Mục đích chính của bài viết là thiết lập các công thức xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh trong các môi trường đàn hồi có biến dạng trước khác nhau. Phương pháp được sử dụng trong bài báo là phương pháp bình phương tối thiểu.
Các cơng thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh truyền vật liệu đàn hồi có biến dạng trước On the approximate fomulas for Rayleigh wave velocities in pre-strained elastic materials Phạm Thị Hà Giang Tóm tắt Mục đích báo thiết lập cơng thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi có biến dạng trước khác Phương pháp sử dụng báo phương pháp bình phương tối thiểu Các cơng thức xấp xỉ đạt được so sánh với cơng thức xác số ví dụ số để chứng minh tính đắn công thức đưa Các công thức có ý nghĩa khoa học ứng dụng đặc biệt việc đánh giá biến dạng trước phương pháp khơng phá hủy Keywords : Sóng Rayleigh, vận tốc sóng Rayleigh, vật liệu biến dạng trước, bình phương tối thiểu, xấp xỉ tốt Abstract The main purpose of the paper is to establish the approximative formulas for Rayleigh wave velocities in different pre-strained elastic environments The method used in the paper is the least squares method Some numerical examples are performed to demonstrate the validity of the formula given These formulas are useful in applied science especially the evaluation of material parameters by nondestructive methods Keywords: Rayleigh waves, Rayleigh wave velocity, pre-strained elastic material, Approach of least squares, The best approximation Giới thiệu Sóng mặt Rayleigh truyền môi trường đàn hồi đẳng hướng nén mà Rayleigh [1] tìm 130 năm trước nghiên cứu cách mạnh mẽ ứng dụng to lớn nhiều lĩnh vực khác khoa học công nghệ địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thông khoa học vật liệu Có thể nói nghiên cứu Rayleigh sóng mặt truyền bán khơng gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến sống đại Nó sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone nhiều thiết bị điện tử cực nhỏ, , Adams cộng [2] nhấn mạnh Đối với sóng Rayleigh, vận tốc đại lượng nhà nghiên cứu lĩnh vực khoa học khác quan tâm Tất sách chuyên khảo sóng âm truyền vật thể đàn hồi có nghiên cứu vận tốc sóng Rayleigh liên quan đến hàm Green nhiều tốn động lực học bán không gian đàn hồi, công cụ thuận lợi cho đánh giá không phá hủy ứng suất trước kết cấu trước chịu tải Do vậy, công thức giải tích vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế Mặc dù tồn nghiệm phương trình tán sắc sóng Rayleigh chứng minh qua 100 năm cơng thức nghiệm phương trình chưa tìm tính chất phức tạp chất siêu việt nó, nhấn mạnh [3] Năm 1995, Rahman and Barber [4] tìm cơng thức xác cho vận tốc sóng Rayleigh truyền vật rắn đàn hồi đẳng hướng nén cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba Tuy nhiên công thức biểu diễn hai biểu thức khác tùy thuộc vào dấu biệt thức phương trình bậc ba nên khơng thuận tiện sử dụng Sử dụng lý thuyết toán Riemann, Nkemzi [5] dẫn cơng thức cho vận tốc sóng Rayleigh, hàm liên tục γ = µ ( λ + 2µ ) với λ, μ số Lame Cơng thức phức tạp kết cuối báo Nkemzi khơng xác [6] Malischewsky [6] tìm cơng thức biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác nghiệm phương trình bậc ba MATHEMATICA Tuy nhiên Malischewsky không chứng minh công thức Đến năm 2004, Vinh Ogden [7] chứng minh cách chặt chẽ cơng thức Malischewsky, tìm công thức khác Đối với vật liệu trực hướng, không nén được, Ogden Vinh [7] đưa công thức dạng dựa lý thuyết phương trình bậc ba Sau đó, Vinh Ogden [8, 9] tìm cơng thức dạng cho vận tốc sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi trực hướng, nén Sử dụng phương pháp này, tác giả Vinh thiết lập cơng thức vận tốc sóng Rayleigh cho mơi trường có biến dạng trước [10-12] ThS Phạm Thị Hà Giang Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng Email: hagiang813@gmail.com ĐT: 0945164695 Ngày nhận bài: 27/4/2017 Ngày sửa bài: 15/5/2017 Ngày duyệt đăng: 05/10/2018 Như nói sóng Rayleigh có ảnh hưởng sâu rộng ngành khoa học khác Nhưng nói rằng, ứng dụng sóng Rayleigh thực trở nên bùng nổ kể từ 1965 White Voltmer [13] chế tạo thành công thiết bị IDT (Interdigital Transducer) Với thiết bị này, sóng Rayleigh tạo dễ dàng vật liệu Do từ thời điểm này, sóng Rayleigh trở thành cơng cụ vô tiện lợi đánh giá không phá hủy đặc trưng học, phát vết nứt, khuyết tật cấu trúc trước trình sử dụng Ngày nay, vật liệu tạo thường xuyên việc giám định kết cấu cấu trúc (như cánh máy bay, ) trình sử dụng cần thiết, nên ứng dụng sóng Rayleigh cơng nghệ đại lớn Gần đây, sóng Rayleigh tạo dễ dàng thiết bị lade [14] nên phạm vi ứng dụng mở rộng Trong đánh giá khơng phá hủy (có sử dụng sóng Rayleigh), người ta cần cơng S¬ 32 - 2018 49 KHOA H“C & CôNG NGHê thc gii tớch ca tc súng để giải tốn ngược Nhưng cơng thức giải tích xác vận tốc sóng Rayleigh tìm cho mơi trường đàn hồi khác có biểu thức cồng kềnh phức tạp [7-12] Những cơng thức xấp xỉ với độ xác cao lựa chọn tốt đánh giá không phá hủy so với cơng thức xác chúng có dạng đơn giản nhiều Từ cơng thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh môi trường đàn hồi đẳng hướng [16] thiết lập nay, có nhiều cơng thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh thiết lập nhằm cải thiện độ xác [17-25] Tuy nhiên, mơi trường đàn hồi có biến dạng trước chưa có cơng thức xấp xỉ thiết lập cho vận tốc sóng Rayleigh Hình 1: Biến dạng kéo nén (thể tích) hình lập phương Bài báo thiết lập công thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi có biến dạng trước dựa phương pháp bình phương tối thiểu trình bày [22] Bán khơng gian đàn hồi có biến dạng trước Xét bán không gian đàn hồi trạng thái tự nhiên (không biến dạng) chiếm miền X2≥0 hệ tọa độ Đề-Các (0,X1,X2,X3) cố định với véc tơ đơn vị dọc theo trục tọa độ i, j, k Mật độ lượng biến dạng đơn vị thể tích hàm W độ khối lượng ρ Đặt tải P1, P2, P3 theo hướng véc tơ đơn vị xa vô vào bán không gian đàn hồi để làm cho bị biến dạng trạng thái tĩnh Các độ giãn theo hướng vec tơ đơn vị i, j, k λ1, λ2, λ3 Lúc hạt vật chất có tọa độ ban đầu (khi vật liệu trạng thái tự nhiên khơng biến dạng) X1,X2,X3 có tọa độ x1 = λ1 X1, x2 = λ2 X2, x3 = λ3 X3 Gradient biến dạng cho công thức [16] F= λ1i ⊗ i + λ2 j ⊗ j + λ3k ⊗ k Hình 2: Đường cong xác (đường gạch-gạch) hai đường cong xấp xỉ (đường liền đường gạch chấm) vận tốc sóng Rayleigh δ3 Є[1,2] Hàm biến dạng W(λ1, λ2, λ3) hàm đối xứng λi tức giá trị khơng thay đổi hốn vị vòng quanh λ1, λ2, λ3 Xấp xỉ tốt hàm x3 không gian L2[0,1] C[0,1] Để thiết lập cơng thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh phần tiếp theo, ta phải tìm hàm xấp xỉ tốt x3 không gian L2[0,1] C[0 ,1] Về mặt toán học, trường hợp tổng quát, tốn phát biểu sau: Cho khơng gian định chuẩn X tập X V Cho trước hàm f € V, xác định phần tử g € V cho ║f-g║≤║f-h║ với hàm h € V Ở đây, ký hiệu ║f║ chuẩn f € V Nếu toán tồn nghiệm phần tử g tìm được gọi xấp xỉ tốt f V Các không gian thường sử dụng thực hành L2[0,1] C[0,1], với L2[0,1] không gian hàm mà bình phương hàm khả tích theo nghĩa Lebesgue [0 1], C[0 1] không gian hàm liên tục [0 1] Đây hai không gian định chuẩn, chuẩn hai không gian định nghĩa sau: 1/ || ϕ ||= ∫ ϕ (x) dx , ϕ ∈ L [0,1] Hình 3: Đường cong xác (đường gạch-gạch) hai đường cong xấp xỉ (đường liền đường gạch chấm) vận tốc sóng Rayleigh đoạn a0[0.1 0.3] || ϕ ||= max | ϕ (ν ) |, ϕ ∈ C[0,1] ν ∈[0,1] Đối với hai không gian này, tốn tìm hàm xấp xỉ tốt phát biểu tồn nghiệm Trong báo này, ta sử dụng hai xấp xỉ tốt x3 không gian L2[0,1] C[0,1] [24] Và 50 T„P CHŠ KHOA H“C KIƯN TRC - XY DẳNG p1 ( x) = 1.5 x − 0.6 x + 0.05 p2 ( x ) = 1.5 x − 0.5625 x + 0.03125 (1) (2) Công thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi khơng nén có biến dạng trước xic1 = Trong tốn truyền sóng, để thiết lập cơng thức vận tốc sóng Rayleigh, ta phải thiết lập phương trình với ẩn vận tốc sóng Phương trình gọi phương trình tán sắc Biijj = λi λ j ∂ 2W , ∂λi ∂λ j (5) ∂W ∂W λ − λj (i ≠ j , λi ≠ λ j ), λi ∂λ j λi2 − λ j2 ∂λi Bijij = ∂W 1 λ j ), Biiii − Biijj + λi ∂λ (i ≠ j , λi = i i Bijji = B jiij =− Bijij λi ∂W (i ≠ j ) ∂λi (6) (7) Trong công thức ta không lấy tổng theo i, j σ2 ứng suất Cauchy theo hướng x2 Ta đưa vào đại lượng không thứ nguyên sau: xic = c ρ= / α , δ1 γ= / α , δ β / α , δ3 = γ * / α (8) Sau vài phép biến đổi ta đưa phương trình đa thức bậc ba sau: F= ( xic ) A3ic xic3 + A2ic xic2 + A1ic xic + A0ic = 0, (9) Các hệ số đa thức A3ic = δ1 A2ic = δ − 4δ1δ − 4δ1δ − δ1 , A1ic= 2δ1 ( −δ1 + 2δ 22 + δ (4δ + 2) + δ (3δ + 2) ) , A0ic = δ − 2δ1 ( 2δ + 4δ 2δ + 3δ 2 2 )+δ (10) (11) (12) Chú ý tài liệu tham khảo [10], tác giả Vĩnh khẳng định 0≤ xic ≤1 Vì vậy, ta thay xic3 phương trình (11) p1(xic), ta có phương trình bậc hai: M 1ic x − N1ic x + Q1ic = 0, (13) Trong M 1ic = A2ic + 1.5 A3ic , N1ic = −( A1ic − 0.6 A3ic ) / 2, Q1ic = A0ic + 0.05 A3ic (16) − ( A1ic − 0.5625 A3ic ) / 2, M= A2ic + 1.5 A3ic , N 2ic = ic Q= A0ic + 0.03125 A3ic ic (17) Dễ dàng nghiệm phương trình (18) tương ứng với sóng Rayleigh là: xic = N 2ic + N 22ic − M 2ic Q2ic M 2ic (18) Để kiểm tra độ xác cơng thức thu được, ta xét trường hợp cụ thể với tham số δ1=1, δ2=2 δ10[1 2] Trước tiên, ta thực giải số phương trình tán sắc (9) để thu giá trị xác vận tốc sóng Rayleigh khơng thứ ngun xic, sau ta tính giá trị xấp xỉ thu từ cơng thức (15) (18) Các kết thể hình vẽ Nhìn vào hình vẽ ta thấy đường cong xấp xỉ xác dường trùng hồn tồn Điều chứng tỏ cơng thức xấp xỉ đạt độ xác cao Cơng thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi nén có biến dạng trước Phương trình tán sắc sóng Rayleigh truyền theo hướng x1 tắt dần theo hướng môi trường đàn hồi nén có biến dạng trước [11] (α11 − ρ c )[γ (γ − ρ c ) − γ *2 ] γ2 [α 22 (α11 − ρ c ) − α122 ] α11 − ρ c γ − ρ c = α 22 (19) Trong c vận tốc sóng, ρ mật độ khối lượng, tham số lại xác định sau: α= JA1111 , α= JA2222 , α= α= JA1122 , 11 22 12 21 = γ JA = JA = JA2112 , 1212 , γ 2121 , γ * Khơng khó để nghiệm phương trình (13) tương ứng với sóng Rayleigh là: (20) J=λ1 λ2 λ3 Aijkl tensor đàn hồi vật liệu xác định sau: JAiijj = λi λ j ∂ 2W ∂λi ∂λ j (21) ∂W ∂W − λj ) 2λi , (i ≠ j, λi ≠ λ j ), (λi ∂λi ∂λ j λi − λ j Aijij = ( JA − JA + λ ∂W ), (i ≠ j , λi = λ j ), iiii iijj i 2 ∂λi (22) JAijji = JAjiij = JAijij − λi (14) (15) đó, + M 2ic xic2 − N 2ic xic + Q2ic = 0, α = B1212 , γ = B2121 , 2β = B1111 + B2222 − B1122 − B1221 , (4) γ *= γ − σ Với Bijkl tensor đàn hồi vật liệu xác định sau Thay xic phương trình (9) p2(xic) ta có phương trình xấp xỉ (11) là: Trong đó, c vận tốc song Rayleigh, ρ mật độ khối lượng, tham số lại xác định sau: M 1ic Xét sóng Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi nén có biến dạng trước theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 Phương trình tán sắc trường hợp [10] γ (α − ρ c ) + (2β + 2γ − 2σ − ρ c )[γ (α − ρ c )] = γ *2 (3) N1ic + N12ic − M 1ic Q1ic ∂W (i ≠ j ), ∂λi (23) Ta đưa vào đại lượng không thứ nguyên sau: xc = ρ c / γ , S¬ 32 - 2018 51 KHOA HC & CôNG NGHê γ 1γ α α γ 1γ α γ1 ,θ = α11α 22 α11 11 22 a= 1− * , b = ,d = − 12 xc = (24) Sau chuyển vế bình phương hai vế phương trình (21), ta thu phương trình bậc ba sau: F= ( xc ) A3c xc3 + A2 c xc2 + A1c xc + A0 c = 0, đó: A3c = bθ − θ , A2 = 2aθ − 2bdθ − bθ + 1, A1c =bd + 2bdθ − a θ − 2a, 2 (26) A0 c =a − bd (27) Tương tự phần trên, ta thay xc hai xấp xỉ bậc hai tốt Nếu thay xc3 p1(xc) ta thu cơng thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh xc1 = N1c + N12c − M 1c Q1c M 1c , (28) M 1c = A2 c + 1.5 A3c , N1c = −( A1c − 0.6 A3c ) / 2, Q= A0 c + 0.05 A3c 1c Nếu thay xỉ vận tốc sóng (29) xc p2(xc), ta thu công thức xấp (32) M= A2 c + 1.5 A3c , 2c N 2c = −( A1c − 0.5625 A3c ) / 2, Q2 c = A0 c + 0.03125 A3c (33) Bây giờ, ta thực khảo sát số trường hợp b=0.4, d=0.8; θ=0.5 a0[0.1, 0.3] Thay giá trị số vào phương trình tán sắc (27) giải phương trình đó, ta thu giá trị xác vận tốc sóng Rayleigh xc Sau tiếp tục thay b=0.4, d=0.8; θ=0.5 a0[0.1, 0.3] vào công thức xấp xỉ vận tốc sóng (30) (32) Các kết thu được thể hện hình vẽ Trong hình vẽ 3, đường cong gần nhau, điều cho thấy công thức xấp xỉ đạt trường hợp tốt Kết luận Các cơng thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh truyền mơi trường đàn hồi có biến dạng trước thu báo đơn giản có độ xác tốt Chúng dùng để thay cơng thức xác cho việc giải toán ngược đánh giá khơng phá hủy Đóng góp báo nhỏ có ý nghĩa khoa học ứng dụng./ T¿i lièu tham khÀo [1] Rayleigh L., (1885), On waves propagating along the plane surface of an elastic solid, Proc R Soc Lond A,17, pp 4-11 [2] Adams S D M., Craster R V., Williams D P., (2007), Rayleigh waves guided by topography, Proc R Soc Lond A, 463, pp 531-550 [3] Voloshin V., (2010), Moving load on elastic structures: passage through the wave speed barriers, PhD thesis, Brunel University [4] Rahman M., Barber J R., (1995), Exact expression for the roots of the secular equation for Rayleigh waves, ASME J Appl Mech., 62, pp.250-252 [5] Nkemzi D., (1997), A new formula for the velocity of Rayleigh waves, Wave Motion, 26, pp 199-205 [6] Malischewsky, P G (2000), Comment to “ A new formula for velocity of Rayleigh waves “ by D.Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199 - 205], Wave Motion,31, pp 93 - 96 [7] Pham C V., Ogden R W., (2004), On formulas for the Rayleigh wave speed, Wave Motion, 39, pp 191-197 [8] Pham C V., Ogden R W., (2004), Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids, Ach Mech., 56 (3), pp 247-265 [9] Pham C V., Ogden R W.,(2005), On a general formula for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids, Meccanica , 40, pp 147-161 10 [10] Pham C V.,(2010), On formulas for the velocity of Rayleigh waves in pre-strained incompressible elastic solids, ASME J Appl Mech., 77, pages 11 [11] Pham C V., (2011), On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-stressed compressible solids, Wave Motion, 48, pp 613-624 12 [12] Pham C V., Pham T H G, (2010), On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-strained elastic materials subject to an isotropic internal constraint Int J of Eng Sci 48 , pp 275-289 13 [13] White, R.M., Voltmer, F.M (1965), Direct piezoelectric coupling to surface elastic waves, Appl Phys Lett 7, pp 314-316 52 M 2c (25) N c + N 22c − M c Q2 c T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG 14 [14] Peter Hess, Alexey M Lomonosov, Andreas P Mayer, Laserbased linear and nonlinear guided elastic waves at surfaces (2D) and wedges (1D), Ultrasonics ,Volume 54, Issue 1, January 2014, Pages 39–55 15 [15] Pham C V and Malischewsky P G (2007), An approach for obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity, Wave Motion, 44, pp.549-562 16 [16] Bergmann L., (1948), Ultrasonics and their scientific and technical applicationse Jonh Wiley Sons, New York 17 [17] Achenbach J D., (1973), Wave propagation in Elastic Solids, North-Holland, Amsterdam 18 [18] Brekhovskikh L M., (1990) Acoustics ò layered media: plane and quasi-plane waves, Springer-Verlag, Berlin 19 [19] Briggs G A D., (1992) Acoustic microscopy, Clarendon Press, Oxford 20 [20] Nesvijski, E G., (2001), On Rayleigh Equation and Accuracy of Its Real Roots Calculations, J Thermo Plast Compt Mater, 14, pp 356-364 21 [21] Pham C V and Malischewsky, P., (2006), Explanation for Malischewsky’s approximate expression for the Rayleigh wave velocity Ultrasonics, 45, pp 77-81 22 [22] Pham C V and Malischewsky P G (2007), An approach for obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity, Wave Motion, 44, pp.549-562 23 [23] Pham C V and Malischewsky, P., (2007) An improved approximation of Bergmann’s form for the Rayleigh wave velocity, Ultrasonic, 47, pp 49-54 24 [24] Pham C V and Malischewsky, P., (2008), Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity, J Thermoplast Comp Mater., 21, pp 337-352 25 [25] Pham C V and Malischewsky, P.(2008), Improved Approximations for the Rayleigh Wave Velocity in [-1 0.5], Vietnam Journal of Mechanics, 30, pp 347-358 26 [26] Destrade M., Scott N H., (2004), Surface waves in a deformed isotropic hyperelastic material subject to an isotropic internal constraint, Wave Motion, 40, pp 347-357 ... + 0.03125 (1) (2) Công thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi khơng nén có biến dạng trước xic1 = Trong tốn truyền sóng, để thiết lập cơng thức vận tốc sóng Rayleigh, ta phải thiết... nay, có nhiều cơng thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh thiết lập nhằm cải thiện độ xác [17-25] Tuy nhiên, mơi trường đàn hồi có biến dạng trước chưa có cơng thức xấp xỉ thiết lập cho vận tốc sóng. .. nhau, điều cho thấy công thức xấp xỉ đạt trường hợp tốt Kết luận Các công thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh truyền mơi trường đàn hồi có biến dạng trước thu báo đơn giản có độ xác tốt Chúng