MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về số học thường được ra trong các kì thi gần đây. Các bài toán về số học thường liên quan đến quan hệ chia hết, số nguyên tố, hợp số, số chính phương, phương trình nguyên, tổ hợp suy luận… Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề về số học sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này
Tailieumontoan.com Trịnh Bình sưu tầm MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS Ngày 13 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán số học thường kì thi gần Các tốn số học thường liên quan đến quan hệ chia hết, số ngun tố, hợp số, số phương, phương trình ngun, tổ hợp suy luận… Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề số học giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề Quan hệ chia hết tập hợp số Chủ đề Các tốn số phương Chủ đề Các toán số nguyên tố, hợp số Chủ đề Các tốn phương trình nghiệm ngun Chủ đề Các toán tổ hợp, suy luận Chủ đề Các toán phân nguyên, phần lẻ Hướng dẫn giải – đáp số Chủ đề Quan hệ chia hết tập hợp số Chủ đề Các tốn số phương Chủ đề Các toán số nguyên tố, hợp số Chủ đề Các tốn phương trình nghiệm ngun Chủ đề Các toán tổ hợp, suy luận Chủ đề Các toán phân nguyên, phần lẻ Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com chuyên đề bồi dưỡng Chương I QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ A KiÕn thøc cÇn nhí Định nghĩa phép chia Cho hai số nguyên a b b ≠ ta ln tìm hai số ngun q r cho = a bq + r , với ≤ r ≤ b Trong a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư { Khi a chia cho b số dư r ∈ 0;1; 2; 3; ; b } • Nếu r = a = bq , ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: a b hay b a Vậy a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a = bq • Nếu r ≠ , ta nói a chia b có số dư r Một số tính chất cần nhớ • Tính chất Mọi số ngun khác ln chia hết cho • Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b số nguyên b chia hết cho số nguyên c số ngun a chia hết cho số ngun c • Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b ngược lại a = ± b • Tính chất Nếu a.b m ( b, m ) = a m • Tính chất Nếu hai số nguyên a b chia hết cho m ( a ± b ) m • Tính chất Nếu a chia hết cho m n, ( m, n ) = a mn • Tính chất Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b số nguyên c chia hết cho số ngun d tích ac chia hết cho tích bd • Tính chất Trong n số nguyên liên tiếp tồn số nguyên chia hết cho n • Tính chất Nếu a − b ≠ với a, b số tự nhiên a n − b n ( n ∈ N ) chia hết cho a − b • Tính chất 10 Nếu a + b ≠ với a, b số tự nhiên n số tự nhiên lẻ a n + b n chia hết cho a + b Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Một số dấu hiệu chia hết Đặt A = a n a n −1 a 2a1a , với a n ; a n −1 ; ; a ; a1 ; a chữ số Khi ta có dấu hiệu chia hết sau • Dấu hiệu chia hết cho 2: Số tự nhiên A chia hết cho a ∈ {0; 2; 4; 6; 8} • Dấu hiệu chia hết cho 5: Số tự nhiên A chia hết cho a ∈ {0; 5} Từ suy A chia hết cho 10 a = • Dấu hiệu chia hết cho 25: Số tự nhiên A chia hết cho 4(hoặc 25) a1a chia hết cho (hoặc 25) • Dấu hiệu chia hết cho 125: Số tự nhiên A chia hết cho 8(hoặc 125) a 2a1a chia hết cho (hoặc 125) • Dấu hiệu chia hết cho 9: Số tự nhiên A chia hết cho 3(hoặc 9) tổng chữ số số A chia hết cho 3(hoặc 9) • Dấu hiệu chia hết cho 11: Số tự nhiên A chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Sử dụng tính chất n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n (n ≥ 1) * Cơ sở phương pháp: Sử dụng tính chất như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho chia hết cho Chúng ta vận dụng linh hoạt tính chất nhiều toán chia hết Bài toán Chứng minh rằng: a) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho c) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Hướng dẫn giải a) Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho (do (2, 3) = 1) b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n (2n + 2) với n ∈ Z Do tích hai số nguyên liên tiếp có dạng 4n(n + 1) Do n n + hai số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1) Vì 4n ( n + 1) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Ta có 120 = 3.5.8 Do số nguyên liên tiếp có số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích số ngun liên tiếp chia hết cho số nguyên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên theo ý b) ta có tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Mặt khác số ngun liên tiếp ln có số chia hết tích chúng chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Chú ý: Tổng quát ta có tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! Bài tốn Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Hướng dẫn giải Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n, (2n + 2) (2n + 4) với n ∈ Z Do tích hai số ngun liên tiếp có dạng 8n(n + 1)(n + 2) Do n, (n + 1) (n + 2) số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1)( n + ) Vì n ( n + 1)( n += ) 6m ( m ∈ Z ) Do tích số chẵn liên tiếp 8n ( n + 1)( n + ) = 48m 48 Vậy toán chứng minh Bài tốn Chứng minh với số ngun n n3 − n chia hết cho Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( n − 1) n ( n + 1) n3 − n = n n2 − = Biểu thức tích số nguyên liên tiếp nên số chia hết cho 2, ( ) số chia hết cho mà (2, 3) = nên n3 − n Bài toán Chứng minh với số nguyên lẻ n n − n − n + chia hết cho 128 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) (n n6 − n − n + = n n − − n − = Vì n số lẻ nên đặt n = 2k + Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 )( ) (n − n4 − = −1 ) (n 2 +1 ) ( k ∈ N ) Ta có: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (n 2 ) ( 4k 2 − = ( k + 1) − 1 = ) + k = k ( k + 1) 2 Ta có k(k + 1) chia hết nên k ( k + 1) 64 Mặt khác: n2 + 1= Do ( k + 1) n6 − n − n + = ( ) + 1= k + k + 2= 2 k + k + (n −1 ) (n 2 ) + 128 (đpcm) Chú ý: Bình phương số lẻ số lẻ Dạng 2: Phân tích thành nhân tử * Cở sở phương pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta phân thích A(x) = D(x).p, cịn khơng thể đưa phân tích ta viết p = k.q Nếu (k, q) = ta chứng minh A(x) chia hết cho k q Nếu ( k , q ) ≠ ta viết A(x) = B(x).C(x) chứng minh B(x) chia hết cho k C(x) chia hết cho q * Ví dụ minh họa: Bài toán Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 + + = 2+ 2+ b c a b c a Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho (Đề thi HSG lớp TP Thanh Hóa 2016-2017) Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 Từ giả thiết + + = + + ⇔ + + = a b c a b c ab bc ca Vì a, b, c ≠ nên a + b + c = ⇒ a + b =−c ⇒ ( a + b ) =− ( c) 3 ⇒ a + b + 3ab(a + b) = −c ⇒ a + b3 + c = 3abc Vậy a + b + c với a, b, c ∈ Z Bài toán Cho A 1.2.3 29, = = B 30.31.32 58 Chứng minh A + B chia hết cho 59 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Ta có: B= ( 59 − 29 )( 59 − 28)( 59 − 27 ) ( 59 − 1)= 59k − 1.2.3 29= 59k − A ( k ∈ Z ) ⇒ A + B= 59k 59 Vậy A + B chia hết cho 59 Bài toán Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh rằng: ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) 5 chia hết cho ( x − y )( y − z )( z − x ) Hướng dẫn giải Đặt a =x − y , b =y − z ⇒ z − x =− ( a + b ) Do ta cần chứng minh: a + b5 − ( a + b ) chia hết cho −5ab ( a + b ) ( Ta có: a + b5 − ( a + b ) = − 5a b + 10 a b2 + 10 a b3 + 5ab4 ( = −5ab a + b3 + a b + ab2 ) ) ( ) = −5ab ( a + b ) a − ab + b2 + ab ( a + b ) 2 = −5ab ( a + b ) a + ab + b ( ) Do toán chứng minh Bài toán Chứng minh với ba số tự nhiên a,b,c có số lẻ hai số chẵn ta có (a + b + c ) − (a + b − c ) − (b + c − a ) − (a − b + c ) Chia hết cho 96 3 3 (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Phú Thọ 2015) Hướng dẫn giải Đặt a + b - c = z; b + c - a = x; a + c - b = y x + y + z = a + b + c Ta có ( x + y + z ) − x − y − z = 3(x + y)(y + z)(x + z)= 3.2 c a b= 24abc Do số a, b, c có số chẵn nên abc chia hết cho 24abc chia hết cho 24.4 = 96 Vậy toán chứng minh Dạng 3: Sử dụng phương pháp tách tổng * Cở sở phương pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta biết đổi A(x) thành tổng hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho p * Ví dụ minh họa: Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài tốn Chứng minh m, n số nguyên ta có: ( ) ( a) n n2 + 11 ( ) c) n ( n + 1)( 2n + 1) b) mn m2 − n2 Hướng dẫn giải ) ( n − 1) n ( n + 1) + 12n a) Ta có: n n2 + 11 = n3 + 11n = n3 − n + 12n = Dễ chứng minh: ( n − 1) n ( n + 1) 6, 12n ( n ∈ Z ) ( ) Do đó: n n2 + 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( n2 mn m2 − − n2 −= mn m2 − − mn n2 − b) Ta có: mn m2 −= ( ( ) ) ) Do: mn m2 − = n ( m − 1) m ( m + 1) 6, mn n2 − = m ( n − 1) n ( n + 1) ( ) Do đó: mn m2 − n2 c) Ta có: n ( n + 1)( 2n + 1) =n ( n + 1)( n + + n − 1) =n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Do: n ( n + 1)( n + ) 6, ( n − 1) n ( n + 1) Do đó: n ( n + 1)( 2n + 1) Chú ý: Tách tổng phương pháp chứng minh chia hết mà lời giải dễ hiểu, ngắn gọn đẹp mắt nên thường trình bày tốn giải nhiều phương pháp, nhiên để áp dụng em cần linh hoạt việc tách Ví dụ: câu a) ta thấy 12n chia hết ta tách riêng phần lại phân đưa dạng tích, dựa vào tính chất chia hết tích số tự nhiên dễ dàng chứng chia Câu b) nghĩ việc thêm bớt để tạo tổng hai tích số tự nhiên liên tiếp Tương tự câu c) dễ dàng tách 2n + = (n – 1) + (n + 2) để đưa tổng hai tích số tự nhiên tiếp Bài toán Chứng minh rằng: n n5 có chữ số tận giống với n số tự nhiên Hướng dẫn giải ( ) Để chứng minh n n có chữ số tận giống ta chứng minh n5 − n 10 Thật vậy: n5 −= n n ( n − 1= ) n ( n2 − 1)( n2 + 1=) n ( n2 − 1) ( n2 − ) + 5 n ( n − 1)( n − ) + 5n ( n − 1) =− ( n )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Nhận xét: ( n − )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) tích năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho 10 Mặt khác ( n − 1) n ( n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết ( n − 1) n ( n + 1) chia hết cho 10 ( ) Do n5 − n 10 toán chứng minh Bài toán a) Chứng minh b) Chứng minh n5 n3 n + + số nguyên với n ∈ Z 15 n n2 n3 + + số nguyên với n số nguyên chẵn 12 24 Hướng dẫn giải a) Ta có: Do đó: n n 7n 8n =n− =n− − 15 15 n5 n3 n n5 n3 n n n5 − n n3 − n + + = + +n− − = + +n 15 5 ( ) ( ) Từ thí dụ ta dễ dàng chứng minh được: n5 − n 5, n3 − n toán chứng minh b) Do n số nguyên chẵn nên n = 2m (với m ∈ Z ) n n2 n3 m m2 m3 m3 + 3m2 + m m ( m + 1)( m + 1) Do đó: + + = + + = = 12 24 6 Theo ý c) thí dụ ta có n ( n + 1)( 2n + 1) tốn chứng minh Bài toán Chứng minh ax + bx + c ∈ Z , ∀x ∈ Z a , a + b ,c ∈ Z Hướng dẫn giải Ta có: ax + bx + c= ax − ax + ( a + b ) x + c= a Dễ thấy: x ( x − 1) x ( x − 1) + ( a + b ) x + c ∈ Z x (x – 1) hai số nguyên liên tiếp Do đó: ax + bx + c ∈ Z , ∀x ∈ Z a , a + b ,c ∈ Z Bài toán Cho số nguyên a1 ; a ; ; a n Đặt A = a1 + a + + a n B = a13 + a 32 + + a n3 Chứng minh A chia hết cho B chia hết cho Hướng dẫn giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số nguyên a ta có a − a Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Website:tailieumontoan.com MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC... hai số ngun liên tiếp có tích số phương hai số số 10 Số ước số phương số lẻ Ngược lại, số có số ước số lẻ số số phương 11 Nếu n2 < k < (n + 1)2 ( n ∈ Z) k khơng số phương Liên hệ file word zalo:... 3n + ( n ∈ N ) 5- Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết