B ai todn Tim giá trị tham số để phương trình, bắt phương trình, hệ phương trình có nghiệm là bị gặp trong kì thi tu; học, Cao đăng.. quan trọng vả thường sinh vào các trường Đại và
Trang 1uyên chon thee chuyén dé
TOAN HOC
TUOITRE &
LPhiin 5: Gia lich
https: //www.facebook.com/tusachtructuyen
Trang 2B ai todn Tim giá trị tham số để phương trình, bắt phương trình, hệ phương trình
có nghiệm là bị gặp trong kì thi tu;
học, Cao đăng
quan trọng vả thường
sinh vào các trường Đại
và thi vào ai viết này trao đổi cách vận đụng đạo hảm Đại học để giải những bài toán thuộc dạng trên
#ử Dỹl8€ Ð \8 Zì\ ĐẾ GiẢi
CAC PHUONG TRINA, BAT PHUTONG Tie, NE PHUONG TRINH CHUA THAM $i HUYNH DUY THUY
(GV TT Tăng Bạt Hổ Hoài Nhơn, Bình Định)
1.KIẾN THỨC cAD HO Ÿ s Tìm tập xác dinh D cia ham s6 fix) Trước hết chúng ta cẳn nắm vững các mện:Ƒ) s Tính f"(x),
đề sau “SG * Lập bảng biến thién cua ham s6 fix)
Cho hâm số y = #x) liên tục trên tập 2 8 ® Xác định may I min f(x)
1) Phương trinh fx) = m có nghiệm xe7 ` ca
min f(x) Smsmax f(x) š
Ô * Vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở
€ phản trên, rút ra kết luận cho bải toán 2) Bắt phương trình #x) < m có nghiệm x = 7 i Luu § Trường hợp PT (BPT) chứa các biểu
£ thức phức tạp ta làm như sau:
©min ƒ(x) <m ; SP + Đặt ấn số phụ = 9(x) Z
3) Bất phương trình f(x) < m, nghiém đúnS.s Từ điều kiện rằng buộc của ấn x, tìm điều
với mọix €2 © max S(x)sm: đ} kiện cho ân số 7
4) Bất phương tinh fx) > m, 06 nghiệt © * Dua PT (BPT) ân PT (BPT) an s6 ¿
với mọi x ED © max f(x)2m:; : xe Gey, Ta được fit) = h(m) ; (hoặc ft) = h(m) ; hoặc 5/0) < lộn)
5) Bat phuong trinh fix) 2 m, nghiém ding s | ập bảng biển thiên của hàm số /ữ) voi moi x €D = min f(x) 2m; + Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán 6) Cho hàm số y =/fx) đơn điệu trên tập 2 Ï' II, MỘT SỐ THÍ DỤ
Khi 46 flu) =v) © w= v (voi moi uv ED % Thí dụ 1 7b đắt cả các giá trị của tham
IL PHUONG PHÁP GIẢI uv sé m để phương trình
Để giải bài toán tìm giá trị tham số m idea +4§=x=xxt+9x+tm qa) phương trình (PT), bắt phương trình (BP:
có nghiệm ta có thể thực hiện thứ tự như saute có nghiệm
+ Biến đổi PT (BPT) về dạng fix) = g(m) Lời giải Điều kiện 0< x<9
(hoặc Ax) = gún); hoặc /{x) < gứn)) PT(1) ©x+9-x+2(jx(9=x) x)+9x+
Trang 3
Dat t= Vox? 49x Đặt t= logyx (¢=5) PT (2) tro thanh
Ta có '=————— Fy =e :í`=0<4>x=_— 2 @7 ði 0 Đã ao SE ,aNG 2£~3=m°(Œ—3} Sm = 3 ptt] (3)
z| @ 9 9 yet hàm số i= (voi t> 5)
2
£ + 0 = E 1= => <0, với mọi 7 > 5 Ta có
Do đó 0<z<Š Khi đó PT(2) trở thành S TH 1
Xét hàm số ƒ) =—£ + 2t + 9, với Ceres PT (3) có nghiệm / >5 điều này xảy ra khi
2 1 < „ <3 Kết hop voi m >0, ta được
#Œ)=-22+2: ƒŒ)=0 =1
8
PT (1) có nghiém x €[0;9] khi va chi khi PES
5
(3) có nghiệm / € |9 | Điều này xây ra khi
1<mx<-3.1
* Thí dụ 3 7ù in để phương trình
3^/tanx+1(sinx+ 2cosx) = m(sinx+3cosx) (1)
|
i
£
có nghiệm duy nhật thuộc khoảng | ĐC
3
—- oll — |
Loi gidi Xét x 0:3), khí 4 sinv > 0, {
.-
cosx > 0, tanx > 0 va sinx + 3cosx > 0
PT CG) = ayianesi | sinx + 2cosx jem
sinx +3cosx
XS
va chi khi 7 smsi0.o 5 2 3Viaxti ( MOTs ứng
\ tanx +3
* Thi dy 2 Cho phirong trinh —
Đặt 7 = tan, / > 0, PT (2) thành
Tìm m để phương trình có nghiệm x € [32:+-) °
Lời giai Từ ĐK bài ra ta thay log, x = 5, suyle’ Xét ham so f(t) = 3¥¢+1— (1 >0)
ra (logyx—3)>2 nénm=>0
Trang 4Ta có bang biến thiên Bảng biến thiên
⁄œ + q fO -
Ứng ng với môi / > 0 thỏa mãn PT (3), ta đượce› với mỗi ae + = 3
đúng một nghiệm xe (ors 5] của PT (1) DoÈ Từ bảng biến thiên, BPT (1) có nghiệm
2 ve[0:1+¥3] Khi và chỉ khi BPT(2) có
| khi) nghiệm re II: 2]
`
và chỉ khi PT (3) có duy nhât nghiệm / > 0 đ#Điều này iydu blM msgs (= fQ=2
đó PT (1) có nghiệm duy nhất xe [ 0
A
Can ctr vao bang bién thién ta suy ram > 2
* Thi du 4 Tim m dé bất phương trình a
Dé ket thuc bài báo xin mời bạn hay sử dụng mfx —2x +2 +1) +x(2-x) <0 (1\eaphuong phap trén dé giai mot so bai tập cùng
Oo 1 Tim m dé phuong trinh P 5
2Jx2—2x+2 ` x cố —
a có nghiệm duy nhất
#& | 1Ö 1 1443 5M
<C) 5 Tim gid ty lớn nhất của a dé bat phuong tinh
PB 4 Tim m dé moi xe [0:2] đều thỏa mãn bất
sin
Từ đó 1</<2 Với 1<#<2, ta biến đôi
be phuong trinh
@-2=-x(2-x).BPT (1) trở thành ` "
m(t+1) <P-2 €®m<——— (DY) log:(x2+4x+m)—log:(x2+1)<1
E j5 © nghiệm đúng với mọi x € (2;3)
Suy ra hâm số f(r) déng bién trên [1; 2] nghiệm đúng với mọi x <0
Trang 5€
SE fate ste,
- mem HÀM LƯỢNG GIÁC
_— ,Đặi Học ĐĂNG THANH HÁI~ TRẤN TUYẾT THANH
sb) (GV Hoc vin PKKQ, San Téy, Hà Nói)
xong bai viết nay, ching 161 it được nề
đổi một số đạng cơ bản của tích pÏ
hàm lượng giác vả các phương pháp đỏi bì Si 1
tương ứng thường gặp trong céc ki thi tuy 24} Khi main e1 ca
sinh vào Đại học và Cao ding 5
z
"heh pha ng eet en ras 1 Fare f láu lữ a
Đặtr= cotr=> dr= -—ar, Sate
“a
I= = JF Ginx, coss)e
g DANG 2 Fi(sinx, cosy) = —F(sinx, —cosx) (F
ly thuộc vào tính chất vả dang dic biét ct ham s6 Ié theo cosx)
Tuy
hàm Fisinx, cosx) hoe mi quan hé ita hatha, Céch gid Bot r= sin
Fisinx, cosx) véi các cận lấy tich phin if), : chủng ta sử dụng ph đề bến tong ứng ˆ 2 # Thí dụ2, Thi di ghới 7=:
DANG 1 F(sinx, cose) = F(-sinx, -cosv) Ù,
là ham s6 chan theo sinx và cos) e
sin: 2sinxoose
Lời giải Ta thấy F=
G~sng)" ŒG-sno" CEASDOB(=egROEEI=kpet là hảm số lẻ theo coss D§t t= sinx THI dy 1 Tinh teh phen > &connat
1 aa Oxnir-o-re0;x=2
pe | nước @ 7 2
Lat gidk RO ràng F = YS
ham s6 chin theo sin va cosx,
iss
DANG 3 F(sinx, cose) = —F(-sinx, cos) (F
lt ham $6 16 theo sinxy
“Cách giất Dit t= cosx
oe
Up ® MHI ay Tinh tích phân
Tu,
Trang 6
Lời giải Rõ tảng F = ="*
e
Sin*x
2 J ñ sin"t + cos" sintt đ=|— 2e han sin"x +cos" x
lẻ theo siny, Đặt ?=cosx > dr
‘ x= =1ixy=E n = Ỹ ƒ_ COSEX
Khix=0>1t=1:x 7885 6 na 37 -———
luan
~ Vay I= 5
\ © s rời biun, Do cén ly tich phin 06 dang a= 0:
} 5 b = —, nên các hàm sinv và cosx có mỗi liên
£ h hệ của các góc phụ nhau Trong “ hợp
i tees Dae (\2r~0Gl2r <0 = se se ‡ tây ta thường đùng phép đổi biến ? = = 2
Q A Thidy 6 inh tich phẩnT = [ nx.sn2xsnâxdt
5
ge giải Ta có
»
lan sin2vsinäxdv+ | 888000403 1Ắc a
«)- =In(y2 +1)
ae
ea tich phan za J sinx.sin2x.sin3xdv
2
F(sinx, cosy) = —— 1 Datt=3n-x > dv=-de
asin x + b,cosx +c, 37
1© xe ated; x=3n >r=0
Céch gidi Dat = tant l
cù đó
* Thi du 4 Dak tich phan
4sinx +3cosx +5"
J sin@x—1)sin(6n—2¢)sin(On- 3d
3>
sur.sn2f.sn3f# =— j snx.sn2v.snäxds (2)
Lời giải Đặt t = tant thi
t quả thí dụ €: Clo Je) 1a ham liên tục
n doan [0; 2a] Khi đó
= fire + f(2a-x))dx
ọ
Hướng dẫn Ï7@= Ï/@&+- Tre dy
9 9 @
8 ôi biển số r= 2ø — x trong tích phân thứ hai
đ tdứ+2) 1 ở về phải đẳng thức trên được
9
[rope =frea-ne-a) =[r2a—nee., a §
92+4!+4 $Œ+2)) 6
từ đó suy ra điều cân chứng mỉnh
MỘT SÓ BÀI TOÁN KHÁC
* Thí dụ § Tinh tich phan - se @ê kết thúc bài Brae psn onc
: et ác peel phan s:
1= Ỉ =— (t làsố nguyên se„P
ì COS”X + SỈn?x Pe
I
Lời giải Đặt r~Š~x =>œ=-dr
oe
9
Từ đó =-[————`—-——
leiS-Ì.m[T-] 3 2 2 2
lết mời các bạn hãy thử tính
Khi x=0 =1 oh oreo
Trang 7
q ih han là cự se để xảy dung coe Khai mie
cho ki thi Diy sir ede han be ting lại che dig tn v
it hạn và các Kĩ mừng giải cá
va thi vao ki thi tt nyghiep THPT, the tuven sinh
Đại học g Đạt học, Co đẳng
OG have x2 kế, VỂ tho 0g eeieee
VA MOT SO DANS ` Bblia.lkinlupjfSi đÁ/c-sl6
có liên ABE i bạn hữu hạn (nếu có) của ‘i feet, NGUYỄI aK dieu BP),
#0) «trong dé (U0) và gt) cùng dần tối Ö khi «tiến tới a, được gọi là giới
“Ô tua dạng : Đây là giới hạn thường gập nhất
Š trong chương trình phố thông
© Nac tai te thuyer
© Với x là số thực ta có Se ác đang tuần thương gập
leg cuss cos 2y
sim inl) o 1 tim!
vei ® tài pi ravages kia có
Lư ý, Bằng cách tương ty, dễ dàng chứng mình được các kết quả sau
~~ = 2°
at)
sin
einlend go ne AMD
Trang 8
* Thí dụ 2 Tim viet han
e * cas 2x Ly= lim— x =
Lời gián, Tiện doi
"^^
———+—
tạ =lm -
to
tea ig ` veal) x
oe tonte — | osseous)
cos.x— cos 3x ¥
=lim
rd
= lim
ei cosy cos 3x a
BoM HST { ~ cos dy
ge0vsetW yh ny lại có lim———————= lim
tO cosr—cosdxy 0 ý
VỚI f = cosv ~cos3x va thee (") co
s.Í(|Ï~€043#: l~cosx) 3° J?
6á LCOS Ze
lim —$— 5 2:
Dy
Dodd L,=44+2=6,
Lun ý, Làm tương tự như trên, ta thầy
cosax—coshy 4? —a?
lim ——————— = ———:
cogex bt at
tiny ———_——— = —_—
Kh du 3 Tim wick han
._ lR(siny+vosv
2 jqqatsnmnewors) vt x Loi giải Ta có
In{sin v + cosx}
Ly =him esd x
In(sin v + cosx)”
Sl rath 2x
{ In(l+sin 2x) sin 2y
=lim —————.——-
tp sin2x 2x
eens
1-cosx
Lại có
._ ln(I+sin2x In(l+/
ti lÚU #88) P i „h0 be i
ro) sin2y roth
sin 2x
với /=sin2x và lim———— val Dy =l nên
tag " 1.1=1,
Lam ý, Khi gập giới hạn © fang l= fim 09, lim gO) x)
trong nhiều trường hợp ta có thể biến đổi như
# Ẽ b
im ML FV £91
a "
Kh dud Vim aici han
y= = tim | £29)
x
Lời giải Tủ có
tụ» m1) 2 tim (1+) ' 2 mm tr
2 ; acd re Bok x mca on, I
toll ff ne
Lưu ý Khi tìm giới hạn dạng ttn £20),
x
trong đó ‘lin fi) 1, ta làm như sau;
“8&@)
Sử dụng phép đổi biến số thoả man —— fi) tile
B(x) t
khi đó x —» +05 > f =>» +2; đưa về giới hạn
i
cơ bán lim (+) =0, [ˆ)”: Quà:
* Thi dụ 5 Tìm giới hạn
= lìm (YN +3 +3? —
Lời giải Ta có I= tim ! (+3 ~x)= (vx "=—¬'
Trang 9Xét các giới hạn:
*) A=lim (x +3x? 3
Thi du : Tim m để hàm xo sau liên tc tại
ae ce >>» cli Jx-3 a 3x—l kKhi x#l “
ia ae = | eae’
a
“mà ee =l Lak gidi Xét giới hạn
oo et cọ
= lim-= — = lim 'ÊP =~ -WMlim———— el
Lưu ý Giả sử P(v) là một đa thức bậc 0, ta 1a joel Le | + 2(x-1) T
fis Se! dé him s6 lién tục tại điểm v = 1 khi va 1) Để tìm giới hạn jin „ trong đó /L0,
Poult
4
g(x) là các đa thức sige - của đa thức ta ĐÓ PHẾ HỰ ÔNE 3
làm như sau; viết lim /@) = lim ~~; vất Ý: wee g(x) tế g(x) ` + A a le wala eee =
xe or đó Ý/@)= =jg(a)=M, ta làm yên sau:
trong dé @ 1A bac cao nhất trong f(x) và ø(+)
La M- Tiếp theo tìm lim —— woven yt £@) và lim =— ree yt #@Œ) „ từ đó “viết itn § L(x) - xr! xa M=vgi) x-a
L= lim (Vas +e textd Vai? +mx+n) mm mu x=a
ta biển đổi như sau: Sern dụ 7 Tỉnh dạo hàm làm xo sate tai
= lim (Ve x) + bx? +ex+d — ax) mi =Ö
(Xem tiép trang 15)
Trang 10PHUONG PHAP DOI BIEN $6 VA TICH PHAN TUNG PHAN
Trong các dé thi tốt nghiệp Trung học ph © Thí dụ 2 (Đổi biến số theo tgt)
thường có câu về tích phân Phương pháp đổi Tính [= :
biến số và tích phân từng phần thường được sử - 0q+3+?Ÿ
dụng để tính tích phân đó Trong bài viết này,< ` 1 Pr
chúng tôi giới thiệu (có tính hướng dẫn) một sống Lời giải Đặt x=—=tgi, ! € [š3) thì
cách đổi biến số phù hợp với các hàm số dưới ⁄3 22
dấu tích phân va phi tích phân từn 1
phần để lấy tích Xe Tử xí due ham + tee oe : 1+3=l+tet
thường gặp trong các kì thi nói trên Lưu ý rải 3
biến đổi hoặc tính ra đáp số khi phép toán cÈleg x=0>1=0,xcel=>1= 7 Tacé
1, Phương pháp đổi biến số Z5, 1% a 1 Ta
+ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chức ' “J3 In "Net ¬ý ị tế
Hướng thứ nhất Đặt x= sim ite [- Fư1.=) 2/30 243 0
Hung thit hai Dat t=Ve' -P 2 e Đặt r=vae'tb
a g Loi gidi Dat t=Ve* —3=>e" =2 43 ;
Ln YE Sar nee [-£] SS ebem dt = a= = " :
đy=- cosrdt 34-32 =V4—4sin? 1=2cosr; E x=ln4=/= l;x= Inl12 >t=3
328dtL „1 x1
J = |——— =2 |dt-6 fat =4-6),
kem Í4sim t.cos cát <a e [lin2rdt —— ¡+3
Hướng dẫn Đật r=x|3tgu ,u € L‡‡):
© 09 td + Nếu hàm số dưới đấu hàm số tích phản có
® Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng -` dạng p(x) †x) trong đó p(x) là một đa thức, ƒ[x) là
ƒŒ)=——L—— ¡n8 |, 2, th để lấy o4 tối hàm lượng giác thỉ các git chàng lì đạt (re { = px), {* = p'(x)dx phan ham fix) ta dat x=s-lgr tức (- ££) dv = f(x) dx |v = [f(x) dx
3
Trang 11*
2 Thidu4.Tinh 1= [x.sinxcos2x.dx
0
en © Néu ham số dưới dấu tích phản có dạng
=>›;p(x).In(f†x)) trong đó p(x) là một đa thức hoặc
=4 là hàm Số lượng giác, thì cách giải chung là
1
Lời giải T=— |x(sin3x—sinx)dx 2 + = du = ——dx fi)
OQ Thidu6.Tinh ¡=[GĐ$
v=~Zeos3x+-c0s S rs err
3-2 - J8 Sở
eo J{-Jeosdetcos ax 3 = -In2+i
1-03 (T sin3x= 2 sim) —— 18 2 0 9 ‹ h= i — © (x+lXx+2) gxtl 2x+2 dx dx dx) ¬ x+2 10 x+l fi
© Néu hdm sé duéi déu tich phan có dạuŠ” — ` 4
p(x)fle*) trong dé p(x) la một đa thức thì a = LẺ
giải chưng là đặt
k = p(x), du = p'(x)dx
=f(e).dx |v = ffler).dx
Thí dụ 5 Tính - I= lox-p+ dx
o
Lời giải
=>
dv=e" dx =e
f= Peers
=e+1-2e ach =-e+3
3
“Si Để kết thúc bài báo mời các bạn thử sử dụng
bs hai phương pháp trên để giải các bài tập sau đây
s Tính các tích phân :
=
z % xdx : 2 xe d
` 3) Ce ; 4)
ñx —x+l ` J ave +1