Đang tải... (xem toàn văn)
• Khối tâm của một hệ có khối lượng M chuyển ñộng như một chất ñiểm thực khối lượng M dưới tác ñộng của tổng ngoại lực tác ñộng lên hệ. • Khối tâm của cây thước.[r]
(1)Hệ chất ñiểm
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com
Nội dung Khối tâm
2 Định luật Newton cho hệ chất ñiểm Momen ñộng lượng
1a Chuyển ñộng hệ chất ñiểm
• Cho ñến xét chuyển động hệ coi chất điểm
• Chuyển động vật thể lớn hay hệ chất ñiểm thường phức tạp
• Ví dụ 1: thước
• Ví dụ 2: vận ñộng viên vượt rào
Chuyển ñộng mỏ lết
1b Khối tâm
• Thử xem lại ví dụ vừa rồi: thước, vận động viên vượt rào
• Với hệ ta định vị trí có chuyển động tn theo ñịnh luật Newton: khối tâm hệ
• Khối tâm (CM) có vị trí:
• M khối lượng hệ, tổng ñược lấy tất chất điểm có khối lượng mivà vị tríri hệ
∑
=
i i i CM mr
M
(2)1c Bài tập 1.1 • Một hệ gồm ba chất
điểm có vị trí hình vẽ, với m1 = m2 = 1,0 kg vàm3 = 2,0 kg • Hãy tìm khối tâm
hệ
1.c Trả lời tập 1.1 • Tọa độ khối tâm:
• Thay số ta ñược:
3
3 2 1
m m m
x m x m x m xCM
+ +
+ +
=
3
3 2 1
m m m
y m y m y m yCM
+ +
+ +
=
( )
1 2
0,75
1
CM
x = + + × = = m
+ +
( )
1 2 1,0
1
CM
y = × + × + × = = m
+ +
rCM
1d Bài tập 1.2
• Hãy chứng tỏ khối tâm có khối lượng M chiều dài L nằm trung ñiểm Giả sử khối lượng đơn vị dài số
1.d Trả lời tập 1.2 • Chọn trục x theo chiều
dài Đoạn vi phân
dx vị tríxcó
• khối lượng dm= λdx • λ khối lượng
đơn vị dài
• Khối tâm có tọa độ cho bởi:
∫
= xdm
M
xCM
x
(3)1.d Trả lời tập 1.2 (tt) • Suy ra:
• λ/M= 1/L
• Tích phân cho ta:
∫
∫ =
=
L L
CM xdx
L xdx M x
0
1
λ
[ ]
2
1
0 L
x L
xCM = L =
1e Bài tập 1.3
• Xét khơng ñồng nhất, có khối lượng ñơn vị dài thay đổi theo vị trí x: λ = αx,
α số Tìm vị trí khối tâm theo chiều dài L
của
1.e Trả lời tập 1.3 • Làm tương tự tập 1.2 ta có:
• Tích phân cho ta:
∫
∫ =
=
L L
CM x dx
M dx x M x
0
1 λ α
[ ]
M L x
M
xCM L
3
3
3 α
α =
=
1.e Trả lời tập 1.3 (tt) • Khối lượng xác định bởi:
• Thay biểu thức λ ta có:
• Do đó:
∫
∫ =
= dm dx
M λ
[ ]
2
2
2
L x
xdx
M L
L
α α
α = =
= ∫
L M
L xCM
3
3
(4)2a Động lượng hệ chất điểm
• Lấy đạo hàm vị trí khối tâm theo thời gian, ta ñược vận tốc khối tâm:
• Hay:
• Động lượng hệ động lượng chất điểm có khối lượng khối lượng hệ M, chuyển ñộng với vận tốc khối tâm vCM
∑
∑ =
=
i i i
i i
CM p
M v m M
v 1
P p v
M
i i CM
≡ =∑
2b Định luật Newton cho hệ chất điểm • Đạo hàm vận tốc khối tâm theo thời gian:
• ta dùng ñịnh luật Newton cho chất ñiểm
• Suy ra:
• Khi Ftot = 0, động lượng hệ bảo tồn, khối tâm chuyển động thẳng ñều
dt P d dt
p d a
M
i i CM
=
=∑ i ,
i tot
dp F dt =
tot
dP F dt =
F
tot tổng ngoại lực
tác ñộng lên hệ
2c Chuyển động khối tâm • Ta viết:
• Khối tâm hệ có khối lượng M chuyển ñộng chất ñiểm thực khối lượng M tác ñộng tổng ngoại lực tác động lên hệ
• Khối tâm thước • Khối tâm vđv vượt rào
CM tot
Ma = F
2d Bài tập 2.1 • Mộ tên lửa nổ tung
thành nhiều mảnh không
(5)2d Trả lời tập 2.1 • Trước nổ tên lửa chuyển
động chất điểm, có quỹ đạo parabol
• Gia tốc khối tâm sau nổ thỏa phương trình:
• Lực tồn phần tác ñộng lên hệ trọng lực Mg
• Suy ra: aCM= g
• Do khối tâm chuyển ñộng theo quỹ ñạo parabol
CM tot
Ma =F
2e Bài tập 2.2
• Hai xe trượt đệm khí đến va chạm • (a) Tìm vận tốc chúng sau va chạm
• (b) Tìm vận tốc khối tâm hệ hai xe trước sau va chạm
v= 1,0 m/s v= 0,0 m/s
2e Trả lời tập 2.2(a)
• Lực tồn phần phương ngang khơng, động lượng phương ngang bảo tồn • Trên trục x hướng sang phải ta có:
• Cơng tồn phần tác động lên hệ khơng, động hệ bảo tồn:
• Giải hệ ta được: v1 = 0,18, v2 = 1,18 m/s • Minh họa
2 1
1v mv m v
m = + ⇒ 1= +v1 0,7v2
2 2 2 1 2
1mv = mv + m v 2
1
1 v 0,7v
⇒ = +
∆Khệ= tổng cơng lực tác động lên hệ
2e Trả lời tập 2.2(b) • Vận tốc khối tâm xác định bởi:
• Vì động lượng hệ nằm ngang nên chiếu lên trục x ta được:
• Trước va chạm:
• Vì động lượng bảo tồn nên sau va chạm vận tốc khối tâm khơng thay đổi
P v
M CM
=
P
MvCM =
1 CM 1,7 0,59 /
(6)2f Bài tập 2.3 • Hai vật khối lượng M 3M
ñược ñặt mặt phẳng ngang khơng ma sát hình vẽ Sau ñốt sợi dây hai vật, vật 3M chuyển ñộng sang phải với vận tốc 2,00 m/s
• (a) Tìm vận tốc vật M ? • (b) Tìm đàn hồi
ban đầu lò xo, cho biết
M= 0,350 kg
2f Trả lời tập 2.3(a)
• Vì lực tồn phần phương ngang khơng nên động lượng hệ x bảo tồn:
• Nếu chọn trục x hướng sang phải thì:
• Cơ hệ bảo tồn khơng có ma sát:
• Ta có:
2
3
0 Mv Mv
P
Pi = f ⇔ = +
(m s) (m s)
v
v2 =−3 1 =−3×2 / =−6 /
(K Ug Us)
E = =∆ + +
∆
2
2
1
2
3
Mv Mv
Mv K
K = f = + =
∆
2f Trả lời tập 2.3(b)
• Suy ra:
• Theo trên, đàn hồi ban đầu lị xo chuyển hồn tồn thành động hệ
• Nếu có ma sát phần lượng chuyển thành ñộng
0
= ∆Ug
i s s
U U
∆ = −
2
6 si
E Mv U
∆ = − =
( )
2
6 0,350 8, i
s
U = Mv = × × = J
3a Momen động lượng chất điểm • Momen ñộng lượng
chất ñiểm ñối với gốc O là:
• L có độ lớn:
• phương vng góc với mặt phẳng (r, p)
• chiều cho quy tắc bàn tay phải
• L ñặc trưng cho chuyển ñộng quay
p r
L
× =
x
y z
r
p L
φ
sin
(7)3b Bài tập 3.1 • Một chất ñiểm chuyển
ñộng mặt phẳng xy
trên đường trịn bán kính r tâm O
• Tìm độ lớn chiều momen động chất ñiểm ñối với tâm O, vận tốc chất ñiểm làv
3b Trả lời tập 3.1 • L vng góc mặt phẳng xy
và hướng theo chiều dương trục z (hình vẽ)
• Trong chuyển động trịn động lượng vng góc với vectơ vị trí, ta có:
x
y z
r
p L
φ
rmv rp
rp
L= sinϕ = =
3c Momen lực • Momen lực ñối với
gốc O định nghĩa bởi:
• τcó độ lớn:
• phương vng góc mặt phẳng (r, p)
• chiều xác ñịnh quy tắc bàn tay phải
• τ đặc trưng cho chuyển động quay
F
r
× = τ
x
y z
r
F τ
φ
ϕ τ =rFsin
3c Bài tập 3.2 • Một lắc gồm vật khối
lượng m chuyển động quỹ đạo trịn nằm ngang Trong suốt chuyển ñộng dây treo chiều dài l hợp góc khơng đổi θvới phương thẳng đứng • Tìm momen trọng lực ñối
với ñiểm treo O