tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ về giải tích

Trang 1

uyên chon thee chuyén dé TOAN HOC

TUOITRE &

LPhiin 5: Gia lich

“ Sứ dựng đạo hàm để giải tốn

s* Các kĩ thuật tính tích phân

s* Các bài tốn tiếp tuyên

Trang 2

B ai todn Tim giá trị tham số để phương trình, bắt phương trình, hệ phương trình cĩ nghiệm là bị gặp trong kì thi tu; học, Cao đăng quan trọng vả thường

sinh vào các trường Đại

và thi vào ai viết này trao đổi cách vận đụng đạo hảm Đại học để giải những bài tốn thuộc dạng trên

#ử Dỹl8€ Ð \8 Zì\ ĐẾ GiẢi

CAC PHUONG TRINA, BAT PHUTONG Tie, NE PHUONG TRINH CHUA THAM $i HUYNH DUY THUY

(GV TT Tăng Bạt Hổ Hồi Nhơn, Bình Định)

1.KIẾN THỨC cAD HO Ÿ s Tìm tập xác dinh D cia ham s6 fix) Trước hết chúng ta cẳn nắm vững các mện:Ƒ) s Tính f"(x),

đề sau “SG * Lập bảng biến thién cua ham s6 fix)

Cho hâm số y = #x) liên tục trên tập 2 8 ® Xác định may I min f(x)

1) Phương trinh fx) = m cĩ nghiệm xe7 ` ca min f(x) Smsmax f(x) š Ơ * Vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở € phản trên, rút ra kết luận cho bải tốn 2) Bắt phương trình #x) < m cĩ nghiệm x = 7 i Luu § Trường hợp PT (BPT) chứa các biểu

£ thức phức tạp ta làm như sau: ©min ƒ(x) <m ; SP + Đặt ấn số phụ = 9(x) Z

3) Bất phương trình f(x) < m, nghiém đúnS.s Từ điều kiện rằng buộc của ấn x, tìm điều

với mọix €2 © max S(x)sm: đ} kiện cho ân số 7

4) Bất phương tinh fx) > m, 06 nghiệt © * Dua PT (BPT) ân PT (BPT) an s6 ¿

với mọi x ED © max f(x)2m:; : xe Gey, Ta được fit) = h(m) ; (hoặc ft) = h(m) ; hoặc 5/0) < lộn)

5) Bat phuong trinh fix) 2 m, nghiém ding s | ập bảng biển thiên của hàm số /ữ) voi moi x €D = min f(x) 2m; + Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài tốn 6) Cho hàm số y =/fx) đơn điệu trên tập 2 Ï' II, MỘT SỐ THÍ DỤ

Khi 46 flu) =v) © w= v (voi moi uv ED % Thí dụ 1 7b đắt cả các giá trị của tham IL PHUONG PHÁP GIẢI uv sé m để phương trình

Để giải bài tốn tìm giá trị tham số m idea +4§=x=xxt+9x+tm qa) phương trình (PT), bắt phương trình (BP:

cĩ nghiệm ta cĩ thể thực hiện thứ tự như saute cĩ nghiệm

+ Biến đổi PT (BPT) về dạng fix) = g(m) Lời giải Điều kiện 0< x<9

Trang 3

ex 04 Df HO = Ox em (2) đâlogix-2logax-3=m(ogax-3) (2) Dat t= Vox? 49x Đặt t= logyx (¢=5) PT (2) tro thanh —2x+9 9 ¢ Ta cĩ '=————— Fy =e :í`=0<4>x=_— 2 @7 ði 0 Đã ao SE ,aNG 2£~3=m°(Œ—3} Sm = 3 ptt] (3) ⁄ +1 si z| @ 9 9 yet hàm số i= (voi t> 5) 2 £ + 0 = E 1= => <0, với mọi 7 > 5 Ta cĩ 9 =) * t 44 Si TT 4 z 5 +œ 0 0 \z #q) = Q #0 |3 Do đĩ 0<z<Š Khi đĩ PT(2) trở thành S TH 1

9+2f=P+m © ~Ê +2+ 9 =m G PT (1) cĩ nghiệm x e[32;+z) khi và chỉ khi

Xét hàm số ƒ) =—£ + 2t + 9, với Ceres PT (3) cĩ nghiệm / >5 điều này xảy ra khi

2 1 < „ <3 Kết hop voi m >0, ta được #Œ)=-22+2: ƒŒ)=0 =1 8 Lập bảng biến thiên hàm ƒf7) trên | | 0 —_! 9 oe ak ! : F'O nh 0 a 5 10 ae Ko 9 a 8 8 PT (1) cĩ nghiém x €[0;9] khi va chi khi PES 5 (3) cĩ nghiệm / € |9 | Điều này xây ra khi 1<mx<-3.1 * Thí dụ 3 7ù in để phương trình 3^/tanx+1(sinx+ 2cosx) = m(sinx+3cosx) (1) | i £ 2 es 4 ä ; T cĩ nghiệm duy nhật thuộc khoảng | ĐC 3 —- oll — | Loi gidi Xét x 0:3), khí 4 sinv > 0, { .-

cosx > 0, tanx > 0 va sinx + 3cosx > 0 PT CG) = ayianesi | sinx + 2cosx jem sinx +3cosx XS : 9 >4 l _ pee tanx+2 va chi khi 7 smsi0.o 5 2 3Viaxti ( MOTs ứng \ tanx +3 * Thi dy 2 Cho phirong trinh — Đặt 7 = tan, / > 0, PT (2) thành logix+ log¡ x2 —3 = m(logax— 3) (Des 2 _ : h uì a ng (3) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm x € [32:+-) ° Ẽ can z t+2 Lời giai Từ ĐK bài ra ta thay log, x = 5, suyle’ Xét ham so f(t) = 3ƠÂ+1 (1 >0) ra (logyx—3)>2 nénm=>0

we “S FEZ Sati sử

Trang 4

Ta cĩ bang biến thiên Bảng biến thiên t 0 +0 t 1 2 ⁄œ + q fO - +00 bì 2

KO) 8 eee 5 fa) ‘ Pad 3 3

Ứng ng với mơi / > 0 thỏa mãn PT (3), ta đượce› với mỗi ae + = 3

đúng một nghiệm xe (ors 5] của PT (1) DoÈ Từ bảng biến thiên, BPT (1) cĩ nghiệm

2 ve[0:1+¥3] Khi và chỉ khi BPT(2) cĩ

| khi) nghiệm re II: 2] ` và chỉ khi PT (3) cĩ duy nhât nghiệm / > 0 đ#Điều này iydu blM msgs (= fQ=2 2) 3 đĩ PT (1) cĩ nghiệm duy nhất xe [ 0 A ch Can ctr vao bang bién thién ta suy ram > 2 us kK Ox

* Thi du 4 Tim m dé bất phương trình a

Dé ket thuc bài báo xin mời bạn hay sử dụng mfx —2x +2 +1) +x(2-x) <0 (1\eaphuong phap trén dé giai mot so bai tập cùng

: " loại sau đây

cĩ nghiệm xe{[0 ;1+ ^B] é :

Oo 1 Tim m dé phuong trinh P 5

Trang 5

€

SE fate ste,

- mem HÀM LƯỢNG GIÁC

_— ,Đặi Học ĐĂNG THANH HÁI~ TRẤN TUYẾT THANH

sb) (GV Hoc vin PKKQ, San Téy, Hà Nĩi)

xong bai viết nay, ching 161 it được nề

đổi một số đạng cơ bản của tích pÏ

hàm lượng giác vả các phương pháp đỏi bì Si 1

tương ứng thường gặp trong céc ki thi tuy 24} Khi main e1 ca

sinh vào Đại học và Cao ding 5 z

"heh pha ng eet en ras 1 Fare f láu lữ a Đặtr= cotr=> dr= -—ar, Sate

“a

I= = JF Ginx, coss)e

g DANG 2 Fi(sinx, cosy) = —F(sinx, —cosx) (F

ly thuộc vào tính chất vả dang dic biét ct ham s6 Ié theo cosx)

Tuy

hàm Fisinx, cosx) hoe mi quan hé ita hatha, Céch gid Bot r= sin

Fisinx, cosx) véi các cận lấy tich phin if), : chủng ta sử dụng ph đề bến tong ứng ˆ 2 # Thí dụ2, Thi di ghới 7=:

DANG 1 F(sinx, cose) = F(-sinx, -cosv) Ù, là ham s6 chan theo sinx và cos) e sin: 2sinxoose Lời giải Ta thấy F= G~sng)" ŒG-sno" CEASDOB(=egROEEI=kpet là hảm số lẻ theo coss D§t t= sinx THI dy 1 Tinh teh phen > &connat 1 aa Oxnir-o-re0;x=2 pe | nước @ 7 2 Lat gidk RO ràng F = YS ham s6 chin theo sin va cosx, iss

DANG 3 F(sinx, cose) = —F(-sinx, cos) (F lt ham $6 16 theo sinxy

“Cách giất Dit t= cosx oe

Up ® MHI ay Tinh tích phân Tu,

Trang 6

Lời giải Rõ tảng F = ="*

e

Sin*x

2 J đ sin"t + cos" sintt đ=|— 2e han sin"x +cos" x

lẻ theo siny, Đặt ?=cosx > dr ‘ x= =1ixy=E n = Ỹ ƒ_ COSEX Khix=0>1t=1:x 7885 6 na 37 -——— luan ~ Vay I= 5 \ © s rời biun, Do cén ly tich phin 06 dang a= 0: } 5 b = —, nên các hàm sinv và cosx cĩ mỗi liên

£ h hệ của các gĩc phụ nhau Trong “ hợp

i tees Dae (\2r~0Gl2r <0 = se se ‡ tây ta thường đùng phép đổi biến ? = = 2 8 \ * Q A Thidy 6 inh tich phẩnT = [ nx.sn2xsnâxdt 5 ge giải Ta cĩ » lan sin2vsinäxdv+ | 888000403 1Ắc a «)- =In(y2 +1) ae ea tich phan za J sinx.sin2x.sin3xdv 2 DANG 4 & & ‘ asin x + b,cosx +c; 2 F(sinx, cosy) = —— 1 Datt=3n-x > dv=-de asin x + b,cosx +c, 37 1© xe ated; x=3n >r=0 Céch gidi Dat = tant l cù đĩ * Thi du 4 Dak tich phan 4sinx +3cosx +5" J sin@x—1)sin(6n—2¢)sin(On- 3d 3> sur.sn2f.sn3f# =— j snx.sn2v.snäxds (2) Lời giải Đặt t = tant thi

t quả thí dụ €: Clo Je) 1a ham liên tục n doan [0; 2a] Khi đĩ = fire + f(2a-x))dx ọ Hướng dẫn Ï7@= Ï/@&+- Tre dy 9 9 @

Trang 7

q ih han là cự se để xảy dung coe Khai mie

cho ki thi Diy sir ede han be ting lại che dig tn v

it hạn và các Kĩ mừng giải cá

va thi vao ki thi tt nyghiep THPT, the tuven sinh

Đại học g Đạt học, Co đẳng

OG have x2 kế, VỂ tho 0g eeieee

VA MOT SO DANS ` Bblia.lkinlupjfSi đÁ/c-sl6

cĩ liên ABE i bạn hữu hạn (nếu cĩ) của ‘i feet, NGUYỄI aK dieu BP), #0) «trong dé (U0) và gt) cùng dần tối Ư khi «tiến tới a, được gọi là giới “Ơ tua dạng : Đây là giới hạn thường gập nhất

Š trong chương trình phố thơng

tim Si Tui at Th

leg cuss cos 2y

sim inl) o 1 tim!

vei ® tài pi ravages kia cĩ

Trang 8

* Thí dụ 2 Tim viet han e * cas 2x Ly= lim— x = Lời gián, Tiện doi "^^ ———+— tạ =lm - x # to tea ig ` veal) x oe tonte — | osseous) cos.x— cos 3x ¥ =lim rd = lim ei cosy cos 3x a BoM HST { ~ cos dy ge0vsetW yh ny lại cĩ lim———————= lim tO cosr—cosdxy 0 ý VỚI f = cosv ~cos3x va thee (") co s.Í(|Ï~€043#: l~cosx) 3° J? lim] ——~ ——— van x x? 2S 6á LCOS Ze lim —$— 5 2: Dy Dodd L,=44+2=6, Lun ý, Làm tương tự như trên, ta thầy cosax—coshy 4? —a? lim ——————— = ———: veal vì 2 cogex bt at tiny ———_——— = —_— vat xì 2 Kh du 3 Tim wick han _ lR(siny+vosv 2 jqqatsnmnewors) vt x Loi giải Ta cĩ In{sin v + cosx} Ly =him esd x In(sin v + cosx)” Sl rath 2x { In(l+sin 2x) sin 2y =lim —————.——- tp sin2x 2x eens 1-cosx x x Lại cĩ _ ln(I+sin2x In(l+/ ti lÚU #88) P i „h0 be i ro) sin2y roth sin 2x với /=sin2x và lim———— val Dy =l nên tag " 1.1=1,

Lam ý, Khi gập giới hạn © fang l= fim 09, lim gO) x)

Trang 9

Xét các giới hạn: *) A=lim (x +3x? 3 Thi du : Tim m để hàm xo sau liên tc tại ens ae ce >>» cli Jx-3 a 3x—l kKhi x#l “ ia ae = | eae’ a

“mà ee =l Lak gidi Xét giới hạn

W3 te Jayne +1 © aya lim vất — oo et cọ ante - x) Fn Vx-2+1 241 ch mS es ' — xe xi 3” oe = a Wx-2+l = lim-= — = lim 'ÊP =~ -WMlim———— el ree dxtaxtlex 2 3 “we CS ; Ị 3 tron ni =<}

Dod6 Ly=4-B=> arn ce 2} -Ÿ =4) 3

Lưu ý Giả sử P(v) là một đa thức bậc 0, ta 1a joel Le | + 2(x-1) T

quy ước coi bậc của 4/?(x) là = = a K (x-1)(J2x- ivi)

fis Se! dé him s6 lién tục tại điểm v = 1 khi va 1) Để tìm giới hạn jin „ trong đĩ /L0, Poult ca 4 khi li x)= fl =-, g(x) là các đa thức sige - của đa thức ta ĐĨ PHẾ HỰ ƠNE 3 F(x) © ieaalh \ ae ae

làm như sau; viết lim /@) = lim ~~; vất Ý: wee g(x) tế g(x) ` + A a le wala eee = xe or đĩ Ý/@)= =jg(a)=M, ta làm yên sau: trong dé @ 1A bac cao nhất trong f(x) và ø(+)

La M-

Tiếp theo tìm lim —— woven yt £@) và lim =— ree yt #@Œ) „ từ đĩ “viết itn § L(x) - xr! xa M=vgi) x-a

suy ra kết quả cần tìm bung gil han

2) Để tìm giới a hạn a Vf) M, tim” veŒx) Soha i,

L= lim (Vas +e textd Vai? +mx+n) mm mu x=a

ÿ8issuy ra kết quả cần tìm

ta biển đổi như sau: Sern dụ 7 Tỉnh dạo hàm làm xo sate tai

Trang 10

PHUONG PHAP DOI BIEN $6 VA TICH PHAN TUNG PHAN

c oe

Trong các dé thi tốt nghiệp Trung học ph © Thí dụ 2 (Đổi biến số theo tgt)

thơng và tuyển sinh vào Đại học, Cao đản I sức

thường cĩ câu về tích phân Phương pháp đổi Tính [= :

biến số và tích phân từng phần thường được sử - 0q+3+?Ÿ

dụng để tính tích phân đĩ Trong bài viết này,< ` 1 Pr

chúng tơi giới thiệu (cĩ tính hướng dẫn) một sống Lời giải Đặt x=—=tgi, ! € [š3) thì

cách đổi biến số phù hợp với các hàm số dưới ⁄3 22

dấu tích phân va phi tích phân từn 1

phần để lấy tích Xe Tử xí due ham + tee oe : 1+3=l+tet

thường gặp trong các kì thi nĩi trên Lưu ý rải 3

chúng tơi dành cho bạn đọc thực hiện các phép) _ ` — _®

biến đổi hoặc tính ra đáp số khi phép tốn cÈleg x=0>1=0,xcel=>1= 7 Tacé

cịn đơn giản a S &

1, Phương pháp đổi biến số Z5, 1% a 1 Ta

+ Nếu hàm số dưới dấu tích phân cĩ chức ' “J3 In "Net ¬ý ị tế

V@-Px ta cé thể tìm cách giải theo mor 5 E

i; 7 % =

trong hai hướng sau a „ at mdi +cos2s).dt =i -genD

Hướng thứ nhất Đặt x= sim ite [- Fư1.=) 2/30 243 0

- 2 “(ey » Nếu hàm số dưới đấu tích phân cĩ dạng

Ree eee Ae Ne ee ee # V4: +b, ta cĩ thể tìm cách giải theo hướng:

Hung thit hai Dat t=Ve' -P 2 e Đặt r=vae'tb | bis L Inl2 Thí dụ 1 (ne bién sé theo sint) 8 Thí dụ 3.Tính 1= i Jaa Tinh /=[#V4-3xtdx = „ a g Loi gidi Dat t=Ve* —3=>e" =2 43 ; Zi aX

Ln YE Sar nee [-£] SS ebem dt = a= = " :

đy=- cosrdt 34-32 =V4—4sin? 1=2cosr; E x=ln4=/= l;x= Inl12 >t=3 328dtL „1 x1 J = |——— =2 |dt-6 fat =4-6), x=0=sr=0;z= 1= r= 2 Lie d6 Sires Ị TÊ+3 : « © >3 3 dt 3 x Bis 3, Tính h=[—— kem Í4sim t.cos cát <a e [lin2rdt —— ¡+3 33a 3V3 4 ~ Hướng dẫn Đật r=x|3tgu ,u € L‡‡): 23 2 le wv So

“a8 | V0 An (-zz+) ©, 2 Phương pháp tích phân từng phần

® Nếu hàm số dưới dấu tích phân cĩ dạng -` dạng p(x) †x) trong đĩ p(x) là một đa thức, ƒ[x) là

ƒŒ)=——L—— ¡n8 |, 2, th để lấy o4 tối hàm lượng giác thỉ các git chàng lì đạt (re { = px), {* = p'(x)dx phan ham fix) ta dat x=s-lgr tức (- ££) dv = f(x) dx |v = [f(x) dx

i

Trang 11

* 2 Thidu4.Tinh 1= [x.sinxcos2x.dx 0

en © Néu ham số dưới dấu tích phản cĩ dạng =>›;p(x).In(f†x)) trong đĩ p(x) là một đa thức hoặc =4 là hàm Số lượng giác, thì cách giải chung là 1 Lời giải T=— |x(sin3x—sinx)dx 2 + = du = ——dx fi) : 3 Dat tt md oe =| Vv = p(x) f) Đặt i sử h ve fev» dx a dx wil ! OQ Thidu6.Tinh ¡=[GĐ$ 3 š Œ+2 i = dx v=~Zeos3x+-c0s S rs err 3-2 - J8 Sở = ~ (x42 v=—— I=5 (-Seossxeons} - & ue x+2 lú I=-——inx+bh| -[——— 1 oe dx ‘ ; ỉ 3 x+2 maar Mo § (atl (x+2) eo J{-Jeosdetcos ax 3 = -In2+i 1 ; lo Ø với 1-03 (T sin3x= 2 sim) —— 18 2 0 9 ‹ h= i — © (x+lXx+2) gxtl 2x+2 dx dx dx) ¬ x+2 10 x+l fi

p(x)fle*) trong dé p(x) la một đa thức thì a = LẺ giải chưng là đặt k = p(x), du = p'(x)dx =f(e).dx |v = ffler).dx Thí dụ 5 Tính - I= lox-p+ dx o Lời giải u=2x-1 du=2dx => dv=e" dx =e f= Peers =e+1-2e ach =-e+3 3

“Si Để kết thúc bài báo mời các bạn thử sử dụng

Trang 12

Ki thutt gidi MOT SO BAL TOAN TIẾP TUYỂN :eủo đồ thị hàm số is DƯƠNG ĐỨC LÂM Q 5 (SV lớp K§1 XD9, ĐHXD Hờ Nội) tốn (BT) vẻ sự tiếp xúc, điền hình

B T tiép tuyén (TT) ludn 1a van dé bo @)

thời sự trong chương trình tốn phố, CỶ

thơng Đặc biệt, nĩ thường xuyên xuất hiện £) để)

trong các để thi tuyển sinh vao Dai hoc - Cao { a đẳng vả cũng đã nhiều lần được ban tĩ 2

teal THTT, Dé giúp các bạn học sinh cĩ „e4 rừ theo về (3) cho (4) ta được thể ơn tập tốt hơn và cĩ cách nhìn đơn gián 2a

hơn về loại tốn này, tơi xin giới thiệu với bạn, đọc một vải kĩ thuật nhỏ mà tơi học hỏi được ngày cịn là học sinh phổ thơng

Trước đây, để giải BT tiếp xúc của hai đỏ thị Rết hợp với (2) ta cĩ

(©) sy = Ax) va (CY: y = g(x) ta thường sử €} ew dụng phương pháp nghiệm bội, nghiệp kép = 4a

ng mới, để tìm điểu kiện tiếp`Ÿ (¿z¡

đồ thị (C) và (C) ta sử dụng { it

phương pháp đạo hàm, đĩ là giải hệ phương (t~U@~1+4a)=0

trình (HPT) than = a(x) (1) SE Buy ra PTTT cẩn tìm là y = (1 — 46) _ WW)sg0 hân xéi Với các phép biến đổi linh hoạt

Tuy nhiên, rất nhiều BT mà việc giải bê (1) Ova hệ về phương trình ân £ mã khơng phải sập khơng ít khĩ khăn Hi vọng thơng qua một hàng qua x

số thí dụ đưới đây, bạn đọc sẽ rút ra đượcŠ=i những kinh nghiệm cho mình - k=l~4a

EE Thí dụ Cho đường cong (C} ye

im các điểm trên mặt phẳng tọa độ mã từ đĩ

Tùy theo a hãy viết các phương trình tiép Be Sai ae (CỆ và hai tếp tuyển

tuyển của đồ thị hàm số kẻ từ gốc tọa độ 0 OR }

P + ow: Li gidi Đường thẳng với hệ số gĩc & đi qua

Lời giải Đường thằng (4) với hệ số gĩc & i Frc 5) 06 Py = hex a) +B sl

qua gée toa 49 O(0, 0) c6 PT y= kx (a) là tiếp `

Trang 13

Hệ này tương đương với { 2 1 m= =ax+b (1) +;~l+——=l-g)+b @) x~m +-—l m2 1 m ze (2) i a et 1) (4) (x-m) “Ta cĩ (2) tương đương với ấy ù en 5 2 Lây (3) trừ (4) theo về ta cĩ me _ Bah) G) TlT k(I-a)rư x—m

“ 2 Trờ theo về (1) cho (3) và biến đổi ta được

Kết hợp với (2) được 1l _ma-l)+b+l (4) feel ke x—m 2m? f kl ~4)+b y 7 Kêt hợp (2) và (4) ta được 2) ss 2=- -l)+b+1} pm DS) (a+?m? +2(a=)(b+ m4 (b +1)? =0 = 2 2 = lu

((4=D##}+2(d-a)b+2)k+b?ca4=0, C7 ,PT này được thỏa mãn với mọi m 0 Suy ra

Từ A⁄ kẻ được hai TT vuơng gĩc với nhau té: |(đ+ ĐẺ =0 fea

(C) khi và chỉ khi hệ trên cĩ hai nghiệm phâ „= Ý 2ø +1) =0 = ls- 1,

biét ky, ko va kik = @+0? =0 a-lz0 | bì-4 - (2P (a—°+2(-a)b+2)+b -4#0 O ay họ đỗ thị cĩ một tiếp tuyến cố định là a == 211 my & Đ Để kết thúc bài báo mời các bạn cùng giải một ›số bải tập sau:

mu i, Tim tất cả các điểm trên đường thẳng

øz] <8» ay = 7 ma từ đĩ kẻ được hai TT hợp với nhau Š xui Số —a+b+1#0 ĐỐI cà Chi gĩc 45° tới đồ thị hàm số y eae x=] Suy ra tập hợp các điểm M cần tìm là đường pai 2 Cho đường cong (C): ye a4 - Tìm trịn tâm 7 (1; 0), bán kính bằng 2, bỏ đi bốn x+1

điểm là giao của các đường thẳng x = | và -x+y+ ] =0 với đường trịn, đĩ là 4(1 ; 2);

8(:~2), C+2: V2), p1—V2;—/2)

Thi dy 3 7i T7 cĩ định của họ đường

cong cĩ phương trình y = BE“ Mơng #0

xem

Lời giải Đường thăng y = ax + b là TT cổ

định của đường cong khi va chi khi HPT sau cĩ nghiệm với moi m+ 0

trên trục hồnh các điểm mà từ đĩ vẽ được đúng một TT tới (C) aE a 7 Tìm trên trục tung các điểm mà từ đĩ vẽ được ít nhất một TT tới (Œ)

Bai 3 Cho đường cong (C): y=

Trang 14

3) Nếu hệ PT ba ẩn x, y, z khơng thay đổi khi fein vi ving geek SVL 2 thì khơng mắt ính tổng quát cĩ thể giả thiết x = max (x, ÿ, 2) (ghia là x>y,x>z (xem thí dụ 3)

iệc sử dụng khảo sát biến thiên của HS để

lải hoặc biện luận một số hệ PT tạo nên sự

hong phú về thể loại và phi pháp giải

ốn, phà hợp với các kì thi sinh vào

ại học Sau đây là một số thí dụ minh họa

oa ale mu te orn dự 1 Giải hệ phương trình bệ phương trình

afi) g ~e' =x~y a) TH 8 — ng 10 @) Fatt pone Pyar iat DK x>0,y>0

(Ha NOD ẨẨTT (0) được viết lại dưới dang

Một số lưu ý chung © OES Se ®

1) Phuong trinh ffx) = m cĩ nghiệm khi và chỉ aus /@ = # ~r,e6/(0=#~I>0,Vr>0, khi m thude tip gid trj của hàm số y= /fx) v: iến khi

en ok nie at ets Mee =F ) wien đĩ HS /(/) đồng bién khi ¢> 0 điểm của đồ thị bàm số (HS) y = />) với Oru f@)=f0)

đường thẳng y = m la fO=f0) OO

g(x,y)=0 — (2) Otay vido (2) duge tog: 5 + logs 4x? =10 Ta cĩ thể tìm lời giải theo một trong haỂ*-fog; x ~ 14 2(2+3 log, x) =10, hay log, x=1 2) Khi gặp hệ PT đạng {

— EPlt cĩ nghiện dạy nhất G:y) = (2:2)

Hướng 1 PT(1) > f(x)- fo) =0

Tim cach đưa (3) về một PT tích Thí dụ 2 Giải hệ phương trình

Hướng 2 Xét HS y = /0) Ta thường gì inf +2)—Inl+y)=x—y @®

trường hợp HS liên tue trong tập xác định của ` nĩ |2r`~5xy+y3=0 @)

i

Nếu HS y = /() đơn điệu, thì từ (1), suy ra VEOH gid ĐK x > ~1, y > ~1 PT(1) của hệ được

x“y Khi ái đĩ bài tốn đưa về giải hoặc biện ©) Viết lại dưới dạng

luận PT (2) theo ẩn x Đ In(1+x)~ x = ln(l+ y)=y' @) Đen ph ene oe VỊ, t= a thi no CXét HS {Ose —t, với f € (—l; +) cĩ

HẦU biển thiên nột lần khi qua a

Trang 15

Ta thay f'()=0e91=0 HS fl) déng bién trong (-1; 0) và nghịch eal Se TẾ DI" ge ‘G)=0eoxr=1,

biến trong (0 ; +0) Tacd g(-1)=2, g(1)=2V2, e@)=2

Ta cĩ (3)<> f(x)= f(y) Lite 46 x = y hoặc

xy < 0 (néu x, y thuộc cùng một khoảng đơn ®

điệu thi x = y, trong trường hợp ngược lại thì

Từđĩ 2< g(x)<2V2

Vậy hệ cĩ nghiệm khi 2<m<22 xy<0)

Nếu xy < 0 thì vế trái của (2) luơn dương rT ry 'Thí dụ 5 Chứng minh rằng với mọi m > 0, khơng thỏa mãn hệ phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất

Nếu x = y, thay vào PT (2), ta được nghiện ê2 tớ nã @®

của hệ là x=y= 0 0 3ytx—2x? -m=0 Q)

: ƠThí dụ 3 Giải hệ phương trình: xl~3x?+5x+I=4y Zs h PT khơng thoả mãn, suy ra y > 0 Tương tự cĩ x>0 Lời giải Nếu y<0 thì về trái của (1) âm,

yì~3y2+5y+l =4z “Trừ theo về của (1) cho (2), ta được

z9 ~32+55+1 =4x wa 3x?y~3y1x+2x? eee 2y? =0

Lời giả Xét HS f(t) = Ð~3⁄2+5(+1, cĩ À c>Œ~y)Gy+2x+2y)=0

£'0) = 32-6r+5>0,Vr dvi #¿ y-> 0 vida Say eee Dy S01 TH được 1 Do đĩ HS /ữ) luơn đồng biến BBE - y= Ohayx=y flxyedy oe đĩ, từ PT(1) cĩ 3x)~2x? =m Hệ PT 6 dang } f(y) =4z hed et HS ƒ(x)=3x'~2x1, cĩ ƒ'(x)=9x2-áz ƒŒ)=4x “in thấy ƒ'(J209120 NGH Z2 Vì hệ khơng thay đổi khi hốn vị vịng quan" 9 đối với x, y, z nên cĩ thể giả thiết x > y, x >z 5 4

I HS đồng biến trong (—œ ; 0) và (§

Nếu x > y thì />) > fly) =y>z = fl) > fey 9

=>z> x Mâu thuẫn ánh biến trọng (0:2), foo= 0) = 0, Tương tự nếu x > z ta cũng di đến mâu thuẫn, `“, $

Suy rax=y~z _ ⁄) S8

“Từ một PT trong hệ, ta cĩ 2232+x+1<IÐÐ

Ta được nghiệm của hệ: x = y=z =Ì; Do đĩ với m >0, hệ cơ nghiệm duy nhất x = y> 0

x=y=z:=l+2 Qe đọc tự vẽ đồ thị hoặc lập bảng biến thiên S của HS để kiểm tra kết quả trên)

#(x)=z@)

Nhận xét Xét hệ PT cĩ dạng 4 ƒ(y) = #(z) :,

ƒŒ)= øŒ) Nếu các HS /), ø(/) cùng đồng biển (ho: cùng nghịch biến) thì lí luận như trên, ta su'

rax=y=z Bài luyện tập

1, Giải các hệ phương trình

cos x=1 x=siny

Biện luận hệ phương trình 3) a b) {y=sinz

cos y=l~— z=sinx

ƠThí dụ 4 Tìm m dé hệ phương trình sau 2

cĩ nghiệm Inx-Iny=x-y

vx+l+J3-y=m a Yat Se

Vyti+V3—x=m Q)

“eq, 2 Tim m 4 cde hé PT sau 06 nghiém

tời giải ĐK ~1<x,y<3 `

Te Sot aaa (2) và chuyển vé, ta) {2sax—3coy~„

Mg®#L-Ee=uyai-diy ø 8%, oes:

0s 3x +.¢083y =m

Dễ thấy HS f()=Vt+1-V3-r ding biemfed 5 Gis oie

trên (—l ; 3) nên từ (3) suy ra x=y a x+y=m Ð.JÄnghfoo 984 BỆ nhường trial

Khi đĩ từ (1) cĩ Vr+1+V3—x=m x°+y? =m,

XếtHS g@x)=vJx+1+ V3~x, ta cĩ gíx) liên ne giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Trang 16

Néu ab > 0, ham số cĩ một cực trị tại x = Ơ Nếu ab < 0, hàm số cĩ ba điểm cực trị Vì đồ eft nhận trục tung làm trục đối xứng nên ba oO iém cực trị luơn tạo thành một tam giác cân + =) Hàn sử 3e SE OE Creal 0) œx+b' On ag yaad +2ab'x+bb'-a'c : (a'x+b'? , A a)

MOT $0 DANG TOAN goi tam thức trên tử số của y` là f(x) Hàm số

s 5 f° cực trị khi PT y` = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác xạ see 3 a ht : ma được điều kiện [ =e ied ƒ(xa)z0

NGUYEN ANH DUNG Si điểm CĐ, CT đối xứng với nhau qua giao

(Hè Nội) hiến của hai đường tiệm cận

0 U—V`N

1 Một số kiến thức chung vẻ cực trị của các S Với hàm số cĩ dạng y =Š thy=

hàm số trong chương trình phổ thơng 1 : we v

_—ˆ®!

Seem cael SA ‹

L) Hàm sở y= ax + bể + cx + da #0) Sci yw Ocha mabey a %,

4 vv

Ta cĩ y'=3ar + 2bx+c¢,A' = bỀ —3ac

Nếu A'Z0 thì y' khơng đổi đấu, HS khơng cGQ™” On eee ieee

Cực trị Gynt, Đĩ chính là PT đường thẳng đi

2 a

Néu A'>0 thi PT y’ =0 6 hai nghiệm phir âu: hai điểm CĐ, CT của đồ thị

biệt và y` đổi dấu qua nghiệm nên hàm số cee Š : x

cực đại (CĐ) và cực tiểu (CT) Mĩc cổ : =STrong phin dp dụng dưới đây, các bước tìm iéu kien để hàm số cổ cực trị cũng như các

Hai điểm CĐ và CT đối xứng với nhau qua tinh toan chỉ tiết xin đành cho bạn đọc tự thực

điểm uốn hiện

Chia đa thức y cho yŸ, ta được y= y` g1) + rx), 811, Ap dung

trong đĩ qi), rix) la các nhị thức bậc nhất VÀ, Hàm số đa thức

lần lượt là thương, số đư của phép chia Moro

Giả sử Sợ a MET 6a _WẠTìm m để hàm số cĩ CÐ và CT đồng thời hai

là sử đồ thị cĩ diềm CĐ, CTIA (ty) (72:2) itn Cp, CT cia dé thị cách đổu đường

Vì w'{x,) = y`(x;) = 0 nên tọa độ các điểm CĐ,j-31hẳng (đ) cĩ phương trình y = x - 1

CT thỏa mãn y = r(v) Đĩ chính là PT dường J3 — —

thẳng đi qua hai điểm CĐ, CT của đổ thị — „£{L2fid y'=3xÌ~6x—m

2) Ham sé y=ax'+ be +c (a#0) Hàm số cĩ CĐ, CT khi m > -3

Trang 17

yey’ (-;)-4#-} #28, 3 Ơ Thí dụ 4 Cho hàm số y=

và “Cá a = Tim m để hàm sổ cá CÐ và CT đảng thời rat

Na điểm CƠ, CT là AG,: điểm CĐ, CT của đổ thị nằm về hai phía của 2120): ¢ đường thẳng (4): 2x + y- 1 = 0 PT đường thẳng di qua hai điểm CĐ, CT là Quan 2 ch, ya-|Ellrva-Er (4) Gane àm số cĩ CĐ, CT khi m < 4 Giả sử đồ thị cĩ Các điểm CĐ, CT cách đếu đường thẳng (dy=j ae = WS diém CD, CTI ACK, 5 9) Bla 3 ¥ VỀ số cĩ : ; axt+mxe+3 xt”

Truimg hop 1 (d,) I (a) s2 Tác y,=24, 4m: y,=2n +m

trên (d) nĩ) Theo định lí Viềte xị + x;= ~2; xụ = m ~ 3

Si 40g —

Tạa độ rung điểm ABlà E|*“^ 2= QO Thay vào BPT tren, ta được mề +6m—39<0

ly=~m = ~3-4/3 <m< -3+43,

Vi E (1; -m) € (d), suy ra m= 0 Lưu ý Hai diém A, B nam vẻ hai phía của Ơ Thí dụ 2 Cho hàm số y = x*~2moẺ + m — | em x,y) =0 khí fx,y) xay) < 0

Tìm m để đồ thị của hàm số cĩ ba điểm cực Ơ Thí dụ 5 Cho hàm số

tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều ~~ _ x ~(m +3)x + 3m +1

Lời giải Ta cĩ y` = 4x(Ơ~ m) x¬l

y=0œz=(0; 2= m, Từm m để hàm số cĩ CÐ và CT va cde gid trị Hàm số cĩ ba cực trị khi m > 0 | 2 2gauuuiesu Tọa độ ba điểm cực trị là A(0 ; m- L), o 1 —s! verison X3~27~2m+2

B(-Vin ;-m?+m-=1), COV j-m?+m-1) Loi gid ae

Ta luơn cĩ AB = AC, nêt lác ABC đi 2 rae Ỷ

he cikee sai A am số cĩ CÐ và CT khi mà Giả sử đồ thị

g230448e-: nay) _Ợ cĩ diện CƠ và CTHà Gịïy0, 0 cờ,

Lưu ý Các bạn hãy tự để xuất và giải bài tố Ta cĩ y,=2x,—m—3; y¿=21—m~—3 cs i 5 trên trong trường hợp tam giác ABC là vuơn “Theo định WCVfMS Z224221 Some: cân hoặc cĩ gĩc bằng 120° a Từ đĩ cS -2m-2 = 3) Hàm số phần thức yy =m? -6m+5, ƠThí dụ 3 Cho hàm số PEE Ta 06 yi <0, yep <0 khi ya ~Gm+2)x+m+4 =) Tìm m để hàm số cĩ CÐ và CT và khoải cách giữa hai diém CD, CT ctia dé thị nhỏ,

hơn 3 Giải hệ trên và kết hợp với điều kiện mod yi +yo= -2m-2<0 uy; =mÈ~6m+5>0, Lời giải Ta cĩ y'=* ta được — hoac m > 5

Hàm số cĩ CĐ, CT khi m<Š Giả sit 46 this Bài ập làm thêm

cĩ các điểm CĐ, CT là AG: yi) độ, : yà< Bải/- Cho hàm số y=(= mÄŒ~ )

_- @ @ Tim m dé ham sé cé cực đại, cực tiểu và tim

yị =2 -3m~2; yị=2x;—3m 2 Wn quỹ tích diểm cực tiểu của đồ thị

“Theo định lí Viềte x, + x;= 2; x,x; = 2m-2 Đ/:: Cho hàm số y=+'~ +Ì+ mx + l

Tacé AB? =(x\—x2)?+(-y2)?=5(4) x2)? jd Timm để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu thỏa mãn

AB? 25 [(x) +2)? 4.4.42 ]=60—40m hed XD Pet cs

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	3,14 MB