Qua thực tế giảng dạy cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai[r]
(1)PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƠNG LÔ TRƯỜNG THCS ĐỒNG THỊNH
CHUYÊN ĐỀ
Tên chun đề : “ GIẢI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ”
Tác giả chuyên đề : Bùi Xuân Lan Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Đồng Thịnh, Sông Lô, Vĩnh Phúc
Đồng Thịnh, tháng11 năm 2018
CHUYÊN ĐỀ SINH HOẠT CHUYÊN MÔN N
(2)Họ tên giáo viên: Bùi Xuân Lan Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Đồng Thịnh
Tên chun đề: Giải Tốn Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử
I MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài:
Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học toán nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại
Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng có hiệu thiết bị dạy học, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học Tốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Qua thực tế giảng dạy qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, cịn nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên Tơi chọn đề tài: “ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử”.
2 Cơ sở thực tiễn a Thuận lợi:
- Giáo viên: Được quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện Ban giám hiệu tổ
chuyên môn
- Học sinh: Đa số em nơng thơn nên có tính cần cù, chịu khó, ngoan ngỗn. b Khó khăn:
Tồn nhiều học sinh cịn yếu tính toán, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, lười học, không ý nghe giảng, ỷ nại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn luyện, ý thức học tập yếu
(3)Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, tồn theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mơ hồ
Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà
3 Mục đích đề tài:
Chỉ phương pháp giải giúp học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn dạng tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử”
Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử
Nâng cao chất lượng môn
II NỘI DUNG
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân
tử” ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng
tập vận dụng vận dụng nào?
Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác
Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều toán khác Ví dụ:
Bài tốn chứng minh chia hết Rút gọn biểu thức
Giải phương trình bậc cao Tìm giá trị lớn nhỏ
1 Những giải pháp đề tài
Đề tài đưa giải pháp sau:
Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán
Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử a) Đối với học sinh đại trà: Củng cố kiến thức bản
Phương pháp Đặt nhân tử chung Phương pháp Dùng đẳng thức Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán
Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành b) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư
Tìm tịi cách giải hay, khai thác tốn
Giới thiệu phương pháp: tách hạng tử thêm, bớt hạng tử
(ngoài số phương pháp khác đặt ẩn phụ, hạ bậc đa thức, hệ số bất định… )
(4)* Phương pháp1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp chung:
Ta thường làm sau:
- Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số).
- Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ). Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử trên? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = )
- Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ?
(Học sinh trả lời xy )( lớp học lực trung bình yếu giáo viên hỏi nhân tử chung biến x, y)
- Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ?
- Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x)
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9a(a – b) – 10(b – a)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9a(a– b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2
= (a – b)[9a + 10(a – b)] = (a – b)(19a – 10b)
Sai lầm học sinh là:
Thực đổi dấu sai: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2
Sai lầm đổi dấu ba nhân tử : –10 (b – a)2 tích –10(b – a)2
(vì –10(b – a)2 = –10(b – a)(b – a)).
Lời giải đúng: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) – 10(a – b)2
= (a – b)[9a – 10(a – b)] = (a – b)(10b – a)
(5)- Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)
- Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích
Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó).
* Phương pháp2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức
Phương pháp chung:
Sử dụng đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích”
1 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3 A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4 A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
6 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7 A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức (a + b)2 – (a– b)2 thành nhân tử
Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức nào? (HS: có dạng A2 – B2 )
Lời giải sai: (a + b)2 – (a– b)2 = (a + b + a – b)(a + b – a – b)
= (2a).0 = (kết sai)
Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng: (a + b)2 – (a– b)2 = [(a + b) + (a - b)].[(a + b) - (a – b)]
= (a + b + a - b)(a + b - a + b) = 2a.2b = 4ab
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu
- Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu
Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp
* Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (a + b)3 – (a – b)3 thành nhân tử
* Đặt a + b = x, a – b = y, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích x6 – y6 thành nhân tử
Ví dụ 5: Phân tích x6 – y6 thành nhân tử
Giải: x6 – y6 =
2
3
x y
= (x3 – y3 )( x3 + y3 )
= (x – y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 – xy + y2)
Giáo viên củng cố cho học sinh:
Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp
* Phương pháp3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử
(6)Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất trong hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức
Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau:
- Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm phân tích được.
+ Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực
a Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử
Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y)
Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y )
Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0)(kết dấu sai bỏ sót số 1)
Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung
(HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) cịn lại số 0)
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
b Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử
Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – – 2y)(x – + 2y)
c Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) = (x – 2y)(x + 2y – 2)
Sai lầm học sinh là:
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai)
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm
Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành
(7)* Phương pháp4: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp chung
Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét tốn cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp
Ta thường xét phương pháp: Đặt nhân tử chung? Dùng đẳng thức? Nhóm nhiều hạng tử?
Ví dụ 9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử
Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: Đặt nhân tử chung? Dùng đẳng thức? Nhóm nhiều hạng tử?
Các sai lầm học sinh thường mắc phải Lời giải chưa hoàn chỉnh:
a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – )
= (x – 9)(x3 + x )
Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
Ví dụ10: Phân tích đa thức 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 thành nhân tử.
3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 11: Phân tích đa thức a2 - b2 - 2a + 2b thành nhân tử.
a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (2a - 2b) (Nhóm hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bước sau đây:
(8)+ Nếu khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức phải nhóm hạng tử vào nhóm thoả mãn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung nhóm xuất đẳng thức Cụ thể ví dụ sau:
Ví dụ 12: Phân tích đa thức A = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 thành nhân tử
Ta thấy A khơng có dạng đẳng thức, hạng tử khơng có nhân tử chung, làm để phân tích Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì
trước tiên ta dùng phương pháp nhóm hạng tử A = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2
Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ làm xuất đẳng thức
A = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử
chung hai nhóm là(a+b) Vậy A = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 Đã có nhân tử chung
là: (a + b) Vậy ta tiếp tục đặt nhân tử chung A = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b)
Ví dụ 13: Phân tích đa thức B = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy thành nhân tử
Trước hết xác định xem dùng phương pháp trước ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy
+ Đặt nhân tử chung
B = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)
Trong ngoặc có hạng tử xét xem có đẳng thức khơng? + Nhóm hạng tử: B = xyx2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2
+ Dùng đẳng thức: B= 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử ngoặc
có dạng đẳng thức
+ Tiếp tục sử dụng đẳng thức: B = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Ví dụ 14: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn
Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3– x3 – y3 – z3
= (x + y)3 +z3 +3z(x + y)(x+ y + z) – x3 – y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
(9)= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
* Phương pháp5: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử
Trong số trường hợp phương pháp học giải mà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để áp dụng phương pháp biết
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao
+ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – 1
+ Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + 1
+ Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác
(1)
f
a
( 1)
f a
số
nguyên
Ví dụ 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8
Cách 1: x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x +9 - = (x - 3)2 - 12 = (x - 3+1)(x – - 1) = (x-2)(x-4)
Cách 3: x2 - 6x + = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
Cách 4: x2 - 6x + = x2 - 4x +4 - 2x + = (x-2)2 - 2(x-2) = (x - 2)(x - 4)
Có nhiều cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử có cách thơng dụng là:
Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung.
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương
Ví dụ 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8
9x2+6x-8 = 9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) = (3x -2)(3x+4)
Hoặc = 9x2-6x+1 – = (3x+1)2-32 = (3x+1-3)(3x+1+3) = (3x -2)(3x+4)
*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc thành hai hạng tử ta dựa vào đẳng
thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Như tam thức bậc hai: a x2+bx+c hệ số b = b
1+ b2 cho b1 b2 = a.c Trong
thực hành ta làm sau: - Tìm tích a.c
- Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số mà tổng b
(10)Ta có: a = 9; b = 6; c = -8 + Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng 6, -6 12
Từ ta phân tích
9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 18: Khi phân tích đa thức x 2 –x - thành nhân tử
Ta có: a = 1; b = -1; c = -6 + Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích - thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn b = -1 < (để tổng hai thừa số -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
+ Chọn hai thừa số có tổng -1, là: -3 Từ ta phân tích
x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chú ý: Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b số lẻ, khơng
bình phương số ngun nên giải theo cách gọn so với cách hai.
* Phương pháp5: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thêm, bớt một hạng tử
Khi đa thức cho mà hạng tử đa thức khơng chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức khơng thể nhóm số hạng ta phải biến đổi hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết
Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử.
Ta có phân tích:
- Tách x2 thành 2x2 – x2: (làm xuất đẳng thức)
Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2
- Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1)
Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x +
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 20: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử.
Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung)
Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + 1
(11)= x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1)
= (x2+ x + 1)(x3 – x + )
Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung)
Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x + )
Chú ý :
Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát những
đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + Ví dụ 21: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử
Ta thấy x4 =(x2)2 ; = 22 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 4x2
x4 + = (x4 + + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)
Ví dụ 22: Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử
Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ta thêm bớt vào đa thức cho
hạng tử 16a2b2
64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2
= (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)
Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải khó khăn q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử.
3 Tóm lại
Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau:
Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6,
Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức
Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét:
1 Quan sát đặc điểm toán:
Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến)
2 Nhận dạng toán:
Xét xem toán cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp)
Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:
(12)Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử
- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức
- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức
- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước tốn thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Chý ý:
Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền
Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai
Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp
Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác
III MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CÁC CAHS PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
các em đẫ học phương pháp PTĐTTNT mà phương pháp thực cho trường hợp riêng rẽ, độc lập Trong tiết nghiên cứu cách phối hợp phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử
Hoạt động giáo viên học sinh Kiến thức cần đạt
Hoạt động : Ví dụ
GV nêu ví dụ :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5x3+10x2y+5xy2
- Em có nhận xét hạng tử đa thức trên?
- Hãy vận dụng phương pháp học để PTĐTTNT:
- GV: Để giải tập ta áp dụng phương pháp Đặt nhân tử chung dùng HĐT
-GV nêu ví dụ 2:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2- 2xy + y2- 9
- Hãy nhận xét đa thức trên?
1)Ví dụ:
a) Ví dụ 1: phân tích đa thức sau
thành nhân tử 5x3+10x2y+5xy2
5x3+10x2y+5xy2
= 5x(x2+2xy+y2)
=5x(x+y)2
b)Ví dụ 2:
(13)- GV: Đa thức có hạng tử đầu HĐT ta viết 9=32
Vậy phân tích tiếp
- GV: Chốt lại để phân tích đa thức cho thành nhân tử ta sử dụng phương pháp: nhóm hạng tử, dùng HĐT đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử
2x3y-2xy3-4xy2-2xy
Gọi HS lên bảng làm
- GV: Bài giải ta sử dụng p2 đặt nhân
tử chung, nhóm hạng tử dùng HĐT
* Hoạt động 1: Bài tập áp dụng
- GV: Dùng bảng phụ ghi trước nội dung a) Tính nhanh giá trị biểu thức x2+2x+1- y2 x = 94,5 & y= 4,5
- GV gợi ý: Phân tích đa thức :x2+2x+1- y2 thành
nhân tử thay số vào tính
b) Khi phân tích đa thức x2+ 4x- 2xy- 4y + y2
thành nhân tử, bạn Việt làm sau:
x2+ 4x-2xy- 4y+ y2=(x2-2xy+ y2)+(4x- 4y)
=(x- y)2+4(x- y)=(x- y) (x- y+4)
Em rõ cách làm trên, bạn Việt sử dụng phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử
- Em rõ cách làm trên?
= (x-y)2-32
=(x-y-3)(x-y+3)
2x3y-2xy3- 4xy2-2xy
= 2xy(x2-y2-2y-1)
= 2xy[x2-(y2+2y+1)]
=2xy(x2-(y+1)2]
=2xy(x-y+1)(x+y+1)
2) Áp dụng
?2 a)
Ta có: x2+2x+1-y2
= (x+1)2- y2
= (x+y+1)(x-y+1)
Thay x= 94,5 y = 4,5 ta : (94,5 + 4,5 + 1)(94,5 - 4,5+1) = 100.91 = 9100
b) Các phương pháp bạn Việt sử dụng phân tích đa thức
x2+ 4x- 2xy- 4y + y2 thành nhân tử là:
+ Nhóm hạng tử
+ Dùng đẳng thức + Đặt nhân tử chung
D Củng cố- Luyện tập:
Muốn phân tích da thức thành nhân tử ta có cách để phân tích - HS làm tập 51(SGK-Tr 24)
PTĐTTNT a) x3-2x2+x
b) 2x2+4x+2-2y2
c) 2xy-x2-y2+16
Gọi HS lên làm HS chữa GV chữa
E Hư ớng dẫn học sinh học tập nhà
-Nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Xem lại chữa
- Làm tập 52, 53 SGK
* Hướng dẫn 53 (SGK-Tr 24)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - 3x + 2
b) x2 + x - 6
(14)IV KẾT LUẬN
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm có kết hữu hiệu cho việc học tập giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tịi định hướng phương pháp làm chưa có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải tốn rút phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Vì lẽ với giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để từ đưa tập phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải tốn, u thích học tốn Từ nâng cao từ dễ đến khó, có người giáo viên cần phải tìm tịi nhiều phương pháp giải tốn, có nhiều toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa cho học sinh làm, phát cách giải khác cách giải hay, tính tự giác học tốn, phương pháp giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải
Trong trình thực đề tài hẳn không tránh khỏi hạn chế
thiếu sót định, mong góp ý chân tình đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện
Đồng Thịnh, ngày 26 tháng 11 năm 2018 NGƯỜI VIẾT CHUYÊN ĐỀ