Tỷ số H V đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng

Tỷ số H V đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng Tỷ số H V đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng Tỷ số H V đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC MƠI TRƯỜNG ĐÀN HỒI CĨ BIẾN DẠNG TRƯỚC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 604421 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHẠM CHÍ VĨNH Hà Nội - Năm 2012 Lời cảm ơn Lời luận văn này, cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người tận tình bảo giúp đỡ em suốt trình thực hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy cô giáo dạy dỗ em suốt năm học vừa qua, đặc biệt thầy cô môn Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị "nhóm xêmina" ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Mục lục Lời mở đầu Công thức H/V mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén 1.1 Các phương trình 1.2 Sóng Rayleigh 1.3 Công thức H/V 13 Công thức H/V môi trường đàn hồi, chịu biến dạng trước, không nén 19 2.1 Các phương trình 19 2.2 Sóng Rayleigh 21 2.3 Công thức H/V 21 Công thức H/V môi trường đàn hồi, chịu biến dạng trước, chịu ràng buộc tổng quát 25 3.1 Các phương trình 25 3.2 Sóng Rayleigh 28 3.3 Công thức H/V 31 Xác định ứng suất trước từ giá trị đo tỷ số H/V 36 4.1 4.2 Sự phụ thuộc tỷ số H/V vào biến dạng trước 36 4.1.1 Môi trường nén 36 4.1.2 Môi trường không nén 41 4.1.3 Môi trường chịu ràng buộc tổng quát 44 Tìm ứng suất trước đo tỷ số H/V 48 4.2.1 Môi trường nén 48 4.2.2 Môi trường không nén 50 4.2.3 Môi trường chịu ràng buộc tổng quát 51 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 LỜI MỞ ĐẦU Ngày vật liệu có ứng suất trước (vật liệu dự ứng lực) sử dụng rộng rãi thực tế, nên việc xác định ứng suất trước kết cấu cơng trình trước q trình sử dụng cần thiết quan trọng, vận tốc sóng Rayleigh cơng cụ thuận tiện để thực nhiệm vụ (xem [2], [4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) Trong nghiên cứu (xem [2], [4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) để đánh giá ứng suất trước vận tốc sóng Rayleigh tác giả thiết lập công thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh Chúng phụ thuộc tuyến tính (xem [2], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) đa thức bậc hai [4] biến dạng trước (hay ứng suất trước) nên thuận tiện sử dụng Mặc dù vậy, chúng thu phương pháp nhiễu nên công thức biến dạng trước nhỏ Khi biến dạng trước khơng nhỏ, chúng hồn tồn tác dụng Gần đây, cơng thức xác, cho biến dạng trước tìm Vinh [19] cho môi trường đàn hồi chịu ứng suất trước nén được, Vinh [18] cho môi trường đàn hồi chịu ứng suất trước không nén được, Vinh & Giang [29] cho mơi trường đàn hồi có ứng suất trước chịu ràng buộc đẳng hướng tổng quát Chú ý rằng, tồn sóng mặt Rayleigh môi trường đàn hồi đẳng hướng Rayleigh [30] chứng minh từ 100 năm trước, năm 1885, từ đến có số lượng lớn nghiên cứu sóng mặt Rayleigh môi trường đàn hồi khác nhau, ứng dụng to lớn nhiều lĩnh vực khác khoa học cơng nghệ Cơng cụ tìm kiếm google scholar cho khoảng triệu đường link với từ khóa "Rayleigh waves", xem [34] Mặc dù vậy, cơng thức xác vận tốc sóng Rayleigh tìm gần đây, Nkemzi [15], Malischewsky [12], Vinh & Ogden [26] cho môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, Vinh & Ogden [27, 28] cho môi trường đàn hồi trực hướng nén được, Ogden & Vinh [17] cho môi trường đàn hồi trực hướng không nén được, Vinh [19, 18] cho môi trường đàn hồi có biến dạng trước nén khơng nén được, Vinh & Giang [29] cho môi trường đàn hồi có biến dạng trước chụi ràng buộc đẳng hướng tổng quát, Vinh & Linh [25] cho môi trường đàn hồi chụi ảnh hưởng trọng trường Nhờ cơng thức này, phương pháp bình phương tối thiểu, số công thức xấp xỉ với độ xác cao vận tốc sóng Rayleigh, xem [20]-[24], tìm Chúng có dạng đơn giản nên tiện lợi sử dụng Trong báo gần [9], Junge cộng rằng, so với vận tốc sóng Rayleigh tỷ số H/V (tỷ số giá trị cực đại môđun chuyển dịch ngang môđun chuyển dịch thẳng đứng biên bán khơng gian sóng Rayleigh) có hai ưu điểm: (i) nhạy cảm ứng suất trước (ii) không phụ thuộc vào việc đo khoảng cách điểm kích động điểm nhận tín hiệu, thời gian chuyển động sóng Rayleigh đoạn đường Tức là, để đánh giá ứng suất trước kết cấu cơng trình, so với vận tốc sóng, tỷ số H/V cơng cụ tốt Cho đến nay, theo hiểu biết tác giả, chưa có cơng thức xác thiết lập cho tỷ số H/V môi trường đàn hồi có ứng suất trước Do vậy, việc tìm cơng thức có ý nghĩa, phương diện lý thuyết ứng dụng thực tế Mục đích luận văn thiết lập cơng thức xác tỷ số H/V mơi trường đàn hồi có ứng suất trước (biến dạng trước), nén được, không nén môi trường chịu ràng buộc đẳng hướng tổng quát Ứng dụng cơng thức thu được, khảo sát số ví dụ đơn giản việc xác định ứng suất trước từ giá trị đo tỷ số H/V Cần nhấn mạnh tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc sóng Để thu cơng thức xác nó, trước hết cần tìm cơng thức xác vận tốc sóng Rayleigh Trong kết thu được, tác giả sử dụng công thức xác vận tốc sóng Rayleigh tìm gần Vinh [19] cho môi trường nén được, Vinh [18] cho môi trường không nén được, Vinh & Giang [29] cho môi trường chịu ràng buộc đẳng hướng tổng quát Nội dung luận văn bao gồm chương : • Chương 1: Cơng thức H/V mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén Mục đích chương thiết lập cơng thức H/V mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén Từ công thức thu được, suy công thức (7) [14], công thức (12) [13] biểu diễn tỷ số H/V mơi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, khơng có ứng trước • Chương 2: Cơng thức H/V mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước, khơng nén Mục đích chương thiết lập cơng thức H/V mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước, khơng nén • Chương 3: Cơng thức H/V mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước, chịu ràng buộc tổng quát Mục đích chương thiết lập công thức H/V mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước, trường hợp có ràng buộc tổng qt Từ cơng thức thu ta đưa trường hợp công thức H/V thiết lập chương • Chương 4: Xác định ứng suất trước từ giá trị đo tỷ số H/V Mục đích chương sử dụng công thức thu khảo sát số ví dụ đơn giản phụ thuộc tỷ số H/V vào biến dạng trước, xác định ứng suất trước từ giá trị đo tỷ số H/V Chương Công thức H/V mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén 1.1 Các phương trình Xét vật thể đàn hồi đẳng hướng, nén mà trạng thái tự nhiên (khơng có ứng suất) chiếm bán không gian X2 ≤ Giả sử vật thể chịu biến dạng ban đầu nhất, tức là: x1 = λ1 X1 , x2 = λ2 X2 , x3 = λ3 X3 , λj = const, j = 1, 2, 3, (1.1) số λj (λj > 0, j = 1, 2, 3) gọi độ dãn Sau chịu biến dạng ban đầu (1.1) vật thể chiếm bán không gian x2 ≤ Xét chuyển động phẳng mặt phẳng (x1 , x2 ) với thành phần nhiễu chuyển dịch sau: uj = uj (x1 , x2 , t), j = 1, 2, u3 = 0, (1.2) t thời gian Khi đó, bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động [16, 6]: A1111 u1,11 + A2121 u1,22 + (A1122 + A2112 )u2,12 = uă1 , (A1122 + A2112 )u1,12 + A2121 u2,11 + A2222 u2,22 = uă2 , (1.3) ú l mt độ khối lượng vật liệu trạng thái ban đầu, dấu chấm (trên) đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy đạo hàm theo biến không gian (xj ), thành phần khác không tenxơ hạng bốn Aijkl xác định công thức [6, 16]: JAiijj = λi λj JAijij =   ∂W ∂W   − λj ) (λi ∂λi ∂λj ∂ 2W , ∂λi ∂λj λ2i , λ2i − λ2j (1.4) (i = j, λi = λj ) (1.5)   ∂W   (JAiiii − JAiijj + λi ) (i = j, λi = λj ) JAijji = JAjiij = JAijij ∂λi ∂W − λi (i = j), ∂λi (1.6) với i, j ∈ {1, 2, 3} , W = W (λ1 , λ2 , λ3 ) hàm lượng biến dạng đơn vị thể tích, J = λ1 λ2 λ3 Khi mơi trường khơng có biến dạng trước, thành phần Aijkl trở thành: Aiiii = λ + 2µ, Aiijj = λ, Aijij = Aijji = µ, (1.7) λ, µ số Lame Nhiễu ứng suất mặt x2 = const tính cơng thức [6]: s21 = A2121 u1,2 + A2112 u2,1 , s22 = A2222 u2,2 + A1122 u1,1 (1.8) Ứng suất Côsi xác định [6, 31]: Jσj = λj ∂W ∂λj (1.9) Để đơn giản trình bày, ta sử dụng ký hiệu sau: αij = JAiijj (α11 = JA1111 , α22 = JA2222 , α12 = α21 = JA1122 ), γ1 = JA1212 , γ2 = JA2121 , γ∗ = JA2112 , ρ0 = Jρ (1.10) ρ0 mật độ khối lượng trạng thái tự nhiên Khi hệ phương trình (1.3) trở thành: α11 u1,11 + γ2 u1,22 + (α12 + γ∗ ) u2,12 = uă1 , u2,11 + 22 u2,22 + (12 + ) u1,12 = uă2 (1.11) σ2 = tính theo cơng thức sau: (32) χ = √ P −1 √ S+2 P (4.27) Hình 4.5: Biểu diễn phụ thuộc tỷ số H/V vào độ giãn λ1 ∈ [0.5; 2.5] λ2 ∈ [0.5; 2.5] xét môi trường không nén σ2 = với hàm lượng biến dạng Varga [31] truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 Hìn 4.5 biểu diễn phụ thuộc tỷ số H/V vào độ giãn λ1 ∈ [0.5; 2.5] λ2 ∈ [0.5; 2.5] xét môi trường không nén σ2 = với hàm lượng biến dạng Varga [31] truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 4.1.3 Môi trường chịu ràng buộc tổng quát Xét ràng buộc Bell trường hợp tổng quát; Γ = λ1 + λ2 + λ3 − = (4.28) hàm lượng biến dạng: W = d2 (λ1 λ2 + λ2 λ3 + λ3 λ1 − 3) 44 (4.29) d2 < số vật liệu Ta hạn chế xét trường hợp σ22 = nên W2 = −d2 (λ1 + λ3 ) P¯ = − Γ2 Sử dụng công thức (3.4) ta tính tốn được: Γ1 = Γ2 = Γ3 = 1, Γij = W1 = d2 (λ2 + λ3 ), W2 = d2 (λ1 + λ3 ), W3 = d2 (λ1 + λ2 ) W11 = W22 = W33 = 0, (4.30) W12 = W13 = W23 = d2 a Xét truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 Sử dụng cơng thức (3.30), (3.39), (3.50), (3.51), (4.29), (3.31) ta tính đại lượng sau: −λ21 d2 α =γ =β = , λ2 λ3 (λ1 + λ2 ) ∗ ∗ ∗ 2λ2 a=1+ , λ1 λ2 λ1 b= λ2 , q =− − 9 λ1 δ∗ = −λ1 d2 λ3 (λ1 + λ2 ) λ2 R= + + 27 λ1 2 λ2 43 D=− + + 108 27 λ1 108 λ2 λ1 17 + 27 λ2 λ1 λ2 λ1 + λ2 λ1 (4.31) v2 ρv (12) (12) , < x(12) < 1, vận tốc sóng xr tính nên x = r r γ∗ c22 (3.49), biểu thức S , P xác định bởi: Ta có x(12) = r 2β ∗ − ρv (12) = − xr ∗ γ ∗ α − ρv (12) P = = − xr γ∗ (4.32) S= Tỷ số H/V tính cơng thức: (12) χ (12) = − xr (12) (2 − xr −2 (12) − xr (12) − xr ) (12) = − xr − (12) − xr (4.33) −1 Như ta thấy tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ1 λ2 đại lượng khơng thứ ngun Hình 4.6 biểu diễn phụ thuộc tỷ số H/V vào độ giãn λ1 ∈ [1; 1.5] 45 Hình 4.6: Biểu diễn phụ thuộc tỷ số H/V vào độ giãn λ1 ∈ [1; 1.5] λ2 ∈ [1; 1.5] xét môi trường chịu ràng buộc tổng quát Bell truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 λ2 ∈ [1; 1.5] xét môi trường chịu ràng buộc tổng quát Bell truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 b Xét truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 Sử dụng công thức (3.30), (3.39), (3.50), (3.51), (4.29), (3.31) ta tính đại lượng sau: α ¯ ∗ = γ¯ ∗ = β¯∗ = a=1+ −λ3 d2 , λ1 (λ3 + λ2 ) δ∗ = 2λ2 2λ2 =1+ , λ3 − λ1 − λ2 −λ2 d2 λ1 (λ3 + λ2 ) b= − 3a 1 ,R = a + b − 27 1 2 1 D = a3 − a + b − b + ab 27 108 27 λ2 λ3 = λ2 − λ1 − λ2 q2 = 46 (4.34) v2 ρv (32) (32) = nên x < 1, vận tốc sóng xr tính , < x(32) r r γ∗ c22 (3.49), biểu thức S , P xác định bởi: = Ta có x(32) r 2β¯∗ − ρv (32) = − xr γ¯ ∗ α ¯ ∗ − ρv (32) P = = − xr ∗ γ¯ (4.35) S= Tỷ số H/V tính cơng thức: (32) χ (32) = − xr (32) (2 − xr −2 (32) − xr (32) − xr ) (32) = − xr − (32) − xr (4.36) −1 Như ta thấy tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ1 λ2 đại lượng khơng thứ ngun Hình 4.7: Biểu diễn phụ thuộc tỷ số H/V vào độ giãn λ1 ∈ [1; 1.2] λ2 ∈ [1; 1.2] xét môi trường chịu ràng buộc tổng quát Bell truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 Hình 4.7 biểu diễn phụ thuộc tỷ số H/V vào độ giãn λ1 ∈ [1; 1.2] λ2 ∈ [1; 1.2] xét môi trường chịu ràng buộc tổng quát Bell truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 47 4.2 Tìm ứng suất trước đo tỷ số H/V Phần nhằm mô tả cách xác định ứng suất trước cách sử dụng công thức thu tỷ số H/V môi trường nén được, không nén được, chịu ràng buộc tổng quát Trong phần 4.1 tác giả lấy ví dụ cụ thể hàm lượng biến dạng để tìm tỷ số H/V môi trường khác nhau, phần tác giả tìm ứng suất trước đo tỷ số H/V ta thực truyền sóng theo hướng khác Khi tốn dẫn tới giải hệ phương trình đại số phi tuyến để tìm độ dãn chính, từ tính ứng suất trước Để giải hệ phương trình đại số phi tuyến ta giả sử dụng phần mềm Matlab Sau ví dụ cụ thể môi trường khác 4.2.1 Môi trường nén Xét hàm lượng biến dạng có dạng neo-Hookean [31]: W = µ λ + λ22 + λ23 − − ln(λ1 λ2 λ3 ) (4.37) + Xét truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng Ox2 Trong phần a 4.1.1 ta khảo sát tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ1 , λ2 xác định công thức: χ(12) = F1 (λ1 , λ2 ) = λ22 √ P −S (4.38) x(12) r , S , P xác định tương ứng công thức (4.3), (4.6) + Xét truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 Trong phần b 4.1.1 ta khảo sát tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ3 , λ2 xác định công thức: χ(32) = F2 (λ2 , λ3 ) = λ22 √ P −S (4.39) x(32) r , S , P xác định cơng thức (4.9), (4.12) + Xét truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x3 Trong phần c 48 4.1.1 ta khảo sát tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ1 , λ3 xác định cơng thức: χ(13) = F3 (λ1 , λ3 ) = √ P −S λ22 (4.40) x(13) r , S , P xác định công thức (4.15), (4.18) Giả sử ta đo tỷ số H/V thực truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 b1 , thực truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 b2 , thực truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x3 b3 Khi tốn đưa giải hệ ba phương trình đại số phi tuyến sau để tìm λ1 , λ2 , λ3 : F1 (λ1 , λ2 , λ3 ) = b1 F2 (λ1 , λ2 , λ3 ) = b2 (4.41) F3 (λ1 , λ2 , λ3 ) = b3 Sử dụng phần mềm Matlab để giải hệ phương trình phi tuyến (4.41) ta tính λ1 , λ2 , λ3 , suy thành phần ứng suất σ¯1 ,, σ¯2 , σ¯3 xác định cơng thức: Jσj = λj ∂W σ¯j = σj /µ ∂λj Ta có bảng tính tốn sau: b1 b2 b3 λ1 λ2 λ3 0.7862 0.7862 0.7862 1.00 1.00 1.00 σ ¯1 σ ¯2 σ ¯3 0 0.7779 0.7749 0.7754 1.01 1.02 1.03 0.0189 0.0381 0.0574 0.7724 0.7695 0.7699 1.02 1.03 1.04 0.0370 0.0557 0.0747 0.7670 0.7640 0.7646 1.03 1.04 1.05 0.0541 0.0725 0.0911 0.7616 0.7587 0.7593 1.04 1.05 1.06 0.0705 0.0886 0.1068 0.7564 0.7535 0.7540 1.05 1.06 1.07 0.0861 0.1038 0.1217 Nhận xét: Từ kết ta thấy tỷ số giá trị H/V giảm độ dãn tăng dần thực truyền sóng theo ba phương 49 4.2.2 Môi trường không nén Xét hàm lượng biến dạng Varga [5, 18]: W = 2µ[λ1 + λ2 + λ3 − ln(λ1 λ2 λ3 )] = 2µ[λ1 + λ2 + λ3 ] (4.42) + Xét truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 Trong phần a 4.1.2 ta khảo sát tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ1 , λ2 xác định cơng thức: χ (12) = F1 (λ1 , λ2 ) = √ P −1 √ S+2 P (4.43) xác định cơng thức (4.23), (2.29) S , P , x(12) r + Xét truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 Trong phần b 4.1.2 ta khảo sát tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ1 , λ2 xác định công thức: √ χ (32) = F2 (λ1 , λ2 ) = P −1 √ S+2 P (4.44) S , P , x(32) xác định công thức (4.26), (2.35) r Giả sử ta đo tỷ số H/V thực truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 a1 , thực truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 a2 Xét trường hợp σ2 = ta có p/µ = 2λ2 Vậy để xác định λ1 , λ2 ta đưa tốn giải hệ hai phương trình đại số phi tuyến sau đây: F1 (λ1 , λ2 ) = a1 F2 (λ1 , λ2 ) = a2 (4.45) Sử dụng phần mềm Matlab để giải hệ phương trình phi tuyến trên, sau tính , p/µ (µ coi biết), thành phần ứng λ1 λ2 ∂W suất σ¯1 , σ¯3 xác định công thức: σj = λj − p, σ ¯j = σj /µ ∂λj Dưới bảng tính tốn ứng suất trước đo tỷ số H/V tương ứng: λ1 , λ2 suy λ3 = 50 a1 a2 λ1 λ2 λ3 0.5437 0.5437 1.00 1.00 1.00 σ ¯1 σ ¯3 0.00 0.00 0.5262 0.5104 1.00 1.01 0.99 -0.02 -0.04 0.5264 0.4710 1.01 1.02 0.97 -0.02 -0.10 0.5265 0.4401 1.02 1.03 0.95 -0.02 -0.16 0.5267 0.4151 1.03 1.04 0.93 -0.02 -0.22 0.5268 0.3946 1.04 1.05 0.92 -0.02 -0.26 0.5270 0.3774 1.05 1.06 0.90 -0.02 -0.32 0.5271 0.3629 1.06 1.07 0.88 -0.02 -0.38 0.5273 0.3506 1.07 1.08 0.86 -0.02 -0.44 0.5274 0.3401 1.08 1.09 0.85 -0.02 -0.48 0.5276 0.3310 1.09 1.10 0.83 -0.02 -0.54 Nhận xét: Từ bảng giá trị thu ta thấy độ dãn λ1 , λ2 tăng lên tỷ số H/V truyền sóng theo hướng x3 giảm dần, cịn theo hướng x1 tăng dần 4.2.3 Mơi trường chịu ràng buộc tổng quát Xét ràng buộc Bell trường hợp tổng quát: Γ = λ1 + λ2 + λ3 − = (4.46) hàm lượng biến dạng: W = d2 (λ1 λ2 + λ2 λ3 + λ3 λ1 − 3) (4.47) d2 < số vật liệu Ta hạn chế xét trường hợp σ22 = nên W2 = −d2 (λ1 + λ3 ) P¯ = − Γ2 + Xét truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 Trong phần a 4.1.3 ta khảo sát tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ1 , λ2 51 xác định công thức: (12) χ(12) = F1 (λ1 , λ2 ) = − xr − (12) − xr (4.48) x(12) r , S , P xác định (3.49), (4.32) + Xét truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 Trong phần b 4.1.3 ta khảo sát tỷ số H/V phụ thuộc vào độ dãn λ1 , λ2 xác định cơng thức: (32) χ(32) = F2 (λ1 , λ2 ) = − xr − (32) − xr (4.49) x(32) r , S , P xác định (3.54), (4.35) Giả sử ta đo tỷ số H/V thực truyền sóng theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 a1 , thực truyền sóng theo hướng x3 tắt dần theo hướng x2 a2 Xét trường hợp σ22 = ta có P¯ /d2 = −λ1 − λ3 Vậy để xác định λ1 , λ2 ta đưa tốn giải hệ hai phương trình đại số phi tuyến sau đây: F1 (λ1 , λ2 ) = a1 F2 (λ1 , λ2 ) = a2 (4.50) Sử dụng phần mềm Matlab để giải hệ phương trình phi tuyến trên, sau tính λ1 , λ2 suy λ3 = − λ1 − λ2 , P¯ /d2 = −λ1 − λ3 (d2 coi biết), thành phần ứng suất σ¯11 , σ¯33 xác định công thức: σ¯jj = J −1 λj Wj J −1 λj Γj P¯ + σ¯jj = σjj /d2 Dưới bảng tính tốn ứng suất d2 d2 trước đo tỷ số H/V tương ứng: 52 a1 a2 λ1 λ2 λ3 0.5437 0.5437 1.00 1.00 1.00 σ ¯11 σ ¯33 0.00 0.00 0.5548 0.5664 1.00 1.01 0.99 0.0100 0.0198 0.5547 0.6029 1.01 1.02 0.97 0.0101 0.0485 0.5546 0.6427 1.02 1.03 0.95 0.0102 0.0762 0.5545 0.6863 1.03 1.04 0.93 0.0103 0.1027 0.5544 0.7340 1.04 1.05 0.91 0.0105 0.1282 0.5543 0.7866 1.05 1.06 0.89 0.0106 0.1527 0.5542 0.8446 1.06 1.07 0.87 0.0107 0.1763 0.5541 0.9089 1.07 1.08 0.85 0.0109 0.1990 0.5540 0.9805 1.08 1.09 0.83 0.0110 0.2209 0.5539 1.0607 1.09 1.10 0.81 0.0112 0.2419 Nhận xét: Từ bảng giá trị thu ta thấy độ dãn λ1 , λ2 tăng lên tỷ số H/V truyền sóng theo hướng x1 giảm dần, cịn theo hướng x3 tăng dần 53 Kết Luận Xuất phát từ phương trình chuyển động điều kiện biên toán biến dạng phẳng môi trường đàn hồi, chịu biến dạng trước, nén được, không nén được, tổng quát cho môi trường chịu ràng buộc đẳng hướng, tác giả luận văn xây dựng cơng thức xác hồn tồn tường minh tỷ số H/V môi trường đàn hồi có ứng suất trước Các cơng thức thu cung cấp cơng cụ hữu ích để đánh giá ứng suất trước kết cấu công trình trước trình sử dụng Trong luận văn tác giả khảo sát số ví dụ cụ thể cho thấy phụ thuộc tỷ số H/V vào biến dạng trước, minh họa cách sử dụng công thức thu để xác định ứng suất trước thông qua giá trị đo tỷ số H/V 54 Tài liệu tham khảo [1] Chadwick, P., Whitworth, A M., Borejko, P (1985), "Basic theory of smallamplitute wave in a constrained elastic body", Arch Ration Mech Anal., 87, PP 339-354 [2] Delsanto, P P., Clark, A V (1987), "Rayleigh wave propagation in deformed orthotropic materials", J Acoust Soc Am., 81 (4), PP 952-960 [3] Destrade, M., Scott, N H (2004), "Surface waves in a deformed isotropic hyperelastic material subject to an isotropic internal constraint", Wave Motion, 40, PP 347-357 [4] Destrade,M., Gilchrist, M D., Saccomandi, G (2010), "Third- and fourthorder constants of incompressible soft solids and the acousto-elastic effect", J Acoust Soc Am.,, 127 (5), PP 2759-2763 [5] Dowaikh, M A., Ogden, R W (1990), "On surface waves and deformations in a pre-stressed incompressible elastic solids", IMA J Applp Math., 44, PP 261-284 [6] Dowaikh, M A., Ogden, R W (1991), "On surface waves and deformations in a compressible elastic half-space", SAACM, 1(1), PP 27-45 [7] Dyquennoy, M., Ouaftouh, M., and Ourak, M (1999), "Ultrasonic evaluation of stresses in orthotropic materials using Rayleigh waves", NDT & E International, 32, PP 189-199 [8] Dyquennoy, M., Devos, D., OuaftouhM (2006), "Ultrasonic evaluation of residual stresses in flat glass tempering: Comparing experimental investigation and numerical modeling", J Acoust Soc Am., 119 (6), PP 3773-3781 55 [9] Junge, M., Qu, J., Jacobs, L J (2006), "Relationship between Rayleigh wave polarization and state of stress", Ultrasonics, 44 , PP 233-237 [10] Hirao, M., Fukuoka,H., and Hori, K (1981), "Acoustoelastic effect of Rayleigh surface wave in isotropic material", J Appl Mecch., 48, PP 119124 [11] Makhort, F G., Gushcha, O I., Chernoochenko, A A (1990), "Theory of acoustoelasticity of Rayleigh surface waves", Int Appl Mech., 26, PP 346-350 [12] Malischewsky, P G (2000), Comment to " A new formula for velocity of Rayleigh waves " by D.Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199 - 205], Wave Motion, 31, PP 93 - 96 [13] Malischewsky, P G and Scherbaum, F (2004), "Love’s formula and H/Vratio (ellipticity) of Rayleigh waves", Wave Motion, 40, PP 57-67 [14] Nagy, P B and Kent, R M (1995), "Ultrasonics assessment of Poisson;s ratio in thin rods", J Acoust Soc Am., 98, PP 2694-2701 [15] Nkemzi, D (1997), "A new formula for the velocity of Rayleigh waves", Wave Motion, 26, PP 199-205 [16] Ogden, R W (1984), "Non-Linear Elastic Deformations", Ellis Horwood, Chichester [17] Ogden, R W and Pham Chi Vinh (2004), "On Raylegh waves in incompressible orthotropic elastic solids", J Acoust Soc Am., 115(2), PP 530533 [18] Pham Chi Vinh (2010), "On formulas for the velocity of Rayleigh waves in pre-strained incompressible elastic solids", Trans ASME, J Appl, Mech 77, Issue 2, 021006 (9 pages) [19] Pham Chi Vinh (2011), "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-strained compressible", Wave Motion, 48, Issue 7, PP 614-625 56 [20] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P G (2006), "Explanation for Malischewsky’s approximate expression for the Rayleigh wave velocity", Ultrasonics, 45, PP 77-81 [21] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P G (2007), "An improved approximation of Bergmann’s form for the Rayleigh wave velocity", Ultrasonic, 47, PP 49-54 [22] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P G (2007), "An approach for obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity", Wave Motion, 44, PP 549-562 [23] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P G (2008), "Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity", J Thermoplast Comp Mater., 21 , PP 337-352 [24] Pham Chi Vinh and Malischewsky, P G (2008), "Improved Approximations for the Rayleigh Wave Velocity in [-1 0.5]", Vietnam Journal of Mechanics , 30, PP 347-358 [25] Pham Chi Vinh and Nguyen Thi Khanh Linh (2012), "New results on Rayleigh waves in incompressible elastic media subjected to gravity", Acta Mechanica, 223, PP 1537-1544 [26] Pham Chi Vinh and Ogden, R W (2004), "On formulas for the Rayleigh wave speed", Wave Motion, 39, PP 191-197 [27] Pham Chi Vinh and Ogden, R W (2004), "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Ach Mech., 56, PP 247-265 [28] Pham Chi Vinh and Ogden, R W (2005), "On a general formula for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Meccanica, 40, PP 147161 [29] Pham Chi Vinh, Pham Thi Ha Giang (2010) "On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-strained elastic materials subject to an isotropic internal constraint", Int J Eng Sci.,, 48, PP 275-289 57 [30] Rayleigh, L (1885), "On waves propagating along the plane surface of an elastic solid", Proc R Soc Lond., A17, PP 4-11 [31] Roxburgh, O G., Ogden, R W (1994), "Stability and vibration of prestressed compressible elastic plates", Int J Eng Sci., 32, PP 427-454 [32] Song, Y Q., Fu, Y B (2007), "A note on perturbation formulae for the surface-wave speed due to perturbations in material properties", J Elasticity, 88, PP 187-192 [33] Tanuma, K., Man, C S (2006), "Pertubation formula for phase velocity of Rayleigh waves in prestressed anisotropic media", J Elasticity, 85, PP 21-37 [34] Voloshin, V (2010), "Moving load on elastic structures: passage through the wave speed barriers", PhD thesis, Brunel University 58 ... sử dụng cơng thức thu khảo sát số v? ? dụ đơn giản phụ thuộc tỷ số H/ V vào biến dạng trước, xác định ứng suất trước từ giá trị đo tỷ số H/ V Chương Công thức H/ V môi trường đàn h? ??i, có biến dạng trước, ... tỷ số H/ V môi trường đàn h? ??i đẳng h? ?ớng, nén được, khơng có ứng trước • Chương 2: Cơng thức H/ V mơi trường đàn h? ??i, có biến dạng trước, khơng nén Mục đích chương thiết lập công thức H/ V môi trường. ..ĐẠI H? ??C QUỐC GIA H? ? NỘI TRƯỜNG ĐẠI H? ??C KHOA H? ??C TỰ NHIÊN LÊ THỊ HUỆ TỶ SỐ H/ V ĐỐI V? ??I CÁC MƠI TRƯỜNG ĐÀN H? ??I CĨ BIẾN DẠNG TRƯỚC V? ? ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cơ h? ??c v? ??t thể rắn Mã số: 604421 LUẬN V? ?N