Các kĩ thuật xử lý tích phân

Trong thực tế có thể gặp nhiều dạng khác nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên hàm tích phân... LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ..[r]

CÁC KĨ

THUẬT XỬ

LÝ

TÍCH PHÂN

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP

HUẾ

TOÁN

12 BINH PHÁP LƯU HÀNH

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page

CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN

BÀI TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

Dang 1: Tích phân hữu tỉ

1 Phương pháp

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ

3 Bài tập rèn luyện tốc độ

Dạng 2: Tích phân có chưa thức 10

1 Phương pháp 10

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ 11

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 14

Dạng 3: Tích phân lượng giác 18

1 Phương pháp 18

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ 20

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 24

Dạng 4: Tích phân phần 27

1 Phương pháp 27

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ 27

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 32

Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 38

1 Phương pháp 38

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ 39

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 42

Dạng 6: Tích phân siêu việt 44

1 Phương pháp 44

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ 44

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 48

Dạng 7: Tích phân hàm ẩn 54

1 Phương pháp 54

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ 56

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 61

Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 67

1 Phương pháp 67

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ 68

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1 Định nghĩa tích phân

Cho f x  hàm số liên tục đoạn a, b  Giả sử F x  nguyên hàm f x  đoạn a, b 

Hiệu số F b   F a gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn a, b hàm số

 

f x , kí hiệu   b

a

f x dx



Ta cịn dùng kí hiệu   b a

F x để hiệu F b   F a

Vậy

 

  

 ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx F x F b F a

Ta gọi b a

 dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f x dx  biểu thức dấu tích phân f x 

hàm số dấu tích phân Chú ý:

Trong trường hợp ab a b, ta quy ước

  

 ( ) 0;  ( )  ( )

a b a

a a b

f x dx f x dx f x dx

Nhận xét

 Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu bới  ( ) b a

f x dx  (u) b a

f duhoặc  (t)

b a

f dt Tích phân

chỉ phụ thuộc vào hàm số f cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t

 Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f x  liên tục không âm đoạn a, b , tích

phân  ( )

b a

f x dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị f x ,  trục Ox hai đường

thẳng x a,x b.  Vậy  

b

a

Sf x dx II TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất 1: b ( )  b ( )

a a

kf x dx k f x dx (k: const)

Tính chất 2: b ( ) ( ) b ( ) b ( )

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

Tính chất 3: b ( ) c ( ) b ( )    

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page

Định lý (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f x  liên tục đoạn a, b  Giả sử hàm số x  t có đạo

hàm liên tục đoạn  ,  cho        a,   b a  t b với t   ;  Khi đó:

      

b

'

a

f x dx f t t dt 



  

 

Định lý (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f x  liên tục đoạn a, b  Giả sử hàm số u x  có đạo hàm

liên tục u x    ,  Giả sử ta viết f x g u x u x , x   '    a, b với g x  liên tục đoạn ;

 

  Khi ta có:

   

   

u b b

a u a

f x dx g u du

 

2 Phương pháp tích phân phần

Nếu uu x  vv x  hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn a, b

b b

b a

a a

uvdx uv  vdu

 

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

Dang 1: Tích phân hữu tỉ 1 Phương pháp

1.1 Một số dạng cần nhớ

1) 1ln   , 0



 dx ax b C a

ax b a

2)

     

1 1

,

1 

  

 

 

 n n

dx

C a

a n

ax b ax b

3)  

  ln  



 

u x dx u x C

u x

4) 2 2



b a

dx

x  đặt xtant

1.2 Dạng tổng quát  

  .  .   , , 0, 0

    

   

 m n

P x

I dx m n N b ac a

x  x  ax bx c

+) Trường hợp 1: Nếu bậc đa thức P x   m n 2 ta chia tử cho mẫu để đưa trường hợp +) Trường hợp 2: Nếu bậc đa thức P x   m n 2 ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định”

Bước 1: Phân tích:

 

           

1

2

m n

i k

m n i k

i k

P x A B M ax b N

ax bx c

x  x  ax bx c  x   x 

 

  

 

       

Bước 2: Quy đồng mẫu số đồng vế để tìm hệ số ,A B M N i k, ,

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page

Chú ý: + Đôi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách gắn gọn

+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa tích phân hàm hữu tỉ đơn giản

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho

5

dx ln a

x 

 Tìm a

A 5

2 B 2 C 5 D

2 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN D Ta có:

5

5 2

dx 5

ln a ln x ln a ln ln ln a ln ln a a

x        2  2



Ví dụ 2: Cho  

2

x

dx a ln b ln 3, a, b

x 4x



  

 

  Giá trị 3a 2b là

A 0 B 1 C 8 D 10.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Khi thấy tích phân có dạng

  

n m

ax b

I dx

x c x d  

 

 ta biến đổi

x c x dax b  x c x dA B ax b A B x Ad Bc

        

   

A B a Ad Bc b

  

 

 

 ta tìm A B

Khi đó:  n

m

I A ln x c Bln x d   Áp dụng vào bài, ta có:  

  

2

x x

f x

x 4x x x x x

 

   

     

 2

0

I 2ln x ln x 1   2ln 3ln 3. a

VT VP

b

 

  

  

Ví dụ 3: Tìm tất số thực m dương thỏa mãn

2

d

ln

1 2



 m

x x x

A m 3 B m 2 C m 1 D m 3 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C Ta có:

2

2

0 0

d 1

1 d ln ln

1 2

m

m m

x x

x x x x x m m m

x x

   

             

     

 

Suy ra:

ln ln

2m  m m  2 (*)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page

Ví dụ 4: Biết  

0

1

3

ln , ,

2



 

   



 x x 

I dx a b a b

x Tính giá trị a4 b

A 50 B 60 C 59 D 40

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

0

1

0

1

3 21

3 11

2

3 19

11 21.ln 21.ln

2

 



   

     

   

 

      

 

 x x 

I dx x dx

x x

x

x x

Khi đó, 21, 19 59

2

    

a b a b

Ví dụ 5: Biết

 

2

1

d ln

1

a x

x x   b

 với a b, số nguyên dương a

b phân số tối giản Giá trị

của a b 

A 7 B 5 C 9 D 4

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

   

2

2 2 2

2 2

1 1

2

1 1 1

ln ln

1 1

1 1

ln ln

2

x x

dx dx dx x x

x x x x x x x x

x

x x

     

          

      

  

    

 

  

Suy raa4;b3 Vậy a b 7 Ví dụ 6: Cho

   

1

2

0

x 3x x

dx a ln b x 2x

  

 

 

 Khi 6a 5b

A 2 B 3 C 13 D 2

3 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

Ta có: x33x2   x 3 x x  22x   Đặt t x 22x 3 1dt x dx.

2

  

Đổi cận: x  0 t 3; x  1 t

Khi đó:  

6

6

2

3

3

1 t 1 6

I dt dx ln t ln

2 t t t t

 

  

          

 

 

 

1

a , b 6a 5b 13

     

Ví dụ 7: Cho  

1

1 4 2

0

x

I dx ln a b ln c, a, b,c x 3x

   

 

  Khẳng định

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt t x 2dt 2xdx hay xdx dt.

2 

Và x : 01 thì: t : 01

   

  

1 1

1 4 2 2

0 0

1

0

2 t t x xdx tdt

I dt

2 t t

x 3x t 3t

1 1

dt ln t ln t ln ln

2 t t 2

3 a 3; b ; c

2

  

   

 

   

   

          

 

   

    

  



Ví dụ 8: Cho

   

2

3

1

1 a c a c

dx ln , a, b,c,d ; ,

b d b d

x x



  



  phân số tối giản Giá trị

   

S a 2b 3c 4d

A 16 B 87 C 34 D 30

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

 

       

 

 

2 2

2 2

3

3 2

1 1

2

2 2

3

1 1

2 2

1

1 x x 1 1 1 x x

I dx dx dx

x x

x x x x x x

d x

1 x 1

dx dx

x x

x x x x

1 5

ln x ln x ln ln ln

2 2 8

2x

a 3, b 8, c 1,d

   

       

        

      

   



   

         

     

 

          

 

   

  

  

2  Ví dụ 9: Cho

1

4

0

x

I dx ln b ln c x 3x

   

 

 Chọn đáp án

A b c

  B 2b c

C abc 0. D b, c số nguyên Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Ta có:

  

1

2

0

1 x 2xdx I

2 x 1 x 2 

 



Đặt t x 2dt 2xdx

Với x  0 t 0, với x 1  t

Khi đó:

  

1

1

0

0

1 tdt 1

I dt ln t ln t

2 t t 2 t t

   

         

 

     

 

3 ln ln

2

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page

3 a 3, b , c

2

   

3 Bài tập rèn luyện tốc độ Câu 1: Biết

4

dx

a ln b ln c ln

x x   

 với a, b, c số nguyên Giá trị S a b c   

A 6 B 2 C  D 0

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

 

4

4 4

2

3 3

dx dx 1 x 16

I ln ln ln ln ln

x x x x x x x 15

 

         

     

  

Do đó: S 1 2.    Câu 2: Biết

5

ln

2

 



 dx

I a

x Giá trị a

A 3 B 9 C 8 D 81

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

5

1

dx

ln 2x ln ln a a

2x 2      



Câu 3: Biết

1

2

d ln

2

x

I x a b

x



  



 , a b,  Khi giá trị a2b

A 0 B 2 C 3 D 7

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Ta có:  

1

0

1

2

d d ln 2 ln

0

2

x

I x x x x

x x

  

           

   

 

Nên a b 2 Do đó: a2b3 Câu 4: Giả sử

5

d

ln

2

x

K

x 

 Giá trị K

A 9 B 3 C 81 D 8

Hướng dẫn giải Đáp án B

5

5 1

1

ln ln

2 1 2  

 dx x

x

Câu 5: Tính tích phân

   

2

2

1

I dx ln a b, a, b x x

   



  Giá trị a b

A 2

3 B

7

6 C

2

3 D

6 11 Hướng dẫn giải

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page

       

2 2

2 2

1 1

1 x x 1

I dx dx dx dx

x x

x x x x x

 

   



  

   

Suy

     

2 2 12

1

1

1 x

I dx x d x ln x ln

x x x

 

 

           

 

 

 

4

a , b

3

   

Câu 6: Cho

0

xdx

I a b ln c x

  



 Biết b c 1,  với b, c3 Khi P abc

A 0 B 1 C 2 D 1

2 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

   

1 1

0

0

x 1 1

I dx dx x ln x 1 ln

x x

   

 

          

   

 

a 1; b 1; c P        

Câu 7: Cho

1

2

1 ln

1

  



 x dx

I a b

x Khi 24  3 11

b

S a

A 0 B 1 C 1 D 25

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

1 1

4

2 2

2

2 2

0 0

1

3

2

x dx x 1

I dx x dx

x x x

x 13

x ln x ln

3 24

13

a , b S 25 24

 

 

      

    

 

      

 

 

    

  

Câu 8: Cho

2

1

ln

   



x x dx a b

x Chọn mệnh đề đúng:

A ab B 2a b b  20

C ab D ab

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page

2

2 2 2

1 1 1

x x 1 x

dx x dx xdx dx ln x

x x x

1 3

2 ln ln ln

2 2

3

a , b a b

2

 

          

 

   

      

     

    

   

Câu 9:    

2

2

1

ln , ,

1





   



 x 

I dx a b a b

x Khi

 



a b S

a b

A 1

3 B

2

3 C 3 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

    

1 1

4 2 2 2

0 0

2

1 1

2

2 0

0

x 2x 2x 2xdx

I dx dx dx

x x x

d x

dx x ln x 1 ln

x

 

 

      

    



      



   

 

a 1, b S      

Câu 10: Cho    

1

2

3

5 ln ln , , ,

2



     

 

 x c 

I dx a b b c a b c

x x Khi   

abc P

a b c

A 22

7 B

20

7 C

24

7 D 26

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

 

  

1 1

2

0 0

1

1

0 0

6 x x

x 7x

I dx x dx x dx

x x

x 2x x 2x

6 x

x dx 2x ln x ln x

x x

5

7 ln ln

    

 

 

          

 

       

 

 

            

 

   

  

  



5 20

a , b 2, c P

2

     

Câu 11: Cho

2

2

0

2

4 3

  

    

     

 x  A B

I dx dx

x x x x Giá trị I 2 A4B

A 2 ln125

 B 2 ln125

3 C

7 125 ln

2 D

1 125 ln Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

Ta có:   

2

2x 2x A B

x x x x

x 4x

 

  

 

 

 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 10

Cân hệ số lũy thừa bậc x ta được: A B A 1; B

3A B 2

  

  

  



Suy ra:

 2

2 2

2

0

0 0

2x dx dx 1 125

I dx ln x 3ln x ln

2 x x 2

x 4x 

       

 

 

  

  125

I A B ln

  

Câu 12: Cho

2

4

1

1

ln

2

 

   

 x dx a c d

x x x x b e biết a b c d e N UCLN a b, , , ,  ;  ; 1 c,d,e

số nguyên tố Giá trị T a b c d e     

A 32 B 24 C 25 D 31

Hướng dẫn giải Ta có

2 2

4

2

2

1 1

2

2 2 1

1

1

2



 

       

  

 

 



      

   

   

 



x x

dx dx

x x x x x x

x x d x

x dx

x x

x x

Đặt t x

x

  ta có:

2

4 2

1 1

ln

2 2

x dt t

dx C

x x x x t t t

    

      

 

Dạng 2: Tích phân có chưa thức 1 Phương pháp

Lớp toán 1:  

 

ax ;

ax

p m

p n k

m k n

x

x b dx dx

b





  thỏa p 1 k, ta đặt t n axk bm

Lớp toán 2: Đổi biến dạng lượng giác

Ta ý nhận biết số dấu hiệu cách đổi biến tương ứng sau

Dấu hiệu Cách đổi biến Chú ý

1 x2 a2 Đặt x a tant ;

2

t      

2 a2x2 Đặt x a sint ;

2

t     

3 x2 a2 Đặt

sin a x

t

 ;0 or 0;

2

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 11

4 a x or a x

a x a x

 

 

Đặt x a cos 2t

0;

t  

 

Lớp toán 3: R x ax ; 2bx c dx  

Hướng 1: theo dạng

Hướng 2: Hữu tỉ hoá Sử dụng phép biến đổi Euler

- Với a , đặt 0 ax2   bx c t ax

- Với c , đặt 0 ax2   bx c tx c

- Nếu ax2bx c có hai nghiệm

1 ,

x x đặt  

1

ax bx c t x x đặt

 

2

2

ax bx c t x x

Chú ý: 1)

2

ax

mx n

I dx

bx c

 

 

 ta biến đổi dạng

2

2ax

2 ax ax

m b mb dx

I dx n

a bx c a bx c

  

   

 

   

 

2)

  ax2



  

 dx

K

mx n bx c cách giải chung phép lượng giác ta cịn giải

phép đại số Đặt t ax2bx c 1 ax2bx c

t t mx n    t mx n

3) Với dạng

2

ax  

 dxbx c ta thường nhóm biểu thức dấu thành đẳng thức đưa

dạng:

2

 adx x

2 ln   

 dx x x k C

x k

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Trong tích phân sau, tích phân khơng giá trị với

2

3

1

Ix x 1dx

A

1

1

t t 1dt

2  B

4

1

t t 1dt

2  C  

3 2

0 t 1 tdt

 D 3 

0 x 1 x dx



Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Đặt x2 t xdx dt.

2

  

Đổi cận x 1 t 1; x 2 t 4.

2

2

3 2

1

1

1

I x x 1dx x x 1.xdx t t 1dt

2

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 12

Ví dụ 2: Tính tích phân

3

Ix x 1dx ta I a, a, b ,a

b b



  phân số tối giản Giá trị S 1

a b

bằng A 131

1740 B

16

15 C

116

5 D

16 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A

Đặt u x 1 x u2 1; du  1 x 'dx dx dx 2udu

2 x

         

 Đổi biến: u 0  ; u 3 

Khi ta có:    

2

3 2

2

0 1

u u 116

x x 1dx u u du u u du

5 15

 

         

 

  

Do đó: a 116, b 15.  Suy ra: S 1 131 a b 1740   

Ví dụ 3: Kết tích phân  

2

2 *

0

1d , , ,

  a  a

I x x x a b

b b phân số tối giản Giá trị

 2

P a b

A 2786 B 2785 C 2685 D 2885

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Đặt t x3  1 t2 x3 1 2 d 3 d2 2d d

3

 t t x xx x t t

Với x   ; t x   t Vậy

3

3

2

1

2 2 52

d

3 9

 

     

 

 t

I t t

Suy ra: a 52,b 9.  Do đó: S2785 Ví dụ 4: Tính tích phân:

5

d

3

x I

x x





 kết I a ln 3bln 5, ,a b.Tổng a b

A 2 B 3 C 1 D 1.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt u 3x

3

u

x 

  12

3

dx udu

 

Đổi cận: x  1 u x  5 u

Vậy  

  

4 4

2

2

2

1

2

ln ln ln ln ln

1 1

1

u u u

I du du

u u u

u

   

      

  



 

Do a2; b  Suy ra: a b 1

Ví dụ 5: Giả sử tích phân  

5

1

d ln ln 5, , ,

1

    

 

 

I x a b c a b c

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 13

A 4

3 B

5

3 C

7

3 D

8 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A

Đặt 3  12 d 2 d 

3

 x  t x  t  x t t

Đổi cận x  1 t 3;x  5 t

Khi  

5

5

3

3

2 2 2

d d ln ln ln

3 3 3

  

         

 

 t 

I t t t t

t t

Do 2;

3; 3

a b c  Vậy

3

a b c  

Ví dụ 6: Tập hợp nghiệm bất phương trình x

2

t

dx 0,

t 1 

 với x ẩn

A ;0  B   ;  C  ;   \ D 0; 

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

 

x x

2

2

0

d t x

t 1

dt t x 1

0

2

t t



     

 

 

   

x

2

0

t

dt x 1 x ; \

t 1         



Ví dụ 7: Cho

1

x

I f dx 10

x x

 

   

 

 

 Khi

1

1

  

  

 

 

 x

J f dx

x x

A 10 B 10 C  D 9

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Đặt t x  ta có: dt  dx

Đổi cận x t

x t

  

    

0

1

t t

J f dt f dt

1 t t t t

   

      

   

   

 

1

x

J f dx I 10

x x

 

    

 

 



Ví dụ 8: Tính theo m tích phân

m

Ix x 1dx

A  

2

m m 1

  

B  

3

2 2

m 1

 

C  

2

m m 1

  

D m2 1.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Đặt t x2 1 t2 x2 1 tdt xdx đổi cận x m t m2

x t

    



LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 14

Do  

2 2 2

m m

2

0

m m 1

t m

I x x 1dx t dt I

3 1

    

      

Ví dụ 9: Kết  

3

0

2x x a a

I dx , a, b ,

b b

x



 

  



  phân số tối giản Giá trị S a b 

A 36 B 45 C 27 D 59

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

3

0

2x x

I dx

x   





Đặt x t     x t2 1 dx 2tdt

2

2 2 2

4

1 1

2(t 1) (t 1) 4t 54

I 2tdt (2t 3t )dt 2t

t 5

 

   

       

 

 

Suy ra: a 54,b 5.  Do đó: S a b  59 Ví dụ 10: Cho tích phân

1

2

I x ax b 3x  1 dx 3,

 

 biết a b 1.  Giá trị S a 3  b3 5a b 

A 15 B 20 C 102 D 15

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Ta có:

1

1

2 2

0 0

ax

I ax dx bx 3x 1dx bx 3x 1dx

     

+ Xét

2

Abx 3x 1dx

Đặt 3x2 1 t 3x2 1 t2 xdx 1tdt.

3

      

Đổi cận:

2

2

1

bt t 8b b 7b

x t 1; x t A dt b

3 9 9

           

Vậy

1

0

ax 7b a 7b

I

3 9

   

Ta có hệ:

a 7b a 5

3

S 102

b a b

   

 

   

  

   



3 Bài tập rèn luyện tốc độ

Câu 1: Kết tích phân

   

4

d

ln , , , ,

1



 



 x a b a b c  b

c c

x x phân số tối giản Giá trị

 2 2

S a b c

A 42 B 29 C 17. D 27

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 15

Đổi biến thành

 

3

2

2

d 2ln 2ln

1



 



 t t

t t t

Suy ra: a 2, b 4,c 3.   Do đó: S29 Câu 2: Cho tích phân

3

x

I dx

1 x



 

 đặt t x 1  

2

If t dt

A f t   t2 t. B f t 2t22t. C f t   t2 t. D f t 2t22t.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt

2

dx 2t dt

t x t x

x t

 

      

 

 đổi cận

x t

x t

   

    

Khi      

2 2

2

1 1

t

I 2t dt 2t t dt 2t 2t dt f t 2t 2t

t

  

         



 

  

Câu 3: Đặt

3

d  



a x x

I x

x Ta có:

A I=(a2+1) a2+ -1 1. B ( 1) 1

3

I= éê a + a + + ùú

ë û

C I=(a2+1) a2+ +1 1. D ( 1) 1

3

I= éê a + a + - ùú

ë û

Hướng dẫn giải ĐAP AN D

Ta có:  

2

2

2

0 0

1

d d d

1

a a x x a

x x

I x x x x x

x x

 

   

 

  

2 1 2 1 .d .d

t x   t x  t t x x Đổi cận: x  0 t 1; x a  t a2 1

Khi đó:    

2

2

1 1

3 2

1

1

d 1

3

a a

I t t t t a a

 

 

        

Câu 4: Biết

3

3

6

3

sin

d

1

x

x c d

a b

x x





  



   

 

 với a b c d, , , số nguyên Giá trị

  

a b c d

A 28 B 16 C 14 D 22

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

 3  

3 3

6

6

6

3 3

1 sin

sin

1 sin

1

  

 

    

 

 

  

  

  

x x x

x

I dx dx x x xdx

x x

x x

Đặt t  x dt  Đổi cận dx 3

3

x t

x t

 

 

     



     

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 16

    

   

3

6

3

3

6

3

1 sin

1 sin sin



 

    

       



 





 

 

I t t t dt

t t tdt x x xdx

Suy  

3

3

3

3

3

2 sin sin

27

 

         

 

 

  

I x x dx I x xdx

Suy ra: a27,b 3,c 2,d 6 Vậy a b c d   28 Câu 5: Cho

3

1

1

ln ln



  x   

I dx a b

x Giá trị  

11

3

2 a b 

A 0 B 1 C 2 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Đặt t 1 x t2  1 x2 tdtxdx x : 1 3 t : 22.

Khi đó: 2 2

2 2

1 2

1 x t t 1

I xdx tdt dt dt

x t t t

 

  

      

    

   

 

2

2

1 1 t 1

1 dt t ln 2 ln ln

2 t t t

     

             

  

 

   



 

11

a 2 ; b a b

        

Câu 6: Cho  

1

2

2ln , ,

1

4



  

    



   

 dx a 

I a b

b

x x Giá trị

1  

A

a b

A 4

3 B

2

3 C

5

6 D

1 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

Đặt t x 1  x 3

     

1 x x dx

dt dx dx t

2 x x x x x x

    

     

     

 

x x 3dx  2dtt

 

 

Và x : 01 t : 1 3 2

Khi đó: 4 2 2

1 3

dt 2

I 2 ln t ln a 2; b

t 1 3

 

 

  

      



 



LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 17

Câu 7: Cho tích phân 2 a

x 28

I dx

3 x

 

 

    



 

 Giá trị a (biết a có giá trị nguyên)

A 0 B 1 C 1 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Ta có:

2 2

3

a a

x

I 4dx dx

1 x

 



 

Tính

2

3 a

x

B dx

1 x 



 Đặt 1 x3 t 1 x3 t2 x dx2 2tdt.

3

      

Khi

2

2

3

3 a

a

x 2

B dx x a

3

1 x

     





Ta có:

2

3

a

2

I 4x x 10 4a a

3

 

       

 

3 3

28 2

10 4a a 4a a 6a a

3 3

 

            

 

Giải a 0 (sử dụng máy tính Casio, lệnh SHIFT – SOLVE)

Cách 2: Giải nhanh máy tính

Nhập vào hình

2

3 A

X 28

4 dx

3 X

 

   

  

 

 Ấn CALC thử đáp án Ta thấy đáp án A

(kết cho 0)

Câu 8: Cho tích phân:  

6

1

x

I dx a ln a, a x



 

   



  Giá trị S4 43 a

A 10 B 5 C 15 D 8

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt t x 3  x t2 3 dx 2tdt.

Đổi cận: x t

x t

 



 

Suy ra:

 

3 3 3

2 2

2 2

t t t

I dt dt dt t ln t ln a

t t

t

  

            

   



   Vậy S 8.

Câu 9: Cho tích phân  

1

2

0

x dx a

I , a

3

x x



  

 

  Giá trị a

A 1 B 2 C 3 D 4

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 18

ĐÁP ÁN B Ta có:

1

3

0

Ix x 1dxx dx

6

1

5

0 1

x

x dx

6

    

   



Đặt t x4  1 t2 x4  1 tdt2x dx3 Đổi cận: x 0  t 1; x 1  t

Suy ra:

2

2

2

1 1

1 t

I t dt

2 3

 

     

   



Vậy I a

3 

  

Câu 10: Giá trị tích phân   b

3 a

xdx

I b

2x

 



 biết z a bi  bậc hai số

phức 35 3i

4   A 12

5 B

7

5 C

6

5 D

11 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A

Theo đề:  

 

2

2 35 a b 35 a

a bi 3i

4 2ab 3 b 3 b 0

      

  

    

     

 

Đặt t 32x 2 x t3 dx 3t2 dt

2



     

Đổi cận: x t 1; x t

2

      

 

3

2

2

4

1 1

t 3t

3 3 t 12

2

I dt t 2t dt t

t 4 5



 

       

 

 

Dạng 3: Tích phân lượng giác 1 Phương pháp

1.1 Nguyên hàm cần nhớ với số thực k  0

1

coskxdx sinkx C k

 



1

sinkxdx coskx C k

  



2

1

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 19

2

1

cot sin kxdx  k kx C 

1.2 Một số lớp toán thường gặp

Lớp toán 1: Đưa hàm số lượng giác

sin cos  

I  f x xdx f t dt

cos sin  

I  f x xdx  f t dt

   

1 tan

cos

I f x dx f t dt

x

   

   

1 cot

sin

I f x dx f t dt

x

   

Lớp tốn 2: Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng

sinax.sinbxdx cos cosax bxdx ; sinax.cosbxdx

  

Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng:

   

 

1

cos cos os os

2

x y c x y c x y

   

 

1

sin sin os os

2

x y  c xy c x y

   

 

1

sin cos sin sin

x y  xy  x y

Lớp toán 3: s in xn dx ; cosn xdx n N n ; 2

 

Cách giải:

Nếu n chẵn dùng cơng thức hạ bậc để hạ đến hết bậc:

2 os2 os2

cos ; s in x =

2

c x c x

x   

Nếu n lẻ tách lấy thừa số sử dụng công thức:

   

cosxdx d s inx ; sin xdx d cosx

Lớp toán 4:

a sin cos dx I

x b x c



 



Cách giải:

Đặt tan

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 20

Lớp toán 5:

1 1

a sin cos

s inx cos

 



 

 x b x c

I dx

a b x c

Cách giải

Biến đổi: Tử = A(mẫu) + B(đạo hàm mẫu) + C ta đưa dạng C 0

Chú ý: Trên vài trường hợp thường gặp Trong thực tế gặp nhiều dạng khác nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng kiến thức lượng giác phương pháp tính nguyên hàm tích phân

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho tích phân

2

cos x cos 3xdx a b 

 

 

 Giá trị A a 3b31.

A 3 B 2 C 1 D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

 

 

 

  



  

 

    

 

        

 

 

 

2

2

2 2

2

2

1

I cos x.cos 3xdx cos 4x cos 2x dx

1 1

cos 4xdx cos 2xdx sin 4x sin 2x a b

2

 3  

3

A a b  1 a b 3ab a b  1

Ví dụ 2: Cho tích phân 4  

0

I sin xdx a b, a, b



     Giá trị A 1

a b bằng

A 11 B 20

3 C 4 D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

      

   

 

  

      

 

2 2

2

4 cos 2x cos x cos 2x

sin x sin x

2

1 1 cos x 1

cos 2x cos 2x cos 4x

4 8

 

4 4

0

3 1 1

I cos 2x cos 4x dx x sin 2x sin 4x

8 8 32 32

3 20

a ; b A

32

 

   

           

   

     



Ví dụ 3: Cho tích phân

tan xdx a b



  

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 21

A 0 B 2 C 1 D 1

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

 

 

    



 

        

 



   

4 4 4 4 4

2

0 0 0

4

1 dx

tan xdx tan x 1 dx dx dx

cos x cos x

tan x x

4

a 1; b A

4

     

Ví dụ 4: Cho tích phân

2

4

3 sinx dx sin 2a cos x



 

   

 

 

 Giá trị Asin6acos6

a

A 1

4 B

1

2 C 1 D

3 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A

 



   



         

 

 



4

4

4

4 3

3 sin x dx tan x cos x 4

2

cos x

sin 2a

  Suy ra: A 1 3sin 2a2 1.

4

  

Ví dụ 5: Cho tích phân 2   

0

I cos x dx a b, a, b



      Giá trị A6a15b

A 11 B 4 C 7 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Ta có 2  2

0 0

I cos x dx dx cos xdx

  

   

Trong đó: 





 



2

2 0

dx x

2

Xét  

  

2 2 2  2

0 0

K cos xdx cos x.cos xdx sin x cos xdx Đặt tsin x suy dt cosxdx, x 0   t 0, x   t

2 Khi đó:

   

1 2

2

0 0

2 t

K t dt 2t t dt t t

3 15

 

         

 

 

Vậy I a 1; b A 11

2 15 15



LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 22

Ví dụ 6: Cho tích phân

dx

I a ln b cos x



   Giá trị A4a3b

A 2 B 5 C 4 D 7

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Ta có:  

 

 

 



 

6

4

2

0

d sin x cos x

I dx

cos x 1 sin x

Đặt tsin x, với x0 t0, với x

6 t 12 Khi

     

   

   

  

  

   



  

1 1

2 2

2 2 2

2

0 0

t t

dt dt

I

2

t t t t

1 t

      

   

  

   

   

 

 

 

 

     

 

 

 

           

 

 

     

 

 

 

 

1

2

2

0

1

2

2

0

1 dt dt

I

2 t t 1 t 1 t 1

t t dt t t dt

1

4 t t 1 t 1 t 1

      

 

 

 

 

  

 

 

   

     

 

 

 

  

  

1 1

2 2

2

0 0

1 1

2 2

2

0 0

1 dt dt dt

4 t 1 t t t 1

d t d t

1 1 1

dt

4 t 1 t t t 1

Đáp số: I 1ln a 1; b A

4

      

Ví dụ 7: Cho

sin 2x cos x

I dx a b ln cos x



  



 Giá trị A  a b

A 4 B 1 C 5 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Ta có: 

 



2

0

cos x

I sin xdx

1 cos x

Đặt tcos xdt sin xdx x : 0

2 t : 10

 

1

0 2

1 0

t t

I dt t dt t ln t ln

1 t t

a 1; b A

 

 

                

     

     

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 23

Ví dụ 8: Cho tích phân  

0

cos 3x cos x

I dx a ln b, a, b

2 sin x cos 2x





   

 

  Giá trị A a b  5

A 3 B 2 C 2 D 4

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Ta có:  

   

 

 

 

 

  

 

2

2

2

2

0

4 cos x cos x 3 sin x

I dx d sin x

2 sin x sin x sin x sin x

Đặt tsin x Khi x0 t0, x

2 t 1 Suy ra:

        

   

 

      

 

        

   

     

 

          

 

 

     

  



1 1

2

0 0

1 1

0

4t 2t

3 4t 6t

I dt dt dt

2t t 2t t

2t 3t

4

2 dt 2t ln 2t ln t

2t t 2 ln ln ln18 a 1; b A      

Ví dụ 9: Cho  

3

1

dx ln a ln b 2 sin x cos x 2





     



 Giá trị A a 3 b3 2ab

A 301 B 240 C 360 D 412

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt t 1 cos x t2 1 cos x2tdt sin xdx.

3

x t ; x t

3 2

 

     

   

2

2

3

1 1

2

2 2

2

3 3

2 2

1 s inx

dx dx

sin x cos x sin x cos x

2tdt 1

dt dt

t t t t

t t

 

 



 

 

   

  

     

 

     

   

 

 

 

 

  

  

  

   

1

3

2

1 t 1

2 ln ln

t

2 t 2 2

1

ln ln 2 a 7; b 3

2

 

   

  

      

     

 

 

         

 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 24

3 Bài tập rèn luyện tốc độ Câu 1: Cho tích phân



    

 

 

2 4

0

x x

sin cos dx a b

2

3

a b  7.Giá trị a b A a

b

    

 B

a

b     

 C

a a

b b

     

   

  D

a a

b b

    

     

 

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

  



          

    

    

   

2 4 2 2 2 2

0 0

2

x x x x x x

sin cos dx sin cos sin cos dx cos xdx

2 2 2

sin x

 

   

        

 

   

  

       

   

 3  3

a b

a b a a

b b

a b b b

 

 

 

 

 

6

2 2

0

tan x tan x

I dx dx

cos x sin x cos x tan x

Đặt   

2

dx t tan x dt

cos x

  x :

6 t : 0 33

 

 

   

              

 

 

     

  

        



 

  

3 3

3 3

2

2

0 0

3

3

0

t 1 1

I dt t dt t dt

2 t t

1 t t

t t 10

t ln ln

3 t 27

Tìm a3

Câu 2: Cho tích phân

sin x

I dx a b

sin x cos x





   



 Giá trị A5a b 1bằng

A 0 B 1 C 5 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Đặt x3 t dx dt

2 Đổi cận:

 

       

x t ; x t

2

Suy ra:  



  

  

 

 

   

      

   

   

 

3

3

2

sin t

2 cos t

I dt dt

sin t cos t

3

sin t cos t

2

Vậy:  

 

  

    

  

 3 

2

sin x cos x

2I dx sin 2x dx

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 25

 

    

      

 

2

1 1

2I x cos 2x I

4 2

1

a ; b A

4

     

Câu 3: Cho tích phân 2   

I x cos x dx F x C Giá trị F  A

4 

B 2 

C 2 

 D

4   Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B

   

   

 

 

     

 

       

 



  

    

 



5

2

2

F x

I x cos x dx xdx cos xdx xdx cos xd sin x x sin x sin x

xdx sin x d sin x sin x C

2

F

2

Câu 4: Cho tích phân  

0

2 tan x

I dx a b , a, b cos 2x





   



  Giá trị A9a2b

A 1 B 5 C 4 D 7

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

   

 



 4  4  12 

2

0

1 tan x

I dx tan x d tan x

2 cos x

Đặt          

5

2

2 2

1

2 tan x t I tdt t 5 2

6

5

a ; b A

9

     

Câu 5: Cho    

2

3

1

I cos x cos xdx a b , a, b



      Giá trị A9a b  A 29

64 B

31

20 C

101

20 D

53 60 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

Ta có: 2

0

I cos xdx cos xdx A B

 

   

+) Tính 2 2 

0

0

1 1

B cos xdx cos x dx x sin 2x

2 2

  

  

       

 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 26

+) Tính 

2

A cos xdx

Đặt tsin xdtcos xdx x : 0

2 t : 01

Khi đó:    

 

2 2  2 1  2

0 0

A cos x cos xdx sin x cos xdx t dt

   

       

 



1

1

4

0 0

t

t 2t dt t t

5 15

8 101

a ; b A

15 20

     

Câu 6: Cho

   

0

2

sin

ln , ,

2 sin



   



 x 

I dx a b a b

x



Tính A a 2b 3.

A 1 B 4 C 1 D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

   

 

 

 

 

 

0

2

2

sin 2x sin x

I dx cos xdx

2 sin x sin x

Đặt t 2 sin xdtcos xdx x : 

2 t : 12

Khi  

2

2

2

1

1

2 t 2 4

I dt dt ln t ln 2 a 2; b

t t

t t

    

             

 

 

 

A 4

Câu 7: Cho tích phân  

4

sin x cos x b b

dx a ln 2, a ; b,c ,

sin x cos x c c



 

    



   phân số tối giản Giá tị

  

A a 2b c

A 4 B 5 C 1 D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

 

 

 

 

 



        

 

 

2

2

4

4

d sin x cos x sin x cos x

I dx ln sin x cos x ln1 ln ln

sin x cos x sin x cos x  a 0, b 1,c 2   A

Câu 8: Cho tích phân

2

4

cos 2x

dx a b cos x sin x





 

 Giá trị A5a3b

A 14 B 2 C 6 D

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 27

ĐÁP ÁN A

   

   



3 3 2 3 3

2 2 2

4 4

cos 2x cos x sin x 1

I dx dx dx dx

cos x sin x cos x sin x sin x cos x

 

3

1

cotx tanx a 2; b A 14

3

 

          

Câu 9: Xét tích phân

2

sin 2xdx

I

1 cos x



 

 Nếu đặt t cos x, ta được:

A  

2

I 4  x 1 dx B

1

2

4t 4t

I dt

t 

  C

1

2

4t 4t

I dx

t

 

  D  

2

I 4  t 1 dt Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

2

t cos x  t cos x2tdt sin xdx Khi x 0 t 2, x

2 

 t 1.

Do đó:  

2

1

2

0 2

4t t

2sin x cos xdx 4t 4t

I dt dt

t t

1 cos x



   

  



  

Dạng 4: Tích phân phần 1 Phương pháp

Cho u u x v v x  ,    hàm số liên tục đoạn  a b; có đạo hàm khoảng  a b; ta có

 

b b

b a

a a

udvuv vdu udv uv  vdu

   

Chú ý: Cho dãy “ưu tiên” loại hàm sau LOGARIT  ĐA THỨC  MŨ, LƯỢNG GIÁC    ,

P x Q x loại hàm số Khi cần tính P x Q x dx    ta chọn phần theo nguyên tắc sau

+) Chọn u = Hàm ưu tiên +) dv = phần cịn lại

Ví dụ 2x1 ln x1dx ta chọn  

 

ln

2

u x

dv x dx

 



  

 2 Các ví dụ rèn luyện kĩ

Ví dụ 1: Kết tích phân 2    

0 ln 1 3ln 3 , 

 x x dx b b  Giá trị b

A 3 B 4 C 5 D 7

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 28

 

 

2

0 ln

I  x x dx A B 

Tính 22

0

0

A xdx x 

Tính 2  

0 ln

B x dx

Xem:  ln 1 



u x

dv dx 11

dx du

x v x

 

 

    

Dùng cơng thức tích phân phần

 

     

2 2

0

0

1

ln 1 ln 3ln 3ln

1 

         



  x

B x dx x x dx x

x

Vậy: 2  

0 ln 3ln

    

I x x dx

Ví dụ 2: Biết tích phân  

1

x

(2x 1)e dx a be, a, b    

  Giá trị ab

A 1 B 1 C 15 D 20

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Đặt u (2x 1)  du 2dx

x x

dv e dx  v e

 

1 1

1

x x x x x

0

0

0

(2x 1)e dx  (2x 1)e 2 e dx (2x 1) e  2 e  e

 

Ví dụ 3: Tìm số thực m 1 thỏa mãn  

m

ln x dx m. 



A m 2e. B m e. C m e  D m e 1. 

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

 

m m m

1 1

A ln x dx ln xdxdx

m

Iln xdx Đặt

1

u ln x du dx

x dv dx

v x 

 

 

  

  

m m

1

I x ln x dx

  

m

m e

A x ln x m ln m m

m  

    

 

Ví dụ 4: Giả sử F x nguyên hàm hàm số    

x

e f x

x

 khoảng 0;   3

1

d e x

I x

x

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 29

A I F 3 F 1 B I F 6 F 3 C I F 9 F 3 D I F 4 F 2 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C Xét

3

d

x

e

I x

x



Đặt t3xdt3d x Đổi cận: x   , t x   t

Suy      

9

9

3

3

d d

3

 et et   

I t t F t F F

t t

Ví dụ 5: Đặt

1 ln d ,

e

k

k

I x

x k nguyên dương Ta có Ik   khi: e

A k 1;2 B k 2;3 C k 4;1 D k 3;4

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Đặt

1 lnk

u du dx

x x

dv dx v x

    

 

 

   

 

 

1

.ln + d ln

e e k

k

I x x e k

x

 

     

   Ik  e

 ln ln ln

1

e

e k e k k

e e



         

 

Do k nguyên dương nên k 1;2

Ví dụ 6: Cho tích phân x 2

1

1 x

I e dx ae be

x 

   Giá trị A8a b 

A 3 B 0 C 1 D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

2 x x

x

2

1 1

1 x e e

I e dx dx dx

x

x x



  

* Tính 1 x

e

I dx

x 

Đặt x x

2

dx u e du e dx; dv

x

    , chọn v

x  

2

2 x x

x

1 2

1

1

e e

I dx e dx

x x

x

    

Vậy x x2 x x x2  

2

1

1 1

1 x e e e

I e dx e dx dx e e

x x x x

x 

        

1

a ; b A

2

      

Ví dụ 7: Cho tích phân

2

4

x

dx a b ln sin x





  

 Giá trị A9 a 6b  

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 30

A 47

12 B

5

12 C

11

4 D

21 14 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A Đặt

2

dx u x du dx; dv

sin x

    , chọn v cot x

Vậy 3 3

2

4

4 4

x cos x

I dx x cos x cot xdx x cos x dx

sin x sin x

  

 

 

  

      

   

4

9 1 3

x cot x ln sin x ln

36 2

 

 

 

     

9 47

a ; b A

36 12



    

Ví dụ 8: Cho tích phân 2  

0

I x tan xdx a b c ln 2, a, b,c



      

Giá trị A32a4b2c

A 3 B 2 C 1 D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Tính  

0

x tan x dx







Đặt u x du dx; dv tan x dx2   , chọn v tan x.

Vậy   4 4

0

0 0

sin x x tan x dx x tan x tan xdx x tan x dx

cos x

  

 

    

  

 

4 4

0

x tan x ln cos x

 

 

Do đó:  

0 0

x

I x tan xdx x tan x ln cos x ln

2 32

 

   

       

 

 



2 1

ln 32

 

   

1 1

a ; b ; c A

32

        

Ví dụ 9: Cho tích phân  

2

6

ln sin x

I dx a ln b

cos x





 

    

 

 Giá trị Alog3alog6b

A

 B 2 C



LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 31

ĐÁP ÁN C

Đặt u ln sin x  du cos xdx sin x

   ;

2

dx dv

cos x

 , chọn v tan x

Vậy     3

2

6

6

ln sin x

I dx tan x ln sin x dx

cos x

 

 

 

 

   

3

3 3

3 ln ln ln

2 2 4

        

       

 

   

1

a 3; b A

6

     

Ví dụ 10: Cho tích phân 2     

1

1 I cos ln x dx sin a cos b

2 Giá trị

5

 a  b

A e e

A 28 B 35 C 27 D 32

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Đặt u cos ln x  du sin ln x dx; dv dx x

    , chọn v x.

Vậy    2  

1

1

Icos ln x dxx cos ln x sin ln x dx

* Tính 1  

1

I sin ln x dx

Đặt u sin ln x  du cos ln x dx; dv dx x

    , chọn v x

     

2

2

1 1

1

I sin ln x dx x sin ln x cos ln x dx

   

Vậy    2  2  

1

1

Icos ln x dx x cos ln x x sin ln x cos ln x dx

     

2

2

1

1

2I cos ln x dx x cos ln x x sin ln x

    

Vậy      

1

1

I cos ln x dx sin ln cos ln a b ln A 28

        

Ví dụ 11: Cho tích phân e  

1

I ln xdx

a

1

ln x

K dx

x ln x 

  





Giá trị A   

A ln a ln a  B ln a ln a  C ln ln a  D ln ln a  Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B

e e e

e

1 1

ln xdx x ln x  xd ln x e  dx 1  

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 32

 

e e

e

1

d x ln x ln x

dx ln x ln x ln a ln a

x ln x x ln x 

       

 

 

A ln a ln a 1 ln a ln a 1     

Ví dụ 12: Giá trị tích phân     

2 e

1

a x ln x

I dx, a

x

A e2 2a   

B e2 2a  

C e2 2a  

D e2 2a   Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

Ta có:  

2

e e e

1 1

a x ln x a ln x

I dx x ln xdx dx

x x



  

Xét    

e

e e

1

1

a ln x

a ln x a

A dx a ln xd ln x

x 2

 

 

    

 

 

 

Xét e

1

Bx ln xdx

Đặt 2

dx du

u ln x x

dv xdx x

v

 



  

  

  



e e e e

2 2

1

1

x x x x e

B ln x dx ln x

2 2 4

   

        

    

Vậy I e2 2a

4   

3 Bài tập rèn luyện tốc độ

Câu 1: Biết x x

e 2x e dx a.e  b.e c

 với a, b, c số hữu tỷ Giá trị S a b c   

A S 2. B S  C S  D S 4.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Ta có  

2

2x x

2 2 2

x x 2x x x x

0 0 0 0

e e

I e 2x e dx e dx 2x.e dx xe dx xe dx

2 2

          

Đặt

     

4 2 2

x x

x x 0

0

4 2 2

2 x

0

u x du dx e 1

I 2x.e e dx

2

dv e dx v e

e e

2x.e 2e 2e

2 2

 

 

      

 

 

 

      

1

a ;c

S a b c

2

b

  



     

   Câu 2: Tìm a cho

a x

2

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 33

A 1 B 0 C 4 D 2

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Ta có:

a x

2

Ix.e dx Đặt x x

2

u x du dx

dv e dx v 2.e

 

 

 

 

   

 

 

a a a

x x a x a

2 2 2

0

0

I 2x.e e dx 2ae 4.e a e

        

Theo đề ta có:  

a

I 4 2 a e    4 a

Câu 3: Tìm m để  

1

 

e x m dx ex

A m 0. B m e. C m 1. D m e

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Đặt

     

x x

1

1

x x x x

0

0

u x m du dx

dv e dx v e

I e x m dx e x m e dx e x m me m

  

 



 

 

 

           

Mặt khác: I e me m e   m e 1       e m Câu 4: Cho

2

(1 ln ) ln ,( , , )

x  x dx a b c a b c  

  Đẳng thức sau đúng?

A a b c B a b c C a b c D a b c Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A Đặt

  

   

 



  



       

  



      

 

 

2

2 2 2

1

2

1 ln

2

2 2

(1 ln ) (1 ln ) (1 ln )

2 2

2,

2

(1 ln ) ln 3

2 4

4

dx du

u x x

dv xdx v x

x x x

x x dx x xdx x

a b

x x x

c

Câu 5: Cho 4 

0

I x sin 2xdx



LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 34

A  

4

I x cos 2x cos 2xdx

0





    B  

4

I x cos 2x cos 2xdx

0





   

C  

4

1

I x cos 2x cos 2xdx

2 0





     D  

4

1

I x cos 2x cos 2xdx

2 0





    

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Đặt  

4

du dx

u x 1

I x cos 2x cos 2xdx

1

dv sin 2xdx v cos 2x 0

2



 

  

      

  

 

  

Câu 6: Tích phân

0

d ln 2,

1 cos 2  

 x x a b

x



 với a, b số thực Giá trị 16a8 b

A 4 B 5 C 2 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Đặt

d d

d

d tan

1 cos 2

u x u x

x

v v x

x

 

 

 

   

  



Ta có

4

1

tan tan d

2

0

1 1 1

ln cos ln ln ,

8 0 2 8

 

         



I x x x x

x a b







  

Do đó, 16a8b4

Câu 7: Kết tích phân  

1

2 xd

I  x e x viết dạng I ae b  với a, b số hữu tỉ Khẳng định sau đúng?

A a b B a b  C a b  D a b 0

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

 Đặt d 2.d

d xd x

u x u x

v e x v e

  

 



   

 

Tích phân  

1

0

2 x xd

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 35

Câu 8: Xét tích phân  

1

2

0

2 xd

I  x  e x Nếu đặt u2x24, v e2 x, ta tích phân

1 2

0

( ) xd

I  x  xe x, đó:

A  x 2x24e2x. B  x x22e2x.

C    

2

  x

x x e

 D   12 4 .

2

  x

x x e

 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Đặt

2

2

d d

2

1

d d

2

x x

u x x

u x

v e

v e x

 

  

 

 

 

  Khi    

1 1

2 2 2

0

0

2 xd x xd

I  x  e x x  e  xe x

Câu 9: Giả sử tích phân  

1

2017

.ln 1 d   ln

x x x a b

c Với phân số

b

c tối giản Giá trị b c 

A 6057 B 6059

C 6058 D 6056

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Ta có    

1

2017

0

.ln d 2017 ln d

I x x x x x x

Đặt   2

2

d d

ln 2 1

1

d d

2

u x

u x x

x v x x

v

 



 

  

 



   



Do     

1

1 2

0 0

1

.ln d ln d

2 8

x x

x x x x x

x

 

   

          



    

 

1

0

3

ln ln

8

x x

  

   

 

 

1

2017

3 6051

.ln d 2017 ln ln

8

I x x x  

     

 



Khi b c 6059

Câu 10: Tìm m để  

1

 

e x m dx ex

A m0 B m e  C m1 D m e

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 36

       

 

1 1

0 0

1

1

1

0

1

      

     

      

 x  x x  x

x x

I e x m dx x m d e x m e e dx

x m e e me m

I e me m e m

Câu 11: Biết kết tích phân 2 

I x 1 ln xdx viết dạng a ln b

c 

(a, b, c số nguyên) Khi a+b+c

A 17 B 10 C 13 D 28

hướng dẫn giải ĐAP AN D

Đặt

 

2 2

3 2 3

1

1 1

dx du

u ln x x

dv x dx x

v x

3

x x x x

I x ln x dx x ln x x

3 3

 

 

 

   

 

  



       

            

       

a

3ln 6ln 4

I b a b c 28

9 18

c 18  

  

       

   Câu 12: Cho tích phân

   



 

2      

0

I sin 2x cos x ln sin x dx a ln b a, b Giá trị S1a3b3

3

A 1 B 2 C 3 D

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

     

 



2     2   

2 0

0

I cos x ln sin x dx sin x ln sin x cos xdx ln Vậy       1 3 3

I ln a 2; b S a b

3

Câu 13: Biết tích phân  

3 3

1

0 0

sin 1

tan tan

cos cos



  

    

 

 x x dx 

I x x x xdx

x x

  





 Giá trị 

A 0 B 1 C 1 D

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 37

 

 

 

 

  

      

 

  

 



3

1

2 2

0

3 3

2 2

0

x sin x dx x sin x

I dx I I

cos x cos x cos x

1

I d cos x

cos x cos x

Đặt





 

 

 

 

  

 



1

2

x u

x dx du dx

dv v tan x cos x

Suy

 

 

 3  3 1

0

I x tan x x tan xdx

x x

    

Câu 14: Biết tích phân sau  

2

sin ln

1

 

      



 

 a

I x b x dx

x



  Giá trị S a 5b 5

A 300 B 200 C 275 D 135

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

    

     

   

  

0 0

a ax

I x b sin x dx dx bx sin xdx

x x

Tính    



  

      

 

 

2

2

1 2 2

0

0

d x

ax a a a

I dx ln x ln

2 2

x x

Tính 2

0

I bx sin xdx

Đặt      

 

x u du dx

b sin xdx dv v b cos x 

 

        

2 0 0

0

I bx cos x b cos xdx b 3sin x b Vậy Ialn    2 1 b ln     2 1 3 a 2; b 3

2

Suy ra: S 275.

Câu 15: Giá trị tích phân

1

0

 

   



 

 x

I x e dx

x



A 1   ln B 1   ln  C 2   ln D 2   ln  Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A

Ta có x

0

x

I xe dx dx

x 

 



 

1 1 1

x x x x x

0

0 0

xe dx xde xe  e dx e e 1

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 38

 

1 1

0

0

x

dx dx x ln x ln

x x

              

 

   

 

Do I 1    ln

Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 Phương pháp

Bài tốn: Tính tích phân  d

b

a

I g x x

( với g x( )là biểu thức chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối)

PP chung:

Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối  a b;

Dựa vào dấu để tách tích phân đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) Tính tích phân thành phần

Đặc biệt: Tính tích phân ( ) d

b

a

I  f x x

Cách giải Cách 1:

+) Cho f x( ) 0 tìm nghiệm  a b;

+) Xét dấu f x( )  a b; , dựa vào dấu f x( ) để tách tích phân đoạn tương ứng ( sử

dụng tính chất để tách)

+) Tính tích phân thành phần

Cách 2:

+) Cho ( ) 0f x  tìm nghiệm  a b; giả sử nghiệm x x1; ; 2 x n

( với x1x2   x ) n

Khi

3

1

1

( ) d ( ) d ( ) d ( ) d

     

n

x

x x b

a x x x

I f x x f x x f x x f x x

3

1

1

( )d ( )d ( )d ( )d

         

n

x

x x b

a x x x

I f x x f x x f x x f x x

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 39

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ

Ví dụ 1:  

2

a a

S x x dx , a, b ,

b b

 

      phân số tối giản Giá trị a b 

A 11 B 25 C 100 D 50

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

 

2

2

1 1

x x

S x x dx x x dx 2x

3

8 1

4

3 2

  

 

           

 

   

         

   

 

 

Ví dụ 2:  *

0

I sin 2xdx a a , a



    Hỏi a3 bao nhiêu?

A 27 B 64 C 125 D 8

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Ta có: sin 2x sin x cos x2 sin x cos x sin x

4   

        

 

Với x 0; x ;3

4 4               

 

+ Với x ;

4

       

  sin x

  

 

 

+ Với x 0;3

4

   

    sin x   

 

 

4

0

4

I sin x dx sin x dx 2

4



 

     

          

   

 

Ví dụ 3: Biết

5

2

d ln ln 5,

 

 x   

I x a b

x với a , b số nguyên Giá trị S a b  

A B 11 C D  3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Ta có:

5

1

2 2 2

d d d

x x x

I x x x

x x x

     

  

   

2

2

1

1

2 x x 2x 2x

dx dx dx dx

x x x x

     

   

   

2 5

1

1

5

2 5ln 3ln

x dx dx x x x x

x x

   

           

   

 

8ln 3ln

   11

3

a

a b b

 

     

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 40

Ví dụ 4: Cho tích phân 2  

0

1 cos 2xdx ab a b  2 2 Giá trị a b A a

b 2    



 B

a 2 b    

  C a 2 a

b b 2

   

 

 

  

 

  D

a a 2

b b 2

   

 

 

 

 

 

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

   



 



   

   

   

2 2

0 0

2

1 cos 2xdx sin x dx sin xdx sin xdx cos x cos x

 

2 a

ab a 2

X 2 X

b b 2

a b 2

     

  

       

 

    

  



Ví dụ 5: Tính tích phân

1

- d ,

I x x a x a ta kết I  f a( ) Khi tổng (8)

2

f   f  

  có giá

trị bằng: A 2

9 B

9

2 C

17

2 D

2 17 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B

TH1: Nếu a  

1

1

0 0

1 11

d (8)

3 2 3

x ax a

I   x x a x       f   

 



TH 2: Nếu 0  a    

0

d d

a

a

I  x x a x x x a x

1

3 3

0

1 1 1

3 3 24

a

a

x ax x ax a a

f

     

              

 

   

Khi (8) 11 91

2 24

f  f     

 

Ví dụ 6: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa  

1

2 d 2

 f x x  

2

6 d 14

 f x x Giá trị

 

2

5 d





 f x x

A 30 B 32 C 34 D 36

Lời giải

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 41

+ Xét  

1

2 d

f x x



Đặt u2xdu2dx; x   ; u x   u

Nên  

1

2 f dx x  

0

1

d

2 f u u

   

0

d

f u u

 

+ Xét  

2

6 d 14

f x x



Đặt v6xdv6dx; x   ; v x  2 v 12

Nên  

2

14 f dx x 12  

0

1

d f v v

  12  

0

d 84

f v v

  

+ Xét  

2

5 d

f x x





    

2

5 d d

f x x f x x



    

 Tính  

0

2

5 d

I f x x



  

Đặt t5x2

Khi 2   , x t  5x 2dt  5dx; x   2 t 12; x   t

 

12

1

d

I   f t t 12    

0

1

d d

5 f t t f t t

 

   

    

1

84 16

  

 Tính  

2

0

5 d

I  f x  x

Đặt t5x2

Khi 0  , x t5x2 dt5dx; x  2 t 12; x   t

  12

2

1

d

I   f t t 12    

0

1

d d

5 f t t f t t

 

   

    

1

84 16

  

Vậy  

2

5 d 32

f x x



 



Ví dụ 7: Cho hàm số y f x  liên tục  0;  

2

d 1

 f x x ;  

4

d 3

 f x x Giá trị  

1

3 d





 f x x

bằng

A 4 B 2 C 4

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 42

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

     

1 1/3

1 1/3

3 d d d

f x x f x x f x x

 

    

  

       

1/3

1 1/3

1

1 d 3 d

3 f x x f x x

        

     

0

4

1

d d

3 f t t f t t

     1 3 1.1

3 3

     3 Bài tập rèn luyện tốc độ

Câu 1:

3

4

3

24

4





     a

S y y dy

b Giá tị A2B

A 80 B 83 C 142 D 79

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

  

4 2

y 4y  3 y 1 y 3

Xét dấu y2 1 y 3, ta có:

   

     

3

2 4

3

1

4 4

1

3

S 4y y dy y 4y dy

y 4y dy y 4y dy y 4y dy

 



 

      

          

 

  

1

5 5

3 1

y 4y y 4y y 4y

3y 3y 3y

5 5

112 24 15



 

     

     

         

     

     

 

Câu 2:  

1

a a

S 4x 4x 1dx , a, b ,

b b



     phân số tối giản Giá trị a 4b

A 1 B 3 C 35 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Ta có:  

1

2

0

I  2x dx 2x dx

0

0

0

0

0

-+ + + +

+

+ + +

+∞

1 -1

- -∞

(y2

-1)(y2

-3) y2

-3 y2

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 43

   

1

1 2

7

1

0 0

2

1 I 2x dx 2x dx 2x dx 2x dx 2x dx

2             Suy ra: a 1, b 2. 

Câu 3:

2

0

I sin xdx A B



    , biết A2B Giá trị A3B3

A 72 B 8 C 65 D 35

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Ta có:

2

x x x x x

1 sin x sin cos sin cos sin

2 2 2

    

          

   

Với x 0; x 0; x ;5

2 4

                    

+ Với x ;

2 4       

 

x

sin

2   

 

 

+ Với x ;5

2 4

       

 

x

sin

2   

 

 

3

2

3

2

x x

I sin dx sin dx

2 4







     

         

   

 

Câu 4: Cho tích phân

2

2

1 sin 2cos  3

 x xdx a b



Giá trị A a b  4

A 2 B 5 C 5 D 8

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

 

 

2   4  2 

0 0

I sin 2x cos xdx sin x cos x dx sin x cos x dx 

       

sin x cos x tan x x k

3

Do   

 

x 0;

2 nên   x

3

   

   

   

 

 



       

               

   

3

0

3

3

0

3

I sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx

1 3

cos x sin x cos x sin x 3

2 2

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 44

Dạng 6: Tích phân siêu việt 1 Phương pháp

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Xét tích phân

2

.e dx

I   x x Sử dụng phương pháp đổi biến số với

ux , tích phân I biến đổi thành dạng sau đây:

A

2

2 e du

I   u B

2

1 e d

u

I   u C

2

1 e d

u

I   u D

2

2 e du

I   u

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Ta có

2

ex d

I   x x

Đặt ux2du2 dx x d 1d

2

x x u

 

Với x   u x 2  u Khi

2

1 e d

u

I   u

Ví dụ 2: Biết

   

e

dx

I a ln b ln c, a, b,c

x ln x 3ln x

    

 

  Giá trị S a b c   

A 3 B 2 C 0 D 4

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Đặt

1 1

2 2

2

0 0

dt 1 t

t ln x I dt ln ln ln ln

t 3t t t t



 

          

      

 

Do a 1; b  1;c 0  S

Ví dụ 3: Cho tích phân  

8 e

*

e

dx

ln a ln b, a, b x ln x ln ex   

  Giá trị S cosa b sina b  

bằng

A 0 B 1 C 1 D 4

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

8

e e

3

e e

dx dx

I

x ln x ln x x ln x ln x

 



 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 45

2 dx

t ln x 2tdt ; ln x t x

     

 

3

2

2

2tdt t

I ln ln ln a 3, b t

t t



      

 



   

Scos a b    sin a b     Ví dụ 4: Cho ( ) 12

2

F x x

 nguyên hàm hàm số f x( )

x Tính

e

( ) ln d

f x x x

 bằng:

A e2 23 2e

I   B e2

e

I   C e2 2

e

I   D e22

2e

I  

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Do ( ) 12

2

F x x

 nguyên hàm hàm số f x( )

x nên

( )

2

f x

x x



 

  

   

1

f x x

  

Tính

e

( ) ln d

I  f x x x Đặt

   

1

ln d d

d d

x u x u

x

f x x v

f x v



 

 

   

  

Khi      

e e

1

.ln f x d

I f x x x

x



   

e e

2

1

1

.ln

2

x

x x

   e2 23

2e 



Ví dụ 5: Cho hàm số y f x( ) với f(0) f(1) 1 Biết rằng:1    

0

d

x

e f x  f x  x ae b 

 Tính

2017 2017

Q a b

A Q22017 1 B Q 2 C Q 0 D Q22017 1

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Đặt   d  d

d xd x

u f x u f x x

v e x v e



   

 

 

 

 

 

         

1 1

2

0 0

d d d

x x x x

e f x  f x  x e f x  e f x x  e f x xY

   ef  1  f  0  e

Do a1, b 1

Suy Q a 2017b201712017  1 2017  0

Vậy Q Ví dụ 6: Tính tích phân

2 2018

d ex

x

I x



 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 46

A I 0 B

2020

2 2019

I  C

2019

2 2019

I  D

2018

2 2018

I 

Lời giải Tính tích phân

2 2018

d ex

x I x    

Đặt x  t dx dt Khi x 2 t 2; x2 t 2 Ta có

 2018

2 2018 2 2018

2 2

.e

d d d

e e e

t

x t t

t

x t

I x  t t

  



  

  

   2018

2

2I t dt

    2019 2019 t 

 2.22019

2019

 22019

2019

I

 

Ví dụ 7: Biết

1 3

0

2 e 1 e

d ln

e.2 e ln e

x x x x x x p m n                

 với m, n, p số nguyên dương

Tính tổng S m n p  

A S 6 B S5 C S7 D S 8 Hướng dẫn giải

Ta có

1 3 1

3

0 0

2 e 2

d d d

e.2 e.2 e.2

x x x x

x x x

x x

x x x x J

                        Tính d e.2 x x J x    

Đặt e.2 e.2 ln 2d d d d

e.ln

x t x x t x x t

      

Đổi cận: Khi x0 t  ;  e x1 t  2e

1 2e

2e e

0 e

2 1 1 e

d d ln ln

e.2 e ln e ln e ln e

x x

J x t t

t                          Khi

1 3

0

2 e 1 e

d ln

e.2 e ln e

x x x x x x                

  m 4, n2, p Vậy S7

Ví dụ : Cho y f x  hàm số chẵn liên tục  Biết    

1

0

1

d d

2

f x x f x x

  Giá trị

 

2

d

3x

f x x

 

A 1 B 6 C 4 D 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Do  

1

d

f x x

  

1

1

d

2 f x x  

1

d

f x x

   

2

d

f x x



   

1

0

d d

f x x f x x

   

0

d

f x x

 

Mặt khác  

2

d

3x

f x x



 

    

2

d d

3x 3x

f x f x

x x





 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 47

   

f x f x x

    

Xét  

0

d 3x

f x

I x



 

 Đặt t  x dx  dt

 

2

d 3x

f x

I x



  



  

2

d =

3 t

f t t    

  

0

d = 1 3t f t t  

  

0

3

d = t t f t t 

  

0 d x x f x x     2 d

3x

f x x



 



    

2

d d

3x 3x

f x f x

x x



 

 

     

0

3

d d

3

x

x x

f x f x

x x

 

  2   

0 d x x f x x       d

f x x



Ví dụ 9: Cho hàm số f x  liên tục đoạn  1; thỏa mãn f x  f 2 x 1 lnx x x



  Tính tích

phân  

4

d

I  f x x

A I  3 2ln 22 B I 2ln 22 C I ln 22 D I 2ln 2

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Ta có  

4

d

f x x

  

1

2 ln

d

f x x

x x x           

  

1

2 ln

d d

f x x

x x

x x



 

Xét  

4 d f x K x x  

Đặt x  t

2

t

x 

  dx dt

x     d

K f t t

   

1

d

f x x

 Xét ln d x M x x

  

1

ln d lnx x

 ln x

  2ln 2

Do    

4

2

1

d d 2ln

f x x f x x

   

3

d 2ln

f x x

 

Ví dụ 10: Biết  

2

5 e e

d e ln

2 e

  

  

 

 x x

x x a c

x a b

x với a, b, c số nguyên e số

logarit tự nhiên Tính S 2a b c  

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 48

ĐÁP ÁN D

Ta có :     

 

2

1

0

5 e 2 3 e

d d

2 e e

x x

x x

x x x x

I x x

x  x

   

 

   

 

Đặt tx2 e xdtx3 e d x x Đổi cận : x  0 t 2, x  1 t 3e

 

3e 3e

3e

2

d 3e

1 d ln 3e ln

1



 

          

   

 t t 

I t t t

t t

Vậy a3, b2, c1 S Ví dụ 11: Cho số thực a , đặt

2  d

a

x a

b x

a x e







 Tính

2

d

a ex

I x

a x

 

 theo a b

A

a

b I

e

 B I ba

e

 C

b

a I

e

 D I b e a

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt t a x    x a t dx  dt

Đổi cận:

x 2a t a a Ta có

 

3

a a t

a

e

I dt

a a t

 

 

 

 a 2 a  t

a

e

dt a t e







 b e a

3 Bài tập rèn luyện tốc độ Câu 1: Biết  

4

1

ln d

e

e

f x x

x 

 Tính tích phân  

4

d

I  f x x

A 8 B 16 C 2 D 4

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt t lnx dt 1dx

x

  

Đổi cận : Với x e  t ; x e   Do đó, ta có t 4

   

4 4

1

1

ln d d

e

e

f x x f t t

x  

   

1

d

f x x

 

Câu 2: Biết  

2

1

d ln ln

ln

x

x a b

x x x

  



LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 49

A 10 B 8 C 12 D 6

Lời giải ĐÁP ÁN B

Ta có 2 1 d ln x x

x x x

 

  

1 d ln x x

x x x

 





Đặt t x lnx dt 1 dx

x         d x x x  

Khi x  1 t 1; x   2 t ln

Khi

2 ln

dt

I

t



  ln

1

ln t 

 ln ln 2   Suy

2 a b     

Vậy P8

Câu : Cho hàm số f x  liên tục  thỏa  

2018

d

f x x

 Khi tích phân

    2018 e 2

ln d

1

x

f x x

x



 



A 4 B 1 C 2 D 3

Lời giải ĐÁP ÁN C

Đặt   

2018

e

2

0

ln d

1

x

I f x x

x



 





Đặt tlnx2 1

2 d d x t x x   

Đổi cận: x0  t 0; x e20181  t 2018

Vậy  

2018

d

I   f t t 2018  

0

d

f x x

  

Câu 3: Cho số thực a,b khác không Xét hàm số  

 3 e

1

x

a

f x bx

x

 

 với x khác  Biết

 0 22

f     

1

d

f x x

 Tính a b ?

A 19 B 7 C 8 D 10

Lời giải ĐÁP ÁN D

Ta có  

 4

3

e e

1

x x

a

f x b bx

x



   

 nên f 0     3a b 22  1

Xét  

1

5 f x xd

  e d x a bx x x           

 1  3   

0

1 d d ex

a x  x b x

        1 0

| e e d

2

x x

a

b x x

x             1

1 e e

2 x a b                 a b

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 50

Từ  1  2 ta có

3 22 a b a b           a b     

   a b 10

Câu 4: Biết tích phân  

4 x x e

dx ae b x



 



 Tính T a2 b2

A T  1 B T  2 C

T  D

2

T 

Lời giải Ta có

4

0

1 2

2

2

x x

x x

I e dx e dx

x x

 

 

 

  4

0

1

2

2

x

x e

x e dx dx

x            Xét

0

x e I dx x    Đặt x u e dx dv x        

2 112

1

1

2

2

x

du e dx

x dx v x x               Do 4 0

x x

I e x e x dx

Suy

2

e

I   Khi 3,

2

a b

4

T

   

Câu 5: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0

     

1

2

0

1

d e d

4

x e

f x x x f x x 

 

 

  Tính tích phân  

1

d

I  f x x A I  2 e B I  e C e

2

I  D e

2

I  

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Xét    

1

1 ex d

A x f x x

Đặt  

 

d xd

u f x

v x e x

        d d ex

u f x x

v x        

Suy    

1

0

ex ex d

A x f x x f x x  

0

d

x

xe f x x

   

0

1 d

4

x e

xe f x x 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 51

Xét

1 2

d

x

x e x



1

2

0

1 1

2

x

e  x x 

    

 

2 1

4

e 



Ta có :    

1 1

2 2 2

0 0

d x d xd

f x x xe f x x  x e x

 

 

   1   2

0

d

x

f x xe x

  

Suy f x xex  0, x  0;1 (do f x xex2  0, x  0;1 )

  x

f x xe

     1  x

f x x e C

   

Do f  1 0 nên   1  x

f x  x e

Vậy      

1

1

0

d xd x

I  f x x x e x x e  e

Câu 6: Cho    

2

e

d e ln e

e 

  





x x

x x

x a b c

x với a, b, c Tính P a 2b c

A P1 B P 1 C P D P 2 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN D

Ta có:  

2

e d e

 



 x x

x x

I x

x

 

1

1 e e d

e

 



 x x x

x x

x

x

Đặt txex1 dt 1 xe dx x

Đổi cận:x  0 t 1; x   1 t e Khi đó:

e 1

1 d

 

  t

I t

t

e 1

1

1 d



 

   

 

 t

t  

e ln

1 

 t t  e ln e 1  

Suy ra: a1, b 1, c1 Vậy: P a 2b c  2

Câu 7: Cho hàm số f x  liên tục đoạn ln 2;ln 2 thỏa mãn     1

x

f x f x

e

  

 Biết

  ln

ln

d ln ln

f x x a b



 

 a b;  Tính P a b 

A

P B P  C P  D P

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 52

Gọi  

ln ln

d

I f x x



 

Đặt t  x dt dx

Đổi cận: Với x ln  tln 2; Với xln 2 t ln

Ta  

ln ln

d

I f t t



     

ln ln

d

f t t



    

ln ln

d

f x x



  

Khi ta có: 2I    

ln ln

ln ln

d d

f x x f x x

 

        

ln ln

d

f x f x x



     

ln ln

1 d

ex x









Xét

ln ln

1 d

ex x

 

Đặt u  dex ue dx x

Đổi cận: Với x ln 2

2

u ; xln  u

Ta

ln ln

1 d

ex x

   

ln ln

e d

e e

x

x x x







 ln  

ln

1 d

1 u

u u







 ln

ln

1

d

1 u

u u



 

   



 

  2

1

lnu lnu

   ln

Vậy ta có

2

a ,

2

b    a b

Câu 8: Cho hàm số y f x liên tục  thỏa mãn   

1

ln

e f x

dx e

x 

 Khẳng định

đúng? A  

0

1

e

f x dx

 B  

1

1

f x dx

 C  

1

f x dx e

 D  

0

e

f x dx e



Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Sử dụng phương pháp đổi biến số Đặt tln x , suy dt 1dx x



Đổi cận:

x 1 e t

Khi     

1

1

ln

e f x

dx e f t dt e

x   

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 53

Câu 9: Cho tích phân

e

3ln

d

x

I x

x



 Nếu đặt tlnx

A

1

3 d et

t

I   t B

e

3 d

t

I t

t



 C  

e

3 d

I  t t D  

1

3 d

I  t t

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt tlnx dt 1dx

x

  Đổi cận x   ; e t x   t

Khi  

e

1

3ln

d d

x

I x t t

x



  

Câu 10: Biết  

4

e e

1

ln d

f x x

x 

 Tính tích phân  

4

d

I  f x x

A I  B I 16 C I 2 D I 4 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN D

Đặt tlnx dt 1dx

x

 

 

e e

1

ln d

f x x

x

  

1

d

f t t

  

1

d

f x x



Suy  

4

d

I  f x x Câu 11: Biết tích phân

ln

e

d ln ln

1 e

x

x x a b  c

 

 , với a , b , c số nguyên Tính

T    a b c

A T  1 B T  C T 2 D T 1 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B

Đặt t ex  3 t2 ex 3 2 dt te dx x

Đổi cận ln

0

x t

x t

 

 



   

 

Suy

ln

0

e d

d

1 e

x x

t t x

t

 

 

   3

2

2

2 d 2 ln

1 t t t t

 

      



 

 6 ln 4   4 2ln 3

2

2 4ln 2ln

2

a b c

  

     

  

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 54

Vậy T 

Câu 12: Cho

3

1

0

d

e e e

1

x x a b c

x

   



 Với a , b , c số nguyên Tính S a b c  

A S  B S C S D S  Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C Xét

3

d e

1

x x

I

x







 ; đặt d d

2

u x u x

x

   



Đổi cận:

2

e 2du

I u

   2e

1

u  2e22e   , a 2 b  , 2 c , 0 S a b c    0

Câu 13: Cho

 

e

2

ln d

ln

x

I x

x x





 có kết dạng I lna b với a0, b Khẳng định sau

đây đúng?

A 2ab 1 B 2ab1 C ln

2

b

a

    D ln

2

b

a

  

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Đặt lnx 2 t lnx t 2 1dx dt

x

 

Đổi cận: x1 t2; xe t3 Khi

3 2

2 d

t

I t

t



 2

2

1 dt

t t

 

   

 



2

2 ln t

t

 

  

 

3 ln

2

 

3

a b

    

   

Vậy 2ab 1

Dạng 7: Tích phân hàm ẩn

1 Phương pháp

Phương pháp chung cho loại toán áp dụng kỹ thuật đổi biến, phương pháp phần kỹ thuật đạo hàm…, ngồi ta có vài dạng đặc trưng sau:

Loại 1: Biểu thức tích phân đưa dạng: u x f x( ) ( )' +u x f x'( ) ( )=h x( )

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 55

+ Ta có u x f x( ) ( )' +u x f x'( ) ( )= ëéu x f x( ) ( )ùû'

+ Do u x f x( ) ( )' +u x f x'( ) ( )=h x( )éëu x f x( ) ( )ùû'=h x( )

Suy u x f x( ) ( )=òh x dx( )

Suy f x ( )

Loại 2: Biểu thức tích phân đưa dạng: f x'( )+f x( )=h x( )

Cách giải:

+ Nhân hai vế với ex e f xx '( )+e f xx ( )=e h xx ( )ëêée f xx ( )úûù'=e h xx ( ) Suy e f xx ( )=ò e h x dxx ( )

Suy f x ( )

Loại 3: Biểu thức tích phân đưa dạng: f x'( )-f x( )=h x( )

Cách giải:

+ Nhân hai vế với e-x e-x 'f x( )+e-x.f x( )=e-x.h x( )ëêée-x.f x( )úûù'=e-x.h x( )

Suy e-x.f x( )=òe h x dx-x ( )

Suy f x ( )

Loại 4: Biểu thức tích phân đưa dạng: f x'( )+p x f x( ) ( )=h x( )

Cách giải:

+ Nhân hai vế với

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ' ( ) ( )

'

p x dx p x dx p x dx p x dx

p x dx p x dx

e f x e p x e f x h x e

f x e h x e

ò  ò + ò = ò

é ò ù ò

ê ú

 =

ê ú

ë û

Suy f x e( ) òp x dx( ) =òeò p x dx( ) h x dx( )

Suy f x ( )

Công thức ( ) ( )

b b

a a

f x dx f a b x dx 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 56

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục    0;1 , thoả mãn 3 f x xf x x2018 với

 0;1

x Tính  

1

d

I  f x x

A

2018 2021

I 

 B

1 2019 2020

I 



C

2019 2021

I 

 D

1 2018 2019

I 



Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Từ giả thiết 3f x xf x x2018, nhân hai vế cho x2 ta

     

2 2020 2020

3x f x x f x x x f x  x

Suy  

2021

3 2020d .

2021

x

x f x x x C

Thay x vào hai vế ta 0   2018

2021

x

C   f x 

Vậy  

1

1

2018 2019

0

0

1 1

d d

2021 2021 2019 2021 2019

f x x x x x 



 

Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục    0; , thỏa mãn f x  f x ex 2x với 1

 0;4

x Khẳng định sau đúng?

A  4  0 26.

3

e f  f  B e f4  4  f  0 3 e

C e f4  4  f  0   e4 1. D e f4  4  f  0  3.

Lời giải ĐÁP ÁN A

Nhân hai vế cho ex để thu đạo hàm đúng, ta

      /

' 2

x x x

e f x e f x  x e f x   x

Suy   1d 12 2

3

x

e f x  x x x x C

Vậy  4  0 26.

3

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 57

Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm   , thỏa mãn f x' 2018f x 2018x2017 2018e x với

x f  0 2018 Giá trị f  1

A 2018e2018. B 2017e2018. C 2018e2018. D 2019e2018.

Lời giải ĐÁP ÁN D

Nhân hai vế cho e2018x để thu đạo hàm đúng, ta

  2018x 2018   2018x 2018 2017   2018x 2018 2017.

f x e   f x e  x f x e   x

 

Suy f x e  2018x  2018x2017dx x 2018C. 

Thay x vào hai vế ta C 2018 f x x20182018e2018x.

Vậy f  1 2019e2018.

Ví dụ 4: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục   , thỏa mãn    

2 x

f x xf x  xe

 0

f   Giá trị f  1

A e B 1

e C

2

e D

2 

e

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Nhân hai vế cho

2

2

x

e để thu đạo hàm đúng, ta

     

2 2 2

2 2 2 2 2.

x x x x x

f x e f x xe xe e f x xe



 

     

 

 

Suy  

2 2

2 2 2d 2 .

x x x

e f x  xe x  e C

Thay x vào hai vế ta  

0 x

C   f x   e

Vậy f  1 2e 2.

e



   

Ví dụ 5: Xét hàm số f x( ) liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn ( ) (1f x  f x) 1x Tích phân

1

( )d

f x x



A 2

3 B

1

6 C

2

15 D

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 58

ĐÁP ÁN C

Ta có: ( ) (1f x  f x) 1x (1)

Đặt t  1 x, thay vào (1), ta được: (1f  t) ( )f t  t hay (1f  x) ( )f x  x (2)

Từ (1) & (2), ta được: ( )

5

f x  x x Do đó, ta có:

1

( ) d

f x x

 1

0

3

d d

5 x x x x

    

5 15

 

15



Cách 2. Công thức ( ) ( )

b b

a a

f x dx f a b x dx 

 

Lấy tích phân vế ta

1 1

0 0

2 f x x( )d 3 f(1x x)d  1x xd

1

0

2

5 ( )d ( )d

3 15

f x x  f x x

 

Chú ý: Ta dùng cơng thức    

1

d d

x ax b

x f ax b x ax b f x x

 

 

  Khi đó:

Từ 2f x 3 1f  x 1 suy ra: x    

0 0

2 f x xd 3 f 1x xd  1x xd

   

1

0

2 f x xd f x xd x xd

         

0

2

5 d d

3 15

f x x f x x

    

Ví dụ 6: Cho  

2

f x dx a.

 Giá trị  

0

2

x.f x 1 dx

 theo a

A 2a B 4a C a

2 D

a Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

Đặt t x 2 1 dt 2x dx.

Đổi cận: x 0  t 1; x 1  t

Khi đó:    

2

1

1 a

I f t dt f x dx

2 2

    

Ví dụ 7: Cho y f x   hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn 6;6 Biết  

2

f x dx







 

3

f 2x dx 3.

 Giá trị  

6 

f x dx

A 1 B e C  D 14

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 59

ĐÁP ÁN D

Ta có hàm số chẵn nên f 2x    f 2x suy    

3

1

f 2x dx f 2x dx 3.

 

Mặt khác:          

3 6

1 2

1

f 2x dx f 2x d 2x f x dx f x dx

2

    

   

Vậy      

6

1

I f x dx f x dx f x dx 14

 

      

Ví dụ 8: Cho hàm số y f x   liên tục  thỏa mãn  

e

f ln x

dx e

x 

 Mệnh đề sau

đúng? A  

1

f x dx 1.

 B  

1

f x dx e.

 C  

e

f x dx 1.

 D  

e

f x dx e.



Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x 

Ta có

Ta có nên B

Ví dụ 9: Cho f x  hàm số chẵn liên tục đoạn 1;1  

1f x dx

 

 Kết  

1 x

f x

I dx

1 e



 



bằng

A 1 B 3 C 2 D 4

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Cách 1: Đặt t     x dt dt

Đổi cận x   1 t 1; x 1    t Ta được:

       

1 1 t x

x t t x

1 1

1 e e

I f x dx f t dt f t dt f x dx

1 e e e e

 

  

     

   

   

Do đó:      

1 x

x x

1 1

1 e

2I f x dx f x dx f x dx I

1 e e

  

     

 

  

Cách 2: Chọn  

h x x làm hàm chẵn Ta có

1

2 x dx

3





 , f x  4h x  6x 2

3

 

Khi  

1

x x

1

f x 6x

dx dx

1 e e

 

 

 

 

Lời bình: Với cách làm này, em cần nắm rõ nguyên tắc tìm hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết toán dễ dàng tìm kết tốn máy tính phương pháp với hàm số y f x   đơn giản Đối với tốn ta chọn hàm số h x 1 cho đơn giản

 

y f x

           

e e

1

e f ln x

dx f ln x d ln x F ln x F F e

1

x     

 

       

1

1

f x dx F x F F e

0

   

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 60

Ví dụ 10: Cho hàm số f x  liên tục đoạn  1;e , biết    

e

f x

dx 1, f e

x  

 Giá trị

  e

If ' x ln xdx

A 4 B 3 C 1 D 0

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Đặt

   

dx

u ln x du

x dv f ' x dx

v f x 

 

 

  

  

         

e e e

e

1 1

f x f x

f ' x ln xdx f x ln x dx f e dx 1

x x

       

Ví dụ 11: Cho hàm số f x  liên tục  có    

1

0

f x dx 2; f x dx 6 

  Tính  

1

I f 2x dx



  

A I

 B I 4. C I

2

 D I 6.

Hướng dẫn giải

Có      

1

1

1

1

2

I f 2x dx f 2x dx f 2x dx

 

      

       

1

1

1

2

1

f 2x d 2x f 2x d 2x

2

        

       

0

3 0

1 1 1

f t dt f t dt f x dx f x dx

2 2 2

           

Ví dụ 12: Tìm tất giá trị thực tham số k để  

k

x

x 1

2x dx lim

x



 

 



A k k

   

 B

k

k

    

 C

k

k

     

 D

k

k

      Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN D

Ta có          

2

k k k

1

1

2x 2k

1

2x dx 2x d 2x

2 4

 

      

 

Mà   

 

x x x

x 1 x 1

x 1

4lim 4lim 4lim

x x x 1 x 1

  

   

 

   

   

Khi      

2 k

2 x

1

k

2k 1

x 1

2x dx lim 2k

k

x





  

 

        

  

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 61

Ví dụ 13: Cho f x  hàm liên tục đoạn  0;a thỏa mãn    

   

f x f a x

f x 0, x 0;a

  

 

  

  

a

dx ba

1 f x  c

 ,

trong b, c hai số nguyên dương b

c phân số tối giản Khi b c có giá trị thuộc khoảng đây?

A 11; 22  B  0;9 C 7; 21  D 2017; 2020 

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Đặt t a x     dt dx

Đổi cận x 0  t a; x a   t Lúc

     

 

   

a a a a

0 a 0

f x dx

dx dt dx dx

I

1

1 f x f a t f a x 1 f x

f x 

    

      

    

Suy

    

a a a

0 0

f x dx dx

2I I I 1dx a

1 f x f x

     

 

  

Do I 1a b 1; c b c

2

      

Cách 2: Chọn f x 1 hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính

I a b 1; c b c

2

      

3 Bài tập rèn luyện tốc độ

Câu 1: Cho hàm số f x  liên tục     

9

1

d 4, sin cos d 2

 f x x  f x x x

x



Giá trị tích

phân  

3

d

 f x x

A 2 B 6 C 4 D 10

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

 Xét  

9

d

f x

x

x 

 Đặt t x  suy dt2 x, t t d x

Đổi cận 1

9

x t

x t

   

    

Suy      

9 3

1 1

4 f x dx f t 2dt f t td

x

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 62

 Xét  

2

sin cos d

f x x x





 Đặt usin ,x suy ducos d x x

Đổi cận

0

x u

x  u

   



   

 Suy    

1

0

2 f sinx cos dx x f t td



 

Vậy      

3

0

d d d

I  f x x f x x f x x .

Câu 2: Cho hàm số f x liên tục       

2

2

0

tan d 4, d

1

x f x

f x x x

x



 



  Giá trị tích phân

 

d 

I f x x bằng

A I  B I  C I  D I  1 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A

Xét  

0

tan d

f x x







Đặt ttan ,x suy  

2

1 d

d d tan d d

cos

t

t x x x x

x t

    

 Đổi cận:

0

x t

x  t

   



   

 Khi  

   

1

4

2

0 0

4 tan d d d

1

f t f x

f x x t x

t x



  

 

  

Từ suy      

2

1 1

2

0 0

d d d

1

f x x f x

I f x x x x

x x

     

 

  

Câu 3: Cho hàm số f x liên tục    thỏa mãn  

tan x f cos x xd 1,





  

2

ln

d

ln

e

e

f x

x

x x 

 Giá

trị tích phân  

2

2 d

 f x

I x

x

A 1 B 2 C 3 D 4.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

● Xét  

4

2

tan cos d

A x f x x



LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 63

Suy

2 d

d 2sin cos d cos tan d tan d tan d

2

t

t x x x x x x t x x x x

t

        

Đổi cận:

0

4

x t

x  t

   

 

   

Khi        

1

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1

1 d d d d

2 2

f t f t f x f x

A t t x x

t t x x

         

● Xét  

2 ln2

d

ln

e

e

f x

B x

x x

   Đặt uln 2 x

Suy

2

2ln 2ln d du

d d d d

ln ln ln

x x u x

u x x x

x x x x x x x u

    

Đổi cận: 2

4

x e u

x e u

   



  



Khi      

4 4

1 1

1

1 d d d

2

f u f x f x

B u x x

u x x

      

● Xét tích phân cần tính  

2

2 d

f x

I x

x



Đặt v2 ,x suy

1

d d

2 .

2

x v

v x

      

Đổi cận:

1

4

2

x v

x v

    



    

Khi        

4 4

1 1

2 2

d d d d 2

f v f x f x f x

I v x x x

v x x x

      

Câu 4:

Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục    0;2 Biết f  0 

    2 4

2 x x

f x f x e  với x 0;2 Giá trị tích phân    

 

3

2

3

d  

 x x f x

I x

f x

A 14

 B 32

5

 C 16

3

 D 16

5

 .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Từ giả thiết     2 4 2  

2 x x x

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 64

Ta có    

 

3

2

3 '

d

x x f x

I x

f x



 Đặt  

 

 

 

3

2

3

d d

'

d d ln

u x x

u x x x

f x

v x v f x

f x

     

 

  



 

 Khi

       

 

    2

3 2

0

2

2

3 ln ln d

3 ln d



   

    

 

f

I x x f x x x f x x

x x f x x J

Ta có            

2 2

2

0

2 ln d x t 2 ln d

J  x  x f x x    t  t  f t t

           

0

2 2

2

2 x 2 x ln f x d x x lnx f x d x

 

         

Suy

       

     

2

2

0

2

2 ln d ln d

2 ln d

    

  

 



J x x f x x x x f x x

x x f x f x x

    

2

2 2

0

32 16

2 ln d 2 d

15 15

x x

x x e  x x x x x x J

       

Vậy 16

5

I   J  

Câu 5: Cho hàm số y f x  liên tục ; 2

 

 

 

  thỏa mãn 2f x  f   x cos x Giá trị

tích phân  

2

d



 

I f x x





A I   B

3

I  C

2

I  D I  Hướng dẫn giải

ĐÁN ÁN B

Từ giả thiết, thay x x ta 2f   x f x cos x

Do ta có hệ

   

   

   

     

2 cos 2cos 1

cos

2 cos cos

f x f x x f x f x x

f x x

f x f x x f x f x x

     

 

   

 

     

 

 

Khi  

2

2

2

1

d cos d sin

3 3

I f x x x x x

 

 

  

 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 65

Câu 6: Cho hàm số f x liên tục   1; 2

 

 

  thỏa mãn  

1

2

f x f x

x

 

  

  Giá trị tích phân

  2

d

 f x

I x

x

A 1

2 B

3

2 C

5

2 D

7 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B

Từ giả thiết, thay x

x ta  

1

2

f f x

x x

   

    Do ta có hệ

 

 

 

   

1

2 3

2

1

2

f x f x f x f x

x x

f x x

x

f f x f x f

x x x x

       

   

 

        

 

   

       

     

 

Khi  

2 2

1

1

2

2

1

2

f x

I dx dx x

x x x

   

         

   

 

Cách khác. Từ f x  2f 3x f x  3x 2f

x x

   

       

   

Khi  

2 2

1 1

2 2

1

d d d d

f f

f x x x

I x x x x

x x x

    

   

    

 

    

 

 

 

   

Xét

2

1 d

f x

J x

x

     

 Đặt t

x

 , suy

2

1

dt dx t xd dx d t

x t

      

Đổi cận:

2

2 .

1

2

x t

x t

    



    

Khi      

1

2

2

2

1

2

2

1

d f t dt f x d

J tf t t x I

t t x

 

     

 

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 66

Vậy

2

1

2

3

3 d d

2

I   x I  I  x

Câu 7: Cho hàm số f x thỏa mãn   f x 2 f x f   .  x 15x412x

  với x

 0  0

f  f   Giá trị f2 1 bằng

A 5

2 B

9

2 C 8 D 10

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Nhận thấy f x 2 f x f     x f x f x       Do giả thiết tương đương với f x f x   .   15x412 x

 

Suy    . 15 12 d 3 6 f   0 f 1

f x f x  x  x x x  x  C     C

   . 3 6 1

f x f x x x

   

   . d 3 6 1 d 2  2 '.

2

f x x

f x f x x x x x x x C

        

Thay x vào hai vế ta 2 0 ' '

2

f

C C

  

Vậy f2 x x64x32x 1 f2 1 8.

Câu 8: Cho  

5

4





 f x dx Giá trị  

2

2





 f x dx

A 2 B 5

2 C 4 D

3 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A

Đặt  



      5  

1

1

2x u 2dx du I f u du

2

Câu 9: Cho    

5

1

5,



  

 f x dx  f t dt  

4

1





g u du Tính     

4 



 f x g x dxbằng A 8

3 B

22

3 C

20

 D 10

3 Hướng dẫn giải

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 67

Ta có        

4 4

5 5

f t dt  f t dt  2 f t dt f x dx 2.

   

Suy          

5 5 4

1

f x dx f t dt f x dx f x dx f x dx

  

    

    

Khi

   

     

     

4 4

1 1

4 4

1

f x g x dx f x dx g x dx

1 22

f x dx f x dx g u du

3

  

 

  

     

  

  

Câu 10: Cho hàm số f x liên tục    thỏa mãn f tanxcos ,4 x x  Giá trị  



I f x dx

bằng A 2

8



B 1 C 2

4



D  Hướng dẫn giải

ĐAP ÁN A

   

 

   

2

2

2

0

1

f tan x cos x f tan x

tan x

1

f x f x dx

8

x

 

    



 

 

   

 

Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 1 Phương pháp

Áp dụng bất đẳng thức:

+ Nếu f x liên tục    a b ;    

b b

a a

f x dx  f x dx

 

+ Nếu f x liên tục    a b ; m f x M      

b

a

m b a  f x dx M b a 

+ Nếu f x g x liên tục    ,  a b ;        

2

2 .

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 



 

    dấu " " xẩy

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 68

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn f  1 0,  

1

2

d



  

 

 f x x

 

2

1

d

3 

x f x x Giá trị phân  

1

d

 f x x

A B 7

5 C

7

4 D 4

Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B

Dùng tích phân phần ta có      

1 1

2

0

0

1

d ' d

3

x

x f x x f x  x f x x

  Kết hợp với giả thiết f  1  ,

ta suy  

1

' d

x f x x 



Theo Holder      

2

1 1 7 1

2

2 3 6

0

0 0

1 ' d d ' d

7

x

x f x x x x f x x

 

       

   

Vậy đẳng thức xảy nên ta có f x' kx3, thay vào 1  

' d

x f x x 

 ta k  

Suy f x'  7x3 '  7 ,3  0;1  

4

f x x x f x x C

        

 1    

7 7

d

4 4

f

C f x x f x x



       

Ví dụ 2: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn f  1 1,  

1

11 d

78 

x f x x

    

0

4

d

13

 

 f x f x Giá trị f  2

A B 251

7 C

256

7 D

261 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN D

Theo Holder    

2

2 1

2

6 12

0 0

2 4

d d

13 x f x x x dx f x x 13 13 169

 

         

 

   

     

  2    1 5.

7

f

f x x f x x C  C

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 69

Vậy    2 261.

7 7

f x  x   f 

Ví dụ 3: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn f  1 2, 0f  0

 

2

d



  

 

 f x x Tích phân  

1

2018 d

  

 

 f x x x

A 0 B 1011 C 2018 D 2022

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Theo Holder    

2

1 1

2

0 0

2  f x x' d   d x f x'  dx1.4 4.

   

     0

' 2 f

f x f x x C  C

      

Vậy    

1

2 2018 d 1011

f x  xf x  x x 

Ví dụ 4: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương có đạo hàm f x  liên tục  0;1 , thỏa mãn

 1   0

f ef

   

1

2

0

d

d



 

   

 x  f x x

f x Mệnh đề sau đúng?

A  1

e f

e



 B  

 

2

1

1

e f

e

 

 C  

2

2

1

1

e f

e



 D  

 

2

1

1

e f

e

 

 Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C Ta có

          

1 1 AM GM

2

2

0 0

'

d

' d ' d f x d

x

f x x f x x x

f x f x f x



 

        

 

   

        

0

1

2 ln ln ln ln ln

0

f

f x f f e

f

     

Mà

   

1

2

0

d

' d

x

f x x

f x    

  nên dấu '' '' xảy ra, tức  

     

1

' '

f x f x f x

f x

  

   ' d d 2    2

2

f x

f x f x x x x x C f x x C

       

Theo giả thiết f  1 ef  0 nên ta có

2

1

2 2 2

1

C e C C e C C

e

      

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 70

  22  1 22 22

1 1

e

f x x f

e e e

      

  

Ví dụ 5: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương  0;1 , có đạo hàm dương liên tục  0;1 , thỏa

mãn f  0 1        

1

3

3

0

4 d d

       

 

 

 

 f x f x x  f x f x x Giá trị  

1

d 

I f x x

A 2 e1  B 2e21  C 1.

2 

e

D

2 1



e

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Áp dụng bất đẳng thức AM GM cho ba số dương ta có

         

         

3

3

3

3

3 2

3

4 ' '

2

3 ' '

2

       

   

f x f x

f x f x f x

f x f x

f x f x f x

Suy        

1

3

3

0

4 ' d ' d

f x f x x f x f x x

     

 

 

Mà        

1

3

3

0

4 ' d ' d

f x f x x f x f x x

     

 

  nên dấu '' '' xảy ra, tức

  3  3     

4 ' '

2 2

f x f x

f x    f x  f x

 

 

 

        

1

' ' 1

d d ln

2 2

x C

f x f x

x x f x x C f x e

f x f x



         

Theo giả thiết        

1

0

0 x d

f    C f x e  f x x e

3 Bài tập rèn luyên tốc độ

Câu 1: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0; thỏa mãn ,  

0

sin d

  

 f x x x



 

2

d 

 f x x



 Giá trị tích phân 0xf x x d



A



 B



 C 2

 D

4  Hướng dẫn giải

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 71

Theo Holder      

2

2 2 2

0 0

2

1 cos d d cos d

2

f x x x f x x x x

   



    

   

0

2 cos

cos d x xd

f x x xf x x x

 

  

     

Câu 2: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa t    

1

2

1 0, d

8 

 

   

f f x x 

 

0

1

cos d

2

  

 

 

 x f x x Giá trị ích phân  

1

d

 f x x A 1

 B

2

 C 2



D  Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B Theo Holder

   

2

2 1

2

0 0

1

sin ' d sin d ' d

4 2

x x

f x x x f x x

     

          

 

       

         

     1

' sin cos

2 2

f

x x

f x    f x   C  C

         

   

Vậy    

1

2

cos d

2

x

f x  f x x



 

   

  

Câu 3: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương  0;1 , có đạo hàm dương liên tục  0;1 , thỏa

mãn  

 

0

d





 xf x x

f x f 0 1,  

2

1 

f e Giá trị

2      

f

A 1 B 4 C e D e

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Hàm dấu tích phân  

      

' '

, 0;1

xf x f x

x x

f x  f x   Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm

đúng  

 

'

f x

f x , muốn ta phải đánh giá theo AM GM sau:

 

    

' '

2

f x xf x

mx m

f x   f x với m x 0;1

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 72

 

    

1

0

' '

d d

f x xf x

mx x m x

f x f x

 

 

 

 

 

hay

     

0

ln ln ln

2

2 2

2

    

    

x m

f x m m f f

m

m m

Để dấu '' '' xảy ta cần có 2

2

m

m m

    

Với m đẳng thức xảy nên  

 

'

4

f x x f x 

 

     

2

2

'

d d ln x C

f x

x x x f x x C f x e

f x



      

Theo giả thiết  

   

2

2

0 1

0

2

x

f

C f x e f e

f e



       

    

 Cách 2. Theo Holder

 

          

2

1 1

2

0 0

' ' ' 1

1 d d d d ln

2

xf x f x f x f

x x x x x x

f x f x f x f

   

   

      

     

Vậy đẳng thức xảy nên ta có  

 

'

,

f x kx

f x  thay vào

   

0

'

d

xf x x

f x 

 ta k 

Suy  

 

'

4

f x x

f x  (làm tiếp trên)

Câu 4: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn    

1

2

d



  

 

 f x f x x

 0 1,

f f  1  Giá trị

2      

f

A B 3 C e D e

Lời giải ĐÁP ÁN A

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 73

       

' '

f x f x  m m f x f x

 

  với m

Do ta cần tìm tham số m cho

   

     

1

2

0

' d ' d

f x f x m x m f x f x x

 

 

 

hay

 

2

0

1

2

f x

m m m m

    

Để dấu '' '' xảy ta cần có 1 m m  m

Với m đẳng thức xảy nên        

   

2 '

'

'

f x f x f x f x

f x f x

 

 

  

   



          

2

1 1

0

0

' ' d d 1

2

f x

f x f x    f x f x x  x  x    (vô lý)

            

2

' ' d d 2

2

f x

f x f x   f x f x x x   x C f x  x C

Theo giả thiết  

   

0 1 1

2

2

1

f

C f x x f

f

 

        

    



Cách 2. Ta có          

2

1 1

2

0

1

' d 1

2

f x

f x f x x  f  f 



Theo Holder        

2

1 1

2

2

0 0

1  1.f x f x x' d   d x f x f x'  dx1.1 1.

   

Vậy đẳng thức xảy nên ta có f x f x'    thay vào k,    

0

' d

f x f x x

 ta k  Suy

   

'

f x f x  (làm tiếp trên)

Câu 5: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương có đạo hàm f x  liên tục  1; , thỏa mãn

   

2

1

d 24



 

  

 f x x

xf x f 1 1, f  2 16 Giá trị f  2

A 1. B C 2 D 4

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 74

Hàm dấu tích phân  

    

2

' 1 '

f x f x

xf x x f x

   

     Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm

   

'

f x

f x , muốn ta phải đánh giá theo AM GM sau:

 

    

2

' '

2

f x f x

mx m

xf x f x

 

    với m 0 x 1;2

Do ta cần tìm tham số m cho

 

    

2

2

1

' '

d d

f x f x

mx x m x

xf x f x

  

   

 

 

 

hay

     

1

2 2

24 24 24 12 16

3 3

m m m

m f x m f f  m m

           

Để dấu '' '' xảy ta cần có 24 12 16

3

m

m m

   

Với m16 đẳng thức xảy nên  

    

2

' '

16

2

f x f x

x x

xf x f x

 

    

 

       

2

2

'

d d

2

f x

x x x f x x C f x x C

f x

       

Theo giả thiết  

     

1

0

2 16

f

C f x x f

f



      



 

Cách 2. Ta có  

 

 

       

2 2

1

1

' '

d d 2

2

f x f x

x x f x f f

f x f x

 

     

 

Theo Holder  

 

   

   

2 2

2 2 2

2

1

1 1

'

' '

6 d d d d 24 36

2

f x

f x f x x

x x x x x x

xf x

f x xf x

     

   

    

   

     

Vậy đẳng thức xảy nên ta có  

 

   

' '

,

f x f x

k x kx

xf x   f x  thay vào

   

1

'

d

f x x

f x 

 ta k

Suy  

 

'

4

f x x