Cac phuong phap giai nhanh de thi dai hoc mon toan

Phụ lục 2 là một số mẹo để dùng máy tính đoán nghiệm cố định, phục vụ cho quá trình giải các bài tập về phương trình tích như lượng giác, hệ phương trình, phương trình, cách[r]

Hoàng Việt Quỳnh

Các phương pháp giải toán đại số giải tích

Li nói đu:

Sau 12 năm học tập, cịn kì thi chờ đợi em kì thi đại học Đây kì thi khó khăn suốt 12 năm em ngồi ghế nhà trường Kì thi đại học bước ngoặt lớn đời học sinh học sinh cần phải chuẩn bị kiến thức thật tồn diện nội dung đề thi mang tính liên tục Có lẽ mơn, mơn tốn ln chiếm vị trí quan trọng vật cản lớn bước đường tiến tới giảng đường đại học Vì tơi xin mạo muội góp chút kiến thức thu lượm trình học tập để viết lên sách Hy vọng tài liệu bổ ích cho em học tập

Quyển sách chia thành sáu đơn vị học hai phụ lục Mỗi phần quan trọng, xuất thường xuyên đề thi đại học Ở có đặc điểm sau:

• Phần tóm tắt kiến thức học trình bày ngắn gọn tổng quát nhằm khơi lại phần kiến thức quên em

• Hệ thống làm chọn lọc kĩ lưỡng, có tính điển hình khai thác tối đa góc cạnh vấn đề nêu ra, đồng thời phương pháp giải ngắn gọn, trực quan nhiều kinh nghệm giải đề giúp em hiểu nội dung giải cách áp dụng cho dạng đề thi gặp sau Đồng thời, ví dụ trình bày từ đến nâng cao Đây đề trích từ đề thi dự trữ năm trước tham khảo từ tài liệu thầy có nhiều năm kinh nghiệm q trình luyện thi nên đảm bảo mức độ giới hạn kiến thức Lời giải ví dụ tượng trưng nhằm mục đích nêu lên phương pháp giải, em thầy cô tham khảo liệu tìm trình bày cách giải cách trình bày hợp lí Các em nên tập giải dạng cách thục độc lập sau giải xong mời xem phần lời giải Đó điều mà tác giả kì vọng nhiều

• Lí giải phương pháp, đưa thuật toán giải chung, đưa chất lời giải, phần lời bình, lưu ý cuối tập

Phần phụ lục 12 đề thi tiêu biểu theo cấu trúc đề thi Bộ GD&ĐT công bố Các đề thi có mức độ khó cao, địi hỏi người làm phải tư nhiều Với mức độ khó đó, tơi mong em giải thục đề thi em có đủ tự tin kiến thức để đạt điểm cao làm mơn tốn Phụ lục số mẹo để dùng máy tính đốn nghiệm cố định, phục vụ cho trình giải tập phương trình tích lượng giác, hệ phương trình, phương trình, cách giải nhanh tốn hình học máy tính… Đồng thời giới thiệu thêm phương pháp chia Horner để giúp em làm nhanh tốn có chia đa thức, phân tích thành tích…

Với dự định giới thiệu sách cho em tháng cuối trước thi đại học nên sách giản lược số phần không cần thiết kiến thức bên lề, giới thiệu trọng tâm đề thi nên tập cịn Tơi có lời khun cho sinh tìm thêm đề thi mạng internet kho kiến thức vơ tận

Mặc dù cố gắng sách cịn nhiều thiếu sót thời gain biên soạn ngắn đồng thời kinh nghiệm hiểu biết cịn hạn chế Rất mong góp ý bạn đọc Mọi góp ý xin liên hệ với tác giả qua địa sau:

Hoàng Việt Quỳnh

Khu 6a – Thị trấn Lộc Thắng – Bảo Lâm – Lâm Đồng

Bài I: Ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương trình thức

VD1. Nhắc lại kiến thức đường thẳng

1) Phương trình tổng quát:

Đường thẳng qua M(x0;y0) có vetơ pháp tuyến n

(A;B) đường thẳng có phương trình: (d): A(x-x0)+B(y-y0)=0

(d): Ax+By+C=0

VD1 Đường thẳng qua M(1;2) nhận n(2;1) làm vectơ pháp tuyến (d): 2(x-1)+1(y-2)=0

(d): 2x+y-4=0

2) Phương trình tham số:

Đường thẳng qua M(x0;y0) có vectơ phương a

(a1;a2)

(d):

  

+ =

+ =

t a y y

t a x x

2

1

VD2 Đường thẳng qua M(3;4) nhận a(2;3) làm vtcp có phương trình: (d):

  

+ =

+ =

t y

t x

3 4

2 3

VD3 Cho (d): x+y=4 Viết phương trình tham số (d) Giải:

Vectơ pháp tuyến : n(1,1) Vectơ phương : a(1,-1) Điểm qua M(2;2)

(d) :

  

− =

+ =

t y

t x

2 2

VD2. Ứng dụng

VD1 Giải phương trình : x3 +8+3 12−x3 =10 Giải:

Đặt: x3 +8=1+3t 12−x3 =3-t Đk( -1/3 ≤t≤1/3)

x3 +8=(1+3t)2 (*) 12-x3 = (3-t)2 (**)

Lấy (*)+(**) ta có 20=10t2+10 t2=1 t=1 hoặc t=-1(loại)

x3=8 x=2 Tip:

Không phải ngẫu nhiên mà tơi lại trình bày lại vấn đề đường thẳng, vấn đề tưởng chừng chẳng liên quan đến đại số Nhưng ta nhận “đường thẳng” “tuyệt chiêu” để giải phương trình dạng thức Mấu chốt là:

B1: 3+8+312−3 =10 Y

X

x x

Từ ta có phương trình đường thẳng : X+3Y=10 B2: ta viết lại phương trình: X+3Y=10 theo tham số t

   = = t -3 Y 3t + 1 X

Lúc phương trình quy ẩn t việc giải phương trình khơng khó (Vì kiến thức “lớp nhí”)

Để hiểu rõ phương pháp bạn đến với VD2

VD2 Giải phương trình : X

x+3+

Y x

3 +2=1

Giải:

Gọi (d): X=1+t Y=0+t (1) Đặt

    = + − = + t x t x 2 1 3 (t≤1)     = + + − = + 2 2 1 3 t x t t x

Lấy phương trình trừ pt1 ta có: -1=t3-t2 +2t-1 t3-t2 +2t=0

• T=0 x=-2

Lưu ý:

Trong giải đề thi, bạn nên trình bày từ bước(1) trở nhằm đảm bảo tính ngắn gọn cho tốn Bước gọi phương trình đường thẳng nên làm ngồi giấy nháp

• Trong ta đặt

    = + = + v x u x 2 3

quy giải hệ phương trình Các bạn xem cách tập bạn làm so sánh ưu việt phương pháp

• Trong ta hạn chế phương pháp lũy thừa muốn khử thức khác bậc trên, ta phải ^6 phương trình Ta gặp khó khăn đối mặt với phương trình “kinh khủng” ta phải giải “xịt khói” nghiệm

VD3 Giải hệ phương trình :

( ) ( )     = + + + = − + 2 4 1 1 1 3 y x xy y x

(đề thi ĐH năm 2005)

Giải: Đặt:     − = + + = + t y t x 2 1 2 1 (-2≤t≤2)     + − = + + + = + 4 4 1 4 4 1 2 t t y t t x

 = +4 +3

t4 −10t2 +9=2t2+3

hoặc

t=0 x=y=3

VD4 Định m để phương trình sau có nghiệm:

Giải:

Để phương trình có nghiệm:

m x f( )=

Min f(x)≤m≤Max f(x)

Đặt

   

− = −

+ = +

t x m

t m

x

3 3

3 1 2

(-1/3≤t≤3)

   

+ − = −

+ + = +

2

6 9 3

9 6 1 2

t t x

m

t t m

x

cộng vế với vế => 5m=10+10t2 2t2+2=m f(t)=m Với f(t)= 2t2+2 miền xác định: D=[-1/3;3]

F’(t)=4t =>f’(t)=0 t=0

t -∞ -1/3 +∞ F’(t) - +

F(t)

20/9 20

2

M có nghiệm 2≤m≤20

VD3. Bài tập tự luyện

1) Giải hệ phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

3) Giải hệ phương trình: 2 1 1 1

3 2 4

x y x

x y

 + + − + =

 

+ =

 (đề thi dự bị1A – 2005)

Bài II: Các cách giải phương trình bất phương trình

vơ tỉ

1)Lũy Thừa

Phương pháp lũy thừa phương pháp tổng quát để giải phương trình có Khi gặp phương trình có dạng phức tạp biết “mẹo lũy thừa” giải toán cách dễ dàng Đây phương pháp bản, bạn phải thực tập nhuần nhuyễn phương trình đề thi đại học có lúc dễ ta lại không để ý bạn theo dõi ví dụ sau Nhưng trước hết lưu ý vấn đề sau:

• Đặt điều kiện

• Lũy thừa chẵn hai vế khơng âm • Các dạng bản:

A =B

   = ≥ 0 B A B

A <B

   ≤ ≤ ≥ 0 0 B A B

A >B

          > ≥    ≥ < 0 0 0 B A B A B VD1. Giải:        = − + − + ≥ − ≥ − ≥ 10 ) 5 ( 2 5 0 10 0 5 0 x x x x x x x     − = − ≤ ≤ x x x x 5 5 2 5 0    + − = − ≤ ≤ 2 10 25 ) 5 ( 4 5 0 x x x x x    = + − ≤ ≤ 0 5 6 5 0 x x x

x=1 ∨ x=5

VD2 2 x− x+3< x−1 Giải:

x= x−3+ x−1

    − + + − + + < ≥ ) 1 )( 3 ( 2 1 3 4 1 x x x x x x     − > − + ≥ 1 3 2 1 x x x x

VD3.

Giải:

Đk: 2x+1>0 x>1/2

Bpt (4x2-4x+1)(x2-x+2)≥36 Đặt t = (x2-x) bpt trở thành: (4t+1)(t+2)≥36

4t2+9t-34≥0

t≤-17/4 t≥2

x2-x≤-17/4 x2-x≥2

x≤1 x≥2

VD4. Giải bất phương trình :

Giải:

        

≥ − −

> −

= + −

0 2

0 0

2 2

x x

x x

x x

1 0∨ = =

⇔ x x

Lưu ý:

Ở bất phương trình bạn khơng nên lũy thừa để tính tốn q trình lũy thừa nhân phân phối thời gian Hơn nữa, quy phương trình hệ quả, giải dễ sai giao tập nghiệm khơng có giá trị thỏa mãn

Trong sử dụng cách đánh giá theo kiểu sau:

A B≥0

       

≥ > =

0 0 0

A B B

Đó mấu chốt toán

VD5. Giải phương trình :

Giải:

        

   



 −

= −

≥ −

≥

   



 −

−

2

4 5 3 8

0 5 3

0 4

5 3 2

x x

x x

Lưu ý:

Trong phương trình bạn phải “để ý” “nhanh” chút ta để nguyên phương trình đề cho để lũy thừa điều “khơng cịn dại bằng” ta đối mặt với chuyện lũy thừa lần => phương trình bậc Phương trình ta khơng thể bấm máy tính Nhưng giải tay phải giải “xịt khói” thời gian không chờ đợi Đồng thời khơng cần giải điều kiện vội giám khảo quan tâm đến làm kết Chúng ta viết “cái sườn” điều kiện sau giải nghiệm việc vào điều kiện xong

2)Phương pháp đặt ẩn phụ:

CÁCH GIẢI:

( )

( )

( ( ); ( )) 0 0 ) ( ); (

0 ) ( ); (

= ≤ ≥

n n n

x u x u f

x u x u f

x u x u f

t=n u(x) Phương trình hữu tỉ hệ phương trình

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

VD1.

Giải:

Đặt t= => t>0 ; t2+2= x2 + x

3t=2(t2-1)

t=-0.5 (loại) t=2

x2+x=6 x=2 x=3

VD2.

Giải:

T= x−1

  

= + ≥

x t

t

1 0

2

Phương trình trở thành:

t2+1-(t+1)=2 t2-t-2=0 t=2 hoặc t=-1 x=5

VD3.

pt trở thành: t2+t+2=8 t=2 ∨ t=-3

TH1: t=2

TH2: t=-3

LOẠI II: f(n u(x)+n v(x)) { ≥0; ≤0; =0 } Phương pháp chung:

    = = v x v u x u m n ) ( ) (

=> Đưa hệ phương trình

VD1 23 3 −2+3 6−5 −8=0

x

x (đề tuyển sinh đại học 2009)

Giải:     ≥ = − = − ) 0 ( 5 6 2 3 v v x u x     = − + = + 0 8 3 2 3 8 3

5 3 2 v u v u       − = = + 3 2 8 3 8 3

5

u v v u        − = =       − + 3 2 8 3 8 3 2 8 3

5

u v u u      − = = + − + 3 2 8 0 ) 20 26 15 )( 2 ( u v u u u    = − = 4 2 v u x=-2

LOẠI III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

VD1 Giải hệ phương trình: ( )

( )

3

1 1

1

2 1 2

x y x y y x  − = −    = + 

(ĐH A 2003)

Giải:

ĐK: xy≠0

Ta có ( )1 ( ) 1 1 0

1 x y x y xy xy =    ⇔ −  + = ⇔ = −    TH1:

( )( )

3

1

1 5

1 1 0 2

2 1 2 1

1 5

2

x y

x y

x y x y

x y

x x x

y x x x

x y   = =  =  = =     − + ⇔ ⇔ ⇔ = =     − + − = = + = +     − −  = =  TH2: 3 1 1 1 2 2 1

1 2 0

y

xy x y

x

y x

x x x

x   = −  = − = −    ⇔ ⇔    = +  − = +  + + =  Mà 2

4 1 1 3

2 0,

2 2 2

x + +x =x −  +x+  + > ∀x⇒VN

   

Vậy nghiệm hệ ( ; ) ( )1;1 , 1 5; 1 5 , 1 5; 1 5

1 1 1 1

x y = − + − +    − − − − 

   

VD2 Giải hệ phương trình: ( )

( ) ( )

2

x 1 y(y x) 4y 1

x, y R (x 1)(y x 2) y 2

 + + + = 

∈ 

+ + − =

 (Dự bị A2006)

Giải:

( ) ( ) ( )

1 ⇔x + +1 y x+y−4 =0 *

Đặt: u=x2+ >1 0; v= +x y−4

Hệ ( )

( ) ( ) 0 3

2 4

u yv

u v y

− = 

⇔

+ =

 Thay (4) vào (3) ta có: ( )3 ⇔u+u v( +2 )v=0⇔u1+v v( +2)=0

2 1 0 v v

⇔ + + =

(v 1) 0 v 1 x y 3

⇔ + = ⇔ = − ⇔ + =

Vậy (*) ( )

2

2 1 2

1 0

1 3 0

2 5 3 x y x y x x x y x y = ⇒ = −  + − =  ⇔ ⇔ + − − = ⇔ = ⇒ = = −  

VD3 Giải hệ phương trình

( ) ( )

3

2

x 8x y 2y

x, y R

x 3 3(y 1) *

 − = + 

∈ 

− = +

 (Dự bị 2A 2006)

Giải:

Hệ ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 3

2 2

3 6 4 2 1

2 4

3 6 3 6 2

x y x y

x y x y

x y x y

 − = +  − = +   ⇔ ⇔ − = − =    

Lấy (2) thay vào (1) ta có

( 3) ( 2)( ) 2

3 x y x 3y 4x y x 12y x x y 0

( )( )

2

2 2

3 4 0

12 0

3 6 3 6

x y x y x xy y

x y x y

 − + =

 + − =

 

⇒ ⇔

− = − =

 

 

TH1: 2 3 20 23 1 3

1 3

3 6 6 6

x y x y y x

y x

x y y

− = = = ⇒ =

  

⇔ ⇔

  

= − ⇒ = −

− = = 

 

TH2: 2 2 2

78 4 78

4 4 13 13

3 6 13 6 78 4 78

13 13

y x

x y x y

x y y

y x

 −

= ⇒ =



= − = −

  

⇔ ⇔

 



− = =

 

= − ⇒ =

 

Vậy nghiệm phương trình là:

( ; ) (1;3 ,) ( 1; ,) 78; 4 78 , 78 78;

13 13 13 13

x y = − −  −    − 

   

VD4 Giải hệ phương trình ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

13 1 25 2

x y x y

x y x y

 − + =

 

+ − =



(Dự bị 2005)

Giải:

Nhân vế (1) cho 25 Nhân vế (2) cho 13 Sau lấy (1)-(2)

(1)-(2) ⇔13(x+y)2(x−y)−25(x−y)(x2+y2)=0⇔(x−y)13(x+y)2−25(x2+y2)=0

( )( 2) ( )( 2)

12 26 12 0 2 12 26 12 0

x y x xy y x y x xy y

⇔ − − + − = ⇔ − − − + − =

Dễ thấy x=y không thỏa mãn hệ

( )( )

( )( )

( ) ( )

2 2

2

2

3 2

3 25

3 2 . 25 2

3 2 2 3 0 9 3

2 3

2 3

25

25

3

25 1

. 25

2

4 2

x y

y y

x y y x

x y x y

x y

x y

x y x y

x y x y

x

y y

y

 =

= −  



⇔ −

   



 =   =  = −



− − =

    



= 

⇒ ⇔ ⇔

= 

+ − = 

 

 + − = 



     =

  = ⇔

    =

 Lời bình:

Làm ta phân tích nhanh (−12x2+26xy−12y2)thành nhân tử (3x−2y)(2x−3y)?? Lúc này, cơng cụ máy tính bỏ túi! Các bạn làm sau:

Coi ta khơng thấy ẩn y nên ta có phương trình bậc theo x:(−12x2+26x−12)=0Chắc hẳn bạn biết giải phương trình bậc máy CASIO Ta bấm nghiệm:

3 2

2 3

x= ∨x= Lúc ta gọi lại ẩn y cách thêm y vào sau nghiệm tìm

3 2

2 3

x= y∨x= y Quy đồng bỏ mẫu mẫu số ta có nhân tử cần phân tích Lưu ý

( 2)

12x 26xy 12y 0

− + − = ⇔ (3x−2y)(2x−3y)=0 Nếu giải bất phương trình, bạn nên ý đến dấu phân tích (Trường hợp dấu - : (−12x2+26xy−12y2)= −2 3( x−2y)(2x−3y)=0)

Khi gặp dạng phương trình đa thức có số phía vế phải (hoặc đưa phương trình

vế Mục đích phương pháp quy hệ phương trình tích sau tiến hành phân tích Hầu hết loại phương trình đa thức giải theo cách này!

Bài tập tự luyện Bài 1.

4 2

1 1 x x y x y x y x xy

 − + =

 

− + =



Bài 2.

( ) ( )

2 4

1 1 2

x y x y

x x y y y

 + + + = 



+ + + + = 

Bài 3. ( )

( )

2

2

2

3 7

x xy y x y

x xy y x y

 − + = − 



+ + = − 

Bài 4. ( )

( )

3

log 2 3 5 3

log 2 3 5 3

x

y

x x x y

y y y x

 + − − =

 

+ − − = 

Bài 5.

( )

( )2

1 3 0 5

1 0

x x y

x y

x

 + + − = 



+ − + = 



Bài 6.

9

25 25 16 16

1 x y

x y x y

 + =

 

+ = +



Bài 7.

4 2

2 2 9

2 6 6

x x y x y x x xy x

 + + = +

 

+ = +



Bài 8.

2 2

1 7 1 13

xy x y

x y xy y

+ + = 



+ + = 

Bài 9.

( )

3

1 8

1

x y x

x y

 + − = −

 

− =



Bài 10.

2 2

2

2 3

2 3

y y

x x x

y

 +

=   

+  = 

Bài 11.

3

1 1

2 1

x y

x y

y x



− = − 



Bài III: Phương trình lượng giác

Một số công thức lượng giác cần nhớ:

1 2 2

2

1 1

sin x cos x 1;1 tan ;1 cot .

cos sin

x x

x x

+ = + = + =

2 tanx sin ;cot x cos ; tan 1

cos sin cot

x x

x

x x x

= = =

3 Công thức cộng: sin( ) sin cos cos

cos( ) cos cos sin sin

a b a b asinb

a b a b a b

± = ±

± = ∓

4 Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx

5 cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – = - sin2x

6 Công thức hạ bậc: cos2 1 cos 2 ;sin2 1 cos 2

2 2

x x

x= + x= −

7 Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx

8 Công thức biểu diễn theo tanx:

2

2 2

2 tan 1 tan 2 tan sin 2 ;cos 2 ; tan 2

1 tan 1 tan 1 tan

x x x

x x x

x x x

−

= = =

+ + −

9 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

( )

( )

( )

1

cos cos cos( ) cos( ) 2

1

sin sin cos( ) cos( ) 2

1

sin cos sin( ) sin( ) 2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

= − + +

= − − +

= − + +

10.Công thức biến đổi tổng thành tích

sin sin 2sin cos

2 2

sin sin 2 cos sin

2 2

cos cos 2 cos cos

2 2

cos cos 2sin sin

2 2

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

x y x y

x y

+ −

+ =

+ −

− =

+ −

+ =

+ −

Cách giải phương trình lượng giác đề thi đại học:

Lưu ý trước giải đề:

Các phương trình lượng giác đề thi đại học nhìn qua mắt học sinh thường khó khăn phức tạp chúng quy phương trình đơn giản Đề thi đại học năm xoay quanh biến đổi dạng phương trình tích, đặt ẩn phụ Năm 2009, đề thi có biến đổi phương trình cuối biến đổi dạng cơng thức cộng Nhìn chung phương pháp giải dạng toán em học thuộc công thức rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử…

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI TIÊU BIỂU:

1 Giải phương trình:2 sin 2 4 sin 1 0 6

x π x

 

− + + =

 

  (1)

Giải:

(1) 3 sin 2x−cos 2x+4sinx+ =1 0 2 sinx( 3 cos 2x+2)−2sin2x=0 2 sinx( 3 cosx−sinx+2)=0

sinx 0 1

3 cos sin 1 cos cos

2 6

x k

x x x x

π

π

= ⇔ = 



 

 − = − ⇔  + =

  



5 2

6 7

2 6

x k

x k

x k

π π

π

π π

  = 

 = + 

 −  = + 

2 Tìm nghiệm khoảng (0; π) phương trình :

Giải:

Tìm nghiệm ∈(0,π)

Ta có 4sin2 x 3 cos2x cos x2 3

2 4

π

 

− = +  − 

  (1)

(1) 2 cosx( ) 3 cos2x 1 cos 2x 3

2

π

 

⇔ − − = + +  − 

 

(1) ⇔ −2 cosx− 3 cos2x sin 2x= −

(1) ⇔ −2 cosx= 3 cos2x sin 2x− Chia hai vế cho 2: (1) ⇔ −cosx= 3cos2x−1sin 2x

2 2

( )

cos 2x cos x 6

π

 

⇔  + = π −

  ( ) ( )

π π π

⇔x=5 +k2 a hay x= −7 +h2π b

18 3 6

2 3

4 sin 3 cos 2 1 cos ( )

2 4

x

x x π

Do x∈(0,π) nên họ nghiệm (a) chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chọn h = Do ta có ba nghiệm x thuộc (0,π) x1 5 ,x2 17 ,x3 5

18 18 6

π π π

= = =

3 Giải phương trình :

2 cos ( ) 3cos sin 0 4

x−π − x− x= (2)

Giải: (2)

3

2 cos x 3cosx sin x 0

4

π

  

⇔   −  − − =

 

 

( )

⇔ + − − =

⇔ + + + − − =

3

3 2

cosx sin x 3cosx sin x 0

cos x sin x 3cos xsin x 3cosxsin x 3cosx sin x 0

=



⇔ 

− =



cosx 0

sin x sin x 0

≠

 

+ + + − − − − =

 3

cosx 0 hay

1 3tgx 3tg x tg x 3tg x tgx tg x 0

⇔sin x 12 = haytgx 1= x k

2

π

⇔ = + π hay x= π+ πk

4

4 Giải phương trình :

2

cos 2 1

( ) 3

2 cos

x tg x tg x

x

π −

+ − = (Đề dự bị khối B 2005)

Giải: (2)

2

2

2sin x cot gx 3tg x

cos x

−

⇔ − − =

π

⇔ − 1 −tg x 02 = ⇔ tg x3 = − ⇔1 tgx= − ⇔1 x= − + πk ,k Z∈

tgx 4

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: A Đặt t=sinx

Cos2x= – sin2x = 1-t2 t∈[-1;1] Tan2x =

2

sin cos

x

x =

2

1

t t

−

Cos2x = 1 sin− x = 1-2t2 Sin3x = 3sinx−4 sin3x=3t−4t3

B Đặt t = cosx

2 2

sin x= −1 cos x= −1 t cos 2x=2t2+1

2

2

2

sin 1

tan

cos

x t

x

x t

−

= = cos 3x=4 cos3x−3cosx=4t3−3t

1 cotx

t

= cos2 1 2

1 x

t

= +

2

2

sin 1

t x

t

= +

2

1 cos 2

1

t x

t

− =

+

1 s in2x=2t

1 t

 

 

+

 

2 t an2

1 t x

t

= +

sin cos tan

sin cos tan

a x b x a x b at b c x d x c x d ct d

+ + +

= =

+ + +

D Đặt t=sinx ± cosx t∈ − 2; 2

sinxcosx

2

1 2

t −

=

± sin2x= ( )

2

1 t

± +

( )( )

3 2 1 3

sin cos sin cos sin cos sin cos 1

2 2

t t

x+ x= x+ x x+ x− x x =t − − = −

 

NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Biến đổi: Đặt t

Phân tích thành tích Nguyên tắc :

Lũy thừa Hạ bậc

Tích Tổng

Tổng Tích

Biến đổi khơng đổi biến

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI TIÊU BIỂU:

Bài cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

1 tan 2

x

x x x

x

− = + −

+

Giải:

Đặt t=tanx, pt trở thành:

( )

2

2

2

1 1

1 1 2

1 0; 1

1 1 2 1

t

t t t

t t

t t t t

 −   

+  

− = + − ≠ ≠ −

+ + +

3

2t 3t 2t 1 0

⇔ − + − = ⇔ =t 1 tan 1

4 x x π kπ

⇔ = ⇔ = +

Bài cos 3x+cos 2x−cosx− =1 0

Giải:

Đặt t=cosx, pt trở thành:

3

4t 3t 2t 1 t 1 0

cos 1 1 2 1 cos cos 3 2 x t x t π = ± = ±     ⇔ − ⇔ = =   2 2 3 x k x k π π π =   ⇔ = ± + 

Bài Giải phương trình: 1 sin− x+ 1 cos− x =1 (đề thi dự bị2 A – 2004) (1) Giải:

(1) 1 sin− x−cosx+2 (1 sin )(1 cos )− x − x =0

Đặt t=sinx +cosx

⇔ 1 sin 2 t

xcosx= −

Pt trở thành:

2

1

1 2 1 0

2

t

t − t

− + + − = ⇔t2−2t+ = +1 4 2t2− −2 4t⇔(t−1)2 =0⇔ =t 1

Sinx+cosx =1 2 sin 1

4 x π

 

+ =

 

  sin x 4 sin 4

π π

   

+ =

   

    x=kπ

Bài ( )

2

2

cos

sin 6 tan 1 sin 2

1 sin

x

x x x

x

+ + − =

+

Giải:

Đặt t=sinx t∈ −[ 1;1]

pt trở thành:

( )

2

2

1

6 1 2 6 1 0

1 1

t t

t t t t

t t − + + − = ⇔ − − = + − 2 1 6 1 sin 5 2 2 2 1 6 sin sin 3 1 arccos 2 3 x k t x x k x t x k π π π π α π  = +    =    =   ⇔ ⇔ ⇔ = + −   = =     − = + 

Bài sin6 cos6 1cos 8

4

x+ x= x (1) Giải:

(1) 1 3sin 22 1cos 8 1 3 cos 4 1cos 8

4 4 4 2 4

x

x x  −  x

− = ⇔ −  =

 

Đặt t=cos4x t∈ −[ 1;1] pt trở thành:

( )

2

4

3 1 1 2 4 16 4

1 2 1

3 3

4 2 4 2

4

4 16 4

2

k x

t x k

t

t

k

x k x

Bài tập tự luyện

sin 2x sin x 1 1 2 cot g2x 2 sin x sin 2x

+ − − =

2 x 3 cos 2 4 2 x cos 4

2 x 5

sin =

  



 π

− −

   



 π

−

2 cos x sin x cosx 3(sin x2 + + = + 3 cosx)

tgx cotgx

x sin

x 2 cos x cos

x 2 sin

− = +

(2 cos 1 sin)( s in2 ) cos 2 1

2 x− x+ x − x=

(2 sinx+1 cos)( x−1)=1

sin3x+cos3x= 2 sin cos( − x x) 2 sin cos cos 1

2 x

x − x=

sin4 cos4 cos .sin 3 3 0

4 4 2

x+ x+ x−π   x−π − =

   

Cho phương trình: 2 sin cos 1

sin 2 cos 3

x x

a

x x

+ +

=

− + (2) (Đề dự bị khối a 2002)

1 giải phương trình a=1

3

2 tìm a để phương trình (2) có nghiệm

tan cos cos2 sin 1 tan tan 2 x x+ x− x= x + x 

 

( )

2

4

2 sin 2 sin 3 tan 1

cos

x x

x

x

Bài IV: Tích Phân

Lưu ý trước giải đề thi:

Tích phân tốn thường xuất đề thi đại học Kể từ năm 2002, bắt đầu tiến hành thi “Ba chung” dạng toán tích phân ứng dụng ln xuất câu điểm Bài tập phần khơng q khó phải địi hỏi kĩ phán đốn, phân tích đề, nắm rõ cách làm tốn tích phân đổi biến số tính theo tích phân phần… em theo dõi ví dụ

NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN: Gồm có phương pháp chính:

A ĐỔI BIẾN:

• Đổi biến loại 1:

( )

( ) '( )

f u x u x dx đặt t=u(x)

Chú ý: Các biểu thức có quan hệ đạo hàm

GIẢI CÁC VÍ DỤ:

VD Tính tích phân:

2

2

sin 2 3 cos x I

x

π =

+

∫

Giải:

Đặt t= +3 cos2 x⇒dt=2 cosx(−sinx dx) ⇒dt= −2 sin 2xdx

X

0

2

π

t

4

4 4

ln ln

3 3

dt

I t I

t

−

=∫ = ⇒ =

VD2 Tính tích phân:

6

dx I

2x 1 4x 1

=

+ + +

∫ ( Đề DB 1A – 2006)

Giải:

Đặt t= 4 1 4 1 1

2

x+ ⇒t = x+ ⇒ tdt=dx

X t

( )

( ) ( )

5 5

2

3 3

5

1 1 1 3 1

ln 1 ln

3

1 1 2 12

1 1

t dt dt dt

t

t t

t t

+ −  

= − = + +  = −

+  + 

+ +

∫ ∫ ∫

VD3 Tính tích phân:

4

0 cos 1 tan dx I

x x

π =

+

∫

Đặt t=

2

1 tan 1 tan 2

cos dx

x t x tdt

x

+ ⇒ = + ⇒ =

X

0

4

π

t 1 2

2

1

2 2

2 2 2 2 2

1 tdt

I dt t

t

= ∫ = ∫ = = −

VD Tính tích phân:

e

1

3 ln x

I dx.

x ln x

− =

+

∫ Giải:

Đặt t= 1 lnx t2 1 lnx tdt dx x

+ ⇒ = + ⇒ =

X e t 2

( )

( )

2

2

2

1

3 1 10 11

4

3 t

I tdt t dt

t

− − −

= ∫ = ∫ − =

1 Đổi biến loại 2:

Bậc tử lớn bậc mẫu: chia đa thức

Bậc tử nhỏ bậc mẫu:

Xét quan hệ đạo hàm ⇒ Đổi biến

Mẫu có nghiệm⇒ Tách phân thức Hàm hữu tỉ (mẫu vô nghiệm):

( )

( )2

du

u x +a

∫ Đặt u(x)=atant

Hàm thức:

( )

( )2

a + u x ⇒Đặt u(x)=atant

( )

( )2

u x

a − ⇒ Đặt u(x)=asint (hoặc u(x)=asint)

VD Tính tích phân: I=

3

0 9

dx

x +

∫ Giải:

Đặt x=3tan(t)

( )

3 tan 1

dx t dt

⇒ = +

X t

( )

( )

2

2

3 tan 1 1

4

3 12

9 tan 1

0

t dt

I t

t

π

π π

+

= = =

+

∫

VD Tính tích phân:

( )

5

2

1 9 1

dx I

x

=

− −

∫

Giải: Đặt x-1= 3sint

3cos dx tdt

⇒ =

X

1 5

2

t

0

6

π

6 6

2

0 0

3cos cos cos

6

cos 6

9 9sin 1 sin 0

tdt tdt tdt

I t

t

t t

π π π

π π

= = = = =

− −

∫ ∫ ∫

VD Tính tích phân:

3 2

1 3

dx I

x x

=

+

∫ Giải:

Đặt x= 3 tant ⇒dx= 3 tan( x+1)dx

X t

6

π

3

π

( ) 3 3

2

2

2

2

6

1

3 tan 1 1 1 cos

cos

3 sin 1 3 sin

3 tan 3 tan 3

cos cos dt

t tdt

t

I dx

t t

t

t t

π π

π π

+ −

= = =

+

∫ ∫ ∫

( )

3

sin

1 1 3 6 3

3 sin 3sin 9

6

d t

I

t t

π

π

π

π

B PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức:

b b

a a

b

udv uv vdu

a

= −

∫ ∫ (1)

Cách lấy phần tích phân:

Kí hiệu P(x) đa thức Khi gặp hai dạng nguyên hàm sau đây, ta thường dùng phương pháp tích phân phần:

Dạng 1: ∫P x( )lnxdx ta đặt u=lnx (Do lnx khơng có ngun hàm)

Dạng 2: ( ) sin( ) cos( )

ax b

e

P x ax b dx ax b +

 

 

+

 

 + 

 

∫ ta đặt u=P(x)

Với cách lấy công thức ta toán dẫn tới nguyên hàm đồng dạng với bậc P(x) thấp hơn…

GIẢI CÁC VÍ DỤ:

VD Tính tích phân:

2

I (x 1)sin2xdx.

π

=∫ + (đề dự bị khối D 2005) Giải:

Đặt: ( )

2

1

1 1

cos 2 2 cos 2 1

1

2 2 4

s in2 cos 2

0 2

u x du dx

x

I x xdx

dv xdx v x

π

π

π

= + ⇒ = 

− +

 ⇒

= + = +

 −

= ⇒ =

 ∫

VD Tính tích phân:

2

I=∫(x−2)lnx dx. (đề dự bị khối D 2006) Giải:

Đặt:

( )

1 ln

2

2 2

du dx

u x x

dv x dx x

v x

 =  =

 ⇒

 

= −

  = −



2

1

2 5

2 ln 2 ln 4

1

2 2 4

x x

I  x x  dx

⇒ = −  −  −  = − +  

  ∫

VD Tính tích phân:

2

4

sin xdx

π

∫ Giải:

Đặt t= x⇒t2 =x⇒2tdt=dx X

0

2

4

π

t

2

2 sin B t tdt

π = ∫

Tính

2

sin I t tdt

π =∫

Đặt:

sin cos

u t du dt

dv tdt v t

= =

 

⇒

 

= = −

 

2

cos 2 cos cos 0 cos sin 2 1

2 2

0 0

I t t tdt t

π

π π

π π

= − +∫ = − + + =

B=2I=2

VD Tính tích phân: A=

2

cos x

e xdx

π

∫

Giải:

Đặt:

sin cos

x x

u e du e dx

dv xdx v x

 =  =

⇒

 

= − = −

 

2 2

0

0 0

cos 2 cos cos cos 0 cos 1 cos

2 0

x x x x

A e x e xdx e e e xdx e xdx

π π π

π

π

π

= − +∫ = − + +∫ = +∫ (1)

Tính

2

cos x

K e xdx

π =∫

Đặt:

cos sin

x x

u e du e dx

dv xdx v x

 =  =

⇒

 

= =

 

2

2

sin 2 sin

0

x x

K e x e xdx e A

π

π

π

= −∫ = −

Thay vào (1):

2

2 1

1 2 1

2

e

A e A A e A

π

π π

+ = + − ⇒ = + ⇒ =

VD Tính tích phân: A=

0

sin cos

x x xdx

π

∫ Giải:

Đặt: 2

2 sin cos

sin cos

du dx

u x

v x xdx

dv x xdx

=  =

 

⇒

 

= =

  ∫

Tính: v=∫sin cosx 2xdx

V=

3

2 cos

3 3

t x

t dt − C C

−∫ = + = − +

Chọn C=0

3

cos 3

x v

⇒ = −

Vậy

3

3

cos 1 1

cos 0

3 3 3 3

x

A x xdx K

π

π π

= − + ∫ = + (1)

Tính ( )

0

cos 1 sin cos

K xdx x xdx

π π

=∫ =∫ −

Đặt t=sin(x) ⇒dt=cosxdx

X π

t

( )

0

1 0

K =∫ −t dt=

Thay vào (1): 1

3 3 3

A=π + K =π

VD Tính tích phân:

2

sin 1 cos

x x

D dx

x

π

π

+ =

+

∫ Giải:

2

sin 2 cos

2

x x

D

x

π

π

+

=∫ Đặt:

( )

2

sin

1 cos 1

tan

2 cos 2

2

u x x

du x dx

dv dx x

x v

= +

 

= +

 ⇒

 = 

=

 



Vậy: ( ) ( )

2

3 3

2

sin tan 1 cos tan 1

2 2 2 3 2 3

3

x x

D x x x dx K

π

π

π

π π

π

 

 

= + − + = +  − +  −

   

∫ (3)

Với: ( )

2 2

2

3 3

1 cos tan 2 cos tan sin

2 2 2

x x x

K x dx dx xdx

π π π

π π π

=∫ + =∫ =∫

1 2 cos

2 3

x

π

π

= − =

Thay vào (3) ta có: D=( )

9 3 18

π

Bài tập tự luyện

Tính tích phân:

3

sin . I x tgxdx

π

=∫

Tính tích phân:

7

2 1 x

I dx

x

+ =

+

∫

Tính tích phân:

0

ln e

I =∫x xdx

Tính tích phân:

4

sin

( xcos )

I tgx e x dx π

=∫ +

Tính tích phân:

0

cos sin

I x xdx

π

=∫

Tính tích phân:

3

2

6

tan cot 2

I x x dx

π

π

=∫ + −

Tính tích phân: ( )

2

2 cos 2

I x dx

π

π

−

= ∫ +

Tính tích phân:

3

sin sin 3 tan cot 2

x x

I dx

x x

π

π

=

+

∫

Tính tích phân:

10

dx I

x 2 x 1

=

− −

∫

Tính tích phân:

e

1

3 ln x

I dx.

x ln x

− =

+

∫

Tính tích phân: 2

0

sin 1 sin

x x

I

x

π

= +

∫

Tính tích phân:

3

0

sin sin cos 2

x x

I

x

π

+ =∫

Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( )P : y = x2− +x 3 đường thẳng

d : y = 2x 1.+

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: ( ) ( ) ( )

2

2 27

1 ; 2 ; 3

27

x

C y x C y C y

x

Bài V:Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số Lưu ý trước giải đề thi:

Các toán dạng câu chiếm điểm, thường nằm câu thứ sau phần khảo sát hàm số đề thi đại học Muốn giải dạng tốn ta cần nắm vững lí thuyết tăng, giảm hàm số, vấn đề cực trị, tương giao hai đồ thị (điều kiện tiếp xúc hai đường cong)… Các ví dụ trình bày cách có hệ thống vấn đề nêu cách giải đơn giản dễ hiểu Các bạn tham khảo ví dụ sau đây:

I: SỰ TĂNG GIẢM CỦA HÀM SỐ: Nhắc lại kiến thức:

Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm miền I

( ) 0;

f x ≥ ∀ ∈x I Hàm số tăng

( ) 0;

f x ≤ ∀ ∈x I Hàm số giảm

VD Cho hàm số: ( ) 1 ( 2)

3

y= f x = x −mx + m +m− x Tìm m để hàm số:

a Tăng R

b Giảm (0;2)

c Tăng (4;+∞)

d Giảm đoạn có độ dài

e Tăng khoảng (−∞; 4) và(2;+∞)

Giải:

TXĐ: D=R

2

' 2 2 ' 2

y =x − mx+m +m− ⇒∆ = −m+

a Ycbt ∆ ≤' 0⇔ −m+ ≤2 0⇔m≥2 b Ycbt ( )

( )

2

' 0 0 2 0

1

' 2 0 3 2 0

y m m

m

y m m

 ≤  + − ≤

 

⇔ ⇔ ≤

 

≤  − + ≤

 



Vì

c Ycbt

TH1: ∆ ≤' 0⇔ −m+ ≤2 0⇔m≥2

x -∞ +∞

F’(x) + - +

TH2: ( )

2 ' 0

' 4 0 9 14 0

4 4

2

m

y m m

m S



∆ >  <

 

≥ ⇔ + + ≥

 

  < −

  <



Vậy ycbt ( ; 7)

2 m m

 ∈ −∞ −



≥



d Ycbt x1 x2 2 2 2 2 m 2 2 m 2 1 m 1

a

∆

⇔ − = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ =

Chú ý: X1=

' b

a

− + ∆

; x2=

' b

a

− − ∆

⇒ x1−x2 = 2

a

∆

e Ycbt

( ) ( )

2

' 0

2 ' 0

2 0

2 ' 4 0

9 14 0

2 1

' 2 0

3 2 0

4 2

4 2

2

m m

m y

m m

m y

m m

S

m

∆ ≤



≥

 

∆ >

 

 − + >

 

 ≥   ≥

 

⇔ ⇔ + + ≥ ⇔

− ≤ ≤

 

 − ≥ 

− + ≥



 





 

 − < < − < < 

 

VD Cho hàm số ( )

2

2 2

1

3 3

m

y=− x +mx + m m− x+ tìm m để hàm số:

a Giảm miền xác định

b Tăng (0;2)

c Giảm (6;+∞)

d Tăng đoạn có độ dài

e Giảm khoảng(−∞; 0) (6;+∞)

Giải:

MXĐ: D=R

2

' 2

y = −x + mx+m m−

' m

∆ =

a Giảm miền xác định

' 0 m 0

⇔ ∆ ≤ ⇔ ≤

b Tăng (0;2)

( ) ( )

2

' 0 0 0

1

' 2 0 5 4 0

y m m

m

y m m

 ≥ − + ≥

 

⇔ ⇔ ⇔ =

≥ − + + ≥

 



c Giảm (6;+∞)

TH2: ( )

0 ' 0

' 6 0 13 36 0

6 6

2

m

y m m

m S



∆ >  >

 

≤ ⇔ − + − ≤

 

  <

  <



Vậy YCBT

[ ]

0

4 0; 4

m

m m

≤



⇔ ⇔ ≤

∈



d Tăng đoạn có độ dài

1

2 '

2 2 2 2 1

x x m m

a

∆

⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

e Giảm khoảng(−∞; 0) (6;+∞)

TH1: (Giảm D):

' 0 m 0

∆ ≤ ⇔ ≤

TH2:

( ) ( ) ' 0 ' 0 0

1 4

' 6 0

0 6

2

y

m y

S

∆ ≥  

≤ 

⇔ ≤ ≤

 ≤

 

< < 

Tóm lại: ycbt 0

1 4

m m

≤  

≤ ≤ 

II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Nhắc lại kiến thức:

X X0

Y’ + - Y

Cực Đại

X X0

Y’ - +

Y

Cực Tiểu

c Hàm số đạt CĐ CT điểm có hồnh độ >-1

d Hàm số đạt CĐ CT điểm có hoành độ nằm [-2;3]

e Hàm số đạt CĐ CT điểm có hồnh độ dương

f Hàm số đạt CĐ CT điểm có hoành độ trái dấu

g Hàm số đạt CĐ CT x1;x2 cho(x13+x23) nhỏ Giải:

MXĐ: D=R

2

' 2 2 1

y =x − mx+ m −

2

' m 1

∆ = − +

' 0

∆ > :

X −∞ X1 X2 +∞

Y’ + - + Y

CĐ

CT

a Ycbt Hàm số đạt cực đại x=0

( )

' 0 0

2 1 0 2

2 0

0 2

y

m

m S

m

 = 

− = 

⇔ ⇔ ⇔ =

> <  



b Ycbt :

( )

2

1 1 0

' 0

0

' 1 0 2 2 0

1 1

1 1

2

m m

m

y m m

m m

S

m

  <

∆ > − + > 

   <

⇔ > ⇔ − > ⇔

>



  < 



 <  <

 

⇒ − <1 m<0

c Ycbt Hàm số đạt CĐ CT điểm có hồnh độ >-1

( )

2

1 1

' 0

0

' 1 0 2 2 0

1 1

1 1

2

m m

m

y m m

m m

S

m

  <

∆ >  < 

   >

⇔ − > ⇔ + > ⇔ ⇔

< −



  > − 



 > −  > −

 

0<m<1

d Hàm số đạt CĐ CT điểm có hồnh độ nằm [-2;3]

Ycbt

( )

( ) ( )

( )

2

' 0

1 ' 2 0

2 4 3 0

1 1

' 3 0

2 6 8 0

2 3 2 3

2

m y

m m m

m y

m m m

S

m

∆ >

 

<

 

− ≥

  + + ≥ ∀



⇔ ≥ ⇔ ⇔ − < < − + ≥ ∀

 

 

− ≤ ≤ − ≤ ≤ 

Ycbt ( )

1 1

2

1 1

' 0

2 2

' 0 0 2 1 0 1

2 2

0

0 2

2

0

m

m m

y m m

m m

S

m

− < < 

 

 ∆ > − < < 

≤ − 

  



⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ≤ < 

  > 

≥  

 < 

 

> 

f Hàm số đạt CĐ CT điểm có hồnh độ trái dấu

( ) 2

' 0 0 2 2

2 1 0

2 2

' 0 1

y

m m

m

 < −



⇔ ⇔ − < ⇔ < < ∆ > ⇒ <



g Hàm số đạt CĐ CT x1;x2 cho (x13+x23) nhỏ Ycbt

( 2)3 2( 2) ' 0

3 min

P x x x x x x

∆ >  ⇔

= + − + →

 (1)

Với

2 2

2 1

2 x x m x x m

 = −

 

+ =

 Vậy ta có (1) ( ) ( )

2

3 2

1 0

2 3 2 1 2 min

m

P m m m

− + >



⇔

= − − →



3

1 1

4 6 min

m

P m m

− < < 

⇔

= + → 

2

2 2

' 12 6 ' 0

2 2 m

P m P

m 

=

 

⇒ = − + ⇒ = ⇔



= −

 

Bảng biến thiên:

X −∞ -1

2 2

− 2

2 +∞

Y’ - + -

Y

-2 2 2

-2 2

min 2 2

P = − 2

2 m= −

Lời bình:

X −∞ -2 X1 2

S

X2 +∞

Y’ + - + Y

CĐ

CT

Từ ta có ( )

( ) ' 2 0 ' 3 0

y y

 − ≥ 



≥

 Vậy điều kiện thứ biểu rõ ràng bảng biến

thiên Đây thực xét quan hệ dấu hệ số a:af ( )α ta biết rõ dấu a cần đặt dấu vào trước f ( )α Đây bước rút gọn thời gian mà em nên làm, tránh khai triển thời gian

-2 S

tổng hai nghiệm X1;X2 phương trình y’=0 hay 2

b a

−

Rõ ràng X1;X2 nằm

trong [-2;3]

2 S

phải nằm đoạn Vì

2 b a

−

giá trị rút dễ dàng từ phương trình gốc nên ta chọn giá trị trung bình làm điều kiện Nút thắt thứ gỡ

bỏ

- Lời khun là: gặp dạng tốn học sinh vẽ bảng biến thiên giấy nháp sau tùy theo câu hỏi mà điền thơng số thích hợp vào bảng từ hướng giải phơi bày!

Tơi có tham khảo qua vài tài liệu thầy giáo thấy phần lớn sách trình bày lời giải cách máy móc, khơng trực quan, nhiều lúc coi luẩn quẩn Ví dụ: tìm m để hàm số y=f(x) tăng (1;+∞), thầy trình bày sách lớp theo phương pháp Min-Max, xét nhiều trường hợp… Những cách giải khơng phải sai nhiên điều đơi làm khó em học sinh trình tư tìm trường hợp, em học sinh trung bình Phương pháp xét dấu trình bày vừa ngắn gọn rõ ràng lại không bỏ sót trường hợp tốn đơn giản hóa

Cách giải áp dụng cho hàm số

2

' ' '

ax bx c

y

a x b x c

+ + =

+ + dạng đạo hàm

( )

2

2

2

' ' ' ' ' '

'

' '

a b a c b c

x x

a b a c b c

y

a x b x c

+ +

=

+ +

Trong trường hợp này, tùy biểu thức mẫu có nghiệm hay khơng ta đặt thêm trường hợp Vì mẫu thức ≥0 nên xét dấu ta cần xét dấu tử số tương tự ví dụ trình bày

Dạng hàm số khơng cịn thơng dụng ( giới thiệu sơ lược sách giáo khoa) nên xu hướng đề xoay quanh hàm là: bậc 3, trùng phương

' '

ax b y

a x b

+ =

+

Bài 2: Cho (Cm): y=x3−3mx2+3(m−1)x+4

Định m để:

a C(m) có hai điểm cực trị A;B cho AB thẳng hàng với C(1;-1)

b C(m) có hai điểm cực trị A;B cho AB =2 5

MXĐ: D=R

Tọa độ điểm cực trị thỏa hệ: ' 0

( )

y

y f x

=  

= 

Vậy: y'=x2−2x−m+ =1 0 ( )

3

3 3 1 4

y=x − mx + m− x+ ( )( )

0

2 1

y x x m cx d ax b ax b

⇒ = − − + + + + = +

( )

2 1 ( 1) 2 5

y x x m x mx m

⇔ = − − + − − − +

( ) ( )

2

2 1 0 1

2 5 2

x x m

y mx m

 + − + = 

⇔

= − − + 

C(m) có hai cực trị (1) phải có nghiệm phân biệt ⇒∆ ≥' 0 ⇒m>0

a C(m) có hai điểm cực trị A;B cho AB thẳng hàng với C(1;-1) (2) ⇒ phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y= −2mx−m+5

Vì AB thẳng hàng với C(1;-1) ⇒ C ∈ AB nên: -1=-2m.1-m+5 ⇔m=2

Vậy với m=2 AB thẳng hàng với C(1;-1)

b C(m) có hai điểm cực trị A;B cho AB = 2 5 ( )

2 '

1 x x 2 m

a

∆

⇒ − = =

( )2 ⇒ y2−y1 = −2m x( −x1) = −4m m ( ) ( )

2

2 2 5

AB x x y y

⇒ = − + − =

2

1

16 4 20 5

4 m

m m

m

=

 

⇒ + = ⇔

= −



So sánh đk⇒ m=1

c C(m) có hai điểm cực trị A;B cho AB cách ∆:y=2

Ycbt ⇔d A( ;∆ =) d B( ;∆) với ∆:y=2

( )

1 2

1

1 2

2 2

2 2

2 2 4

y y y y

y y

y y y y

− = −

  =

⇔ − = − ⇔ ⇔

− = − −  + =



( 2mx1 m 5) ( 2mx2 m 5) 4 2m x( x2) 2m 10 4

⇔ − − + + − − + = ⇔ − + − + =

2 2m m 10 4 m 1

⇔ − − + = ⇔ =

Bài 3: Cho (Cm): y=x3+3x2−3(m−1)x Định m để:

a C(m) có hai điểm cực trị A;B cho ∆OAB vuông O

b C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm khác phía với trục Ox

c C(m) có hai điểm cực trị A;B phía với trục Oy

d C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm cách đường thẳng y=5

e Có đường thẳng qua hai điểm cực trị cách gốc tọa độ khoảng

CT

CD

x

y

1 x x

5

y=

MXĐ: D=R

Tọa độ điểm cực trị thỏa hệ: ' 0

( )

y

y f x

=  

= 

( ) ( )( )

2

3 2

'

2 1 0

3

3 3 1 2 1 1 2 1

y

x x m

y x x m x x x m x mx m



= + − + = 

⇔

 = + − − = + − + + − + −



( ) ( )

2

2 1 0 1

2 1

x x m

y mx m

 + − + = 

⇔

= − + − ∆ 

C(m) có hai cực trị (1) phải có nghiệm phân biệt ⇒∆ ≥' 0 ⇒m>0 (*)

a C(m) có hai điểm cực trị A;B cho ∆OAB vuông O Ycbt ⇔OA⊥OB

.

OA OB

⇔ với ( )

( )

; ; A A

B B

OA x y

OB x y

 =  

= 

( )( )

1 2 0 2 1 2 1 0

x x y y x x mx m mx m

⇔ + = ⇔ + − + − − + − =

( )( ) ( )2

2

1 4 2 2 1 0

x x m x x m m x x m

⇔ + + − + + + − =

⇔ (−m+1)+4m2(−m+1)+ −( 2m2+2m) 2− +(m−1)2 =0

3

4m 9m 7m 2 0

⇔ − + − + = ( )( )

4 5 2 1 0

VN

m m m

∆=−

⇔ − + − − =

⇔m=1

(thỏa điều kiện(*))

b C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm khác phía với trục Ox Ycbt ⇔ y y1. 2 <0 ⇔ −( 2mx1+m−1)(−2mx2+m−1)<0

( )( ) ( )2

2

1 2

4m x x 2m 2m x x m 1 0

⇔ + − + + + − <

( ) ( ) ( )2

2

4m m 1 2 2m 2m m 1 0

⇔ − + − − + + − <

( )( )2

3

0

4m 9m 6m 1 0 4m 1 m 1 0

≥

⇔ − + − + < ⇔ − + − <

1 4 1 m m 

>



⇔

 ≠



c C(m) có hai điểm cực trị A;B phía với trục Oy Ycbt⇔x x1 2 >0 (x1cùng dấu với x2) ⇔ −m+ >1 0⇔m<1

d C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm cách đường thẳng y=5

Ycbt : y=5 cắt (Cm) trung điểm AB M trung điểm AB có tọa độ 2; 2 1

2 x x

mx m

+

 

− + −

 

 

( 1;3 1)

M m

⇒ − − Ycbt ⇔5=3m− ⇔1 m=2

So sánh với điều kiện (*) ta thấy m=2 kết cần tìm

e Có đường thẳng qua hai điểm cực trị cách gốc tọa độ khoảng

:y 2mx m 1 : 2mx y m 1 0

Ycbt⇔d O( ;∆ =) 1

( )2

2 0 1

1

2 1

m m

m

+ − +

⇔ =

+

( )2 ( )2 2

1 2 1 3 2 0

m m m m

⇔ − + = + ⇔ + =

0 2 3 m m

=

 

⇔ −

=



So sánh với điều kiện m>0 ta nhận thấy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán

f Có đường thẳng qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn (x−1)2 +(y−1)2 =4

Ycbt ⇔d I( ;∆ =) R với tâm I(1;1) R=2

: 2mx y m 1 0

∆ + + − =

( )2

2 1 1

2

2 1

m m

m

+ − +

⇒ =

+

⇔(m+2)2 =16m2+4⇔ −15m2+4m=0 0

4 15 m m

=

 

⇔ =



So sánh với (*) ta nhận 4

15 m=

g Có đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác cân

Gọi M giao điểm ∆ Ox: 2 1 0 1; 0

0 2

mx m m

M

y m

− + − =

  − 

⇒ ⇒  

=  



Gọi N giao điểm ∆ Oy: 2 0 1 (0; 1) 0

y m m

N m

x

= − + − 

⇒ ⇒ −

= 

Ycbt 1 1 1 1 1 0

2 2

M N

m

x y m m

m m

 

−

⇔ = ⇔ = − ⇔ −  − =

 

1 1 2 1 2

m m m

  =   ⇔ =

  −  = 

Dễ thấy với m=1, ∆đi qua gốc tọa độ, với m= 1

2

−

không thỏa (*) nên loại Vậy ta chọn 1

2 m=

h Có đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích =8

Ycbt: 1 . 1 1

2 8 2

OMN M N

S∆ OM ON x y

⇔ = ⇔ =

( 1)2

1 1 1

. 1

4 2 4 2

m m

m

m m

− −

⇔ = − ⇔ =

( )

2

2

2

2 1 1

2

2

2 1

2

m m

m m

m m

m m VN

  =

 − + = ⇔

  =

⇔ 



−  − + = 

III: SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

Nhắc lại kiến thức:

Cho: C1:y= f x( ); C2:y=g x( )

Số giao điểm C1 C2 số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm:

( ) ( )

f x = g x

Đặc biệt C1 tiếp xúc C2:

( ) ( ) ( ) ( )

' '

f x g x

f x g x

=

 

=



Lưu ý: Không sử dụng điều kiện nghiệm kép để làm dạng toán tiếp xúc hai đồ thị Để hiểu rõ hơn, ta đến với ví dụ sau:

Bài 1: Cho hàm số ( ): 2 3 2 ( 2) 1

m

mx m

C y m

x

− −

= ≠ −

− ( )d :y= −x 1

Định m để (d) cắt (Cm) hai điểm phân biệt: a)Có hồnh độ lớn -1

b)Có hồnh độ nhỏ

c)Có hồnh độ nằng khoảng [−2;3] d)Có hồnh độ dương

e)Có hồnh độ trái dấu

Giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) d: ( ) ( )

2 3 2

1 : 2 1 3 3 0

1 mx m

x g x x m x m

x

− −

= − ⇔ − + + + =

−

x −∞ x1

2 S

x2 +∞

( )

g x + - +

Để để (d) cắt (Cm) hai điểm phân biệt g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt ( )

2 ' 0

1

1 0 2

m m

g m

  >

∆ > ⇔

 

< −

 



≠ ⇔ ≠ −



(*)

a)Có hồnh độ lớn -1 Ycbt:

( )1 0 1

2

g S

− > 

 ⇔

− <  

( )

6

1 2 1 3 3 0

5

1 1

2

m m m

m

m

−



+ + + + >

 >

 

⇔

 

+ > −

  > −

So sánh với (*) ta kết luận:

6

1 5

2 m m

−



< <

 

>

 b)Có hồnh độ nhỏ

( )2 0 ( )

4 4 1 3 3 0 3 0 3

1 1

1 2 2

2

g

m m m m

S

m m

m

> 

− + + + >

 − + <  <

 

⇔ ⇔ ⇔

   

< < + <

<   

 

So sánh với (*) ta kết luận: 2

2 1

m m

< −  

− < < − 

c)Có hồnh độ nằng khoảng [−2;3]

Ycbt:

( ) ( )

( ) ( )

11

2 0 4 4 1 3 3 0 7

3 0 9 6 1 3 3 0 2

3 2

2 1 3

2 3

2

m

g m m

g m m m

m

S m

 

≥ −

 − ≥  + + + + ≥ 

  

≥ ⇔ − + + + ≥ ⇔ ≤

  

  − ≤ ≤

− ≤ + ≤



− ≤ ≤ 

 

So sánh điều kiện (*) ta suy ra: 11 1

7 m

−

≤ ≤ −

d)Có hồnh độ dương

Ycbt:

( ) 0

3 3 0 1

1 0 1

0 2

g o

m m

S

m m

> 

+ > ⇔ > − 



⇔ ⇔

+ ≥ ⇔ ≥ −

≤ 

 

So sánh với (*) ta suy ra: m>2

e)Có hồnh độ trái dấu

Ycbt: g( )0 <0⇔3m+ <3 0⇔m< −1

So sánh điều kiện (*) ⇒m∈ −∞ −( ; 2) (∨ − −2; 1)

Bài 2: Cho hàm số ( ): 1 1 x C y

x

+ =

− ( )d :y=mx+1

Tìm m để d cắt (C):

a)Tại điểm phân biệt nằm nhánh đồ thị

b)Tại điểm phân biệt nằm nhánh đồ thị

Giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d:

( ) 1

1 1

1 x

mx x x

+

= + ≠

− ( ) ( )

2

2 0 1

g x mx mx

⇔ = − − =

a)Tại điểm phân biệt nằm nhánh đồ thị (Hình 1) Ycbt: phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa x1< <1 x2

x

−∞ x1

1

tiem can dung

x2 +∞

( )

g x Cùng dấu m Trái dấu m Cùng dấu m

( ) ( )

. 1 0 2 0 2 0 0

m g m m m m m

ình1 H

ình 2 H

ình 3 H

Lưu ý: Trường hợp không cần phải xét biệt thức ∆ d cắt C phía tiệm cần đứng x=1 phương trình có nghiệm, khơng cần thiết phải xét ∆

b)Tại điểm phân biệt nằm nhánh đồ thị (Hình 2)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa:

1 2

1 1

x x

x x

< < 



< <



( )

2

0 8 0

. 1 0 2 0

m m

m g m

∆ >

  + <



⇔  ⇔

> − >

 



0 0

8

m m m

<   ⇔ >

  < −

  8

m

⇔ < −

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị :

( )

: 3 2

C y=x − x+ điểm phân biệt A,B,C cho xA=2

BC=2 2

Giải: (hình 3)

2 4

A A

x = ⇒y =

Phương trình đường thẳng qua A(2;4)

( ) :y k x( xA) yA :y k x 2 4

∆ = − + ⇒∆ = − +

Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) ∆:

( ) ( )

3

3 2 2 4 3 2 2

x − x+ =k x− + ⇔x − x− =k x−

( )

3

3 2 2 0

x k x k

⇔ − + + − = ⇔(x−2)(x2+2x− +k 1)=0 ( )

2

2 1

x

g x x x k

=



⇔

= + − +



Điều kiện để có BC:

Khi tọa độ

( 1; 1); ( 2; 2)

B x y C x y thỏa

hệ:

( ) ( )

2

2 1 0 1

2 4 2

x x k

y kx k

 + − + = 



= − +



(1) x2 x1 2 ' 2 k a

∆

⇔ − = =

(2) ⇔ y2−y1 = k x( 2−x1) =2k k ( 1)2 ( 1)2 2 2

BC = x −x + y −y =

3

4k 4k 2 2 4k 4k 8 0 k 1

⇔ + = ⇔ + − = ⇔ =

x y

x

y

2

x

y

( )

' 0 0 0

2 0 4 4 1 0 9

k k

g k k

∆ >

  >  >



⇔ ⇔

  

≠ + − + ≠ ≠

  

Vậy ∆:y=1(x−2)+4

Bài 3: Cho (C)y= f x( )=x3−3x2+2 Tìm đường thẳng (d):y=-2 điểm mà từ vẽ đến (C) :

a Ba tiếp tuyến phân biệt

b Ba tiếp tuyến phân biệt có tiếp tuyến vng góc với

Giải:

a Ba tiếp tuyến phân biệt Xét A a( ; 2)− ∈d y: = −2

Phương trình đường thẳng ∆ qua A a( ; 2)− có hệ số góc :

( ) 2 ( )

y=k x−a − ∆

∆ tiếp xúc với (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( ) ( )

3 2

3 2 2 1

3 6 2

x x k x a

x x k

 − + = − − 



− = 

Thay k từ (2) vào ta được:

( )( ) ( )

3 2

3 2 3 6 2 3

x − x + = x − x x−a −

( )

3

2x 3 a 1 x 6ax 4 0

⇔ − + + − =

( ) ( )

2 2 3 1 2 0

x  x a x 

⇔ −  − − + =

( ) ( ) ( )

2

2 3 1 2 0 4

x

g x x a x

=



⇔

= − − + =



Từ A kẻ ba tiếp tuyến phân biết đến (C)

phương trình (3) có nghiệm phân biệt

phương trình (4) có nghiệm phân biệt khác

( )

( )

( ) ( )

2

5

0 3 1 16 0 1

* 3

2 0 2.2 3 1 2 0

2

g a a a

g a

a  

∆ > − − >

 < − ∨ >

  

⇔ ⇔ ⇔

≠

 − − + ≠

   ≠

b Ba tiếp tuyến phân biệt có tiếp tuyến vng góc với Khi phương trình (3) có nghiệm phân biệt:

0 2; 1;

x = x x ( với x1;x2 hai nghiệm phương trình g(x)=0) tiếp tuyến ứng với hệ số góc là:

( ) ( ) ( )

0 ' 2 0; ' 3 6 ;1 ' 3 6

k = f = k = f x = x − x k = f x = x − x

Vì k0 =0 nên : Ycbt k1.k2=-1

( )( ) 2 ( ) ( )

1 2 2 2

3x 6x 3x 6x 1 9x x 2x x x x 4x x  1 **

⇔ − − = − ⇔  − + + = −

Áp dụng định lí Viet cho phương trình (4) ta có:

1

3a 1 x x

x

−

+ = x x1 2 =1

Do (**) 9 2 3 1 4 1

2

a

  −   ⇔  −  + = −

 

 

55 27 a

⇔ = (thỏa điều kiện (*))

55

DẠNG TOÁN: HỌ ĐƯỜNG CONG TIẾP XÚC VỚI MỘT ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH

Phương pháp:

Dạng 1: Cho họ đường cong (Cm):y=f(x;m) chứng minh (Cm) tiếp xúc với đường (C) cố định ◊ TH1:

(Cm):y=f(x;m) hàm đa thức

Đưa :y= f x m( ; ) dạng: y= ±(ax bm+ )n+g x( ) (n nguy n: ê ≥2) Xét đường cong ( )C :y=g x( ) chứng minh hệ:

( ) ( ) ( )

( ) '( ) '( ) n

n

ax bm g x g x na ax bm − g x g x

± + + =

 

± + + =



Có nghiệm ∀m

◊ TH2:

(Cm):y=f(x;m) hàm hữu tỉ: (Dạng tổng quát)

(∆) tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

1 2 c

ax b k x x y x d

c

a k x a

x d 

+ + = − +

 +

 

 − = ≠

+



Giải qua bước:

B1: nhân vế phương trình (2) cho: x+d

( ) ( )3 c

ax ad k x d x d

+ − = +

+ B2: (1)-(3):

( )

2c

b ad k x d y

x d

− + = − − +

+ ( ) ( )

2

4 c

k x d y ad b x d

⇔ = − − + + +

+

B3: Thay (4) vào (2) có phương trình theo k giải phương trình tìm m cho phương trình ∀m

Lưu ý: cách giải áp dụng hàm số ax b

cx d

+ +

Dạng 2: Tìm điều kiện để họ đường cong tiếp xúc với đường cố định: Dùng điều kiện tiếp xúc

II/ Một số ví dụ:

Bài 1: Cho (Cm):y=x3+2x2+(2m+1)x+m2+2 Chứng minh (Cm) tiếp xúc với đường cong cố định

Giải:

Ta có: (Cm):y=x3+2x2+(2m+1)x+m2+2 ⇔(x+m)2+x3+x2+ +x 2

Xét đường cong ( )C :y=x3+x2+ +x 2

(Cm) tiếp xúc với (C): hệ sau có nghiệm: ( )

( ) ( )

2 3

2

2 2

1

2 3 2 1 3 2 1

x m x x x x x x

x m x x x x

 + + + + + = + + + 



Ta có: ( ) ( )

( )

2

0 1

2 0

x m

x m

 + = 

⇔

+ = 

Rõ ràng với m , hệ (1) ln có nghiệm x=-m Vây ∀m, (Cm) tiếp xúc với đường cong cố định: ( )

3

: 2

C y=x +x + +x

Bài 2:

Cho ( ) ( ) ( )

2

2 2 4

: m

m x m m

C y

x m

− − − + =

− Chứng minh (Cm) tiếp xúc với hai đường thẳng cố định

Giải:

( ) ( ) ( )

2

2 2 4

: m

m x m m

C y

x m

− − − + =

− ( )

4 2 y m

x m

⇔ = − −

−

(Cm) tiếp xúc với đường thẳng ( )∆ :y=ax b+ ⇔Hệ phương trình sau có nghiệm ∀m:

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

4

2 1

4

2

m ax b

x m

I a

x m 

− − = +

 −

 

 =

−



◊ Nhân vế phương trình (2) cho: x-m

( ) ( ) 4

3 a x m x m

⇒ = −

−

◊ Lấy (1)-(3):

(m 2) 8 b am 8 (a 1)m b 2 ( )4

x m x m

−

⇔ − − = + ⇔ = − + +

− −

◊ Thay (4) vào (2):

(a 1)m (b 2) 16a

⇔ − + +  =

( )2 ( )( ) ( )2 ( )

1 2 1 2 2 16 0 *

a m a b m b a

⇔ − + − + + − − =

Hệ (1) có nghiệm ∀m ⇔( )* ∀m:

( )

( )( ) ( )

2

2

1 0

1

2 1 2 0

2 6

2 16 0

a

a

a b

b b

b a

 − =

  =



⇔ − + = ⇔

= ∨ = − 



+ − = 

Bài tập tự luyện

1 Cho hàm số 1 ( 1) 2( ) 1

3 3

y= x − m+ x + m +m x− Định m để hàm số: a) Tăng R

b) Giảm (0;1) c) Tăng (-∞;2)

d) Giảm đoạn có độ dài 3

e) Tăng khoảng (-∞;0) (2; +∞)

2 Cho hàm số (Cm):y=x3+3mx2 +3(−m2+m+1)x+m3+1 Tìm m để:

a) (Cm) có điểm cực đại nằm x=5

b) Hàm số đạt cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ >1 c) Hàm số đạt cực đại cực tiểu x1 x2 cho:

2

14 5 x x x x

−

+ =

3 Cho hàm số (Cm):y=x3−3x+2

a) Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ b) Viết phương trình tiếp tuyến qua M(1;0)

c) Tìm Ox điểm mà từ kẻ C đúng:

◊ tiếp tuyến ◊ hai tiếp tuyến

◊ Ba tiếp tuyến ◊ hai tiếp tuyến vng góc với

d) Tìm đường thẳng x=1 điểm mà từ kẻ C đúng:

◊ tiếp tuyến ◊ hai tiếp tuyến

◊ Ba tiếp tuyến

e) Tìm (C) điểm mà từ kẻ C tiếp tuyến

4 Cho hàm số (Cm):y=x4−2mx2+2m−1 Tìm m để (Cm) cắt Ox bốn diểm phân biệt có hồn độ lập

thành cấp số cộng

5 Xác định m để phương trình có nghiệm nhất: x3+mx2 − =1 0

6 Cho hàm số (Cm):y=x3−3mx2+3(m2−1)x−m3 Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt

có điểm có hồnh độ âm

7 Cho hàm số (Cm):y=x3+k x( +1)+1 Tìm k để (Ck) tiếp xúc với đường thẳng ( )∆ :y= +x 1

8 Cho hàm số (Cm):y=x3−3mx2+4m3 Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng ( )d :y=x A,B,C cho

AB=BC

9 Cho hàm số ( ): 2 1 2 m

x C y

x

+ =

+ Chứng tỏ đường thẳng y=-x+m luôn cắt đồ thị hai điểm

phân biệt AB Tìm m để đoạn AB ngắn

10.Cho hàm số ( ) ( ) ( )

2

3 1

: 1

m

m x m m C y

x m

+ − +

=

+ Trong m tham số khác 0:

a) Tìm điểm mà đồ thị không qua ∀m

b) Chứng minh đồ thị (1) tiếp xúc với đường thẳng cố định

11.Cho hàm số (Cm):y=(m+3)x3−3(m+1)x2−(6m+1)x+m+1 ( )1 Chứng minh họ đồ thị (Cm)

Bài VI: Một số dạng toán khác cần lưu ý I/ Giới hạn:

Dạng toán xuất đề thi đại học từ lâu (năm 2002 – 2003) Tuy nhiên lâu không thấy xuất đề thi đại học Tuy nhiên ta nên ý đến dạng tốn

Ở đâu tơi xin trình bày phương pháp tổng quát để làm dạng “ Gọi số hạng vắng hệ số bất định”

Bài Tìm

3 2 5 7 lim 1 x x x x → − − + − Giải:

Ta có: ( )

3

3

2 2

1

5 7 5 2 7 2

lim lim 1

1 1 1

x x

x x x x

x x x

→ →   − − + − − + − =  −  −  − −  ( )( ) 3

1

5 2 1

lim lim

1 1 5 2

x x

x x

x x x

→ → − − − = − − − + = ( ) ( )( ) ( ) 1 3 lim 2 8

1 5 2

x x x x x → − + + − = + − + ( ) ( )

3 2

2

1 2 2 3 2

3

7 2 1

lim lim

1

1 7 2 7 4

x x

x x

x

x x x

→ → + − − = −   −  + + + +    =

( )2 ( )

1 2 3 2

3

1 1

lim 3

12

7 2 7 4

x

x x

→ =

+ + + +

Thay (2),(3) vào (1) có: 3 1 11

8 12 24 A= − − =

Lưu ý:

Trong lời giải ta thêm số vào tử thức f(x) Có lẽ bạn tự hỏi: ● Tại phải thêm số ?

● Làm cách để nhận số ?

Số hạng tử bị xóa! Muốn làm dạng này, ta phải khơi phục Muốn khơi phục số ta làm sau:

B1: ∀ ∈c R có: ( )

3

3

2

5 7

1 1

x c x c

f x x x  − − + −  = −  − −  

B2: Trong số c Ta tìm số c cho x2-1 có nhân tử chung với f1( )x = 5−x3 −c

( )

2 7

f x = x + −c Điều xảy c nghiệm tuyển:

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 1 0 2 6 1 0 2 1 0 f c f c c f c f  =   = =    ⇔  = ⇔ =   − =     =    − =  

Đó lí xuất giải

Đây việc nên làm giấy nháp Khơng thiết trình bày làm Qua ví dụ ta nêu lên thuật tốn sau:

B1: Phân tích ( ) ( )

( )

( ) ( )

1

f x c f x c f x

g x g x

+ −

= +

B2: (Tìm c): Gọi αi(i=1; 2; ) nghiệm hệ g(x)=0 Khi c nghiệm hệ: ( )

( ) ( ) 1 0 1; 2; 0 i i f c i f c α α + =  =  − = 

Với c tìm ( )

( )

1

lim

i x

f x c g x α →

+

( )

( )

2

lim

i x

f x c g x α

→

−

dạng xác định dạng quen thuộc Sau tìm c, việc trình bày lời giải làm

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

A=

3 2

0

3 1 2 1

lim 1 cos x x x x → − + +

− (đề dự bị 2002)

B=

3

1 2 1 3

lim x x x x → + − +

II/Phương trình bất phương trình mũ logarit:

Đây dạng toán thường xuyên xuất đề thi Nhìn chung, dạng tốn khơng khó Tất phép biến đổi xoay quanh công thức nêu sách giáo khoa phần này, không nêu lại công thức Xin trình bày cách giải số đề thi gần

Bài làm qua bước:

B1: Đặt điều kiện (Nếu điều kiện phức tạp đến bước nghiệm vào điều kiện) B2: Biến đổi phương trình hay bất phương trình dạng đơn giản số vế:

• Mũ: Chia

• Logarit: log log log b a b x x a =

log n log n a a m x x n =

• Đặt ẩn phụ: t =loga f x( ) phương trình hữu tỷ phương trình mũ

( ) f x

t=a phương trình hữu tỷ • Phương pháp hàm số

Bài ( )

2

2 2

2 3

81.4 x − x+ −78.6 x− x+ +16.9 x−x+ ≤0 1 Giải:

( )

2

2 3

6 9

1 81 78 16 0

4 4

x − x+ x− x+

   

⇔ −   +   ≤

   

( )

2

2 2

3 3

81 78 16 0

2 2

x− x+ x− x+

   

⇔ −   +   ≤

   

Đặt

2

2

3 2 x x t − +   = 

  Đk: t>0

Phương trình trở thành: 16t2−78t+81 0≤ 3 27; 2 8 t  

⇔ ∈ 

 

2

2

2

3 3 27

1 2 3 1 3

2 2 8

2

2

3 2 0

2 3 1 1 2 3 0

1

2 3 1 3 2 3 2 0

2 2 x x

x x x x

x x x x

x x 

≥

 

≤

 − + ≥  − ≥ 

  

⇔ ⇔

  

− + ≤ − − ≤ 

 

   ≤

 

 

≥

 

2 1 2 x x

≥

 

⇔ ≤



Bài Giải bất phương trình: ex+ x−1−e1+ x−1 ≤ −x 1 Giải:

Đặt: 1 1

1 1

u x x

u v x

v x

 = + − 

⇔ − = − 

= + − 

Phương trình trở thành: eu−ev =u−v ( ) ( )

f u f v

⇔ ≤

Với f x( )=ex−x; x≥1 ( )

' x 1 0

f x e

⇒ = + > ⇒ f x( ) tăng

Do u≤v ⇔x+ x− ≤ +1 1 x− ⇔1 x≤ −1

Bài Giải phương trình: log 12( + x)=log3x

Giải:

Đặt log3x= ⇔t x=3t

Do đó: log 12( ) 1 2 1 ( )3 2

t

t t

x t x

+ = ⇔ + = ⇔ + = 2

1 3 1 3 1 3

1

2 2 2 2 2 2

t t

t   t    

     

+  = ⇔ +  = +                         

( ) ( )2

f t f

⇔ = ⇔ =t 2 (Vì ( ) 1 3

2 2

t t

f x =   + 

    hàm giảm)

2 9

t x

⇔ = ⇔ =

Bài Giải bất phương trình: log log2(4x1 8) 1 ( )1

x

+

 − ≥

 

Giải:

ĐK: 4 8 0 22( 1) 23 2( 1) 3 5 2 x

x

x x

− −

− > ⇔ > ⇔ − > ⇔ >

( ) ( )

2

1 ⇔logxlog 4x+ −8 ≥logxx ⇔log2(4x−1−8)≥x⇔log2(4x−1−8)≥log 22 x ( )

1 4 2 0

4 8 2 2 8 0 3

4 2 8

x x

x x x

x

loai x

−  ≤

⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ⇔ ≥ ≥

Giải:

Đk: 1

0 2

x y

≥  

< ≤ 

( )2 ⇔3 log( + 3x)−3log3 y= ⇔3 log3x=log3 y⇔ x= y

Thay x=y vào (1) ta có:

( )( )

1 2 1 1 2 2 1 2 1

x− + −x = ⇔x− + − +x x− −x =

(x 1 2)( x) 0 x 1, x 2

⇔ − − = ⇔ = =

Vậy hệ có hai nghiệm (x;y)=(1;1) (x;y)=(2;2)

Bài Giải phương trình: 4( ) 2 ( )

2

1 1

log 1 log 2 1

log x 4 2

x x

+

− + = + + (Dự bị 1A – 2007)

Giải:

ĐK: x>1

( ) 4( ) 4( ) 4( ) 1

1 log 1 log 2 1 log 2

2

x x x

⇔ − + + − + =

( )( )

4

1 2 1 1

log à 1

2 2

x x

v x x

− +

 

⇔  = >

+

 

2

2 1

2 à 1

2

x x

v x x

− −

⇔ = >

+

2 5

2 3 5 0 à 1

2

x x v x x

⇔ − − = > ⇔ =

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1) ( )

2

2

log 6 7

2 1 1 log

4

x x

x x

+ − ≥

 

+  − + 

 

2) log2x+log3x≥log2xlog3x

3) xlog 32 +x2 =xlog 52

4) ( ) ( )

3

log x+ x −15 log x− x −45 =2 5) log0.2(x−2)+log3x≥log5(x+2)

6) ( ) 2( ) ( ) ( )

2

3 log 2 4 2 log 2 16

x+ x+ + x+ x+ =

7) 2( ) 2( )

3

1

log 3 1 2 log 1

logx 2

x x

+

− + = + +

8) CMR: với a>0, hệ phương trình sau có nghiệm nhất:

ln 1( ) ln 1( )

x y

e e x y

x y a

 − = + − +

 

− =



9) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )

2

2

2

log 1 log

, 3x xy y 81

x y xy

x y R − +

 + = +



∈



=

10)Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

( 5 1) 2 ( 5 1) 2

x x

m x

+ + − =

11) 2

7 x+9.5 x =5 x+9.7 x 12) ( )5 ( )7

x x

=

13) ( ) ( )5 10 10

3 x+ 3 x− −84=0 14) 16x−3+(x−6 4) x−3+ −8 2x=0

15)Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2

sin cos

9 x+9 x =m

16) log3x x− 2(3−x)>1

17) ( )

16x 6 4x 8 2 0

x x

− −

+ − + − =

18)Cho bất phương trình:

( ) ( ) ( )

2

log x +1 <log ax+a 1

a) Giải bất phương trình a=2

b) Tìm tất giá trị a để bất phương trình có nghiệm

19)

2

2

3x x 9 6

x− − = − x+x

20) ( )

3.25x 3 10 5x 3 0

x x

− −

+ − + − =

21)Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu:

(m+3 16) x+(2m−1 4) x+m+ =1 0 22)Tìm m để phương trình có nghiệm:

9x−m.3x+2m+ =1 0

23) 2 5( x 4) 5x 3 5x 3

+ − − ≤ +

24)Tìm m để hệ có nghiệm:

2( ) ( )

2

log x y logm x y 1 x y m

 + + − =

 

− =



25)Giải bất phương trình:

2 0.5

15

log log 2 2

16 x

  

− ≤

 

  

 

26)Giải bất phương trình

3 1

3

3 1 1

log log log log

1 3 1

x x

x x

 

  −  +

≤  

 

 

+ −

 

PHỤ LỤC: MỘT SỐ ĐỀ THI CẦN THAM KHẢO (Theo cấu trúc đề thi Bộ GD& ĐT 2010) ĐỀ 1:

A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số (C) 1( )( 1)

4

y= x −m x + , m tham số Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =3

2 Định m biết đồ thị hàm số (C) cắt Ox A B cho tiếp tuyến A B vng góc Câu 2:

1 Giải phương trình: cos 23 7sin2 2 sin 2

x+ x= x

2 Giải phương trình: x x+(x−4) 4−x=4(x−2)

Câu 3: Tính giới hạn: ( )

2 sin

log cos lim

2x x 1

x

x x

x →

+

− +

Câu 4: Cho hình nón đỉnh S có thiết diện qua trục SO=a tam giác vuông Mặt phẳng qua S cắt

đường tròn đáy A B cho ∆SAB Tình thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp SOAB Câu 5: Cho x,y,z ∈[0;1] Tìm giá trị lớn nhất: A=(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Trong Oxy cho ∆ABC có A(0;2), B(2;6), C∈d x: −3y+ =1 0 cho phân giác kẻ từ A song song với d Tìm tọa độ C

b Trong Oxyz viết phương trình đường thẳng ∆qua A(0;1;2) cắt 1: 1 1

1 1 1

x y z

d = − = −

− hợp với

2

1 2 4

2 1 1

x y z

d = + = − = −

− góc 60

0

c Cho an(x−1)n+an−1(x−1)n−1+ +a x1( −1)+a0 =xn,∀ ∈x R Tìm n biết a2+a3+a1=231

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

a Trong Oxy tìm ( )

2

: 1

6 3

x y

M∈ E + = biết khoảng cách từ M đến d: x+y=0 lớn

b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng qua M(1;2;2) cắt Ox, Oy, Oz A,B,C cho:

2 2

1 1 1 1

OA +OB +OC =OM

c Bằng cách khai triển: (1+i)2n chứng minh: 20 22 24 ( )1 22 2 cos 2 n n n

n n n n

n C −C +C − + − C = π ,

ĐỀ 2: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số (C) 2

9 y= −x + x

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C)

2 Tìm đồ thị (C) điểm A biết tiếp tuyến A cắt (C) B C cho AB=AC ( B,C khác A) Câu 2:

1.Giải phương trình: (1− 3 cosx)sinx+( 3−cosx)cosx=1

2.Giải hệ phương trình:

2

2 2 2

3 4 5

x y x y

x x y

 + − − =

 

+ + − =



Câu 3: Tính tích phân:

2 1 ln

e

dx

x+x − x

∫

Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB’=a; BC’=b ∆ABC vng cân A Tính thể tích lăng trụ (a< <b a 2)

Câu 5: Cho x y, ∈[1; ] Tính giá trị lớn nhỏ nhất:

( 2) ( )

2

1 1 1 1

4

A x y x y

x y x y

   

= +  + + −  − 

   

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Trong Oxy tìm ( )

2

: 1

6 3

x y

M∈ E + = biết góc F1MF2 600

b Trong Oxyz viết phương trình tham số đường thẳng ∆ song song với (P): 2x+2y-z-3=0 cắt hai

đường thẳng 1: 2 1

2 1 1

x y z

d − = = −

−

1 1

:

1 2 1

x y z

d − = + =

− A B cho AB=3

c Gieo đồng thời xúc xắc, tính xác suất để tích số nốt xuất số chẵn

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

a Trong Oxy viết phương trình tắc hypebol qua M(2;1) thỏa góc F1MF2 600

b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng hợp với (Oxy) góc 450, song song với Ox cách Ox

khoảng 2

ĐỀ 3: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số (C) y mx 2

x m

+ =

+

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =-1

2 Tìm đồ thị (C) cắt Ox A, Cắt Oy B cho tiếp tuyến A B song song Câu 2:

3.Giải phương trình: cos 2 cos 3 sin 1 2 x+ x+ x=

4.Giải phương trình: log2(x+ x2−12 log) 3(x− x2−12)=2

Câu 3: Tính tích phân:

( )

2

4

sin 3 1 cos

xdx x

π

+

∫

Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, chiều cao SA=a hợp với (SBC) (SBD) góc 450 300

Câu 5: Định m để hệ sau có nghiệm:

2

2

1

2 4

y

x xy

x x y m



− + = 



 + − = 

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Viết phương trình đường trịn qua gốc tọa độ cắt Ox, Oy A,B cho AB=4 2 Biết tâm đường tròn thuộc d:x+y-4=0

b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;0), song song với : 3

4 5 3

x y z

d − = =

− cách

gốc tọa độ khoảng

c Tìm a b, ∈R biết phương trình 3

1 5

a b

z+ + z− = có nghiệm

5 1 2

i z

i

=

+ Tìm nghiệm cịn lại

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

a Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC vng cân A có trục đối xứng x-2y+1=0; A∉Ox B; ∈Oy

: 1 0

C∈d x+y− =

b Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M(1;2;0), song song với (P):2x-y+z-1=0 hợp với (Q): x+y+2z-1=0 góc 600

ĐỀ 4: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số

3

3

x

y= − +x có đồ thị (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C)

2 Viết Phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O cắt (C) A B (khác O) saocho tiếp tuyến (C) A B vng góc

Câu 2:

5.Giải phương trình: 4tanx 2tanx+sin 2x 21 2sin 2+ x

+ =

6.Giải bất phương trình: 2 2 3

2 2 5

x x

x

x x

+ − ≥ − −

Câu 3: Tính tích phân:

4

4

0

sin sin cos

x dx

x x

π

+

∫

Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông chiều cao SA Biết SC=2a hợp với (SAB)

một góc 300

Câu 5: Cho a,b,c>0 a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất:

2 2 3

3

a b c

A=a +b +c − + +

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

I/ Trong Oxyz cho A(2;3;-1), B(5;-3;2) (P): x+y+z-3=0:

a Viết phương trình tham số đường thẳng d vng góc với (P) cắt đường thẳng AB I cho

2 0

AI+ BI =

b Tìm M∈( )P cho AM2+2BM2 nhỏ

II/ Hãy phân phối 2010 điểm lên đường thẳng song song cho tổng số tam giác thu lớn

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

I/

a Viết phương trình đường trịn Oxy qua A(2;1), Tâm thuộc Oy cắt Ox B C cho góc BAC 600

b Trong Oxyz cho A(0;1;2), B(1;-1;1), C(-1;3;0) Viết phương trình tham số đường thẳng d vng góc với (ABC) cắt (ABC) trực tâm H ∆ABC

II/ Định m biết đồ thị hàm số ( )

2

1 2 1

x m x m

y

x m

− + + −

=

ĐỀ 5: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số 3

1 x y

x

− =

+ có đồ thị (C)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C)

2 Cho A(0;2) Tìm (C) điểm M cho AM ngắn Câu 2:

1 Giải phương trình: cos2 cos cos 3 cos 32 3 4 x− x x+ x=

2 Giải hệ phương trình:

2

2

1 1

3

1 1

1

x y

x y

x y xy



+ + + = 

  

+ =  +



Câu 3: Tính tích phân:

4

2

4

ln 1

x x

dx x

+

∫

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có (SAB)⊥(ABC),∆ABC ∆ABC vng cân A Tính thề tích

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Biết SC=a 2

Câu 5: Cho a,b,>0 1 1 1

a+b = Tìm giá trị nhỏ nhất: ( 2)

25

1 1 4

a b ab

A

a b a b

= + +

− − +

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

I/ Trong Oxyz cho A(2;-1;2), B(3;-3;3); C(1;-2;4) (P): 2x-3y+z+1=0:

a Viết phương trình tham số đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC vng góc với (P)

b Tìm M∈( )P cho AM2+2BM2+CM2 nhỏ

II/ Tìm a b, ∈Rbiết Z = −i i2+i3−i4+ +i2009 nghiệm phương trình 1

1 1

a b

z+ z =

+ − Tìm

nghiệm cịn lại

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

I/ Trong Oxyz cho 1: 1 2 2

x t

d y t

t

=  

= +   + 

; 2: 1

1 1 1

x y z

d − = = −

a Tìm A∈d1 biết khoảng cách từ A đến d2 6

b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 hợp với d1 góc 300 II/ Giải hệ phương trình:

3

3

log log

2 6

log log 1

x

x y

x

y

y x

 + =



 + =

ĐỀ 6: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số (C)

4

1 4

x

y= −mx +m+ , m tham số Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =1

2 Định m biết đồ thị hàm số (C) có điểm cực trị tạo thành tam giác có trực tâm gốc tọa độ Câu 2:

1 Giải phương trình: sin 2 cos 2 tan

6 3 4

x π x π x π

     

+ + + = +

     

     

2 Giải hệ phương trình:

( 3) ( )

3

2

1 1 1 1

8

log log 1

2 3

x y x y

x y x y

x y

    

+ + + + + =

    

    

 

= 

Câu 3: Tính tích phân: 2

3 x

xdx I

e +

= ∫

Câu 4: Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ biết AC’=a góc BD CD’ 600

Câu 5: Cho a,b,c>0 1 1 1 1

a+b+c = Tìm giá trị lớn nhất: 3 3 3 b c c a a b A

b c c a a b

+ + +

= + +

+ + +

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Trong Oxy cho ∆ABC vng cân A có diện tích 2, biết A∈d1 =2x−y+ =1 0

2

, : 2 0

B C∈d x+y− = Tìm tọa độ A,B,C với xA, xB>0

b Trong Oxyz viết phương mặt phẳng (P) qua A(0;1;2), B(1;3;3) hợp với ( )Q :x− −y 2z=0 góc nhỏ

c Tìm số tự nhiên n thỏa: 3 1

1 7

n n n

C + −C + = A

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

a Trong Oxy cho hai đường tròn ( ) 2

: 2 2 0

m

C x +y − mx−my+m− = ( )C :x2+y2−3x+ =1 0 Định m biết số tiếp tuyến chung hai đường tròn số lẻ

b Trong Oxyz viết phương trình đường thẳng d song song với ( )P :x+2y+ − =z 1 0 cắt đường thẳng

Ox : 2 1

2 1 1

x− y+ z

∆ = =

− điểm A,B cho AB ngắn

c Giải phương trình:

1 0

ĐỀ 7: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số (C) y=x3−3ax2+b , (1) (a b, >0)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) a=1 b=4

2 Định a,b biết đồ thị hàm số (C) có điểm cực trị A B cho ∆OAB vng cân Câu 2:

3 Giải phương trình: tan2 1 tan tan 2 2 sin 3 x

x x

x

 

+ =

 

 

4 Giải hệ phương trình:

2 2

1 1 1

2

5 2 1

2 x y xy

x y x y 

+ =



+

 

 − =

 +



Câu 3: Tính giới hạn:

( )

0

1 lim

ln sin x

x

e x

x

→

− + +

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD chiều cao SA=2a, đáy hình thang vng A B có AB=BC=a, AD=2a Mặt phẳng qua trung điểm M SA chứa CD, cắt SB N Tính diện tích tứ giác CDMN

Câu 5: Định m để bất phương trình có nghiệm:

( )

2

1

ln 2 1

2

x x m x m mx x

+ + − + − ≤

−

Tìm nghiệm tương ứng

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Trong Oxy cho A(7;1 ,) B(− −3; ,) C(1; 4) Viết phương trình đường trịn nội tiếp ∆ABC

b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ, song song với : 1 1 2

1 2 1

x y z

d − = + = − −

hợp với : 1 2

2 1 1

x+ y− z

∆ = = góc 600

c Tìm hệ số x3trong khai triển thành đa thức biểu thức: (x2+ −x 1)6

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

a Trong Oxy cho đường tròn ( ) 2

: 6 5 0

C x +y − x+ = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600

b Trong Oxyz Cho M(2;1; 0) đường thẳng d có phương trình 1 1

2 1 1

x− y+ z

= =

− − Viết phương trình

chính tắc đường thẳng qua điểm M, cắt vuông góc với đường thẳng d c Tìm hệ số

ĐỀ 8: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số (C) 1

1 mx y

x

+ =

+

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =-1

2 Định m biết tiếp tuyến điểm cố định họ đồ thị (C) cách I(1;0) khoảng lớn Câu 2:

1 Giải phương trình: sin2 x+sin sin 4x x=cos 22 x

2 Giải bất phương trình : 22 3+ x 22 3− x 7 2( x 2−x) 15

+ − + ≤

Câu 3: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng tạo ( )C :y 1 1 1 1 ,

x x

= + + − trục Ox

và đường thẳng x=1; x=2 quay quanh Ox

Câu 4: Cho hình vng ABCD cạnh a hai đường thẳng d d1; 2 qua A C vng góc với

mặt phẳng (ABCD) Lấy M∈d1, N∈d2 cho AM CN, chiều có tổng độ dài 6a Tính thể tích tứ diện MNBD

Câu 5: Giải hệ phương trình:

2

1 1

1 ln

1 1

1 ln xy x

x y y

xy y

y x x



+ = +

 +

 

 + = +

 +



B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Trong Oxy cho A,B hai điểm ( )P :y2 =x cho ∆OAB vng A Tìm tọa độ A,B

(yA <0)biết OB ngắn

b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ song song với : 1 1 2

2 2 1

x y z

d − = − = −

và cách d khoảng

c Cho đa giác lồi n đỉnh, biết số tam giác có đỉnh cạnh chung với đa giác 70 Tìm số tam giác có đỉnh chung khơng có cạnh chung với đa giác

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

a Trong Oxy viết phương trình tắc elip (E) qua M(2;1) cho MF MF1. 2 nhỏ b Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ hợp với mặt phẳng

( )Q :x+ − =z 1 0 ( )R :x+2y− + =z 1 0 góc 300 600

c Tính giá trị: ( 2008)( 2008)

ĐỀ 9: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số (C) y=(x−m)(x2− +x 1)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =3

2 Định m biết (Cm) cắt Ox A, cắt Oy B cho hai tiếp tuyến (Cm) A B vng góc

Câu 2:

1 Giải phương trình: tan 1 sin cos 1 sin cos

x x

x

x x

− +

=

+ +

2.Giải bất phương trình : ( ) ( ) 2

2

log log log 0.25

7 2 3 2 x

x

x +

+ = −

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( )C :y= x2−2x−3 d y: =x+1

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD chiều cao SA=a, đáy hình vng cạnh a chứng minh AI⊥(SBD) av2

tính thể tích tứ diện SIBD, biết I trung điểm SC

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ tham số m để hệ:

2

1 1

3 2

x y

x y m



+ = 



 + = 

có nghiệm x,y>0 Tìm nghiệm tương

ứng

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Trong Oxy cho ∆ABC có đường cao trung tuyến kẻ từ A hA =2x+y+ =4 0, mA =y− =2 0 đường trung tuyến kẻ từ B mB: 3x+11y+21 0= Tính góc C

b Trong Oxyz cho 1: 2 1 2 ,d :2 2

1 2 1

1

x t

x y z

d y t

z t

= 

− − − 

= =  =

 = + 

Chứng minh có vơ số mặt phẳng (P) chứa

d2 song song với d1 Viết phương trình (P) cho d2 hình chiếu vng góc d1 lên (P)

c Tìm x y, ∈R thỏa:

( ) ( )2

1 1 1

2 2 1

x+ −y i− +y+xi = +i

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

a Trong Oxy cho ( ) ( )

2 2

: x y 1 , 0

H a b

a −b = > có hai tiêu điểm F1;F2 Đường thẳng d qua ;F2 vng góc Ox cắt (H) M N cho ∆F MN1 Tìm tâm sai (H) viết phương trình (H) biết diện tích ∆F MN1 =4 3

b Trong Oxyz cho A(-1;2;2), B(0;3;0) Hãy tìm (P) cho ∆ABC c Một đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số 3 3

4 x y

x

ĐỀ 10: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số ( ) ( )

4

2

1 , 1

2

x

y= − + m+ x −m có đồ thị (C) m tham số Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=0

2 Chứng minh đồ thị hàm số (1) qua điểm A B cố định Định m biết tiếp tuyến A B hợp góc 600

Câu 2:

3 Giải phương trình: 4 sin sin 1 3 sin 2 cos 2 3

x x+π = + x− x

 

4 Giải hệ phương trình:

2

4 8

3 12 x xy y xy y x

 − + =

 

+ + =



Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

ln

x x

x y

e +

= , trục Ox hai đường thẳng x=1;x=4

Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA, SB, SC đôi hợp với góc 600 có độ dài lần

lượt a, 2a, 3a

Câu 5: Định m để phương trình log2(2x−4+m)= +1 log3m−(x−1)(x−3) có nghiệm Tìm nghiệm nhât

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

I/ Trong Oxyz cho : 2 1

2 1 1

x y z

d + = = − (P): x-y-1=0:

a Viết phương trình tham số đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d lên (P) Tính góc d d’

b Gọi A giao điểm (P) d Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc (P) A cắt d B cho AB= 6

II/ Giải phương trình:

3

3

3 1

log log log log

2 3

x

x x

x

   

−  = +  

   

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

I/ Trong Oxyz cho A giao điểm 1: 1 2

2

x t

d y t

t

=  

= +   + 

mặt phẳng (P):x-2y+z=0

a Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ qua A vng góc với d hợp với (P) góc 300 b Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d, qua A cắt P đường tròn dài 2π 2

II/ Tìm φ ∈(0; 2π) biết đồ thị hàm số ( )

2

2 cos 3 sin

1

x x

y

x

ϕ ϕ

+ + +

=

ĐỀ 11: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số 2 , 1( )

1 x y

x

=

− có đồ thị (C)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1)

2 Tìm M (C) biết tiếp tuyến M tạo với tiệm cận (C) tam giác có chu vi bé Câu 2:

5 Giải phương trình: 16 sin2 x+4 cos 4x= 3 cosx+sinx

6 Giải phương trình: ( )

3

5 5 2

x− x− x− =

Câu 3: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình trịn ( ) (C : x−3)2+(y−1)2 =1 quay quanh trục Oy

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB=a, AC=a 2, AD=2a Đường thẳng AC hợp với AB,AD góc 450 ,

AB hợp với AD góc 600 Tính tỉ số thể tích tứ diện hình cầu ngoại tiếp tứ diện Câu 5: Cho a2+b2+c2 =1. Chứng minh rằng: a3+b3+c3−3abc ≤1

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua H(1;2;3) cắt Ox, Oy, Oz A, B, C

sao cho H trực tâm ∆ABC

b Trong Oxyz viết phương trình mặt cầu tâm I ∈ Oz, qua A(1;1;1) cắt (Oxy) đường tròn dài 2π

c Giải phương trình : 2

2 120 , x

x x

C +C +C + +C − = ∈N

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

I/ Trong Oxyz cho A(3;0;0) B(1;-2;8) mặt phẳng (P):x-2y+2z+6=0

a Tìm M∈(P) cho AM +BM nhỏ

b Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B cắt (P) theo giao tuyến d hợp với AB góc 900

II/ Giải hệ phương trình :

2

3 5

4 2 5.4

log log log .log x x y x y

y xy xy

x y x y

− −



 + =



 + =

ĐỀ 12: A PHẦN CHUNG:

Câu 1: Cho hàm số (C) ( ) ( )

3

2 16

2 2 1

3 3

x

y= − +mx − m− x+

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =0

2 Chứng minh (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định

Câu 2:

3 Giải phương trình: sin 3x+sinx= 3 cos( x−1)

4.Giải bất phương trình : log 2 42 log 2x0, 25 log0.5x2

x + ≥

Câu 3: Tính tích phân:

1 1 2

x

I dx

x

= −

∫

Câu 4: Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy a Lấy đươgn tròn đáy (O)

(O’) điểm A, B cho AB=2a tính góc hai đường thẳng OA, O’B thể tích tứ diện O’OAB

Câu 5: Cho a,b>0 1 1 1

a+b+ab = Tìm giá trị nhỏ nhất:

2

a b ab

P

ab a b

+

= +

+

B PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7)

Câu 6: (Chương trình chuẩn)

a Trong Oxy cho ∆ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp I(2;1), A∈Oy đường thẳng

BC:3x− −y 10=0 Tìm tọa độ A,B,C biết góc BAC 450 0

A B

y > > y

b Trong Oxyz cho A(0;1;0), B(1;-2;2) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, B cách A khoảng 2

2

c Giải phương trình :

4z + =1 0

Câu 7: (Chương trình nâng cao)

a Trong Oxy cho ( )

: 2

P y = xcó hai tiêu điểm F Đường thẳng d quay quanh F cắt (P) M,N Chứng minh 1 1

MF +NF không đổi

b Trong Oxyz viết phương trình tham số đường thẳng qua M(1;-2;2) d⊥OM d hợp với Oy góc 450

c Tìm hệ số

PHỤ LỤC II: Cách giải nhanh toán máy tính bỏ túi.Phép chia theo sơ đồ Horner

Trong kì thi quan trọng có mơn tốn, máy tính bỏ túi phép sử dụng trở thành công cụ không thể thiếu thí sinh Tuy nhiên tận dụng tối đa chức máy tính giải tốn Nay tơi xin giới thiệu số phương pháp tìm nghiệm chức SOLVE máy tính Bài viết viết với máy fx-570ES khuyên em tập làm quen sử dụng máy q trình giải tốn

VD1 Tìm nghiệm cố định: 2x3−3(a+1)x2+6ax− =4 0 ( )1 Giải:

Soạn phương trình (1) vào máy tính 2x3−3(A+1)x2+6Ax− =4 0 Dấu = soạn cách nhấn: ALPHA + CALC

Nhấn tiếp: Shift + SOLVE

Sau đó, máy hỏi: A=? ta cho ngẫu nhiên A=2 nhấn phím =

Tiếp đến, dựa vào “linh cảm” mách bảo, ta đốn x=-3, nhấn tiếp phím =

Máy nghiệm x=0.5 Ta ghi nghiệm giấy nghiệm cố định cần tìm??!! Nhấn tiếp Shift + SOLVE với A=2

Lần ta thử với x=10 Máy x=2

Thay A=-3;4;5 làm tương tự ta thấy máy báo x=2 Vậy ta kết luận x=2 nghiệm cố định

Đây cách tìm nghiệm cố định tập trang 35

VD2 Tìm m cho: y=x3−3(m+1)x2+2(m2+4m+1)x−4m m( +1) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ >1

Giải:

Soạn phương trình x3−3(A+1)x2+2(A2+4A+1)x−4A A( +1)=0 vào máy nhấn Shift + SOLVE Máy hỏi giá trị A Ta cho a=3

Tai lại tiếp tục đoán nghiệm x=-5

Máy x=1.732281591 Ta khơng quan tâm đến nghiệm nghiệm “xấu” Mục đích ta tìm nghiệm hữu tỉ để phân tích thành nhân tử Nhấn tiếp Shift + SOLVE

Lần ta cho A=9 x=10

Máy x=10 Ta ghi nhận nghiệm Với A=9 cho x=-5 ta nhận kết x=2

Thử tương tự với A vài giá trị x=2, x=10 vào ta nhận thông báo x=2 Vậy x=2 nghiệm cố định phương trình

VD3 Giải phương trình: sin 2x+cos 2x−cosx+3sinx=2 ( )1 Giải:

Lúc “lí trí” mách bảo ta Cần phân tích phương trình phương trình tích Hơn nữa, phải có nghiệm “đẹp” phân tích Ta dùng Shift + SOLVE để tìm nghiệm

Nhập phương trình vào máy Nhấn Shift + SOLVE

Ta thử x góc đặc biệt như: ; ;

3 6 2

π π π

± ± ±

Khi thử đến nghiệm à 2v 6

π π

Máy =1 =1

2 Và coi sin(x) biến phân tích phương trình qua nhân tử (sinx−1) hay (2 sinx−1) Ta chọn phân tích theo hướng (sinx−1)

( )1 ⇔3sinx− + −3 cosx+sin 2x+cos 2x=0

( )

3(sinx 1) 1 1 sin x sin 2x cosx 0

⇔ − + + − + − =

( )

3 sinx 1 2(1 sin x) sin 2x cosx 0

⇔ − + − + − =

(sinx 1 2sin)( x) 2 sin cosx x cosx 0

⇔ − − + − =

(sinx−1 2sin)( − x)+cosx(2 sinx−1)=0⇔(sinx−1 sin)( − x+cosx)=0

Đến đây, ta hoàn thành ý đồ đưa phương trình phương trình tích Việc giải phương trình đầu trở nên dễ dàng

GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI FX – 570ES

Câu 1: Trong Oxyz cho: 1

2 2

: 1

1

x t

d y t

z

= +  

= − + 

 = 

; 2

1

: 1

3

x

d y t

z t

=  

= +   = −  a) Tính khoảng cách giửa d1 d2

b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2 Giải:

Để sử dụng chức vectơ máy ta nhấn: MODE + (vector) Chọn vectơ A máy hỏi ta chọn hệ vectơ (Vct A(m) m?)

Chọn 1:3

Nhập tọa độ vecto phương d1 (2;1;0) Nhấn tiếp Shift + STO + B để copy thông số vextơ

A vào vectơ B

Sửa tọa độ vectơ B thành (0;1;-1)

Ta có M(2; 1; 0)− ∈d1 ; N(1;1;3)∈d2 ⇒MN(−1; 2;3) (Bước ghi giấy)

Nhấn Shift+5(vector) Nhấn (Dim) 3(Vct C) sau nhập thông số vector MN(−1; 2;3)

a)Theo công thức: ( )

1

1 ;

1

; . ; d d

d d MN d

d d

 

 

=

 

 

tương ứng với:

; . ; A B C

A B

 

 

 

 

vec tơ lưu máy tính

Để tính tích có hướng hai vectơ A&B ta nhấn: ONShift+53(vct A)x Shift+54= Để tính độ dài vector ta dùng chức ABS( cách nhấn phím Shift+hyp

Để tính tích vơ hướng A&B ta nhấn ONShift+53(vct A)Shift+5 7:●(dot) Shift+54(vct B)=

Vậy nên để tính độ dài cần tìm ta soạn vào hình máy tính sau: (Abs((VctAxVctB)●VctC))÷(Abs(VctAxVctB))

Kết máy hiện:11

3

Việc cần làm ta phải tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )α gọi vector pháp tuyến cần tìm a ta thấy: ( 1 2 )

2

;

a d

d A d B

a d

 ⊥ 

= =

 ⊥ 

Nên a cần tìm d d1; 2 Để tìm a máy tính ta làm sau: ONShift+53(vct A)x Shift+54=

Màn hình soạn thảo sau:

VctAxVctB nhấn phím = để xem kết Máy hiện: Vct Ans (-1;2;2)

Vậy a= −( 1; 2; 2) Mp( )α qua M(2;-1;0)

Nên ( )α :−(x−2)+2(y+1)+2( )z =0⇔ − +x 2y+2z+ =3 0

Thí sinh cần gi bước làm vào làm, cơng việc cịn lại máy tính Ta thấy hồn thành hình học giải tích đề thi thật nhẹ nhàng

Các bạn thử làm tốn có lời giải sách giáo khoa hình học 12 hay sách tham khảo máy tính Sẽ có nhiều bất ngờ chờ bạn khám phá!

SƠ ĐỒ HORNER VÀ ỨNG DỤNG:

Chia đa thức P x( )=a x0 n+a x1 n−1+ +an cho(x c− ) ta có:

( ) ( )( )

0

n n

n n

P x = x c b x− − +b x − + +b− x b+

Trong b ii( =0;1; 2;3; ;n) định bội sơ đồ Horner:

a0 a1 a2 a3 …

c b0 b1 =cb0+ a1 b2 =cb1+ a2 b3 =cb2+ a3 bi =cbi-1+

Áp dụng:

VD1 Tính thương số dư phép chia:

( )

2 8 6

P x = x +x − x − +x cho x+2

Giải:

Ta có sơ đồ Horner:

2 -8 -1

-2 -3 -2

Vậy P x( ) (= x+2 2)( x3−3x2−2x+3)+0

Đến đây, hiểu phần cơng dụng sơ đồ horner Trong tốn liên quan đến tham số, việc tìm nghiệm cố định phân tích thành tích làm cơng việc giải tốn nhẹ nhàng nhiều Nghiệm cố định có máy tính, cịn việc chia đa thức: Hãy để sơ đồ Horner làm cho bạn Ta quay lại với ví dụ đầu phần phụ lục:

VD2 Phân tích thành tích: 2x3−3(a+1)x2+6ax− =4 0 ( )1 Giải:

( )

3

2x −3 a+1 x +6ax− =4 0 Ta có nghiệm cố định x=2 nên

2 -3(a+1) 6a -4

2 -(3a-1)

Vậy (1)⇔(x−2)2x3−(3a−1)x+2=0

Đây phần làm Bài3 trang 35

Giải:

Ta dễ dàng nhận ra: a+b+c+d=0 ⇒ phương trình (A) có nghiệm x=1 Sơ đồ Horner:

m -3m-4 3m+7 -m+3

1 m -2(m-2) m-3

Nên ( )A ⇔(x−1)mx2−2(m−2)x+m−3=0

(A)Có nghiệm dương phân biệt ⇔ g x( )=mx2−2(m−2)x+m− =3 0 có hai nghiệm dương phân biệt khác

( ) ( )

( ) ( )

2

0

' 2 3 0

2 0 3

0

1 2 2 3 0

m

m m m

m S

m m P

m

g m m m



≠

 

∆ = − − − >



 −



⇔ = >



−



= >

 

= − − + − ≠



( ; 0) (3; 4)

m

⇔ ∈ −∞ ∪

VD4 Định m để phương trình có nghiệm phân biệt:

( ) ( )

3

1 1 0 1

x − −m x− =

Giải: ( )

1 ⇔x −mx+m−1

Dùng máy tính ta “mị” nghiệm: x=1 Sơ đồ Horner:

1 -m m-1

1 1 1-m

Vậy (1)⇔(x−1)(x2+ + −x 1 m)=0

(1) Có nghiệm phân biệt: g x( )=x2+ + −x 1 m=0 có hai nghiệm phân biệt khác

( )

3

4 3 0 3

3 4

1 1 1 0 4

3

m m

m

g m

m 

∆ = − >

 >

 

⇔ ⇔ ⇔ < ≠

= + + − ≠

  ≠

Sơ đồ Horner ứng dụng nhiều giải toán, dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Các bạn nên tập sử dụng sơ đồ cách thục Bài tập áp dụng nêu lên dạng chia đa thức nhằm giúp bạn hoàn thiện kĩ

BÀI TẬP:

Bài Nếu x=-m nghiệm phương trình x3−4mx2+m x2 +6m3 =0 Hãy tìm ghiệm cịn lại

Bài Cho biểu thức: ( )Q =2x5+3x4−x3−7x2+11x+9

a Tính giá trị biểu thức x=3

b Tìm thương phép chia (Q) cho x-3