- Neáu lieân keát cuûa thanh trong hai maët phaúng quaùn tính khaùc nhau thì khi maát oån ñònh thanh seõ cong trong maët phaúng coù ñoä maûnh lôùn vaø caùc ñaïi löôïng J , i seõ laáy [r]
(1)GV: Lê đức Thanh
Chương 11
ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 11.1 KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG
Để đáp ứng yêu cầu chịu lực bình thường, phải thỏa mãn điều kiện bền cứng, trình bày chương trước Tuy nhiên, nhiều trường hợp, phải thỏa mãn thêm điều kiện ổn định. Đó khả trì hình thức biến dạng ban đầu bị nhiễu. Trong thực tế, nhiễu yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính độ cong ban đầu, nghiêng lệch tâm lực tác dụng
Khái niệm ổn định minh họa cách xét cân cầu mặt lõm, lồi phẳng H.11.1
Nếu cho cầu chuyển dịch nhỏ (gọi nhiễu) từ vị trí ban đầu sang vị trí lân cận bỏ nhiễu thì:
- Trên mặt lõm, cầu quay vị trí ban đầu: cân vị trí ban đầu ổn định.
- Trên mặt lồi, cầu chuyển động xa vị trí ban đầu: cân vị trí ban đầu không ổn định
- Trên mặt phẳng, cầu giữ nguyên vị trí mới: cân vị trí ban đầu phiếm định
Hiện tượng tương tự xảy cân trạng thái biến dạng hệ đàn hồi Chẳng hạn với chịu nén H.11.2 Trong điều kiện lý tưởng (thanh thẳng tuyệt đối, lực P hồn tồn tâm ) giữ hình dạng thẳng, co ngắn chịu nén tâm Nếu cho điểm đặt lực P chuyển vị bé δ lực ngang gây ra, sau bỏ lực xảy trường hợp biến dạng sau:
(2)GV: Lê đức Thanh
+ Nếu lực P nhỏ giá trị Pth đó, gọi lực tới hạn, tức P < Pth, phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng Ta nói làm việc trạng thái ổn định
+ Nếu P > Pth chuyển vị δ tăng bị cong thêm Sự cân trạng thái thẳng (δ = 0) khơng ổn định Ta nói trạng thái ổn định Trong thực tế có chuyển vị δ chuyển sang hình thức biến dạng bị uốn cong, khác
trước tính chất, bất lợi điều kiện chịu lực
+ Ứng với P = Pth giữ nguyên chuyển vị δ trạng thái biến dạng cong Sự cân trạng thái thẳng phiếm định Ta nói trạng thái tới hạn
H.11.3 giới thiệu thêm vài kết cấu bị ổn định dầm chịu uốn, vành tròn chịu nén đều…
Khi xảy ổn định dù dẫn tới sụp đổ tồn kết cấu Tính chất phá hoại ổn định đột ngột nguy hiểm Trong lịch sử ngành xây dựng xảy thảm họa sập cầu ổn định
thanh dàn chịu nén cầu Mekhelstein Thụy Sĩ (1891), cầu Lavrentia Mỹ (1907) Vì thiết kế cần phải đảm bảo điều kiện ổn định, điều kiện bền điều kiện cứng nêu trước
Điều kiện ổn định: [ ]
ôđ ôđ
k P P
P≤ = th (11.1) Hay : [ ]
ôđ ôđ
k P P
N th
z ≤ = (11.2)
kơđ : Hệ số an tồn mặt ổn định, quy định, thường lớn hệ số an toàn độ bền n
P ( hay Nz ) : Lực nén ( nội lực nén ) P<Pth
a)
P= Pth
δ P>Pth
TT n định
b)
TT tới hạn
c)
TT n định
H 11.2 Sự cân TT biến dạng
q > qth
P > Pth
(3)GV: Lê đức Thanh
11.2 KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN ĐÀN HỒI
1- Tính lực tới hạn Pth có kết khớp hai đầu ( Bài toán Euler)
Xét thẳng liên kết khớp hai đầu, chịu nén lực tới hạn Pth Khi bị nhiễu,
thanh bị uốn cong cân hình dạng H.11.4a
Đặt hệ trục toạ độ (x,y,z) H.11.4a Xét mặt cắt có hồnh độ z ;
Độ võng mặt cắt nầy y
Ta có phương trình vi phân đường đàn hồi:
EJ M
y''=− (a)
Với: mômen uốn M = Pth y (b) (từ điều kiện cân H.11.4b) (b) vào (a) ⇒
EJ y P
y'' = − th hay ''+ y=0
EJ P y th
Đặt:
EJ Pth
=
2
α ⇒ y''+α2y = (c) Nghiệm tổng quát (c) là:
sin( ) cos( )
y = A αz +B αz (d)
Các số xác định từ điều kiện biên y(0) = y(L) = Với: y(0) = ⇒ B =
y(L) = ⇒ Asin(αL) =
để tốn có nghĩa y(z) ≠ ⇒ A≠ 0, ⇒ sin(αL)=0
phương trình có nghiệm αL=nπ , với n = 1, 2, 3,
⇒ th 22
n EJ P
L
π
= (e)
Thực tế, lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ theo (e) ứng với n = bị cong Vì vậy, giá trị ứng với n > khơng có ý nghĩa
Ngoài ra, cong mặt phẳng có độ cứng uốn nhỏ nhất Do đó, cơng thức tính lực tới hạn thẳng hai đầu liên kết khớp là:
th
EJ P
L
π
= (11.3)
Đường đàn hồi tương ứng có dạng nửa sóng hình sine: y Asin( z)
L
π
= (11.4)
với: A số bé, thể độ võng nhịp
H 11.4
l y(z)
Pth
y
M y
b) Pth Pth
(4)GV: Lê đức Thanh
2- Tính Pth có liên kết khác đàu
Áp dụng phương pháp cho có liên kết khác hai đầu, ta cơng thức tính lực tới hạn có dạng chung:
2 th
m EJ P
L
π
= (11.5)
với: m - số nửa sóng hình sine đường đàn hồi ổn định Đặt
m
=
μ , gọi hệ số quy đổi, (11.5) thành ( )
2
2 th
EJ P
L
π μ
= (11.6)
(11.6) gọi chung công thức Euler
Dạng ổn định hệ số μ có liên kết hai đầu khác thể H.11.5
3- Ứng suất tới hạn
Ứng suất thẳng chịu nén tâm lực Pth gọi ứng suất tới hạn xác định theo công thức:
( ) ( )
2 2
min
2 2
min th
th
P EJ Ei E
F L F L L
i
π π π
σ
μ μ μ
= = = =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(11.7)
vớiù:
F J
i
min = bán kính quán tính nhỏ tiết diện Đặt
min
L i
μ
λ= : độ mảnh (11.8)
(11.7) thaønh: 22 λ π =
σth E (11.9)
Độ mảnh λ khơng có thứ nguyên, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều kiện liên kết đăïc trưng hình học tiết diện; có độ mảnh lớn dễ ổn định
m=1/2
μ= 2
H 11.5 Dạng ổn định hệ số μ
m= 1
μ= 1
m= 1,43
μ= 0,7
m=
μ= 1/2
m=
(5)GV: Lê đức Thanh 4- Giới hạn áp dụng công thức Euler
Công thức Euler xây dựng sở phương trình vi phân đường đàn hồi, áp dụng vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi, tức ứng suất nhỏ giới hạn tỷ lệ:
tl th = πλE ≤ σ
σ 22
hay:
tl
E
σ π ≥
λ (f)
Nếu đặt:
tl o = πσE
λ (11.10) điều kiện áp dụng cơng thức Euler là:
o
λ ≥
λ (11.11)
trong đó: λo- đượcgọi độ mảnh giới hạn số
loại vật liệu
Thí dụ: Thép xây dựng thông thường λo = 100, gỗ λo = 75; gang λo = 80
Nếu λ≥λothì gọi độ mảnh lớn
(6)GV: Lê đức Thanh 11.3 ỔN ĐỊNH NGOAØI MIỀN ĐAØN HỒI
1- Ý nghóa
Cơng thức Euler áp dụng vật liệu đàn hồi Đồ thị phương trình (11.6) hyperbola H.11.6,
tl th σ
σ ≤
Khi σth f σtl ⇔ vật liệu làm việc ngồi miền
đàn hồi, cần thiết phải có cơng thức khác để tính Pth 2- Cơng thức thực nghiệm Iasinski
Công thức Iasinski đề xuất dựa nhiều số liệu thực nghiệm, phụ thuộc vào độ mảnh
- Thanh có độ mảnh vừa λ1≤λpλo:
σth = a−λb (11.12)
với: a b số phụ thuộc vật liệu, xác định thực nghiệm: • Thép xây dựng: a = 33,6 kN/cm2; b = 0,147 kN/cm2
• Gỗ: a = 2,93 kN/cm2; b = 0,0194 kN/cm2 độ mảnh λ1 xác định từ công thức:
b a−σtl =
λ1 (11.13) thực nghiệm cho thấy phạm vi giá trị λ1=30÷40
- Thanh có độ mảnh béλ pλ1: Khi không ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại vật liệu Vì vậy, ta coi:
b th σ σ
σ = = vật liệu dòn
ch th σ σ
σ = 0 = vật liệu dẻo (11.14)
và Lực tới hạn : Pth = σ th F (11.15)
Hyperbola Euler
Iasinski
λ1 λ
H 11.6 Ứng suất tới hạn
στh
σ0
στl
(7)GV: Lê đức Thanh
Thí dụ 11.1 Tính Pthï σth cột làm thép số có mặt cắt ngang hình chữ Ι số 22 Cột có liên kết khớp hai đầu Xét hai trường hợp:
a.Chiều cao cột 3,0 m b.Chiều cao cột 2,25 m Biết: E = 2,1.104 kN/cm2;σ
tl = 21 kN/cm2 ; λo = 100
Các số công thức Iasinski : a= 33,6 kN/cm2, b=0,147 kN/cm2 Giải
Tra bảng thép định hình (phụ lục ) ta có số liệu theùp Ι No22:
min i 2,27cm; F 30,6cm
i = y = = ; theo lieân kết ta có μ=1
+ Trường hợp a)
Độ mảnh : 132 100
27 , 300 = > = = = o i l λ μ λ
Thanh có độ mảnh lớn, áp dụng cơng thức Euler
2 2 / 88 , 11 132 10 , cm kN E
th = = =
π λ π σ
⇒ Pth =σthF =11,88.30,6=363,62kN
+ Trường hợp b)
Độ mảnh :
min 11 , 99 27 , 225 λ μ
λ = = = <
i l
85,7
147 , 21 , 33
1 = −σ = − =
λ
b
a tl
0 1<λ<λ
λ → Thanh có độ mảnh vừa, dùng công thức Iasinski:
2 / 37 , 20 90 147 , ,
33 kN cm
b a
th = − λ = − =
σ
Pth =σthF =20,37.30,6 =623,32kN
Chú ý: - Nếu liên kết hai mặt phẳng quán tính giống cơng thức có dụng Jmin imin