Thông tin tài liệu
BÀI LÔGARIT A KIẾN THƯC CƠ BẢN CẦN NẮM Nhận xét: log a b a b a, b 0, a 1 Khái niệm lôgarit Cho hai số dương a , b với a Số thỏa mãn đẳng thức a b gọi lôgarit số a Bài tập: log 23 Chú ý: Khơng có lơgarit số âm số b , ký hiệu log a b Tính chất Cho a , b 0, a Ta có: log a 0; a loga b b; log a a log a a Quy tắc tính lơgarit Bài tập: a Lơgarit tích log 1 log log log 0; 2 log 3 log log log log3 Cho a, b1 , b2 với a , ta có: log a (b1b2 ) log a b1 log a b2 Chú ý: Định lý mở rộng cho tích n số dương: log a b1 bn loga b1 log a bn 8 1 log3 9 log3 2 a, b1 , b2 , , bn 0, a b Lôgarit thương Bài tập: Cho a, b1 , b2 với a 1, ta có: loga Đặc biệt: loga b1 loga b1 loga b2 b2 loga b b • log5 125 log5 125 log5 25 1; 25 • log log7 49 2 49 a 0, b c Lôgarit lũy thừa Bài tập: Cho hai số dương a, b, a Với , ta có: loga b loga b • log2 83 3log2 3.3 9; • log2 1 log2 4 Đặc biệt: loga n b log a b n Đổi số Bài tập: Cho a, b, c 0; a 1; c 1, ta có: log a b Đặc biệt: logc b logc a loga b log b a loga b b 1 ; loga b Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Với b 0, log10 b thường viết log b lg b b Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên lôgarit số b 0, loge b viết ln b e Với • log8 16 log2 16 ; log2 • log3 27 3; log27 • log128 log27 1 log2 7 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP Dạng Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Để tính log a b ta biến đổi theo cách Bài tập: sau: • b a , từ suy log a b loga a ; • a b , từ suy loga b logb b • 32log2 25log2 95 ; • a c , b c , từ ta suy log a b logc c Để tính b b loga c loga c loga c a , ta biến đổi b a , từ suy c • log32 128 log25 ; Bài tập a b c d Bài tập 1: Cho a, b,c,d Rút gọn biểu thức S ln ln ln ln ta b c d a A S B S a b c d C S ln b c d a D S ln abcd Hướng dẫn giải Chọn B a b c d a b c d Ta có: S ln ln ln ln ln ln1 b c d a b c d a Bài tập 2: Cho a, b a, b , biểu thức P log A B 24 C 12 a b3 log b a D 18 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : P log a b3 logb a log b3 logb a a2 4.log a b 24 log a b Bài tập 3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a 1, a b log a b Biến đổi biểu thức P log b a b ta a A P 5 3 B P 1 C P 1 D P 5 3 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: P loga loga b loga b 1 a 2 loga b b a 1 1 1 log a b a 2 Bài tập : Biến đổi biểu thức P loga2 a10 b2 log a log b b (với a 1, b ) b ta A P B P C P D P Hướng dẫn giải Chọn B Sử dụng quy tắc biến đổi lơgarit ta có: a 2 P loga2 a10 b2 log a log b b b log a10 loga b2 loga a loga b 2 logb b 2 a 10 loga b 1 loga b Bài tập Rút gọn biểu thức P log 3b a log b2 a log b a log a b log ab b log b a với a, b A P C P B P D P Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: P log 3b a log b2 a log b a log a b log ab b log b a log b a log b2 a log b a 1 log a b log b a log b ab 2 log b a log b a 1 log a b log b a log b a log a b log b a 1 log b a log b a 1 log b a log b a log b a log b a 1 log a b log b a log a b 1 log b a log b a log b a 1 log a b log b a log b a log b a Bài tập Cho a , b thỏa mãn log a b 1 4a b 1 log ab 1 2a 2b 1 Giá trị a 2b bằng: A 15 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 4a b 4ab , với a, b Dấu ‘ ’ xảy b 2a 1 Khi log a b 1 4a b 1 log ab 1 2a 2b 1 log a 2b 1 4ab 1 log ab 1 2a 2b 1 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có log a 2b 1 4ab 1 log ab 1 2a 2b 1 Dấu ‘ ’ xảy log a 2b 1 4ab 1 4ab 2a 2b Từ 1 ta có 8a 6a a 3 15 Suy b Vậy a 2b 4 Bài tập Cho a log3 27 , b log 11 49 , c log11 25 11 Tính S a log log 11 log 25 b c 11 A S 33 B S 469 C S 489 Hướng dẫn giải Chọn B 2 D S 3141 Ta có: a log3 27 log3 log a 27 log3 7.log3 log a 27.log3 log3 3log a 3.log3 log3 log a 73 a 2 log3 aloga 73 log 11 log 25 Tương tự ta có blog7 11 49 b 112 ; blog11 25 11 c 11 Vậy S a log b log 11 c log11 25 Bài tập Đặt log a , log b , Q log 2 73 112 469 2014 2015 Tính Q log log log 2015 2016 theo a , b A 5a 2b B 5a 2b C 5a 2b Hướng dẫn giải D 5a 2b Chọn D 2014 2015 log log log 2015 2016 log log log log 3 log 2014 log 2015 log 2015 log 2016 Ta có Q log log log 2016 log 2016 log 32.9.7 log 32 log log 7 log 25 log 32 5log log 5a 2b Bài tập Cho hai số thực dương a, b ( a ) thỏa mãn điều kiện log a b Tính tổng S a b b 16 log a b A S 12 B S 10 C S 16 D S 18 Hướng dẫn giải Chọn D b 16 16 b b b b log a b b 16 b b b a b Ta có 16 16 a2 log a 16 16 b b a a b b a Vậy ta có S 16 18 Bài tập 10 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x 20 x Tính giá trị biểu thức P log( x1 x2 ) log x1 log x2 A B C D 10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có P log( x1 x2 ) log x1 log x2 log x1 x2 log x1.x2 log x1 x2 x1.x2 Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 20 x nên ta có x1 x2 20 ; x1.x2 Vậy ta có P log Bài tập 11 Cho M = A M = 20 1 Tính M + + + log a x log a2 x log a16 x 272 log a x B M = 136 log a x C M = 1088 log a x D M = 272 log a x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có M 1 log x a log x a log x a16 log a x log x log 16 x a a log x a log x a log x a16 log x a log x a 16 log x a 1 16 log x a 16 1 16 136 log x a log a x Bài tập12 Với x , y , z số nguyên dương thỏa mãn x log1512 y log1512 z log1512 Tính giá trị biểu thức Q x y z A 1512 B 12 C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có x y z x log1512 y log1512 z log1512 log1512 log1512 log1512 log1512 1512 x log1512 log1512 1512 1512 y z x y x z y z x y z 3 Vậy Q 1.3 Bài tập 13 Giá trị biểu thức P A 1 log 2017! log3 2017! log 2017 2017! B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 log 2017! log 2017! log 2017! 2017 P log 2017! log 2017! log 2017 2017! log 2017! 2.3 2017 log 2017! 2017! Bài tập 14 Giả sử x ; cos x Giá trị biểu thức 10 log sin x log cos x log tan x A B 10 10 C 10 D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có sin x cos2 x 10 10 Khi log sin x log cos x log tan x log sin x.cos x tan x log sin x log Bài tập 15 Cho log 12 x , log12 24 y log54 168 nguyên Tính giá trị biểu thức S a 2b 3c A S B S 19 axy , a, b, c số bxy cx C S 10 D S 15 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: log54 168 1 10 log 24.7 log 24 log 12 log12 24 log 54 log 54 log 54 log 12 log12 24 xy x.log12 54 log 12 log12 54 Tính log12 54 log12 27.2 3log12 log12 3log12 3.2.12.24 24 log12 2.12.24 12 3log12 123 24 log12 log12 24 log12 24 1 5log12 24 y 24 12 Do đó: log 54 168 xy xy x y 5 xy x a Vậy b 5 S a 2b 3c 15 c x x Bài tập 16 Với a, b thỏa mãn để hàm số f x có đạo hàm x0 Khi ax b x giá trị biểu thức S log 3a 2b bằng? A S B S C S D S Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số f x có đạo hàm x0 suy ra: + Hàm số liên tục x0 : lim f x lim f x f 1 a b x 1 + Tồn giới hạn lim x 1 f x f 1 x 1 lim f x f 1 f x f 1 lim x 1 x 1 x 1 lim x2 1 ax b lim x x1 x x 1 x 1 lim x 1 a2 x 1 ax b a b x 1 2 a Từ 1 suy b 1 S log 3a 2b log Dạng Đẳng thức chứa logarit Phương pháp Bài tập Bài tập 1: Cho x , y x y 12 xy Khẳng đinh sau đúng? A log2 x y log2 x log2 y x 2y B log2 log2 x log2 y 1 C log2 x y log2 x log2 y D log2 x y log2 x log2 y Hướng dẫn giải Chọn C Với x , y , ta có: x y 12 xy x y 16 xy log2 x y log2 16 xy log2 x y log2 x log2 y log2 x y log2 x log2 y Bài tập 2: Cho x , y số thực lớn thỏa mãn x y xy Tính log12 x log12 y M log12 ( x y ) A M C M B M D M Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x y xy x y x y Vậy ta có log12 x log12 y log12 y log12 y log12 12 log12 log12 y log12 y log12 y log12 x y log12 log12 y log12 36 log12 y 1 log12 36 log12 y M Bài tập 3: Cho biểu thức B 3log a log a log a 25 với a số dương, khác Khẳng định sau đúng? A B 2a B log a B C B a D B Hướng dẫn giải Chọn C Ta có B 3log3 a log a log a 25 a log a.log a 25 a log a.log a 52 a log a.log a a4 Vậy B a Bài tập 4: Gọi c cạnh huyền, a b hai cạnh góc vuông tam giác vuông Trong khẳng định sau khẳng định đúng? A log b c a log c b a log b c a.log c b a B log b c a log b c a log b c a.log b c a C log b c a log c b a log b c a.log c b a D log b c a log b c a log b c a.log b c a Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: c2 a2 b2 c2 b2 a2 c b c b a log a c b c b log a b c log a c b 1 2 log a b c log a c b log b c a log c b a log b c a.log c b a (đpcm) Bài tập 5: Cho log 27 a , log8 b , log c Khẳng định sau đúng? 3b 2ac 3b 3ac A log12 35 B log12 35 c2 c2 3b 2ac 3b 3ac C log12 35 D log12 35 c3 c 1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : log 27 a log a ; log b log b ; log c log 3b log log log log 3a c 3ac 3b log 12 35 log 12 log 3 log log c2 c 3a Bài tập 6: Cho log y x log 4 , với y 0, y x Chọn khẳng định khẳng y định sau? A x y B x y C x y D y x Hướng dẫn giải Chọn C Ta có log y x log 4 log y x log y log y log y x y y Bài tập 7: Số thực dương a , b thỏa mãn log a log12 b log16 ( a b) Mệnh đề đúng? log y log 4 y x y y x x A a 2 ;1 b 3 B a 2 0; b 3 C a 9;12 b D a (9;16) b Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử log a log12 b log16 ( a b) t Khi đó, ta có: a 4t ; b 12t ; a b 16t Từ đây, t t 1 3 ta có phương trình: 12 16 * 4 4 Vế trái phương trình * nghịch biến nên * có nghiệm t Suy t t t a 2 0; b 3 Bài tập8: Có tất số dương a thỏa mãn đẳng thức log a log a log a log a.log a.log a a 4; b 12 suy A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có log a log a log a log a.log a.log a log a log 2.log a log 2.log a log a.log 5.log a.log a log a 1 log log log a.log 5.log 52 a log a 1 log log log 5.log 52 a a log a log log 2 log a 1 log log log 5.log a log a 1 log3 log5 log3 a Bài tập 9: Cho n số nguyên dương, tìm n cho log a 2019 2 log a 2019 32 log a 2019 n log n a 2019 10082.2017 2.log a 2019 A 2017 B 2019 Chọn C Đặt log a 2019 2 log a C 2016 Hướng dẫn giải D 2018 2019 32 log a 2019 n log n a 2019 10082.2017 2.log a 2019 Ta có n log n a 2019 n3 log a 2019 n n 1 Vậy VT n log a 2019 log a 2019 Hay từ ta có 3 3 n n 1 2 2 2 log a 2019 1008 2017 log a 2019 n n 1 1008 2017 n 2016 n2 n 1 20162.20172 n n 4066272 (vì n 2016 n 2017 n ) Bài tập 10: Cho log x y log xy , với xy Chọn khẳng định khẳng định sau? A x y B x y Chọn C Ta log x y log D x y C x y Hướng dẫn giải xy log x y log có 2 xy x y xy x y 2 x y Dạng Biểu thị biểu thức theo biểu thức cho từ tìm GTLN, GTNN Phương pháp giải Bài tập Bài tập Cho hai số thực x , y thỏa mãn log x y x y Tính P x biểu thức y S x y đạt giá trị lớn A P B P C P 13 D P 17 44 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có log x y x y x y x y x 1 y Khi S x y x 1 y ta 4 32 x 1 y 2 7 13 x x 1 y Dấu " " xảy 4 x y y 13 13 x Vậy ta có P y 4 Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P log 2a a 3log b b b A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 D Pmin 15 có Hướng dẫn giải Chọn D Với điều kiện đề bài, ta có 2 a a a a P log a 3log b log a a 3log b log a b 3log b b b b b b b a b 2 a 1 log a b 3log b b b Đặt t log a b (vì a b ), ta có P 1 t b 3 4t 8t f t t t 8t 8t 2t 1 4t 6t 3 Ta có f (t ) 8t t t2 t2 Vậy f t t 1 Khảo sát hàm số, ta có Pmin f 15 2 Bài tập Xét số thực dương x , y thỏa mãn log3 xy 3xy x y Tìm giá trị nhỏ x 2y Pmin P x y A Pmin 11 19 B Pmin 11 19 C Pmin 18 11 29 D Pmin 11 Hướng dẫn giải Chọn D xy 3xy x y x 2y log 1 xy log x y xy 1 x y log3 log3 1 xy log3 x y xy 1 x y log 3 1 xy 1 xy log x y x y Xét f t log t t , t f t 0, t t ln Suy : f 1 xy f x y xy x y x xy 5y 2 0 0 y x 2y 6y 3 2y P x y y 3y Điều kiện 2y 3y P 11 1 y 1 11 y 0 1 11 y Lập bảng biến thiên ta có Pmin 11 Bài tập Cho số thực a, b, c 1;2 thỏa mãn điều kiện log32 a log32 b log32 c Khi biểu thức P a3 b3 c3 log2 a a log2 b b log2 c c đạt giá trị lớn giá trị a b c A B 3.2 33 C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta xét hàm số f x x x log2 x log32 c với x 1;2 Ta có đạo hàm f x x 3log2 x f x x 3 log2 x ; x ln ln 6log x log2 x 22 2 x ln x ln x ln log2 x log2 x Vì f x 3 x 1;2 nên x ln 2 x ln x ln f x f 1 1,67 Như hàm số f x đồng biến có nghiệm 1;2 f 1 0; f có đồ thị lõm 1;2 Do ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta nhận thấy f x P log32 a log32 b log32 c Đẳng thức xảy a b 1, c hoán vị Bài tập Trong tất cặp x; y thỏa mãn log x y2 x y Với giá trị m tồn cặp x; y cho x y x y m 0? A 10 B C 10 10 10 10 D 10 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện: x y Ta có log x y2 x y x y x y x y C1 2 Miền nghiệm bất phương trình hình trịn (cả bờ) C1 có tâm I1 2;2 bán kính R1 Mặt khác: x y x y m x 1 y 1 m * 2 Với m x 1; y (không thỏa mãn x y ) 2 Với m * đường trịn C2 có tâm I 1;1 bán kính R2 m Để tồn cặp x; y C1 C2 tiếp xúc với Trường hợp 1: C1 C2 tiếp xúc Khi đó: R1 R2 I1I m 10 m 10 Trường hợp 2: C1 nằm C2 hai đường tròn tiếp xúc Khi đó: R2 R1 I1I m 10 m Vậy m 10 m 10 10 thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập Xét số thực a, b thỏa mãn a b Giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P log2a a2 3logb b b A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 D Pmin 15 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: P log2a b a a 3log b logb a 1 b log a a b logb a 1 log a b Đặt log a b t t 1 Khi P 1 t f t với t t Ta có f t 1 t f t t t Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta có Pmin 15 Bài tập Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x y log x y2 x x x y 3y Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y Khi biểu thức T M m 1 có giá trị gần số sau đây? A B C D 10 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có log x y2 x x x y 3y log x y2 x y x 3 x y2 x 3 x y2 x y x y Tập hợp số thực x, y thỏa mãn: điểm thuộc miền hình trịn C1 2 x y có tâm R2 I 2; , bán kính R1 nằm ngồi hình trịn C2 có tâm O 0; bán kính Biểu thức: P x y x y P họ đường thẳng song song với đường y x 3 3 3 3 Các giao điểm hai hình trịn A ; ,B ; 2 2 P đạt giá trị nhỏ đường thẳng qua A Khi đường thẳng qua điểm A, ta có: 3 3 Pmin Pmin 2 P đạt giá trị lớn đường thẳng tiếp xúc với đường trịn C1 ta có: d I ; R1 2P 11 P Pmax 3 Do T M m 1 10 ... n Đổi số Bài tập: Cho a, b, c 0; a 1; c 1, ta có: log a b Đặc biệt: logc b logc a loga b log b a loga b b 1 ; loga b Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit. .. phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Với b 0, log10 b thường viết log b lg b b Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên lôgarit số b 0, loge b viết ln b e Với... PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP Dạng Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Để tính log a b ta biến đổi theo cách Bài tập: sau: • b a , từ suy log
Ngày đăng: 15/11/2020, 09:07
Xem thêm:
