• Điện thế tạo bởi một hệ ñiện tích ñiểm bằng tổng ñiện thế của tất cả các ñiện tích ñiểm thuộc hệ.[r]
(1)Điện thế Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle@zenbe.com
Nội dung Cơng lực tĩnh điện Thế tĩnh ñiện Điện
4 Lưu sốcủa trường tĩnh ñiện Bài tập áp dụng
1 Cơng lực tĩnh điện – • Xét điện tích thử q0
chuyển động
ñiện trường tạo bởi q, từ M ñến N, theo
đường cong (C)
• Cơng lực tĩnh
ñiện là:
∫
→
⋅ =
N M C
MN q E dr
W
) (
q
dr
F = q0E
M
N q0
(C) E
1 Công lực tĩnh điện – • Phân tích vectơ dịch chuyển
dr thành hai thành phần vng góc song song với
điện trường (phương bán kính r).
• Chỉ có thành phần song song có đóng góp vào công:
q0E
q0 dr
q
dr
Edr q r d E q
W = ⋅ =
δ
2
0
r dr q kq dr r
q k q
W = =
δ
(2)1 Công lực tĩnh điện – • Ta có thểviết lại biểu thức sau:
• Suy ra:
• Cơng lực tĩnh điện khơng phụ thuộc đường đi, • phụ thuộc vị trí đầu cuối
• Kết với điện trường
− =
r q q k d
W
δ
N M
MN
r q q k r
q q k r
q q k W
W = −
∆ − = = ∫δ
2a Thế tĩnh ñiện –
• Cho điện tích thử q0 chuyển động ñiện trường từ M ñến N, theo ñường cong (C)
• Cơng lực tĩnh điện là:
∫
→
⋅ =
N M C
MN q E dr
W
) (
dr
F = q0E M
N E
q0 (C)
2a Thế tĩnh điện –
• Cơng lực tĩnh điện khơng phụthuộc đường đi, phụ thuộc vào vị trí đầu vịtrí cuối
• Do người ta định nghĩa tĩnh
điện U của hệ (điện tích thử + điện trường):
• U một hàm vị trí; tích phân ñược thực theo ñường cong bất kỳnối M N
• UM − UN = −∆U ñộ giảm tĩnh ñiện M N Thế biến đổi thành cơng
∫ ⋅
=
− N
M N
M U q E dr
U 0
2a Thế tĩnh điện –
• Nếu chọn điểm P khơng (chọn P làm gốc năng) tĩnh
điện điểm M là:
• Tích phân thực theo ñường cong bất kỳnối M P
∫ ⋅
= P
M
M q E dr
(3)2b Thế hai điện tích điểm –
• Xét hai điện tích điểm q1 and q2 cách khoảng r.
• Theo cơng thức tĩnh điện hệlà:
• E1 điện trường tạo bởi q1
∫
∞
⋅ =
r
r d E q
U 2 1 Gthốực thc hiế ∞ện ñườ, tích phân ng qua hai điện tích, từr tới ∞
q1 r
E1 q2
dr
∞
2b Thế hai điện tích điểm – • Suy ra:
• Để tạo nên hệ hai điện tích điểm, lượng cần cung cấp phải tĩnh ñiện hệ
∫
∫ ∞
∞
= ⋅ =
r
r r
dr q kq r
r d r q kq
U 1 2 3 1 2 2
r q q k
U =
2c Thế tĩnh điện hệ điện tích điểm • Xét hệ điện tích điểm
• Năng lượng tĩnh ñiện hệ tổng lượng tĩnh điện tất cặp điện tích thuộc hệ
• (i, j) chỉ cặp điện tích qi, qj, cách khoảng rij
• U là lượng tối thiểu cần cung cấp ñể tạo nên hệ
∑
= ) ,
( ji ij j i
r q q k U
3a Điện • Điện thếtại M định nghĩa là:
• Điện chỉphụ thuộc vào điện trường chứkhơng phụthuộc vào điện tích thử
• Độ giảm ñiện hai vị trí M N
ñiện trường là:
∫ ⋅
=
= P
M M
M E dr
q U
V
0
∫ ⋅
= ∆ − =
− N
M N
M V V E dr
V
Đơn vị ñiện thếlà J/C
(4)3b Điện thếtạo điện tích điểm • Điện trường điện tích điểm q tạo ra:
• Nếu gốc P vơ đường lấy tích phân đường thẳng thì:
3
r r q k E
=
∫
∫ ⋅ = ∞
=
r P
M M
r dr kq r
r d r kq
V 3 2
r q k VM =
q r
E M
∞ dr
3c Điện thếtạo hệ ñiện tích điểm
• Điện tạo hệ ñiện tích ñiểm tổng ñiện thếcủa tất cảcác ñiện tích điểm thuộc hệ • Nếu hệlà phân bố điện tích liên tục,
• ta chia hệ làm nhiều phần nhỏ vi phân, cho phần ñược coi điện tích điểm
• Tổng thay thếbằng tích phân
3d Tìm điện trường từ điện • Độgiảm điện thếgiữa hai điểm gần nhau: • Mặt khác ta có:
• Suy ra:
dz E dy E dx E r d E
dV = ⋅ = x + y + z
−
r d V dz
z V dy y V dx x V
dV = ⋅
∂ ∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= grad
V E =−grad
z V E
y V E
x V
Ex y z
∂ ∂ − = ∂
∂ − = ∂
∂ −
= , ,
3e Mặt ñẳng thế– Định nghĩa
• Mặt đẳng tập hợp ñiểm có ñiện ñiện trường
• Ví dụ, mặt đẳng điện trường
điện tích điểm q tạo mặt cầu có tâm đặt tại q:
• Minh họa
const z
y x
V( , , )=
const r
const r
q k
(5)3e Mặt đẳng thế– Tính chất • Điện trường vng góc với mặt đẳng thế, • hướng theo chiều giảm ñiện
• Khi điện tích điểm dịch chuyển mặt
đẳng thếthì cơng lực tĩnh điện khơng
4a Lưu số trường tĩnh điện -
• Cho đường cong (C) khơng gian có
điện trường, lưu số điện trường (C) ñược
ñịnh nghĩa là: ∫ ⋅ = Γ
) (C
C E dr
dr
E E
(C)
4a Lưu số trường tĩnh điện - • Cơng thực điện tích
dịch chuyển đường kín (C) khơng
• Vậy lưu số điện trường theo đường kín ln ln khơng:
• Trường tĩnh điện
trường khơng có xốy: đường
sức khơng khép kín
• So sánh với dịng chảy: minh họa
( )
0 C
E dr⋅ =
∫
( )
0
C
q ∫ E dr⋅ =
4b Rotation – Định nghĩa
• Xét đường cong kín (C) nhỏ bao quanh
điểm M(x, y, z).
• Gọi diện tích giới hạn (C) ∆S, pháp vectơ mặt phẳng (C) n, và lưu số ñiện trường (C) là∆Γ
• Rotation điện trường M, ký hiệu rotE,
ñược ñịnh nghĩa sau:
S n
E
S ∆ ∆Γ =
⋅
→ ∆lim0
rot
(C)
n
∆S M
(6)4b Rotation – Tính chất
• Hình chiếu của rotE một phương n là:
• Mật độ lưu số đường khép kín nhỏ vng góc với phương
n
M rotE
rotE.n
4b Rotation – Tính chất (tt)
• Đối với trường tĩnh điện lưu số
đường kín ln ln khơng, nên:
• Người ta chứng tỏ được rotE có dạng:
rotE =
rot z y x z
y x
E E
E E
E i j
y z z x
E E
k
x y
∂ ∂
∂ ∂
= − + −
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
+ −
∂ ∂
5a Bài tập Lưỡng cực điện hệ gồm hai điện tích điểm +q −q, ñặt cách khoảng d.
Chọn trục z trục ñi qua hai
ñiện tích điểm đặt gốc tọa độ O điểm chúng
Định nghĩa vectơ momen lưỡng cực ñiện:
Vectơ d hướng từ−q ñến +q.
+q
–q d
z
O d
q p
=
5a Bài tập (tt) Hãy tìm:
(a) Điện lưỡng cực ñiện tạo khoảng cách r lớn nhiều so với d Viết kết thu
ñược qua momen lưỡng cực ñiện
(7)5a Trảlời BT – M r r+ r– θ +q –q d x z + + = r q k V − − =− r q k V
5a Trảlời BT – • Điện điểm M(r,θ):
• Khi r >> d ta có gần đúng: • Suy ra:
− = − = − + + − −
+ r r
r r kq r r kq
V 1
2
cos r r r
d r
r− − + ≈ θ + − ≈
2 cos cos r p k r d kq
V = θ = θ
d
r+
r– θ
dcosθ
5a Trảlời BT – • Trở lại tọa độ Descartes:
• Suy ra:
• Vậy:
r z z
x
r2 = + cosθ =
5 r xz kp x V
Ex =
∂ ∂ − = x z r θ
( 2)32
3 z x z kp r z kp V + = = 2 r r z kp z V Ez − = ∂ ∂ − =
5a Trảlời BT – • Suy độlớn điện trường:
• Minh họa
2 2 3z r r kp E E
E = x + z = +
θ
2 1+3cos =