Bài giảng cơ học lý thuyết

Trong Cơ học cổ điển thừa nhận rằng khoảng thời gian trôi qua của một quá trình vật lý bất kỳ trong mọi hệ quy chiếu chuyển động tương đối đối với nhau một cách tùy ý là như nhau, | nghĩ

IRCONG DATHOC QUANG BINT RHOCKHOY HỌC TỰ NHIÊN

GV TRAN NGOC BICH

BAI GIANG

Mục lục

1 CO HOC CHAT DIEM

1.1 Cac khái niêm co bin mé dau

1.1.4 Không gian và thời gian trong Cơ học cổ điển

1.2.2 Phương pháp tọa độ tự nhiên

1.2.3 Phuong phaptoeadd .2.200.-

1.3 Chuyển động của chất điểm trong các hệ quy chiếu khác nhau

1.4 Nguyên lý tương đối Galileo Ba định luật Newton

1.41 Định luật I Newton Nguyên lý tương đói Galileo

1.4.2 Khối lượng và lực Định luật II Newton

1.4.3 Định luật HINewton Ặ

1.5 Hai bài toán cơ bản của động lực học chất điểm

15.1 Bài toán thuận .0.0.0 0000

1.5.2 Bài toán ngược Tích phân của chuyển động và các điều

1.6 Chuyển động của chất điểm trong trường lựcthế

1.6.1 Lực thế và thếnăng .02 02

1.6.2 Công của lực thế Biểu thức thế HẦNE

1.6.3 Định lý biến thiên động năng và định luật bảo toàn cơ

năng của chất điểm co 1.6.4 Định lý biến thiên và định luật bảo toàn mômen xung

Câu hỏi ôn tập và bài tập chương Ï SƯ

NTI A Ree i AD Gs Sen itl Sie ih erties Seibel F

2.1 Phương trình chuyển động của hệ chất điểm 30 2.2 Định lý biến thiên và định luật bảo toàn xung lượng của hệ 39

2.3 khối tâm của hệ Định lý chuyển động của khối tâm 32 2.4 Định lý biến thiên và định luật bảo toàn mômen xung lượng của

2.5 Định lý biến thiên động năng và định luật bảo toàn cơ năng của

` ‹4 6 35

Cau hoi ôn tập và bài tập chươngII 39

3 NHUNG CO SG CUA CƠ HỌC GIẢI TÍCH 41

3.1 Các nguyên lý đối xứng hìnhhọc 41 3.2 Khái niệm về liên kết Tọa độ suy rộng .- 42 3.21 Số bậc tự do Liên kết 42

3.2.2 Tọa độ suy rộng Q2 2Q Q22 Q2 v2 43 3.3 Một số kiến thức cơ bản về phép tính biến phân 44 3.4 Nguyên lý Hamilton 0.2.2 46 3.41 Nguyên lý Hamilton 46 3.42 Hàm Lagrange 0Q 47

3.5 Mối liên hệ giữa các nguyên lý đối xứng của không gian, thời

gian và các định luật bảo toàn tương ứng 51 3.5.1 Dinh luat bdo toan xunglugng .,2.2.2 , 52

3.5.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng 53

3.5.3 Dinh luat bao toanco nang .2.2.~,.2 , 54 3.6 Ham Hamilton và phương trinh Hamilton 2 0.00 55

Câu hỏi ôn tập và bài tập chương HI , 57

4.2 Van toc va gia tốc trong chuyến động của vật rắn

4.3 Động năng, mômen quán tính và mômen xung lượng của vật rắn 63

43.1 Động năng của vậtrấn 63 4.3.2 Momen quén tinh cha vatrén 0.0.00 04

43.3 Mlômen xung lượng của vậtrắn 66

4.4 Các phương trình chuyển động củavậtrấn 67

2

Câu hỏi ôn tập và bài tập chương IV 68

5.1 Baitodnhaivat 0000000000000 000.0, 70

5.2 Chuyển động trong trường xuyên tâm 72

5.4 Chuyển động của vệ tinh nhân tạo của Trái đất và các trạm vũ trụ 76

5.5 Sự va chạm đàn hồi của hai vật {ằ, 77 Câu hỏi ôn tập và bài tập chương IV 79

Để đơn giản, trước tiên ta nghiên cứu là chuyển động của vật thể có kích

thước đủ bé so với kích thước đặc trưng cho chuyển động của nó Chuyển động của vật thể như vậy xây ra rất đơn giản vì chúng ta không chú ý đến sự quay của vật thể và sự chuyển dịch tương đối giữa các phần của nó với nhau Vật _ thể có kích thước bỏ qua được so với kích thước đặc trưng cho chuyển động

của nó gọi là chất điểm hay là hạt Một vật thể được coi là chất điểm không phải do kích thước tuyệt đối của nó xác định mà do tỉ số giữa kích thước của,

nó và độ dài đặc trưng cho chuyển động của nó xác định Ví dụ, khi nghiên cứu

chưyển động của Trái đất quanh Mặt trời ta có thể xem cả Trái đất và Mặt trời là những chất điểm mặc dù bán kính Trái đất vào khoảng 6.10°m, còn bán

kính của Mặt trời vào khoảng 7.10Ÿm Sự thực là những kích thước này rất nhỏ

so với khoảng cách giữa tâm Trái đất và Mặt trời, khoảng cách đó vào khoảng 1,5.10m Mặt khác, khi nghiên cứu sự quay của Trái đất quanh trục của nó thì ta không thể xem Trái đất như một chất điểm Thật vậy, do dai cực đại đặc trưng cho chuyển động này là chu vi của đường tròn mà một điểm nào đó nằm

trên bề mặt Trái đất ở xích đạo vạch nên Rõ ràng bán kính Trái đất không thể bỏ qua được so với độ dài này

Chất điểm ở xa các vật thể khác sao cho tương tác giữa nó với các vật thể

bên ngoài có thể bỏ qua gọi là chất điểm chuyển động tự do hay chất điểm cô lập

Le a TE

hệ với các vật thể bên ngoài hệ có thể bỏ qua gọi là hệ cô lập hay là hệ kến Vật rắn lý tưởng là một hệ chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất

kỳ của hệ không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động của hệ Vật rắn cô

lập goi là vật rắn chuyển động tự do

1.1.3 Hệ quy chiếu

Để nghiên cứu chuyển động của vật thể, người ta chọn những vật thể khác

nào đó làm mốc Hệ tọa độ gắn liền với vật làm mốc, mà ta quy ước đứng yên,

đề xác định vị trí của vật thể trong không gian, và chiếc đồng hồ gắn với hệ này

dé chỉ thời gian gọi là hệ quy chiếu Chọn hệ quy chiếu khác nhau, nói chung ta

sẽ nhìn thấy chuyển động của, cùng một vật diễn ra đơn giản hay phức tạp khác

nhau Khi nghiên cứu chuyển đông, ta nên chọn hệ quy chiếu nào để chuyển

động diễn ra đơn giản nhất Để chọn hệ quy chiếu như thế ta xuất phát từ việc nghiên cứu trường hợp chuyển động của chất điểm cô lập Hệ quy chiếu mà

trong đó chất điểm cô lập đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều gọi là hệ gu

chiếu quán tính Khẳng định sự tồn tại hệ quy chiếu quán tính trong tự nhiên

là nội dung của định luật quán tính Galileo (còn gọi là định luật I Newton) Sau này ta sẽ chỉ ra rằng mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một

hệ quy chiếu quán tính cũng là những hệ quy chiếu quán tính

1.1.4 KKhông gian và thời gian trong Cơ học cổ điển

Cơ học cổ điển nghiên cứu chuyển động của các vật trong không gian theo

thời gian với vận tốc rất bé so với vận tốc của ánh sáng trong chân không

Không gian và thời gian là những khái niệm cơ bản không những trong Cơ học

cổ điển mà cả trong vật lý nói chung Ta hãy nghiên cứu tính chất của thời gian và không gian trong cơ học cổ điển

Xét một quá trình vật lý bất kỳ xảy ra trong tự nhiên Đối với hệ quy

chiếu , khoảng thời gian trôi qua của quá trình là £¿ — ứ¡; đối với hệ quy chiếu

K' chuyển động bất kỳ tương đối đối với hệ quy chiếu K thì khoảng thời gian trôi qua của quá trình vật lý nói trên là f¿ — f¡ Trong Cơ học cổ điển thừa nhận rằng khoảng thời gian trôi qua của một quá trình vật lý bất kỳ trong mọi

hệ quy chiếu chuyển động tương đối đối với nhau một cách tùy ý là như nhau, |

nghĩa là

Đó là tiên đề về tính chất tuyệt đối của thời gian trong Cơ học cổ điển

Khi =ij =Ũ; to = 1, t, = t’ thi ta cd

Bây giờ ta nghiên cứu tính chất của

không gian Thực nghiệm chỉ rằng vị

trí của chất điểm M ở thời điểm £ đối

với hệ quy chiếu được xác định bằng

một tập hợp ba số gọi là ba tọa độ của

chất điểm (ví dụ z, g, z trong hệ tọa độ

Descartes) hay một bán kính vectơ 7 kẻ

từ gốc tọa độ Ó đến điểm A⁄ (hình 1.1) Hình 1.1:

Khai triển vectơ 7 này theo các vectơ đơn vi i, j,k đặt trên các trục

Oz, Oy, Oz cla hé toa dé Descartes Oxzyz ta nhận được

O day x, , z là những hình chiếu cia 7 trén cdc truc toa dé Oz, Oy, Oz Vi trí của chất điểm M nói trên ở thời điểm # = ¿ déi véi hé quy chiéu K’ chuyển động bất kỳ đối với hệ được xác định bằng bán kính vectơ 7 kẻ từ gốc tọa

độ oO _đến điểm M⁄ Tương tự như trên, khai triển vectơ f” theo các vecto don

vii’, 7’, k’ dt trén cAc truc O'x’, O'y’, Ơz của hệ tọa độ Descartes Ó'z⁄/z”, ta

có

r? = + V7 +2'k (1.3)

Bây giờ xét chuyển động của hai chất

điểm A⁄¡ và Mạ Vị trí tương đối của = t

chất điểm M⁄; đối với chất điểm M2 xét

trong hệ quy chiếu ở thời điểm £ = #

được xác định bằng vectơ (hình 1.2) Hình 1.2:

TTa = T3 — ï = (#a — #1) + (0a — ì)Ÿ + (2a — Z\)k

và xét trong hệ ” được xác định bằng vectơ

Đó là tiên đề về tính chất của không gian trong Cơ học cổ điển Tiên đề

này cũng chỉ đúng khi chuyển động của vật có vận tốc rất bé so với vận tốc ánh

6

CĨ Ưưeeevovveve,gr.ă mm

sing Khi hai diém M, va M; rất gần nhau thì khoảng cách dr giữa hai chất

điểm được xác định bằng đẳng thức

dr = (dz? + dụ? + dz2)1/2 (1.5) Khơng gian với đặc tính của nĩ được xác định bằng đẳng thức (1 5) gọi là khơng gian Euclid ba chiều Thực nghiệm chỉ rằng khơng gian trong Cơ học cổ

điển là khơng gian Euclid ba chiều Từ hệ thức 73 — ?¡ = Tạ — ri ta suy ra một

hệ thức đơn giản nhưng rất quan trọng đối với các bán kính vectơ của cùng một điểm trong các hệ quy chiếu khác nhau

Ký hiệu rợ là bán kính vectơ xác

định vị trí gốc @' của hệ quy chiếu K?

chuyển động đối với hệ K, 7 là bán kính

vectơ xác định vị trí của một điểm M

nào đĩ đối với hệ và r” là bán kính

vectơ cũng xác định vị trí của điểm M

nĩi trên đối với hệ quy chiếu K Khi

với vận tốc ánh sáng trong chân khơng thì các tiên đề về thời gian và khơng

gian được coi là "hiển nhiên" trên khơng cịn đúng nữa

1.2 Phương trình chuyển động Vectơ vận tốc và gia tốc

Phần này trình bày ba phương pháp mơ tả chuyển động của chất điểm

1.2.1 Phương pháp vectơ

Xét chuyển động của chất điểm AM đối với hệ quy chiếu K được quy ước

là đứng yên Giả sử chất điểm M chuyển động trên đường cong AB (hình 1.4)

Đường cong do chất điểm chuyển động vạch ra trong khơng gian gọi là quỹ đạo

của nĩ Vị trí của chất điểm M⁄ đối với hệ quy chiếu được xác định bằng bán

kính vectơ 7 kẻ từ gốc tọa độ Ĩ đến chất điểm M/ Khi chất điểm chuyển động

thì bán kính vectơ # thay đổi cả độ lớn và phương Vì vậy, bán kính vectơ ? là

hàm của thời gian

(1.7)

7 = F(t)

ea Aï ,,LÙ,Ắ_-

Hệ thức (1.7) xác định vị trí của

chất diém M trong không gian ở thời

điểm £ bất kỳ và được gọi là phương

trình chuyến động của chất điểm cho

dưới dạng vectơ Phương trình (1.7)

cũng được khảo sát như phương trình

quỹ đạo của chất điểm cho dưới dạng

Để đặc trưng cho sự thay đổi bán kính vectơ # theo thời gian ta đưa vào

khái niệm vectơ vận tốc Giả sử ở thời điểm ¿ chất điểm ở vị trí ?{ứ), ở thời

điểm £ + A¿ chất điểm ở vị trí r(t) + Af Đại lượng

Ar dr -

Aso At dt” (1.8)

goi là vectơ vận tốc của chất điểm ở thời điểm ¢ Vậy, vectơ vận tốc ỡ của chất

điểm là đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi theo thời gian của bán kính vectơ

7 và bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của r0)

Vectơ vận tốc ở của chất điểm là một hàm của thời gian ¿ Khi chất điểm

chuyển động, vectơ vận tốc có thể thay đổi cả độ lớn và hướng Để đặc trưng

cho sự thay đổi của vectơ vận tốc theo thời gian, ta đưa vào khái niệm gia tốc

Giả sử ở thời điểm ¿ vectơ vận tốc của chất điểm là Ø() và ở thời diém t + At

vectơ vận tốc của chất điểm là ữ(¿) + Au Đại lượng

¬.4

gọi là vectơ gia tốc của chất điểm M 64 thai diém t Nhu vay, vecto gia téc w

của chất điểm đặc trưng cho sự thay đổi theo thời gian của vectơ vận tốc và

bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vectơ vận tốc, hay bằng đạo hàm

bậc hai theo thời gian của vectơ 7{£)

=ữ=f# (1.9)

1.2.2 Phương pháp tọa độ tự nhiên

Trong phương pháp này quỹ đạo chuyển động của chất điểm cho biết trước

Ta chọn một điểm O, trên quỹ đạo làm điểm gốc để tính tọa độ cung s của

chất điểm (hình 1.5) Vị trí của chất điểm M trên quỹ đạo đã cho được xác

định bởi tọa độ cung s Khi chất điểm M chuyển động thì ta có

P —=fleb s = s(t) (1.10)

Phuong trinh s = s(t) dugc goi JA phương trình chuyển động của chat diém

theo quỹ đạo của nó Vectơ vận tốc ở va vectơ gia tốc của chất điểm có thể

biểu diễn dưới dạng

Or

ga _ ads dt dsdt "” _ 5, (1.12) M tina

Bi =f§4-E (gì?

vi để, CỐ

trong đó 7 = ds là vectơ đơn vị, tiếp tuyến với 3

quỹ đạo và hướng theo chiều chuyển động của

chất điểm l2

Vectơ 7 có trị bằng đơn vị nên d(7)? = 27d7 = 0 va do đó vectơ đ7 vuông góc

với vectơ 7 Vectơ đ7 hướng về phía lõm của quỹ đạo (hình 1.6) và nằm trong

mặt phẳng đi qua tiếp tuyến 7 và điểm A// khi điểm A⁄' tiến dần vô hạn đến

điểm Aƒ (mặt phẳng mat tiếp) Gọi 7 là vectơ đơn vị hướng theo chiều của,

ta kẻ đường thắng ăO vuông góc với T(t) tai Mf va dudng thang M’O vuong

goc vdi T(t + dt) tai Al’ Hai đường thắng này đều nằm trong mặt it phẳng mật

tiếp và giao nhau tại Ó Góc tạo thành giữa hai đường thẳng (ATOM’) bang

góc tạo thành giữa tiếp tuyến 7{¿) tại M/ va tiép tuyén 7(t+ dt) tai M’ va bing

dy Khi diém M’ tién dan vo han dén diém M thi doan thang MO tién dan đến

gidi han R R goi n bán kính chínhd khúc của đường cong tại M Vi đr = 1.dụ

va ds = Rdp nén lễ =p Vậy vectơ gia tốc toàn phần của chất điểm có thể

viết thành hai thành phần vuông góc với nhau

Thành phần Wr = = $7 tiếp tuyến với quỹ đạo gọi là gia tốc tiếp tuyến và thành

phan wa, = a vuông góc với tiếp tuyến 7 của quỹ đạo và hướng về tâm chính

khúc của đường cong gọi là gia tốc pháp tuyến

Để nghiên cứu chuyển động của chất điểm khi quỹ đạo của nó đã biết,

thuận tiện hơn cả ta dùng hệ tọa độ vuông góc tạo thành bởi các vectơ đơn vị

9

a Phương pháp tọa độ Descartes

Trong hệ tọa độ Descartes ban kính vectơ 7{f) xác định vị trí của chất

điểm Aƒ được biểu diễn dưới dạng (hình 1.7)

—

rít) = +(Đ£+ y()J + z()E (119)

trong d6 z,y,z là các thành phần của

Ƒ trên các trục tọa độ Hệ quy chiếu WV

được quv ước là đứng yên nên các vectØ

don vit.) va k khong thay đổi theo thời

gian, Khi chất điểm A/ chuyển đồng thì

các tọa độ z.1,z đều biến đổi theo thời

Các phương trình (1.20) gọi là các phương trình chuyển động của chất

điểm cho dưới dạng tọa độ Descartes Đó cũng chính là phương trình quỹ đạo

của chất điểm viết dưới dạng thông số trong tọa độ Descartes Khử thông số

† trong các phương trình (1.20) ta nhận được hai phương trình biểu diễn hai

mat cé dang

Giao tuyến của hai mặt này xác định quỹ đạo của chất điểm trong không gian

Các vectơ vận tốc ở và gia tốc t của chất điểm có thể viết dưới dạng

Biết được các thành phần của ở và tử trên các trục tọa độ ta xác định được độ

lớn và hướng của chúng theo các công thức sau đây

= \/t + tổ +02 = V⁄42 + 2 + 23, (1.26) cos(0 (v,7) = = —,cos(, 7) = Ở cos(ỡ , k) =, (1.27)

U U

w= a + 2 + 12 = V #2 +2 + 22, (1.28)

4 > a > Ụ = Zz

COS(U, 3) = —, cos(w, 7) = —, co (Wi) = =, c0s( wf, 7) = © cos( ia, k) = = k (1.29) 1.29

b Phương pháp toa độ trụ Trong hệ tọa độ tru, vị trí của chất diém M

trong không gian được xác định bởi ba tọa độ p, y va z Khi d6 ban kinh vecto

7 xác định vị trí chất điểm A/ được viết dưới đạng (hình 1.8)

Các vectơ đơn vi k, 7p, Ti, trong hệ tọa độ trụ liên hệ với các vectơ đơn vi i,j, k

trong hệ tọa độ Descartes được xác định bằng công thức

>

k =k,

Ti, = [k x Tỉ;] = —tsinp + j cosy

Khi chất điểm AM chuyển động thì các vectơ đơn vị Ny, Mp, thay đổi chiều

Các phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ có thể được biểu diễn dưới dạng

11

p = 0Œ),@ = @(),z= z(Ð — (1.33)

Khi z = 0 thì hệ tọa độ trụ chuyển thành

hệ tọa độ cực Trong trường hợp này các

phương trình chuyển động có dạng

p = p(t), = v(t) (1.34)

c Phương pháp tọa độ cầu

Vị trí của chat diém M trong hé toa

độ cầu được xác định bằng ba tọa độ r,0,w

(hình 1.9) Mối liên hệ giữa các tọa độ

Descartes và tọa độ cầu được xác định bằng

phương trình chuyển động của chất điểm

trong hệ tọa độ cầu có dạng

Hình 1.9:

Khi 0 = z/2 thì hệ tọa độ cầu chuyển thành hệ tọa độ cực Khi đó chất

điểm chuyển động trong mặt phẳng zÓy

1

sa fds= | uất = Sat? + Ot + Op,

trong đó cdc hing s6 Ci va Cp dugc xéc dinh tit cdc diéu kién ban dau Khi

t=t, thi v = uv, va Ss = So Khi đó ta có

an moar OE ee pane

Phương trình chuyển động của chất điểm có dạng

© = acos(wt),y = bbsin(œ£), z = 0, trong đó ø, 6 và „ là những đại lượng không đổi Tìm vận tốc, gia tốc và quỹ

đạo của chất điểm

Các thành phần của vận tốc và gia tốc của chất điểm trên các trục tọa độ

Mot chat diém M được treo dưới một sợi dây không dãn có độ dài / và

chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng Phương trình chuyển động của chất

điểm có dạng

@ = 0asin(ut)

trong đó ợ là góc lệch so với phương thẳng đứng, £ là thời gian, w và Yo la

những đại lượng không đổi Tìm vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp

tuyến của chất điểm

Gọi A là vị trí cân bằng của chất điểm và cung AM là s Ta có

s= lp = lppsin(wt), v= 8 =wly,cos(wt),

bán kính vectơ xác định vị trí của chất điểm M đối với hệ K và hệ K”; r+ là

bán kính vectơ xác định vị trí gốc Ó' của hệ K7 đối với hệ WK’ Xuất phát từ các tiên đề về không gian và thời gian trong Cơ học cổ điển, ta có

Ỏ đây kí hiệu i là lấy đạo ham theo thời gian của f và khi các vectơ đơn

vị Ủ, 7k không thay đổi hướng theo thời gian

Thiết lập quy luật biến đổi vận tốc và gia tốc của chất điểm Af khi chuyển

từ hệ sang hệ K”, ta thu được các kết quả sau:

Định lý cộng vận tốc:

Ữ = ủy + |ủ x r] + ữ = 0 + 0, (1.42) trong đó

là vận tốc của một điểm gắn chặt với hệ quy chiếu K7, và tại thời điểm này

Khi chất điểm Aƒ đứng yên đối với hệ K7 tại vị trí 7 thì = 0, = 0 và

W = Wr Dai lượng ty; gọi là gia tốc kéo theo, còn đại lượng d, gọi là gia tốc 7

Ciciolis xuất hiện do hệ K” quay đối với hệ K và do chất điểm M chuyển động —

với vận tốc tương déi v” không song song với ở

Ta cần lưu ý rằng, các hệ thức (1.37) chỉ đúng khi vận tốc của chất điểm

chuyển động rất bé so với vận tốc của ánh sáng trong chân không, vì thế các

định lý cộng vận tốc và gia tốc được suy ra từ các hệ thức này cũng chỉ đúng

trong điều kiện này

Một vài trường hợp đặc biệt:

a Khi chất điểm M đứng yên đối với hệ K” Trong trường hợp này ta có

Ư = ty Và tử = tử¿ Đó là vận tốc và gia tốc của chất điểm Mf "được gắn chặt"

với hệ K”

Khi hệ K” chuyển động tịnh tiến đối với hệ K (cc truc O'z’, O’y’, O’2’ của

hé K’ luon lu6n chuyén động song song với chính nd) thi d = 0 a i, có

=> ¬ ¬

Các hệ thức này chỉ ra rằng vận tốc và gia tốc của mọi điểm M bắt kỳ

đứng yên đối với hệ K’ trong chuyển động tịnh tiến là như nhau

Khi hệ K’ chuyển động quanh điểm cố định O' thì ở Ug = 0 va Wy = 0 Khi

đó vận tốc và gia tốc của chất điểm A/ bất kỳ đứng yên đối với hệ K7 có dạng

ữ = |ä x f];ữ = |ö x f] + [Ø x [ở x #1] (1.48)

KL

) Khi hé > quy chiếu K” chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu K với

vận tốc V = const Khi đó gốc Ó' của hệ K7 chuyển động với vận tốc không

déi ty = V = const, cdc truc Oz’ ,O'y’, O'z' của hệ K7 luôn luôn chuyển động

SOng song với chính nó và ¿ = 0 Nếu gốc Ó' ban đầu trùng với gốc Ó của hệ

K thì fy = Ứ‡ Các phương trình (1 37) khi đó viết lại như sau

Nếu ban đầu hệ X” trùng với hệ K và sau đó hệ Kí chuyển động thẳng

đều tương đối đối với hệ K dọc theo trục Óz với vận tốc V thì hệ thức (1.49)

15

được viết dưới dạng

z=Vt+z,

U=V,

t=t'

Vận tốc và gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu K và #” liên hệ với

nhau bằng các hệ thức đơn giản

Khi w = 0 thì ú = 0 và từ đó suy ra rằng khi ở = const thi v’ = const

Điều này có nghĩa là một chất điểm cô lập chuyển động thẳng đều đối với hệ

quy chiếu quán tính thì nó cũng chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu

K' Vậy, mợi hệ quụ chiếu K! chuuển động thẳng đều đối uới hệ quụ chiếu quán |

tính K đều là những hệ quụ chiếu quán tính

Từ các hệ thức (1.49), (1.51) và (1.52) ta thấy rằng mặc dù tọa độ và vận

tốc của chất điểm trong những hệ quy chiếu quán tính khác nhau là khác nhau,

nhưng vị trí tương đối, vận tốc tương đối của hai chất điểm M⁄¡ và Mạ, gia tốc

của chất điểm và khoảng thời gian là những đại lượng như nhau trong mọi hệ

quy chiếu quán tính

Một người đi bộ trên đường thẳng nằm ngang với vận tốc ơi Hạt mưa rơi

theo phương thẳng đứng với vận tốc ữ Xác định vận tốc ở của hạt mưa đối

với người đó

Chọn mặt đất làm hệ quy chiếu cố định, người đi bộ làm hệ quy chiếu

động Khi đó vận tốc ữ; của hạt mưa đối với mặt đất là vận tốc tuyệt đối, vận

tốc tị của người đối với mặt đất là vận tốc kéo theo, vận tốc # của hạt mưa

đối với người là vận tốc tương đối Theo công thức cộng vận tốc, ta có

ô che mưa theo phương của ở thì che mưa tốt nhất

Từ đó suy ra

16

1.4 Nguyên lý tương đối Galileo Ba định luật Newton

1.4.1 Định luật I Newton Nguyên lý tương đối Galileo

O mục 1.1.3 chúng ta đã đề cập đến khái niệm hệ quy chiếu quán tinh

Trơng hệ 3u chiêu quán tính chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng tên

hoặc chuye n dong thang déu Đó là nội dung của định luật I Newton hay tiên

dé thit nhat Newton

Nghiên cứu chuyển động của chất điểm cô lập đối với hệ quy chiếu quán

tính cho phép ta tìm được những tính chất của không thời gian trong hệ quy

chiếu này

e Không gian trong hệ quy chiếu quán tính là đồng nhất, nghĩa là mọi điểm

của không gian đều tương đương với nhau về mặt vật lý, vì nếu có một

điểm nào đó ưu tiên thì chất điểm cô lập sẽ thu được những gia tốc ở điểm

này

e Trong hệ quy chiếu quán tính, không gian có tính đẳng hướng, nghĩa là

mọi hướng của không gian là tương đương với nhau về mặt vật lý, vì nếu

có một hướng nào đó ưu tiên thì chất điểm cô lập sẽ thu được những gia

tốc theo hướng này

e Thời gian trong hệ quy chiếu quán tính là đồng nhất, nghĩa là mọi thời

điểm tương đương nhau về mặt vật lý, vì nếu có một thời điểm nào đó ưu

tiên thì chất điểm cô lập sẽ thu được những gia tốc tại thời điểm này

Như vậy, trong hệ quy chiếu quán tính không gian là đồng nhất và đẳng

hướng, thời gian là đồng nhất

Các hệ quy chiếu K và K7 chuyển động thẳng đều tương đối với nhay đều

là những hệ quy chiếu quán tính Mối liên hệ giữa các tọa độ và thời gian trong

các hệ quy chiếu quán tính và K” được xác định bởi công thức (1.49) hay

(1.50) Các công thức này gọi là phép biến đổi Galileo

Mặc dù tọa độ và vận tốc của chất điểm cô lập trong những hệ quy chiếu

quán tính K và K” khác nhau là khác nhau nhưng gia tốc của nó trong hai hệ

dt? dt?

Trong ý nghĩa này người ta cho rằng mọi hệ quy chiếu quán tính là tương đương

với nhau đối với định luật chuyển động thẳng đều của chất điểm cô lập Thực

nghiệm chỉ ra rằng không những chỉ có định luật chuyển động của chất điểm

cô lập là giống nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính mà tất cả những định

luật của tự nhiên đều giống nhau đối uới mọi hệ quụ chiếu quán, lính Nói khác

đi, những phương trình mô tả những định luật của tự nhiên được biểu điễn qua

tọa độ uà thời gian trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau cé dang grong hệt nhau, Đó là nội dung của nguyên lý tương đối

17

Kết hợp tiên đề về khoảng thời gian trôi qua trong mọi hệ quy chiếu quán

tính là như nhau (£ = #) với nguyên lý tương đối, ta có nguyên lý tương đối

Galileo Theo nguyén ly nay tat cả các định luật cơ học đều giống nhau trong

moi hé quy chiếu quán tính Về mặt toán học, điều đó có nghĩa là các phương

trình mô tả các định luật của Cơ học cổ điển sẽ không thay đổi dạng đối tới các phép biến đổi Galileo N6i khác đi, tất cả các định luật Cơ học cổ điển là

bất biến đối với các phép biến đối Galileo

1.4.2 Khối lượng và lực Định luật II Newton

Ta đã biết đối với hệ quy chiếu quán tính, chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều Đặc tính bảo toàn trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm cô lập gọi là quán tính

của nó Khi chất điểm tương tác với các vật thể khác thì vận tốc của nó không ngừng biến đổi theo thời gian và như vậy chất điểm thu được gia tốc Chất

điểm có quán tính lớn sẽ thu được gia tốc bé và ngược lại

Xét chuyển động của một hệ cô lập gồm hai chất điểm tương tác với nhau trong một hệ quy chiếu quán tính Khi tương tác, mỗi chất điểm của hệ thu được một gia tốc Thực nghiệm chỉ ra rằng khi các chất điểm chuyển động với vận tốc rất bé so với vận tốc của ánh sáng trong chân không thì các gia tốc của

các chất điểm A⁄ị và AM⁄s liên hệ với nhau bằng đẳng thức

trong dé wi, = = (i = 1,2) là gia tốc của chat diem M; thu được do chât điểm

My, tác dụng lên nó, œ là hằng số không thứ nguyên và dương Trị của œ liên

hệ với mức quán tính của các chất điểm Mạ và Mạ Khi œ > 1 thì |ửa| > |ứài|

và trong trường hợp này số đo mức quán tính của chất điểm Mj, lớn hơn số đo mức quán tính của chất điểm Mạ Khi œ = 1 thì |ửua| = |ửai| và khi đó số đo mức quán tính của hai chất điểm bằng nhau

Ta đưa vào các đại lượng rmị và ma xác định số đo mức quán tính của các

chất điểm A⁄¡ và M; bằng hệ thức như sau

Đại lượng zn¿ gọi là khối lượng của chất điểm M;, nó xác định số đo mức quán tính của chất điểm M;(¡ = 1,2) Trị của rm;(¡ = 1,2) càng bé thì gia tốc wiz của chất điểm A⁄; càng lớn và ngược lại

Kí hiệu rn là khối lượng của chất điểm và ở là vectơ vận tốc của nó Đại lượng p = mv goi lA vecto xưng lượng của chất điểm Trong hệ quy chiếu quán tính, xung lượng Ø của chất điểm tự do là đại lượng bảo toàn Khi chất điểm

18

tương tắc với các vật thể bên ngoài thì xung lượng của nó không ngừng biến

đổi theo thời gian Độ biến thiên xung lượng của chất điểm trong một đơn tị

thoi gian —- là đại lượng uectơ đặc trưng cho tác dựng của uật ngoài lên chất

điểm gợi là lực Định nghĩa này của lực là dựa vào hiệu quả tác dụng của vật ngoài lên chầt điểm

Trong Cơ học cổ điển, khối lượng rn là đại lượng không thay đổi và khi đó

dp — mow

ta cd nH a = mw Vay trong trường hợp này iực tác dụng lên chất điểm bằng tích giữa khối lượng uà bần tốc của nó

Thực nghiệm chỉ ra rằng lực do Trái đất tác dụng lên các chất điểm M và

M; ở cùng một vị trí bằng MW, VA Mow, v6i Wy = tủ = g Vectd gia tốc g la

như nhau đối với mọi chất điểm khác nhau ở cùng một vị trí Bởi vì tì = tạ = ÿ

nên chất điểm nào có khối lượng lớn hơn sẽ bị Trái đất hút nó một lực hướng

về phía tâm Trái đất lớn hơn Ở trên ta đã nói rằng khối lượng của chất điểm

là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức quán tính của nó Ở đây ta thấy rằng khối lượng quán tính của chất điểm liên hệ với mức hấp dẫn của nó Đại lượng

vật lý đặc trưng cho mức hấp dẫn của chất điểm gọi là khối lượng hấp dẫn của

nó Thực nghiệm với độ chính xác rất lớn đã khẳng định rằng: Khối lượng quán

tính và khối lượng hấp dẫn của một chất điểm là trùng nhau

Vậy, khối lượng của chất điểm là đại lượng tột lý đặc trưng cho múc hấp dẫn uà rmnúc quán tính của nó

Khối lượng rm và gia tốc œ của chất điểm là những đại lượng bất biến đối

với các phép biến đổi Galileo Vì vậy lực mmử tác dụng lên chất điểm xét trong

hệ quy chiếu quán tính cũng là đại lượng vật lý bất biến đối với các phép biến đổi Galileo Từ đó suy ra lực là hàm của các đại lượng vật lý khác mà những

đại lượng này cũng bất biến đối với các phép biến đổi Galileo

Ta biết rằng vị trí tương đối giữa các chất điểm 7 = ria = 72 — r1, vận

tốc tương đối giữa các chất điểm = 0a = tạ — v1, thời gian ¿; điện tích q và

khối lượng rn của chất điểm trong Cơ học cổ điển phi tương đối tính là những

đại lượng bất biến đối với các phép biến đổi Galileo Nếu kí hiệu một tập hợp

những đại lượng bất biến đối với các phép biến đổi Galileo vừa kể trên bằng chữ z, lực tác dụng lên chất, điểm bằng chữ # thì thực nghiệm chỉ ra rằng: lực

# là hàm của z, nghia la F = F(x ) Định nghĩa này của lực dựa vào các đại

lượng đặc trưng cho trạng thái của chất điểm và của các vật xung quanh Hai

định nghĩa này của lực là ư và F(a) vita trinh bay, xét trong một hệ đơn vị

đo lực, có thể viết thành đẳng thức ~

Dang thức này có ý nghĩa cụ thể của một định luật khi sự phụ thuộc của lực

P vào z đã được thiết lập Cho lực F, nghĩa là cho biết sự phụ thuộc của F vào z thì chuyển động của chất điểm sẽ được mô tả bằng phương, trình (1.57) Phương trình này gọi là phương trình cơ bản của động lực học chất điểm và có

19

thể phát biểu như sau: Dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động tới gia

tốc cùng hướng uới hướng của lực uà có độ lớn tỉ lệ thuận uới độ lớn của lực va

tỉ lệ nghịch uới khối lượng của nó Đó là nội dụng của định luật II Newton hay

tiên đề thứ hai Newton

Nếu có n lực Fi, Pa, = LH ° Fy đồng thời tác dung lên chất điểm có khối

lượng m thì mỗi lực F; Bay ho chất điểm một gia tốc d”; = ae Co hoc cé dién

thừa nhận nguyên lý về tính độc lập tác dụng của lực như sail Các gia tốc tủ,

của chất điểm do các lực F¡ gâu nên là không phụ thuộc lẫn nhau va gia tốc

toàn phần tủ của nó bằng tổng hành học của các gia tốc thành phần w;, nghĩa là

học chất điểm dưới tác dụng của một hệ lực Phương trình này có thể phát

biểu như sau: Gia tốc toàn phần của chất điểm đối uới hệ quụ chiếu quán tính

có chiều cùng uới chiều của hợp lực tác dựng lên nó, có độ lớn tỉ lệ thuận uới

độ lớn của lực tổng hợp và tỉ lệ nghịch uới khối lượng của nó

1.4.3 Định luật III Newton

Trên đây ta chỉ nghiên cứu chuyển động của chất điểm dưới tác dụng của

các vật thể bên ngoài Thực ra khi các vật bên ngoài tác dụng lên chất điểm thì

chất điểm cũng tác dụng lên các vật bên ngoài Khi tương tác lẫn nhau những

chất điểm có khối lượng khác nhau sẽ thu được những gia tốc khác nhau Theo

nguyên lý về tính độc lập tác dụng của lực thì tương tác giữa hai chất điểm

M; và M¿ không phụ thuộc vào sự có mặt của các chất điểm còn lại nên dù hai

chất điểm AM; và ă„ có làm thành một hệ cô lập hay không, bao giờ ta cũng có

trong đó Fi, = m0, 1a luc do chất điểm k tác dụng lên chất điểm ¡ và

Fy = my; là lực do chất điểm ¡ tác dụng lên chất điểm k Như vậy, lực do

chất điểm My, tác dụng lên chất điểm M; (đặt ở chất điểm M; i) va luc do chất

điểm M, tác dụng lên chất điểm My (đặt ở chất điểm My ) bao giờ cũng bằng

nhau uề độ lớn, ngược nhau uễ chiều uà có cùng giá là đường thẳng nối hai chất

điểm M, uà Mạ Đó là nội dung của định luật III Newton vé su can bing nhau

của tác dụng và phản tác dụng hay tiên đề thứ ba Newton

Cần chú ý rằng, lực và gia tốc trong Cơ học cổ điển là những đại lượng bất

biến đối với phép biến đổi Galileo, cho nên khi chuyển từ hệ quy chiếu quán

tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác thì các định luật Newton đều bất

biến đối với phép biến đổi này

1.5 Hai bài toán cơ bản của động lực học chất điểm

1.5.1 Bài toán thuận

Cho biết khối lượng zn của chất điểm và phương trình chuyển động của nó

Cho biết khối lượng mm của chất điểm, cho biết lực tác dụng lên chất điểm

như một hàm của 7, ở và ý và cho biết vị trí ¿, vận tốc Up cia chat điểm ở thời

điểm ban dau t, thì ta có thể xác định được # và ở ở thời điểm bất kỳ

Thật vậy, giải bài toán này thường dẫn đến giải hệ ba phương trình vi

phân hạng hai thường

Mr = F,(x, y, Z, 2, Ù, z,t),

mz = F(a, Y, Z, ZL, U› z, t)

Nghiệm tổng quát của hệ ba phương trình (1.63) này phụ thuộc vào sáu hằng

số tích phân tùy ý C¡, Œạ, , Œạ và có thể viết dưới dạng

t= x(t, Ci, Ca, sen Cs),

y= y(t, Ch, Co, g Cạ), (1.64)

2= z(t, Ci, Ca, ai Cs)

Dao hàm bậc nhất theo thời gian các phương trình (1.64) ta nhận được #, ÿ, ¿

là hình chiếu của vectơ vận tốc của chất điểm trên các trục tọa độ

21

Ci = C¡(t¿, Lo; Yo: 20; Lo, Yo: đụ)

Ca — Co(to, Ta; Yo; Zo; Dey Ua, Ba)

Cuối cùng đặt (1.66) vào (1.65), ta nhận được nghiệm tổng quát của hệ (1.63)

dưới dạng

r= x(t, bey Zo; Yo Zo; Poy Yos zo);

U = y(t, to; Lo, Yos Zo; igs Gon Zo), (1.67)

z= 2(t, to, Lo, Hos Zon ox on Sa)

hay

r= rt, to, Tos Uo) (1.68)

Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian của (1.68) ta nhận được

U = U(t, to, Fo, Uo)- (1.69)

Nhu vậy, nếu cho biết khối lượng của chất điểm, biết lực tác dụng lên chất

điểm là hàm của vị trí, vận tốc và thời gian, đồng thời cho biết các điều kiện

ban đầu 72, U, thì ta xác định được vị trí 7 và vận tốc ở ở thời điểm ¿ bất kỳ

Trạng thái của chất điểm trong cơ học được xác định bởi vị trí và vận tốc của

nó

Thực tế, không phải khi nào cũng có thể giải được hệ ba phương trình

vi phân (1.63) cho đến cùng để tìm nghiệm tổng quát của chúng Tuy nhiên

đôi khi ta cũng có thể nhận được tích phân ban đầu của phương trình chuyển

động (1.63) Thật vậy, nếu giả sử rằng sau khi thực hiện một lần tích phân, hệ

phương trình (1.63) có thể đưa về dạng tương đương

22

trong do Cy, C2, C3 1d cae hằng số tích phân tùy ý và gọi là các tích phân ban

đầu của phương trình chuyển động, hay gọi tắt là các tích phân đầu của chuyển

động, Đồ là những hầm của tọa độ, vận tóc và thời gian Khi chất điểm chuyển động các hầm đó giữ giả trị không đổi và giá trị đó được xác định từ những

điều kiện bạn đầu, Sau này ta sẽ thấy các định luật bảo toàn là các tích phân đầu của chuyên động

Nếu biết được các tích phân đầu của chuyển động thì việc giải bài toán

ngược của động lực học chất điểm sé dé dang hơn vì khi đó ta có thể đưa các phương trình vi phân hạng hai ban đầu về các phương trình ví phân hạng nhất Thật vậy, giải (1.71) đổi với #, ở, š, ta nhận được

Lực phụ thuộc vào vị trí của chất điểm liên quan mật thiết với khái niệm

về trường lực Trường lực là khoảng không gian vật lý mà chất điểm đặt tại mỗi điểm của nó chịu tác dụng của lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm ấy

Vectơ lực £ = F(?) của trường không phụ thuộc vào vectơ vận tốc và vectơ gia

tốc của chất điểm Trường lực mà vectơ lực của nó được biểu diễn dưới dạng

OU IU ~=0U ~0U )

F() = ~gradU() =—gg = —(fS; + Ig, + BS (1.73)

trong đó (7) là hàm vô hướng chỉ phụ thuộc vào vị trí chất điểm, gọi là trường

lực thế Lực của trường lực thế gọi là lực thế và đại lượng vô hướng U (7) gọi

là thế năng của chất điểm ở vi tri 7

Chiếu hai vế của (1.73) lên các trục tọa độ, ta được

hay ;

Các thành phần của lực đàn hồi, lực hấp dẫn và các lực tĩnh điện thỏa

mãn điền k kis Sn (1.75), vay ede lye nay 1A nhiing lye thé

Cho thể nàng ự) ta xác định được lực thế F theo (1.73) hay (1.74), Ngược lại cho lực thế F ta cé thé tinh được thể năng U(r"), Chu ¥ ring déi

với trường lực thể dừng (trường lực thể không phụ thuộc tường mình vào thời gian), tà có

dl = Gye + Sve Sas = —(Frdxr + Fydy + F:dz) = -—Fdr (1.77)

Tích phân hai về đẳng thức (1.77), ta nhận được

trong đó Œ là hằng số tích phân được xác định tùy thuộc vào việc chọn mốc

tính thế năng

1.6.2 Công của lực thế Biểu thức thể năng

Đại lượng bằng tích vô hướng giữa lực #' tác dụng lên chất điểm và vectơ

dịch chuyển dr của nó gọi là công nguyên tố của lực trên dịch chuyển đ?, kí

Công nguyên tố ô4 nói chung không phải là một vi phân toàn phần và do

đó công 41 phụ thuộc vào dạng đường cong quỹ đạo của chất điểm nối từ điểm đầu đến điểm cuối Nếu lực #° là lực thế thì 6A = —dU nghĩa là công nguyên

tố là một vi phân toàn phần và công 4 không phụ thuộc vào dạng đường cong quỹ đạo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của chất điểm

Công A của lực thế có thể viết dưới dạng

Đẳng thức này có thể phát biểu như sau: công của lực thế đặt lên chất điểm

trên một quãng đường hữu hạn nào đó bằng hiệu thế năng của chất điểm tại uị

24

7 TỬ IS I SLID LE LGR AR NEL ADE XU HC

tri dau va vi tré cudi ctia nd Néu chon gốc tính thế năng tại vị trí 7, nghĩa là

đặt /(72) =0, ta có

U(1): -f Fdr - [- Fdr (1.82)

Đăng thức (1.82) cho thay thé năng của chất điểm tại 0ị trí r “bảng công của

luc thé dat lên chất điểm, khi nó dịch chuyển từ uị trí T đến vi trie, ma tai dd

thế năng của nó bằng không (U(r,) = 0)

Biết được sự phụ thuộc của luc thé F vio # ta xác định được thé nang

Chú ¥ ring F = Ae) va v= =, ta được

5A = Far = 4 (ma)dr = td(mi) = a(5 = = yWnU)dT = 0dm0 mà), 1.85) (1.85

Dai lugng T = xm gọi là động nang cua chat điểm Dang thitc (1.85) dién ta

dinh ly bién thién dong nang cua chat diém viét dudi dang vi phan: Vi phan

động năng của chất điểm bằng công nguyên tô của lực trên dịch chuuển dữ Tích

phân hai vế đẳng thức này, ta thu được

i” mu? mv?

Đẳng thức (1.86) được phát biểu như sau: Điến thiên động năng của chất điểm

trên một quãng đường hữu hạn nào đó bằng công của lực tác dụng lên chất điểm

trên cừng quãng đường đó Đó là định lý biến thiên động năng của chất điểm

Vậy, mômen xưng lượng của chất điểm chuyển động trong trường lực thé cuyén

tam doi vdi tam O ctia trường là tích phân đầu của chuyén động hay là đại

lượng bảo toàn

CÂU HOI ON TAP VA BAI TAP CHUONG I

Cau hoi 6n tap

1 Tính chất của không thời gian trong Cơ học cổ điển

2 Vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của chất điểm Phương trình chuyển động

và phương trình quỹ đạo của chất điểm

3 Thiết lập biểu thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm trong hệ tọa

độ trụ và hệ tọa độ cầu

4 Nguyên lý tương đối Galileo và ba định luật Newton Các khái niệm lực,

khối lượng

5 Khái niệm lực thế Công của lực thế và thế năng

6 Định lý biến thiên động năng và định luật bảo toàn cơ năng của chất

2 Xác định vận tốc và gia tốc của chất điểm tại vị trí bất kỳ của quỹ đạo,

biết phương trình chuyển động của chúng có dạng

c x= acoswt + bsin 2 = asinwt — bcos >

d.z= Reoswt+wRtsinuwt, y = Rsinwt — wRtcoswt

e2=6+4t?,y = 3t?-1

g.r=a(1+t*),p = arctant

27

ee a EE ae ee ee) si

h r=e',y = 2t, G=¥z

với a,w,k, R, b la các hằng sé

3 Xác định phương trình chuyển động theo quỹ đạo s = s(£), biết phương

trình chuyển động của chất điểm có dạng

l = a(2 cost + cos 2t), y = a(2sint — sin 2t)

v6i a,w, R,b la cdc hang số

4 Thanh AB có khối lượng không đáng kể, độ dài /, dao động quanh điểm

B trong mặt phẳng thẳng đứng với góc lệch @ = wt; diém B dao động trên mặt phẳng nằm ngang theo phương trình z = ø-bsinu# Xác định vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của điểm A

5 Tàu biển đi theo phương hợp với kinh tuyến góc œ không đổi với vận

tốc đều u Xác định gia tốc của tàu

6 Một chất điểm chuyển động nhanh dần đều theo đường tròn từ trạng thái đứng yên Xác định tỉ số giữa gia tốc toàn phần của chất điểm đó sau m

vòng và sau một vòng

7 Chất điểm chuyển động với vận tốc đầu uạ theo đường tròn bán kính R Gia tốc tiếp tuyến tỉ lệ với căn bậc hai của gia tốc pháp tuyến Xác định vận tốc và phương trình chuyển động s = s(£) của chất điểm

8 Chất điểm bắt đầu chuyển động từ A theo đoạn thẳng AB với vận tốc bất kì Lấy một điểm Ó ngoài AB làm cực và OA làm trục cực Tìm phương

trình chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ cực

9 Chất điểm chuyển động theo đường parabol y = kz? với gia tốc không đổi bằng a (ø và k là hằng số) Xác định gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp

tuyến của chất điểm

10 Khẩu súng được đặt trên mô đất có độ cao h so với phương nằm ngang

trên mặt đất Ox Van téc ban đầu ở, của viên đạn hợp với phương Ox goc a

Bỏ qua sức cản của không khí, xác định xem với giá trị nào của œ thì tầm xa của viên đạn là cực đại

28

11 Xác định lực tông hợp tác dụng lên chất điểm và gây ra chuyển động

của nó với các phương trình chuyến động có dạng

v6i R,w,a,1ro,u la cdc hang số

12 Vat khdéi lugng m chuyén động từ dưới lên theo phương thăng đứng Óz

với vận tốc đầu tạ Lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương vận tốc Xác định độ cao cực đại mà vật lên được và thời gian vật lên đến độ cao đó

13 Một hạt có khối lượng mm, điện tích ạ chuyển động trong điện trường có

cường độ E = E,sin “ỉ (E,.a là các hằng số, ¡ là vectơ đơn vị trên trục Óz)

Tìm phương trình chuyên động của hạt biết rằng tại thời điểm ban dau cua

chuyển dong r(o) = 0, % = u,k, k 1A vecto don vi trén truc Oz

14 Chất điểm khối lượng rn chuyển động với vận tốc đầu tạ theo đường

thắng nằm ngang Óz dưới tác dung cia luc Fr = —axr — G2°, (a, 3 = const)

Sau khoảng thời gian bằng bao nhiêu thi vận tốc cla chat diém gidm di n lan Tìm quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó.

Chương 2

CƠ HỌC HE CHAT DIEM

>1 ^ ^ 2 ^ 2 -2

2.1, Phương trình chuyển động của hệ chất điểm

Xét một hệ gồm @ chất điểm Mì, NFạ, , XÍv Lực tác dụng lên chất điểm

của hệ kín chia thành nội lực và ngoại lực Nội lực là lực do các chất điểm của

hệ tương tác với nhau, còn ngoại lực là lực do các vật thể ngoài hệ tác dụng

lên các chất điểm trong hệ Kí hiệu #%¿ là nội lực do chất điểm M, tac dung lên

chất điểm A⁄¿ của hệ Nội lực do (N — 1) chất điểm còn lại tác dụng lên chất

điểm k của hệ bằng Fi = v Tụ với ? # k Ngoại lực tác dụng lên chất điểm

f= |

M, cua hé ki hiéu bing Fe Chuyển động của hệ N chất điểm đối với hệ quy

chiếu quán tính được xác định bởi W phương trình vi phân hạng hai sau

dr re Ri

Mee = Fe + FE (k = 1,2, ,N) (2.1)

i0) = Fet+ 3 „lu (£#k,Ê= 1,9, NV), (2.2)

trong d6 py = mv, 1a xung lugng cla chất điểm mx Tim nghiém téng quat

cua hé N phuong trinh vi phân hạng hai (2.2) là một bài toán võ cùng phức

tạp Vì lẽ đó cho nên việc xác định các định lý, định luật tổng quát mà chuyển

động của hệ phải tuân theo là rất quan trọng Trong chương này chúng ta hãy

nghiên cứu những định lý và định luật tổng quát về chuyển động của hệ Các

định lý này được xây dựng dựa trên các định luật Newton Nhờ các định lý

tổng quát này mà ta biết được những tính chất quan trọng của chuyển động

mà không cần biết chi tiết về chuyển động ấy

2.2 Định lý biến thiên và định luật bảo toàn xung lượng

của hệ

Theo phương trình (2.1), nội lực tác dụng lên chất điểm AM⁄¿ của hệ có thể

được viết dưới dạng

SE DNNN.000 v22 co eo gg TY CC Oo ˆ - HƯƠNG -ÀWhAGsdiMhkvtS0MAE=- - ^9W007NNeA~<9090n9/9°2ngdWSdrsesfieweesgr hsosếWtemwae- et a diel

Từ định luật III Newton Fhụ = —Fy suy ra tổng nội lực tác dựng lên mọi chất điểm của hệ bằng không, có nghĩa là

N

k=1 k ( Thay (2.3) vào (2.4) ta nhận được

Đại lượng P bằng tổng hình học xung lượng của các chất điểm của hệ gọi

là xung lượng của hệ và đại lượng Fe 14 tổng ngoại lực tác dụng lên các chất

điểm của hệ Phương trình (2.5) có thể phát biểu như sau: Đạo hàm uectơ rung

lượng của hệ theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm của hệ

Đó là định lý biến thiên xung lượng của hệ

Chiếu đẳng thức (2.5) lên các trục tọa độ, ta được

Nếu Ƒ*# = 0 thì P; là đại lượng bảo toàn Nghĩa là P;¿ = P;¿ = cơnst; P;„

là thành phần P; ở thời điểm ban đầu Đối với hệ kín thì các chất điểm của hệ không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng, khi đó F*° = 0 và ta có

2.3 Khối tâm của hệ Định lý chuyển động của khối tâm

Xét chuye én động của hệ chất điểm đối với hai hệ quy chiếu quán tính K

và K“ Nếu gốc Ó' của hệ K7 chuyển động đối với hệ K với vận tốc Vy thì các

vectơ vận tốc và ty của chất điểm Aƒz của hệ đối với hệ quy chiếu K và K?

liên hệ với nhau bằng hệ thức ở, = Vy + U, Cac dai lugng P= S > mei và

k

= So mi là xung lượng của hệ đối với hệ quy chiếu và K” Giữa P và

?' liên hệ với nhau bằng một hệ thức đơn giản

_~

P= Dm = dma (Ủy — Vy) = P- mVy = [Somali ~ Z2), (2.8)

k trong đó mm = )„ m¿ là khối lượng của hệ Khối lượng của hệ bằng tổng khối

lượng của tất cả các chất điểm bên trong hệ Khối lượng là đại lượng có tính

hệ chất điểm Hẹ K' có gốc gắn với khối tâm của hệ gọi là hệ quy chiếu khối

tâm hay hệ tâm quán tính

Từ (2.9) ta thấy rằng xung lượng của hệ đối với hệ tâm quán tính bằng

không và đối với hệ quy chiếu quán tính K bằng tích của khối lượng toàn bộ

hệ với vận tốc của khối tâm của nó Mối liên hệ giữa xung lượng của hệ giống

như mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng đối với một chất điểm Vì thế cho nên ta có thể xem xung lượng của hệ như xung lượng của một điểm nằm ở khối tâm và điểm đó có khối lượng bằng khối lượng của hệ

Thay biểu thức của ở (2.9) vào (2.5) ta nhận được định lý về chuyển động của khối tâm của hệ

Néu F® = 0 thi Vo = const, nghia là khối tâm đứng yên hoặc chuyển động

thẳng đều Chiếu (2.11) lên các trục tọa độ, ta thu được

mic = FY, myc = Fy,mic = F¥ (2.12)

Các phương trình (2.11) hay (2.12) là những phương trình chuyển động của khối tâm đối với hệ quy chiếu quấn tính

32

2.4 Định lý biên thiên và định luét bao toan momen

xung lượng của hệ

Xét một hệ W chất điểm Chọn gốc Ó làm

góc tọa độ Vị trí của các chất điểm Af, và Af;

được xác định bằng các bán kính vectd 7+ và

r¿ Vị trí tương đối giữa chất điểm Af„ và Af;

được xác định bằng vectØ 7+ = 7+ — 7; Theo

định luật III Newton, chất điểm Aƒ; tác dụng

lên chất điểm ăz¿ một lực Fue thì ngược lại chất

điểm Ä⁄¿ cũng tác dụng lên chất điểm Aƒ;¿ một

Vì vectơ 71¿ nằm trên đường thẳng tác dụng của lực Fò¿ cho nên tích hữu

hướng giữa r1¿ và +; luôn luôn bằng không, nghĩa là

[The x Tu] — [ứi — Tt) x Frye = [7x x Fkị + [r: x Fix = 0 (2.13)

Dai lugng [7% x Fie] goi la momen ciia luc Fye déi voi diém Ó Ta có thể chứng

minh được

3 )If x Fil = Do [Fee x Fae] = 0 (2.14)

Dang thức này có thể phát biểu như sau: Tổng mômen của các nội lực tác dựng

lên các chất điểm của hệ đối uới điểm O bat kà bằng không

Dùng kết quả này với biểu thức nội lực Fi = —F£ + ai mktk), ta nhận

đối với điểm Ó và đại lượng L gọi là mômen xung lượng của hệ đối với điểm

Ó Mômen xung lượng của hệ đối với điểm Ó bằng tổng hình học mômen xung

lượng của tất cả các chất điểm của hệ đối với điểm O Đại lượng [Z¿ x F?] là mômen của ngoại lực Fe tác dụng lên chất điểm Aƒ¿ đối với diém O va dai lượng M gọi là mômen của ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm O Momen của ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm O bing tổng hình học mômen của

các ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ đối với điểm Ó Phương trình

33

(2.16) có thể phát biểu như sau: Đạo hàm ueetơ mômen xung lượng của hệ đối

voi mot điểm theo thời gian bằng tổng mrômen ngoại lực tác dụng lên các chất

điểm của hệ đối uới cùng điểm ấu Đó là định lý biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm

Chiếu hai về (2.16) lên các trục tọa độ, ta được

Từ (2.16) ta suy ra: Nếu thành phần của tổng mmômen ngoại lực trên rnột

trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của mômen

tung lượng của hệ trên trục đó được bảo toàn

Trong trường hợp hệ kín, tất cả các lực Fe = 0(k = 1,2, ,N), cho nén

luật bảo toàn tổng quát nhất đối với hệ kín

Nếu #£ z 0 nhưng Ä⁄ = 0 thì ta vẫn có đẳng thức như (2.19), nghĩa là nếu

tổng mômen của các ngogi lực tác dựng lên hệ đối uới một điểm luôn luôn bằng không thà mômen xung lượng của hệ đối uới điểm ấu sẽ không đổi Đó chính là định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ

Chú ý rằng định lý biến thiên mômen xung lượng của hệ không những đúng đối với điểm Ó cố định mà còn đúng đối với điểm là khối tam Œ của hệ

Nếu tất cả các chất điểm M¿y của cơ hệ đều quay xung quanh một trục Óz

cố định với các vận tốc góc ¿ khác nhau thì ta có

hạ = » dy?nkUk = So mdiwr, (2.20)

trong dé d, 1a khoang cach tit chat diém M;, dén truc Oz

Từ phương trình (2.20) suy ra rang khi M, = 0 thi L, = const

Nếu tất cả các điểm Ä⁄¿ của hệ đều quay xung quanh trục Oz cố định với cùng vận tốc œ (nghĩa là hệ quay như vật rắn) thì biểu thức của L; có dang

đơn giản

34