Bài giảng Sức bền vật liệu: Chương 7 - GV. Lê Đức Thanh

Ngoaøi ra, neáu quan saùt thanh thì thaáy caùc thôù beân döôùi daõn ra( bò keùo ) vaø caùc thôù beân treân co laïi ( bò neùn ). Nhö theá, töø thôù bò daõn sang thôù bò co seõ toàn taïi[r]

Chương

UỐN PHẲNG THANH THẲNG

7.1 KHÁI NIỆM CHUNG

♦ Thanh chịu uốn có trục bị uốn cong dưói tác dụng

ngoại lực Thanh có trục nằm ngang chịu uốn gọi dầm

(Thanh có trục thẳng đứng gọi cột)

♦ Ngoại lực: Lực tập trung P, lực phân bố q tác dụng vng góc với trục dầm hay momen (ngẫu lực)

M nằm mặt phẳng chứa trục dầm (H.7.1)

♦ Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng ( π ) chứa ngoại lực trục dầm Đường tải trọng: Giao tuyến mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang

♦Giới hạn toán:

+ Chỉ khảo sát mặt cắt ngang có trục đối xứng Trục đối xứng nầy trục hợp thành mặt phẳng đối xứng

Tải trọng nằm mặt phẳng đối xứng

Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng,

Đường tải trọng trục đối xứng mặt cắt ngang

Trục dầm sau bị cong nằm mặt phẳng ( π )được gọi uốn phẳng

+ Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao

♦ H.7.3 ,7.4,7.5 : giới thiệu số loại dầm đơn giản thường gặp

P1

P2

P3

P4

P5 01

02

♦ Nội lực: Tuỳ theo ngoại lực tác dụng mà mặt cắt ngang dầm có nội lực lực cắt Qy mômen uốn Mx

♦ Phân loại:

Uốn túy phẳng: Nội lực có mơmen uốn Mx=hằng số

Uốn ngang phẳng : Nội lực gồm lực cắt Qy mômen uốn Mx

♦ Dầm H.7.4 có đoạn CD chịu uốn túy, dầm H 7.5 chịu uốn túy Đoạn dầm AC DB dầm H.7.4 chịu uốn ngang phẳng

P q

a

L

b

a)

b)

c)

H.7.3. Các loại dầm: a) Dầm đơn giản b) Dầm chèn kẹp; c) Dầm có đầu mút thừa

P

+

_

P

a)

b)

c)

a)

b)

H.7.4 Dầm với vùng chịu uốn túy

H.7.5. Dầm chịu uốn túy

P M

P P

L-2a a

a

Q

M Pa

Pa

A B

A B

A

B

7.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

7.2.1 Định nghĩa: Thanh chịu uốn túy phẳng mặt cắt ngang có nội lực Mx

Dấu Mx : Mx > căng (kéo) thớ ( thớ y > ) dầm 7.2.2 Tính ứng suất mặt cắt ngang:

Thí nghiệm quan sát biến dạng:

H 7.6 a) Thanh trước biến dạng

b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng

Kẻ lên mặt thẳng chịu uốn H.7.6a, đường song song với trục tượng trưng cho thớ dọc đường vng góc với trục tượng trưng cho mặt cắt ngang; đường tạo thành lưới ô vuông (H.7.6a)

Sau biến dạng (H.7.6b), trục bị cong, đường thẳng song song với trục thành đường cong song song với trục thanh; đường vng góc với trục cịn vng góc với trục thanh, nghĩa góc vng bảo tồn q trình biến dạng

Ngồi ra, quan sát thấy thớ bên dãn ra(bị kéo) thớ bên co lại (bị nén) Như thế, từ thớ bị dãn sang thớ bị co tồn thớ mà chiều dài không thay đổi q trình biến dạng, gọi thớù trung hịa Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa Giao tuyến lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hịa Vì mặt cắt

Sau biến dạng mặt cắt ngang 1-1 2-2 ban đầu cách đoạn vi phân dz cắt tâm cong O’ (H.7.7b) hợp thành góc dθ

Gọi ρ bán kính cong thớ trung hịa, tức khoảng cách từ O’ đến thớ trung hòa Độ dãn dài tương đối thớ ab cách thớ trung hòa khoảng cách y cho bởi:

(

)

(

)

y y

d d d y dz

dz d y ab

z ρ θ ρ κ

θ ρ θ ρ

θ ρ

ε = − = + − = + − = =

2

2 0

0

0 (a)

trong đó: κ- độ cong dầm

Hệ thức chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong biến thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa

H.7.7

Đoạn dầm vi phân dz

M

1

1 a

O1 O2

b M

dz 2

y

O

ρ

dθ

M

a

O1 O2

bâ M

y

σ σ

a) Truớc biến dạng b) Sau biến dạng

z

Phần bị nén

x y

Phần bị kéo Lớp trung hồ

Mặt phẳng tải trọng

Mỗi thớ dọc dầm chịu kéo nén (các điểm mặt

cắt ngang trạng thái ứng suất đơn) Định luật Hooke ứng với trạng thái ứng suất đơn cho ta:

y E E z

z = ε = κ

σ (b) Ứùng suất pháp tác dụng

mặt cắt ngang biến thiên bậc với khoảng cách y từ thớ trung hòa

Xét hợp lực ứng suất pháp toàn mặt cắt ngang + Liên hệ σz Nz

0

= =

∫

∫

FσzdF FEκyF (định nghóa Nz =0) (c)

Vì độ cong κ môđun đàn hồi E số nên đem ngồi dấu tích phân, ⇒

∫

=

F ydF (d)

(d) cho thấy mơmen tĩnh diện tích mặt cắt ngang trục trung hồ x khơng ⇔ trục trung hoà x qua trọng tâm mặt cắt ngang Tính chất cho phép xác định trục trung hoà mặt cắt ngang Nếu trục y trục đối xứng, hệ trục (x,y) hệ trục quán tính trung tâm

+ Liên hệ σz Mx

=

∫

=

∫

F F z

x ydF E y dF

M σ κ = κEJx (e)

trong đó: =

∫

F x y dF

J (g)

là mơmen qn tính mặt cắt ngang trục trung hòa x Biểu thức (e) viết lại sau:

x x

EJ M

= =

ρ

κ (7.1)

EJx gọi độ cứng uốn dầm

Thế(7.1) vào (b) ⇒ Cơng thức tính ứng suất pháp điểm mặt cắt

ngang daàm:

y

J

M

x x z

=

σ

(7.2)

Ứùng suất biến thiên bậc theo tung độ y.và y khoảng cách điểm H.7.8.Ứng suất pháp mô

men uốn mặt cắt ngang dầm chịu uốn

Đường trung hoà

x y

z σz

dF Mx

Công thức kỹ thuật:

Nếu mômen uốn dương, dầm bị căng ( bị kéo ) thớ dưới, thớ bị nén Kết ngược lại mơmen uốn âm Do thực hành, ta sử dụng cơng thức kỹ thuật để tính ứng suất,

| | y J M

x x z = ±

σ (7.3)

ta lấy: dấu (+) Mx gây kéo điểm cần tính ứng suất dấu (–) Mx gây nén điểm cần tính ứng suất

7.2.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị:

♦ Biểu đồ ứng suất pháp:

+Những điểm xa trục trung hòa có trị số ứng suất lớn

+Những điểm có khoảng cách tới thớ trung hịa có trị số ứng suất pháp

Biểu đồ phân bố ứng suất pháp đồ thị biểu diễn giá trị ứng suất điểm mặt cắt ngang

*Trường hợp mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (Hình trịn, chữ nhật ) cho H.7.9

*Trường hợp mặt cắt ngang có trục đối xứng (chữ I,U) cho H.7.10

Dấu (+) ứng suất kéo

Dấu (-) ứng suất nén

H 7.10 Biểu đồ ứng suất pháp cho mặt cắt có trục đối xứng

♦ Ứng suất pháp cực trị:

Tính ưÙng suất pháp kéo nén lớn mặt cắt ngang dầm điểm xa đường trung hòa

Gọi ymaxk , ymaxn khoảng cách thớ chịu kéo thớ chịu nén

xa đường trung hịa Khi ứng suất chịu kéo lớn σmax ứng suất chịu nén lớn nhấtσmin tính cơng thức:

k x

x k

x x

W M y

J M

=

= max

max

σ (7.4a)

n

x x n

x x

W M y

J M

=

= max

min

σ (7.4b)

với: n nx

x k

x k

x

y J W

y J W

max max

;

' =

= (7.5)

Các đại lượng k x

W Wxn gọi suất tiết diện mômen chống uốn

của mặt cắt ngang

Trường hợp đặt biệt: Nếu trục x (trục trung hoà) trục đối xứng (mặt cắt chữ nhật, trịn, Ι,…) thì:

ymaxk = ymaxn = 2h đó:

h J W W

W x

x n x k x

2

= =

= (7.6)

và ứng suất nén kéo cực đại có trị số nhau:

x x W M

= σ =

σmax min (7.7)

∗ Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b chiều cao h :

_

6 12

∗ Mặt cắt ngang hình tròn:

3

4

1 , 32

; 05 ,

64 d

d W d d

Jx = π ≈ x = π ≈ (7.9)

∗ Mặt cắt ngang hình vành khăn : đường kính ngồi D, trong, d

(1 )

32

; ) ( 64

4

4

η π

η π

− =

−

= D W D

Jx x với η = d/ D

∗ Mặt cắt ngang hình Ι, C: Tra bảng thép định hình

Ý nghĩa vật lý mômen chống uốn: mômen chống uốn lớn dầm chịu mômen uốn lớn

7.2.4 Điều kiện bền- Ba toán Điều kiện bền:

+ Dầm vật liệu dòn: [σ] k ≠ [σ]n ⏐σmin⏐≤ [σ] n

σmax ≤ [σ]k (7.10a)

+ Dầm vật liệu dẻo: [σ] k = [σ] n = [σ]

max ⏐σz⏐≤[σ] (7.10b)

Ba toán bản:

+Bài toán kiểm tra bền,(Đây toán thâûm kế.)

+Bài tốn chọn kích thước mặt cắt ngang,(bài toán thiết kế) +Bài toán chọn tải trọng cho phép.(bài toán sữa chữa,nâng cấp)

Bài toán 1: Kiểm tra bền- Kiểm tra chịu lực có đảm bảo độ bền hay không Dùng (7.10a) hay (7.10b) để kiểm tra

Thí dụ 7.1 Trên mặt cắt ngang dầm chữ T ngược (H.7.11), mômen uốn Mx = 7200 Nm Dầm làm vật liệu có ứng suất cho phép kéo

và nén khaùc nhau:

` [σ ]k = 20 MN/m2; [σ]n = 30 MN/m2 ` ` Kiểm tra bền biết rằng: Jx = 5312,5 cm4

Giải Ta có: yk

max = 75 mm= 7,5.10–2 m yn

max = 125 mm = 12,5.10–2 m

z 125

75

Dầm chữ T chịu uốn

Mx

y

max max m 10 425 10 , 12 10 , 5312 − − − × = × × =

= nx n x

y J W

k [ ]k

x x

W

M = × = < σ

× =

=

σ − 2

6

max 708,72003 10 10,20 10 N/m 10,20MN/m

n [ ]n

x x

W

M = × = < σ

× = =

σ − 2

6

min 425720010 17 10 N/m 17MN/m

vậy dầm đủ bền

Bài tốn 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang cho dầm thỏa điều kiện bền

Từ điều kiện bền tổng quát (7.10a,b) ⇒ mômen chống uốn kích thước mặt cắt ngang xác định

Thí dụ 7.2 Cho dầm chịu lực H.7.12 Dầm làm hai thép chữ , Chọn số

hiệu thép chữ để dầm thỏa điều kiện

bền Biết [σ ] = 16 kN/cm2 Giải

Dầm chịu uốn túy; mặt cắt ngang dầm có mômen uốn Mx=60

kNm

Áp dụng công thức (7.7) (7.10b) ta được: max 375cm3 16 100 60 ] [σ = = ≥ M Wx

Tra bảng thép hình ta chọn 20 có Wx = × 184 = 368 cm3

Kiểm tra lại điều kiện bền ta có:

2 max

max = = 60368.100 = 16,3 kN/cm

σ

x W M

sai số tương đối: 100% 1,9% 16

16 ,

16 − × = ; dầm đủ bền Chọn

20

Bài toán 3: Định tải trọng cho phép [P] để dầm thỏa điều kiện bền

Thí dụ 7.3 Một dầm gang có mặt cắt ngang H.7.13 Xác định trị số mômen uốn cho phép(mômen có chiều hình vẽ) Biết:

[σ ] κ = 1,5 kN/cm2

Hỏi với trị số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn dầm bao nhiêu?

x

H.7.12

M= 60 kNm

M= 60 KNm

Từ điều kiện bền k x

x k

x x

W M y

J M

= = max max

σ ≤ [σ] k

⇒

[ ] [ ]

3537,5 Ncm

8 , 10 25470

,

max

k y

J

M kx

k

x = σ = × =

Tương ứng ta có:

[ ]

max

min 19,2 2,67 N/cm

5470

5 , 3537

k y

J

M n

x

x =− × =−

− =

σ

7.2.5 Hình dáng hợp lý mặt cắt ngang

Hình dáng hợp lý cho khả chịu lực dầm lớn đồng thời tốn vật liệu Điều kiện:

k k

x x y

J M

σ

σmax = max = , n n

x x y

J M

σ σ min = max =

Lập tỉ số ứng suất :

[ ]

α σ σ =

=

n k n

k

y y

max max

- Nếu vật liệu dòn: α < : σ k pσ n neân ymaxk p ymaxn

Ta chọn mặt căùt ngang khơng đối xứng qua trục trung hồ - Nếu vật liệu dẻo: α =1 nên k n

y ymax = max

Ta chọn mặt căùt ngang đối xứng qua trục trung hoà

Theo biểu đồ ứng suất ta thấy gần trục trung hoà ứng suất nhỏ, nên vật liệu làm việc điểm xa trục trung hịa, thường cấu tạo hình dáng mặt cắt cho vật liệu xa trục trung hịa ví dụ hình chữ I,U,vành khăn ,hình rỗng…

H.7.13

z

192mm 108mm M

y