Các dạng bài tập vận dụng cao lôgarit

BÀI LÔGARIT A KIẾN THƯC CƠ BẢN CẦN NẮM Nhận xét: log a b    a  b  a, b  0, a  1 Khái niệm lôgarit Cho hai số dương a , b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a  b gọi lôgarit số a Bài tập: log   23  Chú ý: Khơng có lơgarit số âm số b , ký hiệu log a  b Tính chất Cho a , b  0, a  Ta có: log a  0; a loga b  b; log a a  log a  a    Quy tắc tính lơgarit Bài tập: a Lơgarit tích  log 1   log  log    log  0; 2   log 3  log  log   log  log3 Cho a, b1 , b2  với a  , ta có: log a (b1b2 )  log a b1  log a b2 Chú ý: Định lý mở rộng cho tích n số dương: log a  b1 bn   loga b1   log a bn 8 1  log3   9   log3  2 a, b1 , b2 , , bn  0, a  b Lôgarit thương Bài tập: Cho a, b1 , b2  với a  1, ta có: loga  Đặc biệt: loga b1  loga b1  loga b2 b2   loga b b • log5 125  log5 125  log5 25    1; 25 • log   log7 49  2 49  a  0, b   c Lôgarit lũy thừa Bài tập: Cho hai số dương a, b, a  Với  , ta có: loga b   loga b • log2 83  3log2  3.3  9; • log2  1 log2   4 Đặc biệt: loga n b  log a b n Đổi số Bài tập: Cho a, b, c  0; a  1; c  1, ta có: log a b  Đặc biệt: logc b logc a loga b  log b a loga b    b  1 ; loga b    Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Với b  0, log10 b thường viết log b lg b b Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên lôgarit số b  0, loge b viết ln b e Với • log8 16  log2 16  ; log2 • log3 27   3; log27 • log128  log27  1 log2  7 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP Dạng Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Để tính log a b ta biến đổi theo cách Bài tập: sau: • b  a , từ suy log a b  loga a   ; • a  b , từ suy loga b  logb b   • 32log2  25log2  95 ; • a  c , b  c  , từ ta suy log a b  logc c    Để tính b b loga c loga c  loga c a   , ta biến đổi b  a , từ suy  c • log32 128  log25  ; Bài tập a b c d Bài tập 1: Cho a, b,c,d  Rút gọn biểu thức S  ln  ln  ln  ln ta b c d a A S  B S  a b c d C S  ln      b c d a D S  ln  abcd  Hướng dẫn giải Chọn B a b c d a b c d Ta có: S  ln  ln  ln  ln  ln    ln1  b c d a b c d a Bài tập 2: Cho a, b  a, b  , biểu thức P  log A B 24 C 12 a b3 log b a D 18 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : P  log a b3 logb a  log b3 logb a  a2 4.log a b  24 log a b Bài tập 3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  1, a  b log a b  Biến đổi biểu thức P  log b a b ta a A P  5  3 B P  1  C P  1  D P  5  3 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: P loga loga b  loga b  1 a 2  loga b  b a   1 1   1   log a b   a  2 Bài tập : Biến đổi biểu thức P  loga2 a10 b2  log a    log b b (với  a  1,  b  )  b   ta A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn giải Chọn B Sử dụng quy tắc biến đổi lơgarit ta có:  a  2 P  loga2 a10 b2  log a    log b b  b     log a10  loga b2    loga a  loga b    2  logb b    2 a    10  loga b   1  loga b       Bài tập Rút gọn biểu thức P   log 3b a  log b2 a  log b a   log a b  log ab b   log b a với  a, b  A P  C P  B P  D P  Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: P   log 3b a  log b2 a  log b a   log a b  log ab b   log b a    log b a  log b2 a  log b a  1  log a b    log b a log b ab    2  log b a  log b a  1  log a b    log b a log b a     log a b  log b a  1    log b a  log b a  1    log b a log b a     log b a  log b a  1 log a b log b a  log a b  1  log b a  log b a  log b a  1 log a b  log b a  log b a   log b a  Bài tập Cho a  , b  thỏa mãn log a  b 1  4a  b  1  log ab 1  2a  2b  1  Giá trị a  2b bằng: A 15 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 4a  b  4ab , với a, b  Dấu ‘  ’ xảy b  2a 1 Khi  log a  b 1  4a  b  1  log ab 1  2a  2b  1  log a  2b 1  4ab  1  log ab 1  2a  2b  1 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có log a  2b 1  4ab  1  log ab 1  2a  2b  1  Dấu ‘  ’ xảy log a  2b 1  4ab  1   4ab   2a  2b    Từ 1   ta có 8a  6a   a  3 15 Suy b  Vậy a  2b  4 Bài tập Cho a log3  27 , b log 11  49 , c log11 25  11 Tính S  a log  log 11 log 25  b   c  11  A S  33 B S  469 C S  489 Hướng dẫn giải Chọn B 2 D S  3141 Ta có: a log3  27  log3  log a 27  log3 7.log3  log a 27.log3   log3   3log a 3.log3   log3   log a 73  a 2 log3   aloga  73 log 11 log 25 Tương tự ta có blog7 11  49  b   112 ; blog11 25  11  c 11   Vậy S  a  log   b log 11  c log11 25  Bài tập Đặt log  a , log  b , Q  log 2  73  112   469 2014 2015 Tính Q  log   log  log 2015 2016 theo a , b A 5a  2b  B 5a  2b  C 5a  2b  Hướng dẫn giải D 5a  2b  Chọn D 2014 2015  log   log  log 2015 2016   log  log    log  log 3    log 2014  log 2015    log 2015  log 2016  Ta có Q  log  log  log 2016   log 2016    log 32.9.7     log 32  log  log 7      log 25  log 32   5log  log   5a  2b  Bài tập Cho hai số thực dương a, b ( a  ) thỏa mãn điều kiện log a b  Tính tổng S  a  b b 16 log a  b A S  12 B S  10 C S  16 D S  18 Hướng dẫn giải Chọn D b  16 16 b b b       b log a b  b  16 b  b b  a b       Ta có     16 16 a2   log a  16   16 b b a  a    b b a   Vậy ta có S  16   18 Bài tập 10 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  20 x   Tính giá trị biểu thức P  log( x1  x2 )  log x1  log x2 A B C D 10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có P  log( x1  x2 )  log x1  log x2  log  x1  x2   log  x1.x2   log x1  x2 x1.x2 Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2  20 x   nên ta có x1  x2  20 ; x1.x2  Vậy ta có P  log Bài tập 11 Cho M = A M = 20  1 Tính M + + + log a x log a2 x log a16 x 272 log a x B M = 136 log a x C M = 1088 log a x D M = 272 log a x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có M  1     log x a  log x a   log x a16 log a x log x log 16 x a a  log x a  log x a   log x a16  log x a  log x a   16 log x a  1    16  log x a  16 1  16  136 log x a  log a x Bài tập12 Với x , y , z số nguyên dương thỏa mãn x log1512  y log1512  z log1512  Tính giá trị biểu thức Q  x  y  z A 1512 B 12 C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có x y z x log1512  y log1512  z log1512   log1512  log1512  log1512  log1512 1512 x    log1512  log1512 1512   1512     y  z   x y x z y z x y z 3 Vậy Q    1.3  Bài tập 13 Giá trị biểu thức P  A 1    log 2017! log3 2017! log 2017 2017! B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1  log 2017!  log 2017!   log 2017! 2017 P    log 2017! log 2017! log 2017 2017!  log 2017!  2.3 2017   log 2017! 2017!  Bài tập 14 Giả sử  x   ; cos x  Giá trị biểu thức 10 log sin x  log cos x  log tan x A  B 10 10 C 10 D  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có sin x   cos2 x    10 10 Khi log sin x  log cos x  log tan x  log  sin x.cos x tan x   log sin x log Bài tập 15 Cho log 12  x , log12 24  y log54 168  nguyên Tính giá trị biểu thức S  a  2b  3c A S  B S  19 axy  , a, b, c số bxy  cx C S  10 D S  15 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: log54 168    1 10 log  24.7  log 24  log 12 log12 24    log 54 log 54 log 54 log 12 log12 24  xy   x.log12 54 log 12 log12 54 Tính log12 54  log12  27.2   3log12  log12  3log12 3.2.12.24 24  log12 2.12.24 12  3log12 123 24  log12    log12 24    log12 24  1   5log12 24   y 24 12 Do đó: log 54 168  xy  xy   x   y  5 xy  x a   Vậy b  5  S  a  2b  3c  15 c    x x  Bài tập 16 Với a, b thỏa mãn để hàm số f  x    có đạo hàm x0  Khi ax  b x  giá trị biểu thức S  log  3a  2b  bằng? A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số f  x  có đạo hàm x0  suy ra: + Hàm số liên tục x0  : lim f  x   lim f  x   f 1  a  b  x 1 + Tồn giới hạn lim x 1 f  x   f 1 x 1  lim f  x   f 1 f  x   f 1  lim x 1 x 1 x 1  lim x2 1 ax  b   lim x  x1 x  x 1 x 1   lim x 1 a2 x 1 ax  b   a  b  x 1  2 a  Từ 1   suy  b  1 S  log  3a  2b   log  Dạng Đẳng thức chứa logarit Phương pháp Bài tập Bài tập 1: Cho x , y  x  y  12 xy Khẳng đinh sau đúng? A log2  x  y   log2 x  log2 y   x  2y  B log2    log2 x  log2 y   1 C log2  x  y     log2 x  log2 y  D log2  x  y   log2 x  log2 y Hướng dẫn giải Chọn C Với x , y  , ta có: x  y  12 xy   x  y   16 xy  log2  x  y   log2 16 xy  log2  x  y    log2 x  log2 y  log2  x  y     log2 x  log2 y  Bài tập 2: Cho x , y số thực lớn thỏa mãn x  y  xy Tính  log12 x  log12 y M log12 ( x  y ) A M  C M  B M  D M  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x  y  xy   x  y    x  y Vậy ta có  log12 x  log12 y  log12 y  log12 y log12 12  log12  log12 y  log12 y   log12 y log12  x  y   log12  log12 y  log12 36  log12 y  1 log12 36  log12 y M Bài tập 3: Cho biểu thức B  3log a  log a log a 25 với a số dương, khác Khẳng định sau đúng? A B  2a  B log a  B  C B  a  D B  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có B  3log3 a  log a log a 25  a  log a.log a 25  a  log a.log a 52  a  log a.log a  a4 Vậy B  a  Bài tập 4: Gọi c cạnh huyền, a b hai cạnh góc vuông tam giác vuông Trong khẳng định sau khẳng định đúng? A log b  c a  log c b a  log b  c a.log c b a B log b  c a  log b c a  log b  c a.log b c a C log b  c a  log c b a  log b  c a.log c b a D log b  c a  log b c a  log b  c a.log b c a Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: c2  a2  b2  c2  b2  a2   c  b   c  b   a  log a  c  b   c  b    log a  b  c   log a  c  b    1  2 log a  b  c  log a  c  b   log b  c a  log c b a  log b  c a.log c b a (đpcm) Bài tập 5: Cho log 27  a , log8  b , log  c Khẳng định sau đúng? 3b  2ac 3b  3ac A log12 35  B log12 35  c2 c2 3b  2ac 3b  3ac C log12 35  D log12 35  c3 c 1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : log 27  a  log  a  ;   log  b  log  b  ;   log  c log 3b log log  log log 3a  c 3ac  3b   log 12 35    log 12 log 3  log  log c2  c 3a  Bài tập 6: Cho log  y  x   log 4  , với y  0, y  x Chọn khẳng định khẳng y định sau? A x  y B x  y C x  y D y  x Hướng dẫn giải Chọn C Ta có log  y  x   log 4    log  y  x   log y   log y   log  y  x  y y Bài tập 7: Số thực dương a , b thỏa mãn log a  log12 b  log16 ( a  b) Mệnh đề đúng?  log y  log 4  y  x   y   y  x   x  A a 2    ;1 b 3  B a  2   0;  b  3 C a   9;12  b D a  (9;16) b Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử log a  log12 b  log16 ( a  b)  t Khi đó, ta có: a  4t ; b  12t ; a  b  16t Từ đây, t t 1 3 ta có phương trình:  12  16        * 4 4 Vế trái phương trình * nghịch biến nên * có nghiệm t  Suy t t t a  2    0;  b  3 Bài tập8: Có tất số dương a thỏa mãn đẳng thức log a  log a  log a  log a.log a.log a a  4; b  12 suy A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có log a  log a  log a  log a.log a.log a  log a  log 2.log a  log 2.log a  log a.log 5.log a.log a  log a 1  log  log   log a.log 5.log 52 a  log a 1  log  log  log 5.log 52 a   a  log a      log  log 2 log a   1  log  log  log 5.log a   log  a  1 log3  log5    log3 a  Bài tập 9: Cho n số nguyên dương, tìm n cho log a 2019  2 log a 2019  32 log a 2019   n log n a 2019  10082.2017 2.log a 2019 A 2017 B 2019 Chọn C Đặt log a 2019  2 log   a C 2016 Hướng dẫn giải D 2018 2019  32 log a 2019   n log n a 2019  10082.2017 2.log a 2019 Ta có n log n a 2019  n3 log a 2019  n  n  1  Vậy VT        n log a 2019    log a 2019   Hay từ   ta có  3 3   n  n  1  2 2 2   log a 2019  1008 2017 log a 2019  n  n  1  1008 2017    n  2016  n2  n  1  20162.20172  n  n  4066272    (vì  n  2016  n  2017 n   ) Bài tập 10: Cho log x  y   log xy , với xy  Chọn khẳng định khẳng   định sau? A x  y B x  y Chọn C Ta  log x  y    log D x  y C x  y Hướng dẫn giải  xy  log x  y   log có 2 xy  x  y  xy   x  y   2  x  y Dạng Biểu thị biểu thức theo biểu thức cho từ tìm GTLN, GTNN Phương pháp giải Bài tập Bài tập Cho hai số thực x , y thỏa mãn log x  y  x  y   Tính P  x biểu thức y S  x  y  đạt giá trị lớn A P  B P  C P   13 D P  17 44 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có log x  y  x  y    x  y  x  y    x  1   y    Khi S  x  y    x  1   y     ta 4  32   x  1   y  2  7  13  x  x 1 y       Dấu "  " xảy  4 x  y   y    13 13 x Vậy ta có P     y 4 Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P  log 2a  a   3log b   b b A Pmin  19 B Pmin  13 C Pmin  14 D Pmin  15 có Hướng dẫn giải Chọn D Với điều kiện đề bài, ta có 2   a  a  a  a P  log  a   3log b     log a a   3log b    log a  b    3log b   b  b b b   b  b  a b 2   a  1  log a b   3log b   b b   Đặt t  log a b  (vì a  b  ), ta có P  1  t   b 3  4t  8t    f  t  t t 8t  8t   2t  1  4t  6t  3  Ta có f (t )  8t    t t2 t2 Vậy f   t    t  1 Khảo sát hàm số, ta có Pmin  f    15 2 Bài tập Xét số thực dương x , y thỏa mãn log3  xy  3xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ x  2y Pmin P  x  y A Pmin  11  19 B Pmin  11  19 C Pmin  18 11  29 D Pmin  11  Hướng dẫn giải Chọn D  xy  3xy  x  y  x  2y  log 1  xy   log  x  y    xy  1   x  y   log3  log3 1  xy   log3  x  y    xy  1   x  y   log 3 1  xy   1  xy   log  x  y    x  y  Xét f  t   log t  t ,  t   f  t     0, t  t ln Suy : f  1  xy    f  x  y    xy  x  y  x   xy 5y  2 0 0 y x  2y 6y  3  2y P  x y  y  3y Điều kiện  2y  3y P   11 1  y   1  11 y  0  1  11 y   Lập bảng biến thiên ta có Pmin  11  Bài tập Cho số thực a, b, c  1;2  thỏa mãn điều kiện log32 a  log32 b  log32 c   Khi biểu thức P  a3  b3  c3  log2 a a  log2 b b  log2 c c  đạt giá trị lớn giá trị a  b  c A B 3.2 33 C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta xét hàm số f  x   x  x log2 x  log32 c với x  1;2  Ta có đạo hàm f   x   x  3log2 x  f   x   x  3 log2 x  ; x ln ln 6log x log2 x  22  2 x ln x ln x ln log2 x   log2 x    Vì f   x     3     x  1;2  nên x ln 2  x ln  x ln f   x   f  1  1,67  Như hàm số f   x  đồng biến có nghiệm 1;2  f  1  0; f     có đồ thị lõm 1;2  Do ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta nhận thấy f  x   P   log32 a  log32 b  log32 c  Đẳng thức xảy a  b  1, c  hoán vị Bài tập Trong tất cặp  x; y  thỏa mãn log x  y2   x  y    Với giá trị m tồn cặp  x; y  cho x  y  x  y   m  0? A   10  B C 10  10   10     10  D 10  Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện: x  y   Ta có log x  y2   x  y     x  y   x  y    x     y     C1  2 Miền nghiệm bất phương trình hình trịn (cả bờ)  C1  có tâm I1  2;2  bán kính R1  Mặt khác: x  y  x  y   m    x  1   y  1  m  * 2 Với m  x  1; y  (không thỏa mãn  x     y    ) 2 Với m   * đường trịn  C2  có tâm I  1;1 bán kính R2  m Để tồn cặp  x; y   C1   C2  tiếp xúc với Trường hợp 1:  C1   C2  tiếp xúc Khi đó: R1  R2  I1I  m   10  m    10  Trường hợp 2:  C1  nằm  C2  hai đường tròn tiếp xúc Khi đó: R2  R1  I1I  m   10  m  Vậy m   10   m   10     10  thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập Xét số thực a, b thỏa mãn a  b  Giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P  log2a a2  3logb   b b   A Pmin  19 B Pmin  13 C Pmin  14 D Pmin  15 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: P  log2a b   a   a  3log b        logb a  1  b   log a    a b           logb a  1   log a b  Đặt log a b  t   t  1 Khi P  1  t     f  t  với  t  t Ta có f   t   1  t    f t   t  t Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta có Pmin  15 Bài tập Cho hai số thực x, y thỏa mãn:   x  y  log x  y2  x x  x  y  3y     Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Khi biểu thức T   M  m  1 có giá trị gần số sau đây? A B C D 10 Hướng dẫn giải Chọn D     Ta có log x  y2  x x  x  y  3y    log x  y2  x  y  x  3         x  y2   x  3   x  y2    x    y   x  y  Tập hợp số thực x, y thỏa mãn:  điểm thuộc miền hình trịn  C1  2  x    y  có tâm R2  I  2;  , bán kính R1  nằm ngồi hình trịn  C2  có tâm O  0;  bán kính Biểu thức: P  x  y  x  y  P  họ đường thẳng  song song với đường y  x 3 3 3 3 Các giao điểm hai hình trịn A  ; ,B ;  2  2     P đạt giá trị nhỏ đường thẳng  qua A Khi đường thẳng  qua điểm A, ta có: 3 3   Pmin   Pmin  2 P đạt giá trị lớn đường thẳng  tiếp xúc với đường trịn  C1  ta có: d  I ;    R1  2P 11   P    Pmax    3  Do T   M  m  1       10    ... n Đổi số Bài tập: Cho a, b, c  0; a  1; c  1, ta có: log a b  Đặc biệt: logc b logc a loga b  log b a loga b    b  1 ; loga b    Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit. .. phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Với b  0, log10 b thường viết log b lg b b Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên lôgarit số b  0, loge b viết ln b e Với... PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP Dạng Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Để tính log a b ta biến đổi theo cách Bài tập: sau: • b  a , từ suy log