BT chứng minh về đường tròn

Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng một tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC lần lượt ở I,J.. Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi khi M di độn[r]

CHỦ ĐỀ 5

HÌNH HỌC

I Các toán hình học phẳng

1 Hệ thức lợng tam giác vuông

a) Mt số hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH ta có b2 = a b’ c2 = a c’

b2 + c2 = a2 h2 = b’ c’

a h = b c 2

1 1

h b c

A

B C

H

c b

a

b) Tỉ số lợng giác cña gãc nhän

- Các tỉ số lợng giác góc nhọn  đợc định nghĩa nh sau: sin =

cạnh đối

c¹nh hun cos =

c¹nh kỊ c¹nh hun

tg =

cạnh đối

c¹nh kỊ cotg =

cạnh kề cạnh đối

- Với hai góc   phụ ta có sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg - Một số góc đặc biệt

0

sin30 cos60

  sin450 cos450

2

 

0

cos30 sin60

  0

tg45 cot g45 1

0

t g30 cot g60

  0

co t g30 t g60 c) Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông

Trong mt tam giỏc vng, cạnh góc vng cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề Mỗi cạnh góc vng cạnh góc vng nhân tang góc đối nhân với cơtang góc kề

d) Một số công thức tính diện tích tam giác S =

a.h

2 (h đờng cao ứng với cạnh a) S =

a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB

2  

S = p.r (p nửa chu vi, r bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) S =

a.b.c

4R (R bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác)

S = p p a p b p c        (p nửa chu vi tam giác)

2 Đờng tròn:

a) S xỏc nh ng trũn Tính chất đối xứng đờng trịn

- Đờng trịn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R

- Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên đờng trịn

- Qua ba điểm khơng thẳng hàng, vẽ đợc đờng tròn - Đờng trịn có tâm đối xứng, tâm đờng trịn Đờng trịn có vơ số trục đối xứng, đờng kính

b) Đờng kính dây cung đờng trịn Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây - Trong đờng tròn, dây lớn đờng kớnh

- Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây

- Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây

- Trong đờng tròn: Hai dây chúng cách tâm Trong hai dây không nhau, dây lớn gần tâm

c) Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đờng tròn Căn vào số điểm chung 0, 1, đờng thẳng đờng tròn mà ta định nghĩa vị trí: đờng thẳng đờng trịn khơng giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt ứng với vị trí

trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng bán kính R đờng trịn có liên hệ: d > R; d = R; d < R Ta có định lí

- Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm

- Nếu đờng thẳng qua điểm đờng trịn vng góc với bán kính qua điểm đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn

d) TÝnh chÊt cđa hai tiÕp tun c¾t nhau:

Nếu hai tiếp tuyến đờng trịn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm e) Đờng tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác

- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đờng tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi ngoại tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác giao điểm đờng phân giác góc tam giác

- Đờng trịn qua ba đỉnh tam giác gọi đờng tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác gọi nội tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đờng trung trực tam giác

- Đờng tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đờng tròn bàng tiếp tam giác Tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác giao điểm hai đờng phân giác hai góc ngồi tam giác giao điểm tia phân giác góc hai đờng phân giác góc ngồi khơng kề với f) Vị trí tơng đối hai đờng tròn

Căn vào số điểm chung 0, 1, hai đờng tròn mà ta định nghĩa vị trí: Hai đờng trịn khơng giao nhau, tiếp xúc nhau, cắt

Do tính chất đối xứng đờng trịn, hai đờng trịn cắt giao điểm đối xứng với qua đờng nối tâm, hai đờng trịn tiếp xúc giao điểm nằm đ-ờng nối tâm

g) Góc với đờng trịn:

+ Góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng trịn đợc gọi góc tâm Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ Số đo nửa đờng trịn 1800.

+ Góc nội tiếp: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đờng trịn hai cạnh chứa dây cung đờng trịn Cung bên góc gọi cung bị chắn Trong đờng trịn số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn

+ Góc tạo tiếp tuyến dây cung: Cho đờng tròn (O), A tiếp điểm, xAy tiếp tuyến (O) A, AB dây cung Góc tạo tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi góc tạo tiếp tuyến dây cung Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung số đo cung bị chắn

+ Góc có đỉnh bên đờng trịn: Mỗi góc có đỉnh bên đờng trịn chắn hai cung: cung nằm bên góc cung nằm bên góc đối đỉnh cung Số đo có đỉnh bên đờng trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn

+ Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn nửa hiệu hai cung bị chắn

 Chú ý: Trong đờng trịn

- C¸c gãc néi tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung

- Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm cùng chắn cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng ngợc lại góc vng nội tiếp chắn nửa đờng trịn

- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tun dây cung góc nội tiếp chắn cung th× b»ng

- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung trịn n0 bán kính R :

Rn l

180

 

I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:

2

R n lR S

360



 

3 Các dạng toán bản

Dạng 1: Chứng minh hai gãc b»ng

 C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba

- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c

- Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi

- Hai gãc cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba

- Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song vng góc

- Hai góc so le trong, so le ngồi đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh

- Hai góc mộ tam giác cân

- Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung

D¹ng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác

- Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hỡnh vuụng)

- Hai cạnh bên hình thang c©n

- Hai dây trơng ứng hai cung đờng tròn hai đờng Tính chất tiếp tuyến cắt Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba

- Chứng minh hai đờng thẳng vng góc với đờng thẳng thứ ba

- Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: vị trí so le trong; vị trí so le ngồi; vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đ-ờng tròn

- Chúng hai cạnh đối hình bình hành, chữ nhật, hình vng,

Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vng góc

 Cách chứng minh: - Chúng song song với hai đờng thẳng vng góc khác

- Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác - Đờng kính qua trung điểm dây dây không qua tâm - Chúng phân giác hai góc kề bù

- Tính chất đờng chéo hình thoi, hình vng Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy

- Dựa vào hai đờng thẳng qua điểm song song với đờng thẳng khác

- Dùa vµo hai gãc b»ng cã c¹nh trïng

- Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia)

- Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 6: Chứng minh hai tam giác

* Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)

* Hai tam giác vuông: - Có cạnh vµ mét gãc nhän b»ng

- Có cạnh huyền cạnh góc vng - Cạnh góc vng đơi

Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

* Hai tam giác thờng: - Có hai góc đôi (g-g)

- Cã mét gãc xen hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c) - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c)

* Hai tam giác vuông: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ

- Có cạnh huyền cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh tø gi¸c néi tiÕp

 Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện

- Tứ giác có đỉnh cách điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc 

- Dựa vào phơng tích đờng trịn

II Các toán hình học không gian

1 Hình lăng trụ: Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt song song gọi đáy cạnh không thuộc hai đáy song song với Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác

Sxq = p l (p chu vi thiết diện thẳng, l độ dài cạnh bên) Lăng trụ đứng: Sxq = p h (p chu vi đáy, h chiều cao)

V = B h (B diện tích đáy, h chiều cao)

Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c kích thớc hình hộp chữ nhật)

V = a b c

Các đờng chéo hình hộp chữ nhật d = a2b2c2 Hình lập phơng: V = a3 (a cạnh)

2 Hình chóp: Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt khác tam giác có chung đỉnh Hình chóp hình chóp có đáy đa giác mặt bên Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp gọi hình chóp cụt

Hình chóp đều: Sxq =

1

2 n a d (n số cạnh đáy; a độ dài cạnh đáy; d

dài trung đoạn)

Stp = Sxq + B (B diện tích đáy) V =

Hình chóp cụt đều: Sxq =

 

1

n.a n.a' d

2  (n số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trung

đoạn chiều cao mặt bên)

V = V1 + V2 (V1 thĨ tÝch h×nh chãp cơt; V2 thể tích hình chóp trên)

V = 

1

.h B B' B.B'

3   (B, B’ diện tích đáy, h chiều cao)

3 Hình trụ: Hình trụ hình sinh bới hình chữ nhật quay xung quanh cạnh - Diện tích xung quanh: Sxq = 2 R h (R bán kính đáy; h l chiu cao)

- Diện tích toàn phần: Stp = 2 R h + 2 R2

- Thể tích hình trụ: V = S h =  R2 h (S diện tích đáy)

4 Hình nón: Hình nón hình sinh tam giác vng quay xung quanh cạnh góc vng Hình nón cụt phần hình nón đáy thiết diện vng góc với trục

Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq =  R l (R bán kính đáy; l đờng sinh) - Diện tích tồn phần: Stp =  R l +  R2

- ThÓ tÝch: V =

2

1 .R h

3  (h lµ chiỊu cao)

Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2) l (R1; R2 bán kính hai đáy; l đờng sinh)

- DiƯn tích toàn phần: Stp = (R1 + R2) l + (R12 + R22) - ThÓ tÝch: V =

2 2

1

.h.(R R R R )

3   (h lµ chiều cao)

5 Hình cầu: - Diện tích mặt cầu: S = R2 (R bán kính) - Thể tích hình cầu: V =

3

4 R 3

Dạng 1: Hình học phẳng

Bài 1:

Cho ABC có đường cao BD CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N

1 Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh:DEA ACB

3 Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA phân giác gócMAN

Chứng tỏ: AM2=AE AB.

H×nh 2

I

E D

M O O'

A C

B Bài 2:

Cho(O) đường kính AC đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I

Tứ giác ADBE hình gì? C/m DMBI nội tiếp

C/m B;I;E thẳng hàng MI=MD C/m MC DB=MI DC

C/m MI tiếp tuyến (O’)

Bài 3:

Cho ABC có A =1v Trên AC lấy điểm M cho AM < MC Vẽ đường

trịn tâm O đường kính CM cắt BC E;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S

1 C/m BADC nội tiếp

2 BC cắt (O) E Cmr:MD phân giác AED

3 C/m CA phân giác góc BCS

Hình

S D

E

O

B C

H×nh 4

K

S D

E O

B C

A

M

H×nh 5

I

N P

M F E

A' D

O A

B C

Bài 4:

Cho ABC có A = 1v Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM > MC Dựng

đường trịn tâm O đường kính MC; đường trịn cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S

1 C/m ADCB nội tiếp

2 C/m ME phân giác góc AED C/m: ASM =ACD

4 Chứng tỏ ME phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy

Bài 5:

Cho tam giác ABC có góc nhọn AB < AC nội tiếp đường trịn tâm O Kẻ đường cao AD đường kính AA’ Gọi E:F theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’

1 C/m AEDB nội tiếp C/m DB A’A=AD A’C C/m:DE  AC

Bài 6:

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Gọi M điểm cung nhỏ AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC P trung điểm AB;Q trung điểm FE

C/m MFEC nội tiếp C/m BM EF=BA EM C/M AMP FMQ

C/m PQM = 90o

Bài 7:

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm cung BC Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD Dựng hình vng ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G

1 C/m BGDC nội tiếp Xác định tâm I đường tròn

2 C/m BFC vuông cân F tâm đường tròn ngoại tiếp BCD C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng G nằm đường trịn ngoại tiếp BCD Có nhận xét I F

H×nh 6

Q P

E F

O B

A

C M

H×nh 7

G

F

E

D O

B C

H×nh 8

I F

E

D O A

B C

H×nh b H×nh a

I

P Q

H

M P

I Q

H

N

O O

A B

M

A B

N Bài 8:

Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(E nằm cung nhỏ BC)

1 C/m: BDCO nội tiếp C/m: DC2 = DE DF

3 C/m: DOIC nội tiếp

4 Chứng tỏ I trung điểm FE

Bài 9:

Cho (O),dây cung AB Từ điểm M cung AB(MA MB),kẻ dây cung MN vng góc với AB H Gọi MQ đường cao tam giác MAN

1 C/m điểm A;M;H;Q nằm đường tròn C/m:NQ NA=NH NM

3 C/m MN phân giác góc BMQ

H×nh 10

F N

C B

O A I

E

x y

H×nh 1

E

K I

H M A

O

B

Bài 10:

Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E

1 Chứng minh tam giác ABC vuông A

2 O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn

3 Chứng tỏ : BC2= Rr

4 Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r

Bài 11:

Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vng góc với AM H,cắt AO kéo dài I

1.C/m OMHI nội tiếp 2.Tính góc OMI

H×nh 13

P

I H

D

C B

K

O A

E

H×nh 12

I N

E

F B

D

O A

C

M Bài 12:

Cho (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E

1 C/m: MA phân giác góc CMD C/m: EFBM nội tiếp

3 Chứng tỏ: AC2 = AE AM

4 Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I C/m NI//CD Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp CIM

Bài 13:

Cho (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE

1 C/m A;B;H;O;C nằm đường tròn C/m HA phân giác góc BHC

3 Gọi I giao điểm BC DE C/m AB2=AI AH

x y

H×nh 14 K

I H

N M

D O

A B

C Bài 14:

Cho (O) đường kính AB = 2R; xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự M;N

1 CMR: MCDN nội tiếp

2 Chứng tỏ: AC AM = AD AN

3 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN

CMR: AOIH hình bình hành

4 Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào?

Bài 15:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm cung nhỏ BC Kẻ DE;DF;DG vng góc với cạnh AB;BC;AC Gọi H hình chiêu D lên tiếp tuyến Ax (O)

1 C/m AHED nội tiếp

2 Gọi giao điểm AB với HD với (O) P Q; ED cắt (O) M C/m: HA DP=PA DE

H×nh 15 M

P Q H

F G

E

O B

C A

D C/m: DE DG = DF DH

5 C/m: E;F;G thẳng hàng

Bài 16:

Cho tam giác ABC có A =1v; AB < AC Gọi I trung điểm BC;qua I kẻ

IKBC (K nằm AC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK

1 Chứng minh:ABIK nội tiếp đường tròn tâm O C/m: BMC 2 ACB

3 Chứng tỏ: BC2= AC KC

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN C/m: NMIC nội tiếp

Hình 16

N

M

K

I

B C

H×nh 17 F

E

I H

K

M O

A B

C

2a

a

x y

H×nh 18

J O

K N M I

H

A B

D C

Bài 17:

Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động nửa đường tròn Tia phân giác góc ACB cắt (O) tai M Gọi H;K hình chiêu M lên AC CB

1.C/m: MOBK nội tiếp

2.Tứ giác CKMH hình vng 3.C/m: H;O;K thẳng hàng

4.Gọi giao điểm HK CM I Khi C di động nửa đường trịn I chạy đường nào?

Bài 18:

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a Kẻ tia phân giác góc ACD, từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói

1 Chứng minh: AHDC nội tiếp đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm bán kính theo a

2 HB cắt AD I cắt AC M;HC cắt DB N Chứng tỏ HB = HC Và AB AC = BH BI

3 Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O)

H×nh 19 N

D

I H C

O

A B

M Bài 19:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OC  AB Gọi M điểm cung BC Kẻ đường cao CH tam giác ACM

1 Chứng minh AOHC nội tiếp

2 Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác góc COM Gọi giao điểm OH với BC I MI cắt (O) D

Cmr: CDBM hình thang cân

4 BM cắt OH N Chứng minh BNI AMC đồng dạng,từ suy ra: BN MC=IN MA

Bài 20:

Cho  ABC nội tiếp (O;R) Trên cạnh AB AC lấy hai điểm M;N cho BM=AN

1 Chứng tỏ OMN cân C/m :OMAN nội tiếp

3 BO kéo dài cắt AC D cắt (O) E C/m BC2+DC2=3R2

4 Đường thẳng CE AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I;AO kéo dài cắt BC J C/m BI qua trung điểm AJ

H×nh 20

J K

I F

E D

N O

A

B C

H×nh 21 E

D

N I M

O

B C

A

H×nh 22 F

E M

N

Q

P B

A

D C

I

Bài 21:

Cho ABC (A =1v) nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M trung điểm

cạnh AC Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D C/m ABNM nội tiếp CN AB=AC MN

2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I)

3 Tia IO cắt đường thẳng AB E C/m BMOE hình bình hành C/m NM phân giác góc AND

Bài 22:

Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I điểm đường chéo AC Qua I kẻ đường thẳng song song với AB;BC,các đường cắt

AB;BC;CD;DA P;Q;N;M C/m INCQ hình vuông Chứng tỏ NQ//DB

3 BI kéo dài cắt MN E;MP cắt AC F C/m MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm

H×nh 23

Q

H I M

E

O F

N

B

D C

A

H×nh 24 I

D N

J M

K

H B

A

C Bài 23:

Cho hình vuông ABCD,N trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN (O) cắt AC E BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I

1 C/m MDNE nội tiếp

2 Chứng tỏ BEN vuông cân

3 C/m MF qua trực tâm H BMN C/m BI=BC IE F vuông

5 C/m: BM đường trung trực QH (H giao điểm BE AB) MQBN thang cân

Bài 24:

Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) Vẽ đường cao AH Từ H kẻ HK;HM vng góc với AB;AC Gọi J giao điểm AH MK

1 C/m AMHK nội tiếp C/m JA JH=JK JM

3 Từ C kẻ tia Cx với AC Cx cắt AH kéo dài D Vẽ HI;HN vuông góc với DB DC Cmr : HKM   HCN

4 C/m M;N;I;K nằm đường trịn

H×nh 25 O

I E

D

H M

B C

A

H×nh 26 M

F E

I

K

H A

B

C

H×nh 27 I D

K

O A

B C

M

Cho ABC (A =1v),đường cao AH Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường

thẳng AB D cắt AC E;Trung tuyến AM ABC cắt DE I Chứng minh D;H;E thẳng hàng

2 C/m BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn C/m: AMDE

4 C/m AHOM hình bình hành

Bài 26:

Cho ABC có góc nhọn,đường cao AH Gọi K điểm đối xứng H qua AB;I điểm đối xứng H qua AC E;F giao điểm KI với AB AC

1 Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI = AK

3 C/m điểm: A;E;H;C;I nằm đường tròn C/m CE;BF đường cao ABC

5 Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE trực tâm ABC

H×nh 28 N M

F E

I

O A

B

C

D

Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Trên tia BM lấy điểm K cho MK = MC tia BA lấy điểm D cho AD=AC

1.C/m: BAC  2 BKC

2.C/m BCKD nội tiếp Xác định tâm đường tròn

3.Gọi giao điểm DC với (O) I C/m: B;O;I thẳng hàng

4.C/m DI = BI Bài 28:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I điểm cung AB (Cung AB khơng chứa điểm C;D) ID IC cắt AB M;N

1.C/m D;M;N;C nằm đường tròn 2.C/m NA NB=NI NC

3.DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E C/m:EF//AB

H×nh 29 J

G

K I

F C

B

D A

E

H×nh 30

G O

I

D N

M

Q H

A

B

C Bài 29:

Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm E Dựng tia Ax vng góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF, AI kéo dài cắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G

1.C/m AECF nội tiếp 2.C/m: AF2=KF CF

3.C/m:EGFK hình thoi

4.Cmr:khi E di động BC EK=BE+DK chu vi CKE có giá trị không đổi

5.Gọi giao điểm EF với AD J C/m:GJ  JK

Bài 30:

Cho ABC Gọi H trực tâm tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC

1 C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O

2 So sánh BAH vàOAC

3 CH cắt OD E C/m AB AE=AH AC

H×nh 31

H D

M N

J K

I B A

O C

H×nh 32 P

Q E M

F

O B

D C

A

N

Bài 31:

Cho (O) sđAB = 90o C điểm tuỳ ý cung lớn AB Các đường cao

AI;BK;CJ ABC cắt H BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM AN gaëp D

1 C/m:B;K;C;J nằm đường tròn C/m: BI KC=HI KB C/m:MN đường kính

của (O)

4 C/m ACBD hình bình hành

5 C/m:OC // DH

Bài 32:

Cho hình vng ABCD Gọi N điểm CD cho CN < ND;Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN (O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E

1 C/m BFN vuông cân C/m:MEBA nội tiếp

3 Gọi giao điểm ME NF Q MN cắt (O) P C/m B;Q;P thẳng hàng

H×nh 33 K Q

E

D A

O B

C

x

H×nh 34

I J D

M N E B

O A

C

F Bài 33:

Trên đường tròn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB; AB CD cắt E BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K

1 Cm: CB phân giác góc ACE C/m: AQEC nội tiếp

3 C/m: KA KC=KB KD C/m: QE//AD

Bài 34:

Cho (O) tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai điểm B C cho AB=BC Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn CE CF cắt (O) M N Dựng hình bình hành AECD

1.C/m:D nằm đường thẳng BF 2.C/m ADCF nội tiếp

3.C/m: CF CN=CE CM 4.C/m:MN//AC

H×nh 35 J I P

D C

O

A B

M

H×nh 36

N M

O' O

H A

B

C Bài 35:

Cho (O;R) đường kính AB;CD vng góc với Gọi M điểm cung nhỏ CB

1. C/m:ACBD hình vng

2. AM cắt CD ;CB P I Gọi J giao điểm DM AB C/m IB IC=IA IM

3. Chứng tỏ IJ//PD IJ phân giác góc CJM 4. Tính tích tích AID theo R

Bài 36:

Cho ABC (A =1v) Kẻ AHBC Gọi O O’ tâm đường tròn nội tiếp

tam giác AHB AHC Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC M;N 1. C/m:  OHO’ tam giác vuông

2. C/m:HB HO’=HA HO

3. C/m: HOO’  HBA

4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp 5. C/m AMN vng cân

H×nh 37 N

D

M

E K

I O

A B

C

H×nh 38 F

D

E K

H

B

A

C P

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I trung điểm AO Qua I dựng đường thẳng vng góc với AB,đường cắt nửa đường tròn K Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M N

1. C/m:AIMD nội tiếp 2. C?m CM CA=CI CD 3. C/m ND=NC

4. Cb cắt AD E C/m E nằm đường tròn (O) C tâm đường tròn nội tiếp EIM

5. Giả sử C trung điểm IK Tính CD theo R

Bài 38:

Cho ABC Gọi P điểm nằm tam giác choPBA PAC Gọi H

và K chân đường vng góc hạ từ P xuống AB;AC 1.C/m AHPK nội tiếp

2.C/m HB KP=HP KC

3.Gọi D;E;F trung điểm PB;PC;BC Cmr:HD=EF; DF=EK 4.C/m:đường trung trực HK qua F

H×nh 39

J I

O

G

E F

C A

B

D

H×nh 40 I

F D

E

C B

A

O

O'

Cho hình bình hành ABCD (A > 90o) Từ C kẻ CE;CF;CG vng góc

với AD;DB;AB

1. C/m DEFC nội tiếp 2. C/m:CF2 = EF GF

3. Gọi O giao điểm AC DB Kẻ OICD Cmr: OI qua trung điểm AG

4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp

Bài 40:

Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Các đường thẳng AO cắt (O); (O') C E;đường thẳng AO’ cắt (O) (O’) D F

1.C/m:C;B;F thẳng hàng 2.C/m CDEF nội tiếp

3.Chứng tỏ DA FE=DC EA

y x

H×nh 41 K

I

H C

B

O

E F A

H×nh 42 I K

E F

N

D M

A

B

C Bài 41:

Cho (O;R) Một cát tuyến xy cắt (O) E F Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB AC với (O) Gọi H trung điểm EF

1. Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H nằm đường tròn 2. Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K C/m: OI

OA=OH OK=R2

3. Khi A di động xy I di động đường nào? 4. C/m KE KF hai tiếp tyueán (O)

Bài 42:

Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D Qua A kẻ AE AF vng góc với BN CM Các đường thẳng AE AF cắt BC I;K

1.C/m AFDE nội tiếp 2.C/m: AB NC = AN BC 3.C/m: FE//BC

4.Chứng tỏ ADIC nội tiếp

H×nh 43 I N

E M D

O' O

B

A

C

H×nh 44

J K

E Q

M N

I

D C

B

O A

P

Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài) Dựng đường trịn tâm O đường kính AB (O’) đường kính AC Hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D

1.Chứng tỏ D nằm BC 2.Gọi M điểm

cung nhỏ DC AM cắt DC E cắt (O) N C/m DE AC=AE MC 3.C/m AN=NE O;N;O’

thẳng hàng

4.Gọi I trung điểm MN C/m góc OIO’=90o

5.Tính tích tích tam giác AMC

Bài 44:

Trên (O;R),ta đặt theo chiều, kể từ điểm A cung AB=60o,

cung BC = 90o cung CD = 120o

1. C/m ABCD hình thang cân 2. Chứng tỏ ACDB

3. Tính cạnh đường chéo ABCD

4. Gọi M;N trung điểm cạnh DC AB Trên DA kéo dài phía A lấy điểm P;PN cắt DB Q C/m MN phân giác góc PMQ

H×nh 45 N

O

M F

E

D

C

B A

H×nh 46 I

E D

F

O

B C

A

Cho  ABC có cạnh a Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B tam giác BC Từ D dựng tia Dx vng góc với DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D E nằm hai phía đường thẳng AB) Từ E kẻ EFBC Gọi O trung điểm EB

1 C/m AEBC EDFB nội tiếp,xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác theo a

2 Kéo dài FE phía F,cắt (D) M EC cắt (O) N C/m EBMC thang cân Tính tích tích

3 c/m EC phân giác góc DAC

4 C/m FD đường trung trực MB

5 Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng Tính tích tích phần mặt trăng

được tạio cung nhỏ EB hai đường tròn

Bài 46:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E 1. C/m BD phân giác góc

ABC OD//AB 2. C/m ADEF nội tiếp

3. Gọi I giao điểm BD AC Chứng tỏ CI=CE IA IC = ID IB

4. C/m góc AFD   AED

H×nh 47 M I

F E

O A

D B

C

H×nh 48 J

I

C Q

R O

A B

P

Cho nửa đường tròn (O); Đường kính AD Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B C cho cung AB < AC; AC cắt BD E Kẻ EFAD F

1 C/m: ABEF nội tiếp

2 Chứng tỏ: DE DB=DF DA

3 C/m:E tâm đường tròn nội tiếp CBF

4 Gọi I giao điểm BD với CF C/m BI2 = BF BC - IF IC

Bài 48:

Cho (O) đường kính AB;P điểm di động cung AB cho PA<PB Dựng hình vng APQR vào phía đường tròn Tia PR cắt (O) C

1 C/m ACB vuông cân

2 Vẽ phân giác AI góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC J C/m điểm J;A;Q;B nằm đường tròn

3 Chứng tỏ: CI QJ=CJ QP

4 CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng

x y

H×nh 49 E

F

N

C

D

O

A B

M

H×nh 50 K

H B

D C

A

E

Cho nửa (O) đường kính AB=2R Trên nửa đường trịn lấy điểm M cho cung AM<MB Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tia tiếp tuyến Ax By D C

1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp 2. Chứng tỏ AD BC = R2

3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F;MB cắt Ax E Chứng minh: AMFN hình thang cân

4. Xác định vị trí M nửa đường trịn để DE = EF

Bài 50:

Cho hình vng ABCD,E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE ,đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K

1 Chứng minh:BHCD nội tiếp Tính góc CHK

3 C/m KC KD=KH KB

4 Khi E di động BC H di động đường nào?

Cho (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E

1 C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE AD

3 C/m góc AOC ACB  và BDC cân

4 CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB

Bài 52:

Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’

1 Tính bán kính (O)

2 Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC hình thang cân

4 Quay ABC voøng quanh trục AH Tính tích tích xung quanh hình tạio

H K

C'

C A'

A

O

B

Bài 53:

I

E

D

C B

O A

Cho(O) hai đường kính AB; CD vng góc với Gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vng góc với MQ M cắt (O) P

1 C/m: a/ PMIO thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng

2 Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP

3 Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr:

a/ MH MQ= MP2

b/ MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp QHP

Bài 54:

Cho (O;R) cát tuyến d khơng qua tâm O Từ điểm M d ngồi (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C Gọi H chân đường vuơng gĩc hạ từ O xuống d Đường thẳng vuơng gĩc với BC O cắt AM D

1. C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn

2. C/m AC//MO MD=OD

3. Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME MF

4. Xác định vị trí điểm M d để MAB tam giác Tính tích tích phần tạio hai tia tiếp tuyến với đường trịn trưđường hợp

d

H C

E O F

B

A D

Bài 55:

S

J H

M P

Q I

D C

O

Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax By D C

1. C/m: AMN   BMC

2. C/m: ANM = BMC 3. DN cắt AM E CN cắt

MB F C/m FEAx 4. Chứng tỏ M củng trung

điểm DC

Bài 56:

x

y

E

F D

C M

O

A B

N

Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF

1. C/m AECD nội tiếp 2. C/m: CD2 = CE CF

3. Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE 4. C/m: IK//AB

x K

I D

F

E

M

O

B A

C

Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P > R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn

1 C/m BM/ / OP

2 Đường vng góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành

3 AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng

Q J

K

N

I P

O

A B

M

Bài 58:

Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường trịn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

1. C/m ABI vuông cân

2. Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC AI=AD AJ

3. C/m JDCI nội tiếp

N

H J K I

C

O

A B

D

Bài 59:

Cho (O) hai đường kính AB; CD vng góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M

1 Chứng minh: NMBO nội tiếp

2 CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB

3 C/m hệ thức: AM DN=AC DM

4 Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác

E

M

D C

O

A B

H×nh 61 K

F

G E O

B

A

C D

Bài 60:

Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiêu A B lên đường thẳng d

1. C/m: CD=CE

2. Cmr: AD+BE=AB

3. Vẽ đường cao CH ABC Chứng minh AH=AD BH=BE 4. Chứng tỏ:CH2=AD BE

5. Chứng minh:DH//CB

d

H

E D

O

A B

C

Bài 61:

Cho ABC có: A=1v D điểm nằm cạnh AB Đường trịn đường kính BD cắt BC E đường thẳng CD;AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G

1. C/m CAFB nội tiếp 2. C/m AB ED = AC EB 3. Chứng tỏ AC//FG 4. Chứng minh

AC;DE;BF đồng quy

Cho (O;R) đường thẳng d cố định không cắt (O) M điểm di động d Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn Hạ OHd H dây cung PQ cắt OH I;cắt OM K

1. C/m: MHIK nội tiếp

2. C/m OJ OH=OK OM=R2

3. CMR M di động d vị trí I cố định

d

K I

H M O

Q P

Bài 63:

Cho  vuông ABC (A = 1v) AB < AC Kẻ đường cao AH Trên tia đối

tia HB lấy HD = HB từ C vẽ đường thẳng CEAD E 1. C/m AHEC nội tiếp

2. Chứng tỏ CB phân giác góc ACE AHE cân 3. C/m HE2 = HD HC

4. Gọi I trung điểm AC HI cắt AE J Chứng minh: DC HJ=2IJ BH 5. EC kéo dài cắt AH K Cmr AB//DK tứ giác ABKD hình thoi

J

I

K

E D H

B C

A

x y

H×nh 65 E

D

Q

P

O A

B M

C

Cho tam giác ABC vng cân A Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC D,kẻ CE Bx E Hai đường thẳng AB CE cắt F

1 C/m FDBC,tính góc BFD C/m ADEF nội tiếp

3 Chứng tỏ EA phân giác góc DEF

Nếu Bx quay xung quanh điểm B E di động đường nào?

D E

A

O C

B

Bài 65:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By hai tiếp tuyến nửa đường tròn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP với AM; E giao điểm CQ với BM

cm: ACMP nội tiếp Chứng tỏ AB//DE

C/m: M; P; Q thẳng hàng

x

H×nh 66

K H

F

E I

O A

B M

C

y x

H×nh 67 K

P N

D O

A B

M

Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB điểm M nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt tia Ax I Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F; Tia BE cắt Ax H; cắt AM K

1 C/m: IA2=IM IB

2 C/m: BAF cân

3 C/m AKFH hình thoi

4 Xác định vị trí M để AKFI nội tiếp

Bài 67:

Cho (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khaùc A; O; B) Đường thẳng CM cắt (O) N Đường vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh:

1 COMNP nội tiếp

2 CMPO hình bình hành

3 CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí M

4 Khi M di động AB P chạy đoạn thẳng cố định

H×nh 68 O

F E

K

I H

B

A

C

2 1

4 3 2 1

H×nh 69 I

H

E

D

O

B C

A

Cho ABC có A = 1v AB > AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC

chứa điểm A vẽ hai nửa đường trịn đường kính BH nửa đường trịn đường kính HC Hai nửa đường tròn cắt AB AC E F Giao điểm FE AH O Chứng minh:

1 AFHE hình chữ nhật BEFC nội tiếp

3 AE.AB = AF AC

4 FE tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn

5 Chứng tỏ: BH HC = 4.OE OF

Bài 69:

Cho ABC có A=1v AHBC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d tiếp tuyến đường tròn điểm A Các tiếp tuyến B C cắt d theo thứ tự D E

1 Tính góc DOE

2 Chứng tỏ DE = BD + CE

3 Chứng minh: DB CE = R2 (R bán kính đường trịn tâm O)

4 C/m: BC tiếp tuyến đường tròn đường kính DE

I

H×nh 70 K

E D

H

C B

A

Cho ABC (A =1v); đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Gọi

HD đường kính đường trịn (A;AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E

1 Chứng minh BEC cân

2 Gọi I hình chiêu A BE C/m: AI = AH C/m:BE tiếp tuyến đường tròn

4 C/m: BE = BH + DE

5 Gọi đường trịn đường kính AH có Tâm K Và AH = 2R Tính tích tích hình tạo đường tròn tâm A tâm K

Bài 71:

Trên cạnh CD hình vng ABCD,lấy điểm M Đường trịn đường kính AM cắt AB điểm thứ hai Q cắt đường trịn đường kính CD điểm thứ hai N Tia DN cắt cạnh BC P

1 C/m:Q;N;C thẳng hàng CP CB = CN CQ

3 C/m AC MP cắt điểm nằm đường trịn đường kính AM Bài 72:

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O D E theo thứ tự điểm cung AB;AC Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự H K

1 C/m:AHK cân

2 Gọi I giao điểm BE với CD C/m:AIDE C/m CEKI nội tiếp

4 C/m:IK//AB

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O),kẻ dây cung AA’ từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường cắt BA’ E

1 C/m: DA ' C DA ' E

2 C/m: A'DC=A'DE

3 Chứng tỏ: AC = AE Khi AA' quay xung quanh A E chạy đường nào?

4 C/m: BAC  2 CEB

Bài 74:

Cho ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB O trung điểm AB;M điểm cung AC H giao điểm OM với AC

1 C/m: OM//BC

2 Từ C kẻ tia song song cung chiều với tia BM,tia cắt đường thẳng OM D Cmr: MBCD hình bình hành

3 Tia AM cắt CD K Đường thẳng KH cắt AB P Cmr: KPAB C/m: AP AB = AC AH

5 Gọi I giao điểm KB với (O) Q giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng

Bài 75:

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính EF Từ O vẽ tia Ot EF, cắt nửa đường trịn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA = IO Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn; chúng cắt đường thẳng EF B C (P;Q tiếp điểm)

1 Cmr: ABC tam giác tứ giác BPQC nội tiếp

2 Từ S điểm tuỳ ý cung PQ vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến cắt AP H,cắt AC K Tính sđ góc HOK

3 Gọi M; N giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp Chứng minh raèng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, D nằm đường tròn ngoại tiếp HOK

Cho hình thang ABCD nội tiếp (O),các đường chéo AC BD cắt E Các cạnh beân AD;BC kéo dài cắt F

1 C/m: ABCD thang cân Chứng tỏ FD FA = FB FC C/m: Góc AED = AOD C/m AOCF nội tiếp Bài 77:

Cho (O) đường thẳng xy không cắt đường tròn Kẻ OAxy từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) B C Tiếp tuyến B C (O) cắt xy D E Đường thẳng BD cắt OA;CE F M;OE cắt AC N

1 C/m OBAD nội tiếp Cmr: AB EN = AF EC So sánh góc AOD COM Chứng tỏ A trung điểm DE Bài 78:

Cho (O;R) A điểm đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D cắt đường tròn E

Chứng tỏ EC // với OA

Chứng minh raèng: 2AB R = AO CB

Gọi M điểm di động cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt AB vàAC I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi M di động cung nhỏ BC

Xác định vị trí M cung nhỏ BC để điểm J,I,B,C nằm đường tròn

Bài 79:

Cho(O),từ điểm P nằm ngồi đường trịn,kẻ hai tiếp tuyến PA PB với đường tròn Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường cắt PA,PB C D

Chứng minh A,C,M,O nằm đường tròn Chứng minh: COD = AOB

Chứng minh: Tam giác COD cân

Bài 80:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H

Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Chứng minh : AD AB = AE AC

Chứng tỏ AK phân giác góc DKE

Gọi I; J trung điểm BC DE Chứng minh: OA//JI Bài 81:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với

AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(Enằm cung nhỏ BC) Chứng minh BDCO nội tiếp

Chứng minh: DC2 = DE DF

Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn Chứng tỏ I trung điểm EF

Bài 82:

Cho đường trịn tâm O,đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M AM cắt CD E

Chứng minh AM phân giác góc CMD

Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn Chứng tỏ AC2 = AE AM

Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I Chứng minh NI//CD

Bài 83:

Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E cắt đường thẳng AC G Đường thẳng thứ hai vng góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D

1 C/m: AEHF nội tiếp

2 Chứng tỏ: HG HA = HD HC

3 Chứng minh EFDG FHC = AFE

Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O) M điểm cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I

1 Chứng minh A;O;I thẳng hàng

2 Kẻ AK với đường thẳng MC AI cắt BC J Chứng minh AKCJ nội tiếp

3 C/m: KM JA = KA JB Bài 85:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi C điểm nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F

1 Chứng minh BDCF nội tiếp

2 Chứng tỏ: CD2 = CE CF FD tiếp tuyến đường tròn (O)

3 AC cắt DE I;CB cắt DF J Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O) Bài 86:

Cho (O;R (O’;r) R>r, cắt Avà B Gọi I điểm đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K

1 Chứng minh ICKD nội tiếp Chứng tỏ: IC2 = IA IB

3 Chứng minh IK nằm đường trung trực CD IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN

a/ Chứng minh: IE IF = IM IN

b/ E; F; M; N nằm đường trịn Bài 87:

ChoABC có góc nhọn Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC (O) cắt AB;AC D E BE CD cắt H

1 Chứng minh: ADHE nội tiếp C/m: AE AC = AB AD

3 AH kéo dài cắt BC F Cmr: H tâm đường tròn nội tiếp DFE Gọi I trung điểm AH Cmr IE tiếp tuyến (O)

Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E(O))

1 Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng

2 Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF Cmr: AEKF nội tiếp Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD

4 Chứng tỏ FA EC = FD EA Bài 89:

Cho ABC có A = 1v Qua A dựng đường trịn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K

1 Chứng minh: OAO’ thẳng hàng CM: AMKN nội tiếp

3 Cm AK tiếp tuyến hai đường trịn K nằm BC Chứng tỏ 4MI2 = Rr

Bài 90:

Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vng góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F

1 Cm: BDEF nội tiếp

2 Chứng tỏ: DA DF = DC DE

3 Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF Cmr: DIMF nội tiếp

4 Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI AM = AC AH Bài 91:

Cho (O) (O’) tiếp xúc A Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khaùc A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D(O)); DB CE kéo dài cắt M

1 Cmr: ADEM nội tiếp

2 Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường trịn ADEM hình gì?

Cho hình vng ABCD Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK với đường thẳng AM

1 Cm: ABKC nội tiếp

2 Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N Từ B dựng đường vng góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD KN = BE KA Cm: MN//DB

4 Cm: BMEN hình vng Bài 93:

Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q

1 Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB

3 Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: PEN tam giác cân Bài 94:

Từ đỉnh A hình vng ABCD,ta kẻ hai tia tạio với góc 45o Một

tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q

1 Cm: E; P; Q; F; C nằm đường tròn Cm: AB PE = EB PF

3 Cm: SAEF = 2SAPQ

4 Gọi M trung điểm AE Cmr: MC = MD Bài 95:

Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O Kẻ AH BK vng góc với BD AC Đường thẳng AH BK cắt I Gọi E F trung điểm DH BC Từ E dụng đường thẳng song song với AD Đường cắt AH J

1 C/m: OHIK nội tiếp Chứng tỏ KHOI

3 Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD Đường cắt AH J Chứng tỏ: HJ KC = HE KB

Bài 96:

Cho ABC, phân giác góc góc ngồi góc B C gặp theo thứ tự I J Từ J kẻ JH; JP; JK vng góc với đường thẳng AB; BC; AC

1 Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nội tiếp

3 BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr: AEAJ C/m: AI AJ = AB AC

Bài 97:

Từ đỉnh A hình vng ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q Kẻ BKAx;BIAy DMAx,DNAy

1 Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2 = AP MD

3 Chứng minh MN = KI Chứng tỏ KIAN Bài 98:

Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o Phân giác góc A cắt cạnh CD

đường thẳng BC I K Hạ KH KM vng góc với CD AM Chứng minh KHDM nội tiếp

2 Chứng minh: AB = CK + AM Bài 99:

Cho(O) tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF Đường thẳng CE CF gaëp lại đường tròn điểm thứ hai M N Dựng hình bình hành AECD

1 Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF Chứng minh AFCD nội tiếp

3 Chứng minh: CN CF = 4BE BF Chứng minh MN//AC

Bài 100:

Trên (O) lấy điểm A;B;C Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I MN cắt AB E

3 Chứng minh AN BD = AB BN