Phân tích đề bài và hướng giải: Để giải câu a hs dễ dàng nhận ra phải sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích của nó bằng tổng [r]
(1)SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Mục lục Phần I Lời nói đầu Nội dung A Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác và chứng minh phương pháp diện tích I/ Các tính chất diện tích đa giác II/ Các công thức tính diện tích các đa giác đặc biệt III/ Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích Phần II B Một số dạng Phần III bài tập áp dụng và hướng dẫn giải I/ Các bài toán tính diện tích đa giác II/ Các bài toán giải phương pháp diện tích 14 1/ Các bài toán chứng minh quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm quan hệ độ dài đoạn thẳng 2/ Các bài toán bất đẳng thức và cực trị 14 Kết luận 37 -1- 29 (2) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Phần I : Lời nói đầu Như chúng ta đã biết, cùng với phát triển tư người, toán học đời Toán học là môn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho đời các môn khoa học khác và cung cần thiết cho các ngành khoa học kỹ thuật Toán học đã rèn luyện cho người nhiều đức tính quí: tính cần cù, lòng say mê, sáng tạo, kiên trì Trong toán học không thể không kể đến môn hình học Hình học rèn luyện cho người khả tư trừu tượng, sáng tạo và khả phân tích tổng hợp Trong đó, dạng toán tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả tư cao, vận dụng linh hoạt kiến thức đã học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm bài toán, đó là " Diện tích đa giác và phưong pháp diện tích " Trong quá trình giảng dạy cho học sinh câu lạc toán lớp trường tôi nhận thấy các bài tập diện tích đa giác và chứng minh phương pháp diện tích hay và lí thú Chúng có mặt nhiều các đề thi học sinh giỏi Quận và các đề thi vào lớp 10 các trường chuyên Chính vì tôi đã viết SKKN chuyên đề này để dạy cho học sinh câu lạc toán lớp trường để giúp học sinh bớt lúng túng gặp bài tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố kiến thức đã học và nâng cao khả tư duy, sáng tạo Chuyên đề gồm I/ Các bài toán tính diện tích đa giác II/ Các bài toán chứng minh phương pháp diện tích 1/ Các bài toán chứng minh quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm quan hệ độ dài đoạn thẳng 2/ Các bài toán bất đẳng thức và cực trị -2- (3) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Phần II Nội dung A.Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác và phương pháp diện tích: Để giải các bài toán tính diện tích học sinh cần phải nắm các kiến thức sau: I/ Các tính chất diện tích đa giác: Nếu đa giác chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích nó tổng diện tích các đa giác đó ( tính cộng) Các đa giác có diện tích nhau( tính bất biến) Hình vuông có cạnh đơn vị dài thì diện tích nó là đơn vị vuông ( tính chuẩn hóa) Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh đó Tam giác cạnh a có diện tích a II/ Các công thức tính diện tích các đa giác đặc biệt: Công thức tính diện tích hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước nó S = a.b b a Công thức tính diện tích hình vuông: Diện tích hình vuông bình phương cạnh nó S = a2 a a Công thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác: Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó S= a.h h b) Diện tích tam giác vuông: a -3- (4) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Diện tích tam giác vuông nửa tích hai cạnh góc vuông S= a.b = c.h b a h c Công thức tính diện tích hình thang: Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao S= a (a+b).h h b Công thức tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó S = a.h h a Công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nửa tích hai đường chéo đó S = 12 d1.d2 d2 d1 Công thức tính diện tích hình thoi Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo d2 d1 S= d1.d2 III/ Cách giảI bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích: 1/ Để tính diện tích đa giác: -4- (5) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích +/ Đa giác đó có công thức tính chưa đủ kiện để tính đòi hỏi ta phải tính kiện thiếu đó tính diện tích đa giác +/ Đa giác có công thức tính sủ dụng công thức không thể tính thì phải thông qua diện tích đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu trên +/ Tính diện tích đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này diện tích hình khác đã có biết cách tính diện tích 2/ Chứng minh hình phương pháp diện tích: +/ Ta đã biết số công thức tính diện tích đa giác dã nêu trên Do đó biết độ dài số yếu tố, ta có thể tính diện tích hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy điều cần chứng minh +/ Để so sánh hai độ dài nào đó phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau: - Xác định quan hệ diện tích các hình - Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó đẳng thức có chứa các độ dài - Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh 3/ Để giải các bài toán bất đẳng thức và cực trị ta cần nắm được: Phương pháp giải: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các bài toán cực trị thường trình bày theo hai cách; Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có các yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựợng đạt cực trị các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: +/ Quan hệ đường vuông góc và đường xiên +/ Quan hệ đường xiên và hình chiếu -5- (6) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích +/ Bất đẳng thức tam giác + / Các bất đẳng thức đại số B Một số bài tập và hướng dẫn giải I/ Các bài toán tính diện tích đa giác Để tính diện tích đa giác: +/ Đa giác đó có công thức tính chưa đủ kiện để tính đòi hỏi ta phải tính kiện thiếu đó tính diện tích đa giác +/ Đa giác có công thức tính sủ dụng công thức không thể tính thì phải thông qua diện tích đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu trên +/ Tính diện tích đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này diện tích hình khác đã có biết cách tính diện tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O là trung điểm đường cao AH Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB D và E Tính SADOE ? A E D O B Hướng giải : H N C Bài giải: Gọi N là trung điểm CD Để tính diện tích bài tập này học sinh phải nhận thấy S ABC đã biết nên ta cần tìm mối quan hệ SADOE với SABC Lại có H và O là điểm đặc biệt trên các đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm mối quan hệ đó cách lấy thêm điểm N là trung điểm DC => AD = DN = NC = AC S AOD AD S AC (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) AOC => S AOC AO S AHC AH (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) Mà SAHC = SABC ( Chung chiều caoAH) (2) Từ (1) và (2) => SAOD = 12 SABC -6- => SAOD = SAHC (1) (7) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Mà SAOE = SAOD => SADOE = SAOD = SABC áp dụng đlí Pitago vào AHC vuông H => AH = 4cm => SABC AH.BC 4.6 12cm 2 = Vậy SADOE = 12 = cm2 Bài 2: Cho hbh ABCD có diện tích Gọi M là trung điểm BC, AM cắt BD Q Tính diện tích MQDC ? C D E M N Q A B Phân tích đề bài và hướng giải: Hs cần nhận thấy SABCD = nên dễ dàng suy SBCD = Để tính SMQDC thì phải thông qua SBCD và SBMQ Do đó ta cần phải tìm mối quan hệ SBMQ với SBCD Để tìm mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có vị trí đặc biệt không cách lấy thêm điểm N là trung điểm AD Bài giải: Lấy N là trung điểm AD Ddcm AMCN là hình bình hành => AM // CN => QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình) => BQ = QE = ED => SBMQ = SBCQ => SBMQ = => SMQDC = ; SQBC = SBCD SBCD SBCD = 12 SABCD = 12 -7- (8) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM = BC Trên cạnh CD lấy N cho CN = CD a) Tính SAMN theo SABCD b) BD cắt AM P, BD cắt AN Q Tính SMNQP theo SABCD A P B M Q K D H N C Phân tích đề bài và hướng giải: Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận phải sử dung tính chất 1: Nếu đa giác chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích nó tổng diện tích các đa giác đó ( tính cộng) Nên để tính diện tích AMN ta phải làm SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN vì các đỉnh tứ giác nằm trên cạnh AMN Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua APQ Ta nhận thấy APQ và AMN có hai đáy cùng thuộc đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK và MH Từ đó suy lời giải bài toán Bài giải: a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN SABM = 10 SABCD ; SCMN = 15 SABCD; Do đó ta tính : SAMN = SADN = SABCD 13 60 SABCD 13 Vậy SMNPQ = 60 SABCD S APQ PK.AQ PK AQ S AMN MH AN MH.AN b) Kẻ MH AN ; PK AN => PK AP Vì PK// MH ( cùng vuông góc với AN) => MH AM (Theo định lí Ta let) AP AD AP Ddcm PM BM => AM = AQ AB AQ Vì DN // AB => QN DN => AN -8- (9) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích S APQ AP AQ 1 13 S Do đó AMN AM AN => SAPQ = SMNPQ = SAMN = 60 SABCD Bài 4: Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ các đường phân giác AD, BE, CF Tính diện tích tam giác DEF ( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999) A E F B H Phân tích đề bài và hướng giải: - Để tính diện tích DEF thì ta phải tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC Học sinh dễ dàng tính SABC, SAEF vì đó là hai tam giác vuông - Để tính SBFD, SDFC thì cần phải kẻ C thêm đường cao Căn thêm vào giả thiết : có phân giác các góc nên từ đó suy kẻ đường cao FH và EK => FH = FA; EK = EA D K Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = Nên ddcm ABC vuông A Ta có CF là phân giác ACB => => FA 4 =9 FA CA FB CB => (*) SAEF = => FA AB AE AF = =1 2 Cmtt => AE = Hạ FH BC ; EK BC => FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia pg góc) Cmtt trên ta tính DB = tam giác) => DC = 15 ( Dựa vào định lí đường phân giác 20 (*) SBFD = FH.BD 15 10 2 7 (*) SDFC = EK.DC 20 15 2 7 AB.AC 3.4 6 2 (*) SABC = => SDEF = SABC - ( SAEF + SBFD + SDFC) -9- (10) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Vậy SDEF = 10 Bài 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt O Đường trung trực AB cắt BD, AC M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích hình thoi theo a và b B H A N O C D M Bài giải: Gọi H là trung điểm AB Dễ dàng nhận thấy: AN HN b MB HB a *) AHN ∽ MHN ( g.g) => b b HB HA a a => HN = = AH HN AO OB *) AHN ∽ AOB (g.g) => OB HN HN b b OA a OA AH HB a => => OB = *) AHN vuông H => HN2 + HA2 = AN2 ( Theo định lí Pitago) b2 => HA2(1 + a ) = b2 a 2b 4a 2b 2 2 Do đó HA2 = a b => AB2 = 4HA2 = a b *) AOB vuông => OA2 + OB2 = AB2 b2 4a 2b 2 OA 2 => OA2 + a = a b 4a b 2a 2b 2a b 2 2 2 2 Do đó OA2 = (a b ) => OA = a b và OB = a b Mà SABCD = 2.OA.OB - 10 - (11) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Vậy SABCD 8a 3b3 2 = (a b ) Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh 30cm Trên các cạnh AB, BC, CD, DA thứ tự lấy các điểm E, F, G, H: AE = 10cm; BF =12cm, CG = 14 cm, DH = 16cm a) Tính SEFGH MF EN b) Trên EF lấy hai điểm M, N : cho EM = , FN= MF Trên cạnh HG lấy hai điểm P, Q : GP = HQ = Tính SMNPQ A 10cm E B M N 12cm F H 16cm Q P D G 14cm C Phân tích đề bài và hướng giải: a) Ta nhận thấy để tính SEFGH phải thông qua SABCD, SAEH, SEBF, SFCG, SHGD là các hình tính diện tích qua các công thức đã học b) Vì tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên cạnh tứ giác EFGH vị trí đặc biệt theo gt đã nêu Do đó ta cần tìm mối liên hệ tứ giác MNPQ với EFGH Từ đó tính diện tích tứ giác MNPQ Bài giải: a)Từ gt => EB = 20cm, CF = 18cm, DG = 16cm, AH = 14cm *) SABCD = 900 cm2 *) SAEH = SFCG = AE.AH = FC.CG = 70 cm ; SEBF EB.BF = 126cm2; SHGD = DH.DG = 120cm2 = 128 cm2 - 11 - (12) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích => SEFGH = 900 - ( 70 + 120 + 126 + 128) = 456 cm2 2 MF EF S b) Vì EM = (gt) => EM = => SHEM = HEF => SHMF = HG HG GP = (gt) => PH = => SHFP = => SHMF + SHFP = 5( SHEF + SHFG) = Dd chứng tỏ PQ = HP , => SMQP + SPMN = ( SMHP => SMNPQ = SEFGH = MN = SHFG 5 SEFGH MF + SMPF.) = 456 SHFE => SMQP = SMHP SEFGH SEFGH = ; SPMN = SMPF = 91,2 (cm2) Bài 7: Cho hình thang ABCD Biết độ dài hai đường chéo là và 5, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là Tính diện tích hình thang B A M C N K P D E Bài giải: Gọi M, N là trung điểm đáy BC, AD Dựng hình bình hành BCKD ta có : CK = BD = => SABCD = SCAK Kẻ CP là trung tuyến ACK Ta có: NP = ND + DK - PK AD AK DK = DK BC MC 2 = - 12 - (13) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích => MNPC là hình bình hành => CP = MN = Dựng hình bình hành ACKE ta có: CE = 4, EK = 3, CK = => EKC vuông E => AC CP SCAK = 2.SACP = AC.CP = đvdt Vậy SABCD = đvdt Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M, N, P thuộc AB, BC, CD cho AM : MB = 1:2 ; BN : NC = 2:3 ; CP : PD = 3:4 Nối CM, DN chúng cắt điểm E Đường thẳng qua E song song với AB cắt AP F Đường thẳng BF cắt AD Q a) Tính DQ : QA ? b) Tính SPEQ theo SABCD ? ( Đề thi học sinh giỏi lớp quận Ba Đình năm học 2000 - 2001) M A B I N F S T E Q K D P C Phân tích đề bài và hướng giải: a) +/ Để tính DQ : DA ta cần xem tỉ số đó tỉ số nào ? +/ Để tìm các đoạn thẳng tỉ lệ với bài này ta nên sử dụng định lí Ta Lét vì có các đường song song phải kéo dài DN , CD, AB, BQ: DN AB = {I} ; BQ CD = { K} Do đó ta thấy được: DQ KD DA AB Vì AB = CD Nên ta có thể tìm KD CD b) Ta nhận thấy các đỉnh PEQ nằm trên các cạnh hình thang vuông TEPD Do đó để tính SPEQ ta cần phải thông qua các STEPD , STQE , SDPQ Bài giải: a)DN AB = {I} ; BQ CD = { K} - 13 - (14) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích BI BN CD NC MB = AB => BI = = CD => MI = CD => MI = CD CD Có MI// CD => EI MI EM ED CD EC ME BS BS FB FB ES // MB => EC SC mà SC FK FK FB AB AB 3 AB CD AB// KP => FK KP => KP => KP = CD CD Mà DP = => KD = 28 QD KD Vậy QA AB 28 b) SPQE = STEPD - STQE - SDPQ ES EC Ta có : MB MC => EC EC Mà EM => MC CD CD => ES = => TE = *) STEPD = Có ES = ; có MB = MB CD 1 27 (DP ET).TD CD CD AD AD.CD S ABCD 27 7 98 QD QA 28 ( cmt) QD => DA 33 => QD = AD 33 64 AD AD 231 TD = SC = => TQ = TD - QD = 1 64 320 160 TE.TQ CD AD S ABCD S ABCD 231 3234 1617 *)STEQ = *) SQDP 1 10 QD.DP AD CD S ABCD 33 231 = => S PQE = STEPD - STQE - SDPQ = 431 S 3234 ABCD II/ Các bài toán chứng minh phương pháp diện tích 1/ Các bài toán chứng minh quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn thẳng: +/ Ta đã biết số công thức tính diện tích đa giác đã nêu trên Do đó biết độ dài số yếu tố, ta có thể tính diện tích hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình từ - 14 - (15) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy điều cần chứng minh +/ Để so sánh hai độ dài nào đó phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau: - Xác định quan hệ diện tích các hình - Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó đẳng thức có chứa các độ dài - Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Bài 1: Cho hình thang ABCD, BC // AD Các đường chéo cắt O Chứng minh rằng: SOAB = SOCD B C O A D Phân tích đề bài và hướng giải: - Ta nhận thấy OAB và OCD không chung đường cao và không chung cạnh - BAD và CAD là hai tam giác có chiều cao và chung đáy AD => SBAD = SCAD => đpcm Bài giải: - Vì BC // AD ( gt) => Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD => SBAD = SCAD => SOAB +SOAD = SOCD + SOAD Vậy SOAB = SOCD Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn, đường phân giác góc BAD cắt CD M và cắt đường thẳng BC N Gọi O là diểm cách ba điểm C, M, N và K là giao điểm OB và CD Chứng minh:a) SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SDOK C B N K O M Phân tích đề bài và hướng giải: a) Ta nhận thấy OBN và OCD có ON = OM Vì để cm SOBN = SODC ta nghĩ đến tính chất: hai tam giác thì có diện tích Do đó ta cần cm: OBN = OCD - 15 - A D b) Để cm: SBCK + SNOC = SDOK (16) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Bài giải: a) Vì O cách các điểm M, C, N => OM = ON = OC Vì BN// AD => BNA = NAD => BNA = NAB Mà NAD = NAB => BAN cân B => BA = BN => BN = CD Cmtt => CM = CN => CMN cân => CMO = CNO (1) Có OM = ON( cmt) => OMN cân Có OM = OC( cmt ) => OCM cân O => CMO = MCO (2) Từ (1) và (2) => CNO = MCO Do đó ddcm : OBN = OCD (c.g.c) Vậy SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SOBN - SOCK (3) SDOK = SODC - SOCK (4) Mà SOBN = SODC (cmt) (5) Từ (3) (4)(5) => SBCK + SNOC = SDOK (đpcm) Bài 3: Đường thẳng qua trung điểm hai đường chéo AC, BD tứ giác ABCD cắt các cạnh AB, CD M và K Chứng minh rằng: SDMC = SAKB B A M P Q D K C Phân tích đề bài và hướng giải: - 16 - (17) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Để cm: SDMC = SAKB ta phải tìm các tam giác có diện tích bài này và diện tích tam giác đó có mối liên hệ nào với diện tích tam giác ta cần chứng minh Bài giải: Gọi P, Q là trung điểm AC , BD => BP = PD ; AQ = QC Do đó SMAQ = SMCQ; SKAQ = SKCQ => SAMK = S CMK (1) Cmtt => SBMK = SDMK (2) Từ (1) và (2) => SBMK - SAMK = SDMK - S CMK Vậy SDMC = SAKB (đpcm) Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Điểm E trên tia đối tia BA, điểm F trên tia đối tia DA Nối BF và DE cắt K Chứng minh: SABKD = SCKE +SCKF B A E Phân tích đề bài và hướng giải: Để cm: SABKD = SCKE +SCKF K - Ta không thể chứng tỏ mối liên hệ SCKE ,SCKF vớiSABKD C D M N - Cần phải tìm mối liên hệ SABKD với SABCD; SCKE +SCKF với SABCD F Bài giải: Ta có SABKD = SABCD - ( SCDK + SCBK) (1) Hạ EM CD ; FN BC => SECD = SABCD ; SFCB = SABCD Do đó SECD + SFCB = SABCD => SCDK + SCKE + SCBK + SCKF = SABCD => SCKE+ SCKF = SABCD - (SCDK+ SCBK) (2) Từ (1) và (2) => SABKD = SCKE +SCKF Bài 6: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm AB, BC, CD Chứng minh rằng: SMNP = SABCD - 17 - (18) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích B N Phân tích đề bài và hướng giải: Ta có M, N, P là trung điểm các cạnh tứ giác ABCD Nếu ta lấy thêm Q là trung điểm AP => MNPQ là hình bình hành.Do đó SMNP = SMNPQ Ta nhận thấy SMNPQ có mối liên hệ với SABCD C M P A Q D Vì => đpcm Bài giải: Lấy P là trung điểm AP Do đó ddcm MNPQ là hình bình hành => SMNP = SMNPQ SMNPQ = SABCD - SMNB - SCNP - SDPQ - SAMQ SBMN = SBAN SCNP = SBCP SDPQ = SQCD SAMQ = SAMD SABC = = SCBD = SDAC SABD = => SMNPQ = SABCD SMNPQ = SABCD Do đó SMNP 4( SABC + SCBD+ SDAC + SABD) SABCD = 1 = SMNPQ= SABCD SABCD Bài 7: Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao BD, CE Gọi H, K là hình chiếu B, C trên đường thẳng ED Chứng minh rằng: a) EH = DK A b) SBEC + SBDC = SBHKC P N D K Q E H - 18 - (19) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích D' Bài giải: a) Gọi M, N thứ tự là trung điểm BC và ED MED có ME = MD (cùng 1/2 BC) nên là tam giác cân Do đó MN ED Hình thang BHKC có BM = MC, MN // BH // CK => N là trung điểm HK( định lí đường trung bình ) Mà có NE = ND Vậy EH = DK (đpcm) b) Vẽ EE' , NN', DD' vuông góc với BC Ddcm NN' là đường trung bình hình thangEE'D'D => EE' + DD' = 2NN' BC.EE' + BC.DD' Do đó S BEC + SBDC = =BC.NN' (1) Qua N vẽ đường thẳng PQ // BC, cắt BH và CK P và Q Ta có BC.NN' = SBPQC (2) Mà ddcm được: NHP = NKQ (g.c.g) => SNHP = SNKQ => SBPQC = SBHKC (3) Từ (1)(2)(3) => S BEC + SBDC = SBHKC Bài 8: Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB cắt CD E Gọi F và G theo thứ tự là trung điểm đường chéo AC và BD Chứng minh rằng: SEFG = SABCD A B F G D C E Bài giải: - 19 - Phân tích đề bài và hướng giải: +/ Để cm: SEFG = SABCD ta cần phải biểu diễn SEFG thông qua diện tích các hình có liên quan với SABCD +/ Cần dựa vào gt có các đoạn thẳng => Có diện tích các tam giác => đpcm (20) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Nối AG , CG Ta có: S EFG = SAEG - SAFG - SAFE Mà SAEG = SABG + SEBG Nên S EFG = SABG + SEBG- SAFG - SAFE SABD Có SABG = SAFG = SAGC => S EFG S EFG = S EFG =2( 2( =2( ( vì GB = ( vì AF = AC) SEBG = ; SAFE = SEBD SACE( ( vì GB = vì AF = BD) AC) SABD + SEBD - SAGC - SACE) SADE - SAGCE) SABCD + SEBC - SEBC - SABCG) Ddcm: SABCG = S EFG = BD); 2( SABCD - SABCD SABCD) => S EFG = SABCD Bài 9: Cho ABC và hình bình hành BCDE nằm cùng phía BC cho các điểm D, E nằm bên ngoài tam giác Vẽ các hình bình hànhABGH, ACIK cho đường thẳng GH qua E, đường thẳng IK qua D Cmr: SBCDE = SABGH + SACIK (Bài toán Páp, nhà toán học Hi Lạp kỉ III) O K H A N E D I G B M C Phân tích đề bài và hướng giải: CM: SBCDE = SABGH + SACIK +/ Rõ ràng bài này ta cần vẽ đường phụ - 20 - (21) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích +/ Ta cần cm: S BENM = SABGH.; SCDNM = SACIK Bài giải: Vẽ hình bình hành ABEO => ACDO là hình bình hành Do đó GH IK = {O} Cho OA BC ={M}; OA DE = {N} Ddcm SABGH = SABEO ( chung cạnh, chung đường cao) SABEO = S BENM ( chung cạnh BE, đường cao từ A và N xuống BE nhau) => S BENM = SABGH Cmtt => SCDNM = SACIK Do đó : S BENM + SCDNM = SABGH.+ SACIK Vậy : S BEDC = SABGH.+ SACIK Bài 10: Cho tứ giác ABCD M và N là trung điểm AB, CD AN cắt DM P, CM cắt BN Q Chứng minh: SMPNQ = SADP + SBCQ ( Đề thi học sinh giỏi Quận Ba Đình năm học 1999 - 2000) A P D B M H Q I N K C Phân tích đề bài và hướng giải: Chứng minh: SMPNQ = SADP + SBCQ +/ Cần tìm mối liên hệ SMPNQ với SMDC +/ Cần tìm mối liên hệ SADP với SADN ; SBCQ với SBCN => đpcm Bài giải: - 21 - (22) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Dựng AH, MI và CK cùng vuông góc với DC => AH // MI // BK; AH + BK = 2MI *) SMDC = SMPNQ + SDPN + SQCN (1) *) SADN + SBCN = SADP + SDPN + SBQC + SQCN SADN + SBCN = (SADP + SBQC) + (SDPN + SQCN ) (2) MI.CD = *) SMDC ; SADN + SBCN = AH.DN BK.CI (AH CD)CD MI.CD 2 => SMDC = SADN + SBCN (3) Từ (1) (2) (3) => SMPNQ = SADP + SBCQ.(đpcm) Sử dụng công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ các đoạn thẳng: Bài 11: Cho ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh rằng: AB.AC = BC AH A B Bài giải: SABC = => C H AB CD BC AH ; SABC = 2 AB AC BC AH = 2 AB.AC = BC AH Bài 12: a) Chứng minh rằng: Tổng các khoảng cách từ điểm M bất kì nằm ABC đến các cạnh tam giác không phụ thuộc vị trí điểm M A K I M B H O C Bài giải: Gọi cạnh ABC là a, chiều cao tam giác là h *) SABC = SMAB + SMBC + SMAC *) SABC = a.h (1) - 22 - (23) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích MI.a MH.a MK.a (MI MH MK)a 2 2 *) SMAB + SMBC + SMAC = (2) Từ (1) và (2) => MH + MI + MK = h Mà h: không đổi Vậy MH + MI + MK không đổi M vị trí nằm ABC b) Quan hệ trên thay đổi nào M thuộc miền ngoài ABC Chứng minh được: MH + MI - MK = h Bài 13: Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC hình bình hành ABCD cho AF = CE Gọi I là giao điểm AF , CE Chứng minh rằng: ID là tia phân giác AIC E A H B I K F C D Phân tích đề bài và hướng giải: +/ Để chứng minh ID là phân giác AIC ta nghĩ đến cần chứng minh khoảng cách từ D đến IA và IC phải +/ Tiếp tục cần cm: SADF = SDCE vì hai tam giác có: AF = CE (gt) +/ Tìm mối liên hệ SADF và SDCE với SABCD Bài giải: +/ Hạ DH IA ; DK IC +/ Gọi chiều cao hình bình hành hạ từ B xuống AD là h1 Gọi chiều cao hình bình hành hạ từ A xuống CD là h2 => SADF = AD.h1 S ABCD 2 S DCE = CD.h2 S ABCD 2 => SADF = S DCE (1) SADF = DH.AF (2) ; S DCE = DK.CE (3) - 23 - (24) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Mà AF = CE (gt) (4) Từ (1)(2)(3)(4) => DH = DK Vậy ID là phân giác AIK Bài 14: Cho ABC A', B', C' thứ tự là hình chiếu M ( M nằm ABC trên AB, BC, CA) Các đường vuông góc với AB B , vuông góc với BC C, vuông góc với CA A cắt D, E, F Chứng minh: a) DEF b) AB' + BC' +CA' không phụ thuộc vị trí điểm M D A H C' B' M E K C B A' I F Bài giải: a) ddcm : DEF b) Goị cạnh ABC là a => cạnh DEF là a h: chiều cao DEF => h không đổi Từ M hạ MH DE, MI EF, MK DF Mà MH + MI + MK = h _ Dựa và bài 11 ( đã cm) Ta ddcm : MH = AB'; MI = BC' ; MK = CA' => MH + MI + MK = AB' + BC' + CA' Do đó AB' + BC' + CA' = h - không đổi Vậy AB' + BC' + CA' không phụ thuộc vị trí điểm M - 24 - (25) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Bài 15: Cho ABC vuông C, tam giác lấy điểm O cho SOAB = SOBC = SOCA Chứng minh rằng: OA2 + OB2 = OC2 C N M O A B I Bài giải: Ddcm bài toán: Gọi G là trọng tâm tam giác thì SGAB =SGAC = SGBC Do đó ta cm: O là trọng tâm ABC Từ O kẻ OM AC, ON BC; cho CO AB= {I} Theo giả thiết SOAC = Nên ddcm : OM = Cmtt : ON = SABC BC; AC a, b Đặt BC = a, AC = b, ta có: OM = ON = 2 2 Do đó OA = AM + OM ; OB = NB2 + ON2 (Theo định lí Pitago) 2 2 OA2 = 2 2 1 b a b a 9 3 3 OB2 = 2 2 1 a b a b 9 3 3 => OA2 + OB2 = b2 a2 9 (1) Vì O là trọng tâm ABC => OC = AB 2 CI = AB AB 3 a2 b = (2) => OC2 = Từ (1) và (2) => OA2 + OB2 = 5OC2 Bài 16: Từ điểm M tùy ý ABC, các đường thẳng MA, MB, MC cắt BC, CA, AB A1, B1 , C1 Chứng MA1 MB1 MC1 1 minh: AA1 BB1 CC1 - 25 - (26) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích A B1 C1 M A1 K B H C Phân tích đề bài và hướng giải: MA MB1 MC1 1 AA BB CC 1 minh +/ Để chứng ta thấy cần phải xét tỉ số hai đoạn thẳng hệ thức trên +/ Nếu biểu thị tỉ số đó với tỉ số diện tích CMA1 và CAA1 thì không thể chứng minh Vì ta cần phải vẽ thêm đường phụ: Đó là hai đường vuông góc hạ từ MA MK AA AH M, A xuống BC thì => Mà MK và AH là hai đường vuông góc cùng hạ xuống BC nên MK SMBC AH = S ABC => Bài giải: Từ đó => đpcm Kẻ MK, AH vuông góc với BC => MK MA MK AA AH = Ta có: Cmtt ta có : MB1 SMAC BB1 S ABC MC1 S AMB CC1 S ABC MK.BC S MBC S ABC AH.BC MA MK //AH=> AA AH (1) (2) (3) Từ (1)(2) (3) ta : MA1 MB1 AA + BB1 MC1 S ABC SMBC SMAC S AMB CC1 = S ABC + S ABC + S ABC = S ABC = ( Đpcm) + Bài 17: Cho ABC và ba điểm A', B', C' nằm trên các cạnh BC, CA, AB cho AA', BB', CC' đồng quy ( A', B', C' không trùng với các đỉnh tam giác) Chứng minh rằng: A' B B' C C' A 1 A' C B' A C' B (Định - 26 - lí Xêva) (27) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích A B' C' O H B C A' K Phân tích đề bài và hướng giải: Ta thấy vế trái điều phải chứng minh là tích tỉ số Để có thể rút gọn tích này ta thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số diện tích hai tam giác thích hợp, sau đó khử liên tiếp để đpcm Bài giải: Vẽ BH AA' và CK AA' => A' B S AA'B A' C S AA'C ( hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A)(1) Mà S AA'B BH S AA'C CK ( hai tam giác có chung cạnh AA') (2) Ta lại có : S AOB BH S AOC CK Từ (1)(2)(3) => ( hai tam giác có chung cạnh OA)(3) A' B S AOB A' C S AOC B' C S BOC B' A S BOA (4) C' A S COA C' B S COB Cmtt => (5) ; (6) => Nhân vế (4)(5)(6) ta được: S AOB SBOC SCOA A' B B' C C' A A' C B' A C' B = S AOC SBOA SCOB = (đpcm) Bài 18: Chứng minh định lí Pitago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền tổng các bình phương hai cạnh góc vuông - 27 - (28) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích N G M A F B H E C lớp chúng ta đã học định lí này ( công nhận , không chứng minh) Có nhiều cách để chứng minh và cách đó ta sử dụng phương pháp diện tích D K Bài giải: Dựng các hình vuông ABFG, ACMN, BCDE Muốn chứng minh BC2 = AB2 + AC2 ta cần chứng minh: SBCDE =SABFG + SACMN Vẽ đường cao AH và kéo dài cắt DE K Nối AE, CF Dd cm : FBC = ABE (c.g.c) => SFBC = SABE (1) SFBC = Cmtt SABE AB.BF =2 ( vì AC //BF ) => SFBC = SABFG (2) SBHKE (3) Từ (1)(2)(3) => SBHKE = SABFG Cmtt : SCHKD = SACMN Do đó: SABFG +SACMN = SBHKE + SCHKD => SBCDE = SABFG +SACMN Vậy BC2 = AB2 + AC2 Bài 19: Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F, G, H thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA cho EG không song song với AD Cho biết diện tích EFGH nửa diện tích hình bình hành - 28 - (29) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Chứng minh: HF // CD E A B H F D K C G Phân tích đề bài và hướng giải: +/ Bài này ta thấy cần phải tìm tạo tứ giác SABCD +/ Tìm mối liên hệ tứ giác đó với tứ giác EFGH +/ Căn vào gt ta thấy cần vẽ đường phụ cách: kẻ EK// AD Ta có SABCD = SBEKC + SEADK Nối HK, FK ta có tứ giác EFGH và EFKH có chung diện tích HEF Vì SGHF = SKHF => đpcm Bài giải: Kẻ EK // AD Ta có SEFGH = SABCD = ( SBEKC + SEADK ) SEFKH = S EFK + SHEK = 2( SBEKC + SEADK ) => SEFGH = SEFKH Mà S EFGH = SHEF + SHGF SEFKH = SHEF + SKHF => SHGF = SKHF => Chiều cao từ G và K xuống HF => HF // KG Vậy HF // BC Bài 20: Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ các đường phân giác AD, BE, CF a) Tính diện tích tam giác DEF b) CMR: DF qua trung điểm BE ( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999) A F E - 29 - (30) C B Phương H phápDgiải bàiKtoán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích SKKN: Bài giải: a) Đã làm bài ( tr 8) 10 = SDEF (cùng ) => h1 = h2 b) Theo cmt ta có : S BFD h1, h2 chiều cao BFD , DEF hạ từ B và E xuống FD S BFD = FD h1 ; SDEF = FD.h2 Cho DF BE = {I} => IB = IE Vậy DF qua trung điểm BE 2/ Các bài toán bất đẳng thức và cực trị Phương pháp giải: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các bài toán cực trị thường trình bày theo hai cách; Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có các yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựong đạt cực trị các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: +/ Quan hệ đường vuông góc và đường xiên +/ Quan hệ đường xiên và hình chiếu +/ Bất đẳng thức tam giác + / Các bất đẳng thức đại số Bài 1: Cho ABC cân A có Â = 300 và BD là đường phân giác Chứng minh rằng: SBCD < SABC - 30 - (31) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Bài giải: Hạ DH AB; DK BC => DH = DK (1) ABC cân A và Â = 300 => B = C = 750 Â< B => BC < AB.(2) A SDBC = H D DK.BC ; K DH.AB (3) Từ (1)(2)(3) => SDBC < SDAB => 2SBCD < SABC Vậy SBCD < B SDAB = SABC (đpcm) C Bài 2: Cho ABC vuông cân có AB = AC = 10cm DEF vuông cân D nội tiếp ABC ( D AB, E BC, F AC ) Xác định vị trí D để diện tích DEF nhỏ Bài giải: Gọi AD = x Kẻ EH AB Thì AD = EH = BH = x DH = 10 - 2x B H E 1 DE DF= DE2= (EH 2+ DH2 ) 2 SDEF = = D = A F C [x2 + ( 10 - 2x)2 ] (5x2 - 40x + 100) ( x2 - 8x + 20) = (x - 4)2 + 10 10 (SDEF )min = 10 x = D AB : AD = cm thì S DEF nhỏ Bài 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Lấy điểm M tùy ý trên đường chéo AC, kẻ ME AB, MF BC Xác định vị trí M trên đuờng chéo AC để diện tích DEF nhỏ - 31 - (32) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích E A M B Bài giải: F Dễ thấy SDEM = SAME ( chung cạnh ME, chiều cao từ D và A xuống ME nhất) SDMF = SCMF SDEF = SDEM + SDMF + SEMF C D = SABC - SBEF 2 ( a - BE BF) = SDEF đạt giá trị nhỏ BE.BF lớn (1) Do BE + BF = a không đổi nên BE.BF lớn BE = BF = a/2 M là trung điểm AC và SDEF = a2 ) a 2 (a - = Bài 4: Cho tứ giác ABCD có các cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh rằng: SABCD (a+c)(b+d) H Bài giải: A Vẽ BH AD; BK DC a B d (H AD, K CD) Ta có: BH AB => BH a b D c BK BC => BK b C K Cmtt ta có : SABCD => 2SABCD (ab SABCD = SABD + SCBD (ab = BH.AD + BK.CD +cd) +ad +bc + cd) => SABCD (ab +ad +bc + cd) (1) Mà ab + ad +bc + cd = (ab +ad) + (bc +cd) = a(b+d) + c(b+d) = (a+c) (b+d)(2) Từ (1)và (2) => SABCD (a+c)(b+d) - 32 - (đpcm) (33) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Bài 5: Cho ABC Gọi D là trung điểm BC Trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm E và F Chứng minh rằng: SDEF SABC A E F B C D I Phân tích đề bài và hướng giải: Để cm SDEF SABC hay 2SDEF SABC hay cần cm: SDEF SDFC + SBED Ta cần tạo tam giác với tam giác BED và kết hợp với tam giác DFC thành hình so sánh diện tích tam giác DEF với hình đó Đã có D là trung điểm BC nên ta cần lấy thêm điểm I cho D là trung điểm EI => đpcm Bài giải: Dựng I đối xứng E qua D, ta có : BED = CID (c.g.c) => SBED = SCID Có SDEF = SFDI (chung đường cao, hai đáy nhau) Mà SFDI SDICF => SDEF SDICF => SDEF SDFC + SDIC => SDEF SDFC + SBED (1) Ta lại có: SDEF SAEDF (2) Từ (1) và (2) ta có : 2SDEF SDFC + SBED + SAEDF => 2SDEF SABC Vậy SDEF SABC Dấu xảy EF AC AB, đó (SDEF)max = - 33 - SABC (34) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm AC SABC và BD Chứng minh rằng: SOAB + SOCD B A B A K O O H F E L D D C C Hình vẽ cách Hình vẽ cách Bài giải: Cách 1: Vẽ AH BD ; CK BD (H, K BD) Ta có : SOAD SOBC = 1 ( AH.OD)( CK.OB) 1 = ( AH OB) ( CK OD) = SOAB SOCD Ta có ( SOAB + SOCD)2 4SOAB.SOCD (bất đẳng thức đại số) => ( SOAB + SOCD)2 SOAD SOBC Theo bài (tr15) ta đã cm: SOAD = SOBC Do đó ( SOAB + SOCD)2( SOAD + SOBC)2 => SOAB + SOCD SOAD + SOBC => 2(SOAB + SOCD ) SOAD + SOBC + SOAB + SOCD => 2(SOAB + SOCD ) SABCD Vậy SOAB + SOCD SABCD (đpcm) Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD kéo dài E Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AE F Ta chứng minh được: SAODF SAEC => S EFD + SOCD ( vì SAOB SCOD ) SAEC - 34 - (1) (35) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Bài tr13 ta đã cm được: SAOD = SBOC Do đó SAOD = SBOC = SAFD (2) Chứng minh : EFD = OAD => SEFD = SAOD (3) Từ (1)(2)(3) => SOAB +SOCD = SEFD + SOCD => SOAB +SOCD SOAB +SOCD (SEFD (SAOB Vậy SOAB +SOCD 2 SAEC + SADF SAOD + SOCD ) + SBOC + SAOD + SOCD ) SABCD (đpcm) Bài 7: Cho tứ giác ABCD P, Q theo thứ tự là trung điểm cạnh BC và CD Chứng minh rằng: AP +AQ =a thì SABCD A M a2 <2 D I N Q B K P C Bài giải: Gọi M, N là trung điểm AD, AB I là giao điểm AP và MN Từ I kẻ IK // NP Ta có: SIPQ IP.IQ => SIPQ => SMNPQ = SIKPN + SIKQM = 2SIPQ < IP IQ 2 a2 => SIPQ < (1) Mặt khác SAMN + SBNP + SCPQ + SDMQ = - 35 - SABCD (2) a2 (36) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Từ (1) và (2) => SABCD a2 ( đpcm) Bài 8: Cho hình bình hành ABCD và điểm M cố định trên cạnh BC Lấy điểm N bất kì trên cạnh AD Gọi P là giao điểm AM và BN Q là giao điểm MD và NC Tìm vị trí N để diện tích tứ giác MPNQ lớn A N D P Q B M C Bài giải: áp dụng kết bài (tr 32) Ta có SAPM + SBPM => SAPB + SNPM SABMN SABMN Mà SAPB = SNPM (đã cm) => SNPM SABMN .(1) đẳng thức xảy AB // MN Chứng minh tương tự ta có SNQM SDCMN (2) đẳng thức xảy MN // AB Từ (1) và (2) => SNPM + SNQM => SMPNQ 4 SABMN SABCD Vậy (SMPNQ) max = SABCD MN// AB - 36 - + SDCMN (37) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Bài 9: Cho tứ giác có diện tích không đổi S O nằm tứ giác ABCD Xác định hình dạng tứ giác ABCD và vị trí điểm O để tổng OA2 + OB2 +OC2 + OD2 đạt giá trị nhỏ B C O H A D Bài giải: Gọi BH là đường cao AOB Ta có OA2 +OB2 = (OA2 - 2OA.OB + OB2) + 2OA.OB = (OA -OB)2 + 2OA.OB 2OA.OB SOAB = OA.BH có BHH OA => OB BH Do đó OA2 + OB2 4SOAB Cmtt => OB2 + OC2 4SOBC OC2 + OD2 4SOCD OD2 + OA2 4SODA => 2(OA2 + OB2 + OC2 + OD2) 4(SOAB + SOBC + SOCD + SODA) Vậy OA2 + OB2 + OC2 + OD2 2S (không đổi) Dấu "= "xảy OA = OB =OC = OD và AOB = BOC = COD = DOA - 37 - (38) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Phần III - Kết luận Tôi thấy các bài toán tính diện tích và giải toán phương pháp diện tích đóng vai trò không nhỏ chương trình hình học học sinh, vì đây là dạng toán khó học sinh khai thác nó chương trình nội dung đưa dành cho học sinh đại trà Bởi để học sinh hiểu rõ có hứng thú, say mê dạng toán này toán học là điều mà giáo viên nào mong muốn Được phân công dạy chuyên đề cho Câu lạc toán lớp trường có nhiều học sinh có khả tư tốt nên tôi có dạy chuyên đề này cho các em Tuy nhiên không phải học sinh nào có thể nắm bắt với dạng toán này nên dạy tôi dẫn dắt các em theo kinh nghiệm mà tôi đã trình bày: Từ lý thuyết đến bài tập Khi cho bài tập tôi phân theo dạng, dạng cho bài từ dễ đến khó dần và hướng dẫn cho học sinh phân tích đề bài và hướng giải để các em biết tư chuyên đề này - 38 - (39) SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh phương pháp diện tích Trong quá trình biên soạn để giảng dạy, mặc dù đã cố gắng song bài viết không thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong góp ý chân thành từ quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp - 39 - (40)