IRCONG DATHOC QUANG BINT RHOCKHOY HỌC TỰ NHIÊN
GV TRAN NGOC BICH
BAI GIANG
CO HOC LY THUYET
Trang 2
Mục lục
1 CO HOC CHAT DIEM
1.1 Cac khái niêm co bin mé dau
111 Chất điểm 2 2 v2
11.2 Hệ chất điểm và vật rắn oo ee
11.3 Hệ quy chiếu Q.2 va
1.1.4 Không gian và thời gian trong Cơ học cổ điển
1.2 Phương trình chuyển động Vectơ vận tốc và gia tốc
1.21 Phương pháp vectJd
1.2.2 Phương pháp tọa độ tự nhiên 1.2.3 Phuong phaptoeadd .2.200.- 1.3 Chuyển động của chất điểm trong các hệ quy chiếu khác nhau
1.4 Nguyên lý tương đối Galileo Ba định luật Newton
1.41 Định luật I Newton Nguyên lý tương đói Galileo
1.4.2 Khối lượng và lực Định luật II Newton
1.4.3 Định luật HINewton Ặ
1.5 Hai bài toán cơ bản của động lực học chất điểm
15.1 Bài toán thuận .0.0.0 0000
1.5.2 Bài toán ngược Tích phân của chuyển động và các điều
kiên đầu ee
1.6 Chuyển động của chất điểm trong trường lựcthế
1.6.1 Lực thế và thếnăng .02 02 1.6.2 Công của lực thế Biểu thức thế HẦNE 1.6.3 Định lý biến thiên động năng và định luật bảo toàn cơ
năng của chất điểm co 1.6.4 Định lý biến thiên và định luật bảo tồn mơmen xung
lượng của chất điểm oo Ặ e
Trang 3NTI A Ree i AD Gs Sen itl Sie ih erties Seibel F
2 CO HOC HE CHAT DIEM 30
2.1 Phương trình chuyển động của hệ chất điểm 30 2.2 Định lý biến thiên và định luật bảo toàn xung lượng của hệ 39
2.3 khối tâm của hệ Định lý chuyển động của khối tâm 32 2.4 Định lý biến thiên và định luật bảo tồn mơmen xung lượng của
-t ca 33
2.5 Định lý biến thiên động năng và định luật bảo toàn cơ năng của
` ‹4 6 35
Cau hoi ôn tập và bài tập chươngII 39
3 NHUNG CO SG CUA CƠ HỌC GIẢI TÍCH 41 3.1 Các nguyên lý đối xứng hìnhhọc 41 3.2 Khái niệm về liên kết Tọa độ suy rộng .- 42 3.21 Số bậc tự do Liên kết 42 3.2.2 Tọa độ suy rộng Q2 2Q Q22 Q2 v2 43 3.3 Một số kiến thức cơ bản về phép tính biến phân 44 3.4 Nguyên lý Hamilton 0.2.2 46 3.41 Nguyên lý Hamilton 46 3.42 Hàm Lagrange 0Q 47
3.5 Mối liên hệ giữa các nguyên lý đối xứng của không gian, thời
gian và các định luật bảo toàn tương ứng 51 3.5.1 Dinh luat bdo toan xunglugng .,2.2.2 , 52
3.5.2 Định luật bảo tồn mơmen xung lượng 53
3.5.3 Dinh luat bao toanco nang .2.2.~,.2 , 54 3.6 Ham Hamilton và phương trinh Hamilton 2 0.00 55
Câu hỏi ôn tập và bài tập chương HI , 57
4 CHUYEN DONG CUA VAT RAN 59
4.1 SO bac ty do cia vat ran Cac goc Euler 2 59 re ⁄
x , £ 2 - 2 - ⁄Z
4.2 Van toc va gia tốc trong chuyến động của vật rắn
4.3 Động năng, mômen quán tính và mômen xung lượng của vật rắn 63
43.1 Động năng của vậtrấn 63 4.3.2 Momen quén tinh cha vatrén 0.0.00 04
43.3 Mlômen xung lượng của vậtrắn 66
4.4 Các phương trình chuyển động củavậtrấn 67
Trang 4Câu hỏi ôn tập và bài tập chương IV 68
CHUYEN DONG XUYEN TAM 70
5.1 Baitodnhaivat 0000000000000 000.0, 70
5.2 Chuyển động trong trường xuyên tâm 72
5.3 Baitodn Kepler 0 ee 74
5.4 Chuyển động của vệ tinh nhân tạo của Trái đất và các trạm vũ trụ 76
Trang 5Chương 1
CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
1.1 Các khái niệm cơ bản mở đầu
1.1.1 Chất điểm
Chuyển động cơ của vật thể là sự dịch chuyển tương đối của vật thể này đối với vật thể khác trong không gian và theo thời gian
Để đơn giản, trước tiên ta nghiên cứu là chuyển động của vật thể có kích
thước đủ bé so với kích thước đặc trưng cho chuyển động của nó Chuyển động của vật thể như vậy xây ra rất đơn giản vì chúng ta không chú ý đến sự quay của vật thể và sự chuyển dịch tương đối giữa các phần của nó với nhau Vật _ thể có kích thước bỏ qua được so với kích thước đặc trưng cho chuyển động
của nó gọi là chất điểm hay là hạt Một vật thể được coi là chất điểm không phải do kích thước tuyệt đối của nó xác định mà do tỉ số giữa kích thước của,
nó và độ dài đặc trưng cho chuyển động của nó xác định Ví dụ, khi nghiên cứu
chưyển động của Trái đất quanh Mặt trời ta có thể xem cả Trái đất và Mặt trời là những chất điểm mặc dù bán kính Trái đất vào khoảng 6.10°m, còn bán
kính của Mặt trời vào khoảng 7.10Ÿm Sự thực là những kích thước này rất nhỏ so với khoảng cách giữa tâm Trái đất và Mặt trời, khoảng cách đó vào khoảng 1,5.10m Mặt khác, khi nghiên cứu sự quay của Trái đất quanh trục của nó thì ta không thể xem Trái đất như một chất điểm Thật vậy, do dai cực đại đặc trưng cho chuyển động này là chu vi của đường tròn mà một điểm nào đó nằm
trên bề mặt Trái đất ở xích đạo vạch nên Rõ ràng bán kính Trái đất không thể bỏ qua được so với độ dài này
Chất điểm ở xa các vật thể khác sao cho tương tác giữa nó với các vật thể
bên ngoài có thể bỏ qua gọi là chất điểm chuyển động tự do hay chất điểm cô lập
1.1.2 Hệ chất điểm và vật rắn
lệ ; ee
Một chất điểm các vật thể mà mỗi vật được coi như một chất điểm thì tập hợp đó được gọi là hệ chất điểm hay là hệ cơ Hệ chất điểm mà tương tác giữa,
Trang 6Le a TE
hệ với các vật thể bên ngoài hệ có thể bỏ qua gọi là hệ cô lập hay là hệ kến Vật rắn lý tưởng là một hệ chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ của hệ không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động của hệ Vật rắn cô
lập goi là vật rắn chuyển động tự do
1.1.3 Hệ quy chiếu
Để nghiên cứu chuyển động của vật thể, người ta chọn những vật thể khác
nào đó làm mốc Hệ tọa độ gắn liền với vật làm mốc, mà ta quy ước đứng yên,
đề xác định vị trí của vật thể trong không gian, và chiếc đồng hồ gắn với hệ này dé chỉ thời gian gọi là hệ quy chiếu Chọn hệ quy chiếu khác nhau, nói chung ta
sẽ nhìn thấy chuyển động của, cùng một vật diễn ra đơn giản hay phức tạp khác
nhau Khi nghiên cứu chuyển đông, ta nên chọn hệ quy chiếu nào để chuyển
động diễn ra đơn giản nhất Để chọn hệ quy chiếu như thế ta xuất phát từ việc nghiên cứu trường hợp chuyển động của chất điểm cô lập Hệ quy chiếu mà
trong đó chất điểm cô lập đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều gọi là hệ gu
chiếu quán tính Khẳng định sự tồn tại hệ quy chiếu quán tính trong tự nhiên
là nội dung của định luật quán tính Galileo (còn gọi là định luật I Newton) Sau này ta sẽ chỉ ra rằng mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính cũng là những hệ quy chiếu quán tính
1.1.4 KKhông gian và thời gian trong Cơ học cổ điển
Cơ học cổ điển nghiên cứu chuyển động của các vật trong không gian theo
thời gian với vận tốc rất bé so với vận tốc của ánh sáng trong chân không
Không gian và thời gian là những khái niệm cơ bản không những trong Cơ học cổ điển mà cả trong vật lý nói chung Ta hãy nghiên cứu tính chất của thời gian và không gian trong cơ học cổ điển
Xét một quá trình vật lý bất kỳ xảy ra trong tự nhiên Đối với hệ quy
chiếu , khoảng thời gian trôi qua của quá trình là £¿ — ứ¡; đối với hệ quy chiếu
K' chuyển động bất kỳ tương đối đối với hệ quy chiếu K thì khoảng thời gian trôi qua của quá trình vật lý nói trên là f¿ — f¡ Trong Cơ học cổ điển thừa nhận rằng khoảng thời gian trôi qua của một quá trình vật lý bất kỳ trong mọi hệ quy chiếu chuyển động tương đối đối với nhau một cách tùy ý là như nhau, |
nghĩa là
tạ — lì = t — tị (1.1)
Đó là tiên đề về tính chất tuyệt đối của thời gian trong Cơ học cổ điển
Khi =ij =Ũ; to = 1, t, = t’ thi ta cd
t=f
Tiên đề này khẳng định rằng chu kỳ của các đồng hồ là không thay đổi khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác Tiên đề này chỉ đúng
khi vận tốc chuyển động của vật bé so với vận tốc ánh sáng trong chân không
Trang 7Bây giờ ta nghiên cứu tính chất của
không gian Thực nghiệm chỉ rằng vị
trí của chất điểm M ở thời điểm £ đối
với hệ quy chiếu được xác định bằng
một tập hợp ba số gọi là ba tọa độ của
chất điểm (ví dụ z, g, z trong hệ tọa độ
Descartes) hay một bán kính vectơ 7 kẻ
từ gốc tọa độ Ó đến điểm A⁄ (hình 1.1) Hình 1.1:
Khai triển vectơ 7 này theo các vectơ đơn vi i, j,k đặt trên các trục
Oz, Oy, Oz cla hé toa dé Descartes Oxzyz ta nhận được
P= aityjt zk (1.2)
O day x, , z là những hình chiếu cia 7 trén cdc truc toa dé Oz, Oy, Oz Vi trí của chất điểm M nói trên ở thời điểm # = ¿ déi véi hé quy chiéu K’ chuyển động bất kỳ đối với hệ được xác định bằng bán kính vectơ 7 kẻ từ gốc tọa độ oO _đến điểm M⁄ Tương tự như trên, khai triển vectơ f” theo các vecto don
vii’, 7’, k’ dt trén cAc truc O'x’, O'y’, Ơz của hệ tọa độ Descartes Ó'z⁄/z”, ta
có
+ Ah Mp
r? = + V7 +2'k (1.3)
Bây giờ xét chuyển động của hai chất
điểm A⁄¡ và Mạ Vị trí tương đối của = t
chất điểm M⁄; đối với chất điểm M2 xét
trong hệ quy chiếu ở thời điểm £ = #
được xác định bằng vectơ (hình 1.2) Hình 1.2: TTa = T3 — ï = (#a — #1) + (0a — ì)Ÿ + (2a — Z\)k
và xét trong hệ ” được xác định bằng vectơ
rịa = Tỷ — tị = (ạ — #1)Ÿ + (wạ — 9i)j + (4 — z1)
Trong Cơ học cổ điển thừa nhận rằng: Khoảng cách giữa hai uị trí của hai chất ( điểm bắt kù ở cùng một thời điểm đã cho là như nhau trong tất cả mọi hệ guy |
chiếu, nghia 1a riz = Tj2, hay
[(za—zi)?+(0—i)?+(22—z1)”]!/? = [(ss—z1)?”+(w—w1)?+(s¿—21)?]*/2 (144)
Đó là tiên đề về tính chất của không gian trong Cơ học cổ điển Tiên đề
này cũng chỉ đúng khi chuyển động của vật có vận tốc rất bé so với vận tốc ánh
Trang 8CÓ Ưưeeevovveve,gr.ă mm
sing Khi hai diém M, va M; rất gần nhau thì khoảng cách dr giữa hai chất
điểm được xác định bằng đẳng thức
dr = (dz? + dụ? + dz2)1/2 (1.5) Không gian với đặc tính của nó được xác định bằng đẳng thức (1 5) gọi là không gian Euclid ba chiều Thực nghiệm chỉ rằng không gian trong Cơ học cổ
điển là không gian Euclid ba chiều Từ hệ thức 73 — ?¡ = Tạ — ri ta suy ra một
hệ thức đơn giản nhưng rất quan trọng đối với các bán kính vectơ của cùng một điểm trong các hệ quy chiếu khác nhau
Ký hiệu rợ là bán kính vectơ xác
định vị trí gốc @' của hệ quy chiếu K?
chuyển động đối với hệ K, 7 là bán kính
vectơ xác định vị trí của một điểm M
nào đó đối với hệ và r” là bán kính
vectơ cũng xác định vị trí của điểm M nói trên đối với hệ quy chiếu K Khi đó, nếu ta đặt 7ý = 7; Tl = ro, r= và rị = 0, thì ta có (hình 1.3) f=rz¿ + (1.6) Ta cần nhấn mạnh lại một lần nữa rằng các hệ thức (1.6) và ý = # chỉ đúng trong Cơ học cổ điển Nếu vận tốc của vật thể không thể bỏ qua được so
với vận tốc ánh sáng trong chân không thì các tiên đề về thời gian và không
gian được coi là "hiển nhiên" trên không còn đúng nữa
1.2 Phương trình chuyển động Vectơ vận tốc và gia tốc
Phần này trình bày ba phương pháp mô tả chuyển động của chất điểm
1.2.1 Phương pháp vectơ
Xét chuyển động của chất điểm AM đối với hệ quy chiếu K được quy ước là đứng yên Giả sử chất điểm M chuyển động trên đường cong AB (hình 1.4)
Đường cong do chất điểm chuyển động vạch ra trong không gian gọi là quỹ đạo của nó Vị trí của chất điểm M⁄ đối với hệ quy chiếu được xác định bằng bán kính vectơ 7 kẻ từ gốc tọa độ Ó đến chất điểm M/ Khi chất điểm chuyển động
thì bán kính vectơ # thay đổi cả độ lớn và phương Vì vậy, bán kính vectơ ? là hàm của thời gian
(1.7)
7 = F(t)
Trang 9Hệ thức (1.7) xác định vị trí của
chất diém M trong không gian ở thời điểm £ bất kỳ và được gọi là phương trình chuyến động của chất điểm cho
dưới dạng vectơ Phương trình (1.7)
cũng được khảo sát như phương trình quỹ đạo của chất điểm cho dưới dạng
thông số t Hình 1.4:
Để đặc trưng cho sự thay đổi bán kính vectơ # theo thời gian ta đưa vào khái niệm vectơ vận tốc Giả sử ở thời điểm ¿ chất điểm ở vị trí ?{ứ), ở thời
điểm £ + A¿ chất điểm ở vị trí r(t) + Af Đại lượng
Ar dr -
im —=——=Ƒ 1.8
Aso At dt” (1.8)
goi là vectơ vận tốc của chất điểm ở thời điểm ¢ Vậy, vectơ vận tốc ỡ của chất
điểm là đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi theo thời gian của bán kính vectơ
7 và bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của r0)
Vectơ vận tốc ở của chất điểm là một hàm của thời gian ¿ Khi chất điểm chuyển động, vectơ vận tốc có thể thay đổi cả độ lớn và hướng Để đặc trưng cho sự thay đổi của vectơ vận tốc theo thời gian, ta đưa vào khái niệm gia tốc
Giả sử ở thời điểm ¿ vectơ vận tốc của chất điểm là Ø() và ở thời diém t + At
vectơ vận tốc của chất điểm là ữ(¿) + Au Đại lượng
¬.4
An At dt de
gọi là vectơ gia tốc của chất điểm M 64 thai diém t Nhu vay, vecto gia téc w
của chất điểm đặc trưng cho sự thay đổi theo thời gian của vectơ vận tốc và bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vectơ vận tốc, hay bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của vectơ 7{£)
=ữ=f# (1.9)
1.2.2 Phương pháp tọa độ tự nhiên
Trong phương pháp này quỹ đạo chuyển động của chất điểm cho biết trước
Ta chọn một điểm O, trên quỹ đạo làm điểm gốc để tính tọa độ cung s của chất điểm (hình 1.5) Vị trí của chất điểm M trên quỹ đạo đã cho được xác
định bởi tọa độ cung s Khi chất điểm M chuyển động thì ta có
P —=fleb s = s(t) (1.10)
Phuong trinh s = s(t) dugc goi JA phương trình chuyển động của chat diém theo quỹ đạo của nó Vectơ vận tốc ở va vectơ gia tốc của chất điểm có thể
Trang 10Or
ga _ ads dt dsdt "” _ 5, (1.12) M tina Bi =f§4-E (gì?
vi để, CỐ
trong đó 7 = ds là vectơ đơn vị, tiếp tuyến với 3
quỹ đạo và hướng theo chiều chuyển động của chất điểm l2
Vectơ 7 có trị bằng đơn vị nên d(7)? = 27d7 = 0 va do đó vectơ đ7 vuông góc
với vectơ 7 Vectơ đ7 hướng về phía lõm của quỹ đạo (hình 1.6) và nằm trong
mặt phẳng đi qua tiếp tuyến 7 và điểm A// khi điểm A⁄' tiến dần vô hạn đến
điểm Aƒ (mặt phẳng mat tiếp) Gọi 7 là vectơ đơn vị hướng theo chiều của, Hình 1.5: _ F(t + dt) O Hình 1.6: dr dr d vecto d7 va đặt tại điểm Af thì da “lan ahi Để tìm ý nghĩa hình học của ae ta : s
ta kẻ đường thắng ăO vuông góc với T(t) tai Mf va dudng thang M’O vuong goc vdi T(t + dt) tai Al’ Hai đường thắng này đều nằm trong mặt it phẳng mật
tiếp và giao nhau tại Ó Góc tạo thành giữa hai đường thẳng (ATOM’) bang
góc tạo thành giữa tiếp tuyến 7{¿) tại M/ va tiép tuyén 7(t+ dt) tai M’ va bing
dy Khi diém M’ tién dan vo han dén diém M thi doan thang MO tién dan đến gidi han R R goi n bán kính chínhd khúc của đường cong tại M Vi đr = 1.dụ
i 2
va ds = Rdp nén lễ =p Vậy vectơ gia tốc toàn phần của chất điểm có thể viết thành hai thành phần vuông góc với nhau
U= 8T + 8) “i 1.13
w= a ( 1i )
Thành phần Wr = = $7 tiếp tuyến với quỹ đạo gọi là gia tốc tiếp tuyến và thành phan wa, = a vuông góc với tiếp tuyến 7 của quỹ đạo và hướng về tâm chính
khúc của đường cong gọi là gia tốc pháp tuyến
Để nghiên cứu chuyển động của chất điểm khi quỹ đạo của nó đã biết,
thuận tiện hơn cả ta dùng hệ tọa độ vuông góc tạo thành bởi các vectơ đơn vị
Trang 11es Oe oe IT Ns Z và b = [Zx ri] He toa do nay gọi là hệ tọa độ tự nhiên hay tam diện tự nhiền Hình chiếu của ở và ứ trên các trục của hệ tọa độ tự nhiên có dạng đơn giản | Ur = Š, tạ = Ú,0p = Ú, (114) (4)? xứ 3? we - ~ n= pee Bit Ng = = Li ty — Š tạ = “psu = 0 ¬ (148) Biết các thành phần ở và œ, ta xác định được độ lớn và hướng của nó U= VtỆ = V33, ss (1.16) w= Vur+u2= (5)? + (=) ; (1.17) cos(1,T7) = —,cos(1, 1) = =— —— : —— a (1.18) Ww Ww - ` 1.2.3 Phương pháp tọa độ
a Phương pháp tọa độ Descartes
Trong hệ tọa độ Descartes ban kính vectơ 7{f) xác định vị trí của chất điểm Aƒ được biểu diễn dưới dạng (hình 1.7)
—
rít) = +(Đ£+ y()J + z()E (119)
trong d6 z,y,z là các thành phần của
Ƒ trên các trục tọa độ Hệ quy chiếu WV được quv ước là đứng yên nên các vectØ don vit.) va k khong thay đổi theo thời gian, Khi chất điểm A/ chuyển đồng thì các tọa độ z.1,z đều biến đổi theo thời gian f, nghĩa là x= z(t), y = y(t), (1.20) z = 2(7) Hinh 1.7:
Các phương trình (1.20) gọi là các phương trình chuyển động của chất điểm cho dưới dạng tọa độ Descartes Đó cũng chính là phương trình quỹ đạo của chất điểm viết dưới dạng thông số trong tọa độ Descartes Khử thông số † trong các phương trình (1.20) ta nhận được hai phương trình biểu diễn hai
mat cé dang
Trang 12Giao tuyến của hai mặt này xác định quỹ đạo của chất điểm trong không gian Các vectơ vận tốc ở và gia tốc t của chất điểm có thể viết dưới dạng ữ= dr hà a =đi +07 +2 (1.22) Ws = ttt ys + 2k (1.23) Từ (1.22) và (1.23) ta suy ra các hình chiếu của và ứ trên các trục tọa độ Descartes bang Uy = #,Uy = 9,0: = 4, (1.24) tUy = #, Wy = Ù, tU;Z V, A (1.25)
Biết được các thành phần của ở và tử trên các trục tọa độ ta xác định được độ
lớn và hướng của chúng theo các công thức sau đây = \/t + tổ +02 = V⁄42 + 2 + 23, (1.26) cos(0 (v,7) = = —,cos(, 7) = Ở cos(ỡ , k) =, (1.27) U U w= a + 2 + 12 = V #2 +2 + 22, (1.28) 4 > a > Ụ = Zz
COS(U, 3) = —, cos(w, 7) = —, co (Wi) = =, c0s( wf, 7) = © cos( ia, k) = = k (1.29) 1.29
b Phương pháp toa độ trụ Trong hệ tọa độ tru, vị trí của chất diém M
trong không gian được xác định bởi ba tọa độ p, y va z Khi d6 ban kinh vecto 7 xác định vị trí chất điểm A/ được viết dưới đạng (hình 1.8) +40 *ự r= p(t)tip+ z(t)k (1.30) Những tọa độ trụ ø, @ và z của, điểm A7 liên hệ với các tọa độ Descartes của nó bằng các hệ thức sau “r= pcosy, y = psiny, (1.31) z=
Các vectơ đơn vi k, 7p, Ti, trong hệ tọa độ trụ liên hệ với các vectơ đơn vi i,j, k
trong hệ tọa độ Descartes được xác định bằng công thức
>
k =k,
Np = 2= i cosy + jsin @; (1.32
Ti, = [k x Tỉ;] = —tsinp + j cosy
Khi chất điểm AM chuyển động thì các vectơ đơn vị Ny, Mp, thay đổi chiều
Các phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ có thể được biểu diễn dưới dạng
Trang 13p = 0Œ),@ = @(),z= z(Ð — (1.33)
Khi z = 0 thì hệ tọa độ trụ chuyển thành
hệ tọa độ cực Trong trường hợp này các phương trình chuyển động có dạng
p = p(t), = v(t) (1.34)
c Phương pháp tọa độ cầu
Vị trí của chat diém M trong hé toa độ cầu được xác định bằng ba tọa độ r,0,w
(hình 1.9) Mối liên hệ giữa các tọa độ
Descartes và tọa độ cầu được xác định bằng công thức # =rsin8cosự, =rsinØsin 0, (1.35) Z =rcosổ, với 0 < 98 < x,0 << 2z,0<r< œ Các phương trình chuyển động của chất điểm
trong hệ tọa độ cầu có dạng
r=r(t),0=O(t),p=¢(t) (1.36)
Hình 1.9:
Khi 0 = z/2 thì hệ tọa độ cầu chuyển thành hệ tọa độ cực Khi đó chất
điểm chuyển động trong mặt phẳng zÓy Ví dụ 1.1 Viết phương trình chuyển động của chất điểm khi gia tốc tiếp tuyến của nó có trị không đổi X dn "4 #t lor [We Tr Ta 06 = = w, = a = const hay dv = adt Từ đây suy ra ds v= = [aw=are, 1
sa fds= | uất = Sat? + Ot + Op,
Trang 14an moar OE ee pane
Phương trình chuyển động của chất điểm có dạng © = acos(wt),y = bbsin(œ£), z = 0,
trong đó ø, 6 và „ là những đại lượng không đổi Tìm vận tốc, gia tốc và quỹ
đạo của chất điểm
Các thành phần của vận tốc và gia tốc của chất điểm trên các trục tọa độ Descartes có dạng # = —uasin(w£), ÿ = œbcos(uf), š = 0, # = —u”acos(wt), ÿ = —ư”bsin(wt), 2 = 0 Độ lớn và hướng của ở và tử được xác định theo các công thức sau v= v12 pve + = aw? sin? (wt) + b2w? cos?(wt) = ¬ 5 z J ee 5 COS(Ở, ¿) = ò› COS(0, 7) = J cosa, hye 3 i = Vv w? + w2 + w? = iV a*w* cos*(wt) + b’w4 sin?(wt) — ~~ & TA _ Ữ ~ 7 2 cos(w, i) = posh: J) = Oks k)=— € Khử ¢ trong phuong trinh chuyén động, ta thu được phương trình quỹ đạo của chất điểm có dạng Ví dụ 1.3
Mot chat diém M được treo dưới một sợi dây không dãn có độ dài / và chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng Phương trình chuyển động của chất
điểm có dạng
@ = 0asin(ut)
trong đó ợ là góc lệch so với phương thẳng đứng, £ là thời gian, w và Yo la những đại lượng không đổi Tìm vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp
tuyến của chất điểm
Trang 15
1.3 Chuyển động của chất điểm trong các hệ quy chiếu khác nhau
Xét chuyển động của chất điểm A/ trong hệ quy chiếu đứng yên và hệ quy chiếu Ñ” chuyển động bất kỳ đối với hệ W Gọi # và 7“ tương ứng là các
bán kính vectơ xác định vị trí của chất điểm M đối với hệ K và hệ K”; r+ là
bán kính vectơ xác định vị trí gốc Ó' của hệ K7 đối với hệ WK’ Xuất phát từ các tiên đề về không gian và thời gian trong Cơ học cổ điển, ta có oo ro +O, (1.37) t=¢', trong đó F= #E+ Uj + zE, Ty = rot + Yoj + 20k, (1.38) Pact +y 7 +2
Kí hiệu ở và tử, ở va w’ lan lugt là vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của chất điểm M đối với hệ quy chiếu K va K’; ty va „ là vectơ vận tốc và vectơ gia
tốc của gốc Ó” của hệ #⁄” đối với hệ K Theo định nghĩa, ta có v= a = gi+ yf + kK, ud (1.39) w= = ai + 97 + Zk, v= Fagity sy +vk (1.40) w= ae — ## + ÿ7 + Zk, : Uy = Et = tot + Yo + tak, (1.41) Wy = St = fyi t Yoj + ok đ
Ỏ đây kí hiệu i là lấy đạo ham theo thời gian của f và khi các vectơ đơn vị Ủ, 7k không thay đổi hướng theo thời gian
Thiết lập quy luật biến đổi vận tốc và gia tốc của chất điểm Af khi chuyển từ hệ sang hệ K”, ta thu được các kết quả sau:
Định lý cộng vận tốc:
Ữ = ủy + |ủ x r] + ữ = 0 + 0, (1.42) trong đó
Ure = Vo + (0 x 7], (1.43)
ở là vận tốc góc của hệ A’ quay xung quanh một trục nào đó đi qua gốc Ở” Đại lượng ở là vectơ vận tốc của chất điểm A/ đối với hệ K7 gọi là vận tốc
tương đối, còn đại lượng + gọi là veetơ vận tốc kéo theo của chất điểm Khi chất điểm A7 đứng yên đối với hệ N7 tại vị trí 7' thì ữ = 0 và T= Te vay Tre
Trang 16là vận tốc của một điểm gắn chặt với hệ quy chiếu K7, và tại thời điểm này trùng với chất diém M Định lý cộng gia tốc: ƯỦ = tỦy; +} tử, + tử, (1.44) trong đó l ty = ty + [d x f'] + [ö x [ở x ?]), (1.45) tử, = 2|0 x 0| (1.46)
Khi chất điểm Aƒ đứng yên đối với hệ K7 tại vị trí 7 thì = 0, = 0 và W = Wr Dai lượng ty; gọi là gia tốc kéo theo, còn đại lượng d, gọi là gia tốc 7
Ciciolis xuất hiện do hệ K” quay đối với hệ K và do chất điểm M chuyển động —
với vận tốc tương déi v” không song song với ở
Ta cần lưu ý rằng, các hệ thức (1.37) chỉ đúng khi vận tốc của chất điểm
chuyển động rất bé so với vận tốc của ánh sáng trong chân không, vì thế các định lý cộng vận tốc và gia tốc được suy ra từ các hệ thức này cũng chỉ đúng trong điều kiện này
Một vài trường hợp đặc biệt:
a Khi chất điểm M đứng yên đối với hệ K” Trong trường hợp này ta có Ư = ty Và tử = tử¿ Đó là vận tốc và gia tốc của chất điểm Mf "được gắn chặt"
với hệ K”
Khi hệ K” chuyển động tịnh tiến đối với hệ K (cc truc O'z’, O’y’, O’2’ của hé K’ luon lu6n chuyén động song song với chính nd) thi d = 0 a i, có
=> ¬ ¬
= y; Ư = Wy (1.47)
Các hệ thức này chỉ ra rằng vận tốc và gia tốc của mọi điểm M bắt kỳ đứng yên đối với hệ K’ trong chuyển động tịnh tiến là như nhau
Khi hệ K’ chuyển động quanh điểm cố định O' thì ở Ug = 0 va Wy = 0 Khi đó vận tốc và gia tốc của chất điểm A/ bất kỳ đứng yên đối với hệ K7 có dạng ữ = |ä x f];ữ = |ö x f] + [Ø x [ở x #1] (1.48)
KL
) Khi hé > quy chiếu K” chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu K với
vận tốc V = const Khi đó gốc Ó' của hệ K7 chuyển động với vận tốc không déi ty = V = const, cdc truc Oz’ ,O'y’, O'z' của hệ K7 luôn luôn chuyển động
SOng song với chính nó và ¿ = 0 Nếu gốc Ó' ban đầu trùng với gốc Ó của hệ
K thì fy = Ứ‡ Các phương trình (1 37) khi đó viết lại như sau
ty la (149)
Nếu ban đầu hệ X” trùng với hệ K và sau đó hệ Kí chuyển động thẳng đều tương đối đối với hệ K dọc theo trục Óz với vận tốc V thì hệ thức (1.49)
15
Trang 17được viết dưới dạng
z=Vt+z,
U=V,
z=/z (1.50)
t=t'
Vận tốc và gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu K và #” liên hệ với nhau bằng các hệ thức đơn giản +4, (1.51) — gf (1.52) Nu v= & mm ——Ờ ——
Khi w = 0 thì ú = 0 và từ đó suy ra rằng khi ở = const thi v’ = const Điều này có nghĩa là một chất điểm cô lập chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính thì nó cũng chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu
K' Vậy, mợi hệ quụ chiếu K! chuuển động thẳng đều đối uới hệ quụ chiếu quán |
tính K đều là những hệ quụ chiếu quán tính
Từ các hệ thức (1.49), (1.51) và (1.52) ta thấy rằng mặc dù tọa độ và vận
tốc của chất điểm trong những hệ quy chiếu quán tính khác nhau là khác nhau,
nhưng vị trí tương đối, vận tốc tương đối của hai chất điểm M⁄¡ và Mạ, gia tốc
của chất điểm và khoảng thời gian là những đại lượng như nhau trong mọi hệ
quy chiếu quán tính wo c— = _ at VY ost T12 — T2 TT} — T2 — T] — Ta; ae oy TY _ 2 U12 = U2 — Vi = Vo — Vi = Vip, (1.53) w=w,t=t Đó là những bất biến trong Cơ học cổ điển Ví dụ 1.4
Một người đi bộ trên đường thẳng nằm ngang với vận tốc ơi Hạt mưa rơi
theo phương thẳng đứng với vận tốc ữ Xác định vận tốc ở của hạt mưa đối
với người đó
Chọn mặt đất làm hệ quy chiếu cố định, người đi bộ làm hệ quy chiếu động Khi đó vận tốc ữ; của hạt mưa đối với mặt đất là vận tốc tuyệt đối, vận tốc tị của người đối với mặt đất là vận tốc kéo theo, vận tốc # của hạt mưa
đối với người là vận tốc tương đối Theo công thức cộng vận tốc, ta có ¬ —f > > = H=0+0, hay t=ữ›—ủ, v v = 1/u7 +3, tana=— U1
trong dé a 1A géc tao bdi phương của ở và phương ngang Người đi bộ phải giữ ô che mưa theo phương của ở thì che mưa tốt nhất
Từ đó suy ra
Trang 181.4 Nguyên lý tương đối Galileo Ba định luật Newton
1.4.1 Định luật I Newton Nguyên lý tương đối Galileo
O mục 1.1.3 chúng ta đã đề cập đến khái niệm hệ quy chiếu quán tinh Trơng hệ 3u chiêu quán tính chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng tên hoặc chuye n dong thang déu Đó là nội dung của định luật I Newton hay tiên
dé thit nhat Newton
Nghiên cứu chuyển động của chất điểm cô lập đối với hệ quy chiếu quán
tính cho phép ta tìm được những tính chất của không thời gian trong hệ quy
chiếu này
e Không gian trong hệ quy chiếu quán tính là đồng nhất, nghĩa là mọi điểm
của không gian đều tương đương với nhau về mặt vật lý, vì nếu có một điểm nào đó ưu tiên thì chất điểm cô lập sẽ thu được những gia tốc ở điểm
này
e Trong hệ quy chiếu quán tính, không gian có tính đẳng hướng, nghĩa là mọi hướng của không gian là tương đương với nhau về mặt vật lý, vì nếu
có một hướng nào đó ưu tiên thì chất điểm cô lập sẽ thu được những gia
tốc theo hướng này
e Thời gian trong hệ quy chiếu quán tính là đồng nhất, nghĩa là mọi thời
điểm tương đương nhau về mặt vật lý, vì nếu có một thời điểm nào đó ưu
tiên thì chất điểm cô lập sẽ thu được những gia tốc tại thời điểm này Như vậy, trong hệ quy chiếu quán tính không gian là đồng nhất và đẳng hướng, thời gian là đồng nhất
Các hệ quy chiếu K và K7 chuyển động thẳng đều tương đối với nhay đều là những hệ quy chiếu quán tính Mối liên hệ giữa các tọa độ và thời gian trong các hệ quy chiếu quán tính và K” được xác định bởi công thức (1.49) hay
(1.50) Các công thức này gọi là phép biến đổi Galileo
Mặc dù tọa độ và vận tốc của chất điểm cô lập trong những hệ quy chiếu quán tính K và K” khác nhau là khác nhau nhưng gia tốc của nó trong hai hệ
này đêu bằng không °F - 7
dt? dt?
Trong ý nghĩa này người ta cho rằng mọi hệ quy chiếu quán tính là tương đương
với nhau đối với định luật chuyển động thẳng đều của chất điểm cô lập Thực
nghiệm chỉ ra rằng không những chỉ có định luật chuyển động của chất điểm
cô lập là giống nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính mà tất cả những định
luật của tự nhiên đều giống nhau đối uới mọi hệ quụ chiếu quán, lính Nói khác đi, những phương trình mô tả những định luật của tự nhiên được biểu điễn qua
tọa độ uà thời gian trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau cé dang grong hệt nhau, Đó là nội dung của nguyên lý tương đối
=0 (1.54)
Trang 19Kết hợp tiên đề về khoảng thời gian trôi qua trong mọi hệ quy chiếu quán
tính là như nhau (£ = #) với nguyên lý tương đối, ta có nguyên lý tương đối
Galileo Theo nguyén ly nay tat cả các định luật cơ học đều giống nhau trong
moi hé quy chiếu quán tính Về mặt toán học, điều đó có nghĩa là các phương
trình mô tả các định luật của Cơ học cổ điển sẽ không thay đổi dạng đối tới các phép biến đổi Galileo N6i khác đi, tất cả các định luật Cơ học cổ điển là
bất biến đối với các phép biến đối Galileo
1.4.2 Khối lượng và lực Định luật II Newton
Ta đã biết đối với hệ quy chiếu quán tính, chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều Đặc tính bảo toàn trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm cô lập gọi là quán tính
của nó Khi chất điểm tương tác với các vật thể khác thì vận tốc của nó không ngừng biến đổi theo thời gian và như vậy chất điểm thu được gia tốc Chất
điểm có quán tính lớn sẽ thu được gia tốc bé và ngược lại
Xét chuyển động của một hệ cô lập gồm hai chất điểm tương tác với nhau trong một hệ quy chiếu quán tính Khi tương tác, mỗi chất điểm của hệ thu được một gia tốc Thực nghiệm chỉ ra rằng khi các chất điểm chuyển động với vận tốc rất bé so với vận tốc của ánh sáng trong chân không thì các gia tốc của
các chất điểm A⁄ị và AM⁄s liên hệ với nhau bằng đẳng thức
Wi2 = —awy với œ>0, (1.55)
> du; ` 4 2 ⁄ 2 4 72
trong dé wi, = = (i = 1,2) là gia tốc của chat diem M; thu được do chât điểm My, tác dụng lên nó, œ là hằng số không thứ nguyên và dương Trị của œ liên hệ với mức quán tính của các chất điểm Mạ và Mạ Khi œ > 1 thì |ửa| > |ứài| và trong trường hợp này số đo mức quán tính của chất điểm Mj, lớn hơn số đo mức quán tính của chất điểm Mạ Khi œ = 1 thì |ửua| = |ửai| và khi đó số đo mức quán tính của hai chất điểm bằng nhau
Ta đưa vào các đại lượng rmị và ma xác định số đo mức quán tính của các
chất điểm A⁄¡ và M; bằng hệ thức như sau me œ = — my Khi đó ta có i m2 _, ~ -
012 = “m1 hay myth = —madÖi (1.56)
Đại lượng zn¿ gọi là khối lượng của chất điểm M;, nó xác định số đo mức quán tính của chất điểm M;(¡ = 1,2) Trị của rm;(¡ = 1,2) càng bé thì gia tốc wiz của chất điểm A⁄; càng lớn và ngược lại
Kí hiệu rn là khối lượng của chất điểm và ở là vectơ vận tốc của nó Đại lượng p = mv goi lA vecto xưng lượng của chất điểm Trong hệ quy chiếu quán tính, xung lượng Ø của chất điểm tự do là đại lượng bảo toàn Khi chất điểm
Trang 20tương tắc với các vật thể bên ngoài thì xung lượng của nó không ngừng biến
đổi theo thời gian Độ biến thiên xung lượng của chất điểm trong một đơn tị
mm 8 |
thoi gian —- là đại lượng uectơ đặc trưng cho tác dựng của uật ngoài lên chất
điểm gợi là lực Định nghĩa này của lực là dựa vào hiệu quả tác dụng của vật ngoài lên chầt điểm
Trong Cơ học cổ điển, khối lượng rn là đại lượng không thay đổi và khi đó
dp — mow
ta cd nH a = mw Vay trong trường hợp này iực tác dụng lên chất điểm bằng tích giữa khối lượng uà bần tốc của nó
Thực nghiệm chỉ ra rằng lực do Trái đất tác dụng lên các chất điểm M và
M; ở cùng một vị trí bằng MW, VA Mow, v6i Wy = tủ = g Vectd gia tốc g la
như nhau đối với mọi chất điểm khác nhau ở cùng một vị trí Bởi vì tì = tạ = ÿ
nên chất điểm nào có khối lượng lớn hơn sẽ bị Trái đất hút nó một lực hướng
về phía tâm Trái đất lớn hơn Ở trên ta đã nói rằng khối lượng của chất điểm
là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức quán tính của nó Ở đây ta thấy rằng khối lượng quán tính của chất điểm liên hệ với mức hấp dẫn của nó Đại lượng
vật lý đặc trưng cho mức hấp dẫn của chất điểm gọi là khối lượng hấp dẫn của nó Thực nghiệm với độ chính xác rất lớn đã khẳng định rằng: Khối lượng quán
tính và khối lượng hấp dẫn của một chất điểm là trùng nhau
Vậy, khối lượng của chất điểm là đại lượng tột lý đặc trưng cho múc hấp dẫn uà rmnúc quán tính của nó
Khối lượng rm và gia tốc œ của chất điểm là những đại lượng bất biến đối
với các phép biến đổi Galileo Vì vậy lực mmử tác dụng lên chất điểm xét trong
hệ quy chiếu quán tính cũng là đại lượng vật lý bất biến đối với các phép biến đổi Galileo Từ đó suy ra lực là hàm của các đại lượng vật lý khác mà những
đại lượng này cũng bất biến đối với các phép biến đổi Galileo
Ta biết rằng vị trí tương đối giữa các chất điểm 7 = ria = 72 — r1, vận
tốc tương đối giữa các chất điểm = 0a = tạ — v1, thời gian ¿; điện tích q và
khối lượng rn của chất điểm trong Cơ học cổ điển phi tương đối tính là những
đại lượng bất biến đối với các phép biến đổi Galileo Nếu kí hiệu một tập hợp
những đại lượng bất biến đối với các phép biến đổi Galileo vừa kể trên bằng chữ z, lực tác dụng lên chất, điểm bằng chữ # thì thực nghiệm chỉ ra rằng: lực
# là hàm của z, nghia la F = F(x ) Định nghĩa này của lực dựa vào các đại
lượng đặc trưng cho trạng thái của chất điểm và của các vật xung quanh Hai
định nghĩa này của lực là ư và F(a) vita trinh bay, xét trong một hệ đơn vị đo lực, có thể viết thành đẳng thức ~
mi=F(c) ha w= =a) (1.57)
Dang thức này có ý nghĩa cụ thể của một định luật khi sự phụ thuộc của lực P vào z đã được thiết lập Cho lực F, nghĩa là cho biết sự phụ thuộc của F vào z thì chuyển động của chất điểm sẽ được mô tả bằng phương, trình (1.57) Phương trình này gọi là phương trình cơ bản của động lực học chất điểm và có
Trang 21
thể phát biểu như sau: Dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động tới gia
tốc cùng hướng uới hướng của lực uà có độ lớn tỉ lệ thuận uới độ lớn của lực va tỉ lệ nghịch uới khối lượng của nó Đó là nội dụng của định luật II Newton hay
tiên đề thứ hai Newton
Nếu có n lực Fi, Pa, = LH ° Fy đồng thời tác dung lên chất điểm có khối lượng m thì mỗi lực F; Bay ho chất điểm một gia tốc d”; = ae Co hoc cé dién thừa nhận nguyên lý về tính độc lập tác dụng của lực như sail Các gia tốc tủ,
của chất điểm do các lực F¡ gâu nên là không phụ thuộc lẫn nhau va gia tốc
toàn phần tủ của nó bằng tổng hành học của các gia tốc thành phần w;, nghĩa là (1.58) ;=l n trong đó F = » Fj Các lực Fj gọi là các lực thành phần và lực F goi là lực i=l
tổng hợp hay hợp lực Đẳng thức (1.58) là phương trành cơ bản của động lực
học chất điểm dưới tác dụng của một hệ lực Phương trình này có thể phát biểu như sau: Gia tốc toàn phần của chất điểm đối uới hệ quụ chiếu quán tính có chiều cùng uới chiều của hợp lực tác dựng lên nó, có độ lớn tỉ lệ thuận uới độ lớn của lực tổng hợp và tỉ lệ nghịch uới khối lượng của nó
1.4.3 Định luật III Newton
Trên đây ta chỉ nghiên cứu chuyển động của chất điểm dưới tác dụng của
các vật thể bên ngoài Thực ra khi các vật bên ngoài tác dụng lên chất điểm thì
chất điểm cũng tác dụng lên các vật bên ngoài Khi tương tác lẫn nhau những chất điểm có khối lượng khác nhau sẽ thu được những gia tốc khác nhau Theo nguyên lý về tính độc lập tác dụng của lực thì tương tác giữa hai chất điểm
M; và M¿ không phụ thuộc vào sự có mặt của các chất điểm còn lại nên dù hai
chất điểm AM; và ă„ có làm thành một hệ cô lập hay không, bao giờ ta cũng có
my = —meui hay Fy = — Fy, (1.59)
trong đó Fi, = m0, 1a luc do chất điểm k tác dụng lên chất điểm ¡ và Fy = my; là lực do chất điểm ¡ tác dụng lên chất điểm k Như vậy, lực do chất điểm My, tác dụng lên chất điểm M; (đặt ở chất điểm M; i) va luc do chất điểm M, tác dụng lên chất điểm My (đặt ở chất điểm My ) bao giờ cũng bằng
nhau uề độ lớn, ngược nhau uễ chiều uà có cùng giá là đường thẳng nối hai chất điểm M, uà Mạ Đó là nội dung của định luật III Newton vé su can bing nhau
của tác dụng và phản tác dụng hay tiên đề thứ ba Newton
Cần chú ý rằng, lực và gia tốc trong Cơ học cổ điển là những đại lượng bất
biến đối với phép biến đổi Galileo, cho nên khi chuyển từ hệ quy chiếu quán
tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác thì các định luật Newton đều bất
Trang 221.5 Hai bài toán cơ bản của động lực học chất điểm
1.5.1 Bài toán thuận
Cho biết khối lượng zn của chất điểm và phương trình chuyển động của nó = 7 = 7(t), thì lực tổng hợp F tác dụng lên chất điểm được tìm theo công thức n = = ¬ | — m— = Cr mw .60 P= D1 Rs mig = mũ w=1 = Các hình chiếu của vectơ lực # trên các trục tọa độ Descartes có dạng tạ= Ye = mi, Fy = Fy =my, f= SP, = m7 (1.61) ¿=1 a — Khi chất điểm đứng yên hay chuyển động thẳng đều thì ứ = 0 và do đó ta có Fạ= Fi = 0, Fy = Dr, =0,F,= yr = 0 (1.62)
Đó là điều kiện cân bằng của chất điểm Hệ lực tác dụng lên chất điểm thỏa, mãn điều kiện (1.62) gọi là hệ lực cân bằng
1.5.2 Bài toán ngược Tích phân của chuyền động và các điều kiện đầu
Cho biết khối lượng mm của chất điểm, cho biết lực tác dụng lên chất điểm
như một hàm của 7, ở và ý và cho biết vị trí ¿, vận tốc Up cia chat điểm ở thời
điểm ban dau t, thì ta có thể xác định được # và ở ở thời điểm bất kỳ
Thật vậy, giải bài toán này thường dẫn đến giải hệ ba phương trình vi
phân hạng hai thường
Mr = F,(x, y, Z, 2, Ù, z,t),
my = F(z, y, Z,2,Y, z,t), (1.63)
mz = F(a, Y, Z, ZL, U› z, t)
Nghiệm tổng quát của hệ ba phương trình (1.63) này phụ thuộc vào sáu hằng số tích phân tùy ý C¡, Œạ, , Œạ và có thể viết dưới dạng
t= x(t, Ci, Ca, sen Cs),
y= y(t, Ch, Co, g Cạ), (1.64)
2= z(t, Ci, Ca, ai Cs)
Dao hàm bậc nhất theo thời gian các phương trình (1.64) ta nhận được #, ÿ, ¿
là hình chiếu của vectơ vận tốc của chất điểm trên các trục tọa độ
Trang 23VỊ trÍ Z4, ¿, Za và vận tốc Z„, ¿, Z2 của chất điểm ở thời điểm ban đầu (khi + = tạ) được xác định từ các hệ thức Zo = #(t¿, C\, Ca, , Cá), Yo = ylto, Ch, C2, ones Cs), Z¿ = Z(tạ,C\, Cạ, , C§), (1.65) De = £(to, C], Ca, " Cs), ¬ Yo = W(to, C1, Cà, , Cs), Zo = Z(to, C1, 2, ooey 6)- Giải hệ sáu phương trình (1.65) đối với các hằng số tích phân C) Ca, , Cạ ta nhận được
Ci = C¡(t¿, Lo; Yo: 20; Lo, Yo: đụ)
2= C¿(ta, Lo; Yo: Zo, Lo; Yo; Zin) (1.66)
Ca — Co(to, Ta; Yo; Zo; Dey Ua, Ba)
Cuối cùng đặt (1.66) vào (1.65), ta nhận được nghiệm tổng quát của hệ (1.63) dưới dạng
r= x(t, bey Zo; Yo Zo; Poy Yos zo);
U = y(t, to; Lo, Yos Zo; igs Gon Zo), (1.67)
z= 2(t, to, Lo, Hos Zon ox on Sa)
hay
r= rt, to, Tos Uo) (1.68)
Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian của (1.68) ta nhận được
U = U(t, to, Fo, Uo)- (1.69)
Nhu vậy, nếu cho biết khối lượng của chất điểm, biết lực tác dụng lên chất điểm là hàm của vị trí, vận tốc và thời gian, đồng thời cho biết các điều kiện ban đầu 72, U, thì ta xác định được vị trí 7 và vận tốc ở ở thời điểm ¿ bất kỳ
Trạng thái của chất điểm trong cơ học được xác định bởi vị trí và vận tốc của nó
Thực tế, không phải khi nào cũng có thể giải được hệ ba phương trình vi phân (1.63) cho đến cùng để tìm nghiệm tổng quát của chúng Tuy nhiên
đôi khi ta cũng có thể nhận được tích phân ban đầu của phương trình chuyển
động (1.63) Thật vậy, nếu giả sử rằng sau khi thực hiện một lần tích phân, hệ
Trang 24trong do Cy, C2, C3 1d cae hằng số tích phân tùy ý và gọi là các tích phân ban
đầu của phương trình chuyển động, hay gọi tắt là các tích phân đầu của chuyển
động, Đồ là những hầm của tọa độ, vận tóc và thời gian Khi chất điểm chuyển động các hầm đó giữ giả trị không đổi và giá trị đó được xác định từ những
điều kiện bạn đầu, Sau này ta sẽ thấy các định luật bảo toàn là các tích phân đầu của chuyên động
Nếu biết được các tích phân đầu của chuyển động thì việc giải bài toán
ngược của động lực học chất điểm sé dé dang hơn vì khi đó ta có thể đưa các phương trình vi phân hạng hai ban đầu về các phương trình ví phân hạng nhất Thật vậy, giải (1.71) đổi với #, ở, š, ta nhận được + = Ói(f,3,0,z, Cụ, Ca, Cà), Ụ = J2(t,z, y, 2, C1, C2, Cs), (1.72) ở = ¢3(t, 2, y, 2, Cy, C2, Cs) Tích phần các phương trình (1.72), ta có ( 1.6 Chuyển động của chất điểm trong trường lực thế 1.6.1 Lực thế và thế năng
Lực phụ thuộc vào vị trí của chất điểm liên quan mật thiết với khái niệm về trường lực Trường lực là khoảng không gian vật lý mà chất điểm đặt tại mỗi điểm của nó chịu tác dụng của lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm ấy
Vectơ lực £ = F(?) của trường không phụ thuộc vào vectơ vận tốc và vectơ gia
tốc của chất điểm Trường lực mà vectơ lực của nó được biểu diễn dưới dạng
OU IU ~=0U ~0U )
F() = ~gradU() =—gg = —(fS; + Ig, + BS (1.73)
trong đó (7) là hàm vô hướng chỉ phụ thuộc vào vị trí chất điểm, gọi là trường
lực thế Lực của trường lực thế gọi là lực thế và đại lượng vô hướng U (7) gọi
là thế năng của chất điểm ở vi tri 7
Trang 25hay ;
rotF = 0 (1.76)
Các thành phần của lực đàn hồi, lực hấp dẫn và các lực tĩnh điện thỏa
mãn điền k kis Sn (1.75), vay ede lye nay 1A nhiing lye thé
Cho thể nàng ự) ta xác định được lực thế F theo (1.73) hay (1.74), Ngược lại cho lực thế F ta cé thé tinh được thể năng U(r"), Chu ¥ ring déi
với trường lực thể dừng (trường lực thể không phụ thuộc tường mình vào thời gian), tà có
, ov OU ne na
dl = Gye + Sve Sas = —(Frdxr + Fydy + F:dz) = -—Fdr (1.77)
Tích phân hai về đẳng thức (1.77), ta nhận được
U(?)= - [ Fars C, (1.78)
trong đó Œ là hằng số tích phân được xác định tùy thuộc vào việc chọn mốc
tính thế năng
1.6.2 Công của lực thế Biểu thức thể năng
Đại lượng bằng tích vô hướng giữa lực #' tác dụng lên chất điểm và vectơ
dịch chuyển dr của nó gọi là công nguyên tố của lực trên dịch chuyển đ?, kí
hiéu 14 6A
6A = FdF = F,dxr + Fydy + F.dz (1.79)
Tích phân hai về đẳng thức (1.79) từ vị trí đầu 7¿ đến vị trí cuối # dọc theo đường cong quỹ đạo của chất điểm, ta được
A= / F(Œ)dr (1.80)
Đại lượng 4 gọi là công của lực trên một quãng đường hữu hạn từ vị trí đầu
rạ đến vị trí cuối 7
Công nguyên tố ô4 nói chung không phải là một vi phân toàn phần và do
đó công 41 phụ thuộc vào dạng đường cong quỹ đạo của chất điểm nối từ điểm đầu đến điểm cuối Nếu lực #° là lực thế thì 6A = —dU nghĩa là công nguyên tố là một vi phân tồn phần và cơng 4 không phụ thuộc vào dạng đường cong quỹ đạo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của chất điểm
Công A của lực thế có thể viết dưới dạng
7 7
a= | Far=- | dU = U(f,) ~ UΠ(1.81)
Đẳng thức này có thể phát biểu như sau: công của lực thế đặt lên chất điểm
trên một quãng đường hữu hạn nào đó bằng hiệu thế năng của chất điểm tại uị
Trang 267 TỬ IS I SLID LE LGR AR NEL ADE XU HC
tri dau va vi tré cudi ctia nd Néu chon gốc tính thế năng tại vị trí 7, nghĩa là
đặt /(72) =0, ta có
U(1): -f Fdr - [- Fdr (1.82)
Đăng thức (1.82) cho thay thé năng của chất điểm tại 0ị trí r “bảng công của
luc thé dat lên chất điểm, khi nó dịch chuyển từ uị trí T đến vi trie, ma tai dd
thế năng của nó bằng không (U(r,) = 0)
Biết được sự phụ thuộc của luc thé F vio # ta xác định được thé nang U(#) e Thế năng của lực đàn hồi: U(r) = — 2 (1.83) e Thế năng của lực hấp dẫn: U() =_- “mm r (1.84) 1.6.3 Định lý biến thiên động năng và định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm
Chú ¥ ring F = Ae) va v= =, ta được
5A = Far = 4 (ma)dr = td(mi) = a(5 = = yWnU)dT = 0dm0 mà), 1.85) (1.85
1 2 v.v 2 ,
Dai lugng T = xm gọi là động nang cua chat điểm Dang thitc (1.85) dién ta dinh ly bién thién dong nang cua chat diém viét dudi dang vi phan: Vi phan
động năng của chất điểm bằng công nguyên tô của lực trên dịch chuuển dữ Tích
phân hai vế đẳng thức này, ta thu được
i” mu? mv?
Đẳng thức (1.86) được phát biểu như sau: Điến thiên động năng của chất điểm trên một quãng đường hữu hạn nào đó bằng công của lực tác dụng lên chất điểm
Trang 27Vậy, mômen xưng lượng của chất điểm chuyển động trong trường lực thé cuyén
tam doi vdi tam O ctia trường là tích phân đầu của chuyén động hay là đại
lượng bảo toàn
CÂU HOI ON TAP VA BAI TAP CHUONG I
Cau hoi 6n tap
1 Tính chất của không thời gian trong Cơ học cổ điển
2 Vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của chất điểm Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm
3 Thiết lập biểu thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm trong hệ tọa
độ trụ và hệ tọa độ cầu
4 Nguyên lý tương đối Galileo và ba định luật Newton Các khái niệm lực,
khối lượng
5 Khái niệm lực thế Công của lực thế và thế năng
6 Định lý biến thiên động năng và định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm 7 Định lý biến thiên và định luật bảo toàn mômen xung lượng của chất điểm Bài tập 1 Xác định quỹ đạo của chất điểm, biết phương trình chuyển động của chúng có các dạng sau đây t t a c= asin, ss 3cos b x =a(sin kt +coskt),y = 0(sin kt — cos kt) c.z=Vvf,u=e! d.7= (3t+ 2)i + (1— 2£)7 + (2+ t)k, với 7 là bán kính vec tơ xác định vị trí chất điểm e = 6cos 2£7 + tk
2 Xác định vận tốc và gia tốc của chất điểm tại vị trí bất kỳ của quỹ đạo,
biết phương trình chuyển động của chúng có dạng 1 = 2 = = acr=t,y 3 b z= a(sin kt + coskt),y = b(sin kt — cos kt) wt wt
c x= acoswt + bsin 2 = asinwt — bcos >
d.z= Reoswt+wRtsinuwt, y = Rsinwt — wRtcoswt
e2=6+4t?,y = 3t?-1
g.r=a(1+t*),p = arctant
Trang 28ee a EE ae ee ee) si
h r=e',y = 2t, G=¥z với a,w,k, R, b la các hằng sé
3 Xác định phương trình chuyển động theo quỹ đạo s = s(£), biết phương
trình chuyển động của chất điểm có dạng a 2= 3/?+5,u= 42 +3 b.z=l—-Ý,u=t-—-l1 x = 2sin 2t, y = 2cos 2t a d.z=a+ Reoswt,y = Rsinwt e z = 3cost?, y = 3sint? g x = 4acos* wt, y = 3asin? wt h x = acos*t, y = asin? t i z = a(1—sint), y = a(1 — cost) k x =acost,y = asint
l = a(2 cost + cos 2t), y = a(2sint — sin 2t) v6i a,w, R,b la cdc hang số
4 Thanh AB có khối lượng không đáng kể, độ dài /, dao động quanh điểm B trong mặt phẳng thẳng đứng với góc lệch @ = wt; diém B dao động trên mặt phẳng nằm ngang theo phương trình z = ø-bsinu# Xác định vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của điểm A
5 Tàu biển đi theo phương hợp với kinh tuyến góc œ không đổi với vận
tốc đều u Xác định gia tốc của tàu
6 Một chất điểm chuyển động nhanh dần đều theo đường tròn từ trạng thái đứng yên Xác định tỉ số giữa gia tốc toàn phần của chất điểm đó sau m
vòng và sau một vòng
7 Chất điểm chuyển động với vận tốc đầu uạ theo đường tròn bán kính R Gia tốc tiếp tuyến tỉ lệ với căn bậc hai của gia tốc pháp tuyến Xác định vận tốc và phương trình chuyển động s = s(£) của chất điểm
8 Chất điểm bắt đầu chuyển động từ A theo đoạn thẳng AB với vận tốc bất kì Lấy một điểm Ó ngoài AB làm cực và OA làm trục cực Tìm phương
trình chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ cực
9 Chất điểm chuyển động theo đường parabol y = kz? với gia tốc không đổi bằng a (ø và k là hằng số) Xác định gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp
tuyến của chất điểm
10 Khẩu súng được đặt trên mô đất có độ cao h so với phương nằm ngang
trên mặt đất Ox Van téc ban đầu ở, của viên đạn hợp với phương Ox goc a
Bỏ qua sức cản của không khí, xác định xem với giá trị nào của œ thì tầm xa của viên đạn là cực đại
Trang 2911 Xác định lực tông hợp tác dụng lên chất điểm và gây ra chuyển động
của nó với các phương trình chuyến động có dạng at ar=re",p=ut at? b.z = Reosuwt,y = Rsinwt,z = vt + > c.r=e'sint.y=e'cost,z =e!
v6i R,w,a,1ro,u la cdc hang số
12 Vat khdéi lugng m chuyén động từ dưới lên theo phương thăng đứng Óz
với vận tốc đầu tạ Lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương vận tốc Xác định độ cao cực đại mà vật lên được và thời gian vật lên đến độ cao đó
13 Một hạt có khối lượng mm, điện tích ạ chuyển động trong điện trường có
cường độ E = E,sin “ỉ (E,.a là các hằng số, ¡ là vectơ đơn vị trên trục Óz)
a 2 x ˆ
Tìm phương trình chuyên động của hạt biết rằng tại thời điểm ban dau cua
chuyển dong r(o) = 0, % = u,k, k 1A vecto don vi trén truc Oz
14 Chất điểm khối lượng rn chuyển động với vận tốc đầu tạ theo đường
thắng nằm ngang Óz dưới tác dung cia luc Fr = —axr — G2°, (a, 3 = const)
Trang 30Chương 2
CƠ HỌC HE CHAT DIEM
>1 ^ ^ 2 ^ 2 -2
2.1, Phương trình chuyển động của hệ chất điểm
Xét một hệ gồm @ chất điểm Mì, NFạ, , XÍv Lực tác dụng lên chất điểm
của hệ kín chia thành nội lực và ngoại lực Nội lực là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau, còn ngoại lực là lực do các vật thể ngoài hệ tác dụng
lên các chất điểm trong hệ Kí hiệu #%¿ là nội lực do chất điểm M, tac dung lên
chất điểm A⁄¿ của hệ Nội lực do (N — 1) chất điểm còn lại tác dụng lên chất
điểm k của hệ bằng Fi = v Tụ với ? # k Ngoại lực tác dụng lên chất điểm
f= |
M, cua hé ki hiéu bing Fe Chuyển động của hệ N chất điểm đối với hệ quy chiếu quán tính được xác định bởi W phương trình vi phân hạng hai sau
dr re Ri
Mee = Fe + FE (k = 1,2, ,N) (2.1)
hay 7
i0) = Fet+ 3 „lu (£#k,Ê= 1,9, NV), (2.2)
trong d6 py = mv, 1a xung lugng cla chất điểm mx Tim nghiém téng quat
cua hé N phuong trinh vi phân hạng hai (2.2) là một bài toán võ cùng phức
tạp Vì lẽ đó cho nên việc xác định các định lý, định luật tổng quát mà chuyển
động của hệ phải tuân theo là rất quan trọng Trong chương này chúng ta hãy
nghiên cứu những định lý và định luật tổng quát về chuyển động của hệ Các
định lý này được xây dựng dựa trên các định luật Newton Nhờ các định lý
tổng quát này mà ta biết được những tính chất quan trọng của chuyển động
mà không cần biết chi tiết về chuyển động ấy
2.2 Định lý biến thiên và định luật bảo toàn xung lượng của hệ
Trang 31SE DNNN.000 v22 co eo gg TY CC Oo ˆ - HƯƠNG -ÀWhAGsdiMhkvtS0MAE=- - ^9W007NNeA~<9090n9/9°2ngdWSdrsesfieweesgr hsosếWtemwae- et a diel
Từ định luật III Newton Fhụ = —Fy suy ra tổng nội lực tác dựng lên mọi chất điểm của hệ bằng không, có nghĩa là N So FE= DOS Fe =0 (Z9) (2.4) k=1 k ( Thay (2.3) vào (2.4) ta nhận được N « dee ms Š 8:2 ( ma) =1 e k=1 Ui = 0 hay aP _ je (2.5) dt trong đó \ N N = › Mo, Fe = › Fy k=1 k=1
Đại lượng P bằng tổng hình học xung lượng của các chất điểm của hệ gọi
là xung lượng của hệ và đại lượng Fe 14 tổng ngoại lực tác dụng lên các chất
điểm của hệ Phương trình (2.5) có thể phát biểu như sau: Đạo hàm uectơ rung
lượng của hệ theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm của hệ Đó là định lý biến thiên xung lượng của hệ
Chiếu đẳng thức (2.5) lên các trục tọa độ, ta được dP, = _, dP, _,dPz = _, 2Õ dt = FF > dt = fy, dt = FY, ( ) Py, = 2 mate Py= dmati P= 2 miễn Fe=) > FE, Ff = = F§, FỆ = > FỆ, k k
Nếu Ƒ*# = 0 thì P; là đại lượng bảo toàn Nghĩa là P;¿ = P;¿ = cơnst; P;„
là thành phần P; ở thời điểm ban đầu Đối với hệ kín thì các chất điểm của hệ không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng, khi đó F*° = 0 và ta có dP dt trong đó — Fe—Q hay => P =const (2.7)
Như vậy, đối với hệ kín thì xung lượng của hệ được bảo toàn Đó là nội dung của định luật bảo toàn xung lượng của hệ kín Đây là một trong những
định luật tổng quát nhất của vật lý
Trang 322.3 Khối tâm của hệ Định lý chuyển động của khối tâm
Xét chuye én động của hệ chất điểm đối với hai hệ quy chiếu quán tính K và K“ Nếu gốc Ó' của hệ K7 chuyển động đối với hệ K với vận tốc Vy thì các vectơ vận tốc và ty của chất điểm Aƒz của hệ đối với hệ quy chiếu K và K? liên hệ với nhau bằng hệ thức ở, = Vy + U, Cac dai lugng P= S > mei và
k
= So mi là xung lượng của hệ đối với hệ quy chiếu và K” Giữa P và
?' liên hệ với nhau bằng một hệ thức đơn giản
_~
P= Dm = dma (Ủy — Vy) = P- mVy = [Somali ~ Z2), (2.8) k
trong đó mm = )„ m¿ là khối lượng của hệ Khối lượng của hệ bằng tổng khối
lượng của tất cả các chất điểm bên trong hệ Khối lượng là đại lượng có tính cộng được Nếu chọn hệ quy chiếu K' có gốc trùng với điểm Œ thỏa mãn điều kiện À ` mạ( 7+ — To) = 0 thì ta có k P= 0, P — mVo, (2.9) 1 ro = r 2.10 To = — » MET ks (2.10) 2 dr; ⁄ ° 2 ~2 + ? ⁄Z ⁄
trong dé Ve = —< là van toc cua diem C Diém C ma vi tri ctia nó được xác định bằng bán kính uectơ T TC theo (2.10) gợi là khối tâm hau tâm quán tính của hệ chất điểm Hẹ K' có gốc gắn với khối tâm của hệ gọi là hệ quy chiếu khối tâm hay hệ tâm quán tính
Từ (2.9) ta thấy rằng xung lượng của hệ đối với hệ tâm quán tính bằng
không và đối với hệ quy chiếu quán tính K bằng tích của khối lượng toàn bộ
hệ với vận tốc của khối tâm của nó Mối liên hệ giữa xung lượng của hệ giống
như mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng đối với một chất điểm Vì thế cho nên ta có thể xem xung lượng của hệ như xung lượng của một điểm nằm ở khối tâm và điểm đó có khối lượng bằng khối lượng của hệ
Thay biểu thức của ở (2.9) vào (2.5) ta nhận được định lý về chuyển động của khối tâm của hệ
— = Fe 2
mu (2.11)
4 ag —— Le 2
Néu F® = 0 thi Vo = const, nghia là khối tâm đứng yên hoặc chuyển động
thẳng đều Chiếu (2.11) lên các trục tọa độ, ta thu được
mic = FY, myc = Fy,mic = F¥ (2.12)
Các phương trình (2.11) hay (2.12) là những phương trình chuyển động của khối tâm đối với hệ quy chiếu quấn tính
Trang 332.4 Định lý biên thiên và định luét bao toan momen xung lượng của hệ
Xét một hệ W chất điểm Chọn gốc Ó làm
góc tọa độ Vị trí của các chất điểm Af, và Af; được xác định bằng các bán kính vectd 7+ và r¿ Vị trí tương đối giữa chất điểm Af„ và Af;
được xác định bằng vectØ 7+ = 7+ — 7; Theo
định luật III Newton, chất điểm Aƒ; tác dụng
lên chất điểm ăz¿ một lực Fue thì ngược lại chất
điểm Ä⁄¿ cũng tác dụng lên chất điểm Aƒ;¿ một
lực Ty = — Fằu Hình 2.1:
Vì vectơ 71¿ nằm trên đường thẳng tác dụng của lực Fò¿ cho nên tích hữu
hướng giữa r1¿ và +; luôn luôn bằng không, nghĩa là
[The x Tu] — [ứi — Tt) x Frye = [7x x Fkị + [r: x Fix = 0 (2.13)
Dai lugng [7% x Fie] goi la momen ciia luc Fye déi voi diém Ó Ta có thể chứng
minh được
3 )If x Fil = Do [Fee x Fae] = 0 (2.14)
k k#+,k<t
Dang thức này có thể phát biểu như sau: Tổng mômen của các nội lực tác dựng lên các chất điểm của hệ đối uới điểm O bat kà bằng không
Dùng kết quả này với biểu thức nội lực Fi = —F£ + ai mktk), ta nhận được — x Tk X Fe] ] + 2ñ Tk x7 — T (mai) = Ũ (2.15) dr; ~ ~ a A sứ ` ` Mà [—— a * my] = [Ủx x my] = 0 nên ta có thể viết phương trình (2.15) thành dL + —=M dt 3 (2.16) 9 trong dé S7 L =[ft x me], và M= À “lí: x Fé) k
Đại lượng [x = |r, x mrvE] gọi là mômen xung lượng của chất điểm Af, đối với điểm Ó và đại lượng L gọi là mômen xung lượng của hệ đối với điểm
Ó Mômen xung lượng của hệ đối với điểm Ó bằng tổng hình học mômen xung
lượng của tất cả các chất điểm của hệ đối với điểm O Đại lượng [Z¿ x F?] là mômen của ngoại lực Fe tác dụng lên chất điểm Aƒ¿ đối với diém O va dai lượng M gọi là mômen của ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm O Momen của ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm O bing tổng hình học mômen của
các ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ đối với điểm Ó Phương trình
Trang 34(2.16) có thể phát biểu như sau: Đạo hàm ueetơ mômen xung lượng của hệ đối
voi mot điểm theo thời gian bằng tổng mrômen ngoại lực tác dụng lên các chất
điểm của hệ đối uới cùng điểm ấu Đó là định lý biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm Chiếu hai về (2.16) lên các trục tọa độ, ta được dL, = M.,.—Y= M,,— = M,, dL dL, (2.1 M de dt at a trong đó Ly = So me (yee — #tỦk), Dụ = 3 mk(zk‡¿ — rz), Lz = » Tny(TgÚx — YeTk); k k k -€ Mz = > (ue FE — 2F£,), My = So (za — xkF£,), M; = So (xe Phy — ey Fp): k k (2.18)
Từ (2.16) ta suy ra: Nếu thành phần của tổng mmômen ngoại lực trên rnột
trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của mômen
tung lượng của hệ trên trục đó được bảo toàn
Trong trường hợp hệ kín, tất cả các lực Fe = 0(k = 1,2, ,N), cho nén
Af = 0 va ta c6
=> => —
[= L, = const, (2.19)
ở đây D„ là mômen xung lượng của hệ ở thời điểm ban đầu Như vậy, rnômen xung lượng của một hệ kín là đại lượng bảo toàn Đó là một trong những định
luật bảo toàn tổng quát nhất đối với hệ kín
Nếu #£ z 0 nhưng Ä⁄ = 0 thì ta vẫn có đẳng thức như (2.19), nghĩa là nếu
tổng mômen của các ngogi lực tác dựng lên hệ đối uới một điểm luôn luôn bằng không thà mômen xung lượng của hệ đối uới điểm ấu sẽ không đổi Đó chính là định luật bảo tồn mơmen xung lượng của hệ
Chú ý rằng định lý biến thiên mômen xung lượng của hệ không những đúng đối với điểm Ó cố định mà còn đúng đối với điểm là khối tam Œ của hệ
Nếu tất cả các chất điểm M¿y của cơ hệ đều quay xung quanh một trục Óz
cố định với các vận tốc góc ¿ khác nhau thì ta có
hạ = » dy?nkUk = So mdiwr, (2.20)
k k
trong dé d, 1a khoang cach tit chat diém M;, dén truc Oz
Từ phương trình (2.20) suy ra rang khi M, = 0 thi L, = const
Nếu tất cả các điểm Ä⁄¿ của hệ đều quay xung quanh trục Oz cố định với cùng vận tốc œ (nghĩa là hệ quay như vật rắn) thì biểu thức của L; có dang
đơn giản
Trang 35Ly= Ips, J, > my?
k
Đại lượng J; gọi là mômen quán tính của hệ đối +
với trục ỞZ
Trong trường hợp vat chat phân phối liên tục dy i, trong hệ với khối lượng vi phân di = pdV, :
trong đó p 1a mat dé khéi lugng con dV 1A vi 1,
phân thể tích thì biểu thức của, J, c6 dang Ph
J, = J pd2dV O
Hình 2.2:
Ví dụ 2.1
Một bàn tròn nằm ngang có thể quay không ma sát xung quanh trục thẳng
ding Oz di qua tâm của nó Một người có khối lượng ?n đi trên bàn luôn luôn cách trục Øz một khoảng bằng r với vận tốc tương đối đối với bàn là không đổi Hỏi khi đó bàn sẽ quay quanh trục Óz vơi vận tốc góc w bằng bao nhiêu?
Cho biết bàn đồng chất có khối lượng mị và có bán kính #
Vi các trọng lực của người và của bàn song song với trục Oz, phan luc R
của ổ đỡ đi qua trục Oz nên M, = 0 Từ phương trình dL, dt suy ra L, = const Vi 6 thdi diém ba dau hệ ditng yén cho nén L, = 0 = M,=0 L, = ở; + rn((r — t)r = 0 1 ‘ J, = 2m TẺ Từ đây suy ra, 2mur ~ mmị R2 + 2mr2'
2.5 Định lý biến thiên động năng và định luật bảo toàn
cơ năng của hệ
Lực tác dụng lên chất điểm M, của hệ là tổng hợp của ngoại lực Fe và nội
luc Fi, Trong Cơ học cổ điển, nội lực #7 phụ thuộc vào vị trí tương đối của chất điểm My đối với các chất điểm còn lại của hệ và có thể biểu diễn dưới dạng
> i ae 8 -
Fi = —grad,U'(r1, 72, .,7v) = oR Fim, Ty), (k=1,2, ,.N)
(2.21)
Trang 36Ở đây hàm vô hướng Ứ*(71,7a, „fw) chỉ phụ thuộc vào các bán kính veectơ f1,fa, ,Tw xác định các vị trí của các chất điểm của hệ
Nội lực #Ÿ thỏa mãn điều kiện (2.21) gọi là nội lực thế và hàm (1, 7, ., Ty)
gọi là nội thế năng của hệ Lấy vi phân hàm U‘(7},79, ., 7v), ta dude N Oui N _ dữ? = ` ——dĩ‡ = — À ` Fjdii $i = k=1 k=1 (2.22) Dai lugng 6A, = Fidr goi la công nguyên tố của lực Fÿ trên dịch chuyén dr va dai lugng N N 5Ai = 2-54 = Do Fiat (2.23) =] =1
gọi là công nguyên tố của tất cả các nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ
Thay biểu thức của nội lực ở (2.3) vào (2.23) và chú ý rằng d(m#Ð) , — „ „ \— ,/mutỷ —7 ark = 0xd(my.0,) = d{ 5 } ta nhận được dT = 6A’ + 6A®, (2.24) N 2 N _ 1 trong đó 7 = > " và ðA° = Ð `ð4£ = S~ Fed Đại lượng 2mxuŸ gọi là k=1 k=1 k
động năng của chất điểm k va dai lượng 7' gọi là động năng của hệ Đại lượng ỗA£ = F£drj là công nguyên tố của ngoại lực #; £ trên dịch chuyển đ+ và dai
lượng ôA° = ` SAC = » tšÿdrị là công nguyên tố của tất cả các ngoại lực tác
k k
dụng lên các chất điểm của hệ Đẳng thức (2.24) chỉ rằng ui phan động năng của hệ bằng công nguyên tố của tất cả các nội lực uà ngoại lực tác dựng lên các
chất điểm của hệ Đó là định lý biến thiên động năng của hệ viết dưới dang vi
phân
Nội lực Fi là lực thế cho nên công nguyên tố ð Ai là một vi phân toàn phần
(8A? = —dỮ)) và khi đó ta có
d(T + U*) = 6A° (2.25)
Đối với hệ kín thì tất cả các ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ bằng không, nghĩa là #ÿ = 0 Trong trường hợp này ð 4° = 0 và từ (2.25) suy ra
T+U* = const (2.26)
Đại lượng 7'-+ Ứ°? gọi là cơ năng của hệ kín Như vậy, đối uới hệ kín cơ năng của
hệ là một đại lượng bảo toàn Thế năng tương tác của mỗi cặp chất điểm A⁄ và Ä¿ bất kỳ của hệ phụ thuộc vào khoảng cách tương đối giữa các chất điểm và được xác định bởi hàm „¿(|f¿ — r;|) Nội thế năng U!(fi,7%, ,.w) của hệ có thể biểu diễn qua thế năng tương tác cặp ;¿(|f¿ — 7;|) Thật vậy, lực thế do
36
Trang 37Na fe
chất điểm Af; tac dung lén chat diém Af, vA luc thé do chat diém M; tdc dung lên chất diém M, cé dang
4 OU xe(|Te — 72!) = 8U;¿¿(|k — 7?)
fy = ee ke Ore ) tụy Ory (2 27) 97
Lấy vi phan ham Use, ta được OU, OU, de = — di, + diy = —(Fyedi: + Fnd?s)- (2.28) Ore Ta biết rằng vi phân nội thế năng U? co thé viét >5 " ‘ se (2.29) = -3{ > » Fhudry + » » Fadi} k tkợt kK t0kzt Đổi chỉ số lấy tổng nghĩa là thay k cho / và / cho k trong tổng thứ hai của (2.29), ta nhận được hb (Fred? + Fiydf¿) = al; 22 „1l — 7; )|: (2.30) Từ (2.30) suy ra, Dole U' (74,72, TN) = » » Dyw¿|Tk — |): (2.31) k tkứt Nếu ngoại lực ## là lực thế và U£(7¿) là thế năng của chất điểm trong trường ngoài, ta có s _ _ OU; (Tx) € —
8 Or, hay dU¢ = —Fédry
Công nguyên tố của ngoại lực thế tác dụng lên các chất điểm của hệ bây giờ có thể viết dưới dạng N = 3` f‡äï, = -d(>` U£(Z.)) = —dU*, (2.32) k=l k trong đó *(f,f2, ,TN) = 33„ UgŒ§) là thế năng của hệ trong trường ngoài Từ các đẳng thức (2.32) và (2.27), ta được d(T +U'*+U*)=0 hay E=T+U+”= cơnat (2.33)
Đẳng thức này chỉ rằng nếu nếu hệ chuyển động trơng trường lực thế thi co năng E của bệ là đại lượng bảo toàn Đó là định luật bảo toàn cơ năng của hệ
37
Trang 38Bay gid ta viet djnh ly biến thiên dong ning của hệ đưới đạng, tích phần,
Giả sử ở thời điểm f2 chất điểm Al, eta hệ ở vị trí 7 Và có vận tốc tig, ở thời điểm £ chất điểm Äf„ của hệ ở vị trí r+ và có vận tốc Tích phân hai về của
đáng thức (2.24) từ vị trí đầu 75 đến vị trí cuối r+ đọc theo các đường cong
quỹ đạo của các chất điểm My, ta được T— Tỳ = Al+ AUV, (2.34) trong đó N N vn ay2 TMKUE, pm lạm 2 › TH; N22 mx t5i— keel N N At=S ^A| At= >> AG, kel keel te th as i= / Flan, At | Feds Tok Tok
Đại lượng Aj, 1a cong cha ndi lực Fi và đại lượng 4£ là công của ngoại lực re
trên một quãng đường hữu hạn dọc theo quỹ đạo của chất điểm Af, ttt vi tri
đầu 7+ đến vị trí cuối 7+ Đắng thức (2.34) diễn tả định lý biến thiên động
năng của hệ viết dưới dạng tích phân Định lý này phát biểu như sau: Biến
thiên động năng của hệ trên một chuyén dời nào đó bằng tổng công của các muội
lực uà ngoại lực đặt lên các chất điểm của hệ trên chuyển dời đó
Đối với hệ kín thì A° = 0 và công của nội lực thế 4 được biểu diễn dưới
dạng
Ab = f dU! = US Fas Fats or Fon) U (1, oF) (2.35)
trong đó là nội thế năng của hệ ở vị trf diu va Ut 1a ndi thé ning cha hé 4
trạng thái cuối Đặt biểu thức của 4! từ (2.35) vào (2.34), ta nhận được
T —T, = Ui —U'
hay E=T+U'=T, + U3 = const
Cơ năng FE cia hé kin 1a dai lugng bảo toàn và được viết lại như sau
N
1 1 head - £ "
E= ; › muy + 5 › ) Oxe( |" — Tl) (2.36)
k=1 k Oke
Nhờ khái niệm khối tâm, ta có thể biểu diễn động năng của hệ kín thành
hai số hạng: động năng chuyển động tịnh tiến của hệ cùng với khối tâm và động
năng chuyển động của những chất điểm tương đối với khối tâm Thật vậy, vận tốc của chất điểm Aƒ¿ đối với hệ quy chiếu quán tính AW la , đối với hệ quy
Trang 391 ậ ụ # 9 * sẽ thức đe CÁ P G ĐẶC đăng thức này vào biếu thức của động, năng, của hệ, ta được N | " 2 ì | “ , ý # 2 l 5 many : > miu tb Vor) “ xi keel N r2 r bẻ ý ] ™ 4 \2 SVG + Ve > INK A 5 › ml)”, x het kml ¬ Ae ° oo 3 ee a trong dom `) my TÀ khôi lượng của toàn hệ Chú ý rãắng xung lượng của hệ keel N ‘ ` la :Á “ , “og LÀ us A* ia › r3! ` — 0 đồi với hệ quy chiêu quan tinh A gắn liên với khối tâm bằng ?Ï” = »_ Truy = Ẳ), k=1 taco N om T= smVỗ + 5 5 myve db we d (2.37) =1
Biểu thức động năng của hệ (2.37) là biểu thức cần tìm Cơ năng của hệ kín
bay giờ có thể viết 1 EB = smVỗ + Eo, trong đỏ E2 là năng lượng riêng hay nội năng của hệ có dạng 1 N 1 NN =! 2 k= _ — > Eo = 5 mark + 32-2- U«( 7|) (2.38)
Khai niệm nội năng của hệ kín là một trong những khái niệm quan trọng khi ta khảo sát hệ kín gồm các nguyên tử, phân tử hay các hạt nhân nguyên tử Trong Cơ học lượng tử, phần nội năng của hệ kín này có thể được lượng tử hóa
Trường hợp đặc biệt khi cơ hệ là vật rắn lý tưởng thì (7 — 7¿) = cơnst Từ
đây suy ra ôA? = —đỮ”? = 0 và A? = 0
CAU HOI ON TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG II
Câu hỏi ôn tập
1 Phương trình chuyển động của hệ chất điểm
2 Thiết lập định lý biến thiên xung lượng của cơ hệ Từ đó suy ra định luật bảo toàn xung lượng của hệ
3 Khái niệm về khối tâm của hệ Các đặc trưng vật lý của khối tâm
4 Thiết lập định lý biến thiên mômen xung lượng của cơ hệ Từ đó suy ra
định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ
9 Thiết lập định lý biến thiên động năng của cơ hệ Từ đó suy ra định
luật bảo toàn cơ năng của hệ
Trang 40Bài tập
1L Hòn bí có trọng lượng P được đặt trong một hình trụ rỗng có bán kính R, khối lượng M Hình trụ có thể lăn không trượt theo mặt phẳng ngang nhẫn
Bỏ qua kích thước của hòn bị, xác định phương trình chuyển động của tâm hình trụ, biết rằng ở thời điểm đầu, hình trụ đứng yên và vận tốc của hòn bì là Uo
2 Hai vặt A, B có khối lượng mỊ,nạ được buộc ở hai đầu sợi dây không
giãn vất qua một ròng rọc C được gắn liền với đỉnh chiếc nêm (vuông góc ở đỉnh ©) có khối lượng ?w và có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang
Tìm độ dịch chuyển của chiếc nêm trên mặt phẳng ngang khi vật Á trượt trên cạnh của nêm nghiêng góc œ so với phương ngang xuống được độ cao bằng h Ở thời điểm ban đầu hệ các vật đứng yên Bỏ qua ma sát
3 Sợi dây không giãn vắt qua một ròng rọc cố định có khối lượng không đáng kể Một đầu dây treo vật nặng, đầu còn lại có một người bám vào và leo
lên theo dây với vận tốc tương đối với dây là a Khối lượng của người và vật bằng nhau Vật sẽ chuyển động với vận tốc bằng bao nhiêu? Cho biết thời điểm
ban đầu hệ đứng yên
4 Con lắc toán học có khối lượng m, chiều dài / được treo ở tâm của
vật A có khối lượng M trên mặt phẳng ngang, nhẫn Khi con lắc dao động nó kéo A chuyển động quanh vị trí cân bằng trên mặt phẳng ngang Xác định phương trình chuyển động của vật A biết phương trình dao động của con lắc là @ = /ạ cOs ưÝ