Biến đổi hệ thành.[r]
(1)PHẦN BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính tích phân
3
2
2
1
dx
A
x
x
Bài 2: Tính tích phân
1
1 ln
2
1
2
ln
e
x
x
x
I
dx
x
x
.
Bài 3: Tính tích phân:
x2
3
e
x
x
2 tan x
dx
x
cos x
Bài 4: Tính tích phân: I =
1
e
ln
(
1
+
ln
2x
)
x
dx
.
Bài 5: Tính
sinx dx x
.
Bài 6: Tính tích phân
2
(
)
1
tanx
I
dx
cosx
cos x
Bài 7: Tính tích phân
ln
1
(
1)
1 ln
ex
I
dx
x
x
Bài 8: Tính:
3
3
5
6
x
x
I
dx
x
x
Bài 9: Tính tích phân :
3
0
(
x
1) 2
x x dx
Bài 10: Tính tích phân :
0
cos 2
(1 sin ).cos(
)
4
x
I
dx
x
x
.
Bài 11: Tính tích phân
3
1
2
(
)
1
x
x
x e
dx
x
Bài 12: Tính tích phân I =
4
sin x
4
dx
2sin x cos x 3
.
Bài 13: Tính tích phân I =
2
ln(
x
x dx
)
Bài 14: Tính tích phân:
2
4
0
cos sin cos
I x x x dx
(2)Bài 15: Tính tích phân I =
4
0
tan
2
x
dx
cos x
Bài 16: Tính tích phân :
1
2
x
3x 2
dx
x 2
Bài 17: Tính tích phân:
2
sin 2 cos 2sin
x
I dx
x x
.
Bài 18: Tính tích phân:
3
1
1
ln
1
1
x
x
I
dx
x
x
.
Bài 19: Tính tích phân
2
(
)
xx
x
x e
I
dx
x
e
.
Bài 20: Tính
2
4
x
1
1
K
dx
x
x
x
Bài 21: Tính tích phân:
2 2
4
2
tan ( 1) tan
x x x
I dx
x
Bài 22: Tính tích phân
2 sin
0
2cos
cos
2
x
x
I
x
x e
dx
.
Bài 23: Tính tích phân :
2
sin
sin 2
os
x
x
x
I
dx
c
x
Bài 24: Tính tích phân
2 1 2 2
2
ln
1
1
e
x
x
I
dx
x
.
Bài 25: Tính tích phân:
e x x x x
I dx
x x x
2
2
1
2 (1 2ln ) ln
( ln )
Bài 26: Tính tích phân: I =
0
4 sinx cos 2sin
x x x
dx x
Bài 27: Tính tích phân:
4
4
2
12
sin
cos
.
tan
cot
x
x
I
dx
x
x
Bài 28: Tính tích phân
I
=
ln3 ln4
e
2x+
1
(3)Bài 29: Tính tích phân
I
=
π
4 3π
4
(
2
+
2 sin 2
x
)
sin
(
x −
π
4
)
dx
Bài 30: Tính tích phân:
0
1
2
x cos x
I
dx
cos x
(4)PHẦN BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
Bài 1
: Giải hệ phương trình
4
2
4
2
2
x y
x y
x y x y
Bài 2
: Giải hệ phương trình
2
2
3
1
4 22
y
x y x
x
x y
y
Bài 3
: Giải hệ phương trình
22
1 2
4(
1)
4
2
7
x
y
x
y
x
y
xy
Bài 4
:
Giải phương trình sau:
2
1
1
2
2
x
x
Bài 5
: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
2
x
2
mx
3
x
.
Bài 6
: Giải hệ phương trình:
2 2
1 4
(
)
2
7
2
x
y
xy
y
y x y
x
y
,
( ,
x y
R
)
.
Bài 7
: Giải bất phương trình :
√
2
x
2
−
3
x −
2
2
x
2−5
x
≥
0
Bài 8
: Giải hệ phương trình :
4 2
3
1
1
x
x y x y
x y x
xy
Bài 9
: Tìm
ađể hệ phương trình sau có nghiệm :
x+1
1
2
1
y
a
x y
a
Bài 10
: Giải hệ phương trình:
2
5
3
x
y
x
y
y
x
y
(x, y
R)
Bài 11
: Giải hệ phương trình:
2
2
2
1
xy
x
y
x y
x y
x
y
Bài 12
: Giải hệ phương trình
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y y x
y
Bài 13
: Tìm
m
để hệ phương trình:
3
2 2
3
3
2 0
1
3 2
0
x
y
y
x
x
x
y y
m
có nghiệm thực.
Bài 14
: Giải hệ phương trình:
3
7
1
2
1
2
4
5
x x
y
y y
x
y
x y
(5)Bài 15
: Giải bất phương trình:
24
x
1
2
x
10 1
3 2
x
Bài 16
:
Tìm tất giá trị
mđể bất phương trình
m2
x m x 1có nghiệm đoạn
0; 2
.
Bài 17
: Giải phương trình:
2 3
3x
1 5
x
8 0
Bài 18
: Giải phương trình sau:
x
2
12 3
x
x
2
5
Bài 19
: Giải phương trình :
2
2
x
2
5
x
1
Bài 20
: Giải phương trình sau :
2
x
2
5
x
1 7
x
3
1
Bài 21
: Giải phương trình :
3
3
3
2
2
6
0
x
x
x
x
Bài 22
: Giải hệ phương trình:
4 2 2
3
2
5 2
1 0
x
x y
y
y
x y x
y
x
( ,
x y R
).
Bài 23
: Giải phương trình
3
2 2
y (3x
2x 1) 4y 8
y x
4y x 6y 5y
4
x, y R
.
Bài 24
: Giải bất phương trình:
x 1
1
x
2
x 1
3 x
Bài 25
: Giải hệ phương trình:
¿
x
√
2
y − y
√
3
x
+
1
=
2
(
x − y
)
3
x
2+
2
y
2−
5 xy
+
x − y
=
0
¿
{
¿
(
x
∈
R , y
∈
R
)
Bài 26
: Giải hệ phương trình
2
3
2
3 2
3 0
2(2
) (
1)
6 (
1) 0
x
y
y
y
x
y x
x x
(x, y
R).
Bài 27
: Giải bất phương trình :
x291 x x Bài 28
: Giải bất phương trình:
x 3 x1
x 3 x22x 3
4Bài 29
: Giải hệ phương trình:
12
3
4
16
4
5
5 6
x
y
xy
x
y
Bài 30
: Giải hệ phương trình:
2
2
4
1
1
3
x y
y x
xy
x
x
xy
y
(6)ĐÁP ÁN BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính tích phân
3 2
1
dx
A
x
x
Đặt
2 2
2
1 2 dx tdt
t x t x tdt xdx
x x
2 2
1
dx tdt tdt
x t t
+ Đổi cận:
1 2 2 x t x t 3 2 2 2 2
1 1
ln ln
1
|
dt dt t
A
t t t
Bài 2
: Tính tích phân
1
1 ln
2
1
2
ln
e
x
x
x
I
dx
x
x
2
1 1
1 ln
2
1
1 ln
2
ln
2
ln
e
x
x
x
e ex
I
dx
x dx
dx
x
x
x
x
=
3 11
3
3
ee
x
e
x dx
11
2
ln
1 ln
ln 2
ln
2
ln
2
ln
e e
e
d
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
ln
2
ln ln2
e
e
Vậy
3
1
2
ln
3
2
e
e
I
.
Bài 3: Tính tích phân:
x 2e
x
x
2 tan x
dx
x
cos x
Ta có:
1 x x2 2
3 3
4 4
e
x
1
x
I
x
2 tan x dx
e
dx
dx
2x tan xdx
x
cos x
x
cos x
(1)
+)
1 1
3
x x x
2 3 4
1
1
e
dx
e d
e
e
e
x
x
+)
2x
J
dx
cos x
: Đặt
2 3 4u x
du 2xdx
J
x t anx
2x tan xdx
1
v t anx
(7)2
3
9
J
2x tan xdx
16
Thay vào (1) ta có
1
3
9
I
e
e
16
Bài 4: Tính tích phân: I =
1
e
ln
(
1
+
ln
2x
)
x
dx
.
Đặt lnx = t , ta có I =
2
ln(1
t dt
)
Đặt u = ln( 1+t
2) , dv = dt ta có : du =
2 ,
t
dt v t
t
Từ có : I = t ln( 1+ t
2)
1 1
2
0 0
1
2 ln 2
0 1
t dt
dt dt
t t
(*).
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính
2 0
1
4
dt
t
.
Thay vào (*) ta có : I = ln2 – +
2
Bài 5: Tìm
sinx dx x
.
Đặt
3
1
cot
sin 2
u x du dx
dv dx v x
x
Suy
3 1
(3 1) cot cot
sin 2
x
I dx x x x dx
x
=
1
(3 1).cot (sin )
2 x x sin 2xd x
= -
1
(3 1).cot ln | sin |
2 x x4 x C
Bài 6: Tính tích phân
2
(
)
1
tanx
I
dx
cosx
cos x
3
2
(
)
1
tanx
I
dx
cosx
cos x
=
2
2
(
)
1
1
tanx
dx
cos x
cos x
=
2
4
(
)
2 tan
tanx
I
dx
cos x
x
(8)Đặt t =
2 tan
2x
dt =
2 tan cos tanxdx
x x
.
Đổi cận : Với x =
4
t =
3, x =
3
t =
5.
Ta
3
5
I
dt Bài 7: Tính tích phân sau:
ln
1
(
1)
1 ln
ex
I
dx
x
x
I=
2
1
1
(
1)
(
ln )
ln
2 ln 2
e
e
u
du
dx
u
u
x
u
x
( Víi u =lnx+1)
Bài 8: Tính:
3
3
5
6
x
x
I
dx
x
x
Ta có:
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
1
3
1
2 5
2 (
2)(
3)
2 (
2)(
3)
1
5
1
1
(
)
2
3 2
3
2
1
5
3
ln
3
ln
2
2
2
x
x
I
dx
dx
x
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
x
C
x
Bài 9: Tính tích phân :
3
0
(
x
1) 2
x x dx
Bài 10: Tính tích phân :
0
cos 2
(1 sin ).cos(
)
4
x
I
dx
x
x
Ta có
4
2
0
(cos
sin )(cos
sin )
(cos
sin )
2
1
(sin
cos )
(sin
cos )
(cos
sin )
2
x
x
x
x
x
x
I
dx
dx
x
x
x
x
x
x
Đặt
t sinxcosx dt (cosx sin )x dx;
x t 1;x t
2
2 2
1
dt I
t t
2 1
Bài 11: Tính tích phân
3
1
2
(
)
1
x
x
x e
dx
x
Đặt I =
3
1
2
(
)
1
x
x
x e
dx
x
Ta có I =
1
2
0 0
1
x
x
x e dx
dx
x
(9)Ta tính
3
2
0 x
I
x e dxĐặt t = x
3ta có
1
1
1
0
1 1
3 3
t t
I
e dt e eTa tính
1
0
1
x
I
dx
x
Đặt t =
4x
x t dx4t dt3Khi
1
2
2 2
0
1
4 ( ) 4( )
1
t
I dx t dt
t t
Vậy I = I
1+ I
21
3 3e
Bài 12
: Tính tích phân I =
4
sin x
4
dx
2sin x cos x 3
.
Tính tích phân I =
4
sin x
4
dx
2sin x cos x 3
=
2
2
1
sin x cos x
dx
2
sin x cos x
2
Đặt t = sinx – cosx
dt = (cosx + sinx)dx
Đổi cận: x =
4
t = 0; x =
2
t = 1
I =
2
1
dt t 2
Đặt
2 t tan u dt tan u du
;
u
I =
1
arctan 2
2
2 tan u
1
du
2 tan u 2
2
1 arctan
2
u
=
1
1
arctan
2
2
Bài 13: Tính tích phân I =
2
ln(
x
x dx
)
I =
2
ln(
x
x dx
)
Đặt u= ln(x
2+x)
du =
2x
x x
dx
dv = dx
v = x
I =
2 21
2
ln(
)
x
x
x
x
x
dx
x
x
=
2
1
1
2ln ln 2
2
1
dx
x
=
2
2ln ln 2
2
x
ln(
x
1)
(10)Bài 14: Tính tích phân:
4
0
cos sin cos
I x x x dx
2
2
2
2
1
cos 1
sin 2
2
1
1
1
sin 2
sin 2
2
2
I
x
x dx
x d
x
2
2
0
3
2
0
1
1
sin 2
sin 2
sin 2
2
4
1
1
sin 2
sin 2
0
2
|
12
|
d
x
xd
x
x
x
Bài 15: Tính tích phân I =
4
0
tan
2
x
dx
cos x
I =
4 4
6 6
2 2
0 0
tan
tan
tan
1
2
sin
(1 tan
)
π π π
x
x
x
dx
dx
dx
cos x
cos x
x
x cos x
Đặt t = tanx
1 cos
dt dx
x
Đổi cận x =
t = 0; x=
6
t =
1
3
1 1
3 4 3
2
2 2
0 0
1 1
3 3
2
0 0
t
1
1 t
1
(1
)
1 t
1 t
1 t
1 t
1
1
1
1
1
1
1
10
(1
)
ln
ln(2
3)
2
1 t t
2
1
3
2
9 3
I
dt
dt
dt
t dt
t
dt
t dt
t
t
t
Bài 16: Tính tích phân :
2
x
3x 2
dx
x 2
Ta có
1
2 2
1
2
1
2
(
1) (
2)
3
2
dx =
dx=
dx
x-2
x-2
x-2
(1
)
2
=
dx
x-2
x
x
x
x
x
x
x x
(11)dx 2tdt
: Đổi cận x = -2 t = ; x = -1 t = 1
1
2
2 2
0 0
(1 t 2)t t 3t
I 2tdt =2 dt ( t )dt
t -2-2 t -4 t -4
Xét
1
1
2
0
t
J=2 ( t 1)dt 2( t)
3
Xét
1
1
2
0 0
4
1
1
2 t
K=-2
dt (
)dt 2ln
2ln 3
t -4
2 t t
2 t
Vậy I=
2ln 3
-8Bài 17: Tính tích phân:
2
sin 2 cos 2sin
x
I dx
x x
.
Tính tích phân:
2
sin 2 os 2sin
x
I dx
c x x
Ta có
2
2
0
sin 2sin cos
2 cos 2sin sin 2sin
x x x
I dx dx
x x x x
Đặt
t
sin
x
dt
cos
xdx
Đổi cận:
x t 0; x t
.
1 1 1
2 2
0 0 0
( 1) 1
2 2
2 ( 1) ( 1) ( 1)
tdt tdt t dt
I dt dt
t t t t t t
1
0
0
1
2 ln(
1)
2ln 1
1
I
t
t
.
Bài 18: Tính tích phân:
3
1
1
ln
1
1
x
x
I
dx
x
x
.
2
3
1
1
ln
1
1
x
x
I
dx
x
x
2
2
1
1
1
2
ln
2
1
1
1
x
x
dx
x
x
x
Đặt
1
x t
x
2
1
dt dx
x
+) Với
x
3
t
2
;
x
2
t
3
+) Do đó:
2
1
ln
2
(12)Đặt
1
ln
'
'
2
u
t
u
t
t
v
t
v
3 2 ln 4 tI t tdt
3 2 2 ln t t t =
ln ln
4
Bài 19
: Tính tích phân
2
(
)
xx
x
x e
I
dx
x
e
.
Ta có I=
2
(
)
xx
x
x e
dx
x e
=
( 1) x x xxe x e
dx xe
Đặt
t
=
x
.
e
x+
1
⇒
dt
=(
x
+
1
)
e
xdx
0 1; 1
x t x t e
Suy I=
( 1) x x xxe x e
dx xe
1( 1)
et
dt
t
11
1
edt
t
.
Vậy I
1
ln
eln(
1)
t
t
e
e
.
Bài 20: Tính
2
4
x
1
1
K
dx
x
x
x
2 2
2
1
x
1
x x
1
I
dx
dx
x
x
Đặt
t x21
t
2= x
2–
tdt = xdx
Đổi cận: x = 1
t = 0; x =
t
3
3 3
2 2
0 0
t dt
1
1
I
1
dt
dt
1 dt
3 J
t
1
1 t
t
1
J
dt
t
1
Đặt t = tanu
2
1
dt du tan u du cos u
Khi
J dt
Nên
I 3
2 2
1
4
1 1
2
dx
x
Q
2
dx
2 d x
2 x
2 2
6
1
x
x
2 x
Vậy
2x
1
1
K
dx
3 2
6
x
x
x
3
Bài 21: Tính tích phân:
2 2
4
2
tan ( 1) tan
x x x
(13)2 2
2
2
2
0
(1 tan ) tan tan
( )
1 tan tan
x x x x
I dx x dx J K
x x
3
4 4
2
0
3
192
x
J
x dx
2
4 4
2 4
2
0 0
tan cos sin
sin ( ) ( )
2 2
1 tan
x x x
K dx xdx dx x
x
3
1
1
.
:
8
4
KL I
192 8
4
Bài 22: Tính tích phân
2 sin
0
2cos
cos
2
x
x
I
x
x e
dx
.
Biến đổi
2 2
sin sin sin
0 0
cos
cos
x x x
I
e
dx
xe
dx
x
xe
dx
+ Tính
2
sin sin sin 2
0
0
cos
xe
xdx
e
xd
(sin )
x
e
xe
1
+ Tính I’ =
sin
0
cos
xx
xe
dx
Đặt
sin sin
cos
x xu x
du dx
dv
xe
dx
v e
Khi I’ =
2
sin 2 sin sin
0
0
2
x x
e
xxe
e
dx
e
dx
Suy I =
2
1
e
e
Bài 23: Tính tích phân :
2
sin
sin 2
os
x
x
x
I
dx
c
x
Tính
2
sin
sin 2
os
x
x
x
I
dx
c
x
+ Ta có
4
2
0
sin
sinx
2
os
cos
x
x
I
dx
dx
c
x
x
(14)Đặt
4
1 2
0
sin
sinx
;
2
os
cos
x
x
I
dx I
dx
c
x
x
+Tính
I
1: Đặt
2
4
0
sinx
1
;
os
(cos )
os
cos
1
1 sinx
2
1
2
2
ln
ln
4
4
4
cos
0
cos
cos
0
2
1 sinx
0
4
2
2
2
u x
du dx v
dx
c
xd
x
c
x
x
x
dx
x
I
x
x
x
+ Tính
4
0
(cos )
2
2
2ln cos
4
2ln
cos
0
2
d
x
I
x
x
Vậy
2
1
2
2
2
ln
2ln
4
2
2
2
2
I
I
I
Bài 24: Tính tích phân
2 1 2 2
2
ln
1
1
e
x
x
I
dx
x
Tính tích phân
2 1 2 2
ln
1
1
ex
x
I
dx
x
+ Đổi biến: t = ln(x
2+1)
2
xdx dt
x
+ Đổi cận: Khi x = t = ; x =
e
2
1
t = 2.
+ Đưa tích phân I =
2
1
2
t dt
=
3
2 8
0
6
6
t
=
3.
Bài 25: Tính tích phân:
e
x
x
x
x
I
dx
x
x x
2
2
1
2
(1 2ln ) ln
(
ln )
e
x
x
ex
x
I
dx
dx
x
x x
x
x x
2
2 2
1
(
ln )
(
ln )
(
ln )
e
x
x
eA
dx
dx
e
x
x x
x
2
2 2
1
(
ln )
1
1
1
(
ln )
e x x e ed x x
x
B dx dx
e
x x x x x x x
2
2 2
1 1
1
1 ( ln ) 1
1
( ln ) ( ln ) ( ln )
Vậy
I
e e
1
2
(15)Bài 26: Tính tích phân: I =
0
4 sinx cos 2sin
x x x
dx x
I =
2 2
0 0
2
2
0
2 (1 2sin )
os
os
2
1 2sin
1 2sin
1
(1 2sin )
1
2ln 3
2
ln 2sin
2
2
1 2sin
4
2
4
0
0
x
x
c x
c x
I
dx
xdx
dx
x
x
d
x
x
x
x
Bài 27: Tính tích phân:
4
4
2
12
sin
cos
.
tan
cot
x
x
I
dx
x
x
•
2 2
12 12
2
4
4
cos sin cos
1 sin cos 2
sin 2
sin
cos
4
1
2
x
x
x
x
x
I
dx
dx
x
x
x
• Đặt
t
sin 2
x
dt
2 cos 2
xdx
Đổi cận
1 12
x
t
Khi
1 2
1
4
2
t
I
dt
t
•
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
(
2
)
ln
4
2
8 2
2
dt
t
I
dt
t
t
• KL
1
1
21 14 2
ln
8 2
9 2
I
Bài 29: Tính tích phân
I
=
π
4 3π
4
(
2
+
2 sin 2
x
)
sin
(
x −
π
4
)
dx
Tính tích phân
I
=
π
4 3π
4
(
2
+
2 sin 2
x
)
sin
(
x −
π
4
)
dx
¿
2
π
4 3π
4
(
1
+
cos
(
2
x −
π
2
)
)
sin
(
x −
π
4
)
dx
=
4
π4 3π
4
cos
2(
x −
π
4
)
sin
(
x −
π
4
)
dx
Đặt
t
=
cos
(
x −
π
4
)
dt
=
−
sin
(
x −
π
4
)
dx
x
=
π
4
⇒
t
=
1
;
x
=
3
π
(16)Suy ra:
I
=
4
t
2dt
=
4
3
t
3
¿
01=
4
3
Bài 30: Tính tích phân:
0
1
2
x cos x
I
dx
cos x
x cos x x cos x
I dx dx
cos x cos x
4 4
2
01 2 0 2
x cos x
dx dx I I
cos x cos x
4 4
1 2
2 2
0 2 0 2
Tính
x
I dx
cos x
4
1 2
0 1 2
Đặt
u
x
du
dx
v
tan x
dv
dx
cos x
21
4
1
0
1
1
1
1
2
4
4
2
8 2
8 2
8 2
2
0
0
s inx
I
(x tan x
tandx)
dx
ln cos x
ln
cos x
4
2 2
0
1
1
1
1
1
2
2
4
2
2 1
4
1
0
4
2
2
cos x
d(s inx)
s inx
I
dx
ln
ln
cos x
sin x
s inx
1
1
2
1
2
2
1
2
2
8 2
2
4
2
2
8 4
4 2
I
I
I
ln
ln
ln
(17)PHẦN ĐÁP ÁN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
Bài 1: Giải hệ phương trình
4
2
4
2
2
x y
x y
x y x y
Điều kiện:4
0
2
0
x y
x y
Đặt:a
2x y
,(a 0, b 0).
b
4x y
Suy ra:2
3
b
x y
a
2
2
Ta có hệ
2 2
3
1
2
5
6 0
2
2
4
4
a
a
b
a
a
b
a
a b
1
1
3
6
6
4
10
a
a
b
a
a
b
a
b
So với điều kiện
a 0, b 0
, ta được:2
1
1
2
1
4
3
4
3
4
9
7
x y
a
x y
x
b
x y
x y
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (4; -7)
Bài 2:
Giải hệ phương trình2 2 1 22 y
x y x
x
x y
y
Điều kiện: x0, y 0 x2 + y2 - 0
Đặt u = x2 + y2 - v =
x
y
Hệ phương trình (I) trở thành
3 21 u v u v
Û
2 13 21
21 v v u v
Û
u v 7 u v + u v
Û
x y 3 x y
+
7 u v
Û
14 53 53 x y
2 14 53 53 x y
Bài 3:
Giải hệ phương trình2
2
1 2
4(
1)
4
2
7
x
y
x
y
x
y
xy
(18)Phương trình (1) trở thành : 2t2 – t – =
2 /
3
t/m
2
t
t m
t
k
Hệ
2
2
3
4
2
7
x
y
x
y
xy
1
1
( / )
2
1
2
x
y
t m
x
y
Bài 4:
Giải phương trình sau:2
1
1
2
2
x
x
+) ĐK:
x ( 2; 2) \{0}+) Đặt
y
2
x
2,
y
0
Ta có hệ:
22
2
x y
xy
x
y
+) Giải hệ đx ta x = y =
1 3
2 ;
1 3
2
x x
y y
+) Kết hợp điều kiện ta được: x =
1
x
Bài 5:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm :2
x
2
mx
3
x
.
hệ
2
2x
x 9
6x
3
m
x
x
có nghiệm nhất
x
2+ 6x – = -mx (1)
+ Ta thấy x = nghiệm.
+ Với x
0 (1)
2
6x 9
x
m
x
Xét hàm số :
f(x) =
2
6x 9
x
x
;3 \ 0
có f
’(x) =
2
9
x
x
>
x
0
+ x =
f(3) = , có nghiệm – m >
m < - 6
Bài 6: Giải hệ phương trình:
2 2
1 4
(
)
2
7
2
x
y
xy
y
y x y
x
y
(19)0
y
, ta có:
2 2
2 2
2
1
4
1 4
.
(
)
2
7
2
1
(
)
2
7
x
x y
y
x
y
xy
y
y x y
x
y
x
x y
y
Đặt
2
1
,
x
u
v x y
y
ta có hệ:
24
4
3,
1
2
7
2
15 0
5,
9
u v
u
v
v
u
v
u
v
v
v
u
+) Với
v
3,
u
1
ta có hệ:
2
1
1
2 0
1,
2
2,
5
3
3
3
x
y
x
y
x
y
x
x
x
y
x y
y
x
y
x
.
+) Với
v
5,
u
9
ta có hệ:
2
1 9
1 9
9
46 0
5
5
5
x
y
x
y
x
x
x y
y
x
y
x
, hệ vô nghiệm.
KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm:
( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.
x y
Bài 7:
Giải bất phương trình :√
2x2−3x −2
2x2−5x ≥0
↔
¿
2
x
2−
3
x −
2
=
0
x ≠
0
; x ≠
5
2
¿
¿
¿
2
x
2−
3
x −2
>
0
¿
2
x
2−
5
x
>
0
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
↔
¿
¿
¿
¿
x
=
−
1
2
∨
x
=
2
¿
x ≠
0
∧
x ≠
5
2
¿
↔
x ≤ −
1
2
¿
x
=
2
¿
x
>
5
2
¿
¿
¿
¿
¿
Bài 8:
Giải hệ phương trình :4 2
3
1
1
x
x y x y
x y x
xy
*Biến đổi hệ tương đương với
2
3
(
)
1
(
)
1
x
xy
x y
x y x
xy
(20)*Đặt ẩn phụ
2
x
xy u
x y v
, ta hệ2
1
1
u
v
v u
*Giải hệ nghiệm (u;v) (1;0) (-2;-3) *Từ giải nghiệm (x;y) (1;0) (-1;0)
Bài 9: Tìm
ađể hệ phương trình sau có nghiệm :
x+1
1
2
1
y
a
x y
a
đ/k
x
1;
y
1
Bất pt
2
1
1
(
1)
(
1)
2
1
x
y
a
x
y
a
2
1
1
1
1.
1
(2
1)
2
x
y
a
x
y
a
a
;
Vậy
x
1
và
y1nghiệm p/t: T
2
1
2(
2
1) 0*
2
aT
a
a
.Rõ ràng hệ có nghiệm
khi p/t* có nghiệm khơng âm
2
2
0
2(
2
1) 0
0
0
1
2
2
6
0
1
(
2
1) 0
2
a
a
a
S
a
a
P
a
a
Bài 10:
Giải hệ phương trình:
2
5
3
x
y
x
y
y
x
y
(x, y
R)
ĐK: x + y , x - y 0, y
PT(1)
2 2
2
x
2
x
y
4
y
x
y
2
y x
2
0 (3)
5
4
(4)
y x
y
xy
Từ PT(4) y = v 5y = 4x
Với y = vào PT(2) ta có x = (Không thỏa mãn đk (3)) Với 5y = 4x vào PT(2) ta có
x
2
x
3
x
1
KL: HPT có nghiệm
4
( ; )
1;
5
x y
Bài 11:
Giải hệ phương trình:
2
2
2
1
xy
x
y
x y
x y
x
y
2
2
2
1 1
0
2
xy
x
y
x y
dk x y
x y
x
y
(21)
1
x y
22
xy
2
xy
1 0
x y
32
xy x y
2
xy
x y
0
x y
2
1
2
1
0
1
1
2
0
1
3
0
4
x y
x y
xy x y
x y
x y x y
xy
x y
x
y
x y
Dễ thấy (4) vơ nghiệm x+y>0
Thế (3) vào (2) ta
2
1
x
y
Giải hệ
1
1;
0
2;
3
1
x y
x
y
x
y
x
y
Bài 12: Giải hệ phương trình
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y y x
y
ĐK :
y
0
hệ
2
2
1
2
2 0
2
1
2 0
x
x
y
x
y
y
đưa hệ dạng
2
2
2 0
2
2 0
u
u v
v
v u
2
1
1
1
2
2 0
3
7
3
7
2
,
2
1
7
1
7
2
2
u v
u v
u
v
u v
v
v u
u
u
v
v
Từ ta có nghiệm hệ
(-1 ;-1),(1 ;1), (
3
7
2
;
2
7 1
), (
3
7
2
;
2
7 1
)
Bài 13:
Tìm m để hệ phương trình:3
2 2
3
3
2 0
1
3 2
0
x
y
y
x
x
x
y y
m
(22)3
2 2
3
3
2 (1)
1
3 2
0 (2)
x
y
y
x
x
x
y y
m
Điều kiện:
2
2
1
0
1
1
0
2
2
0
x
x
y
y y
Đặt t = x + t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2
Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến đoạn [0; 2] nên:
(1) y = yy = x + (2)
2
2 1
0
x
x
m
Đặt
v
1
x
2 v[0; 1] (2) v2 + 2v = mHàm số g(v) = v2 + 2v đạt
min ( )
[0;1]g v
1; m
[0;1
ax
]g v
( ) 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 m
Bài 14: Giải hệ phương trình:
3
7
1
2
1
2
4
5
x x
y
y y
x
y
x y
3
7
1
2
1 1
2
4
5 2
x x
y
y y
x
y
x y
Điều kiện:
2
0
4
0
x
y
x y
(1) x x
3 7y1
2y y
1
2
3
1 3
3
7
1
2
2
0
3
1
2
0
2 4
y
x
x
y
x
y
y
x y
x
y
x
y
Thay (3) vào (2) ta được:
7
x
2
7
x
1 5
điều kiện:1
7
x
2
11
11 7
0
7
17
76
49
21
2 11 7
d
175
119
17
25
25
25
x
x
x
x
x
x
y
tm k
x
x
Thay (4) vào (2) ta được: 4y 9y 5 y1=>x=2(tmdk)
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x;y)
2;1 ,
17 76
;
25 25
Bài 15: Giải bất phương trình:
2
4
x
1
2
x
10 1
3 2
x
Điều kiện xác định
(23)
2
2
2
2
2
2
2
2
10 1
3 2
1
3 2
4
1
2
10 1
3 2
4
1
1
3 2
1
1
2
10 4
1
2
10
4
1
1
1
3 2
2
10
1
3 2
1
3 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
3
2
4 2
2
10
3 2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình
3
; \
1
2
S
Bài 16: Tìm tất giá trị
mđể bất phương trình
m2
x m x 1có nghiệm đoạn
0;2
.
Ta có
2
2 2
m x m x m x m x x
2
4
1
1
x
x
m
x
(vì
x
0; 2
)
Xét hàm số
2
4
1
1
x
x
f x
x
đoạn
0; 2
, ta có
2
2
5
;
0
1
6
1
x
x
f x
f x
x
x
Bảng biến thiên
0
1;
2
1;
1
6
2 6
f
f
f
Vậy để bất phương trình cho có
nghiệm
m
min
0;2f x
f
1
6
2 6
.
Bài 17:
Giải phương trình:2 3
3x
1 5
x
8 0
Đặtu
33
x
1,
v
1 5
x
0
,được:
3
5
3
8
2
u
u
3
v
v
8
3
15 (8 ) 24
3vu 2 u u
3
15 32 40 3vu 8 2uu u
2
4 0
u
v
Vậy 33
x
1
2
Nghiệm p.trình cho x = -3Bài 18:
Giải phương trình sau:x
2
12 3
x
x
2
5
Để phương trình có nghiệm :2
12
5 3
5 0
5
3
x
x
x
x
Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng
+ _ 0
- 1 1
2 - 6 f(x)
f'(x)
(24)
x
2
A x
0
, để thực điều ta phải nhóm , tách số hạng sau :
2
2
2
2
4
4
12 3
6
5 3
3
2
12 4
5 3
2
1
2
3
0
12 4
5 3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Dễ dàng chứng minh : 2
2
2
5
3 0,
3
12 4
5 3
x
x
x
x
x
Bài 19:
Giải phương trình :
2
2
x
2
5
x
1
Đặt
u
x
1,
v
x
2
x
1
phương trình trở thành :
2
2
2
5
1
2
u
v
u
v
uv
u
v
Tìm được:
5
37
2
x
Bài 20: G
iải phương trình sau :
2
x
2
5
x
1 7
x
3
1
Đk:
x
1
Nhận xét : Ta viết
2
1
1
7
1
1
x
x
x
x
x
x
Đồng thức ta
2
3
x
1
2
x x
1
7
x
1
x
x
1
Đặt
u
x
1 ,
v x
2
x
1 0
, ta được:
9
3
2
7
1
4
v
u
u
v
uv
v
u
Nghiệm :
x
4
6
Bài 21:
Giải phương trình :
3
3
3
2
2
6
0
x
x
x
x
Nhận xét : Đặt
y
x
2
ta biến pt trình dạng phương trình bậc x y :
3
3
2
6
0
3
2
0
2
x
y
x
x
y
x
x
xy
y
x
y
(25)Pt có nghiệm :
x
2,
x
2 3
Bài 22:
Giải hệ phương trình:4 2 2
3
2
5 2
1 0
x
x y
y
y
x y x
y
x
( ,
x y R
).
Đk:
5
2
x
Phương trình
(1)
(
x
2
1
y x
)(
2
y
2) 0
2
0
1
x
y
x
y
Trường hợp
x
y
0
vào (2) không thoả mãnTrường hợp
x
2
y
1
vào phương trình (2):
3
2
y
3 2
y
1 3
Xét hàm
3
3
( ) 2
3 2
1;
;
2
f t
t
t
t
2
1
( ) 6
3 2
f t
t
t
;3
( ) 0;
;
2
f t
t
Vậy hàm số
f t
( )
đồng biến3
;
2
; màf
(1) 0
Suy phương trình (3) có nghiệm
y
1
Vớiy
1
x
2
2
x
2
(thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm hệ phương trình là:( 2;1);(
2;1)
Bài 23:
Giải phương trình3
2 2
y (3x
2x 1) 4y 8
y x
4y x 6y 5y
4
x, y R
.Hệ cho tương đương với:
¿
(
3
x
2+
2
x −
1
)
=
8
y
3−
4
y
2(
1
)
x
3+
4
x
+
5
=
6
y
+
4
y
2(
2
)
¿
{
¿
(do y=0 không thỏa mãn hệ cho)
Cộng pt(1) pt(2) theo vế ta
(
x
+
1
)
3+
3
(
x
+
1
)=
(
2
y
)
3
+
3.
2
y
(*)Xét hàm số
f
(
t
)=
t
3+
3
t
, t∈R Ta cóf '
(
t
)=
3
t
2+
3
>
0,
∀
t
Suyf
(
t
)
đồng biến Do(
∗
)
⇔
x
+
1
=
2
y
(3) (26)Thay vào (3), ta nghiệm hệ
(
x ; y
)=(
1;
1
)
Bài 24:
Giải bất phương trình:x 1
1
x
2
x 1
3 x
ĐK: x[-1; 3]\{1}, Ta có:
2
x 1
1
x 1( x 1
3 x )
1
x
x
2
2(x 1)
2
x 1
3 x
x 1
x
2x 3
1
x
(*)
2(x 1)
2
+ < x ≤ (I),
(*)
x 1
x
2
2x 2x
2
3x 1
2( x
2
2x 3)
x
2
2x 0
Đặt t = x22x 3 ≥ 0, giải BPT tìm t >
3
2
, từ tìm2
7 2
7
x (
;
)
2
2
Kết hợp điều kiện (I) ta
2
7
x (1;
)
2
+ -1 ≤ x <1 (II),
(*)
x 1
x
2
2x 2x
2
3x 1
2( x
2
2x 3)
x
2
2x 0
Đặt t = x22x 3 ≥ 0, giải BPT tìm ≤ t <
3
2
, từ tìm2
7
2
7
x [ 1;
) (
;3]
2
2
Kết hợp điều kiện (II) ta
2
7
x [ 1;
)
2
Kết luận tập nghiệm BPT cho:
2
7
2
7
T [ 1;
) (1;
)
2
2
Bài 25: Giải hệ phương trình:
¿
x
√
2
y − y
√
3
x
+
1
=
2
(
x − y
)
3
x
2+
2
y
2−
5 xy
+
x − y
=
0
¿
{
¿
(
x
∈
R , y
∈
R
)
ĐK:
¿
x ≥ −
1
3
y ≥0
¿
{
¿
Từ pt (2) ta có
2
3
1
x
y
y
x
+) Với x = y thay vào (1) ta có x 2x x 3x 1
0 (
)
2
3
1
0
x
tmdk
x
x
0
1 ( loai)
x
y
x
+) Với 2y = 3x +1 thay vào ( 2) có
1
3
1
1
2
x
x
x
(27)Bài 26:
Giải hệ phương trình2
3
2
3 2
3 0
2(2
) (
1)
6 (
1) 0
x
y
y
y
x
y x
x x
(x, y R).Điều kiện: x2 + 2y + ≥
PT thứ hệ tương đương với 4y3 + 3y(x + 1)2 + 2(x3 + 3x2 + 3x + 1) = 0
4y3 + 3y(x + 1)2 + 2(x+1)3 = (*)
Nếu x = − y = Cặp (x; y) = (− 1; 0) nghiệm hệ Với x ≠ − 1, chia vế (*) cho (x + 1)3, ta được
3
4
3
2 0
1
1
y
y
x
x
(**)Đặt t =
1
y
x
PT (**) trở thành 4t3 + 3t + = 0
2
1
(
)(4
2
4) 0
2
t
t
t
t = −
1
2
Do (**)
1
y
x
= −1
2
2y = − x − (***) (với x ≠ −1)Kết hợp PT đầu hệ (***) ta
2
2
x x x x2 x2 = x +
2
4
4 0
4
4
3
4 (
4)
3
x
x
x
x
x
x
x
(thỏa x ≠ − 1) Thay x tìm vào (***), y =
1
6
(thỏa điều kiện ban đầu).Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (−
4
3
;1
6
)Bài 27:
Giải bất phương trình : x291 x x Điều kiệnx 2
Phương trình cho tương đương với:
2
x
91 10
x 1
x
9
0
2
x
9
x 3
(x 3)(x 3) 0
x 1
x
91 10
x 3
x 3
1
(x 3)
0
x 1
x
91 10
(*)Ta có
x 3
1
(x 3)
0
x 1
x
91 10
(28)Từ suy nghiệm bất phương trình : x <
Bài 28: Giải bất phương trình:
x 3 x1
x 3 x22x 3
4Bài 29:
Giải hệ phương trình:12
3
4
16
4
5
5 6
x
y
xy
x
y
Điều kiện
5
,
5,
0
4
x
y
xy
Hệ tương đương
3(4
) 4
16
4
2 4
5(4
) 25 26
x y
xy
x y
xy
x y
Đặt u = 4x + y, v = 4xy hệ trở thành
3
2
16
2
5
25 26
u
v
u
v
u
2
3
16
2
5
25 26
v
u
v
u
u
2
2
16
26
3
4
9
96
256
4(
5
25) 676 52
u
v
u
u
v
u
u u
2
16
26
3
4
9
96
256
3
40 0
u
v
u
u
u
u
8
16
u
v
+ Hệ cho tương đương
4
8
1
4
16
4
x y
x
xy
y
Bài 30: Giải hệ phương trình:
2
2
4
1
1
3
x y
y x
xy
x
x
xy
y
(29)
2