Các dạng bài tập vận dụng cao phương trình mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.. Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng A..[r]

(1)

BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến

Vectơ nρ0ρ vectơ pháp tuyến   giá nρ vng góc với   Cặp vectơ phương mặt phẳng

Hai vectơ ,a bρ ρ không phương cặp vectơ phương   giá chúng song song nằm  

Chú ý:

 Nếu nρ vectơ pháp tuyến   kn kρ 0 vectơ pháp tuyến    Nếu ,a bρ ρ cặp vectơ phương   nρ  a bρ ρ,  vectơ pháp tuyến  

Phương trình tổng quát mặt phẳng

Ax By Cz D    với A2B2C2 0

 Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D   0 n( ; ; )A B C vectơ pháp tuyến ( )

 Phương trình mặt phẳng qua M x y z0 0; ;0 0 có vectơ pháp tuyến ( ; ; )n A B C là:  0  0  0

A x x B y y C z z  Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số Phương trình mặt phẳng   Tính chất mặt phẳng  

D Ax By Cz  0   đi qua gốc tọa độ O

A By Cz D  0   / / Ox   Ox

0

B Ax Cz D  0   / /Oy   Oy

C Ax By D  0   / /Oz   Oz

0

A B  Cz D 0    / / Oxy     Oxy

A C  By D 0    / / Oxzhoặc     Oxz

(2)

    Oyz

Nếu ( ) cắt trục toạ độ điểm ( ;0;0),(0; ;0),(0;0; )a b c với abc0 ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z

a b  c



Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng 2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A x y z A; A; A mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0

Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) tính theo cơng thức:

2 2

d( ,( ))A AxA ByA CzA D

A B C

  



 

 3 Vị trí tương đối

Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

1 1 2 2

( ) : A x B y C z D   0; ( ) : A x B y C z D   0

+) 1 1

2 2

( ) ( ) A B C D

A B C D

    

 

+) 1 1

2 2

( ) / /( ) A B C D

A B C D

   

 

+) 1

2

( ) ( ) A B

A B

  

  1

2

B C

B  C +) ( ) ( )   A A1 2B B1 2C C1 0

Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu

( ) : Ax By Cz D   0;

2 2

( ) : (S x a ) (y b )  (z c) R Để xét vị trí ( ) ( )S ta làm sau: +) Nếu d I ,  R ( ) khơng cắt ( )S

(3)

+) Nếu d I ,   R   cắt  S theo đường trịn có phương trình

2

2 2

( ) ( )

( ) :

0

x a y b z c R

C

Ax By Cz D

      

 

   



Bán kính  C r R2d [ ,( )]2 I 

Tâm J (C) hình chiếu vng góc I   4 Góc hai mặt phẳng

Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

1 1

( ) : A x B y C z D   0 ( ) : A x B y C z D2  2  2  2 0

Góc ( ) ( ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến , n n   Tức    

   2

2 2 2

1 1 2

cos , cosn n, n n A A B B C C

n n A B C A B C

 

  

     

 

   

 

Chùm mặt phẳng

 Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( )

và ( ) gọi chùm mặt phẳng  Gọi  d giao tuyến hai mặt phẳng

1 1

2 2

( ) :

A x B y C z D A x B y C z D

   

 

Khi  P mặt phẳng chứa  d mặt phẳng  P có dạng  1 1  2 2

m A x B y C z D     n A x B y C z D    với m2n2 0

(4)

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng 1 Phương pháp

1 Mặt phẳng   qua điểm M x y z 0; ;0 0 có vectơ pháp tuyến nρA B C; ;   0  0  0

A x x B y y C z z 

2 Mặt phẳng ( ) qua điểm M x y z 0; ;0 0 có cặp vectơ phương , a b  Khi vectơ pháp tuyến ( ) n[ , ].a b 

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho mặt phẳng  Q x y:  2z 2 Viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng  Q , đồng thời cắt trục Ox Oy, điểm M N, cho MN 2

A ( ) :P x y 2z 2 B ( ) :P x y 2z0 C ( ) :P x y 2z 2 D. ( ) :P x y 2z 2

Hướng dẫn giải Chọn A

( ) / /( )P Q nên phương trình mặt phẳng ( )P có dạng x y 2z D 0 (D 2)

Khi mặt phẳng ( )P cắt trục ,Ox Oy điểm (M D;0;0), (0; ;0)N D Từ giả thiết: MN 2 2 2D2 2 2D2 (do 2).D 

(5)

Chú ý: Mặt phẳng   qua điểm M x y z 0; ;0 0 song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 thì   có phương trình

 0  0  0 A x x B y y C z z 

Bài tập 2: Cho điểm (1;2;5).M Mặt phẳng ( )P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, , , ,A B C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( )P

A. x y z   8 B x2y5z30 0 C

x  y z . D. 1

5 x  y z . Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có OA (OBC) OA BC BC (OAM) BC OM (1)

AM BC

 

     

 

Tương tự AB OM (2)

Từ (1) (2) suy OM (ABC) hay OM ( )P Suy OM(1;2;5) vectơ pháp tuyến ( )P Vậy phương trình mặt phẳng  P

   

1 2 5 30

x  y  z   x y z 

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh (8; 14; 10);A   AD AB AC, , song song với ,Ox Oy Oz, Phương trình mặt phẳng BCD qua (7; 16; 15)H   trực tâm BCD có phương trình

A. x2y5z100 0 B. x2y5z100 0

C.

7 16 15 x y  z 

  D. 16 15

x y  z 

 

Hướng dẫn giải Chọn B

Theo đề ra, ta có (BCD) qua H(7; 16; 15),  nhận HA(1; 2;5) vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng BCD

( 7) 2( 16) 5( 15) 100

x y z

     

    

Vậy (BCD x) : 2y5z100 0

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z   3 cách ( ) khoảng

A. x y z   6 0;x y z  0 B. x y z   6

(6)

Gọi ( ) mặt phẳng cần tìm Ta có (0;0;3) ( )A   Do ( ) / /( )  nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng:

0

x y z m    với m3

Ta có d(( ), ( )) d( ,( )) | | 3

m

A 

    

  

6 | |

0 m m

m  

    



 (thỏa mãn)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm

x y z    x y z  0

Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

( ) :P x3z 2 0,( ) :Q x3z 4 Mặt phẳng song song cách ( )P ( )Q có phương trình là:

A. x3z 1 B. x3z 2 C. x3z 6 D. x3z 6 Hướng dẫn giải

Chọn A

Điểm M x y z( ; ; ) cách ( )P ( )Q d M P( ;( ))d M Q( ;( ))

3

| | | |

3

1 9

2

3

x z x z

x z

    



   

   

     

  

  

        

Vậy M thuộc ( ) : x3z 1 Nhận thấy ( ) song song với ( )P ( )Q

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;1 , B 3; 4;0 mặt phẳng ( ) :P ax by cz  46 0 Biết khoảng cách từ ,A B đến mặt phẳng ( )P Giá trị biểu thức T   a b c

A. 3 B. 6 C.3 D.6

Hướng dẫn giải Gọi H K, hình chiếu A B, mặt phẳng ( )P Theo giả thiết, ta có: AB3,AH6,BK3

Do ,A B phía với mặt phẳng ( )P

Lại có: AB BK  AKAH Mà AB BK  AH nên H K

Suy A B H, , ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H(5;6; 1)

Vậy mặt phẳng ( )P qua (5;6; 1)H  nhận (2; 2; 1)AB  vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2(x 5) 2(y 6) 1(z  1) 2x2y z 23 0

(7)

Vậy T     a b c

Dạng Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu 1 Phương pháp

Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H

Giả sử mặt cầu  S có tâm I bán kính ,R ta viết phương trình mặt phẳng ( ) qua H có vectơ pháp tuyến n IH

2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình

2 2

(x1) (y2)  (z 3) 12 mặt phẳng ( ) : 2P x2y z  3 Viết phương trình mặt phẳng song song với ( )P cắt ( )S theo thiết diện đường trịn ( )C cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn (C) tích lớn

A. 2x2y z  2 2x2y z  8 B. 2x2y z  1 2x2y z  11 C. 2x2y z  6 2x2y z  3 D. 2x2y z  2 2x2y z  2

Ta có ( ) / /( ) P nên ( ) : 2 x2y z d  0 (d 3)

Mặt cầu  S có tâm (1; 2;3),I  bán kính R2

Gọi  H khối nón thỏa mãn đề với đường sinh IM  R

Đặt ( , ( )).x h d I   Khi bán kính đường trịn đáy hình nón r 12x2

Thể tích khối nón  2 ( )

1 12

H

V   x x với 0 x Xét hàm số: ( ) 12 2

3

f x   x x với 0 x

(8)

Ta có

2 2

5 11

| 2.1 ( 2) |

( ,( )) 2

5

2 ( 1)

d d

d d I

d d

    

    

    

    

    



Chú ý: Cơng thức tính thể tích hình nón:

1

.2

3

V  hS R h

Trong R bán kính đáy, h chiều cao

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2 (z 1)24 điểm (2; 2; 2).A Từ A kẻ

ba tiếp tuyến AB AC AD, , với mặt cầu ( , ,B C D tiếp điểm) Phương trình mặt phẳng BCD A 2x2y z  1 B 2x2y z  3

C 2x2y z  1 D. 2x2y z  5 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có mặt cầu  S có tâm I(0;0;1) bán kính R2

Do AB AC AD, , ba tiếp tuyến mặt cầu ( )S với B C D, , tiếp điểm nên

AB AC AD

IA IB IC ID R

 

 

   

 trục đường tròn ngoại tiếp BCD ( )

IA BCD

 

Khi mặt phẳng BCD có vectơ pháp tuyến (2; 2;1)n IA Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp BCD J IA IJ BJ Ta có IBA vng B BJIA nên

2

2 4

3

IB

IB IJ IA IJ IJ IA

IA

      Đặt J x y z( ; ; ) Ta có IJ( ; ;x y z1);IA(2; 2;1) Từ

9 IJ  IA  

suy 8 13; ; 9 J 

 

Mặt phẳng (BCD) qua 8 13; ; 9 J 

  nhận vectơ pháp tuyến n(2;2;1) 

có phương trình:

8 13

2 2

9 9

x y z x y z

             

     

     

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :(x1)2(y1)2 (z 1)2 12 mặt phẳng

(9)

A 1; 1; 2    

 

  B (0; 1;3) C

3 ;0;2

 

 

  D. 0;3; 1  Hướng dẫn giải

Chọn D

Mặt cầu  S có tâm I(1;1;1) bán kính R2

Xét điểm M a b c( ; ; ) ( ); ( ; ; ) ( ) P A x y z  S nên ta có hệ điều kiện:

2 2

( 1) ( 1) ( 1) 12

2 11

x y z

AI AM IM

a b c

      

  



     

2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 12 (1)

12 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) (2) 2 11 (3)

x y z

x a y b z c a b c

a b c

     

           

  

  

   

Lấy (1) (2) ta có:

2 2 2

(x1) (y1)  (z 1) 12 ( x a) (y b )  (z c) 

2 2

12 (a 1) (b 1) (c 1) 

       

(a 1)x (b 1)y (c 1)z a b c

          

Vậy mặt phẳng qua ba tiếp điểm là:

( ) : (Q a1)x (b 1)y (c 1)z a b c    9

Kết hợp với (3) suy mặt phẳng qua điểm cố định (0;3;-1) Dạng Phương trình mặt phẳng đoạn chắn 1 Phương pháp

Phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm ( ;0;0), (0; ;0)A a B b (0;0; )C c với abc0 là:

x y z

a b  c 2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm (3;0;0), (2;2; 2)M N Mặt phẳng ( )P thay đổi qua M N, cắt trục Oy Oz, B(0; ;0), (0;0; )b C c với b c, 0 Hệ thức đúng?

A. b c 6 B. bc3(b c ) C. bc b c  D. 1 b c  Hướng dẫn giải

Chọn D

Mặt phẳng ( )P qua M(3;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c với b c, 0 nên phương trình mặt phẳng ( )P theo đoạn chắn là:

3

x y z

(10)

Mặt phẳng ( )P qua (2;2;2)N suy 2 1 1 3     b c b c

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm G1; 4;3  Phương trình mặt phẳng cắt trục tọa độ , ,

Ox Oy Oz , ,A B C cho G trọng tâm tứ diện OABC

A.

3 12 x y  z

B.

4 16 12 x y  z 

C. 3x12y9z78 0 D. 4x16y12z104 0

Giả sử ( ,0, 0); (0, , 0); (0;0; )A a B b C c

(1;4;3)

G trọng tâm tứ diện

4 4

A B C D

G

A B C D

G

A B C D

G

x x x x

x

y y y y

OABC y

z z z z

x

  

   

  

  



  

  

0 0 4.1

0 0 4.4 16

0 0 4.3 12

a a

b b

c c

      

 

              

Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là: 16 12 x y  z  .

Bài tập 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P qua điểm (1;2;3)

M cắt trục ,Ox Oy Oz, ba điểm , ,A B C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 12 12 2

OA OB OC có giá trị nhỏ

A. ( ) :P x2y z 14 0 B. ( ) :P x2y3z14 0 C ( ) :P x2y3z 11 D ( ) :P x y 3z14 0

Gọi H trực tâm ABC

Ta có BH AC AC (OBH) AC OH  1

OB AC



    

 



Chứng minh tương tự, ta có: BCOH  2 Từ (1), (2) ta có OH (ABC)

(11)

Vậy để biểu thức 12 12 12

OA OB OC đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn Mà OH OM

nên OH đạt giá lớn OM hay H M

Khi (OM  ABC) nên ( )P có vectơ pháp tuyến OM(1;2;3) Phương trình mặt phẳng ( )P

1(x 1) 2(y 2) 3(z   3) x 2y3z14 0

Bài tập 4: Trong không gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm M4; 4;1  chắn ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội 1?

2

A.1 B.2 C.3 D.4

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c với abc0 giao điểm mặt phẳng ( )P trục toạđộ Khi

đó ( )P có phương trình x y z

a b  c

Theo giả thiết ta có:

4 8, 4, 2

( )

8, 4,

1 1 1

| | | | | | 16, 8,

2 2 4

a b c

M P

a b c a b c

OC OB OA c b a

a b c

           

 

       

    

        



 



Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn

Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A1;0;0 , B 0;1;0  Mặt phẳng

x ay bz c    qua điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích

6 Giá trị a3b2c

A.16 B.1 C.10 D.6

Hướng dẫn giải Chọn D

Mặt phẳng qua điểm ,A B đồng thời cắt tia Oz C0;0;t với t0 có phương trình

1

x y z t    Mặt khác: OABC

1

6

V   OA.OB.OC 1

6 t

  

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng 1

1 1

x y z

x y z

        Vậy 1,a b  c 1

Suy a3b2c 1 3.1 6 

(12)

1 Phương pháp

Cho hai mặt phẳng:

( ) :P Ax By Cz D   0;

 P :A x B y C z D      0 Khi đó:

 ( )P cắt  P  A B C: :  A B C : : 

 ( ) / /P  P A B C D

A B C D

    

     ( )P  P A B C D

A B C D



    

     ( )P  P n( )P n P n n ( )P  P 0

0

AA BB CC 

   

Chú ý:

Nếu A0 tương ứng A 0

Nếu B0 tương ứng B 0

Nếu C0 tương ứng C 0

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x2y z  1 ( ) : 2 x4y mz  2

Tìm m để     song song với

Hướng dẫn giải

Ta có ( ) / /( ) 1

2 m

 

   

 

 

(vơ lý

1

  

 )

Vậy không tồn mđể hai mặt phẳng     , song song với

2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P có phương trình

( 1) 10

mx m y z   mặt phẳng ( ) : 2Q x y 2z 3 Với giá trị m ( )P ( )Q vng góc với nhau?

A. m 2 B. m2 C. m1 D. m 1

( ) :P mx(m1)y z 10 0 có vectơ pháp tuyến n1( ;m m1;1) ( ) : 2Q x y 2z 3 có vectơ pháp tuyến n2 (2;1; 2)

1

(13)

Dạng Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng 1 Phương pháp

Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 mặt cầu tâm ;I bán kính R

 ( ) ( )S khơng có điểm chung d I( ,( )) R

 ( ) tiếp xúc với ( )S d I( ,( )) R Khi ( ) tiếp diện

 ( ) ( )S cắt d I( ;( )) R

Khi  O có tâm hình chiếu I   bán kính r R2d I2( ;( ))

2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z26x4y12 0

Mặt phẳng cắt  S theo đường tròn có bán kính r3?

A. 4x3y z 4 26 0 B. 2x2y z 12 0

C. 3x4y5z17 20 0  D. x y z   0

Hướng dẫn giải Chọn C.

Phương trình mặt cầu  S x2y2z26x4y12 0.

Suy tâm I3; 2;0  bán kính R5

Ta gọi khoảng cách từ tâm I mặt cầu tới mặt phẳng đáp án h, để mặt phẳng cắt mặt cầu  S theo đường trịn có bán kính r3 h R2r2  25 4 

Đáp án A loại |18 26 | 26

h  

Đáp án B loại 14

h  Chọn đáp án C h4

Đáp án D loại

h  

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I1; 2; 2  mặt phẳng

( ) : 2P x2y z  5 Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( )P theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16

A. (x2)2(y2)2 (z 1)2 36.

B. (x1)2(y2)2 (z 2)29.

C. (x1)2(y2)2 (z 2)225.

D. (x1)2(y2)2 (z 2)216.

(14)

Chọn C

Ta có

2 2

| 2.1 2.2 |

( ;( ))

2

a d I P     

 

Bán kính đường trịn giao tuyến là: r S  16 4



Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến đường tròn nên ta có

2 2 9 16 25 5

R a r     R

Vậy phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R5 là:

2 2

(x1) (y2)  (z 2) 25

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình x2y2z22x4y6z 2 0

và mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z10 0. Tìm phương trình mặt phẳng   thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với  S ; song song với ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương

A. 4x3y12z78 0 B. 4x3y12z26 0 C. 4x3y12z78 0 D. 4x3y12z26 0

Mặt cầu ( )S có tâm I(1;2;3), bán kính R 1222  32 2 4

Vì ( ) / /( )  nên phương trình ( ) có dạng: 4x3y12z d 0,d 10 Vì ( ) tiếp xúc mặt cầu ( )S nên

( ,( )) 2 2 2

26 | 4.1 3.2 12.3 | 4 | 26 | 52

78 ( 12)

I

d d

d R d

d   

  

       



   



Do ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương nên chọn d 78 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z78 0

Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1 Phương pháp

Khoảng cách từ điểm M x y z0 0; ;0 0 đến mặt phẳng   :Ax By Cz D   0

 

  0

0, 2 2 2

Ax By Cz D

d M

A B C

  

 

 

2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng  P x: 2y2z10 0  Q x: 2y2z 3

A.

3 B.3 C.

8

3 D.

(15)

Chọn D

Vì    P / / Q nên d P   , Q d A Q ,  với A P Chọn A0;0;5   P   

2 2

0 2.0 2.5 2

d A Q     

 

Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng này đến mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng

Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A1; 2;3 , B 3; 4;  Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P : 2x y mz   1 độ dài đoạn thẳng AB

A. m2 B. m 2 C. m 3 D. m 2

Ta có υυυρAB2; 2;1AB 222212 3  

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P

2 2

| 2.1 1| | 3 | ( , ( ))

2

m m

d A P

m m

    

 

   (2)

Vì  2

2

| 3 |

( , ( )) 9( 1)

5 m

AB d A P m m m

m 

        



Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A1;2;1 , B2;1;3 ,

(3; 2;2), (1;1;1)

C D Độ dài chiều cao DH tứ diện A. 14

14 B.

14

14 C

4 14

7 D.

3 14 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có AB(1; 1;2), AC(2;0;1)[ AB AC; ] ( 1;3;2)  vectơ pháp tuyến mặt phẳng

(ABC)

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC)

1(x 1) 3(y 2) 2(z 1) x 3y 2z

            

Độ dài chiều cao DH tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến (ABC) Suy

2 2

| 1.1 3.1 2.1 | 14 ( , ( ))

14 ( 1)

DH d D ABC      

(16)

Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A a b c ; ;  với , ,a b c0 Xét  P mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từ điểm O đến mặt phẳng ( )P

A. a2b2c2 . B. 2 a2b2c2 . C. 3 a2b2c2 . D. 4 a2b2c2 .

Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng  P Khi

2 2

( ,( ))

d O P OH OA  a b c

Dạng Góc hai mặt phẳng 1 Phương pháp

Cho hai mặt phẳng     , có phương trình:  

 

1 1

2 2

:

A x B y C z D A x B y C z D

    

    

Góc     , bù với góc hai vectơ pháp tuyến n nυρ υυρ1, 2    •

 

1

cos ,

n n n n   

υρ υυρ

υρ υυρ 2

2 2 2

1 1 2

A A B B C C

A B C A B C

 



   

Chú ý: 0o      •,  90 o

2 Bài tập Bổ sung sau

Dạng Một số tốn cực trị

Bài tập 1: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A1;1;1 , B 1; 2;0 , C 3; 1; 2  M điểm thuộc mặt phẳng   : 2x y 2z 7

Tính giá trị nhỏ P 3MAυυυρ5MBυυυρ7MCυυυυρ

A Pmin 20. B Pmin 5 C Pmin 25 D Pmin 27 Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi điểm I x y z ; ;  cho 3υυρIA5IBυυρ7ICυυρ0.ρ Khi

     

 

3 23

3 20 23;20; 11

11

3

x x x x

y y y y I

z

z z z

      

   

 

           

 

         

(17)

Xét P 3MAυυυρ5υυυρMB7MCυυυυρ  3υυυρ υυρMI IA  5 υυυρ υυρMI IB  7 MI ICυυυρ υυρ 

3 

MI IA IB IC MI MI

 υυυρ υυρ υυρ υυρ  υυυρ 

min

P MI ngắn hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng   Khi đó:       

 

min 2

2

2 23 20 11

, 27

2

P d I        

  

Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3;5; , 5; 3;7  B   mặt phẳng ( ) :P x y z  0 Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng ( )P cho MA22MB2 lớn

A ( 2;1;1)M  B (2; 1;1)M  C (6; 18;12)M  D ( 6;18;12)M  Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi I thỏa mãn IA2IB 0

Khi  IO OA 2( IO OB ) 0  OI2OB OA  I(13; 11;19).

Ta có MA22MB2     MA 22 MB   MI IA  22  MI IB 2  MI2IA22IB2. 2

MA  MB lớn MI nhỏ Khi I hình chiếu vng góc M lên ( )P Ta tìm M(6; 18;12)

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M m( ;0;0),N(0; ;0), (0;0; )n P p không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m2n2p23 Giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP

A.

3 B. C

1

3 D.

1 27 Hướng dẫn giải

Chọn C

Do , ,M N P không trùng với gốc tọa độ nên m0,n0,p0

Phương trình mặt phẳng (MNP) là: x y z 1 x y z m n   p m n  p   Suy

2 2

1 ( , ( ))

1 1

d O MNP

m n p



 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m n p2, ,2 2 ba số dương

1

m 2

1 ,

n p ta có:

2 2 33 2

m n p  m n p

2 2 2

1 1

3

m n  p  m n p Suy  2 2

2 2

1 1

9

m n p

 

     

(18)

 2 

2 2

1 1

3 m n p

m n p

 

       

 

2 2 2

2 2

1 1 1 1

3

1 1

m n p m n p

m n p

         

 

Vậy ( ,( ))

d O MNP  Dấu "=" xảy m2 n2  p2 1

Vậy giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z 3 mặt cầu

2 2

( ) :S x y z 2x4y2z 5 Giả sử M( )P N( )S cho MN phương với vectơ

(1;0;1)

u khoảng cách M N lớn Tính MN

A. MN 3 B. MN 1 2 C. MN 3 D. MN 14 Hướng dẫn giải

Chọn C

 S có tâm I( 1;2;1) bán kính R1 Ta có:

2 2

| 2.2 2.1 |

( ,( ))

1 2

d I P       R

 

Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng  P  góc MN NH Vì MNυυυυρ phương với u nên góc  có số đo khơng đổi

MNH

 vng H có  •HNM nên cos cos

HN MN MN  HN

 Do MN lớn  HN lớn HN d I P( ,( )) R

Có cos cos( , )

P

u n

 

   nên

cos

MN  HN 



Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  P ax by cz:    3 (với a b c, , số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M0; 1; ,  N 1;1;3 không qua điểm H(0;0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị lớn Giá trị tổng

2 12 T  a b c

A. 16 B.8 C.12 D.16

Hướng dẫn giải Chọn D

(19)

Suy 1 7; ; 3 E  

 

Vậy mặt phẳng ( )P cần tìm mặt phẳng nhận 1; 1; 3 HE   

 



làm vectơ pháp tuyến qua M có phương trình     x y z

Suy

1 1 a b c

         