Bài giảng Cơ học công trình: Chương 4 - Trần Minh Tú

Thanh chịu xoắn thuần túy là thanh mà trên các mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mô men xoắn M z nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh.. Ví dụ: Các trục truyền[r]

Chương 4 THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY

4.1 Thanh chịu xoắn túy

4.1.1 Khái niệm chung

4.1.2 Ứng suất mặt cắt ngang

4.1.3 Biến dạng tròn chịu xoắn 4.1.4 Điều kiện bền

4.1.5 Điều kiện cứng

Ví dụ chịu xoắn

x

z F

A

4.1.1 Khái niệm chung (1)

1 Định nghĩa

Thanh chịu xoắn túy là mà các mặt cắt ngang của có một thành phần nội lực là mô men xoắn Mz nằm mặt phẳng vng góc với trục thanh.

Ví dụ: Các trục truyền động, các thanh trong kết cấu không gian,…

4.1.1 Khái niệm chung (2)

 Xác định mô men xoắn nội lực mặt cắt ngang – PHƢƠNG PHÁP MẶT CẮT

 Qui ước dấu Mz

Nhìn từ bên ngồi vào mặt cắt ngang, nếu Mz có chiều thuận

chiều kim đồng hồ thì mang dấu dƣơng ngƣợc lại.

 Mz nội lực mặt cắt ngang bằng tổng mô men quay đối với trục ngoại lực ở bên mặt cắt

z M >

0

z

M 

 Mz =

2 Biểu đồ mô men xoắn nội lực

y

z x

z

y

4.1.2 Ứng suất mặt cắt ngang (1)

1. Thí nghiệm

Vạch bề mặt ngoài

- Hệ đƣờng thẳng // trục thanh

- Hệ đƣờng trịn vng góc với trục thanh - Các bán kính

QUAN SÁT

- Các đƣờng // trục thanh => nghiêng đều góc g so với phƣơng ban đầu

- Các đƣờng trịn vng góc với trục =>

vng góc, khoảng cách 2 đƣờng trịn kề không đổi

- Các bk trên bề mặt thanh vẫn thẳng có độ dài

4.1.2 Ứng suất mặt cắt ngang (2)

GIẢ THIẾT

Gt1 – Gt mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang trƣớc biến dạng phẳng vuông góc với trục thanh sau biến dạng phẳng vng góc với trục Khoảng cách mặt cắt ngang là không đổi.

Gt2 – Gt bán kính: Các bán kính trƣớc và sau biến dạng thẳng có độ dài khơng đổi.

4.1.2 Ứng suất mặt cắt ngang (3)

2 Cơng thức tính ứng suất

 Từ gt1 => ez=0 =>z=0

 Từ gt2 => ex=ey=0 => x=y=0

Trên mặt cắt ngang có ứng suất tiếp

 Ứng suất tiếp có phƣơng vng góc với bán kính, chiều chiều mơ men xoắn nội lực

z p M

I



  

z M



max

 



K O

 – toạ độ điểm tính ứng suất Mz– mô men xoắn nội lực

4.1.2 Ứng suất mặt cắt ngang (4)  Biến thiên ứng suất tiếp theo

khoảng cách  là bậc => Biểu

đồ ứng suất tiếp

 Những điểm nằm đƣờng trịn có ứng suất tiếp nhƣ nhau.  Ứng suất tiếp cực đại chu vi

mặt cắt ngang

 Wp =Ip/R là mô men chống xoắn của

mặt cắt ngang

ax .

W

z z

m

p p

M M

R I

  

 

4

3

W / / 2 0,2 32

p

D

D D



 

 

3

4.1.3 Biến dạng tròn chịu xoắn

• Trƣớc biến dạng : ab//Oz; • Chịu xoắn: ab => ac

j - góc xoắn tƣơng đối hai mặt cắt ngang cách chiều dài L

g - góc trƣợt (biến dạng góc)

• Góc xoắn (góc xoay) tương đối

giữa hai mặt cắt ngang A B L

g

j

A B

O

a b

c

 

0

A L

z z

AB

p p

B

M dz M dz

rad

GI GI

j    

 G – mô-đun đàn hồi trƣợt vật liệu

4.1.3 Biến dạng tròn chịu xoắn

 Khi trên đoạn AB chiều dài L có

z AB p M L GI j 

 Khi đoạn AB gồm n đoạn, đoạn

thứ i có chiều dài li : const z p i M GI       

 

n z AB i i p i M l GI j          z p M const GI  [ / ] z p M d rad m dz GI j   

Bài tập - Ví dụ 4.1

 Cho trục trịn có diện tích mặt cắt ngang thay đổi chịu tác dụng mô men xoắn ngoại lực nhƣ hình vẽ

1. Vẽ biểu đồ mơ men xoắn nội lực

2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn nhất 3. Tính góc xoắn mặt cắt ngang D

Biết M=5kNm; a=1m; D=10cm; G=8.103 kN/cm2

2a

B

a

C D D

M 3M

Bài tập - Ví dụ 4.1

1 Biểu đồ mơ men xoắn

Đoạn CD

Đoạn BC

2a

B

a

C D D

M 3M 2D D 3M MCD z z1

C D D

M 3M z2 a MBC z Mz kNm 15 10

0  z1 a

3 15

CD z

M  M  kNm

2 10

BC z

M  M  kNm

Ví dụ 4.1

2 Trị số ứng suất tiếp lớn nhất

3 Góc xoắn D

2 max 7,5(kN cm/ )

 

2a

B

a

C D D

M 3M 2D Mz kNm 15 10 max 3 15 10

7,5( / ) 0, 2 0, 10

CD CD z M kN cm D         max 3 10 10

0,625( / ) 0, 20

0, 2

BC BC z M kN cm D      

D  BC  CD

j j j zCD zBC 2

D CD BC

p p

M a M a

GI GI

 

j  

2 2

3 4

15 10 10 10 10 2 10

0,02( )

8 10 0,1 10 8 10 0,1 20

D rad

    

  

     

4.1.4 Điều kiện bền

1. Điều kiện bền

2. Ba toán cơ bản:

a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền

b) Bài tốn 2: Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang

c) Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép tải trọng tác dụng

 

n



  - 0 xác định từ thực nghiệm

  ax p W z m M         3 p

W 0, 2

0, 2 z z M M d d         p W z

4.1.5 Bài toán siêu tĩnh

Bài toán siêu tĩnh

 Là toán mà nếu dùng phƣơng trình cân bằng tĩnh học ta khơng thể xác định hết phản lực, nhƣ thành phần nội lực thanh.

 Phƣơng pháp giải: Viết thêm phƣơng trình bổ sung – phƣơng trình biểu diễn điều kiện biến dạng

 Ví dụ: Vẽ biểu đồ mơ men xoắn nội lực

A

M B

2d d

a 2a

Ví dụ 4.2 • Giả sử phản lực ngàm

MA, MD có chiều hình vẽ.

• Ta có: MA + MD = M (1)

• Điều kiện biến dạng

jAD = 0 (2)

d

a 2a

D MA MD

A M B 2d D MD M z z CD 2 AB BD z z

AD AB BD AB BD

p p

M a M a GI GI

   

j j j

BD

z D

M  M

AB

z D

M  M  M

 

 4

2 0 0,1 0,1 2 D D AD

M M a M a

G d G d         j 1 32 ; 33 33 D A

M  M M  M

Mz M/33