Thanh ñược thả không vận tốc ñầu khi ñang nằm ngang.[r]
(1)Vật rắn Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com
Nội dung Vận tốc góc gia tốc góc
2 Momen động momen lực trục Định luật Newton cho chuyển ñộng quay Công lượng chuyển ñộng quay Chuyển động lăn
1a Vị trí góc • Khi vật rắn quay quanh trục cố ñịnh chất điểm chuyển động trịn, với tâm trục quay
• Chọn chất điểm thuộc vật rắn, có vị trí cho tọa độ cực r, θ
• θ vị trí góc vật rắn, khơng phải riêng chất ñiểm ñang xét
r θ
∆θ< 0, ω<
cùng chiều kim ñồng hồ
1b Vận tốc góc • Trong thời gian ∆t vật rắn
quay góc:
• Vận tốc góc trung bình định nghĩa sau:
i f θ
θ θ = − ∆
t av
∆ ∆ = θ
ω
θf θi ∆θ
∆θ ∆θ> 0, ω >
(2)1b Vận tốc góc (tt) • Vận tốc góc tức thời
vectơxác định bởi:
• với uz vectơ đơn vị trục quay z, hướng theo chiều thuận ñối với chiều ngược chiều kim đồng hồ • Mọi chất điểm vật rắn
quay có vận tốc góc
z u
ω ω =
ω z
ω z
d dt
ω = θ uz
1c Gia tốc góc • Gia tốc góc trung bình:
• Gia tốc góc tức thời vectơ xác định bởi:
• Mọi chất điểm vật rắn quay có gia tốc góc
t av
∆ ∆
= ω
α
dt dω
α = z
u dt
d
α ω α = =
1d Liên hệ vận tốc góc vận tốc dài • Ta có:
• Đạo hàm theo thời gian cho ta:
• hay tổng quát nữa:
• R là vị trí chất điểm ñiểm gốc bất kỳ trục quay
r s=θ
r v=ω
R v
× =ω
r
v
× =ω
θ r
s
z ω
r v
R
1e Liên hệ gia tốc góc gia tốc dài • Gia tốc tiếp tuyến:
• Gia tốc pháp tuyến:
( )
dt d r dt
r d dt dv at
ω ω
= =
= r at =α
( )2
n
r v
a
r r
ω
= =
2
n
a =ω r
ut at
an
(3)2a Phụ lục tốn • Xét hình chiếu trục z
ca vect R ì A,
ã R l v trí chất điểm gốc O trục quay, • cịn A vectơ xác định
ở vị trí xét
• Chúng ta cần tìm biểu thức thuận tiện cho đại lượng:
(R A) (z R A) uz
⋅ × = ×
z
uz
A
R
2a A useful formula (cont.) • From vector calculus we get:
• Applying it here gives:
• Resolve R in to r|| parallel and
r perpendicular to z-axis, we have:
• Furthermore:
(a b) c (b c) a (c a) b
⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×
(R A) uz (uz R) A
⋅ × = ⋅ ×
r u r u r u R
uz z z z
× = × + × =
× ||
t z r ru
u
= ×
z
uz
R r||
r ut
uz
ut r
=
2a Phụ lục tốn (tt)
• Atlà hình chiếu A phương pháp tuyến
• hay:
• llàchiều dài tay địn A
(R×A)z =rut ⋅A=rAt
(R×A)z =rut ⋅A=rAcosϕ
l rcosϕ =±
(R×A)z =rut ⋅A=±lA
r φ
φ A t
l
r φ
π–φ
A t
l
2b Momen ñộng ñối với trục quay • Momen động trục
quay z hình chiếu momen động z
• Với chất điểm vị trí R có động lượng p:
• Dùng cơng thức phụ lục tốn vừa ta được:
( ) z
z R p u
L
⋅ × =
rmv rp
Lz = t =
z
uz R r
(4)2b Momen động trục quay (tt) • Biểu diễn qua vận tốc góc ta có:
• Lấy tổng theo tất chất ñiểm thuộc vật rắn:
• Momen qn tính vật rắn trục z định nghĩa là:
• Vậy:
( )ω 2ω
mr r
rm rmv
Lz = = =
ω
= ∑
i i i
z mr
L
∑
= i
i ir m
I
ω
I Lz =
2c Momen lực ñối với trục quay • Momen lực ñối với trục
quay z hình chiếu momen lực z
• Với chất điểm:
• Theo phụ lục ta viết:
(+) lực có xu hướng quay chất điểm ngược chiều kim ñồng hồ
( ) z
z R F u
⋅ × =
τ
lF z =±
τ
z
uz R
F
F
l
3a Định luật Newton cho chuyển động quay • Khi vật rắn quay quanh trục z:
• Momen qn tính Icàng lớn vật khó quay tot
dL dt =τ
,
z
tot z dL
dt =τ
∑± =
i
i iF l dt
d
I ω Tổng momen ngoại
lực ñối với trục quay
3b Bài tập 3.1
• Tìm momen qn tính vành trịn đồng khối lượng M, bán kính R ñối với:
• (a) trục ñối xứng vành,
(5)3b Trả lời tập 3.1 • Chia vành làm nhiều phần
tử nhỏ khối lượng dm, ta có:
• Dùng định lý Steiner:
• Suy ra:
2
2
MR dm
R dm r
Ia =∫ = ∫ =
2
Md I
Ib = a +
2
2MR MR
I
Ib = a + =
R dm (a)
(b)
d
Momen quán tínhcủa
một số vật thường gặp
3c Bài tập 3.2 • Một rịng rọc có dạng
hình vẽ
• Phần dây quấn quanh hình trụ bán kính R1, tác động lực T1 nằm ngang lên • Phần dây quấn quanh hình
trụ bán kính R2 tác ñộng lực T2 hướng thẳng ñứng xuống
3c Bài tập 3.2 (tt)
(a) Tìm biểu thức momen lực tồn phần tác động lên rịng rọc ñối với trục quay z.
(b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 = 15,0 N vàR2 = 0,50 m,
– Tìm momen lực tồn phần trục quay, – Rịng rọc quay theo chiều nào, biết lúc
ñầu đứng n?
3c Trả lời tập 3.2 • Momen lực tồn phần tác
động lên rịng rọc trục quay z là:
• Thay số ta có:
• τz > 0, rịng rọc quay ngược chiều kim ñồng hồ
, 1 2
tot z R T R T
τ = − +
( )
, 0,5 15 2,5
tot z N m
(6)3.d Bài tập 3.3 • Hai vật khối lượng m1 và
m2 ñược nối với dây nhẹ, dây vắt qua hai rịng rọc khơng ma sát (hình vẽ) • Mỗi rịng rọc có momen
qn tính I và bán kính R • Tìm gia tốc vật
và sức căng dây
3.d Trả lời tập 3.3 - 1 • Dùng định luật
Newton cho
• m1trên y hướng xuống: • m2trên y hướng lên: • rịng rọc quanh trục z
hướng ngoài: 1
1a m g T
m = −
g m T a
m2 = −
(T T )
R
Iα = 1 − ′
(T T2)
R
Iα = ′−
m1g
T1
y m
2g
T2 y
R
T1
T’
mg N
R
T2
T’
mg N
3.d Trả lời tập 3.3 - 2 • Hai vật có gia tốc nhau:
• Dây khơng trượt nên vận tốc điểm vành rịng rọc = vận tốc vật:
• Ta có hệ phương trình sau:
a a a1 = 2 ≡
a R =
⇒ α
v R =
ω
1 1a mg T
m = −
g m T a
m2 = 2 − 2
T T R
Ia/ = 1− ′ 2
/R T T
Ia = ′−
(1) (2) (3) (4)
3.d Trả lời tập 3.3 - 3 • Lấy tổng pt (1) – (4) ta được:
• Thế gia tốc a vào (1), (2) (3) ta có sức căng
(m m )g a
R I m
m1 2 2 = 1− 2
+ +
( )
2
1
2
2
R I m
m
g m m a
+ +
(7)4a Động vật rắn quay
• Động chất ñiểm vận tốc v khoảng cách r đối với trục quay:
• Lấy tổng theo tất chất điểm, ta có động vật rắn quay:
( ) 2
2 2
1 2
1mv mωr mr ω
K = = =
2 2
1 ω
= ∑
i i ir m K
2
ω
I
K =
4b Cơng chuyển động quay • Cơng sơ cấp:
• Ta có: • Do đó:
• Suy cơng cơng suất:
( R)dt F
dt v F
dW
× ⋅ = ⋅
= ω
(ω ) ( ) ω
⋅ × = ×
⋅ R R F
F
θ τ ω τ ω
τ dt dt d
dW = ⋅ = z = z
∫
=
f
i
d
W z
θ
θ θ
τ P=τzω
z ω
R F dr
4c Bài tập 4.1 • Một đồng chiều
dài L, khối lượng m quay khơng ma sát quanh trục ngang ñi qua ñầu Thanh ñược thả không vận tốc ñầu ñang nằm ngang Tìm: • (a) vận tốc góc
vị trí thẳng đứng,
• (b) vận tốc khối tâm vị trí
4c Trả lời tập 4.1 - 1 • Vì khơng có ma sát nên
cơ bảo tồn:
• Khối tâm điểm đặt tồn trọng lượng, ñó trọng trường là:
( + )=0
∆ =
∆E K Ug
2 1Iω
K
K = f =
∆
CM g mgy
U =
Thế trọng trường vật rắn: