CÁC kĩ THUẬT xử lý TÍCH PHÂN

CÁC KĨ LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ SĐT: 0834 332133 THUẬT XỬ TỐN LÝ TÍCH PHÂN 12 BINH PHÁP LƯU HÀNH NỘI BỘ BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN BÀI TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM Dang 1: Tích phân hữu tỉ Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Bài tập rèn luyện tốc độ Dạng 2: Tích phân có chưa thức 10 Phương pháp 10 Các ví dụ rèn luyện kĩ 11 Bài tập rèn luyện tốc độ 14 Dạng 3: Tích phân lượng giác 18 Phương pháp 18 Các ví dụ rèn luyện kĩ 20 Bài tập rèn luyện tốc độ 24 Dạng 4: Tích phân phần 27 Phương pháp 27 Các ví dụ rèn luyện kĩ 27 Bài tập rèn luyện tốc độ 32 Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 38 Phương pháp 38 Các ví dụ rèn luyện kĩ 39 Bài tập rèn luyện tốc độ 42 Dạng 6: Tích phân siêu việt 44 Phương pháp 44 Các ví dụ rèn luyện kĩ 44 Bài tập rèn luyện tốc độ 48 Dạng 7: Tích phân hàm ẩn 54 Phương pháp 54 Các ví dụ rèn luyện kĩ 56 Bài tập rèn luyện tốc độ 61 Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 67 Phương pháp 67 Các ví dụ rèn luyện kĩ 68 Bài tập rèn luyên tốc độ 70 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BÀI TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Cho f  x  hàm số liên tục đoạn a, b  Giả sử F  x  nguyên hàm f  x  đoạn a, b  Hiệu số F  b   F  a  gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn a, b   hàm số b f  x  , kí hiệu  f  x dx a Ta dùng kí hiệu F  x  để hiệu F  b   F  a  b a Vậy b  f ( x )dx  F  x  a  F (b)  F (a) b a b Ta gọi  dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f  x  dx biểu thức dấu tích phân f  x  a hàm số dấu tích phân Chú ý: Trong trường hợp a  b a  b, ta quy ước a  f ( x )dx  0; a b  a a f ( x )dx    f ( x )dx b Nhận xét b  Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu bới  a f ( x )dx b  f (u)du a b  f (t)dt Tích phân a phụ thuộc vào hàm số f cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t  Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f  x  liên tục không âm đoạn a, b  , tích b phân diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị f  x  , trục Ox hai đường  f ( x )dx a b thẳng x  a,x  b Vậy S   f  x dx a II TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất 1: Tính chất 2: b b a a  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const) b b b a a a   f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx b Tính chất 3:  a c b a c f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  a  c  b  III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Định lý (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f  x  liên tục đoạn a, b  Giả sử hàm số x    t  có đạo hàm liên tục đoạn   ,   cho      a,      b a    t   b với t    ;   Khi đó: b  a    '  f  x dx   f   t    t dt Định lý (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f  x  liên tục đoạn a, b  Giả sử hàm số u  x  có đạo hàm liên tục u  x    ,   Giả sử ta viết f  x   g  u  x   u'  x  , x  a, b  với g  x  liên tục đoạn   ;   Khi ta có: b u b  a u a   f  x dx   g  u du Phương pháp tích phân phần b b Nếu u  u  x  v  v  x  hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn a, b   uvdx  uv a   vdu b a a B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM Dang 1: Tích phân hữu tỉ Phương pháp 1.1 Một số dạng cần nhớ dx 1)  ax  b  a ln ax  b  C, a  2)   ax  b  3)  u  x  dx  ln u  x   C dx  1  C , a  a   n  1  ax  b n 1 u  x  b 4) n x a dx đặt x   tan t 2 1.2 Dạng tổng quát I   P  x  x     x    m n  ax  bx  c   dx m, n  N , b  4ac  0,a   +) Trường hợp 1: Nếu bậc đa thức P  x   m  n  ta chia tử cho mẫu để đưa trường hợp +) Trường hợp 2: Nếu bậc đa thức P  x   m  n  ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định” P x  x     x    m Bước 1: Phân tích: n  ax  bx  c   m  i 1 Ai x    i  n  k 1 Bk x    k  M  ax  b   N ax  bx  c Bước 2: Quy đồng mẫu số đồng vế để tìm hệ số Ai , Bk , M , N Bước 3: Thực dạng LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUN HÀM TÍCH PHÂN Chú ý: + Đơi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách gắn gọn + Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa tích phân hàm hữu tỉ đơn giản Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho A dx  ln a Tìm a x  B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Ta có: dx  ln a  ln x x  Ví dụ 2: Cho x  ln a  ln  ln  ln a  ln 5  ln a  a  2 x 1 dx  a ln  b ln 3,  a, b    Giá trị 3a  2b  4x  A B C Hướng dẫn giải D 10 ĐÁP ÁN A n ax  b dx ta biến đổi x  c  x  d  m Khi thấy tích phân có dạng I   ax  b A B    ax  b   A  B  x  Ad  Bc  x  c  x  d  x  c x  d A  B  a   ta tìm A Ad  Bc  b Khi đó: I   A ln x  c  Bln x  d  Áp dụng vào bài, ta có: f  x   B n m x 1 x 1    x  4x   x  3 x  1 x  x  I   2ln x   ln x    2ln  3ln a  VT  VP   b  3 m Ví dụ 3: Tìm tất số thực m dương thỏa mãn A m  x dx 0 x   ln  B m  C m  Hướng dẫn giải D m  ĐÁP ÁN C m m m x dx   1     x 1 Ta có:   dx   x  x  ln x    m  m  ln m  x 1  x 1 2 0 2 m  m  ln m   ln  2 Ta thấy có m  thỏa mãn (*) Suy ra: (*) LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 3x  x  Ví dụ 4: Biết I   dx  a ln  b,  a, b    Tính giá trị a  4b x2 1 A 50 B 60 C 59 Hướng dẫn giải D 40 ĐÁP ÁN C 0 3x  x  21   I dx    3x  11   dx x2 x2 1 1   3x  19   11x  21.ln x     21.ln   1 19  a  4b  59 Khi đó, a  21, b  a  x  x  1 dx   ln b Ví dụ 5: Biết với a , b số nguyên dương a  b A B a phân số tối giản Giá trị b C Hướng dẫn giải D ĐÁP ÁN A 2 2 x2   x2 1 1    dx 1 x  x  1 1 x  x  1 dx  1  x   x  x  dx   ln x   ln x  x   x 1    ln     ln x x 1  Suy a  4; b  Vậy a  b   Ví dụ 6: Cho x  3x  x  x  2x   dx  a  ln b  1 Khi 6a  5b A B C 13 D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C   Ta có: x  3x  x    x  1 x  2x  Đặt t  x2  2x   dt   x  1 dx Đổi cận: x   t  3; x   t  6 t6 1  1 6 Khi đó: I   dt      dx   ln t     ln  1 23 t 3 t t  2 t 3 a , b   6a  5b  13 Ví dụ 7: Cho I1   A a  b  c x3 x4  3x  dx  ln a  b ln c,  a, b,c    Khẳng định B b  c  a LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 C c  a  b D a  c  b Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Đặt t  x2  dt  2xdx hay xdx  dt Và x :  thì: t :   I1   x xdx x  3x   tdt  t  1   t   dt    2 t  3t  2  t  1 t   1 1         dt   ln t   ln t    ln  ln 2 0 t  t  1 2  0  a  3; b   ; c  2  x3 Ví dụ 8: Cho 1 1  x  dx    a c a c  ln , a, b,c,d    ; , phân số tối giản Giá trị b d b d S  a  2b  3c  4d A 16 B 87 C 34 Hướng dẫn giải D 30 ĐÁP ÁN D    1 x   x  1 1  x   x   I dx   dx      x  x x 1  x  x 1  x   x 1  x      1  1 x  d 1  x     dx   dx  2 2 2   x3   x3   x2  x 2    x 2   dx   2 1  x 2   5    ln x  ln  x    ln  ln   ln 2 2 8  2x 1  a  3, b  8, c  1,d  Ví dụ 9: Cho I   x3 x4  3x2  dx  ln  b ln  c Chọn đáp án C abc  B 2b  c A b  c  D b, c số nguyên Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: I  1 x 2xdx 0 x  x     Đặt t  x2  dt  2xdx Với x   t  , với x   t  1 1 tdt        Khi đó: I    dt   ln t   ln t    t  1 t    t  t    0  ln  ln LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN a  3, b   , c  Bài tập rèn luyện tốc độ Câu 1: Biết x dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c số nguyên Giá trị S  a  b  c x A B C 2 Hướng dẫn giải D ĐÁP ÁN B 4 4 dx dx  x 16 1      ln  ln  ln  ln I   ln x  x x  x  1  x x   x 1 15 Do đó: S     Câu 2: Biết I   dx  ln a Giá trị a 2x 1 A B C Hướng dẫn giải D 81 ĐÁP ÁN A 5 dx 1 2x   ln 2x  1  ln  ln a  a  Câu 3: Biết I   2x  dx  a ln  b ,  a, b    Khi giá trị a  2b 2 x A B C Hướng dẫn giải D ĐÁP ÁN C 1 2x    dx    2   dx   2 x  ln  x   2  ln 2 x 2 x 0 Ta có: I   Nên a  b  2 Do đó: a  2b  Câu 4: Giả sử dx  x   ln K Giá trị K A B C 81 Hướng dẫn giải D Đáp án B dx  x   ln x  1  ln Câu 5: Tính tích phân I   A x  x  1 B dx  ln a  b,  a, b    Giá trị a  b C D 11 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN I x  x  1 dx   x 1 x x  x  1 2 1 dx   dx x x  1   x  1 dx   Suy 2 1  x 2 I     dx    x  1 d  x  1  ln x x  1 x1 1 a   x  1 1  ln 1  ,b Câu 6: xdx  a  b ln c Biết b  c  1, với b, c  Khi P  abc x  Cho I   B 1 A C 2 D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C I  x  1  dx     dx  x  ln x     ln     x    x1  a  1; b  1; c   P  2 Câu 7: Cho I   b x dx  a  ln b Khi S  24a   11 x 1 B 1 A C Hướng dẫn giải D 25 ĐÁP ÁN D I x dx x 1    dx    x    dx x 1 x 1 0 x 11  x3  13    x  ln x     ln  24  13 a , b   S  25 24 Câu 8: Cho A a  b C a  b x2  x  1 x  dx  a  ln b Chọn mệnh đề đúng: B 2a  b  b2  D a  b Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2  x2   x2  x  1        ln x   dx x dx xdx dx   x1   x     x1     1 1 2 1 3   ln   ln   ln 2 3  a  , b   a  b 2 I  Câu 9:  x  1 x 1  A  dx  a  ln b, a, b    Khi S  B ab a b C D 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D I4   x   2x x2  1 1d 0   dx   1  2x  2xdx dx      dx   dx   2 x  1 0 0 x 1  x  1  x2    x  ln x     ln  a  1, b   S  3 Câu 10: Cho I   A abc x3  c dx  a   b   ln b  c ln , a, b, c    Khi P  2 x  2x  abc 22 B 20 C 24 D 26 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1  x  1  x    7x   dx    x   dx  x    dx     x  1 x    x  2x   x  2x  0 0 I x3   x2     x     2x  ln x   ln x    dx    x  x 1  0 0   ln  ln a  20 , b  2, c   P  Câu 11: Cho I   A  ln 125 2x  B   A  dx     dx Giá trị I  A  B    x  4x  x x   B ln 125 C 125 ln D 125 ln Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: 2x  x  4x   2x  A B    x  1 x   x  x  Từ 2x    A  B  x  3A  B  x  1, x  3  LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  x  liên tục đoạn Ví dụ 10: Cho hàm số f 1; e  , biết f x dx  1, f  e   Giá trị x e  e I   f '  x  ln xdx A B C Hướng dẫn giải D ĐÁP ÁN D dx  u  ln x du  x  Đặt  dv  f '  x  dx  v  f  x   e f x f x   f '  x  ln xdx  f  x  ln x   dx  f  e    dx    x x 1 e e e 1 0 1 Ví dụ 11: Cho hàm số f  x  liên tục  có  f  x  dx  2;  f  x  dx  Tính I   f  2x   dx A I  B I  1 1 1 C I  Hướng dẫn giải D I  Có I   f  2x   dx   f 1  2x  dx   f  2x  1 dx 1 12    f 1  2x  d 1  2x    f  2x  1 d  2x  1 1 21  1 1 1 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx     23 20 20 20 2 k Ví dụ 12: Tìm tất giá trị thực tham số k để   2x  1 dx  lim x 0 k  A  k  k  B  C  k  2 Hướng dẫn giải  k  1  k  2  x 1 1 x  k  1 D  k  ĐÁP ÁN D  2x  1 Ta có   2x  1 dx    2x  1 d  2x  1  21 k k Mà lim  x 0 x 1 1  lim x 0 x   k  2k  1    lim x 1 1 x 1 1   x x 1 1 x 0  2 x 1 1  2k  1    2k     k  x 1 1 Khi   2x  1 dx  lim     k  1 x 0 x  k LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 60 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN a dx ba f  x  f  a  x   Ví dụ 13: Cho f  x  hàm liên tục đoạn  0; a  thỏa mãn  ,   1 f x c f  x   0, x   0;a  b phân số tối giản Khi b  c có giá trị thuộc khoảng b, c hai số nguyên dương c đây? A 11; 22  B  0;9  C  7; 21 D  2017; 2020  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x   t  a; x  a  t  0 a a a f  x  dx dx dt dx dx     1 f  x a 1 f a  t  1 f a  x 1 1 f  x 0 f x a Lúc I   a f  x  dx a dx Suy 2I  I  I     1dx  a  f  x  0  f  x  0 a Do I  a  b  1; c   b  c  Cách 2: Chọn f  x   hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính I  a  b  1; c   b  c  3 Bài tập rèn luyện tốc độ Cho hàm số f  x  liên tục  Câu 1:  f   dx  4, x x   f  sin x  cos xdx  Giá trị tích phân  f  x  dx B A C Hướng dẫn giải D 10 ĐÁP ÁN C  Xét  f  x  dx  Đặt t  x x  t  x, suy 2tdt  dx x   t  Đổi cận  x   t  Suy   f  x  dx  x  f  t  2dt   f  t  dt  LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 61 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN   Xét  f  sin x  cos xdx  Đặt u  sin x, suy du  cos xdx  x   u    f sin x cos x d x  Suy Đổi cận     0 0 f  t  dt x   u   3 0 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   Câu 2: Cho hàm số f  x  liên tục   f  tan x  dx  4, x2 f  x  0 x  dx  Giá trị tích phân 1 I   f  x  dx B I  A I  D I  C I  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A  Xét  f  tan x  dx  Đặt t  tan x, suy dt  dt dx   tan x  1 dx  dx  cos x 1 t2  x   t  1 f t  f  x  Khi   f  tan x  dx   dt   dx Đổi cận:   t 1 x 1 0  x   t  1 Từ suy I   f  x x f  x f  x  dx   d x   dx    x 1 x 1 0  Câu 3: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  tan x f  cos x  dx  1,  trị tích phân I   A f  2x x e2 e f  ln x  x ln x dx  Giá dx B C Hướng dẫn giải D ĐÁP ÁN D  ● Xét A   tan x f  cos x  dx  Đặt t  cos x LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 62 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Suy  tan xdx   dt  2 sin x cos xdx  2 cos x tan xdx  2t.tan xdx  dt 2t x   t   Đổi cận:   x   t   Khi  A   1 f  x f t  f t  f  x d d d t  t  x  1 x dx  2 1 t 1 t 1 x e2 ● Xét B   e f  ln x  x ln x 2 dx  Đặt u  ln x ln x ln x 2u dx du  dx  dx  dx  Suy du  x x ln x x ln x x ln x 2u x  e  u  Đổi cận:  x  e  u  4 4 f  x f u  f  x du   dx   dx  Khi  B   x 21 u 21 x ● Xét tích phân cần tính I   f 2x dx x  dx  dv Đặt v  x, suy  Đổi cận: x  v  Khi I   1  x   v    x   v  4 f v f  x f  x f  x dv   dx   dx   dx    v x x x 1 2 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  0;2 Biết f    Câu 4: f  x f 2  x  e 2 x2  x với x   0; 2 Giá trị tích phân I   x A  14 B  32 C  16 3   3x f   x  f  x dx D  16 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Từ giả thiết f  x  f   x   e x 4 x x2  f    LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 63 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN u  x  x du   x  x  dx x  3x  f '  x    Ta có I   dx Đặt  f ' x   f  x dv  f x dx v  ln f  x     Khi 2 I   x  x  ln f  x  2 f   1    x  x  ln f  x  dx   3  x  x  ln f  x  dx  3 J x  t Ta có J    x  x  ln f  x  dx  0    t  2 2    t   ln f   t  d   t       x     x   ln f   x  d   x     x  x  ln f   x  dx   Suy 2 0 J    x  x  ln f  x  dx    x  x  ln f   x  dx    x  x  ln f  x  f   x  dx    x  x  ln e x 4 x Vậy I  3 J   Câu 5: dx    x  x  x  x  dx  32 16 J 15 15 16    Cho hàm số y  f  x  liên tục   ;  thỏa mãn f  x   f   x   cos x Giá trị  2  tích phân I   f  x  dx  A I  2 B I  C I  Hướng dẫn giải D I  ĐÁN ÁN B Từ giả thiết, thay x  x ta f   x   f  x   cos x Do ta có hệ  f  x   f   x   cos x 4 f  x   f   x   cos x   f  x   cos x   f   x   f  x   cos x  f  x   f   x   cos x  Khi I     f  x  dx   cos xdx  sin x     2  LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 64 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1  Cho hàm số f  x  liên tục  ;  thỏa mãn f  x   f 2  Câu 6: I  A f  x x 1    x Giá trị tích phân  x dx B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Từ giả thiết, thay x 1 ta f    f  x   x x x Do ta có hệ  f   f   1  f  x   f  x   3x       f  x    x x 1 4 f  x   f       f  x     x  x  x x   x   f  1   3x x Khi I   2 f  x     dx     1 dx     x  x   x  1 x 2  2 1 Cách khác Từ f  x   f    x  f  x   x  f x Khi I   2 Xét J   1    x  1 1 f   2 f    f  x x x dx        dx  3 dx     dx x x  x 1 1  2 2   1 f   x  dx Đặt t  , suy dt   dx  t dx  dx   dt x x2 t2 x   x   t  Đổi cận:  x   t   2 2 f t  f  x  1 Khi J   tf  t     dt   dt   dx  I t x  t  1 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 65 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 2 Vậy I  3 dx  I  I   dx  1 Câu 7: f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x với x   Cho hàm số f    f     Giá trị f 1 A B C D 10 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Nhận thấy  f   x    f  x  f   x    f  x  f   x   Do giả thiết tương đương với  f  x  f   x    15 x  12 x       C  Suy f  x  f   x    15 x  12 x dx  3x5  x  C  f  f  1  f  x  f   x   3x5  x   f  x  x6   x  x  C ' f  x  f   x  dx    x  x  1 dx  2 Thay x  vào hai vế ta f  0 C'C' 2 Vậy f  x   x6  x3  x   f 1  Câu 8: Cho 1 1  f  x  dx  Giá trị  f  x  1 dx A B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt 2x   u  2dx  du  I  Câu 9: Cho  1 A 1 f  u  du    1 f  x  dx  5,  f  t  dt  2 22 B 1 g  u  du  Tính 20 C Hướng dẫn giải   f  x   g  x   dx 1 D 10 ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 66 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 4 4 Ta có  f  t  dt    f  t  dt  2   f  t  dt   f  x  dx  Suy 5 5 5 4 1 1 1  f  x  dx   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  Khi 4   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx 1 1 1 4 1 1   f  x  dx   f  x  dx   g  u  du   22  3 Câu 10: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  tan x   cos x, x   Giá trị I   f  x  dx 2 A B C 2 D  Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A   f  tan x   cos x  f  tan x      tan x    f x  x 1  1   f  x  dx  2 Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: + Nếu f  x  liên tục  a; b b  a b f  x  dx   f  x  dx a b + Nếu f  x  liên tục  a; b m  f  x   M m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a b b  b + Nếu f  x  , g  x  liên tục  a; b   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx dấu "  " xẩy a a  a f  x   k g  x  + Bất đẳng thức AM-GM LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 67 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx  1 0 x f  x  dx  Giá trị phân  f  x  dx A B C D Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B Dùng tích phân phần ta có  x f  x  dx  1 x3 f  x    x f '  x  dx Kết hợp với giả thiết f 1  , 30 ta suy  x f '  x  dx  1 1  x7 Theo Holder  1    x f '  x  dx    x dx.  f '  x   dx  0  Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x   kx3 , thay vào  1  x f '  x  dx  1 ta k  7 Suy f '  x   7 x3  f '  x   7 x , x   0;1  f  x    x  C   C  f 0 7 7  f  x    x    f  x  dx  4 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn f 1  , 11  x f  x  dx  78  f   x  d  f  x    13 Giá trị f   A B 251 C 256 D 261 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2  12 4 2   Theo Holder      x f  x  dx    x dx.  f   x   dx   13 13 169  13   0   f   x   x6  f  x   f 1 1 C  x  C  7 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 68 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Vậy f  x   261 x   f  2  7 Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục   f   x  0;1 , thỏa mãn f 1  2, f    dx  Tích phân   f  x   2018 x  dx A B 1011 C 2018 Hướng dẫn giải D 2022 ĐÁP ÁN B 1  1 Theo Holder    f '  x  dx    dx.  f '  x   dx  1.4  0  0    f '  x    f  x   x  C   C  f 0 Vậy f  x   x    f  x   2018 x  dx  1011 Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f   x  liên tục  0;1 , thỏa mãn f 1  ef    dx    f   x   dx  Mệnh đề sau đúng? f  x A f 1  2e e 1 B f 1  C f 1  2e2 e2  D f 1   e  2 e 1  e  2 e 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có  1 AM  GM f '  x   2 dx         2 f x x f x x ' d ' d dx        0  f  x   f  x  0  f x      ln f  x   ln f 1  ln f    ln Mà   f 1  ln e  f 0 dx  f  x f ' x  f ' x dx  nên dấu ''  '' xảy ra, tức f '  x           f  x f  x f  x f  x  f '  x  dx   xdx   x  C  f  x   x  2C Theo giả thiết f 1  ef   nên ta có  2C  e 2C   2C  e 2C  C  LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 e 1 Page 69 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f  x  2x  2 2e2  f      e2  e2  e2  Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương  0;1 , có đạo hàm dương liên tục  0;1 , thỏa 1 mãn f      f  x    f   x    dx  3 f   x  f  x  dx Giá trị I   f  x  dx   0 A   B  e  1 e 1 e 1 C D e2  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có f  x f  x f  x    f '  x     f '  x     2 3 f  x f  x   f '  x    f ' x f  x 2 3 Suy 3 0  f  x    f '  x   dx  30 f '  x  f  x  dx 1 Mà   f  x    f '  x    dx  3 f '  x  f  x  dx nên dấu ''  '' xảy ra, tức   0  f '  x     f  x  f  x  f ' x  f  x x C f ' x f ' x 1   dx   dx  ln f  x   x  C  f  x   e f  x f  x 2 x Theo giả thiết f     C   f  x   e   f  x  dx    e 1 Bài tập rèn luyên tốc độ Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;   , thỏa mãn   f   x  sin xdx  1    f  x  dx   Giá trị tích phân  xf  x  dx A   B   C  D  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 70 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN    0 Theo Holder 1   f  x  cos xdx   f  x  dx  cos xdx   f  x  Câu 2:    cos x   xf  x  dx   x cos x  dx       Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa t f 1  0,   f   x  x 0 cos   f  x  dx  Giá trị ích phân A  B  dx  2  f  x  dx C  D  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Theo Holder 2  x  2    x      f x x x f x x sin ' d sin d ' d                   4 0       f ' x    x  x  f 1  sin    f  x   cos    C  C      x  Vậy f  x   cos     f  x  dx     Câu 3: mãn  Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương  0;1 , có đạo hàm dương liên tục  0;1 , thỏa xf   x  1 dx  f    1, f 1  e Giá trị f   f  x 2 A B C Hướng dẫn giải e D e ĐÁP ÁN C Hàm dấu tích phân xf '  x  f ' x  x , x   0;1 Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f  x f  x f ' x , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau: f  x f ' x xf '  x   mx  m với m  x   0;1 f  x f  x Do ta cần tìm tham số m  cho LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 71 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f ' x  xf '  x  d mx x m    0  f  x  0 f  x  dx   hay ln f  x  m x2  m  20 Để dấu ''  '' xảy ta cần có   Với m  đẳng thức xảy nên   m  ln f 1  ln f    m m  m m  m  m  f ' x  4x f  x f ' x dx   xdx  ln f  x   x  C  f  x   e x C f  x  f    1 Theo giả thiết   C   f  x   e2 x  f    e 2  f 1  e Cách Theo Holder 2  xf '  x    f ' x  f ' x f 1 12    dx     x dx    xdx. dx  ln   f  x    f x f x f           f ' x Vậy đẳng thức xảy nên ta có  kx, thay vào f  x Suy Câu 4:  xf '  x  dx  ta k  f  x f ' x  x (làm tiếp trên) f  x Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn   f  x  f   x  dx  1 f    1, f 1  Giá trị f   2 A B C e D e Lời giải ĐÁP ÁN A Hàm dấu tích phân  f  x  f '  x   Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f  x  f '  x  , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau: LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 72 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f  x  f '  x    m  m f  x  f '  x  với m  Do ta cần tìm tham số m  cho    f  x  f '  x    m dx  m  f  x  f '  x  dx hay f  x  m  m   m  m Để dấu ''  '' xảy ta cần có  m  m  m   f  x f ' x  Với m  đẳng thức xảy nên  f  x  f '  x       f  x  f '  x   1 1  f  x  f '  x   1   f  x  f '  x  dx    dx   f  x f ' x    f  x  x   1 (vô lý) f  x f  x  f '  x  dx   dx   x  C  f  x   x  2C  f    1 1 Theo giả thiết   C   f  x   x   f    2 2  f 1   Cách Ta có f  x  f '  x  dx  f  x   f 1  f     2 1  2 Theo Holder    f  x  f '  x  dx    dx.  f  x  f '  x   dx  1.1  0  Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x  f  x   k , thay vào  f  x  f '  x  dx  ta k  Suy f '  x  f  x   (làm tiếp trên) Câu 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f   x  liên tục 1; 2 , thỏa mãn  f   x   1 xf  x  dx  24 f 1  1, f    16 Giá trị f 2 A B   C Hướng dẫn giải D ĐÁP ÁN D LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 73 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f '  x    f '  x     Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm Hàm dấu tích phân  xf  x  x f  x f ' x f  x , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f '  x   f ' x  mx  m với m  x  1; 2 xf  x  f  x Do ta cần tìm tham số m  cho   f '  x     mx  dx  m f '  x  dx  1  xf  x  1 f  x     hay 24  2m  m f  x  24  Để dấu ''  '' xảy ta cần có 24  2m  m  f  2   2m f 1   24   12 m  m  16  2m  12 m  m  16  f '  x   f ' x  16 x   2x Với m  16 đẳng thức xảy nên  xf  x  f  x  f ' x f  x d x   xd x  f  x   x2  C  f  x    x2  C   f 1  Theo giả thiết   C   f  x   x4  f  f    16 Cách Ta có  f ' x f  x f ' x dx  2. f  x    dx  f  x  2   f  2   f 1    2  f ' x     f '  x   f ' x x2 dx     x dx    xdx. dx  24  36 Theo Holder     f  x    xf  x  xf x       Vậy đẳng thức xảy nên ta có Suy f ' x f  x f ' x xf  x  k x  f ' x f  x  kx, thay vào  f ' x f  x dx  ta k   x (làm tiếp trên) LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page 74 ... HÀM TÍCH PHÂN CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN BÀI TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM Dang 1: Tích phân. .. NIỆM TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Cho f  x  hàm số liên tục đoạn a, b  Giả sử F  x  nguyên hàm f  x  đoạn a, b  Hiệu số F  b   F  a  gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân. .. 67 Các ví dụ rèn luyện kĩ 68 Bài tập rèn luyên tốc độ 70 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ SĐT: 0834332133 Page BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BÀI TÍCH PHÂN A KIẾN