Tre xem sách lớp mẫu giáo 3a

TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1... PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH1[r]

CHƯƠNG I HÀM SỐ

BÀI PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1 y  f (x) đồng biến / (a, b)  x1x2a b,  ta có f x 1 f x 2 2 y  f (x) nghịch biến / (a, b)  x1 x2a b,  ta có f x 1  f x 2

3 y  f (x) đồng biến / (a, b)  (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b)

4 y  f (x) nghịch biến / (a, b)  (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b)

5 Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị điểm x x k  f x  đổi dấu điểm xk

6 Giá trị lớn nhỏ hàm số

 Giả sử y  (x) liên tục [a, b] đồng thời đạt cực trị x1, ,xna b, . Khi đó: x a bMax , f x Max f x 1 , , f x n,f a f b ,  ;

 ,     1      

M in M in , , n , ,

x a b f x  f x f x f a f b

 Nếu y  f (x) đồng biến / [a, b]  

   

     

, ,

Min ; Max

x a b f x f a x a b f x f b

 Nếu y  f (x) nghịch biến / [a, b]  

   

     

, ,

Min ; Max

x a b f x f b x a b f x f a

 Hàm bậc f x   x đoạn a b;  đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đầu mút a; b b

j j j

x   x x  

i i i

x   x x 

II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Nghiệm phương trình u(x)  v(x) hoành độ giao điểm đồ thị y u x   với đồ thị y v x  

2 Nghiệm bất phương trình u(x)  v(x) phần hoành độ tương ứng với phần

đồ thị y u x   nằm phía so với phần đồ thị y v x  

3 Nghiệm bất phương trình u(x)  v(x) phần hồnh độ tương ứng với phần đồ thị

 

y u x nằm phía so với phần đồ thị y v x   . 4 Nghiệm phương trình u(x)  m hồnh độ giao điểm đường thẳng y  m với đồ thị y u x   5 BPT u(x)  m xI  MinxI u x m

6 BPT u(x)  m xI  MaxxI u x m 7 BPT u(x)  m có nghiệm xI  MaxxI u x m 8 BPT u(x)  m có nghiệm xI  MinxI u x m III Các toán minh họa phương pháp hàm số Bài 1.Cho hàm số f x mx2 2mx

a Tìm m để phương trình (x)  có nghiệm x[1; 2]

b Tìm m để bất phương trình (x)  nghiệm x[1; 4] c Tìm m để bất phương trình (x)  có nghiệm x1;3

Giải: a Biến đổi phương trình (x)  ta có:

     

 

2

2

3

2 3

2 1

f x mx mx m x x g x m

x x x

          

   .

Để (x)  có nghiệm x[1; 2] xMin1;2g x mMaxx1;2g x 

3 1

8 m

  

b Ta có x[1; 4] f x mx2 2mx 0  m x 2x3    

3 , 1; 4

2

g x m x

x x

    

1;4  

M in

x g x m

 

Do

 

 2

3

1

g x x



  giảm [1; 4] nên ycbt  1;4    

1

Min

8 x g x g  m

c Ta có với x 1;3 f x mx2 2mx 0  m x 2x3

Đặt

   

2

3 , 1;3

2

g x x

x x

  

 Xét khả sau đây:

+ Nếu x0 bất phương trình trở thành m.0 3  nên vô nghiệm

  b x

a

v(x) u(x)

a b x

+ Nếu x0;3 BPT  g x m có nghiệm x0;3  xMin g x0;3  m

Do

 

 2

3

1

g x x



  giảm /0;3 nên ycbt 0;3    

5 xMin g x g m

   

+ Nếu x  1; 0 x2 2x0 nên BPT  g x m có nghiệm x  1; 0  Max g x1;0  m Ta có

   

 2  

3 2 0, 1; 0

2

x

g x x

x x

 

     



Do g x  nghịch biến nên ta có    

 

1;0

Max g x g m

    

Kết luận: (x)  có nghiệm x1;3   

1

; ;

5

m 

       U

Bài 2.Tìm m để bất phương trình: 3 x mx x     

nghiệm x 

Giải: BPT

 

3

3

1

3mx x 2, x 3m x f x , x

x x x              Ta có  

5 2

4 2

4

2 2

f x x x

x x x x x

  

        

  suy f x  tăng.

YCBT      

2

3 ,

3 x

f x m x f x f m m



         

Bài 3.Tìm m để bất phương trình m.4x m 2 x2 m 0  ¡x Giải: Đặt t2x 0 m.4x m 2 x2 m 0  x ¡

     

2

0, 4 1,

m t m t m t m t t t t

              

 

2

4 , 0

4

t

g t m t

t t



    

  Ta có

 

 

2 2

4 0

4 t t g t t t     

  nên g t  nghịch biến 0; suy ra ycbt  Max g tt0  g 0  1 m

Bài 4.Tìm m để phương trình: x x x12m 5 x  4 x có nghiệm

Giải: Điều kiện 0 x 4 Biến đổi PT

  12

5

x x x

f x m

x x

 

  

   .

Chú ý: Nếu tính f x  xét dấu thao tác phức tạp, dễ nhầm lẫn

Thủ thuật: Đặt

  12  

2 2 12

g x x x x g x x

x



       



    1

2

h x x x h x

x x

 

        

 

Suy ra: g x 0 tăng; h x  > giảm hay  

1 0

  

    g x f x

h x



tăng Suy f x m có nghiệm

         

 

   

0;4 0;4

min ; max ; 15 12 ;12

m  f x f x  f f  

     

 

Bài Tìm m để bất phương trình:  

3 3 1 1

x  x  m x  x có nghiệm.

Giải: Điều kiện x1 Nhân hai vế BPT với  

3

1

x x  ta nhận được

bất phương trình     

3

3 3 1 1

f x  x  x  x  x m

Đặt      

3

3 3 1 ; 1

g x x  x  h x  x x

Ta có

  0, 1;   3 12 1

2

g x x x x h x x x

x x

 

             

  .

Do g x  0 tăng  x 1; h x 0 tăng nên f x g x h x    tăng  x 1 Khi bất phương trình f x m có nghiệm  minx1 f x f 1  3 m Bài 6.Tìm m để 4x 6 x x2  2x m nghiệm   x  4, 6

Cách BPT  f x x2 2x 4x 6 x m   x  4, 6

 

         

2

2 2

2 6

x

f x x x x

x x x x

   

         

 

     

Lập bảng biến thiên suy Max    

 

4,6

Max f x f m

   

Cách 2. Đặt    

4  6 

4

2

x x

t x  x     

Ta có t2 x2 2x24 Khi bất phương trình trở thành

     

2 24, 0;5 24 ; 0;5

tt m  t  f t t  t m t  Ta có:  

f t  t  f t  tăng nên f t m t; 0;5  max0;5 f t f 5  6 m

Bài Tìm m để 3x 6 x 18 3 x x m2 m1 đúng  x  3, 6

Giải:

Đặt t 3x 6 x0  t2  3x 6 x2  9 3 x 6 x  9t2  9 3 x 6 x 9 3x6 x18

     

2

18 3 ; 3;3

2

x x x x t t  

          

Xét

       

3;3

1 ; 1 0; 3;3 2 max 3 3

2

f t t t f t t t f t f

 

 

  

          

ycbt

  2

3;3

max f t m m m m m V m

 

 

Tìm m để phương trình x 1m x 1 24 x2  1 có nghiệm thực.

Giải: ĐK: x1, biến đổi phương trình

1

3

1

x x m

x x

   

 

Đặt  

4 41 0,1

1

x u

x x

   

 

Khi g t 3t2 2t m Ta có  

1

6

3

g t  t   t

Do yêu cầu

1

3

m

   

Bài 9 (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với m0, phương trình

 

2 2 8 2

x  x  m x ln có hai nghiệm phân biệt.

Giải: Điều kiện: x2 Biến đổi phương trình ta có:

x 2 x 6 m x 2

    

x 2 2 x 62 m x 2

    

x 2x3 6x2 32 m x V g x  x3 6x2 32 m

            .

ycbt  g x m có nghiệm thuộc khoảng 2; Thật ta có:    4 0,

g x  x x   x Do g x  đồng biến mà g x  liên tục  2 0; lim  

x

g g x

 

 

nên g x m có nghiệm 2; Vậy m0, phương trình x2 2x 8 m x  2 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 42x  2x2 64  x2 6 x m

Giải: Đặt f x 4 2x 2x2 64  x2 6 x x ; 0;6

Ta có:

 

   

 

3

4

1 1 1 , 0;6

2 2 6 2 6

f x x

x x

x x

   

      

    



 

Đặt  

   

   

3

4

1 ; 1 0, 6

2

2

, x

u x v x

x x

x x

    

 

     

   

     

, 0, 0,

2

, 0, 2,

u x v x x

u v

u x v x x

   



   

   



   

( ) 0, 0, ( ) 0, 2, (2)

f x x

f x x

f



    



        

t01+0–0–

x2+0

x026+0–f(x)

4

Nhìn BBT ta có PT có nghiệm phân biệt  6 m3 6 Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007):

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

3

3

1 1 5

1 15 10

x y

x y

x y m

x y

     

 

     

 

Giải: Đặt

1;

u x v y

x y

   

ta có    

3

3

1 3 1 3

x x x x u u

x x x

x

       

và

1 2 . 2 ; 2 . 2

u x x x v y y

x x x y y

         

Khi hệ trở thành 3  

5

8

3 15 10

u v u v

uv m

u v u v m

 

   





 

      

 



 u v, nghiệm phương trình bậc hai f t t2  5t 8 m

Hệ có nghiệm  f t m có nghiệm t t1, 2 thỏa mãn t1 2; t2 2 Lập Bảng biến thiên hàm số f t  với t 2

t   – 2 5/2 +

 

f t – – +

 

f t +

22

2 7/4

+

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm

7 2 m 22

4 m

     Bài 12 (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001):

Tìm x để bất phương trình x2 2 sinx ycosy 1 với  y ¡

Giải: Đặt usinycosy  2, 2,

BPT

       

2,

2 0, 2, Min

u

g u x u x u g u

 

  

 

         

Do đồ thị y g u   đoạn thẳng với u  2, 2 nên

 

2 ,

Min

u  g u



 

 

2

2 2

2 2

2

g x x x

x x x

g

         

 

     

       

  

 x026+0–f(x)

4

Bài 13 Cho

, ,

a b c a b c

 



  

 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc4

Giải: BĐT  a2 b c 2  2bc abc  4 a2 3 a2 a 2bc4

   2 2

f u a u a a

       trong    

2

2

0

2

b c

u bc  a

    

Như đồ thị yf u  đoạn thẳng với  

0;

u  a 

 

  Ta có

 0 2 6 5 2 32 0; 13 2 1 1 2 2 0

2 4

f  a  a  a   f  a  a a 

nên suy f u 0;  

0;

u  a 

  

 

 

Vậy a2 b2 c2 abc4 Đẳng thức xảy  a b c  1. Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984):

Cho

, ,

a b c a b c

 



  

 Chứng minh rằng:

7

27

ab bc ca   abc

Giải: a b c  1 2 a bc a  1 a1 2 a bc a  1 a1 2 a u f u 

Đồ thị yf u  1 2a u a  1 a với  

 2

2 1

2

a b c

u bc  

   

đoạn thẳng với giá trị

đầu mút    

1 

0

2 27

a a

f a  a      

  và

 

1 1 2 1 2 1 12 1  12

4 27 3 27

f  a   a a    a a 

Do đồ thịyf u  đoạn thẳng với  

0;

u  a 

 

   

27

f 

;    

2

1

4 27

f  a 

nên

  277

f u 

Đẳng thức xảy

1 3

a b c

   

Bài 15 Chứng minh rằng: 2a b c   ab bc ca   4, a b c, , 0, 2

Giải: Biến đổi bất đẳng thức hàm bậc biến số a, tham số b, c ta có   2  2  4, , , 0, 2

f a   b c a  b c  bc a b c

Đồ thị yf a là đoạn thẳng với a0, 2 nên f a Max f 0 ;f 2 Ta có f 0  4 2 b 2 c4;f  2  4 bc 4 f a  4, a b c, , 0, 2 Bài 16 CMR: 1 a 1 b 1 c 1 da b c d    1, a b c d, , , 0,1

Giải: Biểu diễn bất đẳng thức hàm bậc biến số a, tham số b, c, d, ta có:

  1 1  1  1  1  1  1  1, , , , 0,1

Ta có f 1   b c d  1 1, b c d, , 0,1

 0 1  1  1    1 1  1  1  1 

f   b  c  d   b c d g b    c  d b  c  d  c d

Đồ thị y g b  , b 0,1 đoạn thẳng nên bMin0,1g b Min g  0 ,g 1