Tuyển chọn các chuyên đề toán lớp 9

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TUYỂN CHỌN CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng năm 2021 Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề Căn bậc hai, bậc Chủ đề Hàm số bậc Chủ đề Hệ phương trình bậc Chủ đề Phương trình bậc hai Chủ đề Hệ thức lượng giác Chủ đề Đường Trịn Chủ đề Góc đường trịn Chủ đề Hình học khơng gian Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA I CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI Căn bậc hai số học  Căn bậc hai số không âm a số x cho x = a • Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu − a • Số có bậc hai số 0, ta viết • Với số dương a, số = a đgl bậc hai số học a Số đgl bậc hai số học • Với hai số khơng âm a, b, ta có: a < b ⇔ a< b Căn thức bậc hai • Với A biểu thức đại số, ta gọi A thức bậc hai A A xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị khơng âm • A A= A=  − A A ≥ A < Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ • A có nghĩa ⇔ A ≥ • A CĨ NGHĨA có nghĩa ⇔ A > A Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) − 3x b) − 2x c) −3 x + d) 3x + e) 9x − f) 6x − ĐS: a) x ≤ b) x ≤ c) x ≤ d) x ≥ − Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: x x a) b) + x−2 + x −2 x+2 x−2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 e) x ≥ c) x x2 − f) x ≥ + x −2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com d) − 2x e) b) x ≥ ĐS: a) x > 2x + c) x > f) d) x < −2 x +1 e) x > − f) x < −1 Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) x2 + b) 4x2 + c) 9x2 − 6x + d) −x2 + 2x − e) − x+5 f) −2 x − ĐS: a) x ∈ R b) x ∈ R d) x = c) x ∈ R e) x = −5 f) khơng có Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) − x2 b) x − 16 c) x2 − d) x2 − 2x − e) x ( x + 2) f) x − 5x + ĐS: a) x ≤ b) x ≥ c) x ≥ d) x ≤ −1 x ≥ e) x ≤ −2 x ≥ f) x ≤ x ≥ Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) x −1 b) d) x − x −1 e) ĐS: a) x ≥ x −1 − c) f) − 12 x + x b) x ≤ −2 x ≥ c) x ≤ 4− x x + x −1 d) x ≥ e) x ≠ f) x ≥ Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC A A= A=  − A Áp dụng: neáu A ≥ neáu A < Bài Thực phép tính sau: a) −0,8 (−0,125)2 d) (2 − 3) ĐS: a) −0,1 b) (−2)6 e)  1 −    2 b) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 c) − c) ( f) ( 0,1 − d) − 2 e) − 2) − 2 0,1 ) f) 0,1 − 0,1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài Thực phép tính sau: a) (3 − 2 ) c) ( − )2 + (1 − )2 e) ( (3 + 2 ) + − 2) + ĐS: a) ( + 2) b) ( − )2 − ( + )2 d) (3 + f) ( b) −4 c) 2) − 2 + 1) − (1 − ( − 5) e) d) 2) 2 f) 2 − Bài Thực phép tính sau: a) 5+2 − 5−2 b) − 10 − + 10 c) 4−2 + 4+2 d) 24 + + − e) 17 − 12 + + f) − + 22 − 12 ĐS: a) 2 c) b) −2 d) − Bài Thực phép tính sau: a) d) − − 29 − 12 b) 13 + 30 + + − 13 + + + 13 + c) ( − 2) 5+ e) + + 13 + + − − 13 − ĐS: Bài Thực phép tính sau: a) ĐS: Dạng 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC Áp dụng: A A= A=  − A neáu A ≥ neáu A < Chú ý: Xét trường hợp A ≥ 0, A < để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bài Rút gọn biểu thức sau: a) x + + x − x + ( x ≤ 3) c) b) x2 − 2x + ( x > 1) x −1 ĐS: a) b) x + x + − x (−2 ≤ x ≤ 0) d) x − + c) x2 − 4x + ( x < 2) x −2 d) 1− x Bài * Rút gọn biểu thức sau: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) − 4a + 4a2 − 2a d) x − − b) x − y − x − xy + y c) x + x − x + 16 x − 10 x + 25 x −5 e) x4 − 4x2 + ( x − 4)2 + f) x −2 x−4 x − x + 16 ĐS: Bài Cho biểu thức A= x2 + x2 − − x2 − x2 − a) Với giá trị x A có nghĩa? b) Tính A x ≥ b) A = ĐS: a) x ≤ −1 x ≥ Bài Cho số dương x , y, z thoả điều kiện: xy + yz + zx = Tính: A= x (1 + y )(1 + z2 ) + x2 +y (1 + z2 )(1 + x ) + y2 +z (1 + x )(1 + y ) + z2 ĐS: A = Chú ý: + y = ( xy + yz + zx ) + y = ( x + y )( y + z) , + z2 = ( y + z)( z + x ) , + x =( z + x )( x + y ) Bài Rút gọn biểu thức sau: a) ĐS: Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH A2 = A ; Áp dụng: • = A A2 = B2 ⇔ A = ±B ;  A ≥ (hay B ≥ 0) B⇔ A = B • B ≥ A= B ⇔  A = B • A= B ⇔  A ≥ hay  A < A = B  A = −B • A= B ⇔  B ≥ • A =B ⇔ A = B hay A = −B • A + B =0 ⇔  A =  •    A = B hay A = − B  B = A = 0⇔ A+ B= B = Bài Giải phương trình sau: a) ( x − 3)2 =− x b) x − 20 x + 25 + x = c) − 12 x + 36 x = d) x + x −1 = e) x − x − 1= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 x − − f) x2 − 1 x+ = −x 16 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐS: a) x ≤ b) x ≤ c) x = 1; x = − d) x = e) x ≥ f) x ≤ Bài Giải phương trình sau: a) 2x + = 1− x b) x2 − x = d) x − 1= x −1 e) x2 − x − = ĐS: a) x = − b) x = ± c) x = 3− x x −3 c) x − 3= f) x − x= d) vô nghiệm e) x = 4x − 3x − f) vơ nghiệm Bài Giải phương trình sau: a) x2 + x = x b) − x =x − d) x2 − − x2 + = e) ĐS: a) x = b) x = c) x2 − − x + = x2 − 4x + = x − f) − x =− x c) vô nghiệm d) x = ±1; x = ± e) x = f) vô nghiệm Bài Giải phương trình sau: a) x2 − 2x + = x2 − d) x2 + x + = x ĐS: a) x = 1; x = −2 f) x = b) 4x2 − 4x + = x − c) x4 − 2x2 + = x − e) x − x + 16 =2 − x f) x + x + 1= b) vô nghiệm c) x = 2− = ;x 11 − d) vô nghiệm e) x = 2; x = −3; x = −1 −4 Bài Giải phương trình sau: b) x − = x − a) x + = x + d) x − x += c) x − 12 x + =x x − 12 x + ĐS: a) x = 0; x = − b) x =3; x = − + 1; x = − −1 c) = x 1;= x d) = x 1;= x Bài Giải phương trình sau: a) x − + x + = d) b) x − x + 16 + x + = c) − x + x + = x2 − + x2 + 4x + = ĐS: a) x = −1 b) vô nghiệm c) x = −1 d) x = −2 Bài Giải phương trình sau: a) b) ĐS: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA = A.B • Khai phương tích: A B ( A ≥ 0, B ≥ 0) A = B Nhân bậc hai: • Khai phương thương: Chia hai bậc hai: A.B ( A ≥ 0, B ≥ 0) A = B A B A = B A ( A ≥ 0, B > 0) B ( A ≥ 0, B > 0) Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài Thực phép tính sau: a) 12 + 27 + 75 − 48 b) 3( 27 + 48 − 75) c) ( 2 − ) d) (1 + − )(1 + + ) e) ĐS: a) −13 ( 3− + 3+ c) 11 − b) 36 ) d) + f) ( 11 + − 11 − ) f) − e) 10 Bài Thực phép tính sau: 2+ − 2− a) c) ( + )( − ) d) ( + 15 )( 10 − ) − 15 3+2 e) 13 − 160 − 53 + 90 ĐS: Chú ý: a) −3 6−2 f) 4±2 = 2= ± b) 21 − 12 − b) ( c) −2 ± 1) = 2 + 12 + 18 − 128 ±1 d) e) −4 f) −1 Bài Thực phép tính sau: a) − 125 − 80 + 605 b) 15 − 216 + 33 − 12 c) d) 2− ( + 2) ĐS: a) b) e) c) 3− + 3+ d) f) − 25 12 + ( + 1) − ( − 1) e) 10 192 f) 14 Bài Thực phép tính sau: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) 10 + 10 + + 1− d) − (3 + ) 10 + ĐS: a) –2 b) e) b) − 2− 2+ + 2+ 2− − 12 + 27 c) − 18 − 48 30 + 162 + 2+ c) + f) − 2− ( + 2) − 5−4 d) Bài Thực phép tính sau: a) A = 12 − − 12 + b) B = + 10 + + − 10 + c) C = − + + ĐS: Chứng tỏ A < 0, B > 0, C > Tính A2 , B , C ⇒ A = − ; = B + , C = 10 Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài Rút gọn biểu thức: 15 − a) b) 35 − 14 + + + + 16 d) 2+ 3+ ĐS: a) b) x e) c) c) + 12 x + xy f) y + xy 3− 1− 2 15 − 10 + − − 10 − + a +a b − b −b a ab − d) + Tách 16 = 4+ a− b f) y e) 10 + 15 ab − Bài Rút gọn biểu thức sau: a) c) x x+y y x+ y ( (y − x −1 y −1 ĐS: a) − xy x− y ) y +1 ( x − 1)4 b) ) b) x − x +1 x + x +1 ( x ≥ 0) ( x ≠ 1, y ≠ 1, y > 0) x −1 x +1 c) 1 < y < y > 1− x x −1 Bài Rút gọn tính: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a −1 a) b +1 : b −1 a +1 c) 10a2 − 4a 10 + với= a ĐS: a) a b) 15a2 − 8a 15 + 16 với= với a 7,25; = = b 3,25 a −1 ; b −1 + b) + d) a2 + a2 − − a2 − a2 − với a = c) d) Bài a) ĐS: Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau: a) 2x − =2 x −1 d) 9x − = 7x + ĐS: a) x = b) 7x + e) 2x − x −1 =2 x − 20 + c) x −= 2x + x −5 − x − 45 = 3 b) vô nghiệm c) x = − ;x = 2 d) x = e) x = Bài a) ĐS: Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài So sánh số: a) − b) + 7+ c) 2005 + 2007 2006 ĐS: Bài Cho số không âm a, b, c Chứng minh: a+b a) b) a + b < a + b ≥ ab d) a + b + c ≥ ab + bc + ca e) c) a + b + ≥ a+ b a+b a+ b ≥ 2 ĐS: Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A = x −2 + 4− x Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 b) B = 6− x + x+2 c) C = x + 2− x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Lấy hai điểm C D nửa đường tròn cho  AC =  CD =  DB Các tiếp tuyến vẽ từ B C nửa đường tròn cắt I Hai tia AC BD cắt K Chứng minh rằng: a) Các tam giác KAB IBC tam giác b) Tứ giác KIBC nội tiếp b)  HD: a) Chứng minh tam giác có hai góc 600 BKC =  BIC = 600 Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C D (C nằm B D) Các tia AC BD cắt đường tròn E F Hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng: a) Tứ giác FNEM nội tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp b)  HD: a)  MEN =  MFN = 900 D + CEF = 1800 Bài Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường trịn b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh năm điểm A, I, F, H, E nằm đường trịn HD: a) BHCD hình bình hành ⇒  ACD ABD =  = 900 O trung điểm AD b)  = AIH  AFH =  AEH = 900 Bài Cho tam giác ABC Dựng tam giác tam giác BCD, ACE ABF Chứng minh rằng: a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác nói qua điểm b) Ba đường thẳng AD, BE, CF qua điểm c) Ba đoạn thẳng AD, BE, CF HD: a) Gọi O giao điểm thứ hai hai đường tròn (ABF) (ACE) ⇒ AOB =  AOC =  BOC = 1200 ⇒ BODC nội tiếp ⇒ đường tròn (BCD) qua O b)  AOB +  BOD = 1800 ⇒ A, O, D thẳng hàng Tương tự B, O, E thẳng hàng; C, O, F thẳng hàng ⇒ Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng qui c) ∆ABD = ∆FBC ⇒ AD = CF; ∆ACF = ∆AEB ⇒ CF = BE Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC BD cắt I Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Tiếp tuyến đường tròn I cắt AD BC M N Chứng minh rằng: a) MN // CD b) Tứ giác ABNM nội tiếp HD: a)  BIN =  BDC ⇒ MN // CD b)  BAM +  BNM = 1800 Bài 10 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 2cm, OB = 6cm Trên tia Oy lấy hai điểm C D cho OC = 3cm, OD = 4cm Nối BD AC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp HD: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 11 Cho đường trịn (O) điểm A đường tròn (O) Từ điểm M tiếp tuyến A, vẽ cát tuyến MBC Gọi I trung điểm BC Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp HD: Bài 12 a) HD: VIII ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP Định nghĩa a) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác đgl đa giác nội tiếp đường tròn b) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác đgl đường tròn nội tiếp đa giác đa giác đgl đa giác ngoại tiếp đường trịn Định lí Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng đgl tâm đa giác Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc Chú ý: • Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh • Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh • Cho n_ giác cạnh a Khi đó: – Chu vi đa giác: p = na (p nửa chu vi) (n − 2).1800 – Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo n – Mỗi góc tâm đa giác có số đo – Bán kính đường trịn ngoại tiếp: R= – Bán kính đường trịn nội tiếp: r= 3600 n 1800 a ⇒ = sin a R n 1800 2sin n 1800 a ⇒ = tan a r n 1800 tan n a2 – Liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp: R − r = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com – Diện tích đa giác đều: S= nar Bài Một đường trịn có bán kính R = 3cm Tính diện tích hình vng nội tiếp đường trịn HD: = 2(cm) ⇒ S = 18cm2 a R= Bài Một đa giác nội tiếp đường tròn ( O;2cm ) Biết độ dài cạnh 3cm Tính diện tích đa giác a ⇒ n = ⇒ S = 3(cm2 ) 1800 2sin n Bài Cho lục giác ABCDEF, độ dài cạnh a Các đường thẳng AB CD cắt M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự N P HD: R = a) Chứng minh ∆MNP tam giác b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆MNP HD: a) ∆MNP có góc 600 ⇒ ∆MNP tam giác cạnh 3a b) R = a Bài Cho ngũ giác ABCDE cạnh a Hai đường chéo AC AD cắt BE M N a) Tính tỉ số bán kính đường trịn nội tiếp đường trịn ngoại tiếp ngũ giác b) Chứng minh tam giác AMN CMB tam giác cân c) Chứng minh AC.BM = a2 r  a HD: a) =  R  1800 tan     a :   2sin 180       ≈ 0,8    b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ⇒  AB =  BC =  CD =  DE =  EA Dùng định lí góc đường trịn, chứng minh tam giác có hai góc AB BM = AC BC Bài Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A đường tròn (O) vẽ cung AB, AC cho c) ∆ABM # ∆ACB ⇒ sd AB = 300 , sd AC = 900 (điểm A nằm cung BC nhỏ) Tính cạnh diện tích tam giác ABC HD: BC = R , AC = R , AB = R sin150 , S = R sin150 Bài a) HD: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com IX ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRỊN Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường tròn) Độ dài C đường tròn bán kính R tính theo cơng thức: C = 2π R ( d = 2R ) C = πd Cơng thức tính độ dài cung trịn Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n tính theo cơng thức: l= π Rn 180 Bài Cho π = 3,14 Hãy điền vào bảng sau: Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S 94,2 28,26 HD: Bài Cho đường trịn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ⊥ OA Biết độ dài đường tròn (O) 4π (cm) Tính: a) Bán kính đường trịn (O) HD: b) Độ dài hai cung BC đường tròn Bài Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, A = 1200 Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp ∆ABC HD: Bài Một tam giác hình vng có chu vi 72cm Hỏi độ dài đường trịn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? HD: Bài Cho hai đường trịn (O; R) (O′; R′) tiếp xúc ngồi với A Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B, cắt đường tròn (O′) C Chứng minh R′ = R độ dài cung AC nửa độ dài cung AB (chỉ xét cung nhỏ AC, AB) HD: Bài Cho đường trịn đường kính BC = R Trên đường tròn lấy điểm A cho AB = R Gọi P1, P2 , P3 chu vi đường trịn có đường kính CA, AB, BC Chứng minh rằng: P12 P22 P32 = = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HD: Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn HD: Bài Cho nửa đường tròn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường trịn đường kính OA OB nửa đường trịn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường tròn HD: Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A (O) cho AB < AC Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB AC phía ngồi tam giác ABC Chứng minh diện tích tam giác ABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngồi (O) HD: Bài 10 a) HD: X DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN Cơng thức tính diện tích hình trịn Diện tích S hình trịn bán kính R tính theo cơng thức: S = π R2 Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n tính theo cơng thức: S= π R2n 360 hay S= lR (l độ dài cung n hình quạt trịn) Bài Một hình vng hình trịn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn HD: Gọi chu vi hình 4a ⇒ Shv a= , Sht = a2 ⇒ Sht > Shv π Bài Chứng minh diện tích hình trịn ngoại tiếp hình vng hai lần diện tích hình trịn nội tiếp hình vng π a2 = ; Snội tiếp Bài Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bới đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh 6cm HD: Gọi độ dài cạnh hình vng a ⇒ Sngoại tiếp = HD: = Rngoại tiếp π a2 a a , Rnội tiếp = = 3= 180 1800 2sin tan 3 ⇒ S = 9π (cm2 ) Bài Một tam giác cạnh a nội tiếp đường trịn (O) Tính diện tích hình viên phân tạo thành cạnh tam giác cung nhỏ căng cạnh Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a2 12 Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH = 2cm Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A ta vẽ ba nửa đường trịn có đường kính BH, CH BC Tính diện tích miền giới hạn ba nửa đường trịn HD:= S π a2 − HD: Đặt AH HB = HC Rr ⇒ Rr = ⇒= S π= Rr π (cm2 ) HB 2= R, HC 2r ⇒= = Bài a) HD: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Một góc vng quay quanh O, hai cạnh góc cắt Ax By C D Hai đường thẳng OD Ax cắt E Chứng minh rằng: a) AC.BD = R b) Tam giác CDE tam giác cân c) CD tiếp tuyến nửa đường tròn (O) HD: a) ∆AOC # ∆BDO ⇒ AC = BD OA = OB R b) ∆CDE có CO vừa đường cao, vừa trung tuyến c) Vẽ OF ⊥ CD ⇒ ∆FOD = ∆AOE ⇒ OF = OA = R ⇒ CD tiếp tuyến (O) Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy điểm M cho AM = R Vẽ tiếp tuyến MC (C tiếp điểm) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BC D a) Chứng minh BD // OM b) Xác định dạng tứ giác OBDM AODM c) Gọi E giao điểm AD với OM, F giao điểm MC với OD Chứng minh EF tiếp tuyến đường tròn (O) HD: a)  b) OBDM hình bình hành, AODM hình chữ nhật AOM = B ⇒ BD // OM c) OE = R, FE ⊥ OE ⇒ EF tiếp tuyến (O) Bài Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Vẽ đường kính AOC AO′D Đường thẳng AC cắt đường tròn (O′) E Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF HD: a)  b)  ABC =  ABD = 900 CED =  CFD = 900 c) Chứng minh FA tia phân giác (hoặc ngồi) góc F, EA tia phân giác (hoặc ngoài) góc E ∆BEF ⇒ A tâm đường trịn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AT cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm A C) Gọi H hình chiếu T OA Chứng minh rằng: a) AT = AB AC b) AB AC = AH AO HD: a) ∆ATB # ∆ACT ⇒ AT = AB AC c) Tứ giác OHBC nội tiếp b) AB = AC AH = AO AT c) ∆AOC # ∆ABH ⇒  ACO =  AHB ⇒  ACO +  BHO = 1800 ⇒ OHBC nội tiếp Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Vẽ dây AD // BC Tiếp tuyến A B đường tròn cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a)  AIB =  AOB Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Năm điểm E, A, I, O, B nằm đường tròn c) IO ⊥ IE   HD: a) = AIB sd = AB  AOB b) ABOI, AOBE nội tiếp c)  EIO =  EAO = 900 ⇒ IO ⊥ IE Bài Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh CB CD lấy hai điểm di động M N cho CM = CN Từ C vẽ đường thẳng vng góc với BN, cắt BN E AD F a) Chứng minh tứ giác FMCD hình chữ nhật b) Chứng minh nam điểm A, B, M, E, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường trịn c) Đường trịn (O) cắt AC điểm thứ hai I Chứng minh tam giác IBF vuông cân d) Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt đường thẳng FI K Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng HD: a) ∆FDC = ∆NCB ⇒ FD = CN = CM b) A, B, M, E, F nằm đường trịn đường kính BF O trung điểm BF c)  IF =  IB ⇒ IF = IB d) IBKC nội tiếp ⇒  BCK =  BIK = 900 ⇒  BCK +  BCD = 1800 Bài Cho đường tròn (O) Vẽ hai dây AC BD vng góc với I (điểm B nằm cung nhỏ AC) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình thang cân b) Tổng diện tích hai hình quạt trịn AOB COD tổng diện tích hai hình quạt trịn AOD BOC (các hình quạt trịn ứng với cung nhỏ) HD: a)  BDC =  ABD ⇒ AB // CD b) Squaït AOB + Squaït COD= π R2 (  π R2 (   ), S S sñ AD + sñ BC ) sñ AB + sñCD + = quaït AOD quaït BOC 360 360 Bài Cho nửa đường trịn đường kính BC = 10cm dây BA = 8cm Vẽ phía ngồi tam giác ABC nửa đường trịn đường kính AB AC a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết HD: a) S ABC = 24(cm2 ) b) = Svp 25 π − 24(cm2 ) c) Stk = 24(cm2 ) Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Biết BC = 2cm, A = 450 a) Tính diện tích hình trịn (O) b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABC lớn Tính diện tích lớn HD: a) = R OB = ⇒ S = 2π (cm2 ) b) Svp = π −2 (cm2 ) = c) S ABC lớn ⇔ A điểm cung lớn BC Khi S ABC + 1(cm2 ) Bài 10 Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH HD: Bài 11 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M đường trịn cho góc  MAB = 900 Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Chứng minh MN = AH HB c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F.Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng HD: Bài 12 Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường trịn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC HD: Bài 13 Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA ⊥ BC tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD//OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE HD: Bài 14 Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE ⊥ AC CF ⊥ AB (E ∈ AC , F ∈ AB ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường trịn (O) HD: Bài 15 Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc DOE HD: Bài 16 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM.BN theo R HD: Bài 17 a) HD: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ – HÌNH NĨN – HÌNH CẦU I HÌNH TRỤ Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABO′O vịng quanh cạnh OO′ cố định, ta hình trụ • Hai hình tròn (O) (O′) nằm hai mặt phẳng song song đgl hai đáy hình trụ • Đường thẳng OO′ đgl trục hình trụ • Mỗi vị trí AB đgl đường sinh Các đường sinh vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ Cắt hình trụ mặt phẳng • Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với đáy, phần mặt phẳng nằm hình trụ (mặt cắt – thiết diện) hình trịn hình trịn đáy • Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục OO′ mặt cắt hình chữ nhật Diện tích – Thể tích Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h • Diện tích xung quanh: • Diện tích tồn phần: • Thể tích: Sxq = 2π Rh = Stp 2π Rh + 2π R V = π R2h Bài Một hình trụ có bán kính đáy đường cao Khi cắt hình trụ mặt phẳng qua trục mặt cắt hình chữ nhật có diện tích 50cm2 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ ĐS: Sxq = 62,5π (cm2 ) , V = 62,5π (cm3 ) Bài Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128π cm3 Tính diện tích xung quanh hình trụ ĐS: Sxq = 64π (cm2 ) Bài Một hình trụ có bán kính đáy 3cm Biết diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ ĐS: h= R= 3(cm) Bài Một hình trụ có diện tích xung quanh 20π cm2 diện tích tồn phần 28π cm2 Tính thể tích hình trụ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐS: V = 20π (cm3 ) Bài ĐS: II HÌNH NĨN – HÌNH NĨN CỤT Hình nón Khi quay tam giác vng vịng quanh cạnh OA cố định hình nón A • Điểm A đgl đỉnh hình nón • Hình trịn (O) đgl đáy hình nón • Mỗi vị trí AC đgl đường sinh hình nón • Đoạn AO đgl đường cao hình nón C O Diện tích – Thể tích hình nón Cho hình nón có bán kính đáy R đường sinh l, chiều cao h • Diện tích xung quanh: Sxq = π Rl • Diện tích tồn phần: = Stp π Rl + π R • Thể tích: V = π R 2h Hình nón cụt Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng nói mặt phẳng đáy đgl hình nón cụt S O’ r A l h • Hai hình trịn (O) (O′) đgl hai đáy • Đoạn OO′ đgl trục Độ dài OO′ chiều cao • Đoạn AC đgl đường sinh O R C Diện tích – Thể tích hình nón cụt Cho hình nón cụt có bán kính đáy R r, chiều cao h, đường sinh l • Diện tích xung qaunh: S= xq π ( R + r )l • Thể tích: = V π h( R + Rr + r ) Bài Cho tam giác ABC vuông C Biết BC = a, AC = b Quay tam giác vuông vòng quanh cạnh AC BC, hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỷ số thể tích hai hình nón tỷ số diện tích xung quanh hai hình nón ĐS: V1 S1 = V2 S2 Bài Một hình quạt trịn có bán kính 20cm góc tâm 1440 Người ta uốn hình quạt thành hình nón Tính số đo nửa góc đỉnh hình nón ĐS: sin a = 0,4 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài Một hình nón có bán kính đáy 5cm diện tích xung quanh 65π cm2 Tính thể tích hình nón ĐS: V = 100π (cm3 ) Bài Một hình nón có đường sinh dài 15cm diện tích xung quanh 135π cm2 a) Tính chiều cao hình nón b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón ĐS: a) h = 12(cm) b) Stp = 216π (cm2 ) , V = 324π (cm3 ) Bài Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 14 cm cm , chiều cao 23 cm a) Tính dung tích xơ b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép) 9269 b) S = 621,5π (cm2 ) π (cm3 ) ≈ 9,7 lít Bài Từ khúc gỗ hình trụ cao 15cm , người ta tiện thành hình nón tích lớn ĐS: a) V = Biết phần gỗ bỏ tích 640π cm3 a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ b) Tính diện tích xung quanh hình nón ĐS: a) V = 960π (cm3 ) b) Sxq = 136π (cm2 ) Bài ĐS: III HÌNH CẦU Hình cầu Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố định hình cầu • Nửa đường trịn phép quay nói tạo thành mặt cầu • Điểm O đgl tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu Cắt hình cầu mặt phẳng • Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn • Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn: – Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường trịn lớn) – Đường trịn có bán kính bé R mặt phẳng khơng qua tâm Diện tích – Thể tích Cho hình cầu bán kính R • Diện tích mặt cầu: S = 4π R Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 • Thể tích hình cầu: V = π R3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2 ) số đo thể tích (tính cm3 ) Tính bán kính hình cầu ĐS: R = 3(cm) Bài Một hình cầu có diện tích bề mặt 100π m2 Tính thể tích hình cầu 500π (m ) Bài Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Ta quay nửa đường tròn nội tiếp, nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vng ABH vịng quanh AH, hai mặt cầu hình nón Tính: a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình nón b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nói c) Thể tích phần khơng gian giới hạn hình nón hình cẩu ngoại tiếp hình nón ĐS: V = S a) = S2 a a ĐS: = R 2= r; AH = ; OA V b) = V2 23 3π a3 c) V = 216 Bài ĐS: BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Một hình cầu nội tiếp hình trụ Cho biết diện tích mặt cầu 60 cm2 Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình trụ b) Thể tích hình trụ ĐS: a) Stp = 90(cm2 ) b) V = 30 15 π (cm3 ) Bài Tam giác ABC vuông A có BC = 2a B = 300 Quay tam giác vng vịng quanh cạnh AB ta hình nón đỉnh B Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính AB ĐS:= Stp 3= π a2 Sc Bài Người ta chia hình trịn (O;12 cm) thành hai hình quạt có số đo cung 1200 2400 Từ hai hình quạt người ta uốn lại thành hai hình nón a) Tính nửa góc đỉnh hình nón b) Tính thể tích hình nón c) Tính tỉ số diện tích tồn phần hai hình nón ĐS: a) Độ dài cung nhỏ 8π (cm) , độ dài cung lớn 16π (cm) Hình nón tạo hình quạt nhỏ có đường sinh 12 cm chu vi đáy 8π cm ⇒ R1 = 4(cm) ⇒ sin a = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Hình nón tạo hình quạt lớn có đường sinh 12 cm , chu vi đáy 16π cm ⇒ R2 = 8(cm) ⇒ sin b = b) V1 = 128 2π 256 5π (cm3 ) , V2 = (cm3 ) 3 S1 64π c)= = S2 160π Bài a) ĐS: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Lời nói đầu Chủ đề Căn bậc hai, bậc Chủ đề Hàm số bậc Chủ đề Hệ phương trình bậc Chủ đề Phương trình bậc hai Chủ đề Hệ thức lượng giác Chủ đề Đường Trịn Chủ đề Góc đường trịn Chủ đề Hình học khơng... b) 22 49 25 − + 18 f) c) 99 − 18 − 11 ) 11 + 22 3− d) − + 12 3+ f) e) −4 Bài Thực phép tính sau: a) c) e) −5 6−2 − + − −2 4+ 3+ 2− + + − 3+ 2+ 5 − 12 Liên hệ tài liệu word môn toán: 0 39. 373.2038... =ax + b (a ≠ 0) với tia Ox: + a < 90 0 a > + a > 90 0 a < • Các đường thẳng có hệ số góc tạo với trục Ox góc Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 0 39. 373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com