Các chuyên đề nâng cao hình học 7

Tailieumontoan.com  Tài liệu sưu tầm TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO HÌNH HỌC LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com Chương I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chun đề HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH A Kiến thức cần nhớ Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc (h.1.1)    Hai góc đối đỉnh nhau: = AOC BOD = ; AOD BOC B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho góc bẹt AOB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB vẽ hai tia OM ON  Chứng minh hai góc AON BOM hai góc đối đỉnh cho  AOM = BON Giải (h.1.2) * Tìm cách giải Để chứng tỏ hai góc AON BOM hai góc đối đỉnh, ta cần chứng tỏ cạnh góc tia đối cạnh góc Vì có hai tia OA, OB đối nên phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối cách chứng tỏ MON góc bẹt * Trình bày lời giải Góc AOB góc bẹt nên hai tia OA, OB đối Hai góc AOM BOM kề bù nên  = AOM + BOM 180°  (đề cho) nên BON  + BOM = Mặt khác  AOM = BON 180°  Suy MON = 180° Vậy hai tia OM, ON đối Hai góc AON BOM có cạnh góc tia đối cạnh góc nên chúng hai góc đối đỉnh Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng EF GH cắt O tạo thành bốn góc khơng kể góc =  + GOF  + FOH bẹt Biết tổng EOG 250° Tính số đo bốn góc tạo thành Giải (h.1.3) * Tìm cách giải Để tính số đo bốn góc tạo thành, trước tiên cần tính số đo bốn góc * Trình bày lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  + GOF  + FOH =  + GOF = Ta có EOG 180° (hai góc kề bù) nên 250° (đề cho), mà EOG = 250° − 180°= 70° FOH =  + FOH  Ta có GOF 180° (hai góc kề bù) ⇒ GOF = 180° − 70= ° 110° = FOH = 70° (hai góc đối đỉnh); HOE   Vậy EOG = GOF = 110° (hai góc đối đỉnh) * Nhận xét: Sau tính số đo góc, ta tính số đo ba góc cịn lại nhờ vận dụng tính chất hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh Ví dụ 3: Cho bốn đường thẳng cắt điểm Xét góc khơng có điểm chung, chứng tỏ tồn hai góc nhỏ 45° Giải (h.1.4) * Tìm cách giải Hai góc đối đỉnh Do để chứng tỏ tồn hai góc nhỏ 45° , ta cần chứng tỏ tồn góc nhỏ 45° * Trình bày lời giải Bốn đường thẳng cắt điểm tạo góc khơng có điểm chung Nếu tất góc lớn 45° tổng chúng lớn 45°.8= 360° Điều vơ lí, tổng góc 360° Vậy phải tồn góc nhỏ 45° Góc góc đối đỉnh với Do tồn hai góc nhỏ 45° Ví dụ 4: Trong hình 1.5, hai góc AOC BOD hai góc đối đỉnh Hai tia OE, OF hai tia đối Cho biết tia OE tia phân giác góc AOC, chứng tỏ tia OF tia phân giác góc BOD Giải (h.1.5) * Tìm cách giải  Muốn phải sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh  =O Ta cần chứng tỏ O * Trình bày lời giải Hai góc AOC BOD hai góc đối đỉnh nên tia OA, OB đối nhau, tia OC, OD đối  O   O  (hai góc đối đỉnh) Ngồi ra, hai tia OE, OF đối nên ta có = = O ;O  =O  (đề cho) nên O  =O  Vì O 4 (1) Mặt khác, tia OF nằm hai tia OB, OD Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 (2) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com nên từ (1) (2) suy tia OF tia phân giác góc BOD C Bài tập vận dụng  Tính số đo góc 1.1 Hai đường thẳng AB, CD cắt O tạo thành bốn góc khơng = kể góc bẹt Biết  AOC + BOD 100° Tính số đo góc tạo thành Hướng dẫn giải (h.1.6)  (hai góc đối đỉnh) mà  = Ta có:  AOC = BOD AOC + BOD 100° nên   = 100° : = 50° AOC = BOD  Hai góc AOC BOC kề bù nên BOC = 180° − 50= ° 130°  Do  AOD = BOC = 130° (hai góc đối đỉnh) 1.2 Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt O tạo thành bốn góc khác góc bẹt Biết  = MOP  Tính số đo góc tạo thành NOP Hướng dẫn giải (h.1.7)  + MOP = Hai góc NOP MOP kề bù nên NOP 180° mà   = MOP  nên NOP = 180°.2= 72° ; MOP = 180° − 72= ° 108° NOP 2+3 = NOP = 72° (hai góc đối đỉnh); NOQ   Suy MOQ = MOP = 108° (hai góc đối đỉnh) 1.3 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt O Vẽ tia OM tia phân giác góc AOC  =a°(0 < a < 180) Tìm giá trị a để BOM  Biết BOD = 155° Hướng dẫn giải (h.1.8)  = a° (hai góc đối đỉnh) Ta có  AOC = BOD a°  Tia OM tia phân giác góc AOC nên  AOM = MOC = =  kề bù nên  Hai góc  AOM + BOM 180° suy AOM BOM a°  BOM = 180° − Ta có a° a° a°  BOM = 155° ⇔ 180° − = 155° ⇔ = 180° − 155° ⇔ = 25° ⇔ a= ° 50° 2 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy a = 50 Lưu ý: Kí hiệu ⇔ đọc “khi khi” Khi viết A ⇔ B ta hiểu từ A suy B ngược lại, từ B suy A 1.4 Cho hai đường thẳng EF, GH cắt O Vẽ tia phân giác OK góc EOG Biết  = m°(0 < m < 180) Tìm giá trị m để FOH  FOK = 110° Hướng dẫn giải (h.1.9)  + FOK = Hai góc EOK FOK kề bù nên EOK 180°  ⇒ EOK = 180° − m°  Tia OK tia phân giác góc EOG nên EOG = (180° − m° )  đối đỉnh với EOG  nên FOH   Vì FOH = EOG = (180° − m° )  Ta có FOH = 110° ⇔ (180° − m°= ) 110° ⇔ 180° − m=° 55° ⇔ m= ° 180° − 55° ⇔ m= ° 125° Vậy m = 125 = 60° Một tia Ox 1.5 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt O, BOC trùng với tia OB OC nằm hai tia Vẽ tia Oy tia đối tia Ox Tìm số đo lớn góc AOy Hướng dẫn giải (h.1.10)  Hai góc AOy BOx hai góc đối đỉnh nên  AOy = BOx  nên   ≤ BOC Ta có BOx AOy ≤ 60° ; dấu “=” xảy tia Ox trùng với tia OC Vậy số đo lớn góc AOy 60° tia Ox trùng với tia OC 1.6 Cho ba đường thẳng AB, CD MN cắt O a) Trong hình vẽ có tất góc? b) Chứng tỏ góc nói tồn hai góc tù Hướng dẫn giải a) Ba đường thẳng cắt O tạo thành tia Số góc tia 6.5 tạo là: = 15 (góc) b) Xét hai đường thẳng AB CD ba đường thẳng cho (h.1.11) Hai đường thẳng tạo thành bốn góc khơng có điểm Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com chung Tổng bốn góc 360° nên bốn góc phải tồn góc lớn 90° Thật vậy, góc nhỏ 90° tổng chúng nhỏ 90°.4= 360° : vơ lí Giả sử góc tồn nói góc BOD  > 90°   > 90° , toán giải - Nếu BOD AOC = BOD xong = 90° ta xét tiếp đường thẳng thứ ba MN qua O (h.1.12) - Nếu BOD Giả sử tia ON nằm góc BOD Khi góc BON góc nhọn  AON góc tù (vì   = BON AON hai góc kề bù) Góc AON góc tù góc BOM góc tù (vì BOM AON ) Vậy ln tồn hai góc tù số 15 góc tạo thành  Chứng tỏ hai tia đối 1.7 Chứng tỏ hai tia phân giác hai góc đối đỉnh hai tia đối Hướng dẫn giải (h.1.13) Xét hai góc đối đỉnh AOC BOD Gọi tia OM tia phân giác góc AOC; tia ON tia phân giác góc BOD Ta phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối  (hai góc đối đỉnh) mà  O   O  nên O  =O  (một nửa hai góc Ta có  AOC = BOD = O = ; O3 nhau) = Vì  = 180° nên  AOB AOD + DOB 180°  +O  = 180° ⇒ AOD + O  +O  = 180° (vì O  =O  ) ⇒ AOD + O 1  Do MON = 180° Suy hai tia OM, ON đối 1.8 Cho hai đường thẳng AB MN cắt O cho  AOM < 90° Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia OM, vẽ tia OC cho tia OM tia phân giác góc AOC Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia ON vẽ tia OD cho tia ON tia phân giác góc BOD Chứng tỏ hai tia OC, OD hai tia đối Hướng dẫn giải (h.1.14) Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   DON  mà   Theo đề ta= có  AOM MOC = , BON AOM = BON  = DON  (hai góc đối đỉnh) nên MOC =  + DON Ta có MOD 180° (hai góc kề bù), suy  + MOC = MOD 180° Hai góc MOD MOC hai góc kề, có tổng 180° nên hai tia OC, OD đối  Chứng tỏ tia tia phân giác 1.9 Cho hai góc AOB AOC hai góc kề nhau, góc góc tù Vẽ tia OB′ tia đối tia OB, tia OC ′ tia đối tia OC Chứng tỏ tia OA tia phân giác góc B′OC ′ Hướng dẫn giải (h.1.15) ′ = COB ′ (hai góc đối đỉnh) nên Ta có  AOB =  AOC (đề cho) mà BOC  ′ =  ′ AOB − BOC AOC − COB Do  AOC ′ =  AOB′ (1) Mặt khác, tia OA nằm hai tia OB′ OC ′ (2) Nếu từ (1) (2) ta tia OA tia phân giác góc B′OC ′ 1.10 Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia OC OD cho   AOC = BOD = 150° Vẽ tia OE tia đối tia OD Chứng tỏ tia OB tia phân giác góc COE Hướng dẫn giải (h.1.16) = Hai góc AOC BOC kề bù nên  AOC + BOC 180° = 180° − 150°= 30° ⇒ BOC Tương tự, ta tính  AOD= 30° =  Ta có BOE AOD= 30° (hai góc đối đỉnh) = BOE = 30° (1) Suy BOC Tia OB nằm hai tia OC OE (2) Từ (1) (2) ta tia OB tia phân giác góc COE  Đếm góc, đếm tia Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1.11 Cho bốn đường thẳng cắt điểm Tìm số cặp góc đối đỉnh tạo thành (khơng kể góc bẹt) a) Bằng cách liệt kê; b) Bằng cách tính tốn Hướng dẫn giải (h.1.17) a) Liệt kê cặp góc đối đỉnh  Xét cặp góc “đơn”: Góc đối đỉnh với góc 5; Góc đối đỉnh với góc 6; Góc đối đỉnh với góc 7; Góc đối đỉnh với góc Có tất góc “đơn” đối đỉnh  Xét cặp góc “ghép đơi” (ghép hai góc đơn kề thành góc “ghép đơi”): Góc 12 đối đỉnh với góc 56; Góc 23 đối đỉnh với góc 67; Góc 34 đối đỉnh với góc 78; Góc 45 đối đỉnh với góc 81 Có tất cặp góc “ghép đơi” đối đỉnh  Xét cặp góc “ghép ba” (ghép ba góc đơn kề thành góc “ghép ba”): Góc 123 đối đỉnh với góc 567; Góc 234 đối đỉnh với góc 678; Góc 345 đối đỉnh với góc 781; Góc 456 đối đỉnh với góc 812 Có tất cặp góc “ghép ba” đối đỉnh Vậy tổng cộng có 4.3 = 12 cặp góc đối đỉnh b) Xây dựng cơng thức tính số cặp góc đối đỉnh Có đường thẳng cắt điểm nên có: 4.2 = (tia) Số góc tia tạo 8.7 = 28 (góc) 24 (góc) Khơng kể góc bẹt số góc cịn lại là: 28 − = Mỗi góc 24 góc có góc đối đỉnh với nên số cặp góc đối đỉnh tạo thành 24 : = 12 (cặp) * Nhận xét: Nếu có n đường thẳng cắt điểm số cặp góc đối đỉnh (khơng kể góc bẹt) tạo thành n ( n − 1) Thật vậy, số tia n đường thẳng cắt điểm tạo 2n (tia) Số góc 2n tia tạo là: 2n ( 2n − 1) = n ( 2n − 1) Khơng kể n góc bẹt số góc cịn lại là: n ( 2n − 1) − n= 2n − n − n= 2n − 2n= 2n ( n − 1) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Số cặp góc đối đỉnh là: Website:tailieumontoan.com 2n ( n − 1) = n ( n − 1) 1.12 Cho n đường thẳng cắt điểm, chúng tạo thành: a) 20 cặp góc đối đỉnh (khơng kể góc bẹt); b) 90 cặp góc đối đỉnh (khơng kể góc bẹt) Tính giá trị n trường hợp Hướng dẫn giải 20 a) Ta có: n ( n − 1) = b) Ta có: n ( n − 1) = 90 n ( n − 1) = 5.4 ⇒ n = n ( n − 1)= 10.9 ⇒ n= 10 Vậy n = Vậy n = 10 Chương I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chuyên đề HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A Kiến thức cần nhớ Hai đường thẳng AB, CD cắt góc tạo thành có góc vng gọi hai đường thẳng vng góc Trong hình 2.1 ta có AB ⊥ CD Có đường thẳng a ′ qua O vng góc với đường thẳng a cho trước (h.2.2) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm gọi đường trung trực đoạn thẳng Trong hình 2.3, đường thẳng xy đường trung trực AB B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho góc bẹt AOB tia OM cho  AOM= 60° Vẽ tia ON nằm góc BOM cho ON ⊥ OM Chứng tỏ =1 BON AOM Giải (h.2.4) * Tìm cách giải Muốn so sánh hai góc BON AOM ta cần tính số đo chúng Đã biết số đo góc AOM nên cần tính số đo góc BON * Trình bày lời giải = Hai góc AOM BOM kề bù nên  AOM + BOM 180°  = 90° ⇒ BOM = 180° − 60= ° 120° Vì OM ⊥ ON nên MON  + MON =  Tia ON nằm góc BOM nên BON BOM = 120° − 90°= 30° Vì 30 ⇒ BON = ° =1 AOM 60° nên BON 2 Ví dụ 2: Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ  < 90° Vẽ tia phân giác OM tia OE, OF cho  AOE= BOF góc EOF Chứng tỏ OM ⊥ AB Giải (h.2.5) * Tìm cách giải Để chứng tỏ OM ⊥ AB ta cần chứng tỏ góc AOM (hoặc góc BOM) có số đo 90° Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 347 Website:tailieumontoan.com ⇒ F trung điểm AB Xét ∆ABC có AD, BE, CF ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy 21.14 (h.21.20) Tam giác ABH vuông H, có HM đường trung tuyến nên HM = Suy DM = AB AB (vì HM = DM ) Do ∆DAB vng D Tam giác ABC có BD vừa đường phân giác vừa đường cao nên tam giác cân B ⇒ BA = BC (1) dẫn tới DA = DC Xét ∆HAC ∆HAB vuông = H có HD 1 = AC; HM AB mà HD = HM nên AC = AB 2 (2) Từ (1) (2) suy AB = BC = CA ∆ABC Trong tam giác ABC, đường cao AH, đường trung tuyến CM đường phân giác Suy AH, BD, CM đồng quy Chuyên đề 22 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC A Kiến thức cần nhớ  Để chứng minh hai đoạn thẳng hai góc khơng ta có thể: Dùng quan hệ góc cạnh đối tam giác (h.22.1) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 348 Website:tailieumontoan.com ∆ABC :  = AC > AB ⇔ B C Suy tam giác tù (hoặc tam giác vng) cạnh góc tù (hoặc góc vng) cạnh lớn Dùng quan hệ góc cạnh đối hai tam giác có hai cặp cạnh (h.22.2) ∆ABC ∆A ' B ' C ' có: = AB A= ' B '; AC A ' C ' Khi đó: BC > B ' C ' ⇔  A>  A' Dùng quan hệ đường vuông góc đường xiên, đường xiên hình chiếu AH ⊥ a, B, M ∈ a (h.22.3) Khi đó:  AM ≥ AH (dấu “=” xảy ⇔ M ≡ H )  AM ≥ AB ⇔ HM ≥ HB Dùng bất đẳng thức tam giác (h.22.4) ∆ABC : b−c < a < b+c Mở rộng: Với ba điểm A, B, C ta có: AB ≤ AC + CB (dấu " = " xảy ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB)  Tìm giá trị lớn độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Ta phải chứng minh AB ≤ a (số a không đổi) rõ dấu " = " xảy Khi giá trị lớn độ dài AB a Ta viết maxAB = a  Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB thay đổi Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 349 Website:tailieumontoan.com Ta phải chứng minh AB ≥ b (số b không đổi) rõ dấu " = " xảy Khi giá trị nhỏ độ dài AB b Ta viết minAB = b B Một số ví dụ  AD  > DCA  Do BAC  > 90°, trái giả thiết Từ (*) suy BAC Vậy A nhọn AM > BC Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 355 Website:tailieumontoan.com • Chứng minh mệnh đề: "Nếu AM > BC góc A nhọn." = 90° Nếu  A= 90° từ (*) suy DCA ∆BAC = ∆DCA (c.g.c) ⇒ BC = AD hay AM = BC , trái giả thiết  < 90° Vậy BAC  > DCA  Nếu  A > 90° từ (*) suy DCA  > DCA  ∆BAC ∆DCA có: AB = CD; AC chung BAC Do BC > AD hay BC > AM tức AM < Vậy AM > BC , trái giả thiết BC góc A nhọn 22.5 (h.22.14)  + CDA  =360° Vẽ đoạn thẳng DA, DB, DC Ta có  ADB + BDC Suy tồn góc có số đo nhỏ 120° (vì ba góc lớn 120° tổng chúng lớn 360°, vơ lí) Giả sử góc góc BDC  ≤ 120°, suy Xét ∆BDC có BDC  + DCB  ≥ 60° DBC Do tồn góc lớn 30° > 29° Vậy ba điểm cần tìm B, C, D 22.6 (h.22.15) Gọi M trung điểm BC H hình chiếu A đường thẳng a Khi AH có độ dài khơng đổi Ta có ∆ABC vng A nên AM = BC BC AM ≥ AH (quan hệ đường vng góc với hay= đường xiên) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 356 Website:tailieumontoan.com Do BC có độ dài nhỏ 2AH ⇔ M ≡ H ⇔ ∆ABH vuông cân Ta xác định điểm B sau: - Dựng AH ⊥ BC; - Trên đường thẳng a đặt HB = HA (h.22.16) 22.7 (h.22.17) Vẽ MH ⊥ BC , NK ⊥ BC , NI ⊥ MH Khi IN = HK IH = NK (tính chất đoạn chắn song song) = =  Ta có OM / / AC ⇒ BOM C B Do ∆MBO cân M, từ ta HB = HO Tương tự ta có KC = KO Suy = HK a = BC 2 Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có a MN ≥ IN = HK = Dấu " = " xảy ⇔ M ≡ I (h.21.18) ⇔ MH = NK ⇔ ∆MHB = ∆NKC ⇔ BH = CK ⇔ OH = OK ⇔ OB = OC ⇔ O trung điểm BC Vậy MN = a O trung điểm BC 22.8 (h.22.19) Vẽ DH ⊥ BC , EK ⊥ BC , DF ⊥ EK Ta có DF = HK (tính chất đoạn chắn song song) Các tam giác vng HBD KCE có 1 = E = 30° = nên BH = BD; CK CE D 2 Do BH + CK= 1 BD + CE = BD + AD = AB= 2cm ( ) ( ) 2 Suy HK = 2cm Ta có DE ≥ DF = HK = 2cm Dấu " = " xảy ⇔ E ≡ F ⇔ DH = EK ⇔ ∆HBD = ∆KCE ⇔ BD = CE Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 357 Website:tailieumontoan.com ⇔ BD = AD ⇔ D trung điểm AB (khi E trung điểm AC) Vậy độ dài nhỏ DE 2cm D E trung điểm AB AC 22.9 (h.22.20) Vẽ BD ⊥ AM , CE ⊥ AM ( D, E ∈ AM ) Ta có BD ≤ BM , CE ≤ CM (quan hệ đường vng góc đường xiên) Do BD + CE ≤ BM + CM = BC (dấu " = " xảy ⇔ D E trùng với M ⇔ AM ⊥ BC ) Vậy tổng BD + CE có giá trị lớn độ dài BC • Tính độ dài BC (h.22.21) Vẽ AH ⊥ BC = 30° nên ∆AHC vuông H có C = AH = AC 52 = : 26 ( cm ) Ta có HC = AC − AH = 522 − 262 = 2028 ⇒ HC ≈ 45 ( cm ) = 45° nên tam giác vuông cân Xét ∆ABH vng H, có B ⇒ BH = AH = 26cm Do BC = 26 + 45 = 71( cm ) Vậy giá trị lớn tổng BD + CE 71cm M hình chiếu A BC 22.10 (h.22.22) Xét ∆ABC có  2a A = α AB + AC = Ta phải chứng minh AB = AC = a chu vi ∆ABC nhỏ Thật vậy, giả sử AB < AC Trên tia AB lấy điểm B ', tia AC lấy điểm C ' cho AB =' AC =' a Khi B ' C ' điểm cố định B ' C ' có độ dài khơng đổi Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 358 Website:tailieumontoan.com Ta có AB + AC = AB '+ AC ' = 2a Do AB + ( AC '+ C ' C ) = ( AB + BB ' ) + AC ' ⇒ CC ' = BB ' Vẽ BH ⊥ B ' C ' CK ⊥ B ' C ' ∆BB ' H = ∆CC ' H (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ HB ' = KC ' HK = B ' C ' (1) Gọi M giao điểm BC B ' C ' Ta có MH ≤ MB; MK ≤ MC ⇒ MH + MK ≤ MB + MC hay HK ≤ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ≥ B ' C ' Ta có chu vi ∆ABC = AB + BC + CA ≥ 2a + B ' C ' (không đổi) Dấu " = " xảy ⇔ B ' ≡ B C ' ≡ C = AC = a, tức ∆ABC cân A Vậy chu vi ∆ABC nhỏ AB 22.11 (h.22.23) Vẽ AH ⊥ xy, tia AH cắt đường thẳng BC D Khi BD không đổi ∆CHA = ∆CHD (g.c.g) ⇒ HA = HD ⇒ xy đường trung trực AD Gọi M điểm xy Ta có MA = MD (tính chất điểm nằm đường trung trực) Do MA + MB = MD + MB ≥ BD (dấu " = " xảy ⇔ M ≡ C ) Vậy tổng MA + MB ngắn BD M ≡ C 22.12 (h.22.24) Ta có S = MA + 3MB + MC = ( MA + MB ) + ( MA + MC ) ≥ AB + AC = 3.12 + 4.16 = 100 Dấu " = " xảy ⇔ M thuộc đoạn thẳng AB AC ⇔ M ≡ A Vậy minS = 100 M ≡ A 22.13 (h.22.25) Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 359 Website:tailieumontoan.com Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC D; đường thẳng song song với AC cắt AB E Theo tính chất đoạn thẳng song song ta có = AD HE = , AE HD Vì HB ⊥ AC nên HB ⊥ HE ⇒ HB < BE (quan hệ đường vng góc đường xiên) Chứng minh tương tự ta HC < CD Xét ∆AHD có HA < AD + DH (bất đẳng thức tam giác) Suy HA + HB + HC < ( AD + DH ) + BE + CD = ( AD + AE ) + BE + CD =( AD + CD ) + ( AE + BE ) =AC + AB (1) Chứng minh tương tự, ta được: HA + HB + HC < AB + BC (2) HA + HB + HC < BC + CA (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ( HA + HB + HC ) < ( AB + BC + CA ) Do HA + HB + HC < ( AB + BC + CA ) 22.14 (h.22.26) Tam giác ABC vuông cân A nên theo định lí Py-ta-go ta tính BC = a Tam giác MAC cân M ⇒ MA = MC M nằm đường trung trực d AC Xét tổng MA + MB = MC + MB ≥ BC = a Dấu " = " xảy M ≡ O với O giao điểm d với cạnh BC Vậy giá trị nhỏ tổng MA + MB a M ≡ O a, khơng có vị trí M * Nhận xét: Ta thấy MA + MB ≥ AB = để dấu " = " xảy Vì kết luận ( MA + MB ) = a 22.15 (h.22.27)  Xác định vị trí C để chu vi tam giác ABC nhỏ Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 360 Website:tailieumontoan.com Chu vi ∆ABC CA + CB + AB Do AB cố định nên chu vi ∆ABC nhỏ ⇔ CA + CB nhỏ Vẽ AH ⊥ xy Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD = HA Khi BD đoạn thẳng cố định Gọi C ' điểm xy ∆AHC ' = ∆DHC ' (c.g.c) ⇒ C ' A = C ' D Xét ba điểm BDC’ ta có C ' B + C ' D ≥ BD (dấu " = " xảy ⇔ C ' ≡ C với C giao điểm BD với xy) Do C ' B + C ' D nhỏ BD C ' ≡ C Suy C giao điểm BD với xy chu vi ∆ABC nhỏ • Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC = IH 7= cm; IA 5cm ID = 9cm Vẽ BK ⊥ xy, BI ⊥ AH ta tính Áp dụng định lí Py-ta-go vào ∆IAB vng I ta có: BI = AB − IA2 = 132 − 52 = 144 Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông IDB, ta BD = IB + ID = 144 + 92 = 225 ⇒ BD = 15 ( cm ) Vậy giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC CA + CB + AB =BD + AB =15 + 13 =28 ( cm ) 22.16 (h.22.28) Gọi M điểm cạnh A ' B ' mà kiến phải qua bò từ A đến C ' Mở nắp hộp A ' B ' C ' D ' đứng lên đến vị trí A ' B ' C1D1 Xét ba điểm A, M , C1 ta có MA + MC1 ≥ AC1 Dấu  " = " xảy ⇔ M trùng với giao điểm O AC1 với cạnh A ' B ' MB ' ⇔ ∆A ' AM = ∆B ' C1 M (g.c.g) ⇔ MA ' = ⇔ M trung điểm A ' B ' Ta có AC12 = AB + BC12 = 202 + 402 = 2000 ⇒ AC1 = 2000 ≈ 44,7 ( cm ) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 361 Website:tailieumontoan.com Vậy quãng đường ngắn mà kiến phải bò 44,7cm kiến bò qua trung điểm M cạnh A ' B ' theo hành trình: đoạn thẳng AM đoạn thẳng MC ' Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... liệu word tốn zalo: 039. 373 .2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com B Một số ví dụ  3= ; N  3N  Chứng tỏ a / /b Ví dụ 1: Hình 3.2= có M M 2 Giải * Tìm cách giải  N  M  Hai... a / /b Ví dụ 3: Hình 3.4 có A A2 + B 1 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039. 373 .2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com Giải * Tìm cách giải  B    cặp góc phía Các góc A A2 B hai... Chứng tỏ AD / / CE Hướng dẫn giải (h.3 .7)  Tìm cách giải Đề có cho hai tia đối nên ta vận dụng tính chất hai góc kề bù Ngồi đề cịn có tia phân giác nên hình vẽ có hai góc  Trình bày lời giải