Đang tải... (xem toàn văn)
Bµi tËp vËn dông. 1.[r]
(1)B Néi dung I Lý thuyÕt:
Với hai số không âm a, b ta cã:
a+b
2 ≥√ab
Chøng minh:
Ta cã: ( √a - √b ) (*) a > b > <=> a - √ab + b
<=> a + b 2√ab
<=> a+b
2 ≥√ab
Theo (*) dấu => sảy <=> a = b (Đpcm)
II Bµi tËp vËn dơng
1 áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số để chứng minh bất đẳng thức
Bµi tËp 1:
Cho hai sè d¬ng a, b chøng minh r»ng:
a+ b≥
4 a+b Gi¶i:
Do a, b d¬ng =>
a>0 b>0
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số
a,
b ta cã:
1
a+
1
b≥2√
1
a
1
b (1) <=>
a+ b≥
2
√ab
Mµ √ab≤a+b
2 (2)
=> √ab≥
2 a+b =>
√ab≥ a+b =>
a+ b≥
(2)Tõ (1) vµ (2) ta thÊy dÊu b»ng x¶y <=> a = b
(Đpcm)
Bài tập 2:
Cho hai số d¬ng a, b chøng minh r»ng:
a b+
b a2
Giải:
Do a, b dơng => a
b>0 b a >
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số a
b vµ b
a ta cã:
a
b+ b a≥2√
a b
b a
=> a
b+ b a≥2√1
=> a
b+ b
a≥2 DÊu “=” s¶y <=> a
b= b a
<=> a2 = b2
<=> a = b ( §pcm)
2 Vận dụng bất đẳng thức côsi tập để giải toán cực trị: Dựa vào bất đẳng thức cơsi:
a+b
2 ≥√ab hc a + b 2√ab
( a, b 0¿
Ta rút đợc số nhận xét sau:
NhËn xÐt 1:
Với hai số không âm có tổng khơng đổi tích lớn hai số
NhËn xÐt 2
(3)Từ hai nhận xét ta khai thác cho trờng hợp khơng thể có điểm rơi nh sau: tổng quát ( nằm cho trờng hợp có điểm rơi)
NhËn xÐt 3:
Với hai số khơng âm có tổng khơng đổi tích lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số bé
Chøng minh:
NhËn xÐt 1, nhËn xÐt hiĨn nhiªn Ta sÏ chøng minh nhËn xÐt
Với a >0, b > a + b = S không đổi ta phải chứng minh P = a.b bé Nếu S’ = / a – b / nhỏ
ThËt vËy ta cã: S’2 = / a – b/ 2
= a2 – ab + b2
= (a + b)2 – ab
=> S’2 = S2 – P
=> P = S2 - S’2
mà S không đổi => S2 không đổi
=> P = ab lín nhÊt S’ = / a – b/ nhá
Dựa vào nhận xét ta đa vào tập sau:
Bài tập 1:
Cho a 0, b ≥0 vµ a.b = Tìm S = a + b Giải :
Vận dụng nhận xét ta thấy a.b = không đôi => S = a + b nhỏ <=> a = b
<=> a = b =
<=> S = <=> a = b =
Bµi tËp 3:
Bài 3: Cho biến thiên y = 18
x + x
2 x > T×m y ?
Gi¶i:
Do x > => 18
x >0 x
(4)Bất đẳng thức Côsi cho hai số 18
x ; x
ta cã: 18
x + x
2 2√18x x2
2√9
DÊu “ =” s¶y <=> 18
x = x
<=> x2 = 36
<=> x = VËy y = <=> x = Bµi tËp t¬ng tù:
Cho y = x
2+
x −1 ( x > 1) t×m y min?
HD: y = x −1
2 +
2 x −1+
1 Bµi tËp 4:
Cho y =
x+
1− x < x < t×m ymin
Gi¶i:
Do < x < nªn
x>0
1− x >
=> y =
x+
1− x
x+1− x = DÊu “ =” s¶y <=> x = – x <=> x =
2
=> y = <=> x =
2 Bµi tËp 5:
Cho P = x (1 –x ) x ( 0,1) T×m P max? Gi¶i:
Do x ( 0,1) => x > 0; – x >0 => P = x ( – x) lín nhÊt
(5)<=> x =
2 ( 0,1)
=> P max =
2 (1 -
2 ) <=> x =
=> P max =
4 <=> x =
Bài tập tơng tự:
Cho Q = ( + x + x 2) (20 - x – x2) x > -5
Tìm Qmax?
Bài tập 6:Tìm giá trị lớn cđa P = x
x4+x2+1 Gi¶i:
P =
1 x2
+1+1
x2
P =
1 x2
+
x2+1
Ta cã: x2 + x2≥2
=> P
2+1 P
3 DÊu “=” s¶y <=> x2 = x2
<=> x = ± = > P max =
3<=>x=±1 Bµi tËp 7:
Cho a, b N* vµ a + b = 2007 P = a.b
(6)Ta thấy không tồn a, b để:
¿
a=b
a+b=2007
a , b∈N❑
¿{ {
¿
Sư dơng nhËn xÐt ta thÊy: P max <=> / a – b/
Do a + b = 2007 => a, b không tổng chẵn lỴ
=> / a – b / <=>
¿
a=1004
b=1003
¿{
¿
hc
¿
a=1003
b=1004
¿{
¿
= > Pmax = 1003 1004 <=> (a;b) = (1003; 1004)
Bµi tập 8:
Chứng minh tất tam giác cạnh huyền Tam giác không không cân có diện tích lớn
Giải:
Thực ta sử dụng chứng minh trực tiếp sang ta vận dụng bất đẳng thức côsi nh sau:
S ΔABC=1
2b.c
Theo bất đẳng thức cơsi ta có: bc a2+b2
2
=>
2a.b≤ a2+b2
4 Do Δ ABC vu«ng =>
b2 + c2 = a2
=> S Δ ABC
4(b
2 +c2)
=> S Δ ABC
4a
2
DÊu “=” s¶y <=> b = c => Δ ABC lµ tam giác vuông cân
A
c b
B
(7)(Đpcm)
Bài 9:
Chứng minh tất hình chữ nhật có chu vị , hình vuông có diện tích lớn
Chøng minh: a
Theo bµi ta cã: b
Chu vi P = (a + b) Khơng đổi Diện tích hình chữ nhật S = a.b
P = (a + b) không đổi => a + b không đổi => S = a.b lớn <=> a = b
=> Hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp
=> Hình chữ nhật có diện tích lớn hình vuông Bài tơng tự:
Chứng minh tất hình chữ nhật có diện tích hình vuông có chu vi bé nhÊt
Bµi tËp 10
Cho Δ ABC vng A, đờng cao AH không đổi Chứng minh Δ ABC vng cân diện tích tam giác ABC bé
Chøng minh: Ta cã:
1
h2=
1
b2+
1
c2≥
2
√b2.c2
=> h2≥
2
√b2.c2 =>
h2≥
2 bc
=> bc h
=>
2bc≥ h
2
=> S Δ ABC h2 DÊu “=” x¶y <=> b = c
A
B
(8)Tức ABC vuông cân (Đpcm)
Bài tập 11:
Cho ABC, M điểm thuộc miền tam giác , MA, MB, MC cắt cạnh tam giác A1, B1, C1 cã:
AM MA1+
BM MB1+
CM MC1=6
Chứng minh G trọng tâm ABC Giải:
Đặt S diện tích ABC S1, S2, S3 lần lợt diện tích
của ABC, MAC, MAB ta cã:
AA1
MA1
=¿
=> AM
MA1 =S2
S1 +S3
S1 T¬ng tù ta cã :
MB
MB1=¿ =
S1 S2
+S3
S2 => MC
MC1
=S2
S3
+S1
S3 => MA
MA1
+MB
MB1
+MC
MC1
=(S2
S1
+S1
S2
)+(S1
S3
+S3
S2
)+(S1
S3
+S3
S1
)
MA MA1+
MB MB1+
MC MC1≥6
DÊu “=” x¶y <=> S1 = S2 = S3
=> AMMA
=1
3; BM MB1=
1 3;
MC MC1=
1
3 => M trọng tâm ABC
S1 + S2 + S3
S1
S1 + S2 + S3
(9)