Bài 5. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AM lấy điểm N. Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Cho tam giác ABC[r]
(1)CHƯƠNG III: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN
I. GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG
1 Góc tâm: Là góc có đỉnh trùng với tâm hai cạnh hai dây cung. 2 Số đo góc tâm số đo cung chắn
· »
AOB sđAB= (góc tâm chắn cung AB)
3 Định lí: Điểm nằm cung B nằm cung AC
» » »
sñAC sñAB sñBC
=> = +
B điểm cung AC
» » »
sñAB sñBC sñAC
=> = =
II. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
1 Định lí 1
Trong đường trịn hay hai đường tròn nhau: Hai cung chúng có số đo bằng
nhau.
Trong hai cung, cung có số đo lớn thì đó cung lớn
Ta có: AB = CD (gt)
» »
sñAB sñCD
=> =
· ·
AOB COD
(2)Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
Cung lớn dây lớn hơn. Dây lớn cung lớn hơn. 3 Bổ sung
a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song nhau.
Ta có: AB // CD (gt)
» »
sñAD sñBC
=> =
b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm giữa của cung qua trung điểm dây căng cung ấy.
Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm một dây (khơng qua tâm) qua điểm cung bị căng bởi dây ấy.
c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm giữa của cung vng góc với dây căng cung ngược lại.
III. GÓC NỘI TIẾP
1 Định nghĩa
Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh hai dây cung đường trịn đó.
Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn. 2 Số đo: Trong đường trịn, số đo góc nội
tiếp nửa số đo cung bị chắn Ta có:
· »
BAC sđBC =
(3)3 Hệ quả
Trong đường trịn:
a) Các góc nội tiếp chắn cung nhau. b) Các góc nội tiếp chắn cung hoặc
chắn cung nhau. c) Số đo góc nội tiếpbằng nửa số đo góc ở tâm chắn cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng
Ta có: ACB 90· = o(góc nt chắn nửa đường trịn đường kính AB) Bài 1. Cho ABC (AB < AC) Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AC, AC E, F Gọi H giao điểm BE CF
a) Chứng minh: AHBC.
b) Chứng minh: AF.AB AE.AC BH.BE BF.BA và
HE.HB HF.HC
C) AH cắt BC D Chứng minh: D, H, E, C thuộc đường tròn Xác định tâm I
d) Chứng minh: EH tia phân giác góc DEF e) Chứng minh: FH tia phân giác góc DFE f) AD cắt EF K Chứng minh: AK.HD HK.AD .
g) EF cắt BC M Chứng minh: MF.ME MB.MC .
Bài 2. Cho ABC nội tiếp (O) Đường cao BE, CF cắt H. a) Chứng minh: AHBC.
b) AH cắt BC D Chứng minh: AF.AB AH.AD AE.AC .
(4)e) CF cắt DE K Chứng minh: FH.CK HK.CF .
f) EF cắt BC M, EF cắt (O) N T Chứng minh: MN.MT ME.MF .
Bài 3. Cho ABC nội tiếp (O) Đường cao AD BE cắt H. a) Chứng minh: CHAB.
b) AD cắt (O) I Chứng minh: CHI cân.
c) BE cắt (O) K Chứng minh: H đối xứng với K qua AC d) Chứng minh: OC IK.
e) Chứng minh: ED // KI OC ED.
Bài 4. Cho ABC nội tiếp (O) Đường cao BE, CF cắt H BE, CF cắt (O) M N
a) Chứng minh: OAMN.
b) Chứng minh: MN // EF
c) Vẽ đường kính AD Chứng minh: Tứ giác BHCD hình bình hành
d) HD cắt BC K Chứng minh: AH = 2OK e) AH cắt (O) I Chứng minh: ID // BC
f) OK cắt (O) T Chứng minh: AT tia phân giác góc IAD Bài 5. Cho ABC nội tiếp (O) Đường cao BE, CF cắt H AH cắt (O) I Vẽ đường kính AD
a) Chứng minh: ID // BC
b) Phân giác góc BAC cắt (O) T Chứng minh: AT phân giác của góc HAO
c) Chứng minh: Tứ giác BHCD hình bình hành d) Chứng minh: H đối xứng I qua BC
e) Đường thẳng EF cắt BC K cắt (O) M N Chứng minh: KE.KF KM.KN .
(5)a) Chứng minh: PBC cân.
b) Vẽ đường cao BE, CF ABC cắt H Vẽ đường kính AI Chứng minh: Tứ giác BHCI hình bình hành
c) HI cắt BC M Chứng minh: điểm O, M, P thẳng hàng d) Chứng minh: AP phân giác góc HAO
Bài 7. Cho ABC nội tiếp (O) Phân giác góc B cắt (O) M. a) Chứng minh: MAC cân.
b) BM cắt AC E Chứng minh: ME.MB MC 2.
c) Gọi F trung điểm AC Chứng minh: O, F, M thẳng hàng d) Vẽ dây MN // AB Chứng minh: NC // BM
e) Gọi I giao điểm MN BC Chứng minh: IM = IB IN = IC MN = BC
f) Gọi K giao điểm MC BN Chứng minh: O, I, K thẳng hàng
Bài 8. Cho ABC nội tiếp (O) E điểm tùy ý BC AE cắt (O) M
a) Chứng minh: MA phân giác góc BMC b) Chứng minh: AM.AE AC 2.
c) Trên AM lấy điểm D cho MB = MD Chứng minh: MBD BD // MC
d) Chứng minh: MA MB MC .
(6)IV. GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1 Định lí
Số đo góc tạo tiếp tuyến và dây cung nửa số đo cung bị chắn
2 Hệ quả
Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp cùng chắn cung nhau.
3 Định lí (bổ sung)
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB), có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung này nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn.
Bài 1. Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA, MB a) Chứng minh: OMBCtại H.
b) Vẽ dây BC // AM Chứng minh: ABC cân.
c) MC cắt (O) D Chứng minh: MA2 MD.MC và
AD DB.DM
d) AD cắt CB N Chứng minh: AB2 AD.AN.
e) Chứng minh: ND.NA NB.NC .
f) BD cắt AM I Chứng minh: I trung điểm AM Bài 2. Cho (O) điểm M nằm (O), vẽ tiếp tuyến MA, MB
a) Chứng minh: OM AB H.
b) Vẽ dây BC // MA Chứng minh: ABC cân.
(7)e) Chứng minh: AD2 DB.DM.
f) Gọi I trung điểm của AM Chứng minh: B, D, I thẳng hàng Bài 3. Cho (O) điểm M nằm (O), vẽ tiếp tuyến MA, MB
a) Vẽ dây AC // MB Chứng minh: ABC cân. b) MC cắt (O) taị D Chứng minh: BD2 DA.DM.
c) Gọi I trung điểm MB Chứng minh: A, D, I thẳng hàng
d) Gọi E trung điểm CD.Chứng minh: M, A, E, O, B thuộc đường tròn
e) Chứng minh: EM phân giác góc AEB
f) AE cắt (O) F Chứng minh: BF // CD BC2 BF.MC.
g) Chứng minh: Tứ giác BDEF hình bình hành h) Chứng minh: ADE FEC tam giác cân.
Bài 4. Từ M nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD
a) Chứng minh: OM AB MA2 MD.MC.
b) Vẽ phân giác góc DAC cắt CD E Chứng minh: AME. c) Chứng minh: BE phân giác góc DBC
d) Gọi I trung điểm CD Cm: IM phân giác góc AIB e) Chứng minh: AE phân giác góc IAB
f) Chứng minh: AD.BC ID.AB .
g) AI cắt (O) K Chứng minh: BK // CD
h) AE cắt (O) F Chứng minh: I, O, F thẳng hàng Bài 5. Cho ABC nội tiếp (O) Vẽ phân giác AE ABC.
(8)e) Chứng minh: BD.AC AD.HC .
f) DH cắt (O) I Chứng minh: AI // BC
V. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG
TRỊN – GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
Định lí 1
Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn
Ta có:
· sđCD sđBE» » CAD
2 + =
(góc có đỉnh đường trịn)
Định lí 2
Số đo góc có đỉnh bên ngồi
đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. Ta có:
· sñCD sñBE» » CHD
2 -=
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB AC lấy điểm I K cho AI AK Dây IK cắt cạnh AB, AC D E
a) Chứng minh ADKACB.
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện tứ giác DECB hình thang cân
(9)Tiếp tuyến đường tròn (O) N cắt đường thẳng AB I Chứng minh rằng:
a) Các tam giác INE INF tam giác cân b)
AE AF AI
2
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B góc C cắt I cắt đường tròn (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh rằng:
a) Tam giác AMN tam giác cân
b) Các tam giác EAI DAI tam giác cân c) Tứ giác AMIN hình thoi
Bài 4. Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC Vẽ đường kính BD Hai đường thẳng CD MB cắt A Chứng minh M trung điểm AB
Bài 5. Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC ADE (B nằm A C; D nằm A E) Cho biết
A500
, sd BD 400 Chứng minh CD BE
Bài 6. Cho điểm A, B, C D theo thứ tự đường tròn (O) cho số đo cung sau: sd AB 400, sdCD 1200 Gọi I giao điểm AC BD M giao điểm DA CB kéo dài Tính góc CID AMB
Bài 7. Cho đường trịn (O) Từ điểm M (O), ta vẽ cát tuyến MAC MBD cho CMD400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc AEB700, tính số đo cung AB CD
(10)(11)VI. CUNG CHỨA GÓC
1 Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB góc (00a 1800) cho trước quỹ tích
các điểm M thoả mãn AMBa hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB.
Chú ý:
Hai cung chứa góc nói hai cung trịn đối xứng qua AB.
Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích.
Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc vng đường trịn đường kính AB.
2 Cách vẽ cung chứa góc
– Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB. – Vẽ tia Ax tạo với AB góc .
– Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d.
– Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
AmB
vẽ cung chứa góc . 3 Cách giải tốn quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần:
(12)Bài 1. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây MN = R (điểm M cung AN ) Hai dây AN BM cắt I Hỏi dây MN di động điểm I di động đường nào?
Bài 2. Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa B ta vẽ hình vng ACDE Hỏi:
a) Điểm D di động đường nào? b) Điểm E di động đường nào?
Bài 3. Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường trịn đường kính AB, N thuộc nửa đường trịn đường kính AC)
a) Tứ giác BMNC hình gì?
b) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A
Bài 5. Cho nửa đường tròn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung AM lấy điểm N Trên tia AM, AN BN lấy điểm C, D, E cho MC = MA, ND = NB, NE = NA Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn Bài 6. Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm B F, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt đường thẳng AI điểm thứ hai D Hai đường thẳng DN BF cắt E
(13)tròn
b) Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E nằm đường tròn Từ suy BE CE
Bài 7. Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm C di động (O) Gọi M giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Điểm M di động đường nào?
Bài 8. Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, A500, AB = 3,5cm.
Bài 9. Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, đường cao BD = 3cm đường cao CE = 3,5cm
VII. TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1 Định nghĩa
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn đgl tứ giác nội tiếp đường tròn.
2 Định lí
Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 .
Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn.
3 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có đỉnh cách điểm tâm.
Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800.
Tứ giác có đỉnh nhìn cạnh góc nhau. Tứ giác có góc ngồi góc đối diện.
(14)Bài 1. Cho DABC có đường cao BE, CF cắt H a) Chứng minh: Tứ giác AEHF, tứ giác BFEC nội tiếp
b) AH cắt BC D Chứng minh: Tứ giác BFHD, DHEC nội tiếp c) Chứng minh: H tâm đường tròn nội tiếp DDEF
d) Gọi K điểm đối xứng H qua BC Chứng minh: Tg ABKC nội tiếp
Bài 2. Cho DABC nội tiếp (O) Vẽ đường cao BE, CF cắt H AH cắt BC D
a) Chứng minh: Tg BEFC, tg BFHD nội tiếp đường tròn
b) AD cắt đường tròn (O) I Chứng minh: H đối xứng với I qua BC
c) Chứng minh: OA ^ EF
d) Vẽ đường kính AM (O) Chứng minh: Tg BFKM nội tiếp Bài 3. Cho DABC (AB < AC) nội tiếp (O) đường kính BC Vẽ đường cao AH Trên BC lấy điểm D sau cho HB = HD Từ C kẻ CE ^ AD E
a) Chứng minh: Tứ giác AHEC nội tiếp b) Chứng minh: CB phân giác góc ACE c) Chứng minh: DAHE
d) AH cắt (O) F Chứng minh: C, E, F thẳng hàng
Bài 4. Cho nửa (O) đường kính AB điểm M nằm (O) (AM > BM) Vẽ MH ^AB, C điếm đối xứng với B qua H Qua M vẽ đường thẳng vng góc với CM cắt tiếp tuyến Ax, By (O) D E
a) Chứng minh: Tg ACMD, BCME nội tiếp đường trịn b) Chứng minh: DCDE vng
c) Vẽ AF // DE cắt MC F Chứng minh: Tg AFHM nội tiếp d) Chứng minh: DMHF cân
(15)Bài 5. Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O)
a) Chứng minh: OM ^ AB
b) Vẽ cát tuyến MEF Chứng minh: MH.MO = ME.MF c) Chứng minh: Tg EHOF nội tiếp đường tròn
d) Chứng minh: HA phân giác góc EHF
e) Vẽ AB cắt EF K Chứng minh: ME.FK = EK.MF
Bài 6. Cho DABC, vẽ (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E BE cắt CF H
a) Chứng minh: AH ^ BC
b) AH cắt BC D Chứng minh: AF.BC AE.AC AH.AD= = c) Chứng minh: EH tia phân giác góc DEF
d) Chứng minh: Tứ giác DOEF nội tiếp
e) Từ A kẻ Ax // EF cắt BC M Chứng minh: MA2=MB.MC Bài 7. Cho DABC nội tiếp (O) Vẽ đường cao BE, CF cắt H AH cắt BC D
a) Chứng minh: AD ^ BC
b) Vẽ tiếp tuyến A cắt BC S Chứng minh: AS // EF
(16)VIII ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP – ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
1 Định nghĩa
a) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác đgl đa giác nội tiếp đường tròn. b) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác đgl đường tròn nội tiếp đa giác đa giác đgl đa giác ngoại tiếp đường trịn.
2 Định lí
Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp.
Tâm hai đường tròn trùng đgl tâm đa giác đều.
Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh là hai đường phân giác hai góc.
Chú ý:
Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh.
Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh.
Cho n_ giác cạnh a Khi đó:
– Chu vi đa giác: 2p na (p nửa chu vi). – Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo :
n n
0
( 2).180
.
– Mỗi góc tâm đa giác có số đo bằng: n
360
(17)– Bán kính đường trịn ngoại tiếp: a R n 180 2sin a R n 180 2 sin .
– Bán kính đường trịn nội tiếp:
a r n 180 2tan a r n 180 2 tan . – Liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp:
a R r2 2
4
.
– Diện tích đa giác đều: S nar
1
.
Bài 1. Một đường trịn có bán kính R3cm.Tính diện tích hình vng
nội tiếp đường trịn
Bài 2. Một đa giác nội tiếp đường tròn O cm;2 Biết độ dài cạnh 3cm Tính diện tích đa giác
Bài 3. Cho lục giác ABCDEF, độ dài cạnh a Các đường thẳng AB CD cắt M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự N P
a) Chứng minh MNP tam giác
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp MNP
Bài 4. Cho ngũ giác ABCDE cạnh a Hai đường chéo AC AD cắt BE M N
a) Tính tỉ số bán kính đường trịn nội tiếp đường trịn ngoại tiếp ngũ giác
(18)c) Chứng minh AC BM a2
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A đường tròn (O) vẽ cung AB, AC cho sd AB 300, sd AC 900 (điểm A nằm cung BC nhỏ) Tính cạnh diện tích tam giác ABC
IX. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN – CUNG TRỊN 1 Cơng thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)
Độ dài C đường trịn bán kính R tính theo cơng thức:
C 2R hoặc C d (d2R)
2 Cơng thức tính độ dài cung trịn
Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n0 tính theo cơng thức:
Rn l
180
.
Bài 1. Cho 3,14 Hãy điền vào bảng sau:
Bài 2. Ch
o
đường trịn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC OA Biết độ dài đường trịn (O) 4 ( ) cm Tính:
a) Bán kính đường trịn (O)
b) Độ dài hai cung BC đường trịn
Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tíchS
6
94,2
(19)Bài 3. ABC có AB = AC = 3cm, A1200 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ABC
Bài 4. Một tam giác hình vng có chu vi 72cm Hỏi độ dài đường trịn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? Bài 5. Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) tiếp xúc với A Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B, cắt đường tròn (O) C Chứng minh
R 1R
2
độ dài cung AC nửa độ dài cung AB (chỉ xét cung nhỏ AC, AB)
Bài 6. Cho đường trịn đường kính BC2R Trên đường trịn lấy một
điểm A cho AB R 3 Gọi P P P1, ,2 3 chu vi đường tròn có
đường kính CA, AB, BC Chứng minh rằng:
P P12 P22 32
1 Bài 7. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường tròn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn Bài 8. Cho nửa đường trịn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường trịn đường kính OA OB nửa đường trịn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường tròn
Bài 9. Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC Lấy điểm A (O) cho AB < AC Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác ABC Chứng minh diện tích tam giác ABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngồi (O)
(20)1 Cơng thức tính diện tích hình trịn
Diện tích S hình trịn bán kính R tính theo cơng thức: SR2
2 Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn
Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n0 tính theo cơng thức:
R n
S
360
hay
lR S
2
(l độ dài cung n0 hình quạt trịn).
Bài 1. Một hình vng hình trịn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn
Bài 2. Chứng minh diện tích hình trịn ngoại tiếp hình vng hai lần diện tích hình trịn nội tiếp hình vng
Bài 3. Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bới đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh 6cm
Bài 4. Một tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Tính diện tích hình viên phân tạo thành cạnh tam giác cung nhỏ căng cạnh
Bài 5. Tam giác ABC vng A, đường cao AH = 2cm Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A ta vẽ ba nửa đường trịn có đường kính BH, CH BC Tính diện tích miền giới hạn ba nửa đường trịn
XI. ƠN TẬP CHƯƠNG III Dạng Tam giác nhọn nội tiếp.
Bài 1. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD, CE cắt H
(21)b) Đường thẳng DE cắt (O) I, K cắt đường thẳng BC M (I nằm M K) Chứng minh: MI.MK = MB.MC
c) Kẻ đường thẳng xy tiếp tuyến A (O) Chứng minh: xy // MK
d) Chứng minh: AI = AK
Bài 2. Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O; R) Vẽ BM vng góc với BC M (MBC) Tia OM cắt (O) I Tiếp tuyến tại A (O) cắt BC D
a) Chứng minh: Tứ giác OADM nội tiếp b) Chứng minh: DA2 DA.DC.
c) AI cắt BC N Vẽ tiếp tuyến DE với (O) (E tiếp điểm, E khác A) Chứng minh: D tâm đường tròn ngoại tiếp ANE
d) Kẻ đường kính IF (O) Chứng minh: điểm E, N, F thẳng hàng
Bài 3. Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O; R) Ba đường cao AD, BE CF cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác CEHD, AEDB nội tiếp đường tròn
b) AD cắt (O) I Chứng minh: ADC BDI từ đó suy DA.DI = DB.DC
c) Kẻ dường kính AK (O) Chứng minh: Tứ giác BIKC hình thang cân
d) Cho BAC 60 0 Chứng minh: AHO cân
Bài 4. Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB E, cắt AC F
a) Chứng minh: CE, BF hai đường cao ABC.
(22)c) Kéo dài AH cắt BC M Gọi K giao điểm EM BH Chứng minh: BK.HF BF.HK .
d) Chứng minh: KEO OFM
Bài 5. Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn Hai đường cao AD, BE cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác CHDE, ABDE nội tiếp
b) Kéo dài AD BE cắt đường tròn (O) F I Chứng minh: IF // DE
c) Đường kính CK (O) cắt AF J Đường thẳng CK AI cắt M Chứng minh: KM.CJ CM.KJ .
d) Gọi G trọn tâm ABC Chứng minh điểm H, G, O thẳng hàng
Bài 6. Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O) Gọi H giao điểm đường cao AD, BE, CF
a) Chứng minh: Tứ giác DHEC, BFEC nội tiếp b) Chứng minh: AE.AC AH.AD
c) Gọi K trung điểm HC Chứng minh: FED FKD .
d) Đường trịn đường kính AH cắt đường trịn (O) M Chứng minh: AM, EF, BC đồng qui
Bài 7. Cho DEF nội tiếp đường tròn (O) Qua D vẽ tiếp tuyến xy Từ E vẽ EN // xy (N ∈ DF)
a) Chứng minh: DEN DFE . b) Chứng minh: DN.DF DE 2.
(23)Bài 8. Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O; R) cho BAC 60 0. Hai đường cao AM BN ABC cắt H Gọi CD đường kính (O)
a) Chứng minh: Tứ giác CHNM, ANMB nội tiếp
b) Chứng minh: DB //AH Từ suy tứ giác ADHB hình bình hành
c) Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với đường tròn (O) Chứng minh: Cx // MN
d) Tính AH theo R
Bài 9. Cho nửa đường trịn đường kính AB hai điểm C, D nằm nửa đường tròn (C AD) Hai tia AD BC cắt điểm E, AC cắt BC F, EF cắt AB M
a) Chứng minh: BC AF AD BF Từ suy ra: FM AB. b) Chứng minh: Tứ giác ACEM nội tiếp Suy ra: ECM EAM . c) Chứng minh: CB tia phân giác góc MCD
d) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh: Tứ giác CDIM nội tiếp
Bài 10. Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O; R) Ba đường cao AD, BE, CF cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác AFHE, BCEF nội tiếp b) Chứng minh: AE.AC = AF.AB
c) AD cắt (O) I Chứng minh: HBC IBC Từ suy I H đối xứng với qua BC
d) Chứng minh: AO EF
Bài 11. Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến A (O) cắt cạnh BC kéo dài S
2
(24)b) Vẽ hai đường cao BE CF ABC Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn, xác định tâm đường tròn
c) Gọi M giao điểm hai đường thẳng EF BC Chứng minh: ME.MF MB.MC .
d) Chứng minh: OA ME.
e) Vẽ tiếp tuyến SD (O) với D tiếp điểm Gọi I trung điểm BC Chứng minh: IS phân giác góc AID
Bài 12. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Tia AD cắt (O) M
a) Chứng minh: Tứ giác AEHF, BCEF nội tiếp b) Chứng minh: DA.DM DB.DC .
c) Gọi I, J trung điểm của AH BC Chứng minh: điểm D, J, E, F thuộc đường trịn Tính bán kính đường trịn theo R
d) Gọi K giao điểm EF AH Chứng minh: CK BI Bài 13. Cho ABC có góc nhọn (AB < AC), ba đường cao AD, BE, CF cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác CEHD nội tiếp b) Chứng minh: FEB FCB .
c) Gọi M điểm đoạn DF Trên tia DE lấy điểm N cho
MAN BAC Chứng minh: NDC NAM .
d) Chứng minh: MA tia phân giác góc NMF
Bài 14. (HKII)Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) Các tiếp tuyến B C của đường tròn (O) cắt E AE cắt đường tròn (O) D (D khác A)
(25)b) Từ E kẻ đường thẳng (d) song song với tiếp tuyến A (O), (d) cắt AB, AC P Q Chứng minh: AB.AP AD.AE .
c) Chứng minh: EP = EQ PAE MAC . d) Chứng minh:
2
BC MA.MD
4
Bài 15. Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O; R) có (AB < AC) Gọi M điểm cung BC OM cắt BC D, AM cắt BC K
a) Chứng minh: AM tia phân giác góc BAC
b) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC S Chứng minh:
SA SB.SC.
c) Chứng minh: SA = SK S, A, O, D thuộc đường tròn d) Trên đường tròn tâm O đặt E cho SB.SC SE 2 Chứng
minh: điểm E nằm đường tròn ngoại tiếp SAOD
Bài 16. Các đường cao AN BM ABC có ba góc nhọn cắt nhau H cắt đường tròn (O; R) ngoại tiếp ABC D E.
a) Chứng minh: CD = CE
b) Chứng minh: H D đối xứng qua BC c) Chứng minh: MN // DE
d) Biết
MN
AB 2 Tính MN theo R
Bài 17. Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H
a) Chứng minh: EH.BD ED.HF . b) Chứng minh: OA EF.
c) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) M N (F nằm E M) Chứng minh: AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp MDH
(26)Bài 18. Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R) Vẽ BD vng góc với AC D, vẽ CE vng góc với AB E, BD CE cắt H Vẽ đường kính AOK
a) Chứng minh: Tứ giác BKHC hình bình hành
b) Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp đường trịn tâm I Xác định vị trí điểm I
c) Chứng minh: DE AK.
d) Cho BAC 60 0 Tính theo R độ dài AH.
Bài 19. Cho ABC nhọn, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC E D CE cắt BD H
a) Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp
b) AH cắt BC F Chứng minh: FA tia phân giác góc DFE c) EF cắt đường trịn K (K khác E) Chứng minh: DK // AF d) Cho biết BCD 45 0 BCE 15 0, BC = 4cm Tính SABC Bài 20. Cho ABC có góc nhọn, AB > AC, nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao AD CF cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác BDHF nội tiếp Xác định tâm đường tròn
b) Tia BH cắt AC E Chứng minh: HE.HB HF.HC .
c) Vẽ đường kính AK (O) Chứng mính: AK EF. d) Trường hợp KBC 45 0 BC R 3 Tính SAHKtheo R Bài 21. Cho ABC có góc nhọn AB < AC Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB AC theo thứ tự D E
a) Chứng minh: AD.AC = AE.AB
b) Gọi H giao điểm BD CE Gọi K giao điểm AH BC
(27)c) Từ A kẻ tiếp tuyến AM AN đến đường tròn (O) với M, N tiếp điểm
Chứng minh: ANM AKN .
d) Chứng minh: điểm M, H, N thẳng hàng
Bài 22. Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) với (AB < AC) Kẻ đường cao AD, BE, CF cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác AEHF, BCEF tứ giác nội tiếp b) Kẻ đường kính AK (O) Chứng minh: AB.AC = AD.AK c) Đường thẳng AD cắt (O) I (I khác A) Chứng minh: Tứ giác BCKI hình thang cân
d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: AH = 2OM
Bài 23. (Q.TB – 08-09) Cho ABC có góc nhọn đường cao AD, BE, CF cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác BCEF, AEHF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: EH.EB = EA.EC
c) Chứng minh: H tâm đường tròn nội tiếp DEF.
d) Cho AD = 5cm, CD = 4cm, BD = 3cm Tính diện tích BHC. Bài 24. Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O; R) Kẻ đường cao BD ABC, BD cắt (O) M Kẻ MH vng góc BC tại H
a) Chứng minh: Tứ giác MDHC nội tiếp
b) Chứng minh: MB tia phân giác góc AMH c) HD cắt AB N Chứng minh: MN AB.
d) Qua D kẻ đường thẳng vng góc với OA, đường thẳng cắt AB K
(28)Bài 25. Cho ABC có góc nhọn AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AD đường kính AK, Gọi E, F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AK
a) Chứng minh: Tứ giác AEDB nội tiếp b) Chứng minh: DB.AK = AB.KC c) Chứng minh: DE AC.
d) Chứng minh: DF // BK
Bài 26. Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D
a) Chứng minh: Tứ giác AEHF nội tiếp AH vng góc với BC b) Chứng minh: AB.AE = AC.À
c) Chứng minh: H tâm đường tròn nội tiếp DEF. d) Đường tròn (AEHF) cắt DF M Chứng minh: EM // BC Bài 27. Cho ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Từ điểm M thuộc cung nhỏ AC vẽ MH vng góc với AC H, MI vng góc với AB I, MK vng góc với BC K
a) Chứng minh: Tứ giác AIMH CMHK nội tiếp b) Chứng minh: điểm I, H, K thẳng hàng
c) Chứng minh: MA.MK MH.MB .
d) Gọi E, F lượt trung điểm AB HK Chứng minh:
MEF 90
Bài 28. Cho ABC có góc nhọn, đường trịn (O) đường kính BC = 2R cắt AB AC D E, BE cắt CD H
a) Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp AH vng góc với BC b) AH cắt BC F Chứng minh: FA tia phân giác góc DFE c) DF cắt BH I Chứng minh: BI.HE BE.HI .
(29)Bài 29. Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Hai đường cao BD CE cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp Xác định tâm I b) Chứng minh: AE.AB AD.AC DA.DC DH.DB .
c) Vẽ phân giác góc BAC cắt BC F, cắt (O) M Chứng minh: AH // OM
d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC K Chứng minh:
KF KB.KC.
e) Đường thẳng DE cắt KC N Chứng minh: CN.AK CK.ND .
f) Cho 00BAC60,ACB45 Tính AD AC theo R
Bài 30. Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O; R) Tiếp tuyến A cắt đường thẳng BC N Gọi M alf trung điểm CB
a) Chứng minh: Tứ giác NAOM nội tiếp Xác đinh tâm I b) Đường tròn (I) cắt (O) D Chứng minh: AND cân. c) AD cắt BC ại K Chứng minh:NA2 NM.NK.
d) Chứng minh: NB.NC NL.NM
e) AD cắt NO E Chứng minh: Tứ giác BEOC nội tiếp
f) Cho BAC 60 0 Chứng tỏ: Tâm F đường tròn (BEOC) thuộc (O; R)
Bài 31. Cho ABC nhọn nội tiếp (O; R) Hai đường cao BD CE cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp xác định tâm K đường tròn
b) Chứng minh: OADE.
(30)Bài 32. Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O; R) Hai đường cao BE CF cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm I đường trịn
b) Hai tia BE CF cắt đường tròn (O) M N Chứng minh: OA MN EF // MN.
c) Gọi D điểm đối xứng H qua I Chứng minh: D thuộc đường trịn (O)
d) Chứng minh: Diện tích AHI hai lần diện tích AOI. Bài 33. Cho ABC nhọn nội tiếp (O) có đường cao AD, BE CE cắt H
a) Chứng minh: Tứ giác AEHF BFEC nội tiếp
b) Tia AD cắt (O) K Chứng minh: DA.DK DB.DC DH =
DK
c) Gọi I trung điểm BC, M điểm đối xứng H qua I Chứng minh: AM đường kính (O)
d) Các tia BE CF cắt (O) P Q GỌi R giao điểm cảu KQ AB, S giao điểm KP AC Chứng minh: R, H, S thẳng hàng
Bài 34. Cho ABC nhọn B C
nội tiếp (O) Lấy điểm M tùy ý cung nhỏ AC
(AM < MC) Gọi H, K I hình chiếu vng góc M lên AB, BC CA
(31)d) Gọi E, F trung điểm AB IK Chứng minh: MFE vng
Dạng Điểm nằm ngồi đường trịn.
Bài 1. Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm)
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp
b) Từ A vẽ cát tuyến ADE không qua tâm (D nằm A E) Chứng minh: AB2 AE.AD.
c) Phân giác góc EBD cắt ED K Chứng minh: AB = AK d) Chứng minh: CK phân giác góc ECD
Bài 2. Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N hai tiếp điểm) kẻ cát tuyến AEF với (O), (E nằm A F) Gọi H giao điểm OA MN
a) Chứng minh: OA MN.
b) Chứng minh: Tứ giác OMAN nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn
c) Chứng minh: AM2 AE.AF.
d) Đường tròn (I) cắt AF D, đoạn thẳng MN EF cắt K Chứng minh: AK.AD = AH.AO
Bài 3. Từ A bên ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp OA BC H. b) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh: DC // OA c) AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E Chứng minh: HE CE
(32)Bài 4. Từ điểm M ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (với A, B hai tiếp điểm)
a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp
b) Gọi K trung điểm AB Chứng minh: MO đường trung trực AB Suy điểm M, K, O thẳng hàng
c) Trên tia đối tia BA lấy điểm I Từ M hạ MH vng góc với OI H, MH cắt AB N Chứng tỏ: điểm A, O, H, B, M thuộc đường trịn Suy ra: IA.IB = IH.IO
d) Tính KN.KI theo R OM = 3R
Bài 5. Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến Ab, AC với đường tròn
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp
b) Vẽ dây BD // AC, AD cắt (O) E (E khác D) Chứng minh:
AB AE.AD.
c) Chứng minh: BC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ACE. d) Tìm vị trí A để CE AB
Bài 6. Cho điểm M nằm đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) với B A tiếp điểm Kẻ dây AE // MB Đường thẳng ME cắt (O) N, đường thẳng AN cắt MB I
a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp
b) Chứng minh: IMN IAM Từ suy ra: IM = IB
c) Cho D trung điểm MA Gọi Q giao điểm DB với IA Chứng minh: Q thuộc OM tứ giác OBQN nội tiếp
d) Đường thẳng OI cắt (O) C Tiếp tuyến C (O) cắt tia OB F Đường thẳng vng góc với CF F cắt tia MB K Đặt
IOB Tính FK theo R .
(33)Bài 7. Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) cho OA = 3R Vẽ tiếp tuyến AB AC với (O) (B C tiếp điểm)
a) Chứng minh: Tứ giác OBAC nội tiếp
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) D (D khác B) Đường thẳng AD cắt (O) E (E khác D) Chứng minh:
2
AB AE.AD.
c) Chứng minh: Tia đối tia EC tia phân giác góc BEA d) Tính diện tích tam giác BDC theo R
Bài 8. Qua đường tròn (O; R) điểm A ngồi đường trịn với OA = 3R Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B C tiếp điểm
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp b) Kẻ đường kính CD (O) Chứng minh: BD // OA
c) Kẻ dây BN (O) song song với AC AN cắt (O) M Chứng minh: MC2 MA.MB.
d) Gọi F giao điểm BN với CD Tính SBCFtheo R
Bài 9. Cho (O; R) đường kính AB, tiếp tuyến A (O) lấy điêm M Từ M kẻ tiếp tuyến MC đến (O) (C khác A) MB cắt (O) K
a) Chứng minh: OMACtại H.
b) Chứng minh: Tứ giác AHKM nội tiếp đường tròn c) Chứng minh: KHKC.
d) Chứng minh: Tứ giác OHKB nội tiếp đường tròn
Bài 10. Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C hai tiếp điểm)
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp
b) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn (AD < AE) Chứng minh:
(34)d) Gọi T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADH Chứng minh: TD tiếp tuyến (O)
Bài 11. Cho đường trịn tâm O có bán kính R điểm A bên ngồi đường trịn (O) cách tâm O khoảng 2R Vẽ đường thẳng d vng góc với OA A Từ điểm M d vẽ hai tiếp tuyến MD, ME đến đường tròn (O) với D, E hai tiếp điểm
a) Chứng minh: Tứ giác MDOE tứ giác nội tiếp điểm M, A, D, E, O thuộc mơt đường trịn
b) Đường thẳng DE cắt OM O cắt OA B Chứng minh: OB.OA ON.OM Suy độ dài OB không đổi M di động trên
đường thẳng d c) Cho
3R MA
2
Tính diện tích tứ giác ABNM theo R
Bài 12. Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm (O) cho OA = 2R Vẽ tiếp tuyến AB, AC đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) OA cắt BC I
a) Chứng minh: Tứ giác OBAC nội tiếp b) Chứng minh: IA.IO IB.IC .
c) Tính diện tích tứ giác OABC theo R
d) Cho H trung điểm BI Qua H dựng đường thẳng d vng góc với OH Gọi D giao điểm d với AB Tính chu vi DOA theo R
Bài 13. Từ điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O; R) vẽ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B, C tiếp điểm
(35)c) Vẽ dây cung BM song song với DE Gọi giao điểm CM DE I Chứng minh: I trung điểm DE
d) BC cắt ED S Chứng minh:
SD SI AD EI
Bài 14. Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến (O) (B, C tiếp điểm) Vẽ đường kính BD (O)
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp
b) AD cắt (O) E Chứng minh: AB2 AE.AD.
c) Vẽ dây BF song song với ED CF cắt AD I Chứng minh: Tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn
d) OA cắt BC H CF cắt DH M Chứng minh: MH = MD Bài 15. Từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB AC với (O) (B, C tiếp điểm)
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp
b) Vẽ cát tuyến ADE với (O) (AD < AE) Chứng minh:
AD.AE AB .
c) AO cắt BC H Chứng minh: Tứ giác DHOE nội tiếp
d) Gọi T tâm đường tròn ngoại tiếp ADH Chứng minh: TD là tiếp tuyến (O)
Bài 16. Cho (O; R) điểm M nằm đường tròn Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA MB đến (O) (A B hai tiếp điểm)
a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp
b) Kẻ đường kính BC, MC cắt (O) N (N khác C) Chứng minh:
MA MN.MC.
c) Gọi I trung điểm NC Chứng minh: MI đường phân giác góc AIB
(36)Bài 17. Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM AN (M, N hai tiếp điểm) cát tuyến AEF với (O) (E nằm giwuax A F) OA cắt MN H
a) Chứng minh: OAMN.
b) Chứng minh: Tứ giác OAMN nội tiếp xác định tâm I đường tròn
c) Chứng minh: AM2 AE.AF.
d) Đường tròn (I) cắt AF D, đoạn thẳng MN EF cắt K Chứng minh: AK.AD AH.AO
Bài 18. Từ M nằm ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA MB, cát tuyến MCD Gọi H giao điểm OM AB
a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp OM AB H. b) Chứng minh: MA2 MC.MD.
c) Chứng minh: MHC OCD .
d) Qua C kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC E F Chứng minh: CE = EF
Bài 19. Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến (O) (B, C hai tiếp điểm)
a) Chứng minh: Tứ giác OBAC nội tiếp
b) Kẻ cát tuyến AMN (M nằm A N) Chứng minh:
AB AM,AN.
c) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh: Tứ giác OHMN nội tiếp
(37)Bài 20. Từ A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B, C hai tiếp điểm) (O) Cát tuyến ADE (không qua tâm O, D nằm A E) Gọi I trung điểm ED, OA cắt BC H
a) Chứng minh: OH BC H.
b) Chứng minh: điểm A, B, I, O, C thuộc mơt đường trịn c) Chứng minh: Tứ giác OHDE nội tiếp
d) Đường thẳng qua D vng góc với OB cắt BC M cắt EB K
Chứng minh: MK = MD
Bài 21. Cho đường tròn (O) điểm A ngồi đường trịn Từ A vẽ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (O) (B, C hai tiếp điểm)
a) Chứng minh: OA BC.
b) Vẽ cát tuyến AMN đường tròn (O) (M nằm A N) Gọi E trung điểm MN Chứng minh: A, O, E, C thuộc đường tròn Xác định tâm K đường tròn
c) Tia CE cắt đường tròn (O) I Chứng minh: BI // MN d) Tìm vị trí cát tuyến AMN để diện tích AIN lớn
Dạng Dạng khác.
Bài 1. Cho nửa đường trịn đường kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ tiếp tuyến Ax, By với đường trịn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F
a) Chứng minh: Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp b) Chứng minh: EF // BC
c) Tìm vị trí C để tứ giác AEFC hình bình hành
(38)Bài 2. Cho ABC vuông A có đường cao AH Vẽ đường trịn đường kính AH, đường trịn cắt AB điểm E cắt AC điểm F
a) Chứng minh: Tứ giác AEFH hình chữ nhật b) Chứng minh: Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh: AI EF.
d) Cho AB = 3cm, AC = 4cm Tính diện tích tứ giac IEAF
Bài 3. Cho ABC vuông A Biết AB = 6cm, AC = 8cm Vẽ đường cao AH Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB điểm E cắt AC điểm F
a) Chứng minh: Tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh: TỨ giác BEFC nội tiếp
c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh: AI EF.
d) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC Tính diện tích hình trịn tâm K
Bài 4. Trên (O) đường kính AB lấy điểm C cho CA < CB Trên đoạn AB lấy điểm D cho DA > DB Đường thẳng vng góc với AB D cắt BC, AC H K
a) Chứng minh: Tứ giác ACHD nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: DA.DB DH.DK .
c) Tia AH cắt (O) E Chứng minh: điểm K, E, B thẳng hàng d) Vẽ tiếp tuyến KF (O) (F tiếp điểm) Chứng minh: FH vuông góc với KO
Bài 5. Cho (O; R) đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) (AB < AC) Vẽ đường cao AH đường phân giác BD ABC Kẻ AK vng góc với BD K cắt BC E
(39)d) Cho BH = 6cm, AE = 5cm Tính diện tích ABC
Bài 6. (Q.TB – 09-10)Cho dường tròn tâm O, đường kính AB = Gọi Ax, By tiếp tuyến A, B (O) Qua M thuộc (O) vẽ tiếp tuyến thứ cắt Ax, By C D (AC > BC)
a) Chứng minh: Tứ giác OACM, OBDM nội tiếp đường tròn b) OC cắt AM E, OD cắt BM F Tứ giác OEMF hình gì? c) Gọi I trung điểm OC K trung điểm OD Chứng minh: OIMK nội tiếp
d) Cho AC + BD = 10 Tính diện tích tứ giác OIMK
Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) Trên tia Ax lấy điểm C cho AC = 2R Qua C vẽ udowngf thẳng cắt (O) hai điểm D E (D nằm C E, đường thẳng cunxgc cắt đoạn OB) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE
a) Chứng minh: CA2 CD.CE.
b) Chứng minh: Tứ giác AOHC nội tiếp
c) Đoạn thẳng CB cắt đường tròn (O) K Tính số góc AOK diện tích hình quạt AOK theo R O
d) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE M N Chứng minh: O trung điểm đoạn thẳng MN
Bài 8. Cho ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC đường trịn tâm K đường kính AH Gọi D, E, F giao điểm đường tròn (K) với AB, AC với (O)
a) Chứng minh: Tứ giác ADHE hình chữ nhật
b) Chứng minh: AD.AB AE.AC tứ giác BDEC nội tiếp.
(40)e) Nếu BC = 2R AH = R
2 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác BDEC diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BDEC đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC theo R Bài 9. Cho hai đường tròn (O) (I) tiếp xúc A Một đường thẳng d quay quanh A (d khác đường thẳng OI) cắt (O) (I) B C
a) Chứng minh: OB // IC
b) Vẽ đường kính BD CE (O) (I) Chứng minh: A, D, E thẳng hàng
c) Tiếp tuyến C đường tròn (I) cắt BD F Chứng minh: Tứ giác DACF nội tiếp
d) Khi d quay quanh A K di động đường trịn?
Bài 10. Cho ABC vng A (AB < AC) đường cao AH Vẽ đường trịn tam B bán kính BA cắt AH D
a) Chứng minh: BC trung trực AD Suy CD tiếp tuyến (B)
b) Gọi I điểm đối xứng củ B qua AH Đường thẳng AI cắt CD E Chứng minh: Tứ giác AHEC nội tiếp
c) Gọi F hình chiếu A lên BD Chứng minh: DB.DF DE.DC suy tứ giác CEBF nội tiếp.
d) Cho AB = a, AC = 2a Tính SDEH theo a
Bài 11. Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường kính CD (khơng vng góc với AB) AC AD cắt tiếp tuyến B (O) M N Gọi I trung điểm AD
(41)c) Chứng minh: CDM CNM .
d) Gọi K trung điểm MN, F tâm đường tròn ngoại tiếp CMN Tính KF theo R Suy F ln thuộc đường thẳng cố định đường kính CD quay quanh O
Bài 12. Cho hình vng ABCD cố định E điểm di động cạnh CD (E khác C D) Tia AE cắt đường đường thẳng BC F> Tia Ax vng góc với AE A cắt đường thẳng DC K
a) Chứng minh: CAF CKF .
b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh: IDF IEF . c) Chứng minh: KAF vuông cân.
d) Chứng minh: Khi E thay đổi cạnh CD đường thẳng IB qua điểm cố định
e) Gọi M giao điểm BD AE Chứng minh: Tứ giác IMCF nội tiếp
f) Chứng minh: Khi điểm E thay đổi cạnh CD tỉ số ID CF khơng đổi Tính tỉ số
Bài 13. Cho đường trịn (O; R) có dây BC R 3 Vẽ đường trịn (M) đường kính BC Lấy điểm A thuộc (M) (A nằm (O)) AB, AC cắt (O) tai D E Vẽ đường cao AH ABC AH cắt DE I.
a) Chứng minh: AD.AB AE.AC .
b) Chứng minh: I trung điểm DE
c) AM cắt ED K Chứng minh: Tứ giác IKMH nội tiếp d) Tính DE tỉ số
AH
AK theo R.
(42)Bài 14. Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A B Vẽ đường kính AB AD (O) (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) F, tai DA cắt đường tròn (O) E CE DF cắt M
a) Chứng minh: EFC EDC .
b) Chứng minh: Tứ giác EOO’F nội tiếp
c) Qua A kẻ đường thẳng song song với OO’ cắt CE DF H K Chứng minh: Tứ giác HEFK nội tiếp
d) Gọi I trung điểm CE N điểm đối xứng A qua I Chứng minh: N thuộc đường tròn ngoại tiếp CMD
Bài 15. Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH vuông góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC I
a) Chứng minh: IHM ICM .
b) Vẽ đường trịn tâm D bán kính DE cắt (O) F, BF cắt AD I, BD cắt AE K Chứng minh: Tứ giác AKIB nội tiếp
c) Chứng minh: BI.BF BK.BD .
d) Trung tuyến AM cyar ABC cắt BF N Chứng minh: NA = NF
Bài 16. Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a E điểm tùy ý cạnh CD Tia AE cắt BC F Đường vng góc với AE A cắt CD K
a) Chứng minh: Tứ giác ACFK nội tiếp đường trịn Xác định tâm I b) Tính số đo góc AFK Suy AKF vng cân.
(43)Bài 17. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C điểm cung AB, M điểm di động cung BC AM cắt BC K Vẽ CI vng góc với AM I cắt AB D
a) Chứng minh: Tứ giác ACIO nội tiếp Suy số đo góc OID b) Chứng minh: OI tia phân giác góc COM
c) Chứng minh: CIO CMB Tính tỉ số IO MB. d) Khi M điểm cung BC Tính diện tích tứ giác ACIO theo R
e) Nếu K trung điểm BC Tính AM BM
Bài 18. Cho đường trịn (O) đường kính AB Người ta vẽ đường trịn tâm A bán kính nhỏ AB, cắt đường tròn (O) C D, cắt AB E Trên cung nhỏ CE (A) ta lấy điểm M Tia BM cắt tiếp tuyến (O) N