Các dạng bài tập vận dụng cao hệ tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một.. Điểm O được gọi là gốc tọa độ.[r]

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Hệ tọa độ không gian

Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vng góc với đơi

Gọi , ,  i j k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz 2 Tọa độ vectơ

Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi

 

u x; y; z  u xi y j zk.   

Chú ý:

1) 00;0;0 

2)

1 2 3

a b

a b a b

a b

  

  

  

 

3) a phương  

1

2

3

a kb

a k

b b b

a kb

      

 



  

Biểu thức tọa độ phép toán vectơ Cho hai vectơ aa a a1; ;2 3,bb b b1; ;2 3

 

k số thực tùy ý Khi ta có:

 a b  a1b a1; 2b a2; 3b3

 a b a1b a1; 2b a2; 3b3  

 k a.ka ka ka1; 2; 3

 a b a b1 a b2 2a b3 3  

Ứng dụng tích vô hướng:

 a b a.b 0  a b1 1a2.b2a b3 30

 2 2

 2 2 a  a  a a a

 

   1 2

2 2 2

1

3

3

a b a b a a.b

cos a;b

a b a a b b

b a b               Với a 0, b 0.   

3 Tọa độ điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý Khi M x; y; z( )OMxi y j zk  

Tính chất

 Nếu A x ; y ; y A A Avà B x ; y ; y B B B

 B A B A C A

AB x x ; y y ;z z 

Khi  B A 2 B   

2

B

A A

AB AB  x x  y y  z z

 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB

A B A B A B

x x y y z z

; ;

I

2 2

  

 

 

 

 Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

C C

A B A B A B C

x x y y z z

; ;

3

x y

3 z

G    







 

 Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD

A B C D A B C D A B C D

x x x x y y y y z z z z

G ; ;

4 4

        

 

 

 

4 Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ bb ;b ; b 3 

Tích có hướng hai vectơ a b  vectơ vuông góc với hai vectơ a b , kí hiệu a , b  xác định sau:

2 3 1

2 3 1

a a a a a a

a , b ; ;

b b b b b b

 

    

   

 

a2 3b a b ;a b3 a b1 3; ba1 a2 1b 

   

Tính chất

 a phương với a bb ,   0.

 a , b vng góc với hai vectơ a b 

Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (x; y; z) ta có khẳng định sau:

M  O M0; 0; 

MOxy z 0, tức M x; y;0  

MOyz x 0, tức M 0; y; z  

MOxz y 0, tức M x;0;z  

M Ox   y z 0, tức M x;0;0  

M Oy   x z 0, tức M 0; y;0  

 b ,a  a , b  

 a , b   a b sin a ; b      5 Phương trình mặt cầu

Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu tâm I a; b;c bán kính R có phương trình x a  2 y b  2 z c2R 2

Ngược lại phương trình

 

2 2

x y z 2Ax 2By 2Cz D    

Với A2B2C2 D 0 phương trình mặt cầu tâm I  A B C; ;  có bán kính R A2B2C2D.

Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là:

2 2 0.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz 1 Phương pháp

Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép tốn vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác,

a, b  phương

a , b 0

a , b    a , b 

 a , b   a b sin a ; b    

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz

Hệ tọa độ Đề-các vng góc Oxyz gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz

Điểm O gốc tọa độ

Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz   i, j, k

Các mặt phẳng tọa độ:

Oxy , Oyz , Ozx     

HỆ TỌA ĐỘ

KHÔNG GIAN Tích có hướng

Tích có hướng hai vectơ vectơ

 3

a a ;a ;a , bb ;b ; b 1 2 3

2 3 1

2 3 1

a a a a a a

a , b ; ;

b b b b b b

 

    

   

 

a2 3b a b ;a b3 a b1 3; ba1 a2 1b 

   

Tọa độ vectơ Tọa độ điểm

 

u x; y;z u xi y j zk



   



    M x; y;z 

OM xi y j zk

   

2 2 2 2

x y z

u  u    AB x Bx ; yA By ; zA CzA 

Biểu thức tọa độ phép toán vectơ

 3

a a ;a ;a , bb ;b ; b 1 2 3

 1; 2; 3

a b   a b a b a b

 3

k.a ka ;k a ;k a với k số thực 1 2 3

2 Bài tập

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho a2; 2;0 , b 2; 2;0 , 2; 2;2  c  Giá trị a b c   

A.6 B. C.11 D. 11

Hướng dẫn giải Chọn D

T a có a b c    2;6;2 nên   a b c   226222  44 11.

Bài tập Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1; 2;3 , 1;0;1  B   Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là:

A. 0;1;1  B 0; ;2 3

 

 

  C. 0; 2;  D.   2; 2; 

Hướng dẫn giải

Tọa độ trọng tâm tam giác là: G

G

G

1

x

3

2 0 2

y G 0; ;

3 3

3 z

3

 

  

 

 

     

  



 

  



Chọn B

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho vectơ a1; 2;4 ,  bx y z0; ;0 0 ) phương với vectơ a Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn b  21 Giá trị tổng x0y0z0

A. 3 B.6 C. 6 D.3

Hướng dẫn giải Chọn A

Lại có b  21 suy k2 4k2 16k2 21 k k

 

    

  

Với k 1 ta có b 1; 2; ,  suy góc bvà Oy thỏa mãn   b.j

cos b,Oy ,

b j



  

  b.j   2

Suy góc tạo b Oy góc tù Suy k 1 khơng thỏa mãn Với k 1 ta có b   1;2; ,  suy góc bvà Oy thỏa mãn

  b.j

cos b,Oy ,

b j



  

  b.j 0.  

Do b   1;2;   Suy x0y0z0     1

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có A 3; 1;1 , 

hai đỉnh B, C thuộc trục Oz AA 1 (C không trùng với O) Biết vectơ ; ;u(a b 2) (vớia, b) vectơ phương đường thẳng A C Tính T a2b2.

A. T 5. B. T 16 C. T 4. D. T 9.

Hướng dẫn giải Chọn B

Lấy M trung điểm BC Khi ta có AM BC

AA BC

    

 nên BCA M M;

suy M hình chiếu A trục Oz

 

M 0;0;1 A M 2.

 

Mặt khác AM A M 2AA2  3. Lại có ABC nên AM 3BC

2

 

BC MC

   

Gọi C 0;0;c ,c 0   suy MC c c

MC c 1

c

 

       ( loại c 0 ) C 0;0;  

 

A C   3;1;1 vectơ phương đường thẳng A C Suy u  3;2;2 vectơ phương A C Vậy a 2 3;b2 Suy T a2b2 16.

1 Phương pháp giải

Để tính tích có hướng hai vectơ, ta áp dụng công thức:

2 3 1

2 3 1

, a a ;a a a; a

a b

b b b b b b

 

    

   

 

a2 3b a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a2 1b 

Bài tập: Tính tích có hướng hai vectơ

1;0;1 , 2;1; 1

  

 

a b

Hướng dẫn giải

 

0 1 1

, ; ; 1;3;1

1 1 2

a b  

    

     

 

2 Bài tập mẫu

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ,a b  khác 0. Kết luận sau sai?

A ,3 a b3a b ,  B. 2 , a b2a b , 

C. 3 ,3 a b3a b ,  D a , b   a b sin   a , b  Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: ,3 a b3a b,39a b ,  (C sai)

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a1; 2;1 , b0;2; ,  c(m,1;0 ) Tìm giá trị thực tham số m để ba vectơ ; ;a b c  đồng phẳng

A. m 1. B. m 0. C. m

4

  D. m

4  Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có a b ,     4;1;2 

Ba vectơ ; ;a b c   đồng phẳng a, b c 4m m

 

        

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A0;0;3 , 2; 1;0 , B   C3; 2; ,

1;3;5 ,

D E4;2;1 tạo thành hình chóp có đáy tứ giác Đỉnh hình chóp tương ứng

A.Điểm C B.Điểm A C.Điểm B D.Điểm D

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét đáp án A, giả sử C đỉnh hình chóp, ta có:

2; 1; , 1;3; , 4; 2; , 3;2;1      

AB   AD AE  AC

AB, AD AE 4.7 2.7 2.7 AB, AD AC 3.7 2.7 1.7 14

     

 

 

     

 



     

Suy A, B, D, E đồng phẳng Vậy điểm C đỉnh hình chóp

Bài tập Trong không gian Oxyz cho điểm A1;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;3 , 2; 2;0  B  C  D   Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D?

A.10 B.7 C.5 D.6

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có AB  1;2;0 , 1; 2;0 , AD   suy điểm A, B, D thẳng hàng

Từ xác định vị trí điểm hệ trục độ Oxyz đếm trực tiếp ta có mặt phẳng qua điểm O, A, B, C, D là:

OCB , , , ,OCA OCD OAB ABC

Dạng Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích thể tích 1 Phương pháp giải

 Diện tích hình bình hành: SABCD  AB, AD  

 Tính diện tích tam giác: SABC AB, AC   

 Tính thể tích hình hộp: VABCD.A B C D    AB, AC AD    

 Tính thể tích tứ diện: ABCD

V AB, AC AD

6  

  

   2 Bài tập

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2;0 , 2;1; , 1;3;1  B  C  

Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

A. 10 B.3 10

5 C.

10

5 D. 10

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: AB1; 1;2 ,  AC  2;1;1 , 3;2; 1 BC   

Suy AB AC  6;BC 14 Suy SABC AB, AC 35

2  

Gọi RABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có ABC

ABC

AB.AC.BC 6 14 10

R

4S 4. 35

2

  

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho A2; 1; ,   B 3;0;1 , C(2; 1;3) D nằm trục Oy Thể tích tứ diện ABCD Tọa độ D

A. D 0; 7;0    B. D 0;8;0  

C. D 0; 7;0   D 0;8;0   D. D 0;7;0  D 0; 8;0   

Hướng dẫn giải Chọn C

Vì D Oy nên D 0; y;0 Khi Thể tích tứ diện ABCD  

1

V AB, AC AD 4y

6  

     

Theo đề ra, ta có 4y y y

       



Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có tọa độ đỉnh

0;0;0 , 0; ;0 ,   3; ;0 0;0; 

2

 



 

 

 

a a

A B a C và A a Gọi D trung điểm cạnh BB' M di động

trên cạnh AA' Diện tích nhỏ tam giác MDC' A

2 3

a B 5

a C 6

a D 15

a

Ta có    

 

  a a

CC AA C ; ;2a

2

 

  

 

CC BB B 0;a;2a

Điểm D trung điểm BB' nên D0; ; a a (0;0; )

M t với t 2a.  Ta có        

 

 a 3 a 

DC ; ;a ,DM 0; a;t a

2

Ta có:

 



 

 

  

     

2 2

2 2

MDC

a 2t 3a 6a

1 a 4t 12at 15a a

S DC ,DM

2 4

Suy minSMDC a 62

4  t a

2

Dạng 4: Phương trình mặt cầu 1 Phương pháp giải

Cách viết phương trình mặt cầu:

 Mặt cầu tâm I a; b;c , bán kính R có phương trình 

x a  2 y b  2 z c2R 2

Bài tập: Phương trình mặt cầu tâm I2; 1;1 ,  bán kính R = x 2  2 y 1  2 z 12 9.

 Xét phương trình:

 

2 y2 z2 2ax 2by 2cz d *

x       

Ta có  * x22ax  y22by  z22cz d

x a  2 y b  2 z c2 a2b2 c2 d.

 

Điều kiện để phương trình (*) phương trình mặt cầu a2b2c2 d.

Khi (S) có  

 

   



 

 2 2

taâm I a; b; c

bán kính R a b c d Đặc biệt mặt cầu  S : x2y2z2 R2 (S) có

 

  

Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

 S : x2y2z22x 6y 6z 0.    Tính diện tích mặt cầu (S)

A.100  B.120  C.  D. 42 

Hướng dẫn giải Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm I 1; 3;3  , bán kính r 9 5.    Vậy diện tích mặt cầu 4 r 24 5 100 

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho điểm I 1; 2;3    Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho AB 3.

A x 1   2 y 2  2 z 32 16 B. x 1 2(y 2 )2 z 32 20. C. x 1  2 y 2  2 z 3225 D. x 1  2 y 2  2 z 329 Chú ý:

Tính khoảng cách từđiểm A đến đường thẳng :

- Xác định điểm M 

- Áp dụng công thức: d A,  AM, u u

 

 

 

  

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi H trung điểm ABIHAB HIH d I; AB  dI;Ox

Lấy M 2;0;0  Ox IH dI,Ox IM,i i

 

 

    

 



Bán kính mặt cầu cần tìm R IA  IH2HA2 4.

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x 1  2 y 2  2 z 12 9 hai điểm A 4;3;1 , B 3;1;3 ;    M điểm thay đổi (S) Gọi m, n giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P 2MA 2MB 2 Giá trị (m n)

A.64 B.60 C.68 D.48

Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) có tâm I 1;2; 1   bán kính R =

Lấy điểm E cho 2AE BE 0    E 5;5;    Ta có IE 5.

Dễ thấy điểm E điểm nằm mặt cầu (S)

Khi P 2MA 2MB2 2 ME AE   2 ME BE  2ME22AE2BE 2 P lớn nhỏ ME lớn nhỏ

max ME IE R 8; ME IE R 2.     

Do m max P 64  2AE2BE2; n mi n P 2AE  2BE2. Suy m n 60. 