1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

Các dạng bài tập vận dụng cao cực trị số phức

15 64 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 15
Dung lượng 341,98 KB

Nội dung

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz... Hướng dẫn giải Chọn B[r]

(1)

BÀI CỰC TRỊ SỐ PHỨC A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Các bất đẳng thức thường dùng a.Cho số phức z z1, 2 ta có: +) z1  z2  z1z2 (1)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

+) z1z2  z1  z2 (2)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

b.Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho số thực a b x y, , , ta có: ax by  a2b2x2y2 Đẳng thức xảy ay bx

2 Một số kết biết

a.Cho hai điểm ,A B cố định Với điểm M ln có bất đẳng thức tam giác: +) MA MB AB  , dấu “=” xảy M nằm hai điểm ,A B

+) MA MB  AB, dấu “=” xảy B nằm hai điểm A M,

b.Cho hai điểm A B, nằm phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB  AB, dấu “=” xảy  Ba điểm ,A M B, thẳng hàng

+) Gọi A điểm đối xứng với Aqua d, ta có

MA MB MA MB A B     , dấu “=” xảy  Ba điểm A M B, , thẳng hàng

c.Cho hai điểm A B, nằm khác phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB  , dấu “=” xảy M nằm hai điểm A B,

+) Gọi A điểm đối xứng với Aqua d, ta có

MA MB  MA MB  A B , dấu “=” xảy  Ba điểm A M B, , thẳng hàng

d.Cho đoạn thẳng PQ điểm A không thuộc PQ, Mlà điểm di động đoạn thẳng PQ,

 

maxAM max AP AQ, Để tìm giá trị nhỏ AM ta xét trường hợp sau:

+) Nếu hình chiếu vng góc Hcủa A đường thẳng PQ nằm đoạn PQ minAMAH +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ không nằm đoạn PQ

 

(2)

e.Cho đường thẳng và điểm A không nằm  Điểm M  có khoảng cách đến A nhỏ hình chiếu vng góc A

f.Cho ,x y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A A A1 2 n Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F ax by  (a b, hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với số thực a b x y, , , ta có

 2 2 ax by  ab xy Dấu “=” xảy a b

xy

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp hình học 1 Phương pháp giải

Vi dụ: Cho số phức zthỏa mãn

   2

2 z z i z z Giá trị nhỏ z3i

A.3 B.

C. D.2 Hướng dẫn giải

Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ toán số phức Giả sử z x yi x y   ,    z x yi Khi Bất đẳng thức tam giác

1 2

zzzz Dấu “=” xảy z1kz k2 0

1 2

zzzz Dấu “=” xảy z1kz k2 0

1 2

zzzz Dấu “=” xảy z1kz k2 0

1 2

z z z z Dấu “=” xảy z1kz k2 0

(3)

sang ngơn ngữ hình học    2   2 2 z z i z z 2 2yi 4x i y x Gọi M x y A  ; ; 0; 3  điểm biểu diễn cho số phức z; 3 ithì z3iMA

Bước 2: Sử dụng số kết đã biết để giải tốn hình học

Parabol y x 2có đỉnh điểm O 0;0 , trục đối xứng đường thẳng x0 Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng parabol, nên ta có:

3

MA OA  Suy ra, minMA3 MO Bước 3: Kết luận cho toán số phức Vậy z3i 3, z0 Chọn A

2 Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho số phức zthỏa mãn z 3 4i 1 Môđun lớn số phức zbằng

A.7 B.6

C.5 D.4

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi M x y I   ; , 3; điểm biểu diễn cho số phức ;3

zi Từ giả thiết z 3 4i  1 MI 1

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zthỏa mãn giả thiết đường trịn tâm I 3; , bán kính r1

Mặt khác zOMOMđạt giá trị lớn OI r , Mlà giao điểm đường thẳng OMvới đường tròn tâm I 3; , bán

Nhận xét:

(4)

kính r1 Hay 18 24; 5 M 

 

Do đó, max zOI r   5 6, 18 24 5 z  i

Bài tập 2: Trong số phức zthỏa mãn z 2 4i  z 2i , số phức z có mơđun nhỏ

A. z 2 2i B. z 1 i C. z 2 2i D. z 1 i

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt z x yi x y   ,  Khi z 2 4i  z 2i    x y  d

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường thẳng d Do zOM nhỏ Mlà hình chiếu O d Suy M 2; hayz 2 2i

Nhận xét: Trong tất đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường thẳng d, đoạn vng góc OM ngắn

Bài tập 3: Cho số phức zthỏa mãn z   3 z 10 Giá trị nhỏ z

A.3 B.4

C.5 D.6

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách 1:

Gọi F13;0 ,  F2 3;0 , có trung điểm O 0;0 Điểm M biểu diễn số phức z

Theo cơng thức trung tuyến

2 2

2 2 1 2 1 2

2

MF MF F F

zOM   

Ta có  

2

2

1

2

1 50

2

MF MF

MFMF   

Đẳng thức xảy

   

1

1

4;0 50 36

min

10 4;0

M

MF MF

z

MF MF M

  

     

  

  ,

Khi z4i z 4i

Với số thực ,a b ta có bất

đẳng thức:  

2 2

(5)

Cách 2:

Gọi F13;0 ,  F2 3;0 , M x y  ; ; ,x y điểm biểu diễn số phức 3;3;z

Ta có F F1 2c  6 c 3 Theo giả thiết ta có MF1MF210, tập hợp điểm M đường elip có trục lớn 2a10 a ; trục bé

2

2b2 ac 2 25 8 

Mặt khác OMz nhỏ z4i z 4i Vậy giá trị nhỏ z

Với điểm M nằm elip, đoạn OM ngắn đoạn nối

O với giao điểm trục bé với elip

Bài tập 4: Xét số phức zthỏa mãn z i 3z i 10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z

A. 60

49 B.

58 49 C. 18

7 D.

16

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi A0; ,   B 0;1 , đoạn thẳng ABcó trung điểm O 0;0 Điểm Mbiểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến

2 2

2

2

MA MB AB

zOM   

Theo giả thiết 4MA3MB10 Đặt 10

a MA a MB  Khi

10 16

2 10

3 7

a

MA MB    AB     a   a

Ta có  

2

2 2 10 36

3

a a

MAMBa      

 

Do 36 24 5 82 576

7 a a 49

(6)

2

2

2

1

260 81

49 49

z

MA MB

MA MB z z

 

  

 

 

    

 

 

Đẳng thức z 1khi 24 25 25

z   i Đẳng thức

zzi Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16

7

Bài tập 5: Cho zlà số phức thay đổi thỏa mãn z   2 z Trong mặt phẳng tọa độ gọi M N, điểm biểu diễn số phức zz Giá trị lớn diện tích tam giác OMN

A.1 B.

C. D. 2

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt z x yi x y   ,   z x yi

Gọi F12;0 ,  F2 2;0 , M x y N x y  ; , ;  điểm biểu diễn số phức 2; 2; ;z z

Do ,M Nlà điểm biểu diễn số phức zz nên suy M N, đối xứng qua Ox

Khi SOMNxy

Ta có F F1 2 2c  4 c 2 Theo giả thiết ta có MF1MF2 4 2, tập hợp điểm M thỏa điều kiện elip có trục lớn

2a4 2 a 2 ; trục bé 2b2 a2c2 2 4   b 2 Nên elip có phương trình  

2

:

8

x y

E  

Do

2 2

1 2

8 2 OMN

xy

x y x y

Sxy

      

Đẳng thức xảy 2 x y

  

(7)

Bài tập 6: Cho số phức zthỏa mãn z i   z i Giá trị nhỏ P  i z 4 2i

A.1 B.

2

C.3 D.

2

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z x yi x y   , ; M x y ; điểm biểu diễn số phức z Ta có z i   z i  xy1i   xy1i

  2  2 2

2 1 2 1

x y x y

       0   x y   Ta có P i 1z 4 2i  

4 2

1

1 i

i z z i

i

     

  2 2

2 x y 2MA

     , với A 3;1  

min 2 2

3 1

2 ,

1

P MA d A  

     

Đẳng thức xảy M hình chiếu vng góc A đường thẳng  hay 5;

2 2

M     z i

 

Bài tập 7: Cho hai số phức z z1, 2thỏa mãn z1z2 6 z1z2 2 Gọi ,M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1

Pzz Khi mơđun số phức M mi

A. 76 B.76

C. 10 D. 11

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta gọi ,A B điểm biểu diễn số phức z z1, Từ giả thiết z1z2 6 OA OB   6 OI 3 với I trung điểm đoạn thẳng AB

1 2

(8)

Ta có 2 2 2 20 AB

OAOBOI   .

1

PzzOA OB P2 1212OA2OB240. Vậy maxP2 10M

Mặt khác, Pz1  z2  OA OB  OA OB  6 Vậy minP 6 m

Suy M mi  40 36  76

Bài tập 8: Cho số phức zthỏa mãn z    2 i z 3i 5 Giá trị nhỏ biểu thức P  z 4i

A.1 B.

5 C.

5 D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z; gọi A2; ,  B 1;3 điểm biểu diễn số phức 2  i; 3i Ta có AB5

Từ giả thiết z    2 i z 3i 5

  2 2   2 2

2 1

x y x y

        

5

MA MB MA MB AB MA MB AB

        

Suy M A B, , thẳng hàng (B nằm M A) Do quỹ tích điểm M tia Bt ngược hướng với tia BA

1

P  z i   2 2

1

x y

    , với C1;4  P MC Ta có AB  3;4phương trình đường thẳng : 4AB x3y 5

 ,  1 2 3.4 52

CHd C AB     

 ,    

2

1

CB     

Do

(9)

Dạng 2: Phương pháp đại số 1 Phương pháp giải

Các bất đẳng thức thường dùng: 1 Cho số phức z z1, 2 ta có: a z1  z2  z1z2 (1)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

b z1z2  z1  z2 .(2)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Cho số thực , , ,a b x y ta có ax by  a2b2x2y2

Đẳng thức xảy ay bx

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho số phức z a a3 , i a Giá trị a để khoảng cách từđiểm biểu diễn số phức zđến gốc tọa độ nhỏ

A.

2

aB.

2 aC. a1 D. a2

Hướng dẫn giải Chọn A

 2

2 3 2

2 2

zaa  a   

 

Đẳng thức xảy

a Hay 3 2 z  i

Nhận xét: Lời giải có sử dụng đánh giá

2 0, x   x

Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn điều kiệnz 2 4i  z 2i , số phức z có mơđun nhỏ

A. z 1 2i B. z  1 i C. z 2 2i D. z  1 i

(10)

Chọn C

Gọi z a bi a b   , 

2

z  i  z i  a  2 b 4i   ab 2i     a b 4  4 2 2 22 8 2

z b bi z b b b

           

Suy z 2 2      b a z 2i Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn 1

2 z

z i

   , biết

3

z  i đạt giá trị nhỏ Giá trị zbằng

A. B.

2 C.

2 D.

17 Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z a bi z   2i a b , 

1 z

z i

 

    z z 2i 2a4b  3 2a 3 4b

  2 2  2

5 5 20

2

z i b b b

         

Suy

1

3

min 5

2 1

a

z i z i

b

  

      

  

Vậy z

Bài tập 4: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 3 4i

zz  Giá trị lớn biểu thức z1  z2

A. B.

C. 12 D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có  2 2 2

1 2

2 zzzzzz 5  3 50

(11)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có  2

1 2 50

zzzz  

Gọi z1 x yi z, 2  a bi a b x y; , , , 

Đẳng thức xảy

1 2 2 2 25

z z i

z z z z z z                2 x y         a b        

Hay

7 1

;

2 2

z   i z   i

Thay z z1, 2 vào giả thiết thỏa mãn

Vậy, giá trị lớn biểu thức z1  z2

Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn biểu thức P  1 z 1z

A. 10 B. C. 15 D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có P 12321z2 1 z2 20 1 2 z22 10 Đẳng thức xảy

2 2 1 5

1 1 0 3 5 5

1

2

3 5

z x y x

z i

x

z x y

z y                                 

Vậy maxP2 10

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Giá trị lớn

z i

A. B.

Nhận xét: Lời giải sử dụng

bất đẳng thức

1 2

(12)

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có z 3 i  z 1 2i  4 3i   z 2i 4 3i 7 Đẳng thức xảy 4 , 13 16

5 2

z i k i k

z i

z i

    

   

   



Vậy giá trị lớn z 3 i

Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 4 Gọi M mlà giá trị lớn nhỏ môđun số phức z Giá trị

M m

A. B. 10

C.11 D. 12

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có z  z 3 4i  3 4i   z 4i 3 4i    4 M

Đẳng thức xảy    

4

3 4 , 5

27 36 4

5 k

z i k i k

z i z i

  

    

 

    

 

  



Mặt khác

 4 3  4 zz  i   i   z i   i    m

Đẳng thức xảy    

4

3 4 , 5

3 4

5 k

z i k i k

z i z i

   

    

 

 

  

 

  



Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức

1 2

zzzz

1 2

zzzz

Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z2 4 z z 2i Giá trị nhỏ z i

A. B.

C.1 D.

2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có z2 4 z z 2i  z2i z 2i  z z 2i

Chú ý: Với số phức 1,

(13)

2

z i z i z z i

    

2 2

2 ,

2

z i z i z i

z z i z a i a

z z i

        

         

 

 

Do

 

2

min 1

z i i i

z

z i a i i a

     

   

       

Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn z1z2i số thực z đạt giá trị nhỏ

A.

5

z  i B 5 z   i

C.

5

z   i D. 5 z  i Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi ; ,z a bi a b  

Ta có z1z2ia1a b 2b  2a b 2i Do z1z2i số thực 2a b     2 b 2a

Khi  

2

2 2 2 5 4

5 5

za   a  a   

 

Đẳng thức xảy 5 a b       

4

2 5

min

2

5 a z

b   

  

  

Vậy 5 z  i

Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức T     z i z i

A. maxT 8 B. maxT 4 C. maxT 4 D. maxT 8

(14)

Đặt z x yi x y   , , ta có

 2 2

1 2

z    x yi   x y

x 12 y2 2 x2 y2 2x 1         (*) Lại có

2

T     z i z i  xy1i   xy1i

2 2 1 2 4 2 5

x y y x y x y

        

Kết hợp với (*) ta

   

2 2 2 2

Txy   xyx y    x y Đặt T  x y, Tf t  2t 2 2 t với t  1;3 Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có '  1 ;  

2

f t f t t

t t

    

 

f  1 4, f  1 2, f 3 2 Vậy max f t  f  1 4 Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  

2 1

Tt   t   

Đẳng thức xảy t1

Bài tập 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z 1 z2 z 1 Khi giá trị M m

A. B.

C.

4 D.

9

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt z a bi a b   ,  t z Khi

   2

2 1 1 1 2 2

(15)

   

2 1 2 2 1 1 2 1

z   z ababi a bi    a  b  a b ai  2 2 2 2 2 2  2 2

2a a b 2a a 2a 1 a 2a

        

2 2a t

   

2

1 1

z z z t t

        (với 0 t 2, a21) Xét hàm số f t  t t21 với t 0; 2

Trường hợp 1:  0;1   1 2 1 t  f t        t t t t f  

  có f 0  f 1 1 nên    

   

0;1

0;1

5 max

4

min

f t f t

 

 

 

Trường hợp 2:

 1; 2   1 1,   2 1 0,  1; 2 t  f t      t t t t f t     t t

Do hàm số ln đồng biến  1;   

   

     

1;2

1;2

max

min 1

f t f f t f

 

  

 



Vậy    

   

0;2

0;2

max

6

min

M f t

M m

m f t

 

   

 

Ngày đăng: 25/02/2021, 08:26

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w