Theo giaû thieát a) khoâng coù bieán daïng daøi theo phöông doïc truïc, theo giaû thieát c) caùc thôù doïc khoâng taùc duïng vôùi nhau neân khoâng coù öùng suaát phaùp taùc duïng leân [r]
(1)GV: Lê đức Thanh
Chương
XOẮN THUẦN TÚY Ι KHÁI NIỆM
1- Định nghĩa: Thanh chịu xoắn túy mặt cắt ngang có thành phần nội lực mômen xoắn Mz (H.9.1)
Dấu Mz : Mz > từ mặt cắt
nhìn vào thấy Mz quay thuận kim đồng hồ
Ngoại lực: Gồm ngẫu lực, mômen xoắn Mz, nằm mặt phẳng vng góc trục
Thực tế: trục truyền động, chịu lực không gian, dầm đỡ ôvăng
2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn Mz
Biểu đồ mômen xoắn vẽ cách xác định nội lực theo phương pháp mặt cắt điều kiện cân tĩnh học: ∑M/OZ =
Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz cho trục truyền động chịu tác dụng ba
ngẫu lực xoắn ( mômen xoắn) (H.9.2.a)
Giải: Thực mặt cắt ngang đoạn AB, xét cân phần trái (H.9.2.b), dễ thấy để cân ngoại lực ngẫu lực xoắn M1 ,
tiết diện xét phải có nội lực mơmen xoắn Mz : ΣM /z = ⇒ Mz – 10 = ⇒ Mz = 10kNm
Tương tự, cắt qua đoạn BC, xét phần trái (H.9.2.c): ΣM /z = ⇒ Mz + – 10 = ⇒ Mz=
Mômen tiết diện hai đoạn đầu không, biểu đồ nội lực vẽ H.9.2.d
y
z Mz
x
O
H 9.1
M3=3kNm
- +
Mz 10 kNm
3 kNm
H.9.2
M1=10kNm M2=7kNm
A B C
a)
d)
M1=10kNm
A b)
Mz
M1=10kNm M2=7kNm
A B
c)
(2)GV: Lê đức Thanh
Thí dụ 2: Vẽ biểu đồ mơmen xoắn Mz (H.9.3.a)
Giải: Phân tích thành tổng hai trường hợp tác dụng riêng lẻ ( H.9.3b H.9.3c ) Trong trường hợp, ngoại lực ngẫu lực gây xoắn, nội lực mômen xoắn Biểu đồ nội lực vẽ H.9.3.b,c Biểu đồ Mz tổng
đại số hai biểu đồ (H.9.3.d)
Nhận xét: Dấu nội lực dương từ ngồi nhìn vào đầu thanh thấy ngoại lực quay thuận chiều kim đồng hồ ngược lại
3- Công thức chuyển đổi công suất động ngẫu lực xoắn (mômen xoắn ngoại lực) trục
Khi tính tốn trục truyền động, thường ta biết công suất truyền mơtơ tính mã lực hay kilơóat tốc độ trục quay vịng/phút, cần chuyển đổi công suất truyền ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục
Giả sử có ngẫu lực xoắn Mo (đơn vị N.m) tác dụng làm trục quay góc α (radian) thời gian t, cơng sinh là:
A = Mo.α (i)
coâng suất là: = = oα = oα = Moω
t M t M t A
W (ii)
trong đó: ω - vận tốc góc (rad/s), đơn vị công suất N.m/s Gọi n số vòng quay trục phút (vòng/phút), ta có:
30 60 2πn πn
ω= = (iii)
từ (ii) (iii) ⇒
a) Nếu W tính mã lực (CV, HP) ;1mã lực = 750N.m/s = 0,736 kW:
30 30.750 7162 (Nm)
n W n
W n
W
Mo = = =
π
π (9.1)
b) Nếu W tính kilôwat (KW), KW ≈ 1020 N.m/s:
1020 30
30W W W Nm
= =
= (9.2)
M1= kNm
a)
M1= kNm
b)
c)
d)
+ Mz=
–
+ –
Mz=
Mz= Mz(kNm)
Mz=
(3)GV: Lê đức Thanh
ΙΙ XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN
1- Thí nghiệm - Nhận xét
Lấy thẳng tiết diện trịn, mặt ngồi có vạch đường song song đường trịn thẳng góc với trục, tạo thành lưới ô vuông (H.9.4.a) Tác dụng lên hai đầu hai ngẫu lực xoắn Mz ngược
chiều, ta thấy trục thẳng, chiều dài khơng đổi, đường trịn thẳng góc với trục trịn thẳng góc với trục, đường song song với trục thành đường xoắn ốc, lưới ô vng thành lưới bình hành (H.9.4.b)
2- Các giả thieát
a) Mặt cắt ngang phẳng, thẳng góc với trục khoảng cách khơng đổi q trình biến dạng,
b) Các bán kính thẳng khơng đổi q trình biến dạng, c) thớ dọc không ép đẩy lẩn q trình biến dạng
3- Cơng thức ứng suất tiếp
Ta tính ứng suất điểm mặt cắt ngang có bán kính ρ (H.9.1)
Có thể nhận thấy, theo thí nghiệm trên, biến dạng chịu xoắn túy xoay tương đối mặt cắt ngang quanh trục
Để xét biến dạng xoắn phân tố điểm bán kính thanh, ta tách phân tố ba cặp mặt cắt sau:
H 9.1
z Mz O ρz
dz
a) b)
Mz
H 9.4
(4)GV: Lê đức Thanh
- Hai mặt cắt (1-1) (2-2) thẳng góc với trục cách đoạn dz (H.9.5.a)
- Hai mặt cắt chứa trục hợp với góc dα bé(H.9.5.b)
- Hai mặt cắt hình trụ đồng trục z (trục thanh) bán kính ρ ρ + dρ
(H.9.5.a)
Theo giả thiết, trình biến dạng, so với điểm E, F, G, H thuộc mặt cắt (1-1), điểm A, B, C, D phân tố mặt cắt (2-2) di chuyển đến A’, B’, C’, D’ phải nằm cung trịn bán kính ρ ρ + dρ, đồng thời OA’B’ OC’D’ phải thẳng hàng
Gọi dϕ góc hai đường thẳng OAB OA’B’, góc xoay mặt cắt (2-2) so với mặt cắt (1-1) quanh trục z, dϕ góc xoắn tương đối hai tiết diện lân cận cách dz
Đối với phân tố xét, góc A’EA biểu diễn thay đổi góc vng mặt bên phân tố gọi biến dạng trượt (góc trượt) γ phân tố
Từ (H.9.5.b), ta có: tanγ ≈ γ =
dz dϕ
ρ
= ′
EA A
A (a)
b)
z O
B’
’’
A’ ρ
C’
D
’’’
dρ
dz
dα
dϕ A
B C D E
F
G H
ρ z
dρ
2 a)
2
dα
Mz Mz
dz
τρ
H 9.5 Biến dạng phân tố chịu xoaén
H 9.6
Phân tố trượt túy
τρ
(5)GV: Lê đức Thanh
Theo giả thiết a) biến dạng dài theo phương dọc trục, theo giả thiết c) thớ dọc không tác dụng với nên khơng có ứng suất pháp tác dụng lên mặt phân tố
Theo giả thiết a) góc vng mặt CDHG mặt BAEF khơng thay đổi nên khơng có ứng suất tiếp hướng tâm mặt A, B, C, D Do giả thiết b), bán kính thẳng nên khơng có ứng suất tiếp hướng tâm mặt A, B, E, F
Như vậy, mặt cắt ngang chịu xoắn túy tồn ứng suất phương vng góc bán kính, gọi τρvà phân tố xét trạng thái trượt túy (H.9.6)
Áp dụng định luật Hooke trượt cho phân tố này, ta có: τρ = G γ b)
(a) vaøo (b) ⇒
dz d G
p
ϕ ρ
τ = (c)
Gọi dF diện tích vơ bé bao quanh điểm xét, τρ.dF lực tiếp tuyến tác dụng diện tích τρ.dF.ρ mơmen lực
τρ dF tâm O Tổng mômen phải Mz, nên ta viết:
∫
=
F p
z dF
M τ ρ (d)
(c) vaøo (d) ⇒ = ∫
F
z dF
dz d G
M ρ ϕ ρ (e)
Vì G.dϕ/dz số điểm thuộc mặt cắt F, nên ta đưa ngồi dấu tích phân, tích phân ∫
F dF
ρ mômen quán
tính cực Jp mặt cắt ngang tâm O, ta được:
p F
z J
dz d G dF dz
d G
M = ϕ ∫ρ2 = ϕ (f)
từ (f) ta có:
ρ ϕ
GJ M dz
d z
= (g)
Có thể thấy rằng, dϕ/dz góc xoắn đơn vị chiều dài ( cịn gọi góc xoắn tỉ đối ) (rad/m) Đặt
dz dϕ =
θ , ta coù:
ρ θ
GJ Mz
= (9-3)
(6)GV: Lê đức Thanh τ ρ
ρ ρ
J Mz
= (9.4)
Ứng suất tiếp thay đổi theo quy luật bậc nhất, không tâm O cực đại điểm chu vi
Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp điểm mặt cắt ngang thể H.9.7.a Trên H.9.7.b, thể ứng suất tiếp đối ứng mặt cắt chứa trục
O
a) ρ
τmax
τρ
Mz
O
b)
H.9.7 Phân bố ứng suất tiếp mặt cắt
Và ứng suất tiếp đối ứng
Mz
τmax
Ứùng suất tiếp cực đại điểm chu vi (ρ = bán kính R)
R J Mz
ρ
τmax =
đặt:
R J
Wρ = ρ ; Wp gọi mômen chống xoắn mặt cắt ngang
⇒
ρ
τ
W Mz =
max (9.5)
* Với tiết diện tròn đặc D đường kính tiết diện:
3
2 , 16
2 D
D R
R J
Wρ = ρ = π = π ≈ (9.6) * Với tiết diện tròn rỗng:
) ( , ) ( 16 32
)
( 4
3
4
η η
π η
π ρ
ρ = = − = − ≈ D −
D R D
R J
W (9.7)
trong đó: η tỷ số đường kính đường kính ngồi (η = d/D)
(7)GV: Lê đức Thanh
4- Cơng thức tính biến dạng xoắn
Góc xoắn tương đối hai mặt cắt cách dz dz GJ
M
d z
ρ
ϕ = (g)
⇒ Góc xoắn tương đối hai mặt cắt cách đoạn dài L là: =∫ =∫
L
o L
o
z dz GJ
M d
ρ ϕ
ϕ (9.8)
* Khi đoạn có Mz/GJp số ⇒
p z GJ L M
=
ϕ (9.9)
* Khi gồm nhiều đoạn, đoạn có Mz/GJp số: =∑
i
i z GJ L M
) (
ρ
ϕ (9.10)
Góc xoắn ϕ quy ước dương theo chiều dương Mz
5- Tính tốn trịn chịu xoắn thuẩn tuý: Điều kiện bền:
+ τmax ≤[ ]τ =
n
o
τ (9.11)
với: τo - ứng suất tiếp nguy hiểm vật liệu, xác định từ thí nghiệm n - hệ số an toàn
+ Theo thuyết bền ứng suất tiếp ( chương ):
2 ] [
max σ
τ ≤ (9.12)
+ Theo thuyết bền biến đổi hình dạng ( chương ):
3 ] [
max σ
τ ≤ (9.13)
Điều kiện cứng:
θ max ≤ [θ ] (9.14)
[θ ] : Góc xoắn tỷ đối cho phép, cho từ sổ tay kỹ thuật, đơn vị [θ ] (radian/ đơn vị chiều dài )
Ba toán bản:
- Kiểm tra bền, cứng (bài toán kiểm tra) - Xác định tải trọng cho phép