Sáng kiến kinh nghiệm: Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

Trờng đại học s phạm hà nội    - §Ị tài khoa học Phát huy tính tích cực học tập học sinh qua việc dạy giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Ngời hớng dẫn: T.S Nguyễn Văn Khải Ngời thực hiện: Trần Văn Chung Trờng : THCS Tân Trào Hải dơng 2005 I Đặt vấn đề Víi xu thÕ ph¸t triĨn cđa x· héi nãi chung phát triển khoa học nói riêng, ngời cần phải có tri thức, t nhạy bén để nắm bắt sử dụng tri thức sống hàng ngày Muốn có tri thức ngời cần phải học, nhà trờng nơi cung cấp hành trang Bộ môn toán trờng trung học sở, môn đại số môn rèn luyện tính t nhạy bén học sinh, đòi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới góc độ phải liên hệ toán đà giải,những kiến thức đà biết để giải quyết.vì ngời thầy phải cho học sinh nắm đợc dạng toán hớng mở rộng toán Từ để học sinh phát triển t hình thành kĩ giải toán Muốn đạt đợc điều phải đòi hỏi tính tích cực, tính t ngời học nhng phơng pháp ngời thầy quan trọng,làm cho học sinh học nhng làm đợc hai ba Từ toán đơn giản mở rộng lên khó Khi tính toán phép tính đa thức,nhiều cần thiết phải biến đa thức trở thành tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc áp dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phơng trình, quy đồng mẫu thức phân thức,biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phơng pháp, ba phơng pháp nh : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng đẳng thức ta có phơng pháp khác nh tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số định, xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác giảng dạy ngời giáo viên giúp học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp để phát huy đợc trí lực học sinh, phát triển đợc t toán học Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dỡng thêm cho học sinh phơng pháp khác sách giáo khoa Đặc biệt học sinh khá, giỏi Giúp em biết lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải toán khó Vì vậy, nêu phơng pháp phát huy trí lực học sinh qua việc dạy, giải tập áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử B Nội Dung Phần I: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phơng pháp a Phơng pháp - Tìm nhân tử chung đơn,đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng ) b VÝ dô: 15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 ) 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1) 2.Phơng pháp dùng đẳng thức a Phơng pháp: - Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b Ví dụ: 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) -27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4) 25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2 3.Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử a Phơng pháp - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm - áp dụng tiếp tục phơng pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức b Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x - = (2x3 + 2x ) - (3x2 + 3) = 2x(x2 +1) - 3(x2 +1) = (x2 +1) (2x - 3) x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4) Phối hợp nhiều phơng pháp a Phơng pháp: - Chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhãm nhiỊu h¹ng tư b VÝ dơ: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) =3x (y -2 )2 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy =3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) 2 =3xy (x − 2x + 1) − (y + 2ay + a )    2 =3xy ( x − 1) − ( y + a )    =3xy ( x − 1) − ( y + a )  ( x − 1) + ( y + a )     =3xy( x-1 - y - a)(x - + y +a ) Phơng pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a Phơng pháp: Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng Phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung b Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử * Cách 1: x2- 6x + = x2 - 2x - 4x + = x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * C¸ch 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + - = ( x - 3)2 - =( x -3 - 1)( x- + 1) = (x - 4)(x -2) * C¸ch 3: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 =(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2) * C¸ch 4: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + ) - (x - 4) =(x - 4)(x + - 6) = (x - 4)(x -2) * C¸ch 5: x2 - 6x + = x2 - 4x + -2x + = (x - 2)2 - (x - 2) =( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2) Tuy r»ng cã nhiều cách tách nhng thông dụng hai cách sau: *Cách 1: Tách hạng bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung áp dụng phân tÝch tam thøc bËc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau: - Tìm tích ac - Phân tích tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số có tổng b Khi hạng tử bx đà đợc tách thành hai hạng tử bậc Ví dơ: 4x2 - 4x - - TÝch ac lµ 4.(- 3) = - 12 - Ph©n tÝch -12 = -1 12 = 1.(-12) =-2 = -3 =3 (-4) - Chän thõa sè cã tæng : - (- 6) 4x2 - 4x - = 4x2 + 2x - 6x - = 2x( 2x+ 1) - (2x + 1) =(2x + 1)(2x - 3) * C¸ch 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng Ví dô: 4x2 - 4x - = 4x2 - 4x +1 - = ( 2x - 1)2 - 22 = (2x - - 2)(2x - +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + = 4x2- 8x + - x2 = (2x - )2 - x2 = ( 2x - - x)(2x -2 + x ) = (x - )(3x -2) Phơng pháp thêm bớt hạng tử a Phơng pháp : Thêm bớt hạng tử để đa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thông thờng hay đa dạng a2- b2 sau thªm bít b VÝ dơ: 4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x) x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1) II Các phơng pháp khác: Phơng pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ ) a Phơng pháp: Đặt ẩn phụ đa dạng tam thức bậc hai sử dụng phơng pháp b Ví dụ: * Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử đặt x2 = y ta đợc 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3) VËy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3) * Ph©n tÝch ®a thøc (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử đặt x2 + x = y ta đợc y2 + 4y + = (y +1)(y+2) VËy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) Phơng pháp hệ số bất định a Phơng pháp: Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một ®a thøc bËc hai d¹ng( a + b)( cx2 + dx +m) råi biÕn ®ỉi cho ®ång nhÊt hƯ sè đa thức với hệ số đa thức b.Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử Nếu đa thức phân tích đợc thành nhân tử tích phải có d¹ng x(x2 + bx + c) = x + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac Vì đa thức ®ång nhÊt nªn: a+ b = ab + c = -19 ac =-30 Chän a = 2, c = -15 Khi b = -2 thoả mÃn điều kiƯn trªn VËy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15) Phơng pháp xét giá trị riêng a Phơng pháp: Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số l¹i b.VÝ dơ P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x bëi y th× thÊy P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = nh vËy P chøa thõa sè (x -y) VËy nÕu thay x bëi y, thay y z, thay z x P không đổi ( đa thức P hoán vị vòng quanh) Do ®ã nÕu P ®· chøa thõa sè (x - y) th× cịng chøa thõa sè (y - z), (z - x ) VËy P cã d¹ng k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số P có bậc ba tập hợp biến x, y, z tích (x - y)(y - z)(z - x) cịng cã bËc ba ®èi với tập hợp biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) ®óng với x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = ta ®ỵc: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) ⇒ k =-1 VËy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) c)Ngoài ta có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong a,b,c có vai trò nh biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = a=b F(a,b,c) chứa nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a,b,c nhng F(a,b,c) ≠ a = b th× ta thử xem a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu không,nếu thoả mÃn F(a,b,c) chứa nhân tử a+b từ chứa nhân tử b+c, c+a c1)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) - Khi a= b ta cã F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do ®ã F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b) Tơng tự F(a,b,c) chứa nhân tử (b-c) (c-a) Vì F(a,b,c) biểu thøc bËc ba ®ã F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta cã 1+1 = k.1.1.(-2) ⇒ k = -1 Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a) c2)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz - Khi x = -y th× F(x,y,z)= -y2z + y2z = nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y Lập luận t¬ng tù vÝ dơ 1,ta cã F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x) Phơng pháp tìm nghiệm đa thức: a Phơng pháp: Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) nÕu f(x) = Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải nghiệm đa thức Ta đà biết nghiệm nguyên đa thức có phải ớc hệ sè tù VÝ dô: x3 + 3x - Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử lại có dạng (x2 + bx + c) -ac = - ⇒ a lµ íc cđa - Vậy đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên có phải ớc hạng tử không đổi Ước (- ) (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiÓm tra ta thÊy nghiệm đa thức đa thức chứa nhân tư ( x - 1) Do vËy ta t¸ch c¸c hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1) *C¸ch 1: x3 + 3x - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 *C¸ch 2: x3 + 3x - =x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1) = ( x - 1)(x + 2)2 Chó ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số không đa thức chứa nhân tử (x-1) -Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ ®a thøc cã chøa nh©n tư ( x + 1) VÝ dơ: * §a thøc: x2 - 5x + 8x - cã - + - = Đa thức có nghiệm hay ®a thøc chøa thõa sè ( x - 1) *§a thøc: 5x3 - 5x2 + 3x + cã -5 + =1 + ⇒ §a thøc cã nghiƯm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1) + Nếu đa thức nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p p ớc hạng tử không đổi, q ớc dơng cđa h¹ng tư cao q nhÊt VÝ dơ: 2x3 - 5x2 + 8x - NghiƯm h÷u tû nÕu cã đa thức là: (-1), 1, ( 1 −3 ), , ( ),( ) 2 2 (- 3), Sau kiÓm tra ta thÊy x= a nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất hiƯn nh©n tư chung ( 2x - 1) 2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Phơng pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a.Phơng pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c NÕu b2 - 4ac bình phơng số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phơng pháp đà biết Nếu b2 - 4ac không bình phơng số hữu tỷ phân tích tiếp đợc b Ví dụ: 2x2 - 7x + a =2, b = -7, c = xÐt b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52 phân tích đợc thành nh©n tư : 2x2 - 7x + = (x - 3)(2x -1) phân tích cách để bình phơng đủ 2x2 - 7x + = 2(x2- x+ ) 2 = (x2 - x + 49 25 − ) 16 16  2 = (x − ) − ( )  = 4   7   (x - - )(x - + )  = 2(x-3)(x- )   Chó ý: P(x) = x2 + bx = c cã hai nghiÖm x1, x2 th×: P(x) = a(x - x1)(x - x2) Phần 2: Giải toán phân tích đa thức Bài toán rút gọn biểu thức a Ví dụ: Cho 2−x 3−x 2−x  − + A=  ÷  x + x + x + 5x + 6x  a1) Rót gän A a2) TÝnh giá trị A với x = 998 a3).Tìm giá trị x để A > b Đờng lối giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm dới mẫu Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thông minh b Ví dụ 2: (Các toán tơng tự )Rút gọn biểu thức : A= x + x3 + x + x − x3 + x − x + B= a (b − c ) + b (c − a) + c (a − b) ab − ac − b3 + bc x + y + z − xyz C= ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) §êng lối giải :Để rút gọn phân thức trên: - Bớc 1: ta phải phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bớc 2: chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung 2.Bài toán giải phơng trình: a.Đờng lối giải: Với phơng trình bậc hai trở lên việc áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn đợc dạng phơng trình tích A.B = chØ A = hc B = b Ví dụ: Giải phơng trình (4x + 3)2 - 25 = Giải: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa phơng trình d¹ng 8(2x - 1)(x +2) = ⇒ x = x = -2 Bài toán giải bất phơng trình a Đờng lối giải: Với bất phơng trình bậc cao bất phơng trình có chøa Èn ë mÉu th× viƯc rót gän biĨu thøc phơng trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trò quan trọng đa bất phơng trình dạng bất phơng trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phơng trình thờng b Ví dụ: Giải bất phơng trình x − >1 x − x −3 b1) −2 ⇔ ( x − 2)( x − 3) > NhËn xÐt: v× (- 2) < ⇒ (x- 2)(x - 3) < ⇒ < x< b2) 3x2 - 10x - > ⇒(3x+ 2)( x- 4) > Ta lËp b¶ng xÐt dÊu tÝch Kết x < x > Bài toán chứng minh chia hết a Đờng lối giải: Biến đổi đa thức đà cho thành tích xuất thừa số cã d¹ng chia hÕt b VÝ dơ: b1) Chøng minh r»ng ∀ x ∈Ζ ta cã biÓu thøc P = (4x+3)2 - 25 chia hÕt cho Ph©n tÝch : P = 8(2x-1)(x+1) chia hÕt cho b2)Chøng minh r»ng biÓu thøc : n n n3 + + số nguyên n Biến ®ỉi biĨu thøc vỊ d¹ng 2n + 3n + n3 vµ chøng minh (2n+3n2+n3) chia hÕt cho Ta cã 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) lµ tÝch cđa ba số nguyên liên tiếp,vì có thừa sè chia hÕt cho 2,mét thõa sè chia hÕt cho mà (2;3)=1 nên tích chia hết cho 6.Vậy ∀ n ∈Ζ th× n n n3 + + số nguyên Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ a)Đờng lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức dạng ®¼ng thøc A2 + m , A2 - m ,A2+B2 (m số) nhận xét để ®i ®Õn kÕt qu¶ ci cïng b VÝ dơ :Chøng tá x2+x+1 > ∀ x Ta viÕt : x2+x+1 = x2+2 x+ + 3 = (x+ )2 + ≥ >0 ∀ x 4 VÝ dơ : T×m giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y (T¬ng tù :B = x2+y2+xy - x- y ) Ta cã : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y = (x2+ y2+16+xy+8x+4y) + ( =(x+ y+4)2+ 59 36 ( y - y+ )+19894 59 3481 59 = (x+ y+4)2+ V× (x+ y+4)2≥ , 59 y - 3y) + 2005 -16 117342 117342 59 (y- )2+ ≥ 59 59 59 59 (y- )2 ≥ 0.DÊu " =" x¶y 59 239    x = − 59 x + y + = 117342   ⇔ Vậy A(x,y) đạt GTNN 59 y − = y =   59 59 Phần B ta làm cách tách tơng tự Kết luận Trên loại toán áp dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử.Tất nhiên dạng mà có số tập khác vận dụng phân tích thành nhân tử để giải quyết.Với tập vận dụng đà giúp học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm tới phơng pháp giải toán nhanh hơn,thông minh hơn.Đờng lối giải tập học sinh biết vận dụng phơng pháp tích hợp để giải.Giáo viên hÃy tác ®éng ®Õn tõng ®èi tỵng cho phï hỵp nh với học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỷ, học sinh -giỏi nên nét hớng dẫn giải theo đờng ngắn nhất.Có nh học sinh hoạt động tích cực hơn, phát huy đợc t duy-trí tuệ Qua tập vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh đợc rèn luyện - củng cố t tổng hợp Thử nghiệm s phạm c Kết luận chung Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng lớn trải suốt chơng trình học học sinh, liên quan kết hợp tới phơng pháp khác tạo lên lôgíc chặt chẽ toán học Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Trong năm học qua tối đa đà vận dụng phơng pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em hào hứng trình tìm tòi lời giải hay hợp lý nhất, kể tập vận dơng rót gän biĨu thøc th× ý nghÜa cđa viƯc phân tích đa thức tử mẫu phân thức quan trọng, giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu ) mà giúp việc tìm tập xác định mà tìm mẫu thức chung biểu thức Số học sinh nắm vững phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng đợc vào tập 85% Trên số suy nghĩ vấn đề phát triển t học sinh qua việc dạy giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Rất mong góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! Thanh miện ngày 08 tháng 06 năm 2005 Xác nhận hiệu trởng Ngời viết Trần văn Chung ... để giải toán khó Vì vậy, nêu phơng pháp phát huy trí lực học sinh qua việc dạy, giải tập áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử B Nội Dung Phần I: Các phơng pháp phân tích đa thức thành. .. thành nhân tử Các phơng pháp a Phơng pháp - Tìm nhân tử chung đơn ,đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử. .. häc sinh häc mét nhng cã thĨ lµm đợc hai ba Từ toán đơn giản mở rộng lên khó Khi tính toán phép tính đa thức, nhiều cần thiết phải biến đa thức trở thành tích. Việc phân tích đa thức thành nhân tử