Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán điện từ trường trên đường dây siêu cao thế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐỖ THỊ ĐOAN HIỀN ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TỐN ĐIỆN TỪ TRƢỜNG TRÊN ĐƢỜNG DÂY SIÊU CAO THẾ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐỖ THỊ ĐOAN HIỀN ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TỐN ĐIỆN TỪ TRƢỜNG TRÊN ĐƢỜNG DÂY SIÊU CAO THẾ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : TS LÊ XUÂN ĐẠI TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2014 CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hƣớng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN ĐẠI (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Cán chấm nhận xét 1: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Cán chấm nhận xét 2: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ Trƣờng Đại học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh ngày… tháng…… năm…… Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Bộ môn quản lý chuyên ngành sau luận văn đƣợc sửa chữa (nếu có) Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Bộ môn quản lý chuyên ngành TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH Độc lập – Tự – Hạnh Phúc -oOo - NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: ĐỖ THỊ ĐOAN HIỀN Phái: Nữ Ngày, tháng, năm sinh: 06-04-1987 Nơi sinh: Bình Dƣơng Chun ngành: Tốn ứng dụng MSHV: 12240569 I TÊN ĐỀ TÀI: Ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để tính tốn điện từ trƣờng đƣờng dây siêu cao NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Nghiên cứu phƣơng pháp phần tử hữu hạn để tính tốn điện từ trƣờng đƣờng dây siêu cao II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: Ngày 20 tháng 01 năm 2014 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: Ngày 20 tháng 06 năm 2014 IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI Nội dung đề cƣơng Luận văn thạc sĩ đƣợc Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua Tp HCM, ngày .tháng năm 2014 CÁN BỘ HƢỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH TS Lê Xuân Đại PGS TS Nguyễn Đình Huy KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH TS Huỳnh Quang Linh LỜI CẢM ƠN Trƣớc hết, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Lê Xuân Đại, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện cung cấp cho tơi nguồn tài liệu phong phú, giúp tơi hồn thành nhiệm vụ đƣợc giao Bên cạnh đó, tơi gửi lời cảm ơn đến thầy môn toán ứng dụng, Trƣờng Đại học Bách Khoa truyền đạt kiến thức kinh nghiệm để tơi hồn thành luận văn tốt Cuối cùng, tơi muốn nói lời cảm ơn đến gia đình ln động viên tạo điều kiện thuận lợi để hồn thành luận văn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn sản phẩm nghiên cứu riêng tôi, số liệu, kết nêu luận văn trung thực chƣa đƣợc cơng bố cơng trình khác Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nghiên cứu Ngƣời thực Đỗ Thị Đoan Hiền LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay, hệ thống điện siêu cao đƣợc lắp đặt thực nhiệm vụ truyền tải điện cho sản xuất công nghiệp sinh hoạt dân dụng Tuy nhiên, điện áp công suất truyền tải lớn nên điện từ trƣờng đƣờng dây sinh đủ lớn để gây ảnh hƣởng đến mơi trƣờng xung quanh Nhiều thuật tốn khác để tính tốn điện từ trƣờng đƣợc nghiên cứu phát triển Cùng với phát triển mạnh mẽ cơng nghệ máy tính, phƣơng pháp số trở thành phƣơng pháp hữu hiệu đƣợc sử dụng rộng rãi Phƣơng pháp số phƣơng pháp phân tích điện từ hiệu quả, giải đƣợc toán phức tạp mà phƣơng pháp giải tích khơng thể thực đƣợc Trong phƣơng pháp số, phƣơng pháp phần tử hữu hạn có vai trị trội, tính đa năng, tồn diện, khả xử lí linh hoạt kết hợp với nhiều chƣơng trình tiêu chuẩn Cụ thể, vấn đề tính tốn phân bố điện từ trƣờng đƣờng dây 500 kV đƣợc nghiên cứu bởi: [1] A Isaramongkolrak, T Kulworawanichpong, and P Pao-la-or, October 2008 Finite Element Approach to Electric Field Distribution Resulting from Phase-sequence Orientation of a Double-Circuit High Voltage Transmission Line in: Wseas Transaction on Power Systems, ISSN: 1790-5060, Issue 10, Volume [2] Nguyễn Đăng Khoa, Vũ Phan Tú Tính tốn mô trường điện từ đường dây truyền tải 500kV phương pháp phần tử hữu hạn, Tạp chí khoa học 2012, trang 19-29 [3] Nguyễn Đình Thắng, Trần Kỳ Phúc, Lê Tuấn Anh Tính tốn phân bố điện trường đường dây 500 kV phương pháp phần tử hữu hạn, Tạp chí khoa học cơng nghệ 2008, tập 46, số 1, trang 113-120 Các báo tập trung nghiên cứu tính tốn điện trƣờng đƣờng dây cao áp 500kV phƣơng pháp PTHH, báo [3] sử dụng phần mềm ANSYS (Analysis Systems), báo [1], [2] dùng phần mềm MATLAB để mô dừng lại việc công bố kết thu đƣợc Luận văn tập trung nghiên cứu phƣơng pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) giải thuật tiếp cận Galerkin để giải phƣơng trình điện từ trƣờng hệ thống điện siêu cao Các cấu trúc đƣờng dây khác (mạch đơn mạch kép) đƣợc đề cập xem xét Kết phân bố điện từ trƣờng không gian xung quanh đƣờng dây đƣợc vẽ phân tích cụ thể kèm theo code đầy đủ thông qua việc sử dụng phần mềm mô MATLAB Các kết thu đƣợc vị trí an tồn nguy hiểm xung quanh đƣờng dây truyền tải điện siêu cao thế, nhờ biện pháp bảo vệ phòng tránh đƣợc áp dụng Luận văn đƣợc trình bày nhƣ sau:  Chƣơng Phƣơng pháp phần tử hữu hạn  Chƣơng Lý thuyết trƣờng điện từ  Chƣơng Ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để tính tốn trƣờng điện từ lƣới điện siêu cao MỤC LỤC CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Phƣơng trình đạo hàm riêng 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Điều kiện biên 1.1.3 Các phƣơng pháp giải 1.2 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn 1.2.1 Giới thiệu chung 1.2.2 Xấp xỉ miền khảo sát phần tử hữu hạn 1.2.3 Định nghĩa hình học phần tử hữu hạn 1.2.4 Các dạng phần tử hữu hạn 1.2.5 Sơ đồ tính toán FEM 1.2.6 Phƣơng pháp trọng số thặng dƣ 10 1.2.7 Các phƣơng pháp tiếp cận 11 CHƢƠNG LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐIỆN TỪ 27 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Hệ phƣơng trình Maxwell 31 2.2.1 Vector cƣờng độ điện trƣờng vector cảm ứng điện 31 2.2.2 Vector cƣờng độ từ trƣờng vector cảm ứng từ 32 2.2.3 Định luật bảo tồn điện tích – Phƣơng trình liên tục 34 2.2.4 Định luật Gauss điện trƣờng 36 2.2.5 Định luật cảm ứng điện từ Faraday 37 2.2.6 Định luật lƣu số Ampere - Maxwell 38 2.3 Trƣờng điện từ biến thiên 41 2.3.1 Giới thiệu 41 2.3.2 Phƣơng trình sóng trƣờng điện từ biến thiên 42 2.4 Trƣờng điện từ không gian phức 43 CHƢƠNG ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TỐN TRƢỜNG ĐIỆN TỪ TRÊN LƢỚI ĐIỆN SIÊU CAO THẾ 45 3.1 Hệ thống điện siêu cao 45 3.1.1 Giới thiệu 45 3.1.2 Mô tả 46 3.1.3 Chia lƣới phần tử hữu hạn 48 3.1.4 Biến đổi Galerkin 50 3.2 Kết tính tốn 51 3.2.1 Hệ thống truyền tải mạch đơn 51 3.2.2 Hệ thống truyền tải mạch kép 55 3.3 Một số kết cụ thể 60 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 PHỤ LỤC 65 -23 9.866112 11.80913 21.26034 21.43073 25 9.254334 11.75599 -22 10.49656 12.21289 21.1759 21.43497 26 8.840121 11.75599 -21 11.127 13.2422 21.09834 21.40057 27 8.425908 11.66928 -20 12.0367 14.05948 20.90746 21.36749 28 8.015415 11.14946 -19 12.94772 14.64747 20.6903 21.34326 29 7.609797 10.62965 -18 13.19951 15.23546 20.51865 21.16317 30 7.402687 10.58431 -17 14.15103 15.58631 20.19264 20.90284 31 7.402687 10.58431 -16 15.07093 15.75303 19.86663 20.6425 32 7.402687 10.58431 -15 15.9025 16.5979 19.57817 20.35438 33 7.324061 10.57014 -14 16.8214 17.44277 10 19.17257 19.87363 34 7.094365 10.36815 -13 17.53902 18.21648 11 18.53993 19.2685 35 6.864669 10.16617 -12 18.22494 18.63323 12 17.88215 18.55798 62 KẾT LUẬN Dựa vào kết phân bố điện trƣờng phần trên, thấy gần sợi dây dẫn, điện trƣờng mạnh nguy hiểm Do vậy, thực tế, để đảm bảo an toàn cho ngƣời vật sinh sống xung quanh đƣờng dây truyền tải, hành lang bảo vệ an toàn lƣới điện đƣợc định nghĩa áp dụng Hành lang bảo vệ an toàn lƣới điện khoảng cách tính từ dây dẫn ngồi trở ngoài, sinh vật sống nằm khoảng cách chịu mức cƣờng độ điện trƣờng giới hạn cho phép không gặp nguy hiểm Ngƣợc lại, khoảng cách an toàn, sinh vật sống gặp nguy hiểm phóng điện Phƣơng pháp phần tử hữu hạn cho kết tính tốn tốt phƣơng trình vi phân lý thuyết điện từ trƣờng Ngoài ra, phƣơng pháp ứng dụng nhiều lĩnh vực khác, đặc biệt xây dựng khí Hƣớng phát triển luận văn ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để giải toán học vật rắn học chất lƣu, hay tiếp tục giải phƣơng trình điện từ trƣờng nhƣng sử dụng phƣơng pháp tiếp cận khác 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y Du, T.C Cheng and A.S Farag, “Principles of Power-Frequency Magnetic Field Shielding with Flat Sheets in a Source of Long Conductors”, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, Vol 38, No 3, pp.450-459, 1996 [2] A Isaramongkolrak, T Kulworawanichpong, and P Pao-la-or, October 2008 Finite Element Approach to Electric Field Distribution Resulting from Phase-sequence Orientation of a Double-Circuit High Voltage Transmission Lin in: Wseas Transaction on Power Systems, ISSN: 1790-5060, Issue 10, Volume [3] K Wassef, V.V Varadan and V.K Varadan, “Magnetic Field Shielding Concepts for Power Transmission Lines”, IEEE Transactions on Magnetics, Vol 34, No 3, pp.649-654, 1998 [4] R.G Olsen, D Deno, R.S Baishiki, J.R Abbot, R Conti, M Frazier, K Jaffa, G.B Niles, J.R Stewart, R Wong and R.M Zavadil, “Magnetic Fields from Electric Power Lines Theory and Comparison to Measurements”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol 3, No.4, pp.2127-2136, 1988 [5] K Wassef, V.V Varadan and V.K Varadan, 1998, Magnetic Field Shielding Concepts for Power Transmission Lines, in: IEEE Transactions on Magnetics, Vol 34, No 3, pp.649-654 [6] R.G Olsen, D Deno, R.S Baishiki, J.R Abbot, R Conti, M Frazier, K Jaffa, G.B Niles, J.R Stewart, R Wong and R.M Zavadil, Magnetic Fields from Electric Power Lines Theory and Comparison to Measurements in IEEE Transactions on Power Delivery, Vol 3, No 4, pp.2127-2136, 1988 [7] Jr.W.H Hayt and J.A Buck, “Engineering Electromagnetics” (7th edition), McGraw-Hill, Singapore, 2006 [8] Ngô Nhật Ảnh, Trƣơng Trọng Tuấn Mỹ, 2007, Trường điện từ Nxb Trƣờng Đại học Bách Khoa TP HCM 64 PHỤ LỤC Các bƣớc chia lƣới miền khảo sát công cụ PDE Toolbox Mô tả miền khảo sát: A(xA,yA) Width70m B(xB,yB) Height 55m D(xD,yD) C(xC,yC) Khởi động chƣơng trình MATLAB, cửa sổ Command Window gõ lệnh pdetool, cửa sổ PDE Toolbox xuất Trên vùng làm việc, chọn biểu tƣợng hình chữ nhật để vẽ miền khảo sát, Click vào hình chữ nhật để điều chỉnh thơng số cho phù hợp với hình chữ nhật mơ tả Trong đó: - Left: xC, bottom: yC - Width: 70, height: 55 65 - Click OK, chọn Options  Axes Limits để mở rộng vùng làm việc 66 Kết quả: Tiếp tục vẽ hình trịn miền chữ nhật biểu diễn cho lõi dây bán kín 0.1m, tính tốn tọa độ tâm hình trịn (16 hình trịn hệ thống mạch đơn, 26 hình trịn hệ thống mạch kép) để tiếp tục lập trình MATLAB Code chia lƣới miền khảo sát hệ thống mạch đơn: function pdemodel [pde_fig,ax]=pdeinit; pdetool('appl_cb',7); set(ax,'DataAspectRatio',[40 35 1]); set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[1 1]); set(ax,'XLim',[-40 40]); set(ax,'YLim',[-5 60]); set(ax,'XTickMode','auto'); set(ax,'YTickMode','auto'); pdetool('gridon','on'); % Geometry description: pderect([35 -35 55],'R1'); pdecirc(-11.25,13.25,0.10000000000000001,'E1'); pdecirc(-10.75,13.25,0.10000000000000001,'E2'); pdecirc(-11.25,12.75,0.10000000000000001,'E3'); pdecirc(-10.75,12.75,0.10000000000000001,'E4'); pdecirc(-0.25,13.25,0.10000000000000001,'E5'); pdecirc(0.25,13.25,0.10000000000000001,'E6'); pdecirc(-0.25,12.75,0.10000000000000001,'E7'); 67 pdecirc(0.25,12.75,0.10000000000000001,'E8'); pdecirc(11.25,13.25,0.10000000000000001,'E9'); pdecirc(10.75,13.25,0.10000000000000001,'E10'); pdecirc(11.25,12.75,0.10000000000000001,'E11'); pdecirc(10.75,12.75,0.10000000000000001,'E12'); pdecirc(-11,26,0.10000000000000001,'E13'); pdecirc(11,26,0.10000000000000001,'E14'); set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1+E1+E2+E3 +E4+E5+E6+E7+E8+E9+E10+E11+E12+E13+E14') % Boundary conditions: pdetool('changemode',0) pdesetbd(4, 'dir', 1, '1', '0') pdesetbd(3, 'dir', 1, '1', '0') pdesetbd(2, 'dir', 1, '1', '0') pdesetbd(1, 'dir', 1, '1', '0') % Mesh generation: setappdata(pde_fig,'Hgrad',1.3); setappdata(pde_fig,'refinemethod','regular'); setappdata(pde_fig,'jiggle',char('on','mean','')); pdetool('initmesh') % PDE coefficients: pdeseteq(1, '1./(1.0)', 'sqrt(-1)*(1.0).*(1.0)-(1.0).*(1.0).*(1.0)', '0.0', '1.0', '0:10', '0.0', '0.0', '[0 100]') setappdata(pde_fig,'currparam', ['1.0'; '1.0'; '1.0'; '1.0']) % Solve parameters: 68 setappdata(pde_fig,'solveparam', str2mat('0','7869','10','pdeadworst', '0.5','longest','0','1E-4','','fixed','Inf')) % Plotflags and user data strings: setappdata(pde_fig,'plotflags',[1 1 1 1 0 1 0 0 1]); setappdata(pde_fig,'colstring',''); setappdata(pde_fig,'arrowstring',''); setappdata(pde_fig,'deformstring',''); setappdata(pde_fig,'heightstring',''); Kết quả: Code chia lƣới hệ thống mạch kép function pdemodel [pde_fig,ax]=pdeinit; pdetool('appl_cb',7); set(ax,'DataAspectRatio',[40 35 1]); set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[1 1]); set(ax,'XLim',[-40 40]); set(ax,'YLim',[-5 60]); set(ax,'XTickMode','auto'); set(ax,'YTickMode','auto'); pdetool('gridon','on'); % Geometry description: pderect([35 -35 55],'R1'); pdecirc(-8.25,13.25,0.10000000000000001,'E1'); 69 pdecirc(-7.75,13.25,0.10000000000000001,'E2'); pdecirc(-8.25,12.75,0.10000000000000001,'E3'); pdecirc(-7.75,12.75,0.10000000000000001,'E4'); pdecirc(8.25,13.25,0.10000000000000001,'E5'); pdecirc(7.75,13.25,0.10000000000000001,'E6'); pdecirc(8.25,12.75,0.10000000000000001,'E7'); pdecirc(7.75,12.75,0.10000000000000001,'E8'); pdecirc(-7.25,24.25,0.10000000000000001,'E9'); pdecirc(-6.75,24.25,0.10000000000000001,'E10'); pdecirc(-7.25,23.75,0.10000000000000001,'E11'); pdecirc(-6.75,23.75,0.10000000000000001,'E12'); pdecirc(7.25,24.25,0.10000000000000001,'E13'); pdecirc(6.75,24.25,0.10000000000000001,'E14'); pdecirc(7.25,23.75,0.10000000000000001,'E15'); pdecirc(6.75,23.75,0.10000000000000001,'E16'); pdecirc(-6.25,35.25,0.10000000000000001,'E17'); pdecirc(-5.75,35.25,0.10000000000000001,'E18'); pdecirc(-6.25,34.75,0.10000000000000001,'E19'); pdecirc(-5.75,34.75,0.10000000000000001,'E20'); pdecirc(6.25,35.25,0.10000000000000001,'E21'); pdecirc(5.75,35.25,0.10000000000000001,'E22'); pdecirc(6.25,34.75,0.10000000000000001,'E23'); pdecirc(5.75,34.75,0.10000000000000001,'E24'); pdecirc(-5,49,0.10000000000000001,'E25'); pdecirc(5,49,0.10000000000000001,'E26'); set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1+E1+E2+E3 +E4+E5+E6+E7+E8+E9+E10+E11+E12+E13+E14+E15+E16+E17+E18+E19+E20+E21+E22+E23 +E24+E25+E26') % Boundary conditions: pdetool('changemode',0) pdesetbd(4, 'dir', 1, '1', '0') pdesetbd(3, 'dir', 1, '1', '0') pdesetbd(2, 'dir', 1, '1', '0') pdesetbd(1, 'dir', 1, '1', '0') % Mesh generation: setappdata(pde_fig,'Hgrad',1.3); setappdata(pde_fig,'refinemethod','regular'); setappdata(pde_fig,'jiggle',char('on','mean','')); 70 pdetool('initmesh') % PDE coefficients: pdeseteq(1, '1./(1.0)', 'sqrt(-1)*(1.0).*(1.0)-(1.0).*(1.0).*(1.0)', '0.0', '1.0', '0:10', '0.0', '0.0', '[0 100]') setappdata(pde_fig,'currparam', ['1.0'; '1.0'; '1.0'; '1.0']) % Solve parameters: setappdata(pde_fig,'solveparam', str2mat('0','7869','10','pdeadworst', '0.5','longest','0','1E-4','','fixed','Inf')) % Plotflags and user data strings: setappdata(pde_fig,'plotflags',[1 1 1 1 0 1 0 0 1]); setappdata(pde_fig,'colstring',''); setappdata(pde_fig,'arrowstring',''); setappdata(pde_fig,'deformstring',''); setappdata(pde_fig,'heightstring',''); Kết quả: 71 Để xuất tọa độ nút, click chọn mesh  export mesh Các tọa độ đƣợc lƣu dƣới dạng ma trận p, e, t Trong ta sử dụng ma trận p (ma trận tọa độ (x,y) nút), t (ma trận tọa độ nút phần tử tam giác) Lƣu ma trận với tên single.mat (lƣới đơn), double.mat (lƣới kép) làm liệu đầu vào phục vụ việc giải toán điện trƣờng lƣới điện siêu cao Code giải toán điện trƣờng lƣới điện siêu cao (Hệ thống mạch đơn) clear; clc; load single.mat E = 207; F = 0; extrabound = [-11.25 -10.75 -11.25 -10.75 -0.25 0.25 -0.25 10.75 11.25 10.75 -11 11; 13.25 13.25 12.75 12.75 13.25 13.25 12.75 13.25 12.75 12.75 26 26; E E E E E E E E E E F F]; Np = length(p); 72 0.25 11.25 12.75 13.25 E E boundary = zeros(Np,2); for j = 1:Np if p(2,j)== boundary(j,1) = j; boundary(j,2) = F; end end Ne = length(extrabound); for j = 1:Ne for k = 1:Np if abs(extrabound(1,j)-p(1,k))