Cơ học kết cấu (dầm) : Các phương pháp năng lượng

Caùc löïc beân trong, goïi laø noäi löïc sinh ra trong quaù trình vaät bò ngoaïi löïc taùc ñoäng, phaùt trieån töø giaù trò tham chieáu ban ñaàu baèng 0, ñeán giaù trò xaùc ñònh[r]

CHƯƠNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG Công biến dạng vật thể đàn hồi

Khi bị ngoại lực tác động vật thể bị biến dạng Quá trình đồng hành trình chuyển hóa lượng vật thể Các lực bên trong, gọi nội lực sinh trình vật bị ngoại lực tác động, phát triển từ giá trị tham chiếu ban đầu 0, đến giá trị xác định cuối giai đoạn lực thực cơng lịng vật thể Nội cơng, cơng nội lực thực vật thể đàn hồi, tích tụ dạng sẵn sàng thực động tác trả lại tư ban đầu cho vật thể ngoại lực tác động Năng lượng dạng đề cập gọi công biến dạng (strain energy)

Trong trạng thái cân bằng, theo định luật bảo tồn lượng, cơng ngoại lực gây cơng biến dạng, dạng tích tụ đề cập Những nguyên lý lượng dựa định luật bảo toàn lượng, dùng hữu hiệu học kết cấu chia làm nhóm:

• Ngun lý lượng tồn phần (Principle of total potential energy) • Ngun lý cơng ảo (Principle of wirtual work)

• Ngun lý cơng bù tồn phần (Principle of complementary total potential energy)

• Ngun lý cơng bù ảo (Principle of complementary virtual work) Biểu đồ trình bày giá trị bốn dạng cơng nêu giới thiệu hình

σ

δσ σ εδσ

E = δσ

σ ∫σε σ

0

d

∫εσ ε

0

d σδε = Eεδε

ε δε ε Hình

• Công biến dạng ∫εσ ε = ε

2

E d

• Công ảo σδε = Eεδε • Công bù σ∫ε σ = σ

0

2

E d

• Công bù ảo εδσ σδσ

E

1 =

Áp dụng nguyên lý lượng xử lý toán học kết cấu cách thuận tiện

1 Áp dụng nguyên lý lượng tồn phần hay bảo tồn lượng Cơng biến dạng đơn vị thể tích vật thể chịu tác động ngoại lực tính cơng thức =∫ Hàm u

Vu dV

U 0 trường hợp chung có dạng:

(σxεx +σyεy +σzεz +τxyγxy +τyzγyz +τxzγxz)

2

1 , hay laø u

0 = ½ {σ}{ε}T

σ P

∆ σ

∆

Công biến

dạng Cơng ngoại lực

Hình

Ví dụ thường gặp, công biến dạng dầm chịu kéo, nén tác động lực dọc trục N có dạng =∫L dx

AE N U

0 2

1 , coâng biến dạng dầm chịu uốn ∫

=L dx EI M U

0 2

1

Công ngoại lực thực hiện, xem hình 2, phía phải, tính theo cơng thức , trường hợp chung, công thức mang dạng: W

∫Δ Δ

Pd

ext = ∑ ∫

Δ

Δ

i

i id P

0

Nguyên lý bảo toàn lượng nêu rõ U tích lũy lòng vật thể chịu tác động ngoại lực P, hay Pi, i =1, 2, … giá trị cơng ngoại lực

Ví dụ 1: Áp dụng ngun lý cân công nêu xác định chuyển vị đầu tự dầm son dài L, độ cứng EJ, chịu tác động tĩnh trọng vật W đặt đầu tự

x W W

Δ L

Hình 3a Hình 3b Δ

Nếu ký hiệu x – khoảng cách từ đầu tự do, xem hình 3a, vị trí đặt trọng vật W đến mặt cắt dầm, momen uốn dầm tính biểu thức:

M(x) = W.x (a)

Công momen M(x) uốn dầm thực tính theo cơng thức đề cập trang

trước: =∫ =∫ =

L L

EJ WL dx EJ

x W dx EJ

x M U

0

3

2 2

6

2 )

( (b)

Cơng ngoại lực tính V = ½ W.Δend, Δend - chuyển vị đầu dầm theo hướng lực tác động, trình bày hình 3b Từ ngun lý bảo tồn lượng viết U = V, hay là:

end

W EJ

WL

Δ

=

2

3

(c)

Từ đó: EJ WL

end

3 =

Δ (d)

Ví dụ 2: Trường hợp trọng vật W đưa lên cao mức cũ đoạn h, với h > 0, sau cho rơi tự xuống đầu dầm xét, dầm chuyển vị đoạn Δ Từ nguyên lý lượng toàn phần xác định giá trị Δ

∫ = Δ +

L

dx EJ

x M h

W

0 ) ( )

( (a’)

Momen M(x) cơng thức tính tích lực P áp đặt đầu dầm với khoảng cách x, tính từ điểm đặt tĩnh P Như ví dụ vừa nêu, tải P xác định qua biểu thức:

∫ =

= Δ +

L

EJ L P dx EJ

x P h

W

0

3 2

2

6

)

( (b’)

Trong Δ tính giống dùng công thức (d) nêu trên: EJ

PL

end

3 =

Δ , tính:

3

L EJ

P= Δ (c’)

Thay (c’) vào (b’) nhận phương trình bậc hai: Wh

W L

EJ Δ = Δ+ ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛

3

hay laø

2

3

3 ⎟⎠Δ − Δ− =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Wh W L

EJ , với h > (d’)

Nghiệm phương trình đây, xây dựng sở định luật bảo tồn lượng nghiệm cần tìm tốn

2 Nguyên lý công ảo

Cơng lực thực lịng vật thể tính tổng công lực tác động chuyển phần tử vật chất tạo nên vật thể Chuyển vị phần tử vật chất phần xem xét có đặc tính đặc trưng, nêu phần mở đầu lý thuyết đàn hồi, thay đổi nhỏ, hữu hạn lòng vật thể Thay đổi dạng gọi khả dĩ1, theo cách dùng từ từ trước đến (admissible or possible

change), hiểu hàm toạ độ mà không thay đổi điều kiện biên toán Minh họa chuyển vị u(x) thay đổi δu(x) khn khổ giáo trình trình bày hình

t2

δu u*(x)

Hình t1 u(x)

Những thay đổi khả dĩ, nhỏ so với chuyển vị u(x) có tên gọi gần thống nhà nghiên cứu học, chuyển vị ảo (virtual displacements) Ký hiệu dùng chuyển vị ảo trùng với ký hiệu dùng phép biến phân, ví dụ thường gặp giáo trình δu, δv, δw Khái niệm chuyển vị ảo có từ thời

Leonardo da Vinci, dùng thức viết Johann Bernoulli Công ảo (virtual work) hiểu công lực thực (real forces) thực theo chuyển vị ảo Theo cách hiểu ngày nay, công thực công ảo, dùng cho vật liệu đàn hồi đề cập “Lý thuyết đàn hồi” minh họa hình

Trường hợp tổng quát xem xét hệ thống lực tác động lên phần tử vật chất vật thể Giả sử hệ thống gồm N phần tử vật chất, chịu tác động N lực thành phần Fi, i =1, 2, …, N có xuất xứ từ bên ngồi vật thể hệ thống nội lực fi Các thành phần nội lực fi viết dạng chung Nếu ký hiệu fij lực đặt điểm thứ i lực đặt điểm j gây ra, lực thành phần fi hiểu là:

∑

≠ =

= N

i j j

ij

i f

f

1

(1.1) Dưới tác động lực có biến dạng lịng vật thể Trong trường hợp phần tử thay đổi vị trí miêu tả hình 5, vector q – chuyển vị phần tử, ri - vector vị trí

của phần tử thứ i rj – vector vị trí phần tử thứ j

ri rj

rij qj

qj rij

Hình Vector rij vị trí điểm j so với điểm i trước biến dạng là: rij = rj - ri; (1.2)

Sử dụng ký hiệu xác định công ảo hệ thống lực thực ∑ tác động chuyển vị ảo δq sau:

=

= N

i i

R F

F

1

i N

i i

ext F q

W δ

δ ∑

=

=

(1.3) Công nội lực xác định cho trường hợp xem xét:

∑

<=

= N

j i

j i

ij ij r f W

1 ,

int δ

δ (1.4)

Trường hợp hệ thống trạng thái cân bằng, viết ngun lý cơng ảo dạng sau:

∑ ∑

<= =

= N

j i

j i

ij ij i

N

i

i q f r

F

1 ,

δ δ

Giả thiết thân ponton đủ cứng, thoả mãn phương trình chuyển vị z = ax + b, bị tác động ngoại lực Trong trường hợp lực tác động lên thân ponton là:

F1(x) = -k(x) (ax + b) = -γB(ax + b) (a)

L L B

Hình 18

Các số a, b xác định từ hệ phương trình cân tàu: ( ) ( ) ⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = + − = + − ∫ ∫ − − L L L L dx b ax x B dx b ax B 1 γ γ (b)

Từ hệ phương trình nhận được:

⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = = BL b BL a γ γ ξ 2 3 (c)

Lực (b) tính lại theo cơng thức sau thay a, b: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −

=

2 )

( 3 2

1 x L L BL x BL B x F ξ γ γ ξ

γ (d)

Đường ảnh hưởng tác động lực di chuyển cường độ đơn vị, P = 1, viết cho lực cắt momen uốn có dạng sau

Trong đoạn -L ≤ x ≤ ξ ≤ L

Trong đoạn -L ≤ ξ ≤ x ≤ L

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ +

− + = ∫

−

1

3

2 1

3

1

) , (

2

L x L L

x d

L L x

n

x

L

ξ η

η ξ ξ

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= +

−

= ∫ ∫

−

L L

x L

x

d n d n x

m

x

L

2

4

) , ( )

, ( )

, (

2

ξ

η η ξ η

η ξ ξ