Biến đổi hệ thành.[r]
(1)PHẦN BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính tích phân
3
2
2 1
dx A
x x
Bài 2: Tính tích phân
1
1 ln 2 1
2 ln
e x x x
I dx
x x
.
Bài 3: Tính tích phân: x
2
3
e x
x 2 tan x dx
x cos x
Bài 4: Tính tích phân: I =
1
e
ln(1+ln2x)
x dx .
Bài 5: Tính sin
x dx x
.
Bài 6: Tính tích phân
2
( )
1 tanx
I dx
cosx cos x
Bài 7: Tính tích phân
ln 1
( 1)
1 ln e x
I dx
x x
Bài 8: Tính:
3
3
5 6
x x
I dx
x x
Bài 9: Tính tích phân :
3
0
(x1) 2x x dx
Bài 10: Tính tích phân :
0
cos 2
(1 sin ).cos( ) 4 x
I dx
x x
.
Bài 11: Tính tích phân
3
1
2
( )
1
x x
x e dx
x
Bài 12: Tính tích phân I =
4
sin x
4 dx 2sin x cos x 3
. Bài 13: Tính tích phân I =
2
ln(x x dx)
Bài 14: Tính tích phân:
2
4
0
cos sin cos
I x x x dx
(2)Bài 15: Tính tích phân I =
4
0
tan 2
x dx cos x
Bài 16: Tính tích phân :
1
2
x 3x 2 dx x 2
Bài 17: Tính tích phân:
2
sin 2 cos 2sin
x
I dx
x x
.
Bài 18: Tính tích phân:
3
1 1
ln 1 1
x x
I dx
x x
.
Bài 19: Tính tích phân
2
( ) x
x
x x e
I dx
x e
.
Bài 20: Tính
2
4
x 1 1
K dx
x x x
Bài 21: Tính tích phân:
2 2
4
2
tan ( 1) tan
x x x
I dx
x
Bài 22: Tính tích phân
2 sin
0
2cos cos
2
x x
I x x e dx
.
Bài 23: Tính tích phân :
2
sin sin 2 os
x x x
I dx
c x
Bài 24: Tính tích phân
2 1 2 2
2
ln 1
1
e x x
I dx
x
.
Bài 25: Tính tích phân:
e x x x x
I dx
x x x
2
2
1
2 (1 2ln ) ln
( ln )
Bài 26: Tính tích phân: I =
0
4 sinx cos 2sin
x x x
dx x
Bài 27: Tính tích phân:
4
4
2
12
sin cos . tan cot
x x
I dx
x x
Bài 28: Tính tích phân I=
ln3 ln4
e2x+1
(3)Bài 29: Tính tích phân I=
π
4 3π
4
(2+2 sin 2x)sin(x −π
4)dx
Bài 30: Tính tích phân:
01 2 x cos x
I dx
cos x
(4)PHẦN BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
Bài 1: Giải hệ phương trình
4 2 4
2 2
x y x y
x y x y
Bài 2: Giải hệ phương trình
2
2
3
1
4 22
y
x y x
x
x y
y
Bài 3: Giải hệ phương trình 2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy
Bài 4: Giải phương trình sau: 2
1 1
2 2
x x
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 2x2 mx 3 x. Bài 6: Giải hệ phương trình:
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
, ( ,x yR).
Bài 7: Giải bất phương trình : √2x
2
−3x −2 2x2−5x ≥0
Bài 8: Giải hệ phương trình :
4 2
3
1 1
x x y x y
x y x xy
Bài 9: Tìm ađể hệ phương trình sau có nghiệm :
x+1 1
2 1
y a
x y a
Bài 10: Giải hệ phương trình:
2
5 3
x y x y y
x y
(x, y R)
Bài 11: Giải hệ phương trình:
2
2 2
1
xy
x y
x y
x y x y
Bài 12: Giải hệ phương trình
2
1
2 2
2 2
x x
y y y x y
Bài 13: Tìm m để hệ phương trình:
3
2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
x y y x
x x y y m
có nghiệm thực.
Bài 14: Giải hệ phương trình:
3 7 1 2 1
2 4 5
x x y y y
x y x y
(5)Bài 15: Giải bất phương trình: 2
4 x1 2x10 1 3 2 x
Bài 16: Tìm tất giá trị m để bất phương trình m2x m x 1 có nghiệm đoạn
0; 2.
Bài 17: Giải phương trình: 2 33 x 1 5 x 8 0 Bài 18: Giải phương trình sau: x212 3 x x25 Bài 19: Giải phương trình :
2
2 x 2 5 x 1 Bài 20: Giải phương trình sau :2x25x 1 7 x3 1 Bài 21: Giải phương trình :
3
3 3 2 2 6 0
x x x x
Bài 22: Giải hệ phương trình:
4 2 2
3
2 5 2 1 0
x x y y y x y x
y x
( ,x y R ).
Bài 23: Giải phương trình
3
2 2
y (3x 2x 1) 4y 8 y x 4y x 6y 5y 4
x, y R .
Bài 24: Giải bất phương trình:
x 1 1
x 2
x 1 3 x
Bài 25: Giải hệ phương trình:
¿
x√2y − y√3x+1=2(x − y)
3x2+2y2−5 xy+x − y=0
¿{
¿
(x∈R , y∈R)
Bài 26: Giải hệ phương trình
2
3
2 3 2 3 0
2(2 ) ( 1) 6 ( 1) 0
x y y
y x y x x x
(x, y R).
Bài 27: Giải bất phương trình : x291 x x
Bài 28: Giải bất phương trình: x 3 x1x 3 x22x 34
Bài 29: Giải hệ phương trình:
12 3 4 16
4 5 5 6
x y xy
x y
Bài 30: Giải hệ phương trình:
2
2 4
1 1
3
x y y x xy
x
x xy y
(6)ĐÁP ÁN BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính tích phân
3 2 1 dx A x x Đặt
2 2
2
1 2 dx tdt
t x t x tdt xdx
x x
2 2
1
dx tdt tdt
x t t
+ Đổi cận:
1 2 2 x t x t 3 2 2 2 2
1 1
ln ln
1 |
dt dt t
A
t t t
Bài 2: Tính tích phân
1
1 ln 2 1
2 ln
e x x x
I dx x x
2
1 1
1 ln 2 1 1 ln
2 ln 2 ln
e x x x e e x
I dx x dx dx
x x x x
= 3 1 1 3 3 e
e x e
x dx
1
1
2 ln 1 ln
ln 2 ln
2 ln 2 ln
e e
e
d x x
x
dx x x
x x x x
ln 2 ln ln
2
e
e
Vậy
3 1 2
ln
3 2
e e
I
.
Bài 3: Tính tích phân: x 2 e x
x 2 tan x dx
x cos x
Ta có: 1 x x
2 2
3 3
4 4
e x 1 x
I x 2 tan x dx e dx dx 2x tan xdx
x cos x x cos x
(1) +)
1 1
3
x x x
2 3 4 1 1
e dx e d e e e
x x +) 2 x J dx cos x
: Đặt
2 3 4
u x du 2xdx
J x t anx 2x tan xdx
1 v t anx
(7)
2
3 9
J 2x tan xdx
16
Thay vào (1) ta có
1
3 9
I e e
16
Bài 4: Tính tích phân: I =
1
e
ln(1+ln2x)
x dx .
Đặt lnx = t , ta có I =
2
ln(1t dt)
Đặt u = ln( 1+t2) , dv = dt ta có : du =
2 ,
t
dt v t
t
Từ có : I = t ln( 1+ t2)
1 1
2
0 0
1
2 ln 2
0 1
t dt
dt dt
t t
(*).
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính
2 01 4
dt t
.
Thay vào (*) ta có : I = ln2 – + 2
Bài 5: Tìm sin
x dx x
.
Đặt
3
1
cot
sin 2
u x du dx
dv dx v x
x
Suy
3 1
(3 1) cot cot
sin 2
x
I dx x x x dx
x
=
1
(3 1).cot (sin )
2 x x sin 2xd x
= -
1
(3 1).cot ln | sin |
2 x x4 x C
Bài 6: Tính tích phân
2
( )
1 tanx
I dx
cosx cos x
3
2
( )
1 tanx
I dx
cosx cos x
=
2
2
( )
1 1 tanx
dx cos x
cos x
=
2
4
( )
2 tan tanx
I dx
cos x x
(8)Đặt t = 2 tan 2x dt = 2 tan cos tan
xdx
x x .
Đổi cận : Với x = 4
t = 3 , x = 3
t = 5.
Ta
3
5
I dt
Bài 7: Tính tích phân sau:
ln 1
( 1)
1 ln e
x
I dx
x x
I=
2
1
1
( 1)
( ln ) ln 2 ln 2
e
e
u du dx
u u x
u x
( Víi u =lnx+1)
Bài 8: Tính:
3
3
5 6
x x
I dx
x x
Ta có:
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
1 3 1 2 5
2 ( 2)( 3) 2 ( 2)( 3)
1 5 1 1
( )
2 3 2 3 2
1 5 3
ln 3 ln
2 2 2
x x
I dx dx
x x x x
dx
dx
x x x
x
x C
x
Bài 9: Tính tích phân :
3
0
(x1) 2x x dx
Bài 10: Tính tích phân :
0
cos 2
(1 sin ).cos( ) 4 x
I dx
x x
Ta có
4
2
0
(cos sin )(cos sin ) (cos sin )
2
1 (sin cos )
(sin cos ) (cos sin ) 2
x x x x x x
I dx dx
x x
x x x x
Đặt t sinxcosx dt (cosx sin )x dx; x t 1;x t
2
2 2
1
dt I
t t
2 1
Bài 11: Tính tích phân
3
1
2
( )
1
x x
x e dx
x
Đặt I =
3
1
2
( )
1
x x
x e dx
x
Ta có I =
1
2
0 01
x x
x e dx dx
x
(9)Ta tính
3
2
0 x
I x e dx
Đặt t = x3 ta có
1
1
1
0
1 1
3 3
t t
I e dt e e
Ta tính
1
01 x
I dx
x
Đặt t = 4 x x t dx4t dt3
Khi
1
2
2 2
0
1
4 ( ) 4( )
1
t
I dx t dt
t t
Vậy I = I1+ I2
1
3 3e
Bài 12: Tính tích phân I =
4
sin x 4
dx 2sin x cos x 3
.
Tính tích phân I =
4
sin x
4 dx 2sin x cos x 3
=
2
2
1 sin x cos x dx 2 sin x cos x 2
Đặt t = sinx – cosx dt = (cosx + sinx)dx
Đổi cận: x =4
t = 0; x = 2
t = 1
I =
2
1
dt t 2
Đặt
2 t tan u dt tan u du
; u
I =
1
arctan 2
2
2 tan u 1
du 2 tan u 2 2
1 arctan
2
u
=
1 1
arctan
2 2
Bài 13: Tính tích phân I =
2
ln(x x dx)
I =
2
ln(x x dx)
Đặt u= ln(x2+x) du =
2x
x x
dx
dv = dx v = x
I =
2 2
1 2
ln( ) x x
x x x dx
x x
=
2
1
1 2ln ln 2 2
1 dx x
=
2 2ln ln 2 2x ln(x1)
(10)Bài 14: Tính tích phân:
4
0
cos sin cos
I x x x dx
2
2
2
2
1 cos 1 sin 2
2
1 1
1 sin 2 sin 2
2 2
I x x dx
x d x
2
2
0
3
2
0
1 1
sin 2 sin 2 sin 2
2 4
1 1
sin 2 sin 2 0
2 | 12 |
d x xd x
x x
Bài 15: Tính tích phân I =
4
0
tan 2
x dx cos x
I =
4 4
6 6
2 2
0 0
tan tan tan 1
2 sin (1 tan )
π π π
x x x
dx dx dx
cos x cos x x x cos x
Đặt t = tanx
1 cos
dt dx
x
Đổi cận x = t = 0; x= 6
t =
1 3
1 1
3 4 3
2
2 2
0 0
1 1
3 3
2
0 0
t 1 1 t 1
(1 )
1 t 1 t 1 t 1 t
1 1 1 1 1 1 1 10
(1 ) ln ln(2 3)
2 1 t t 2 1 3 2 9 3
I dt dt dt t dt
t
dt t dt t t
t
Bài 16: Tính tích phân :
2
x 3x 2 dx x 2
Ta có
1
2 2
1
2
1 2
( 1) ( 2)
3 2
dx = dx= dx
x-2 x-2 x-2
(1 ) 2
= dx
x-2
x x
x x
x x
x x
(11)dx 2tdt : Đổi cận x = -2 t = ; x = -1 t = 1
1
2
2 2
0 0
(1 t 2)t t 3t
I 2tdt =2 dt ( t )dt
t -2-2 t -4 t -4
Xét
1
1
2
0
t
J=2 ( t 1)dt 2( t)
3
Xét
1
1
2
0 0
4 1 1 2 t
K=-2 dt ( )dt 2ln 2ln 3
t -4 2 t t 2 t
Vậy I=2ln 3 -8
Bài 17: Tính tích phân:
2
sin 2 cos 2sin
x
I dx
x x
.
Tính tích phân:
2
sin 2 os 2sin
x
I dx
c x x
Ta có
2
2
0
sin 2sin cos
2 cos 2sin sin 2sin
x x x
I dx dx
x x x x
Đặt tsinx dtcosxdx
Đổi cận: x t 0; x t
.
1 1 1
2 2
0 0 0
( 1) 1
2 2
2 ( 1) ( 1) ( 1)
tdt tdt t dt
I dt dt
t t t t t t
1
0
0 1
2 ln( 1) 2ln 1
1
I t
t
.
Bài 18: Tính tích phân:
3
1 1
ln 1 1
x x
I dx
x x
.
2
3
1 1
ln 1 1
x x
I dx
x x
2
2
1 1 1 2
ln
2 1 1 1
x x
dx
x x x
Đặt
1
x t
x
2
1
dt dx
x
+) Với x 3 t2; x 2 t3
+) Do đó:
2 1
ln 2
(12)Đặt 1 ln ' ' 2
u t u
t t
v t v
3 2 ln 4 t
I t tdt
3 2 2 ln t t t =
ln ln
4
Bài 19: Tính tích phân
2
( ) x
x
x x e
I dx
x e
. Ta có I=
2
( ) x
x
x x e
dx x e
= ( 1) x x x
xe x e
dx xe
Đặt t=x.ex+1 ⇒dt=(x+1)exdx
0 1; 1
x t x t e
Suy I= ( 1) x x x
xe x e
dx xe 1 ( 1) e t dt t 1 1 1 e dt t . Vậy I
1
ln e ln( 1)
t t e e
.
Bài 20: Tính
2
4
x 1 1
K dx
x x x
2 2
2
1
x 1 x x 1
I dx dx
x x
Đặt t x21 t2 = x2 – tdt = xdx
Đổi cận: x = 1 t = 0; x = t 3
3 3
2 2
0 0
t dt 1 1
I 1 dt dt 1 dt 3 J
t 1 1 t t
1 J dt t 1
Đặt t = tanu
2
1
dt du tan u du cos u Khi J dt
Nên I 3
2 2
1
4
1 1
2
dx x
Q 2 dx 2 d x 2 x 2 2 6
1
x x 2 x
Vậy 2
x 1 1
K dx 3 2 6
x x x 3
Bài 21: Tính tích phân:
2 2
4
2
tan ( 1) tan
x x x
(13)2 2
2
2
2
0
(1 tan ) tan tan
( )
1 tan tan
x x x x
I dx x dx J K
x x
3
4 4
2
0 3 192 x
J x dx
2
4 4
2 4
2
0 0
tan cos sin
sin ( ) ( )
2 2
1 tan
x x x
K dx xdx dx x
x
3
1 1
. :
8 4 KL I 192 8 4
Bài 22: Tính tích phân
2 sin
0
2cos cos
2
x x
I x x e dx
.
Biến đổi
2 2
sin sin sin
0 0
cos cos
x x x
I e dx xe dx x xe dx
+ Tính
2
sin sin sin 2
0
0
cosxe xdx e xd(sin )x e x e 1
+ Tính I’ =
sin
0
cos x
x xe dx
Đặt
sin sin
cos x x
u x du dx
dv xe dx v e
Khi I’ =
2
sin 2 sin sin
0
0 2
x x e x
xe e dx e dx
Suy I = 2 1
e e
Bài 23: Tính tích phân :
2
sin sin 2 os
x x x
I dx
c x
Tính
2
sin sin 2 os
x x x
I dx
c x
+ Ta có
4
2
0
sin sinx
2
os cos
x x
I dx dx
c x x
(14)Đặt
4
1 2
0
sin sinx
; 2
os cos
x x
I dx I dx
c x x
+Tính I1: Đặt
2
4
0
sinx 1
; os (cos )
os cos
1 1 sinx 2 1 2 2
ln ln
4 4 4
cos 0 cos cos 0 2 1 sinx 0 4 2 2 2
u x du dx v dx c xd x
c x x
x dx x
I
x x x
+ Tính
4
0
(cos ) 2
2 2ln cos 4 2ln
cos 0 2
d x
I x
x
Vậy
2 1 2 2 2
ln 2ln
4 2 2 2 2
I I I
Bài 24: Tính tích phân
2 1 2 2
2
ln 1
1
e x x
I dx
x
Tính tích phân
2 1 2 2
ln 1
1 e x x
I dx
x
+ Đổi biến: t = ln(x2+1)
2
xdx dt
x
+ Đổi cận: Khi x = t = ; x = e21 t = 2.
+ Đưa tích phân I =
2 1 2t dt
=
3 2 8 0
6 6
t
= 3.
Bài 25: Tính tích phân:
e x x x x
I dx
x x x
2
2
1
2 (1 2ln ) ln
( ln )
e x x e x x
I dx dx
x x x x x x
2
2 2
1
( ln )
( ln ) ( ln )
e x x e
A dx dx
e
x x x x
2
2 2
1
( ln ) 1 1 1
( ln )
e x x e ed x x
x
B dx dx
e
x x x x x x x
2
2 2
1 1
1
1 ( ln ) 1
1
( ln ) ( ln ) ( ln ) Vậy
I
e e
1
2
(15)Bài 26: Tính tích phân: I =
0
4 sinx cos 2sin
x x x
dx x
I =
2 2
0 0
2
2
0
2 (1 2sin ) os os
2
1 2sin 1 2sin
1
(1 2sin )
1 2ln 3
2 ln 2sin
2 2
1 2sin 4 2 4
0 0
x x c x c x
I dx xdx dx
x x
d x
x x
x
Bài 27: Tính tích phân:
4
4
2
12
sin cos . tan cot
x x
I dx
x x
•
2 2
12 12
2
4
4
cos sin cos 1 sin cos 2 sin 2
sin cos 4
1 2
x x x x x
I dx dx
x
x x
• Đặt tsin 2x dt2 cos 2xdx
Đổi cận
1 12
x t
Khi
1 2 1
4 2
t
I dt
t
•
1
1
2
1
1
2
2
1 1 1 2
( 2 ) ln
4 2 8 2 2
dt t
I dt
t t
• KL
1 1 21 14 2
ln
8 2 9 2
I
Bài 29: Tính tích phân I=
π
4 3π
4
(2+2 sin 2x)sin(x −π
4)dx Tính tích phân I=
π
4 3π
4
(2+2 sin 2x)sin(x −π
4)dx
¿2
π
4 3π
4
(1+cos(2x −π
2))sin(x − π
4)dx=4π
4 3π
4
cos2
(x −π
4)sin(x − π
4)dx Đặt t=cos(x −π
4) dt=−sin(x − π 4) dx x=π
4 ⇒t=1 ; x= 3π
(16)Suy ra: I=4
t2dt=4
3t
3
¿01=4
3
Bài 30: Tính tích phân:
01 2 x cos x
I dx
cos x
x cos x x cos x
I dx dx
cos x cos x
4 4
2
01 2 0 2
x cos x
dx dx I I
cos x cos x
4 4
1 2
2 2
0 2 0 2
Tính
x
I dx
cos x
4
1 2
0 1 2
Đặt
u x
du dx v tan x
dv dx
cos x
2
1
4
1
0
1 1 1 1 2
4 4
2 8 2 8 2 8 2 2
0 0
s inx
I (x tan x tandx) dx ln cos x ln
cos x
4
2 2
0
1 1 1 1 1 2 2
4
2 2 1 4 1 0 4 2 2
cos x d(s inx) s inx
I dx ln ln
cos x sin x s inx
1
1 2 1 2 2 1 2 2
8 2 2 4 2 2 8 4 4 2
I I I ln ln ln
(17)PHẦN ĐÁP ÁN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
Bài 1: Giải hệ phương trình
4 2 4
2 2
x y x y
x y x y
Điều kiện: 4 0 2 0 x y x y Đặt:
a 2x y
,(a 0, b 0).
b 4x y
Suy ra:
2
3 b
x y a
2 2
Ta có hệ
2 2
3 1
2 5 6 0
2 2
4 4
a a b a a
b a a b 1 1 3 6 6 4 10 a a b a a b a b
So với điều kiện a 0, b 0 , ta được:
2 1
1 2 1 4
3 4 3 4 9 7
x y
a x y x
b x y x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (4; -7)
Bài 2: Giải hệ phương trình
2 2 1 22 y
x y x
x
x y
y
Điều kiện: x0, y 0 x2 + y2 - 0
Đặt u = x2 + y2 - v =
x y
Hệ phương trình (I) trở thành
3 21 u v u v Û
2 13 21
21 v v u v Û u v
7 u v + u v Û x y
3 x y + 7 u v Û 14 53 53 x y
2 14 53 53 x y
Bài 3: Giải hệ phương trình
2
2 1 2 4( 1)
4 2 7
x y x y
x y xy
(18)Phương trình (1) trở thành : 2t2 – t – =
2 / 3
t/m 2
t t m
t k
Hệ
2
2 3
4 2 7
x y
x y xy
1 1
( / ) 2
1 2
x y
t m x
y
Bài 4: Giải phương trình sau: 2
1 1
2 2
x x
+) ĐK: x ( 2; 2) \{0}
+) Đặt y 2 x2,y0Ta có hệ: 2 2
2
x y xy
x y
+) Giải hệ đx ta x = y =
1 3
2 ;
1 3
2
x x
y y
+) Kết hợp điều kiện ta được: x =
1
x
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 2x2 mx 3 x.
hệ
2
2x x 9 6x
3
m x
x
có nghiệm nhất
x2 + 6x – = -mx (1)
+ Ta thấy x = nghiệm. + Với x 0 (1)
2 6x 9 x
m x
Xét hàm số : f(x) =
2 6x 9 x
x
;3 \ 0 có f’(x) =
2 9 x
x
> x 0
+ x = f(3) = , có nghiệm – m > m < - 6
Bài 6: Giải hệ phương trình:
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
(19)0
y , ta có:
2 2
2 2
2 1
4 1 4
.
( ) 2 7 2 1
( ) 2 7
x
x y y
x y xy y
y x y x y x
x y
y
Đặt
2 1 , x
u v x y
y
ta có hệ: 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+) Với v3,u1ta có hệ:
2 1 1 2 0 1, 2
2, 5
3 3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
.
+) Với v5,u9ta có hệ:
2 1 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
, hệ vô nghiệm.
KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y Bài 7: Giải bất phương trình : √2x
2−3x −2
2x2−5x ≥0
↔
¿2x2−3x −2=0
x ≠0; x ≠5 2
¿ ¿ ¿
2x2−3x −2>0
¿
2x2−5x >0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
↔
¿ ¿ ¿ ¿
x=−1
2∨x=2
¿
x ≠0∧x ≠5 2
¿
↔ x ≤ −1
2
¿
x=2
¿
x>5
2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Bài 8: Giải hệ phương trình :
4 2
3
1 1
x x y x y
x y x xy
*Biến đổi hệ tương đương với
2
3
( ) 1
( ) 1
x xy x y
x y x xy
(20)*Đặt ẩn phụ
2
x xy u
x y v
, ta hệ
2 1 1
u v
v u
*Giải hệ nghiệm (u;v) (1;0) (-2;-3) *Từ giải nghiệm (x;y) (1;0) (-1;0)
Bài 9: Tìm ađể hệ phương trình sau có nghiệm :
x+1 1
2 1
y a
x y a
đ/k x1;y1 Bất pt
2
1 1
( 1) ( 1) 2 1
x y a
x y a
2
1 1
1
1. 1 (2 1)
2
x y a
x y a a
;
Vậy x1 và y1 nghiệm p/t: T
2 1 2
( 2 1) 0*
2
aT a a
.Rõ ràng hệ có nghiệm
khi p/t* có nghiệm khơng âm
2
2
0 2( 2 1) 0
0 0 1 2 2 6
0 1
( 2 1) 0
2
a a a
S a a
P
a a
Bài 10: Giải hệ phương trình:
2
5 3
x y x y y
x y
(x, y R)
ĐK: x + y , x - y 0, y
PT(1)
2 2
2x2 x y 4y x y 2y x
2 0 (3)
5 4 (4)
y x
y xy
Từ PT(4) y = v 5y = 4x
Với y = vào PT(2) ta có x = (Không thỏa mãn đk (3)) Với 5y = 4x vào PT(2) ta có x 2 x 3 x1
KL: HPT có nghiệm
4 ( ; ) 1;
5 x y
Bài 11: Giải hệ phương trình:
2
2 2
1
xy
x y
x y
x y x y
2
2 2
1 1
0 2
xy
x y
x y dk x y
x y x y
(21) 1 x y2 2xy 2xy 1 0 x y3 2xy x y 2xy x y 0
x y
2
1 2 1 0
1 1 2 0
1 3
0 4
x y x y xy x y x y x y x y xy
x y
x y x y
Dễ thấy (4) vơ nghiệm x+y>0 Thế (3) vào (2) ta
2 1
x y
Giải hệ
1 1; 0
2; 3
1
x y x y
x y
x y
Bài 12: Giải hệ phương trình
2
1
2 2
2 2
x x
y y y x y
ĐK : y0
hệ
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y x
y y
đưa hệ dạng
2
2 2 0
2 2 0
u u v
v v u
2
1
1 1
2 2 0 3 7 3 7
2 , 2
1 7 1 7
2 2
u v u v
u v u v
v v u
u u
v v
Từ ta có nghiệm hệ
(-1 ;-1),(1 ;1), (
3 7 2
;
2 7 1
), (
3 7 2
;
2 7 1
)
Bài 13: Tìm m để hệ phương trình:
3
2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
x y y x
x x y y m
(22)3
2 2
3 3 2 (1)
1 3 2 0 (2)
x y y x
x x y y m
Điều kiện:
2
2
1 0 1 1
0 2
2 0
x x
y y y
Đặt t = x + t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2
Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến đoạn [0; 2] nên:
(1) y = yy = x + (2)
2 2 1 0
x x m
Đặt v 1 x2 v[0; 1] (2) v2 + 2v = m
Hàm số g(v) = v2 + 2v đạt min ( )[0;1] g v 1; m [0;1ax] g v( ) 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 m
Bài 14: Giải hệ phương trình:
3 7 1 2 1
2 4 5
x x y y y
x y x y
3 7 1 2 1 1
2 4 5 2
x x y y y
x y x y
Điều kiện:
2 0
4 0
x y
x y
(1) x x3 7y1 2y y 1
2 3 1 3
3 7 1 2 2 0 3 1 2 0
2 4
y x
x y x y y x y x y
x y
Thay (3) vào (2) ta được: 7x 2 7x 1 5 điều kiện:
1 7 x
2
11
11 7 0 7 17 76
49 21 2 11 7 d
175 119 17 25 25
25 x x
x x x x y tm k
x
x
Thay (4) vào (2) ta được: 4y 9y 5 y1=>x=2(tmdk)
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x;y)
2;1 , 17 76; 25 25
Bài 15: Giải bất phương trình:
2
4 x1 2x10 1 3 2 x
Điều kiện xác định
(23)
2
2
2
2
2
2
2
2 10 1 3 2 1 3 2
4 1 2 10 1 3 2 4 1
1 3 2
1
1
2 10 4 1 2 10
4 1 1
1 3 2 2 10
1 3 2 1 3 2
x x x
x x x x
x x
x
x x x
x
x x
x x
1 1 1
3
2 4 2 2 10 3 2 3
x x x
x
x x x x
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình
3
; \ 1 2
S
Bài 16: Tìm tất giá trị m để bất phương trình m2x m x 1 có nghiệm đoạn 0;2.
Ta có
2
2 2
m x m x m x m x x
2 4 1 1
x x
m x
(vì x0; 2)
Xét hàm số
2 4 1 1
x x
f x
x
đoạn 0; 2, ta có
2
2 5
; 0 1 6
1
x x
f x f x x
x
Bảng biến thiên
0 1; 2 1;
1 6 2 6
f f
f
Vậy để bất phương trình cho có
nghiệm mmin0;2 f x f 1 6 2 6 .
Bài 17: Giải phương trình: 2 33 x 1 5 x 8 0 Đặt u33x1,v 1 5x0,được:
3
5 3 8
2uu3vv8
3
15 (8 ) 24
3vu 2 u u
3
15 32 40 3vu 8 2uu u
2 4 0 u
v Vậy 33x 1 2
Nghiệm p.trình cho x = -3
Bài 18: Giải phương trình sau: x212 3 x x25 Để phương trình có nghiệm :
2 12 5 3 5 0 5
3
x x x x
Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng
+ _ 0
- 1 1
2 - 6 f(x)
f'(x)
(24)x 2 A x 0
, để thực điều ta phải nhóm , tách số hạng sau :
2
2
2
2
4 4
12 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0
12 4 5 3
2
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x
Dễ dàng chứng minh : 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
Bài 19: Giải phương trình :
2
2 x 2 5 x 1 Đặt u x1,v x2 x1
phương trình trở thành :
2
2
2 5 1
2
u v
u v uv
u v
Tìm được:
5 37 2
x
Bài 20: Giải phương trình sau :2x25x 1 7 x3 1 Đk: x1
Nhận xét : Ta viết
2
1 1 7 1 1
x x x x x x
Đồng thức ta
2
3 x1 2 x x 1 7 x1 x x 1
Đặt u x 1 , v x 2 x 1 0, ta được:
9
3 2 7 1
4
v u
u v uv
v u
Nghiệm :x 4 6
Bài 21: Giải phương trình :
3
3 3 2 2 6 0
x x x x
Nhận xét : Đặt y x2 ta biến pt trình dạng phương trình bậc x y :
3 3 2 6 0 3 2 0
2
x y
x x y x x xy y
x y
(25)Pt có nghiệm :x2, x 2 3
Bài 22: Giải hệ phương trình:
4 2 2
3
2 5 2 1 0
x x y y y x y x
y x
( ,x y R ).
Đk:
5 2 x
Phương trình (1) (x2 1 y x)( 2y2) 0
2 0
1 x y
x y
Trường hợp x y 0 vào (2) không thoả mãn
Trường hợp x2 y 1 vào phương trình (2):
3
2y 3 2 y1 3
Xét hàm
3 3
( ) 2 3 2 1; ;
2 f t t t t
2 1
( ) 6
3 2 f t t
t
;
3
( ) 0; ;
2 f t t
Vậy hàm số f t( ) đồng biến
3 ;
2
; mà f(1) 0
Suy phương trình (3) có nghiệm y1 Với y 1 x2 2 x 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( 2;1);( 2;1)
Bài 23: Giải phương trình
3
2 2
y (3x 2x 1) 4y 8 y x 4y x 6y 5y 4
x, y R .
Hệ cho tương đương với:
¿
(3x2+2x −1)= 8
y3− 4 y2(1) x3
+4x+5=6
y+ 4 y2(2)
¿{
¿
(do y=0 không thỏa mãn hệ cho)
Cộng pt(1) pt(2) theo vế ta (x+1)3+3(x+1)=(2
y)
3 +3.2
y (*)
Xét hàm số f(t)=t3+3t , t∈R Ta có f '(t)=3t2+3>0,∀t Suy f(t) đồng biến Do (∗)⇔x+1=2
y (3)
(26)Thay vào (3), ta nghiệm hệ (x ; y)=(1;1)
Bài 24: Giải bất phương trình:
x 1 1
x 2
x 1 3 x
ĐK: x[-1; 3]\{1}, Ta có:
2
x 1 1 x 1( x 1 3 x ) 1
x x
2 2(x 1) 2
x 1 3 x
x 1 x 2x 3 1
x (*)
2(x 1) 2
+ < x ≤ (I), (*) x 1 x22x 2x 2 3x 1 2( x 22x 3) x22x 0
Đặt t = x22x 3 ≥ 0, giải BPT tìm t >
3
2, từ tìm
2 7 2 7
x ( ; )
2 2
Kết hợp điều kiện (I) ta
2 7
x (1; )
2
+ -1 ≤ x <1 (II), (*) x 1 x22x 2x 2 3x 1 2( x 22x 3) x22x 0
Đặt t = x22x 3 ≥ 0, giải BPT tìm ≤ t <
3
2, từ tìm
2 7 2 7
x [ 1; ) ( ;3]
2 2
Kết hợp điều kiện (II) ta
2 7
x [ 1; )
2
Kết luận tập nghiệm BPT cho:
2 7 2 7
T [ 1; ) (1; )
2 2
Bài 25: Giải hệ phương trình:
¿
x√2y − y√3x+1=2(x − y)
3x2+2y2−5 xy+x − y=0
¿{
¿
(x∈R , y∈R)
ĐK:
¿
x ≥ −1 3 y ≥0
¿{
¿
Từ pt (2) ta có 2 3 1
x y
y x
+) Với x = y thay vào (1) ta có x 2x x 3x 1
0 ( )
2 3 1 0
x tmdk
x x
0
1 ( loai)
x y
x
+) Với 2y = 3x +1 thay vào ( 2) có
1
3 1 1
2
x
x x
(27)Bài 26: Giải hệ phương trình
2
3
2 3 2 3 0
2(2 ) ( 1) 6 ( 1) 0
x y y
y x y x x x
(x, y R).
Điều kiện: x2 + 2y + ≥
PT thứ hệ tương đương với 4y3 + 3y(x + 1)2 + 2(x3 + 3x2 + 3x + 1) = 0
4y3 + 3y(x + 1)2 + 2(x+1)3 = (*)
Nếu x = − y = Cặp (x; y) = (− 1; 0) nghiệm hệ Với x ≠ − 1, chia vế (*) cho (x + 1)3, ta được
3
4 3 2 0
1 1
y y
x x
(**)
Đặt t = 1
y
x PT (**) trở thành 4t3 + 3t + = 0
2 1
( )(4 2 4) 0
2
t t t
t = −
1 2
Do (**) 1
y x = −
1
2 2y = − x − (***) (với x ≠ −1)
Kết hợp PT đầu hệ (***) ta
2
2
x x x x2 x2 = x +
2
4
4 0 4
4
3 4 ( 4)
3 x x
x x
x x x
(thỏa x ≠ − 1) Thay x tìm vào (***), y =
1
6 (thỏa điều kiện ban đầu).
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (−
4 3;
1 6)
Bài 27: Giải bất phương trình : x291 x x Điều kiện x 2
Phương trình cho tương đương với:
2
x 91 10 x 1 x 9 0
2
x 9 x 3
(x 3)(x 3) 0 x 1
x 91 10
x 3
x 3 1
(x 3) 0 x 1
x 91 10
(*)
Ta có
x 3 1
(x 3) 0
x 1 x 91 10
(28)Từ suy nghiệm bất phương trình : x <
Bài 28: Giải bất phương trình: x 3 x1x 3 x22x 34
Bài 29: Giải hệ phương trình:
12 3 4 16
4 5 5 6
x y xy
x y
Điều kiện
5
, 5, 0
4
x y xy
Hệ tương đương
3(4 ) 4 16
4 2 4 5(4 ) 25 26
x y xy
x y xy x y
Đặt u = 4x + y, v = 4xy hệ trở thành
3 2 16
2 5 25 26
u v
u v u
2 3 16
2 5 25 26
v u
v u u
2
2 16
26 3
4 9 96 256
4( 5 25) 676 52 u
v u u
v u u u
2 16
26 3
4 9 96 256
3 40 0 u
v u u
u u
8 16 u v
+ Hệ cho tương đương
4 8 1
4 16 4
x y x
xy y
Bài 30: Giải hệ phương trình:
2
2 4
1 1
3
x y y x xy
x
x xy y
(29)2
1 1 1
2 1 4
4
1 1 1 1
3 4
x x
x x y
x y
x x x
x xy y x x y y x
1 1 1
4
1 1 1
4 x
x x y
x
x x y
1 2 1 1
2 x
x x y