Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz... Hướng dẫn giải Chọn B[r]
(1)BÀI CỰC TRỊ SỐ PHỨC A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1 Các bất đẳng thức thường dùng a.Cho số phức z z1, 2 ta có: +) z1 z2 z1z2 (1)
Đẳng thức xảy
1
0
0, , 0,
z
z k k z kz
+) z1z2 z1 z2 (2)
Đẳng thức xảy
1
0
0, , 0,
z
z k k z kz
b.Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Cho số thực a b x y, , , ta có: ax by a2b2x2y2 Đẳng thức xảy ay bx
2 Một số kết biết
a.Cho hai điểm ,A B cố định Với điểm M ln có bất đẳng thức tam giác: +) MA MB AB , dấu “=” xảy M nằm hai điểm ,A B
+) MA MB AB, dấu “=” xảy B nằm hai điểm A M,
b.Cho hai điểm A B, nằm phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB, dấu “=” xảy Ba điểm ,A M B, thẳng hàng
+) Gọi A điểm đối xứng với Aqua d, ta có
MA MB MA MB A B , dấu “=” xảy Ba điểm A M B, , thẳng hàng
c.Cho hai điểm A B, nằm khác phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB , dấu “=” xảy M nằm hai điểm A B,
+) Gọi A điểm đối xứng với Aqua d, ta có
MA MB MA MB A B , dấu “=” xảy Ba điểm A M B, , thẳng hàng
d.Cho đoạn thẳng PQ điểm A không thuộc PQ, Mlà điểm di động đoạn thẳng PQ,
maxAM max AP AQ, Để tìm giá trị nhỏ AM ta xét trường hợp sau:
+) Nếu hình chiếu vng góc Hcủa A đường thẳng PQ nằm đoạn PQ minAM AH +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ không nằm đoạn PQ
(2)e.Cho đường thẳng và điểm A không nằm Điểm M có khoảng cách đến A nhỏ hình chiếu vng góc A
f.Cho ,x y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A A A1 2 n Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F ax by (a b, hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với số thực a b x y, , , ta có
2 2 ax by a b x y Dấu “=” xảy a b
x y
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương pháp hình học 1 Phương pháp giải
Vi dụ: Cho số phức zthỏa mãn
2
2 z z i z z Giá trị nhỏ z3i
A.3 B.
C. D.2 Hướng dẫn giải
Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ toán số phức Giả sử z x yi x y , z x yi Khi Bất đẳng thức tam giác
1 2
z z z z Dấu “=” xảy z1kz k2 0
1 2
z z z z Dấu “=” xảy z1kz k2 0
1 2
z z z z Dấu “=” xảy z1kz k2 0
1 2
z z z z Dấu “=” xảy z1kz k2 0
(3)sang ngơn ngữ hình học 2 2 2 z z i z z 2 2yi 4x i y x Gọi M x y A ; ; 0; 3 điểm biểu diễn cho số phức z; 3 ithì z3i MA
Bước 2: Sử dụng số kết đã biết để giải tốn hình học
Parabol y x 2có đỉnh điểm O 0;0 , trục đối xứng đường thẳng x0 Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng parabol, nên ta có:
3
MA OA Suy ra, minMA3 M O Bước 3: Kết luận cho toán số phức Vậy z3i 3, z0 Chọn A
2 Bài tập mẫu
Bài tập 1: Cho số phức zthỏa mãn z 3 4i 1 Môđun lớn số phức zbằng
A.7 B.6
C.5 D.4
Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi M x y I ; , 3; điểm biểu diễn cho số phức ;3
z i Từ giả thiết z 3 4i 1 MI 1
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zthỏa mãn giả thiết đường trịn tâm I 3; , bán kính r1
Mặt khác z OM Mà OMđạt giá trị lớn OI r , Mlà giao điểm đường thẳng OMvới đường tròn tâm I 3; , bán
Nhận xét:
(4)kính r1 Hay 18 24; 5 M
Do đó, max z OI r 5 6, 18 24 5 z i
Bài tập 2: Trong số phức zthỏa mãn z 2 4i z 2i , số phức z có mơđun nhỏ
A. z 2 2i B. z 1 i C. z 2 2i D. z 1 i
Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z x yi x y , Khi z 2 4i z 2i x y d
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường thẳng d Do z OM nhỏ Mlà hình chiếu O d Suy M 2; hayz 2 2i
Nhận xét: Trong tất đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường thẳng d, đoạn vng góc OM ngắn
Bài tập 3: Cho số phức zthỏa mãn z 3 z 10 Giá trị nhỏ z
A.3 B.4
C.5 D.6
Hướng dẫn giải Chọn B
Cách 1:
Gọi F13;0 , F2 3;0 , có trung điểm O 0;0 Điểm M biểu diễn số phức z
Theo cơng thức trung tuyến
2 2
2 2 1 2 1 2
2
MF MF F F
z OM
Ta có
2
2
1
2
1 50
2
MF MF
MF MF
Đẳng thức xảy
1
1
4;0 50 36
min
10 4;0
M
MF MF
z
MF MF M
,
Khi z4i z 4i
Với số thực ,a b ta có bất
đẳng thức:
2 2
(5)Cách 2:
Gọi F13;0 , F2 3;0 , M x y ; ; ,x y điểm biểu diễn số phức 3;3;z
Ta có F F1 2c 6 c 3 Theo giả thiết ta có MF1MF210, tập hợp điểm M đường elip có trục lớn 2a10 a ; trục bé
2
2b2 a c 2 25 8
Mặt khác OM z nhỏ z4i z 4i Vậy giá trị nhỏ z
Với điểm M nằm elip, đoạn OM ngắn đoạn nối
O với giao điểm trục bé với elip
Bài tập 4: Xét số phức zthỏa mãn z i 3z i 10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z
A. 60
49 B.
58 49 C. 18
7 D.
16
Hướng dẫn giải Chọn D
Gọi A0; , B 0;1 , đoạn thẳng ABcó trung điểm O 0;0 Điểm Mbiểu diễn số phức z
Theo công thức trung tuyến
2 2
2
2
MA MB AB
z OM
Theo giả thiết 4MA3MB10 Đặt 10
a MA a MB Khi
10 16
2 10
3 7
a
MA MB AB a a
Ta có
2
2 2 10 36
3
a a
MA MB a
Do 36 24 5 82 576
7 a a 49
(6)2
2
2
1
260 81
49 49
z
MA MB
MA MB z z
Đẳng thức z 1khi 24 25 25
z i Đẳng thức
z z i Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16
7
Bài tập 5: Cho zlà số phức thay đổi thỏa mãn z 2 z Trong mặt phẳng tọa độ gọi M N, điểm biểu diễn số phức zvà z Giá trị lớn diện tích tam giác OMNlà
A.1 B.
C. D. 2
Hướng dẫn giải Chọn D
Đặt z x yi x y , z x yi
Gọi F12;0 , F2 2;0 , M x y N x y ; , ; điểm biểu diễn số phức 2; 2; ;z z
Do ,M Nlà điểm biểu diễn số phức zvà z nên suy M N, đối xứng qua Ox
Khi SOMN xy
Ta có F F1 2 2c 4 c 2 Theo giả thiết ta có MF1MF2 4 2, tập hợp điểm M thỏa điều kiện elip có trục lớn
2a4 2 a 2 ; trục bé 2b2 a2c2 2 4 b 2 Nên elip có phương trình
2
:
8
x y
E
Do
2 2
1 2
8 2 OMN
xy
x y x y
S xy
Đẳng thức xảy 2 x y
(7)Bài tập 6: Cho số phức zthỏa mãn z i z i Giá trị nhỏ P i z 4 2i
A.1 B.
2
C.3 D.
2
Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi z x yi x y , ; M x y ; điểm biểu diễn số phức z Ta có z i z i x y1i x y1i
2 2 2
2 1 2 1
x y x y
0 x y Ta có P i 1z 4 2i
4 2
1
1 i
i z z i
i
2 2
2 x y 2MA
, với A 3;1
min 2 2
3 1
2 ,
1
P MA d A
Đẳng thức xảy M hình chiếu vng góc A đường thẳng hay 5;
2 2
M z i
Bài tập 7: Cho hai số phức z z1, 2thỏa mãn z1z2 6 z1z2 2 Gọi ,M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
1
P z z Khi mơđun số phức M mi
A. 76 B.76
C. 10 D. 11
Hướng dẫn giải Chọn A
Ta gọi ,A B điểm biểu diễn số phức z z1, Từ giả thiết z1z2 6 OA OB 6 OI 3 với I trung điểm đoạn thẳng AB
1 2
(8)Ta có 2 2 2 20 AB
OA OB OI .
1
P z z OA OB P2 1212OA2OB240. Vậy maxP2 10M
Mặt khác, P z1 z2 OA OB OA OB 6 Vậy minP 6 m
Suy M mi 40 36 76
Bài tập 8: Cho số phức zthỏa mãn z 2 i z 3i 5 Giá trị nhỏ biểu thức P z 4i
A.1 B.
5 C.
5 D.
Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z; gọi A2; , B 1;3 điểm biểu diễn số phức 2 i; 3i Ta có AB5
Từ giả thiết z 2 i z 3i 5
2 2 2 2
2 1
x y x y
5
MA MB MA MB AB MA MB AB
Suy M A B, , thẳng hàng (B nằm M A) Do quỹ tích điểm M tia Bt ngược hướng với tia BA
1
P z i 2 2
1
x y
, với C1;4 P MC Ta có AB 3;4phương trình đường thẳng : 4AB x3y 5
, 1 2 3.4 52
CHd C AB
,
2
1
CB
Do
(9)Dạng 2: Phương pháp đại số 1 Phương pháp giải
Các bất đẳng thức thường dùng: 1 Cho số phức z z1, 2 ta có: a z1 z2 z1z2 (1)
Đẳng thức xảy
1
0
0, , 0,
z
z k k z kz
b z1z2 z1 z2 .(2)
Đẳng thức xảy
1
0
0, , 0,
z
z k k z kz
2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Cho số thực , , ,a b x y ta có ax by a2b2x2y2
Đẳng thức xảy ay bx
2 Bài tập
Bài tập 1: Cho số phức z a a3 , i a Giá trị a để khoảng cách từđiểm biểu diễn số phức zđến gốc tọa độ nhỏ
A.
2
a B.
2 a C. a1 D. a2
Hướng dẫn giải Chọn A
2
2 3 2
2 2
z a a a
Đẳng thức xảy
a Hay 3 2 z i
Nhận xét: Lời giải có sử dụng đánh giá
2 0, x x
Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn điều kiệnz 2 4i z 2i , số phức z có mơđun nhỏ
A. z 1 2i B. z 1 i C. z 2 2i D. z 1 i
(10)Chọn C
Gọi z a bi a b ,
2
z i z i a 2 b 4i a b 2i a b 4 4 2 2 22 8 2
z b bi z b b b
Suy z 2 2 b a z 2i Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn 1
2 z
z i
, biết
3
z i đạt giá trị nhỏ Giá trị zbằng
A. B.
2 C.
2 D.
17 Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi z a bi z 2i a b ,
1 z
z i
z z 2i 2a4b 3 2a 3 4b
2 2 2
5 5 20
2
z i b b b
Suy
1
3
min 5
2 1
a
z i z i
b
Vậy z
Bài tập 4: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 3 4i
z z Giá trị lớn biểu thức z1 z2
A. B.
C. 12 D.
Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có 2 2 2
1 2
2 z z z z z z 5 3 50
(11)Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có 2
1 2 50
z z z z
Gọi z1 x yi z, 2 a bi a b x y; , , ,
Đẳng thức xảy
1 2 2 2 25
z z i
z z z z z z 2 x y a b
Hay
7 1
;
2 2
z i z i
Thay z z1, 2 vào giả thiết thỏa mãn
Vậy, giá trị lớn biểu thức z1 z2
Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn biểu thức P 1 z 1z
A. 10 B. C. 15 D.
Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có P 12321z2 1 z2 20 1 2 z22 10 Đẳng thức xảy
2 2 1 5
1 1 0 3 5 5
1
2
3 5
z x y x
z i
x
z x y
z y
Vậy maxP2 10
Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Giá trị lớn
z i
A. B.
Nhận xét: Lời giải sử dụng
bất đẳng thức
1 2
(12)Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có z 3 i z 1 2i 4 3i z 2i 4 3i 7 Đẳng thức xảy 4 , 13 16
5 2
z i k i k
z i
z i
Vậy giá trị lớn z 3 i
Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 4 Gọi M mlà giá trị lớn nhỏ môđun số phức z Giá trị
M m
A. B. 10
C.11 D. 12
Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có z z 3 4i 3 4i z 4i 3 4i 4 M
Đẳng thức xảy
4
3 4 , 5
27 36 4
5 k
z i k i k
z i z i
Mặt khác
4 3 4 z z i i z i i m
Đẳng thức xảy
4
3 4 , 5
3 4
5 k
z i k i k
z i z i
Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức
1 2
z z z z
1 2
z z z z
Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z2 4 z z 2i Giá trị nhỏ z i
A. B.
C.1 D.
2
Hướng dẫn giải Chọn C
Ta có z2 4 z z 2i z2i z 2i z z 2i
Chú ý: Với số phức 1,
(13)2
z i z i z z i
2 2
2 ,
2
z i z i z i
z z i z a i a
z z i
Do
2
min 1
z i i i
z
z i a i i a
Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn z1z2i số thực z đạt giá trị nhỏ
A.
5
z i B 5 z i
C.
5
z i D. 5 z i Hướng dẫn giải Chọn D
Gọi ; ,z a bi a b
Ta có z1z2ia1a b 2b 2a b 2i Do z1z2i số thực 2a b 2 b 2a
Khi
2
2 2 2 5 4
5 5
z a a a
Đẳng thức xảy 5 a b
4
2 5
min
2
5 a z
b
Vậy 5 z i
Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức T z i z i
A. maxT 8 B. maxT 4 C. maxT 4 D. maxT 8
(14)Đặt z x yi x y , , ta có
2 2
1 2
z x yi x y
x 12 y2 2 x2 y2 2x 1 (*) Lại có
2
T z i z i x y1i x y1i
2 2 1 2 4 2 5
x y y x y x y
Kết hợp với (*) ta
2 2 2 2
T x y x y x y x y Đặt T x y, T f t 2t 2 2 t với t 1;3 Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số
Ta có ' 1 ;
2
f t f t t
t t
Mà f 1 4, f 1 2, f 3 2 Vậy max f t f 1 4 Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
2 1
T t t
Đẳng thức xảy t1
Bài tập 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z 1 z2 z 1 Khi giá trị M m
A. B.
C.
4 D.
9
Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt z a bi a b , t z Khi
2
2 1 1 1 2 2
(15)
2 1 2 2 1 1 2 1
z z a b abi a bi a b a b a i 2 2 2 2 2 2 2 2
2a a b 2a a 2a 1 a 2a
2 2a t
2
1 1
z z z t t
(với 0 t 2, a21) Xét hàm số f t t t21 với t 0; 2
Trường hợp 1: 0;1 1 2 1 t f t t t t t f
có f 0 f 1 1 nên
0;1
0;1
5 max
4
min
f t f t
Trường hợp 2:
1; 2 1 1, 2 1 0, 1; 2 t f t t t t t f t t t
Do hàm số ln đồng biến 1;
1;2
1;2
max
min 1
f t f f t f
Vậy
0;2
0;2
max
6
min
M f t
M m
m f t