Phuong trinh quy ve pt bac hai

Kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, kinh nghiệm của các đồng chí có trình độ chuyên môn vững vàng và nhiều năm làm công tác giảng dạy, và kết quả đánh giá, cũng như kinh[r]

(1)

SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP

“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Mơc lơc

Trang

PhÇn I : phần mở đầu

I t

II.Nhiệm vụ phơng pháp nghiên cứu

Phn II: Nội dung đề tài Chơng I :Lý luận chung

Chơng II: phơng trình quy phơng trình bậc hai I Phơng trình bậc hai có ẩn số 10

II Phơng trình quy phơng trình bậc hai Phơng trình chứa ẩn mẫu 13

2 Phơng trình đa dạng tích 16

3 Phơng trình bậc bốn 3.1 Phơng trình trùng phơng 18

3.2 Phng pháp đặt ẩn phụ 20

3.3 Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 21

3.4 Phơng trình chứa ẩn dới dấu 22

3.5 Phơng trình hồi quy 22

3.6 Phơng trình dạng af2(x)+bf(x)+c=0 24

3.7 Phơng trình dạng (x+a)4+(x+b)4=0 26

3.8 Phơng trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m 29

4 Vài phơng trình bậc cao kh¸c 32

5 Một số đề nghị 35

PhÇn III: Thùc nghiƯm TiÕt 36

TiÕt 39

PhÇn IV : KÕt luËn 44

Phần V: Tài liệu tham khảo 45

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

******************************************

I - ĐẶT vấn đề

Ngêi thùc hiÖn: Đặng Thị Hồng Quyên

(2)

- Trong thời kì nước tiến nhanh đường cơng nghiệp hố , đại hố đất nước Song song với phát triển mạnh mẽ lĩnh vực kinh tế, xã hội, công nghệ thông tin,… Sự nghiệp giáo dục đổi phát triển không ngừng, đổi phương pháp dạy học (PPDH) Là vấn đề đề cập, nghiên cứu bàn luận sôi Đặc biệt mơn tốn mơn khoa học trừu tượng song có ý nghĩa vơ quan trọng việc đổi PPDH nói chung dạy tốn nhà trường THCS nói riêng định hướng pháp chế hố luật giáo dục là: “Phương pháp dạy học phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh,…” Giúp học sinh hướng tới học tập chủ động sáng tạo chống lại thói quen học tập thụ động vốn có đa số học sinh nhà trường THCS

- Trong trình giảng dạy việc đánh giá chất lượng, lực tư duy,hay khả tiếp thu kiến thức học sinh mơn tốn chủ yếu thông qua giải tập Thông qua việc giải tập nhằm củng cố hồn thiện kh¾c sâu nâng cao ( mức độ cho phép ) nội dung kiến thức học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải , ngun t¾c giải tốn Đối với học sinh lớp việc truyền cho học sinh kiến thức, kĩ toán học theo yêu cầu nội dung chương trình giáo khoa đại trà cịn cần đầu tư bồi dưỡng cho phận học sinh khá, giỏi việc cần thiết phải tiến hành thường xuyên nhà trường thcs Nhằm tạo điều kiện học

sinh phát huy lực trí thơng minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dương đội ngũ học sinh giỏi cấp, phát triển nhân tài cho đất nước

- Một chuyên đề kiến thức quan trọng học sinh lớp cần nắm vững giải tập “Giải phương trình” nội dung chương trình sách giáo khoa lớp môn đại số quan tâm hướng dẫn kĩ học sinh

Ngêi thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên

(3)

cách giải phương trình bậc hai,những phương trình quy phương trình bậc hai để giải cịn dạng, tập cịn dễ yêu cầu nội dung chương trình khung Bộ giáo dục đề Chưa đáp ứng yêu cầu học tập nâng cao tri thức kĩ em học sinh có lực học tập khá, giỏi Vì cần quan tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho học sinh lớp cách giải phương trình quy phương trình bậc hai Những phương trình quy phương trình bậc hai khơng mới, với nhiều thầy cơ, em học sinh Bởi phương tr×nh quy phương trình bậc hai vấn đề dạy giải tập có đặc thù riêng Lí thuyết dạy phương trình bậc hai dạy giải phương trình dạng khác đưa phương trình trung gian phương trình bậc hai thường gặp chương trình lớp tốn hay khó đặc biệt thường gặp việc thi chọn HSG, thi vào trường chuyên

- Về hệ thống tập phương trình quy phương trình bậc hai SGK SBT có nhiều đề cập tới song chưa nhiều, chưa đa dạng, chưa có hướng dẫn cụ thể nên chưa thực thuận lợi cho người dạy người học tiếp thu nghiên cứu

- Với xác nhận đắn mục tiêu, nội dung chương trình dạy học mơn Đ¹i số Kết hợp với tham khảo ý kiến đồng nghiệp, kinh nghiệm đồng chí có trình độ chun mơn vững vàng nhiều năm làm công tác giảng dạy, kết đánh giá, kinh nghiệm thân sau số năm tham gia giảng dạy mơn Tốn cịng ơn luyện cho học sinh giỏi, mạnh dạn sâu nghiên cứu lựa chọn số dạng tập giải phương trình cách giải phương trình quy phương trình bậc hai Hệ thống tập làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy học sinh học để chuẩn bị cho kì thi chọn HSG, tuyển sinh vào lớp 10, giúp người thày đổi PPDH, giúp em học sinh lớp tự tin thêm u mơn tốn học tốn ngày có kết

Ngời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyên

(4)

II NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 NHIỆM VỤ:

Với mục đích hướng dẫn học sinh cách giải phương trình quy phương trình bậc hai nên xuyên suốt trình nghiên cứu nhiệm vụ đề sau:

- Trên sở tập SGK, nghiên cứu tham khảo thêm tài liệu, sách bồi dưỡng để tìm tịi bổ xung thêm số dạng tập để xếp thành hệ thống tập cho phần dạy phương trình quy phương trình bậc hai sử dụng bồi dưỡng cho học sinh lớp THCS

- Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cần thiết để giảng dạy - Dựa vào yêu cầu, lựa chọn hệ thống tập phục vụ cho việc giảng dạy nói chung

- Nghiên cứu tìm phương pháp giải bản, dễ hiểu khoa học, xác mẫu mực cho học sinh noi theo

- Rèn luyện cho học sinh nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp học tập chủ động, tích cực sáng tạo Cũng thơng qua giáo dục cho học sinh giá trị đạo đức , tư tưởng lối sống phù hợp với mục tiêu, giúp trau dồi cho em kiến thức phổ thông gắn với sống cộng đồng thực tiễn địa phương có kĩ vận dụng kiến thức học vào thực tiễn sống giải số vấn đề thường gặp sống thân, gia đình cộng đồng Đồng thời giúp em tự tin giải tốn kì thi cử

2 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

- Học sinh lớp trường THCS Gia Têng – Nho Quan – Ninh Bình

- Giúp học sinh có cách giải phương trình bậc cao số phương trình dạng khác

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

(5)

Trong q trình nghiên cứu để tìm phương pháp giảng dạy “Giải phương trình

quy phương trình bậc hai”có hiệu sử dụng phương pháp sau: - Tham khảo thu nhập tài liệu

- Thông qua tổ chức hoạt động học tập học sinh “Cách tốt để hiểu làm” _ (Kant) Tự lực khám phá điều chưa biết làm phát huy tính tích cực chủ động học sinh

- Phân tích tổng kết kinh nghiệm

- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thơng qua học, theo dõi q trình học tập tiếp thu kiến thức học sinh, từ điều chỉnh sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học

- Trưng cầu, tham khảo ý kiến đồng nghiệp giáo viên trực tiếp giảng dạy chương trình lớp để trau dồi thêm kiến thức, phương pháp

PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

- Giới hạn vấn đề giải phương trình , phương trình bậc cao ( số dạng thường gặp lớp 9) chương trình THCS

Ngêi thùc hiện: Đặng Thị Hồng Quyên

(6)

PHN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI

*************************************************** Chương I LÍ LUẬN CHUNG

A- CÁC CĂN CỨ LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP

1 Mục đích, ý nghĩa việc dạy giải tập toán

- Bài tập toán giúp cho học sinh củng cố khắc sâu kiến thức cách có hệ thống ( Về tốn học nói chung phần phương trình bậc hai phương trình quy phương trình bậc hai chương trình đại số 9…) theo hướng tinh giản vững

- Bài tập quy “phương trình bậc hai” nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ thực hành giải toán Rèn luyện cho học sinh lực hoạt động trí tuệ để có sở tiếp thu dễ dàng mơn học khác trường THCS, mở rộng khả áp dụng kiến thức vào thực tế

- Bài tập phương trình quy phương trình bậc hai cịn góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận sáng tạo…của người nghiên cứu khoa học

Các yêu cầu việc lựa chọn hệ thống tập

2.1 Hệ thống tập đưa phải đầy đủ, hợp lí, phải làm cho học sinh nắm vững chất kiến thức học, rèn luyện cho học sinh khả độc lập suy nghĩ, sáng tạo khả suy luận

Hệ thống tập đầy đủ hệ thống đầy đủ nội dung mà phải đầy đủ loại hình là:

+ Bài tập chứng minh + Bài tập tính tốn

(7)

+ Bài tập rút gọn + Bài tập phân tích

+ Bài tập giải phương trình, khảo sát hàm số

- Các tập đưa đơn giản lẫn phức tạp Có tuý tốn học có mang nội dung thực tế

2.2 Hệ thống tập phải đảm bảo tính mục đích việc dạy học

- Hệ thống tập chọn phải củng cố khắc sâu kiến thức – kiến thức sở để giải nh÷ng vấn đề có liên quan Có nắm vững kiến thức có hướng để vận dụng vào thực tế giải tập

- Hệ thống tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho học sinh cách có hệ thống, xác Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh

- Hệ thống tập chọn phải có tác dụng giáo dục tư tưởng cho học sinh thấy rõ vai trị tốn học với thực tiễn, làm cho học sinh u thích mơn tốn có hứng thú học tập mơn tốn

2.3 Hệ thống tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức, phù hợp với đối tượng học sinh Phải làm cho học sinh thấy cần có khả giải tập Nếu tập khó gây tâm lí lo ngại cho học sinh Vì tập thích hợp chia thành loại tập:

Loại 1: tập có tính chất củng cố lí thuyết Loại địi hỏi tư phức tạp, nên với học sinh trung bình, yếu

Loại 2: Bài tập có vận dụng bước đầu hình thức tư áp dụng lí thuyết có tính chất khơng đơn giản Loại thường với học sinh trung bình, Khá

Loại 3: Loại tập có tính phức tạp hơn, đòi hỏi thao tác tư khéo léo, mềm dẻo hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thường kông trực diện Loại thường đối tượng học sinh khá, giỏi, học sinh lớp chọn, lớp chuyên

(8)

2.4 Hệ thống tập phải đảm bảo yêu cầu cân đối: Cân đối thời gian với hoàn cảnh , quy định chương trình , cho học sinh phải nỗ lực hoàn thành Đồng thời nên giao cho học sinh tập có gắn với thực tiễn ( Ví dụ tốn dân số…)

2.5 Phải phát huy lực tư học sinh Đưa tÊt loại tập mà học sinh phải tìm tòi hướng giải

3 Các lựa chọn hệ thống tập:

3.1 Căn vào mục đích dạy học:

Dạy gì? với tập phương trình bậc hai giúp học sinh giải tốt phương trình bậc hai, biết cách đưa phương trình bậc cao dạng khác phương trình bậc hai trung gian

Bồi dưỡng cho học sinh kỹ thói quen giải toán thực tế

Giúp cho học sinh phát huy , phát triển tư khía cạnh tính tốn biến đổi, có thao tác tư mềm dẻo

3.2 Dựa vào tình hình dạy học trường THCS:

- Dựa vào tình hình dạy học trường THCS lực lên rõ: số học sinh học chuyên, chăm chiếm tỉ lệ không lớn, đặc biệt số học sinh giỏi không nhiều Hơn nơi có điều kiện tự học học thêm có chất lượng học tập cao

- Căn vào thực tế dạy học phần phổ thông sở chưa nhiều đội ngũ giáo viên chưa chuẩn bị chu đáo vì kiến thức đưa từ THPT xuống THCS năm gần

- Về hệ thống tập SGK, SBT chưa đáp ứng nhu cầu học tập, giảng dạy giáo viên học sinh Khi soạn giảng phần đòi hỏi giáo viên phải tự tìm tịi tài liệu, biên soạn lấy tập nội dung giảng dạy chưa thống chung c

Ngời thực hiện: Đặng Thị Hång Quyªn

(9)

- Sách giáo khoa chương trình hành đưa cho học sinh số loại phương trình quy phương trình bậc hai, song dừng lại việc nhận dạng, biết giải phương trình diện học sinh đại trà

- Căn vào tình dạy học: Bài tập tiết học phải đảm bảo phù hợp với đặc điểm tiết học Chẳng hạn học song lí thuyết ta đưa cho học sinh tập áp dụng đơn, giản trực tiếp phương trình quy phương trình bậc hai, phương trình chứa ẩn mẫu,phương trình trùng phương, phương trình vơ tỷ

- Ngồi hệ thống tập nhà , tập ôn tập yêu cầu kiến thức phải nhiều khối lượng yêu cầu cao tư

B MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

- Các quy tắc tính tốn biểu thức đại số - Các đẳng thức đáng nhớ

- Phép phân tích đa thức thành nhân tử

- Giá trị tuyệt đối số, biểu thức đại số - Điều kiện để biểu thức có nghĩa

- Phép biến đổi ( hay đặt ẩn phụ) phép biến đổi đại số giải phương trình

(10)

CHƯƠNG II

PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ MỘT ẨN SỐ 1.1 Định nghĩa:

- Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng ax2 + bx + c

= 0, x ẩn số; a,b,c số, a 0

- Nghiệm phương trình bậc hai giá trị ẩn số mà thay vào vế trái phương trình ta giá trị vế trái không 1.2 Giải biện luận phương trình bậc hai:

a Khi nghiên cứu nghiệm Phương trình bậc hai ax2 + bx +

c=0 (với a 0) Ta cần quan tâm đến biệt số = b2 – 4ac phương

trình.Vì giá trị  định đến số nghiệm phương trình bậc hai

Ta thấy có kả xẩy

 > 0: phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = b

a   

= 0: phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = b a 

 < 0: phương trình bậc hai vơ nghiệm:

*) Đặc biệt b chẵn (b= 2b’, bZ) ta nghiên cứu nghiệm số

của phương trình bậc hai qua biệt số thu gọn ’

Do b= 2b’ nên= 4’  ’ dấu suy số nghiệm

phương trình bậc hai xét theo ’ giống xét theo  tức là:

’ > 0: phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =

'

b a

  

(11)

’= 0: phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 =

'

b a 

’ < 0: phương trình bậc hai vơ nghiệm:

1.3 Chú ý:

a) Nếu a c trái dấu (a.c < 0) phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt trái dấu ( > )

b) Đối với số phương trình bậc hai đơn giản ( với hệ số nguyên) trường hợp phương trình có nghiệm (  0) ta dùng định lí

viet để tính nhẩm nghiệm phương trình ĐỊNH LÍ VIET:

Nếu phương trình ax2 + bx + c=0 (với a 0) có nghiệm số x

1,x2 (  0)

thì

1

b

x x

a c x x

a  

 

  

 

 

Trường hợp đặc biệt :

* Nếu a + b + c = phương trình bậc hai có hai nghiệm x1= 1,x2 =

c a

* Nếu a - b + c = phương trình bậc hai có hai nghiệm x1= -1,x2 =

c a 

Nhờ định lí viet ta tìm nghiệm số phương trình có dạng đặc biệt Ngồi khảo sát tính chất nghiệm phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có hai nghiệm dấu khi:

1

0

x x    



 hay

2 4 0

0

b ac

c a

  

 

  

Phương trình bậc hai có hai nghiệm cựng dng khi:

(12)

2 2 0 0 0 b ac c

x x hay

a

x x b

a                       

Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm khi:

2 2 0 0 0 b ac c

x x hay

a

x x b

a                       

Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:

0 hay ac<0

c a 

Phương trình bậc hai có hai nghiệm đối khi:

1 2 0 0 c x x hay a x x b             

Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu , nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn khi:

1 2 0 0 c

x x a

hay

x x b

a                

Nhờ định lí Viet, ta tính tổng hiệu luỹ thừa bậc n hai nghiệm phương trình x12 x22 (với n  Z)

Ví dụ: phương trình bậc hai ax2 + bx + c=0 (với a 0) có hai nghiệm x 1,x2

thì

2

2 2

1 2 2

2

( ) ( b) 2a b ac

x x x x x x

a c a

        

Sau dạy định lí viét tơi cho học sinh cách giải phương trình bậc hai theo lược đồ

ax2 + bx + c = (a 0) xác định

Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 =

Tính a + b + c =0

Tính a - b + c Phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 =

=0

0

(13)

Ví dụ: giải phương trình bậc hai sau: a) -2x2 +5x + = 0

b) x2 - 3x + = 0

c) 4x2 – 12x + = 0

Giải

a) -2x2 +5x + = 0

 2x2 - 5x - =

Tính = 25 + 24 = 49 => =

Vậy

5 2.2

x   

;

5 2.2

x   

b) x2 - 3x + = 0

Tính = -12 = - < => phương trình vơ nghiệm

c) 4x2 – 12x + = 0

Tính ’= 36 - 36 = => phương trình có nghiệm kép

6

x x  

1.4 Kết luận

a Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (với a 0) có nghiệm  

và ngược lại, cơng thức nghiệm là: 1,2

b x

a    

b Về số nghiệm phương trình bậc hai:

- Phương trình vơ nghiệm ( khơng có nghiệm thực) <0

- Phương trình có nghiệm   phương trình có hai nghiệm

phân biệt có hai nghiệm trùng ( nghiệm kép), tránh nhận thức sai lầm  = phương trình bậc hai có nghiệm

II PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :

Ta thường gặp số dạng phương trình quy phương trình bậc hai trường phổ thơng sau đây:

Ngêi thùc hiƯn: Đặng Thị Hồng Quyên

Phng trỡnh cú nghim x1 = -1; x2 =

Tính = b2 – 4ac

phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

x1,2 = phương trình bậc hai có

nghiệm kép x1 = x2 = phương trình bậc

hai vơ nghiệm:

0



(14)

1.Phương trình chứa ẩn số mẫu:

a Khái niệm:

Phương trình chứa ẩn số mẫu phương trình có ẩn số nằm mẫu thức phương trình nhờ phép biến đổi tương đương ta đưa phương trình dạng trung gian: phương trình bậc hai

b Cách giải:

Thực bước giải quy tắc chung giải phương trình: ý biến đổi phương trình tương đương ta làm sau:

- Tìm điều kiện xác định phương trình đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị mẫu thức phải khác không)

- Khử mẫu ( nhân hai vế phương trình với mẫu thức chung vế)

- Mở dấu ngoặc hai vế phương trình chuyển vế: chuyển hạng tử chứa ẩn vế , hạng tử không chứa ẩn vế kia)

- Thu gọn phương trình dạng tổng quát học

- Nhận định kết trả lời ( loại bỏ gía trị ẩn vừa tìm khơng thuộc vào tập xác định phương trình)

c.Ví dụ:

* Ví dụ 1: giải phương trình:

2

3

2 1

x x

x x x



 

   (a)

Phân tích mẫu thức thành nhân tử: (a) 

2

3

2( 1) ( 1)( 1)

x x

x x x x



 

   

Điều kiện

1

x

x x

  

 

   

Mẫu thức chung : 2(x 1)(x1)

Khử mẫu ta có: (x x1) 2( x1) 2( x22)

Mở dấu ngoặc: 3x2 3x 2x 2 2x2 4

    

(15)

Chuyển vế đổi dấu : 3x2 3x 2x 2 2x2 4 0

     

Thu gọn:x2 x 2 0

   (b)

Giải phương trình (b) ta hai nghiệm: x11;x2 2

Nhận định kết quả: đối chiếu với điều kiện ban đầu x1 Vậy phương trình (a) có nghiệm là: x = -2

Ví dụ 2: giải phương trình:

3 2

4

0 2x 3x  8x12 x  2 x 7x6 2 x3 (a) Vì 2x33x2 8x12 (2 x3 ) (3x  x212)

2

2 ( 4) (3 4) (2 3)( 2)( 2)

x x x

x x x

   

   

2

2x 7x 6 (2x 3 ) (4x  x6)

(2 3) 2(2 3) ( 2)(2 3)

x x x

x x

   

  

(a)

4

(2x 3)(x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(2x 3) 2x

   

       

Điều kiện:

2 2

2 3

2

x x

x

x x

    

 

   



 

   

Mẫu thức chung: (x 2)(x2)(2x3)

(a)

4 (2 3) 4( 2) ( 2)( 2) 4

x x x x

x x x

       

      

Thu gọn:x2 6x 5 0

   (b)

Phương trình (b) có hai nghiệm:

1 1;

x  x 

(16)

Nhận định kết x1=1 x2=5 thuộc miền xác định phương

trình (a) nên nghiệm phương trình (a) Ví dụ Giải phương trình

(4)

Giải. Điều kiện phương trình (4)

Nhân hai vế phương trình (4) với ta phương trình hệ

(4)

Phương trình cuối có hai nghiệm Ta thấy không thỏa mãn điều kiện phương trình (4), nghiệm ngoại lai nên bị loại,

thỏa mãn điều kiện nghiệm phương trình (4) Vậy phương trình (4) có nghiệm

d Nhận xét:

- Loại phương trình ví dụ dạng có nhiều trường trung học sở

- Khi giải cần lưu ý: Tìm miền xác định phương trình, cuối phải nhận định kết trả lời

2 Phương trình đưa dạng tích : a Dạng tổng quát: A.B =

0

A B

 

  



b Cách giải:

Để giải phương trình bậc lớn ( học sinh cấp 2) thường dùng phương pháp biến đổi phương trình tích vế trái tích nhân tử cịn phải 0.Muốn học sinh phải có kĩ phân tích đa thức thành nhân tử

(17)

c Ví dụ:

*Ví dụ 1( Bài 36, trang 56 SGK Tốn 9):Giải phương trình a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0

b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0

Giải

a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) =

2

x - = 3x - 5x +

  



 

x=±2

¿

x=5±√13

6

¿ ¿ ¿ ¿

Vậy S =

5 13 13 2; 2; ;

6

   

 



 

 

 

b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0

 (2x2 + x – + 2x - 1)(2x2 + x – - 2x + 1) =  (2x2 +3x -5)(2x2 - x -3)=



2

2x +3x - = (1) 2x - x - = (2)

  

giải (1)và (2) ta x1 = 1; x2 = -2.5; x3 = -1; x4 = 1.5

Vậy S = x = 1; x = -2.5; x = -1; x = 1.51 

*Ví dụ 2: Giải phương trình:

3

2x 7x 7x 2 (a)

Chú ý hệ số vế trái, phân tích thành nhân tử: 2x3+7x2+7x+2=¿(2x3+2)+(7x2+7x)

3

2(x 1) (x x 1)

   

2

2(x 1)(x x 1) (x x 1)

  

(18)

(x+1)(2x2+5x+2)

(a) (x1)(2x2 5x2) 0

(b)

2

1 (*)

(**) (*) x

1 (**) 2;

2

x

x x

  



  



  



  

Vậy phương trình (a) có nghiệm: x1= -1; x2= -2; x3=

1 d Nhận xét:

-Giải phương trình đưa dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình dạng phương trình tích ta phương trình mà vế trái gồm phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai biết cách giải

- Chú ý tới hai tính chất phương trình bậc 3: ax3+ bx2+ cx+ d= 0

Nếu a+ b+ c + d = phương trình có nghiệm x1=1

Nếu a – b + c – d = 0thì phương trình có nghiệm x1= -1

Khi nhận biết nghiệm, ta phân tích vế trái phương trình thành nhân tử

- Phương trình bậc có hệ số ngun Nếu có nghiệm ngun nghiệm ngun phải bội số hạng tử tự ( Định lí tồn nghiệm nguyên phương trình với hệ số nguyên)

3 Phương trình bậc bốn:

Phương trình bậc bốn phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e =

trong a, b, c, d ,e số cho trước, a 0

Một số dạng bậc bốn mà qua phép đặt ẩn phụ ta quy dạng phương trình bậc hai

(19)

“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 3.1 Phương trình trùng phương:

a) Dạng tổng qt:

Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = x ẩn số; a,b,c hệ

số, a0 b) Cách giải:

 Loại phương trình giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t

từ ta đưa đến phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c

=0

 Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau trả biến: x2 = t

( Nếu giá trị tìm t thoả mãn t ta tìm nghiệm số phương trình ban đầu)

*Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x4 2x2 (a)

đặt x2 = t 0 (a) <=> 3t2-2t -1 =

Nghiệm phương trình (b) : t1= 1; t2 =

1

3 thoả mãn t 0 Với t1= =>x2 = 1=> x =1

Với t2 =

1

3=> x2 =

1

3 => x=

1

Vậy phương trình có nghiệm

1

1; 1; ;

3

x  x  x  x 

*Ví dụ 2: Giải phương trình:2x4 3x2 2 0

  

đặt x2 t (t0) ta có phương trình

t1=2

¿

t2=−

1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿2t2−3t −2=0

⇔ ¿

(20)

t2=−1

2 (lo¹i)

Với t1 =  x2 =  x = 

Vậy S =  2; 2

*Ví dụ 3: Giải phương trình:

3x 10x  3

3

t t

   



 đặt x2 t (t0) ta có phương trình3t2 10t 3 0

    ( loại)

Vậy phương trình vơ nghiệm ( loại) * Ví dụ : Giải phơng trình

¿

2x2

+1=

x2−4

¿

⇔2x4+x2=7−4x2 ⇔ 2x4 + 5x2 -7=0

đặt x2=t với t > ta đợc 2t2 +5t -7 =0

Cã :2+5-7=0 nªn

t1=1(thoả mÃn) ; t2= 7

2 (loại) với t1=1 suy x2=1 suy x1=1 ; x2=-1. VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1=1 ; x2=-

d) Nhận xét : Khi nghiên cứu số nghiệm phương trình trùng phương ta thấy

+ Phương trình vơ nghiệm khi:

- Hoặc phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm

- Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm âm + Phương trình có nghiệm khi:

- Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, nghiệm kép dương - Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm có nghiệm dương nghiệm âm

(21)

“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

a.Cách giải:

* Đặt điều kiện để phương trình xác định có * Đặt ẩn phụ giải phương trình theo ẩn * Trở ẩn ban đầu xác định tập nghiệm b Bài tập: Bài 40, tr57 SGK T9

Giải phương trình cách đặt ẩn phụ a 3(x2+x)2- 2(x2+ - =x)

b.(x2- 4x+2)2+ -x2 4x- 4=0 Giải

a 3(x2+x)2- 2(x2+ - =x)

2

1

( )

1 5

;

2

x x

hay x x

x x

+ =

+ - =

- +

-= =

Đặt (x2+ =x) t ta có 3t2- 2t- =1 0

⇔

t1=1

¿

t2=1

3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Với t1=1, ta có

Với t2=

1

3ta có

2

3

x + =-x

hay

2 0

3

x + + =x

Phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm

b.(x2- 4x+2)2+ -x2 4x- 4=0 Đặtx2- 4x+ =2 t

ta có phương trình t2+ -t 6=0

giải ta t1 = 2; t2 =

-3

(22)

Với t1 = ta có

2

4 2

x - x+ = ⇔

4

x - x=

⇔

x=0

¿

x=4

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Với t2= -3 ta có

2 4 2 3

x - x+ =- hayx2- 4x+ =5 0

phương trình vơ nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = 0; x2 =4 3.3.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ Giải phương trình (3)

Giải

Cách 1

a) Nếu phương trình (3) trở thành Từ Giá trị khơng thỏa mãn điều kiện nên bị loại

b) Nếu phương trình (3) trở thành Từ Giá trị thỏa mãn điều kiện nên nghiệm

Kết luận. Vậy nghiệm phương trình x=2

3

Cách 2.

Bình phương hai vế phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả: (3)

(23)

Phương trình cuối có hai nghiệm Thử lại ta thấy phương trình (3) có nghiệm

Kết luận. Vậy nghiệm phương trình

3.4 Phương trình chứa ẩn dấu căn:

Áp dụng phương pháp: - Đặt ẩn phụ, điều kiện ẩn phụ

- Đặt điều kiện bình phương hai vế dương để đưa phương trình hệ khơng chứa ẩn dấu

Chú ý: Sau tìm nghiệm cần đối chiếu , kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp

Ví dụ Giải phương trình (1)

Giải: Điều kiện phương trình (1)

Bình phương hai vế phương trình (1) ta đưa tới phương trình hệ (1)

Phương trình cuối có hai nghiệm Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện phương trình (4) , thay vào phương trình (4) giá trị bị loại (vế trái dương vế phải âm), giá trị nghiệm (hai vế )

Kết luận Vậy nghiệm phương trình (4)

3.5 Phương trình dạng ax +bx4 3 +cx2 ± kbx +k2 a = 0.(Phương trình

hồi quy)

Chúng ta hay gặp dạng phơng trình trờng THCS phơng trình đối xứng

a) Phương pháp giải:

(24)

x = khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x2 ta :

2

( k ) ( k)

a x b x c

x x

+ + ± + =

đặt t=x ±k

x⇔t

2

=x2+k

x2±2k⇔x

2 +k

2

x2=t

2∓

2k

Ta có phương trình bậc hai: a t( 2+2 )k + + =bt c

b) Ví dụ:1) Giải phương trình x4 + = 5x( x2 -2) (1)

Giải Ta có (1) ⇔ x4 – 5x3 +10x +4 =

x = khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x2 ta

2

4

5( )

x x

+ - - =

Đặt t =

x x

ta có t

2

=x2+

x2−4⇔t

2

+4=x2+

x2

Ta có phương trình t2- 5t+ =4 0

⇔

t=1

¿

t=4

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Với t = ta có : x −2

x=4⇔x

2−4x −2

=0⇔x=2±√6

Với t = ta có :

x −2

x=1⇔x

2

− x −2=0⇔

x=−1

¿

x=2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy S = {- 1; 2; 2± 6}

2)giải phơng trình (PT đối xứng)

(25)

“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ¿

x4

+3x3+4x2+3x+1=0

Vì : x=0 không nghiƯm nªn ta chia hai vÕ cho x2

¿ ⇔(x2+

x2)+3(x+

1

x)+4=0

¿

(a)

Đặt x+

x=t

(a)⇔t2−2+3t+4=0

⇔t2+3t+2=0

⇒t1=−1⇒x+1

x=−1⇔x

2

+x+1=0 Phơng trình vô nghiệm

t2=2x+1

x=2x

2

+2x+1=0 phơng trình có nghiệm kép x=-1 Vậy phơng trình cho có nghiệm kép x=-1

Nhận xét: Giải phương trình “hồi quy” phép biến đổi tương đương “đổi biến” ta đưa phương trình bậc hai trung gian trả biến tìm nghiệm phương trình “hồi quy” ban đầu

* Số nghiệm phương trình “hồi quy” phụ thuộc vào số nghiệm phương trình bậc hai

- Nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm phương trình ban đầu vơ nghiệm

- Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2

phương trình 1;

d d

x t x t

bx bx

+ = + =

+ Vô nghiệm phương trình đầu vơ nghiệm

+ Cịn lại phương trình có nghiệm phương trình đầu có nghiệm

3.6 Phương trình dạng a[(fx)]2 +bf(x) + c = (1)

Trong a 0; (fx) đa thức biến x; x ẩn số phương trình

a) Cách giải:

(26)

- Sau tìm TXĐ phương trình đổi biến cách đặt (fx) = t Ta đưa phương trình dạng : at2 + bt +c =0 (2)

Đây phương trình bậc hai ta đẫ biết cách giải

- Nếu phương trình bậc hai trung gian (2) có nghiệm t = t0 Ta tiến

hành giải tiếp phương trình (fx) = t0

Nghiệm phương trình (fx) = t0 (Nếu thoả mãn TXĐ

phương trình cho) nghiệm phương trình (1) b) Ví dụ: Giải phương trình x4+6x3+5x2- 12x+ =3 (1) Giải

Biến đổi vế trái phương trình ta có: VT =

6 12

x + x + x - x+

= 2

6 12

x + x + x - x - x+

= (x2+3 )x 2- 4(x2+3 ) 3x +

Vậy phương trình (1) Tương đương với (x2+3 )x 2- 4(x2+3 ) 3x + =0 Đặt x2+3x=t

(2)

Ta phương trình bậc hai sau t2- 4t+ =3 0

(3)

Giải phương trình (3) ta hai nghiệm là: t1 = 1; t2 =

Với t1 = từ (2) ta có

2 3 1

x + x= phương trình có hai nghiệm phân

biệt

3 13 x

2

  

3 13 x

2

  

Với t2 = từ (2) ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 21 x   

3 21 x

2

  

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt

3 13 x    ; 13 x    ; 3 21 x   

3 21 x

2



(27)

c) Nhận xét:

Nhờ phép biến đổi f(x) = t ta đưa phương trình a[f(x)]2+bf(x) +c = 0

về dạng phương trình bậc hai mà ta biết cách giải:at2 +bt +c = 0

Tuy nhiên có số phương trình phải qua số bước biến đổi xuất dạng tổng quát ( ví dụ trên) Cũng số loại phương trình khác mà tơi giới thiệu trên, số nghiệm phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm phương trình bậc hai trung gian Chú ý:

Các dạng phương trình tơi đề xuất thực chất chúng có dạng tổng quát ( sau biến đổi):

a[f(x)]2 +bf(x) +c = 0

Và giải chúng phép biến đổi: f(x) = t

- Phươg trình trùng phương ( phương trình bậc hai) dạng đặc biệt phương trình: ax2n + bxn + c = 0.

Trong a0; nN n  ( cịn gọi phương trình tam

thức)

Các phương trình dạng đặc biệt phương trình:

a[f(x)]2 +bf(x) +c = f(x) = xn.

*ví dụ : x6-7x3- 8=0 đặt x3=t ta có :t2-7t-8=0 Vì 1-(-7)-8=0 nên t1=-1;t2=8

Víi t = t1=-1suy x3=-1 suy x1=-1 Ví t = t2=8 suy x3=8 suy x2=

Vậy phơng trình có hai nghiƯm x1=-1 ; x2= *vÝ dơ : Gi¶i phơng trình

x2008-10x1004+9=0

t x1004 = t với t > ta có phơng trình t2- 10t + =0 Vì: - 10 + = nên t1=1 ; t2=

Víi t1=1 th× x1004=1 suy x1=1 ;x2=-1 Víi t2= th× x1004 = suy x

3= 1004

9; x4=10049

Vậy phơng trình có nghiệm x1=1 ;x2=-1; x3=10049; x4=10049

(28)

3 Ph ơng trình dạng (x+a)4+(x+b)4=0

x ẩn ; a; b; c hệ số * cách gi¶i :

Nhìn chung phơng trình dạng ta khai triển vế trái , ta đến phơng trình bậc bốn đầy đủ(việc giải tổng qt phơng trình khơng u cầu học sinh THCS )

Ta biến đổi biến :

t=x+a+b

2

⇒x+a=a −bt+a −b

2

x+b=t −a − b

2

phơng trình cho trở thành : 2t4

+12 (a −b

2 )

2

.t2

+2.(a − b

2 )

4

− c=0

Phơng trình trùng phơng ẩn t ta biết cách giải * ví dụ :

ví dụ : giải phơng trình

(x+3)4+(x+5)4=2 (a) đặt t=x+3+5

2 =x+4

(a)⇔(t −4)4+(t+1)4=2

⇔2t4

+12t2+2=2

⇔t4+6t2=0⇔t2(t2+6)=0

t2+6>0⇒t2=0⇔t=0

VËy x + = ⇔ x = -

Phơng trình (a) có nghiệm kép x = - ví dụ : Giải phơng trình

(x+6)4+(x 4)4=82 (b)

(29)

đặt :

¿

t=x+6−4

2 =x+1

(b)⇔(t+5)4+(t −5)4=82

⇔2t4+300t2+1250=82

⇔2t4

+300t2+1168=0

t4+150t2+584=0(c)

Giải phơng trình (c)

đặt t2=v 0 thì

(c)⇔v2+150v+584=0(c❑

)

Δ'

=5625−584=5041

⇒√Δ'=√5045=71

v1=−75+71

1 <0

v2=

−75−71 <0

v1 vµ v2 không thoả mÃn v > phơng trình (c) vô nghiệm

phơng trình (b) vô nghiệm

* Nhận xét: phép biến đổi t=x+a+b

2 ta đợc phơng trình dạng

(x+a)4+(x+b)4=c vỊ phơng trình trùng phơng (trung gian ) có dạng tổng qu¸t :

t4+Bt2+C=0

Qua phép biến đổi t2= x với x 0 ta đa phơng trình phơng trình bậc hai trung gian: X2 + BX + C = 0

Số nghiệm phơng trình (x+a)4+(x+b)4=c phụ thuộc vào số nghiệm

phơng trình trung gian X2 + BX + C = 0

- Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm có nghiệm âm phơng trình trùng phơng t4

+Bt2+C=0 vơ nghiệm phơng trình (x+a)4+(x+b)4=c vụ nghim

- Nếu phơng trình bậc trung gian có nghiệm không âm : Xo phơng trình ®Çu cã nghiƯm :

x=t0−a+b

2 :

t=√X0

¿

t0=−√X0

¿

(30)

- Lu ý số nghiệm phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình trùng phơng phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình bậc hai trung gian

- Nh phơng trình bậc hai trung gian : X2 + BX + C = 0

+ Vô nghiệm có hai nghiệm âm phơng trình đầu vô nghiệm

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm âm nghiệm đơn phơng trình đầu có hai nghiệm phân biệt

+ Có hai nghiệm đơn phân biệt phơng trình đầu có nghiệm phân biệt

+ Có nghiệm đơn nghiệm phơng trình đầu có nghim

+ Có nghiệm kép phơng trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt

3 phơng trình dạng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m

4 hƯ sè a , b ,c ,d thµnh hai cặp cặp hai số có tổng , chẳng hạn a + c = b + d

* )C ách giải

Nhúm (x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) khai triển tích Ta đa phơng trình dạng :

[x2

+ (a+d)x+ad].[x2+(b+c)x+bc]=m

Do a+d = b+c đặt x2+(a+d).x +k =t

( k cã thĨ chän lµ :ad bc tuỳ ý ) ta đa phơng trình dạng At2+Bt+C = 0 (A=1)

Gii phng trình ta đợc nghiệm t (khi phơng trình vơ nghiệm ) Giải tiếp phơng trình x2+(a+d).x+ad =t

Ta có kết luận nghiệm phơng trình đầu

Nừu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm phơng trình đầu vô nghiệm

* ) ví dụ

ví dụ : giải phơng trình

Ngời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyªn

(31)

(x + 4) (x + 5) (x + 7) (x + 8) = (a) NhËn xÐt : + = +

(a)⇔[(x+4) (x+8)].[(x+5) (x+7)]=4

⇔(x2+12x+32) (x2+12x+35)=4( )

đặt : x2 + 12x + 32 = t

()⇔t(t+3)=4

⇔t2

+3t 4=0(b)

Vì 1+3- 4=0 nên phơng trình (b) cã hai nghiÖm : t1 =1 ; t2= - + ) t = t1 =1

¿x1=−6−√5

x2=−6+√5

¿

⇒x2+12x+32=1⇔x2+12x+31=0

⇔ {

+ ) t =t2 =-

⇒x2+12x+32=−4

⇔x2

+12x+36=0

x1,2=6

Vậy phơng trình đầu có nghiệm

¿

x1=−6−√5

x2=−6+√5

x3=x4=−6

¿{ {

¿

{

vÝ dô : Giải phơng trình sau (x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19 (a) Nhận xét : -2+7=1+4

VËy (a) ⇔[(x+1) (x+4)][(x+7) (x −2)]=19 ⇔(x2+5x+4)(x2+5x −14)=19(∗)

đặt : x2+5x -14 =t ⇔t(t+18)=19

⇔t2+18t −19=0

Vì : 1+18-19 =0 nên phơng trình có hai nghiÖm : t1=1 ; t2= -19

(32)

Vậy phơng trình (a) có nghiệm đơn :

x1=−5+√85

2

x2=−5−√85

2

x3=

−5+√5

x4=−5−√5

2 *) nhËn xÐt

với loại phơng trình có dạng :

- Nếu khai triẻn thành dạng phơng trình bậc ẩn khó giải cấp hai cha häc

- Bằng nhận xét ta nhóm hợp lý sau đổi hệ số , khai triển biến đổi nhóm ta đa đợc phơng trình bc hai trung gian

Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm phơng trình đầu v« nghiƯm

- Khi giải phơng trình bậc hai trung gian ẩn t tìm đợc t , ta trả biến giải phơng trình bậc hai ẩn x nghiệm phơng trình

nghiệm phơng trình đầu

- Ngồi phương trình trình bậc cao có dạng đặc biệt nêu mà giải đưa giải phương trình bậc hai trung gian Ta nghiên cứu thêm số phương trình bậc cao khác

4 Vài phương trình bậc cao khác.

a, Ví dụ

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x4 +4x3 +3x2 +2x – = 0

Giải:

Nhận xét: Với phương trình khơng thuộc dạng phương trình nêu trên, việc nhẩm nghiệm khó Ở ta đưa phương trình dạng phương trình tích

Ta có: VT = x4 +4x3 + 3x2 +2x -1 = 0

(33)

= (x4 +4x3 + 4x2) - (x2 - 2x+ 1)

= (x2 + 2x) 2- (x -1)2

= (x2 + x +1)(x2 + 3x - 1)

Vậy phương trình cho tương đương với: (x2 + x +1)(x2 + 3x - 1) =

(2)

Khi (2) tương đương với tập gồm hai phương trình sau:

2

1 (3) (4)

x x

   



  



- Giảiphương trình ( 3): phương trình vơ nghiệm - Phương trình (4) tương đương với: x2 +3x – = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1

3 13

  

x2

3 13

  

Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt sau:

x1

3 13

  

x2

3 13

  

*Ví dụ 2:

Giải phương trình sau: x5 + 2x4 -5x3 +10x2 +4x + = (1)

Giải:

Nhận xét: Đây phương trình bậc 5, khơng có cách giải tổng qt.Vì vậy, ta biến đổi đưa phương trình dạng tích Bằng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy phương trình có nghiệm x = -

Phương trình (1) trở thành: (x+1)( x4 +x3- 6x2 – 4x +8) = 0

Ta lại thấy đa thức f(x) = x4 +x3- 6x2 – 4x +8 có nghiệm x = Ta

cú:

Ngời thực hiện: Đặng Thị Hồng Quyªn

(34)

(x+1)( x4 +x3- 6x2 – 4x +8) = 0

 (x+1)(x-1)(x3 +2x2 – 4x -8) =  (x+1)(x-1)[(x3+2x2) – 4(x+2)] =  (x+1)(x-1)[x2( x+2) – 4(x+2)] =  (x+1)(x-1)( x+2) (x2– 4) =

 (x+1)(x-1)( x+2) ( x-2) ( x+2) =

Vậy phương trình (1) tương đương với:

1

2

x x

  

 

    

  

    

 

  

 

Vậy nghiệm hai phương trình cho là: x1= -1; x1= 1; x1= -2; x1= -2

* Ví dụ 3:

Giải phương trình: x5 – 1= (1)

Giải:

Áp dụng đẳng thức: an +bn = ( a – b)( an-1+ an-2b + +bn-1)

Ta có phương trình (1)  (x - 1)( x4 +x3 +x2 +1) =



1

x

x x x x

 

 

    



+ Nếu x – = 0 x =

+ Nếu ( x4 +x3 +x2 +1) = 0

Do x = khơng phải nghiệm phương trình này, nên ta chia hai vế phương trình cho x2 ta phương trình tương

đương sau:

x2 + x + +

1

x +

1

x = (2)

(35)

Nhận thấy phương trình “ Hồi quy” Đặt t = x +

x (*)

(2)  ( x +

1

x)2 + ( x +

1

x) – = 0

 t2 + t – = 

1 5 t t            

+ Nếu t1=

1

 

(*)  x +

1

x=

1

 

 2x2 + ( 1+ 5)x + = (***)

Ta có: = (1+ 5)2 – 4.2.2 < Suy phương trình (***) vơ nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm x = b, Nhận xét:

Với phương trình bậc cao không thuộc dạng đặc biệt nêu cách giải thích hợp học sinh THCS tìm cách đưa biến đổi chúng dạng tích vế trái vế phải Như vậy, phương trình thường đưa tập phương trình bậc bậc hai

Số nghiệm phương trình đầu phụ thhuộc vào số nghiệm phương trình tương đương

5 Một số tập đề nghị Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh chứa ẩn sổ mẫu sau:

a,

2

1 x x x x     b,

2 1

1 1

x x

x x x x

 

 

   

c,

1 3 6

x x

x x x



 

  

Bài 2: Giải phương trình bậc cao sau: a, x4 – 6x2 + = 0

(36)

b, x3 + 7x2 – 56x + 48 = 0

c, 2x3 + 5x2 + 6x + = 0

d, (x – 4,5)4 +( x-5,5)4 =1

e, (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = g, x4 – 3x3 + 9x2 – 27 x + 81 = 0

f, 30x4 –17 x3 – 289 x2 +17 x + 30 = 0

h, x4 +4x3 – 10 x2 - 28x – 15 = 0

i, ( x2 + x + 1)2 – 3x2 – 3x – = 0

Phần III: thực nghiệm

*********************************

Ngày soạn :25-05- 2008

Ngày dạy :02- 06 - 2008

Phơng trình quy phơng trình bậc hai

I Mơc tiªu:

- HS biết cách giải số dạng phơng trình quy đợc phơng trình bậc hai nh: phơng trình trùng phơng, phơng trình có chứa ẩn mẫu thức, vài

Tiết 1

(37)

dạng phơng trình bậc cao đa phơng trình tích giải đợc nhờ ẩn phụ

- HS ghi nhớ giải phơng trình chứa ẩn mẫu thức trớc hết phải tìm điều kiện ẩn phải kiểm tra đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thoả mãn điều kiện

- HS đợc rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử để giải phơng trình tích

II Chn bÞ cđa GV vµ HS :

* GV: Bảng phụ giấy (đèn chiếu) ghi câu hỏi, tập Bỳt vit bng

* HS: Ôn tập cách giải phơng trình chứa ẩn mẫu thức phơng trình tích ;cách giải phơng trình bậc hai

- Bảng phơ nhãm, bót viÕt b¶ng

III Tiến trình bài dạy ổn định tổ chức(1 phút) Kiểm tra bi c: (4 phỳt)

Nêu cách tính nghiệm phơng trình bậc hai Nội dung

Hot ng thày trò Nội dung

Hoạt động

Phơng trình trùng phơng

V: Ta ó bit cách giải phơng trình bậc hai Trong thực tế, có phơng trình khơng phải bậc hai, nhng giải đợc cách quy phơng trình bậc hai

? Làm để giải đợc phơng trình trùng phơng

H: Ta đặt ẩn phụ, đặt x2 = t ta đa đợc phơng trình trùng phơng dạng phơng trình bậc hai ri gii

I .Ph ơng trình trùng ph ơng cã d¹ng (10 phót)

ax4 + bx2 + c = (a  0) VÝ dô:

2x4 + 3x2 + = 0 5x4 - 16 = 0 ? học sinh lên bảng giải

Cả lớp làm vào GV : nhận xét ;sửa sai

a) 4x4 + x2 - = 0 đặt x2 = t  0 4t2 + t - = 0

cã a + b + c = + - =

 t1 = (TM) ; t2 = -5/4 (lo¹i) t1 = x2 =  x1,2 =  1

b) 3x4 + 4x2 + = 0 Đặt x2 = t  0 3t2 + 4t + =0

cã a - b + c = - + =

 t1 = -1 (loại) ; t2 = -1/3 (loại) Phơng trình vô nghiệm

Hot ng

Phơng trình chứa ẩn mẫu thức II Ph ơng trình chứa ẩn mẫu (15 phút)

GV cho phơng trình :

(38)

? Với phơng trình chứa ẩn mẫu thức, ta cần thêm bớc so với phơng trình không chứa ẩn mẫu ?

H: Ta cần thêm bớc;

- Tỡm iu kin xỏc định phơng trình - Sau tìm đợc giá trị ẩn, ta cần loại giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phơng trỡnh ó cho

? Tìm điều kiện x ? GV :híng dÉn häc sinh lµm HS : Nghe vµ ghi bµi

x2−3x +6

x2−9 =

x −3 x 

x2 - 3x + = x + 3

 x2 - 4x + = 0

cã a + b +c = - + =

 x1 = (TM§K); x2 = c/a = (loại)

Vậy nghiệm phơng trình x =

Bµi 35 b, tr 56 SGK HS :lên bảng làm HS : lớp làm vào GV : nhËn xÐt ; cho ®iĨm

Chú ý : Khi giảI phơng trình chứa ẩn mẫu cần đặt điều kiện xác định Khi giải xong cần đối chiếu với ĐKXĐ

b) x+2

x −5+3= 2− x

§K: x  ; x 

(x + 2) (2 -x) + 3(x - 5)(2 -x) = 6(x -5 )

 -x2-3x2+21x - 30 = 6x - 30

 4x2 - 15x - = 0

 = (-15)2 + 4.4.4

= 225 + 64 = 289

⇒√Δ = 17 x1 = 15+17

8 =4 (TM§K) x2 = 15−17

8 =−

4 (TMĐK) Hot ng

Phơng trình tích

? Một tÝch b»ng nµo ?

G: hớng dẫn HS giải H: nghe ghi

III Ph ơng trinh tích (10 phút) VD: (x + 1)(x2 + 2x - 3) = 0

 x + = hc x2+2x - = 0 * x + 1=

x1 = -1

* x2 + 2x - = 0 cã a + b + c = x2 = ; x3= -

Phơng trình có nghiƯm sè HS : tù lµm vµo vë

HS1 : Lên bảng giải GV: nhận xét cho điểm

Bµi 36 (a) tr 56 SGK (3x2 - 5x + 1)(x2- 4) = 0

 3x2 - 5x + = hc x2 - 4=0 *3x2 - 5x + = 0

 = (-5)2 - 4.3.1 = 13

⇒√Δ = √13 x1,2 = 5±√13

6 * x2 - = 0

 (x - 2) (x + 2) =

 x3 = ; x4 = -2

(39)

“PHƯƠNG TRÌNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI

Vậy phơng trình cã nghiÖm x1,2 = 5±√13

6 ; x3,4 =  4.Cđng cè.(3 phót)

? Cho biÕt cách giải phơng trình trùng phơng

H: gii phơng trình trùng phơng ta đặt ẩn phụ x2 = t  0; ta đa đợc phơng trình dng bc hai

? Khi giải phơng trình có chứa ẩn mẫu cần lu ý bớc nào? ? Ta giải số phơng trình bậc cao cách nào? 5.Hớng dẫn nhà.(2 phút)

-xem lại phơng trình học - làm

Giải phơng trình sau:

2x37x27x 2 x2008-10x1004+9=0

Ngµy soạn :25/5/2008 Tiết 2

Ngày dạy :2/6/2008

Phơng trình quy phơng trình bậc hai

I Mơc tiªu:

- Rèn luyện cho HS kĩ giải số dạng phơng trình quy đợc phơng trình bậc hai: phơng trình hồi quy , phơng trình dạng tam thức, phơng trình dạng (x+a)4+(x+b)4= 0, số dạng phơng trình bậc cao

- Rèn cho học sinh kỹ giải phơng trình quy phơng trình bậc hai đơn giản :phơng trình bậc ba , phơng trình bậc bốn

II Chuẩn bị GV HS :

* GV: Bảng phụ giấy (đèn chiếu) ghi tập, vài giải mẫu, bút viết bảng

* HS: Bảng phụ nhóm, bút viết bảng, máy tính bỏ túi III Tiến trình dạy

1 n định tổ chức (1phút)

2 KiĨm tra bµi cị: (4phút) Giải phơng trình trùng phơng x4 - 5x2 + = 0

Đặt x2 = t 0 t2 - 5t + = 0

Cã a + b + c = - + =

 t1 = ; t2 = ca = t1 = x2 =  x1,2 =  1

t2 = x2 =  x3,4 =  2

(40)

Sau ú cho HS nhận xét, GV nhận xét, cho điểm 3.Nội dung

Hoạt động thày trò Nội dung

Hot ng

HS : Nêu cách giải phơng trình

GV: Nu khai trin hai v ta đến phơng trình bậc đầy đủ (việc giải phơng trình em làm khó khăn)

Do phải đổi biến

GV: Ra đề ,chia lớp thành nhóm, nhóm làm ví dụ

2HS: lên bảng làm

HS khác : làm theo nhóm

GV : Cho c¸c nhãm nhËn xÐt ,sưa sai

GV nhận xét, sửa bài, cho điểm

I Ph ơng trình dạng

(x+a)4 +(x+b)4 =0 (14 phót)

Víi x lµ Èn ; a,b,c hệ số

Cách giải

t=x+a+b

2

⇒x+a=a −bt+a −b

2

x+b=t −a − b

2 phơng trình cho trở thành : 2t4+12 (a −b

2 )

2

.t2+2.(a − b

2 )

4

− c=0

Phơng trình trùng phơng ẩn t ta biết cách giải

vÝ dô : giải phơng trình

(x+3)4+(x+5)4=2 (a) t t=x+3+5

2 =x+4

(a)⇔(t −4)4+(t+1)4=2

⇔2t4+12t2+2=2

⇔t4+6t2=0⇔t2(t2+6)=0

t2

+6>0⇒t2=0⇔t=0

VËy x + = x = - Phơng trình (a)có nghiƯm x = -

vÝ dơ : Giải phơng trình

(x+6)4+(x 4)4=82 (b)

t :

¿

t=x+6−4

2 =x+1

(b)⇔(t+5)4+(t −5)4=82

⇔2t4+300t2+1250=82

⇔2t4

+300t2+1168=0

⇔t4+150t2+584=0(c)

¿

(41)

GV (chú ý): Đặt ẩn phụ

Giải phơng trình (c)

đặt t2=v 0 thì

(c)⇔v2+150v+584=0(c❑

)

Δ'

=5625−584=5041

⇒√Δ'

=√5045=71

v1=−75+71

1 <0

v2=

−75−71 <0

v1 v2 không thoả mÃn v > phơng trình (c) vô nghiệm

phơng trình (b) vô nghiệm

GV : hớng dẫn HS

- Nhận dạng phơng trình thuộc dạng đối xứng

- Cách giải phơng trình dạng đối xứng

+ Chia hai vÕ cho x2(nÕu x=0 không là nghiệm phơng trình)

+ Nhóm hạng tử thích hợp (có phần hệ số giống nhau)

+Đặt ẩn phụ giải phơng trình bậc hai tỡm c

+ Tìm nghiệm phơng trình đầu kết luận

HS: Giải

II Ph ơng trình đối xứng(12 phút)

(Các hệ số đa thức vế trái có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa)

VÝ dô

¿

x4

+3x3+4x2+3x+1=0

Vì : x=0 không nghiệm nên ta chia hai vế cho x2

¿ ⇔(x2+

x2)+3(x+

1

x)+4=0

(a)

Đặt x+

x=t

(a)⇔t2−2+3t+4=0

⇔t2+3t+2=0

⇒t1=−1⇒x+1

x=−1⇔x

2

+x+1=0

Phơng trình vô nghiệm

(42)

HS nhận xét, GV chữa GV :cho điểm

GV:? Em có nhận xét phơng trình HS: Giống phần biến :

x2+x ( ý a) x2- 4x (ý b)

GV : VËy em h·y nªu cách giải phơng trình này?

HS: t n ph cho phơng trình ý a đặt : x2+x=t

ý b đặt : x2-4x+2=t

HS : nhóm giải phơng trình HS đại diện lên bảng làm GV : Nhận xét ,cho điểm

*GV : Ngồi phơng trình cịn nhiều dạng phơng trình khác giải cách qui phơng trình bậc hai :phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối , phơng trình chứa ẩn dới dấu căn… Chúng ta cần tự học tập , tự đọc sách tìm hiểu thêm để mở rộng kiến thức hận xét ,sửa sai

⇒t2=−2⇒x+1

x=−2⇔x

2

+2x+1=0

ph¬ng trình có nghiệm kép x=-1

Vy phng trỡnh cho có nghiệm kép x=-1

III Giả i ph ng trình b ng cách t ẩn ph ụ (10 phót)

B i tà ậ p: B i 40, tr57 SGK T9à a 3(x2+x)2- 2(x2+ - =x) b.(x2- 4x+2)2+ -x2 4x- 4=0 Gi

i ả

a 3(x2+x)2- 2(x2+ - =x)

Đặt (x2+ =x) t ta cã

2

3t - 2t- =1

⇔

t1=1

¿

t2=1

3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2

( )

1 5

;

2

x x

hay x x

x x

+ =

+ - =

- +

-= =

Với t1=1, ta cã :

1

1 5

;

2

x =- + x =

-Với t2=

(43)

1

3ta cã

2

3

x + =-x

hay

2 0

3

x + + =x

Phương tr×nh n y vô nghim

Vy phng trình Ã cho có hai nghiệm

b.(x2- 4x+2)2+ -x2 4x- 4=0

Đặtx2- 4x+ =2 t ta cã phương tr×nh t2+ -t 6=0 giải ta t1 = 2; t2 = -3

Với t1 = ta cã x2- 4x+ =2

⇔ x2- 4x=0 ⇔

x=0

¿

x=4

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Với t2= -3 ta cã x2- 4x+ =-2 hayx2- 4x+ =5 phng trình n y vô nghi m

Vậy phương tr×nh đ· cho cã nghiệm x1 = 0; x2 =4

4.Cđng cè (2 phót)

* Nêu dạng phơng trình bậc cao mà em biết, trình bày cách giải ? 5.Hớng dẫn nhà (2 phút)

Giải phơng trình sau: (x+3)3-(x+1)3=56

2 x4-2x3+5x2-2x+1=0 (x+3)4+(x+5)4=16 (x2+3x)2-(2x2+6x)+1=0

(44)

PhÇn IV- KÕt luËn

***************************************

Dạy học phương pháp giải tập có ý nghĩa quan trọng, địi hỏi người giáo viên phải có say mê với nghề nghiệp đạt kết tốt.Giáo viên phải có phương pháp, kiểm tra, đơn đốc học sinh Giúp học sinh phát huy tính sáng tạo để đưa cách giải tập hay

Vấn đề dạy học phương pháp tìm tịi lời giải tập thực có tác dụng cho dạng, tập Giúp học sinh làm quen với phương pháp suy nghĩ, phương pháp làm việc tìm tịi lời giải Đồng thời với tìm tịi học sinh, người giáo viên phải hướng học sinh tiến hành theo trình tự chặt chẽ cách giải tập để giải

Qua trình học theo hệ đào tạo Từ xa cho giáo viên mơn Tốn THCS thân tơi nhận thấy tiếp thu thêm nhiều kiến thức đồng thời thêm phương pháp nghiên cứu khoa học

Trong đề tài nêu số cách giải phương trình bậc cao đưa phương trình quen thuộc phương trình biết cách giải Tài liệu dùng cho giáo viên Tốn học sinh giỏi mơn Tốn tham khảo cách giải trình bày phương trình Nội dung đề tài cịn hạn chế, mong giúp đỡ góp ý thầy – giáo cho tơi để tơi hồn thành tốt đề tài

Do lực kinh nghiệm thân hạn chế nên nội dung đề tài chưa đáp ứng đầy đủ việc dạy học Tôi mong giỳp ca thy giỏo , cô giáo

X¸c nhËn cđa trêng THCS

Nam Định, ngày tháng năm 2008

(45)

Ngêi thùc hiƯn

đặng thị hồng qun

PHÇN V : Tài liệu tham khảo

************************************ Sỏch giáo khoa đại số lớp 9- NXBGD

2 Sách tập đại số lớp 9- NXBGD Sách giáo viên đại số lớp _ NXBGD

4 Một số vấn đề phát triển đại số lớp – NXBGD Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS _ Đại số Một số đề thi học sinh giỏi cấp thị , cấp tỉnh

7 Sách bồi dỡng học sinh giỏi đại số – NXBGD Một số tạp chí tốn học khác

9 Một số vấn đề đổi phơng pháp dạy học trờng THCS