
P I N
ms F
0
AP
h
M
A
h
P
h
M
(2)*Tínhđộng năng
A B T T T
2 2
1
1 1
2m VA 2JB 2m VB
2
2
1 2
1 1
2 4
A A
A
V V
m V m m
r
2 2
2
1
2
4 ( )
1
2 A
r m r m V r
2 2
2
1
2
4 ( )
1
2
r m r m h r
*Tính cácđạo hàm
2 2
1
2
4 ( )
4
r m r m
T T
h
q h r
2 2
1
2
4 ( )
4
r m r m
d T
h
dt q r
1
; T
q
2 Phương trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
*Áp dụng phương trình Lagrange II
i
i i
d
T
T
Q
dt
q
q
2 2
1
2
4
(
)
0
4
2
Ar m
r
m
M
h
P
r
r
1 1
d
T
T
Q
dt
q
q
1 2
1
2
2
4
(
)
A
M
rm g
h
W
r
r m
r
m
(3)Ví dụ:Cho tải A trọng lượng PA, lăn trụtròn B khối lượng PB, rịng rọc C khối lượng PCcác bán kính R1=2R2=2R0 bán kính quán tính
đối với trục qua tâm Biết lăn lăn không trượt, bỏ qua khối lượng dây ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu đứng yên Xác định vận tốc, gia tốc tải A
B
s
B
A
M
B
P
A
P
C
1
R
1
R
2
R
h
2 Phương trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
Cơ hệ bậc tựdo nên ta chọn hệ
tọađộsuy rộng q1=h *Tính lực suy rộng Q1
Cho hệ DCKD từvịtrí ban đầu: tải Ađi xuống
0
2
h R
Công di khảdĩ
(
)
(
)
(
)
k A B
A
A P
A P
A M
P
A
h
P
Bsin
s
B
M
sin
2
2
A B
h
h
P
h
P
M
R
sin
M
sin
M
A
P
P
h
P
P
q
B
s
B
A
M
B
P
A
P
C
1
R
1
R
2
R
h
0
;
2
B
h
s R
(4)*Tínhđộng năng
A B C
T T T T 2 2
2 2
A B
A B B B C C
P P
V V J J
g g
*Tính cácđạo hàm
2 2
0
1
32
32
A B C
R P R P P
T T
h
q h R g
2 2
0
1
32
32
A B C
R P R P P
d T
h
dt q R g
; T
q
2 2
2
2
0
1 1 1
2 2 4
C
A B A B A A
A
P
P P V P V V
V
g g g g
R
2 2
2 0
2
32
1
( )
2 32
A B C
A
R P R P P
V R g
02 02 2
2
32
1
( )
2 32
A B C
R P R P P
h R g
2 Phương trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
*Áp dụng phương trình Lagrange II
i
i i
d
T
T
Q
dt
q
q
2 2 0
2
0
32
9
8
sin
0
32
2
2
A B C
A B
R P
R P
P
M
h
P
P
R g
R
1d
T
T
Q
dt
q
q
0
0 2 0
2
sin
16
32
9
8
A B
A B C
R P
R P
M
h
gR
R P
R P
P
(5)Ví dụ: Cho lăng trụ A nhưhình vẽ khối lượng m1con lăn trụ trònđồng chất tâm B khối lượng m2, lăn lăn không trượt, bỏqua ma sát trượt A nền, giảsửhệbanđầuđứng yên Xácđịnh gia tốc A B
A
B
M
x
s
BP
A
P
2 Phương trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
Cơhệhai bậc tựdo nên ta chọn hệ tọa độsuy rộng q1=x độdời lăng trụ A, q2=s độdời tương
đối tâm B với lăng trụA *Tính lực suy rộng Q1
Cho hệmột DCKDđặc biệt
q x
(
)
(
)
(
)
k A B
A
A P
A P
A M
0
0
0
0
Q
1
0
A
B
M
x
s
BP
A
P
2
;
q
s0(Gắn chặt B vào lăng trụA)
*Tính lực suy rộng Q2
Cho hệmột DCKDđặc biệt
q1
x 0 ;
q2
s0(
)
(
)
(
)
k A B
A
A P
A P
A M
0
P
Bs
sin
M
s
R
(6)*Tínhđộng năng *Quan hệ động học
A
V x ; B s
R
Tâm B chuyểnđộng phức hợp e r
B B B
V
V
V
e
B A
V
V
x
;
V
Br
s
2 2 2
(
e)
(
r)
2
e rcos
( )
( )
2
cos
B B B B B
V
V
V
V V
x
s
xs
A B
T
T
T
2 21
1
1
2
m V
A2
m V
B2
J
B
2
2 2
1 2
1
1
1 1
(
2
cos
)
2
2
2 2
s
m x
m x
s
xs
m R
R
2 2 2
1
3
(
)
cos
2
m
m x
4
m s
m xs
2 Phương trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
*Tính cácđạo hàm
1 2
( ) cos
T T
m m x m s
q x
2
1
( ) cos
d T
m m x m s
dt q
1
0
T T
q x
; 2
T T
q s
2 2
3
cos
2
T
T
m s
m x
q
s
22
3
cos
d T
m s m x
dt q
Phương trình Lagrange II
1 1
2 2
d
T
T
Q
dt
q
q
d
T
T
Q
dt
q
q
1 2
2 2
(
)
cos
0
3
cos
sin
2
m
m x
m s
M
m x
m s
m g
R
(7)Ví dụ:Cho khối trụ đặc bán kính r có trọng lượng P1được sợi dây vắt qua ròng rọc O,đầu buộc vào vật A có trọng lượng P2 Vật A trượt mặt phẳng nằm ngang với hệ số ma sát trượtf Tìm gia tốc A tâm C khối trụkhi hệchuyểnđộng Bỏ
qua khối lượng dây ròng rọc O
B
1
P
2
P
C
A
O
2 Phương trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
Hệcó bậc tựdo nên ta chọn tọađộsuy rộng q1=x làđộdời vật A theo phương ngang q2=là góc quay khối trụC nhưhình vẽ
B
1
P
2
P
C
A
O
x
* Tính Q1: Choδx>0,δϕ=0
( ) ( )
k ms
A A P A F
1 ms
xP xF
1
(P f P)x
1
Q P f P
* Tính Q2: Choδx=0,δϕ>0
( )
k
A A P
1 r P
Q rP