Ch¼ng h¹n, ®Ó thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc ®¹i sè th× kh«ng thÓ thiÕu viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, hay viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc cao sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu häc sin[r]
(1)PhÇn chung
1 Lí chọn ti
1.1 Cơ sở pháp chế
o tạo bồi dỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi nhu cầu cấp thiết xã hội, góp phần khơng nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc Chính vậy, năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục trọng
1.2 C¬ së lý luËn
Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thông Là môn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chơng trình, nội dung SGK, nắm vững ph-ơng pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu cơng việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thờng xun phải làm
Trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh có khiếu mơn Tốn Giúp cho em trở thành học sinh giỏi thực mơn tốn công tác mũi nhọn công tác chuyên môn đợc ngành giáo dục trọng Các thi học sinh giỏi cấp đợc tổ chức thờng xuyên năm lần thể rõ điều
Chơng trình Tốn bậc THCS có nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi, chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trò quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phơng trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm có tốn chun đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân quan tâm 1.3 Cơ sở thực tiễn
Năm học này, thân đợc Nhà trờng Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải tốn máy tính Casio Đây hội để đa đề tài áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi
Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài
2 Nhiệm vụ đề tài
- Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử
- Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phơng pháp giải tập thích hợp cho
- Thực nghiệm việc sử dụng phơng pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy
- Đề xuất số học kinh nghiệm trình nghiên cứu
3 Giới hạn đề tài
Đề tài đem áp dụng hai trờng: Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú dành cho đối tợng học sinh gii b mụn Toỏn lp
4 Đối tợng nghiªn cøu
Häc sinh giái líp cđa Trêng THCS Dân tộc nội trú Trờng THCS Nguyễn Thái Học
5 Phơng pháp nghiên cứu
thc đề tài này, sử dụng phơng pháp sau đây: a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận
b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn c) Phơng pháp quan sát
d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa e) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm
6 Thêi gian nghiªn cøu
Từ ngày / / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007
7 Tài liệu tham khảo
thc đề tài này, sử dụng số tài liệu sau:
- S¸ch gi¸o khoa, s¸ch gi¸o viên Toán 8, Toán
- Chuyờn bi dỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn)
- “23 chun đề giải 1001 tốn sơ cấp” Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH)
Nội dung đề tài
(2)1.1 C¬ së lÝ luận
1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1
+ Nu mt đa thức đợc viết dới dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức cho đợc phân tích thành nhân tử
+ Víi đa thức ( khác ) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy:
anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( an c x
n + an −1 c x
n – 1 + … + a0
c ) ( víi c 0, c ) b) Định nghĩa 2
Gi s P(x) P [x] đa thức có bậc lớn Ta nói P(x) bất khả quy tr-ờng P khơng thể phân tích đợc thành tích hai đa thức bậc khác nhỏ bậc P(x) Trờng hợp trái lại P(x) đợc gọi khả quy phân tích đợc P
1.1.2 Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1
Mỗi đa thức f(x) trờng P phân tích đợc thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử v cỏc nhõn t bc 0.
b) Định lý 2
Trên trờng số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức Δ < Vậy đa thức R có bậc lớn phân tích đợc thành tích đa thức bậc bậc hai với Δ <
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Gi¶ sư f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, đa thức hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p ớc an nhng p ớc hệ số lại p2 ớc số hạng tự a0 Thế đa thức f(x) bất khả quy Q.
1.2 Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư
Qua định lý trên, ta chứng tỏ đa thức phân tích đợc thành tích đa thức trờng số thực R Song mặt lí thuyết , cịn thực hành khó khăn nhiều , địi hỏi “kĩ thuật” , thói quen kĩ “ sơ cấp” Dới qua ví dụ ta xem xét số phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử
1.2.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung
Phơng pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngợc)
Bµi : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)
Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x2(y 2z ) – 15x(y – 2z)2
Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài : phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3y 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
(3)A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y 2z)(16x2 10y)
Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + 6
Gi¶i: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3)
Bµi : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z2 + 1) 1.2.2 Phơng pháp nhóm hạng tử
Phng phỏp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau s vớ d :
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2))
= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x y)(z x) Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Gi¶i: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x6 + x4 + x2 + 1
Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + 1 = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + – y2
Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2
=(x +1 – y)(x + + y ) Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz
Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1
Gi¶i: Ta cã : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1 = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 1)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)
Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta cã : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2
(4)= (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)
NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)
nªn : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x y)(x z)
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Gi¶i: Ta cã : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Gi¶i: Ta cã : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Gi¶i: Ta cã : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2)) = (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)
= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)) = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)
= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 1.2.3 Phơng pháp dùng đẳng thức đáng nhớ
Phơng pháp dùng đẳng thức để đa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác
Các đẳng thức thờng dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = x4 + x2y2 + y4
Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 xy) Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(5)Giải: Ta cã : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bµi 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
Bµi 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Gi¶i: Ta cã: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y z) Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)3 +(x - y)3
Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải nh sau : Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
= 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2)
C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25
Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Gi¶i: DƠ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bµi 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
P = x8 – 28
Gi¶i: Ta cã : P = x8 – 28
= (x4 + 24) (x4 - 24)
= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(6)Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3)
= (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 1.2.4 Phơng pháp thực phép chia:
Nu a nghiệm đa thức f(x) có phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau lại phân tích tiếp g(x)
Sau số ví dụ cụ thể:
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 Gi¶i:
Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = 0 Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc:
f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + có g(-2) = 0 Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc:
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + Ta có: h(-2) = Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)
= (x + 2)3(x2 + 1)
Khi thực phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta sử dụng sơ đồ Hoocne để thực phép chia đợc nhanh
VÝ dô chia f(x) cho (x + 2) nh sau :
1 13 14 12
-2 4
VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) nh sau :
1 4
-2 2
VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + cho (x + 2) nh sau :
1 2
-2 1
VËy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1) VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 2x3 11x2 + 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên đa thức (nếu có) ớc 36 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36
Ta thÊy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18)
Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0 Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc :
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 1.2.5 Phơng pháp đặt ẩn phụ
Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta đa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau số toán dùng phng phỏp t n ph
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
(7)= y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x 6) Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức cho trở thành : A = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12
= y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc :
A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x12 3x6 + 1 Gi¶i: B = x12 – 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y ) Đa thức cho trở thành :
B = y2 – 3y + 1 = y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y
= (y – - √y )(y + + √y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) đợc :
B = (x6 – - √x6
¿(y+1+√x6) = (x6 – – x3)(x6 + + x3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x3 - 3
√2 x2 + 3x +
√2 - Giải: Đặt : y = x - 2 , ta cã x = y + √2 A = (y + √2 )3 - 3
√2 (y + √2 )2 + 3(y +
√2 ) + √2 - = y3 + 3y2
√2 + 3y.2 + √2 - √2 (y2 + 2
√2 y + 2) + 3(y + √2 ) + √2 - = y3 - 3y – 2
= y3 - y – 2y – 2 = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - √2 vào (*), đợc :
A = (x - √2 + 1)2(x -
2 - 2) Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Gi¶i: Ta cã:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức cho trở thành : M = y(y + 8) + 15
= y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5)
(8)NhËn xÐt: Tõ lời giải toán ta giải toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tơng tự nh 36, ta đa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đợc đa thức A thành tích nhõn t
Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Gi¶i: Gi¶ sư x , ta viết đa thức dới dạng : A = x2((x2 +
x2 ) + 6( x -
1
x ) + ) Đặt y = x -
x x2 +
1
x2 = y 2 + 2 Do : A = x2(y2 + + 6y + 7)
= x2( y + 3)2 = (xy + 3x) Thay y = x -
x , ta đợc A = [x(x −1
x)+3x]
2
= (x2 + 3x – 1)2
Dạng phân tích với x = Nhận xét :
Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 Bằng cách đa xn làm nh©n tư cđa A, hay :
A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an + an −1
x +… + a1 xn −1 +
a0 xn Sau đặt y = x +
x ta phân tích đợc A thành nhân tử cách dễ dàng nh bi trờn
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
= (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trở thµnh :
A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + 4 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta đợc : A = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Gi¶i: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a
xy + yz + zx = b
⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b §a thøc A trë thµnh :
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*)
Thay : a = x2 + y2 + z2
b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhõn t
(9)Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta cã : A + B + C = Nªn
A + B = - C LËp ph¬ng hai vÕ :
(A + B)3 = - C3
↔ A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3 ↔ A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B) ↔ A3 + B3 + C3 = 3ABC
Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta đợc :
(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 1.2.6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)
Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ phơng pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đa v hng ng thc ỏng nh
Sau số ví dụ :
Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 6x + 5
Giải: Ta giải toán số cách nh sau: Cách 1: A = x2 – 6x + 5
= x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5
= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 6x + 9) – 4 = (x – 3)2 – 4
= (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5)
C¸ch : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6)
= (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5
= (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5)
C¸ch : A = x2 – 6x + 5
= (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4 = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5)
C¸ch : A = x2 – 6x + 5
= (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5)
C¸ch : A = x2 – 6x + 5 Đặt f(x) = x2 6x + 5
Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(x) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng (x – 5) Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chó ý: §Ĩ phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) phơng pháp tách số hạng ta làm nh sau :
Bíc : lÊy tÝch a.c = t
Bớc : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trờng hợp) t = pi.qi Bơc : tìm cặp nhân tư pi, qi mét cỈp pa, qa cho : pa + qa = b Bíc : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bớc : từ nhóm số hạng đa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(10)Giải:
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 – x2+ 3x2 – 3 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch 2: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 + 3x2 – x2– 3 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 ) + 2x2 – – 2 = (x4 – 1) + 2x2– 2
= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 + 2x2 + 1) - 4 = (x2 + 1)2 – 4 = (x2 + 1)2 – 22
= (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 – 9) + 2x2 + 6
= (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2)
= (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3
= (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + 1
Giải:
Cách : A = x4 + x2 + 1
= (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + - x)(x2 + + x) C¸ch : A = x4 + x2 + 1
= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x)
C¸ch : A = x4 + x2 + 1
= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tư F = 5x2 + 6xy + y2
Gi¶i:
C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2
= (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2
(11)= (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2
= (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 )
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y)
C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y)
= (x + y)(5(x + y) – 4y)) = (x + y)(5x + y)
C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y)
C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2
= (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2
= (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tư P = x4 + x2y2 + y4
Gi¶i:
Ta cã : P = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2
= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2
= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x
= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))
= (x2 x + 1)(2x2 + 2) Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x4 + 81 Gi¶i: Ta cã : P = 4x4 + 81
= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2
=(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 Gi¶i: Ta cã : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 x2 – x - 2
Gi¶i: Ta cã : A = x3 – x2 – x - 2 = x3 – – (x2 + x + 1)
= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – – 1)
= (x2 + x + 1)(x – 2) Bµi 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x3 + x2 – x + 2 Gi¶i: Ta cã : B = x3 + x2 – x + 2 = (x3 + 1) + (x2 - x + 1)
= (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1)
= (x2 - x + 1)(x + 2)
(12)Gi¶i: Ta cã : C = x3 – 6x2 – x + 30
= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)
= (x + 2)((x – 4)2 – 1))
= (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3)
1.2.7 Phơng pháp hệ số bất định
Phơng pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính đợc hệ số biểu diễn đòi hỏi cách gii mt h phng trỡnh s cp
Sau lµ mét sè vÝ dơ :
Bµi 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 Gi¶i: Biểu diễn đa thức dới dạng :
x4 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :
¿ a+c=−16 ac+b+d=12
ad+bc=−14
bd=3 ¿{ { {
¿
XÐt bd = víi b, d Z , b {1;3} víi b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành :
¿ a+c=−6 ac=8 a+3c=−14
¿{ { ¿
Suy 2c = - 14 + = - 8, Do c = - , a = -2 Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= (x2 – 2x + 3)(x2 4x + 1) Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Gi¶i: BiĨu diễn đa thức dới dạng :
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :
¿
ad=3
ae+bd=22
ag+cd=11
be=7
bg+ce=37
cg=10 ¿{ {{ { {
¿
⇒ ¿ a=3
b=1
c=5
d=1 e=7
g=2
¿{ { { { { ¿
VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + )
Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 – 8x + 63
Gi¶i: Ta cã thĨ biĨu diƠn B díi d¹ng : B = x4 – 8x + 63
= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
(13)Đồng hai đa thức ta đợc hệ điều kiện:
¿ a+c=0
ac+b+d=0
ad+bc=−8
bd=63 ¿{ { {
¿
⇔ ¿ a=−4
b=7
c=4
d=9
¿{ { { ¿ VËy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)
1.2.8 Phơng pháp xét giá trị riêng
Đây phơng pháp khó, nhng áp dụng cách “linh hoạt” phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phơng pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cũn li
Sau số ví dụ :
Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Gi¶i: Thư thay x bëi y th× P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y
Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh x → y → z → x Do P chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải số, P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta đợc:
4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x – y)(y z)(z x)
Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Giải: Thay x = y P = y2z2(z y) + z2x2(y – z) = 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y
Ta thấy đa thức P hốn vị vịng quanh x → y → z → x Do P chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia A cho (x – y)(y – z)(z – x) thơng số k, nghĩa :
P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k số Cho : x = 1; y = -1; z = ta đợc :
12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y z)(x z)
Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ab(a b) + bc(b – c) + ca(c – a) Gi¶i:
Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, A khơng thay đổi Thay a=b vào A ta có: A = + bc(b – c) + cb(c – b) =
Do A ⋮ (a – b)
Suy A ⋮ (b – c) A ⋮ (c – a) Từ : A ⋮ (a – b)(b – c)(c – a)
Mặt khác A đa thức bậc ba a, b, c, nên phép chia A cho (a – b)(b – c)(c – a) thơng số k, nghĩa :
A = k(a – b)(b – c)(c – a)
Cho a = 1; b = 0; c = ta đợc = -2k hay k = - A = -1(a – b)(b – c)(c – a)
= (a – b)(b – c)(a – c)
(14)P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Gi¶i:
Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z P khơng thay đổi Thay z = y vào P ta có: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0
Do : P ⋮ (y – z)
Suy P ⋮ (z – x) P ⋮ (x – y) Từ : P ⋮ (y – z)(z – x)(z – x)
Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)đợc thơng số k, nghĩa :
P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc :
2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) - = - 2k k =
VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, M khơng thay đổi.
Thay a = vµo M ta cã :
M = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0 Do M ⋮ a
Suy M ⋮ b M ⋮ c Từ : M ⋮ abc
Mặt khác M đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia M cho abc th ơng số k, nghĩa :
M = k.abc
Cho a = b = c = 1, ta đợc :
1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k = VËy M = 4.abc
Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc
2 KÕt qu¶
Tơi ứng dụng nội dung nêu vào việc bồi dỡng học sinh giỏi mơn Giải tốn máy tính Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú Kết mà thu đợc nh sau:
- CÊp Hun: Cã 11 häc sinh tham dù KÕt qu¶: giải nhất, giải nhì, giải ba, gi¶i khuyÕn khÝch
- CÊp TØnh: Cã häc sinh tham dù KÕt qu¶: gi¶i nhÊt, gi¶i nhì, giải ba, giải khuyến khích
- CÊp Quèc gia: Cã häc sinh tham dù KÕt quả: giải khuyến khích
3 Bài học kinh nghiệm giải pháp thực hiện
Trong quỏ trỡnh thực đề tài thân ngời trực tiếp thực việc bồi dỡng học sinh giỏi Tôi rút số học kinh nghiệm giải pháp thực nh sau:
- Để thực tốt công tác bồi dỡng học sinh giỏi, trớc hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật tốn, giải đợc tốn khó cách thành thạo Cần phải có phơng pháp giảng dạy phù hợp kích thích đợc tị mị, động, sáng tạo, tích cực học sinh
- Toán học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc toán điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải toán khác thể loại
- Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi cần thờng xuyên bám sát đối tợng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vợt qua khó khăn bớc đầu học tập chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi mà giáo viên đa
(15)Tuy nhiên, cần tránh cho học sinh tự ti, liên tục khơng giải đợc tốn khó gây cho em nản chí, niềm tin vào khả
4 KÕt luËn
Bồi dỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS trình lâu dài, bền bỉ Bởi em có q trình năm học tốn Để có đợc học sinh giỏi, cần phải tập trung bồi dỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục, với nỗ lực thầy lẫn trị, chắn có đợc học sinh giỏi thực môn Tốn
Do lực cịn hạn chế, năm học năm học thứ hai thân tham gia việc bồi dỡng học sinh giỏi, nên đề tài tránh đợc thiếu sót, thân tơi mong có đóng góp, bổ xung bạn đồng nghiệp, nhà quản lý giáo dục để đề tài tơi hồn thiện
Trên đây, đề tài tơi đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dỡng học sinh giỏi – Tuy nhiên, theo mạch kiến thức trọng tâm chơng trình tốn
Cuối xin chân thành cảm ơn tới BGH, đồng nghiệp Trờng THCS Nguyễn Thái Học Trờng THCS Dân tộc Nội trú có ý kiến đóng góp, đạo thực giúp tơi hồn thành đề tài
5 Kiến nghị đề xuất
- Tăng thêm thời gian bồi dỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn thời gian tuần buổi không đủ thời gian để thực công tác bồi dỡng
- NÕu cã thÓ chän lọc từ đầu vào nên chọn hai lớp: Chuyên môn tự nhiên lớp chuyên môn xà hội